HINH LOP 9

www.luyenthiminhtri.com Trang 53 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II Phần 2: HÌNH HỌC Bài 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG I HỆ THỨC LƯNG TRONGTAM GIÁC VUÔNG 1/ Vuông bình chiếu nhân huyền AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC 2/ Huyền bình vuông bình cộng vuông bình BC2 = AB2 + AC2 3/ Cao nhân huyền vuông nhân vuông AH.BC = AB.AC 4/ Cao bình chiếu nhân chiếu AH2 = BH.CH 5/ Nghịch cao bình nghịch vuông bình cộng nghịch vuông bình AH = AB + AC2 YJY Dạng TÌM ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn BH, CH, AH, AC biết: AB = 6cm; BC = 10cm AB = 20cm; BC = 25cm 2/ 1/ 3/ AB = 3cm; BC = 2cm 4/ 5/ 6/ AB = 5cm; BC = 1dm AB = 2cm; BC = 4cm Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn BC, AH, BH, CH biết: 1/ AB = 6cm; AC = 4cm AB = 12cm; AC = 9cm 2/ 3/ AB = 12cm; BC = 13cm AB = 12cm; AC = 5cm AB = 2cm; AC = 2cm 4/ 5/ AB = 3a; AC = 4a 6/ AB = 3cm; AC = 1cm Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn AH, BC, AB, AC biết: BH = 9cm; CH = 16cm 1/ 2/ BH = 2cm; CH = 2cm 3/ BH = 1cm; CH = 3cm BH = 25cm; CH = 225cm 4/ 6/ BH = 16a; CH = 9a BH = 144a; CH = 25a 5/ Cho tam giác DEF vng D có DI đường cao Tính độ dài DI biết: 1/ DE = 15cm; DF = 20cm DE = 1cm; DF = 1cm 2/ 3/ 4/ DE = 7cm; DF = 24cm DE = 12cm; EF = 15cm EI = 9cm; EF = 25cm 5/ 6/ DF = 3cm; EF = 2cm Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy điền số thích hợp vào trống ( Sử dụng máy tính cầm tay, kết làm tròn đến chữ số hàng phần trăm) AB AC 12 24 40 20 60 84 & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com BC AH BH CH 3,2 16 1,8 29 61 85 TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com Trang 54 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II 1,96 10 11 12 13 14 15 16 17 18 23,04 Giả sử tam giác ABC khơng có góc tù có đường cao AH Chứng minh ∆ABC tam giác vuông biết: 1/ AB = 6cm; AC = 8cm; BC = 10cm 2/ AB = 15cm; AC = 20cm; AH = 12cm 4/ 3/ AH = 12cm; BH = 16cm; CH = 9cm AH = 30cm; BH = 36cm; CH = 25cm 6/ 5/ AB = 2cm; BH = 1cm; BC = 4cm AC = 24cm; BH = 1,96cm; BC = 25cm Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Đặt BH = x Hãy tính x suy độ dài đoạn AB, AC biết: AH = 2, 4cm; BC = 5cm AH = 1cm; BC = 2cm 2/ 1/ 3/ AH = 2cm; BC = 5cm AH = 6, 72cm; BC = 25cm 4/ Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH đường trung tuyến AM Hãy tính độ dài đoạn AM, HM, BH, CH, AB, AC biết: 2/ AH = 4,8cm; BC = 10cm AH = 12cm; BC = 25cm 1/ 3/ 4/ AH = 6cm; BC = 13cm AH = 3cm; BC = 4cm Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Đặt BH = x Hãy tính x suy độ dài đoạn AH, AC biết: 1/ AB = 3cm; CH = 3, 2cm 2/ AB = 6cm; CH = 2cm 4/ 3/ AB = 60cm; CH = 27cm AB = 1cm; CH = 1,5cm Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: AM = 6,5cm; BN = 11cm Tính AC BC Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: AM = 2,5cm; BN = 4cm Tính AC BC Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN vng góc Biết rằng: AB = 6cm Tính AC BC Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến BM CN Biết rằng: BM = 73cm; BN = 13cm Tính độ dài cạnh AB AC Cho tam giác ABC vuông A có BD đường phân giác Biết AD = x; CD = 5x với x > Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x Cho tam giác ABC vuông A có AD đường phân giác Biết BD = 15 x; CD = 20 x với x > Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x Cho tam giác ABC vuông A có BD đường phân giác AM đường trung tuyến Biết AM ⊥ BD; BD = 3x với x > Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x Cho tam giác ABC vng A có AD đường phân giác Biết AD = x; CD = y với y > x > Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x y Cho tam giác ABC vng A có AD đường phân giác Biết AD = x; CD = y với y > x > Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x y YJY Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi M N hình chiếu H lên AB AC Chứng minh rằng: AB AM = AC AN Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng: AB − AC = BH − CH Cho tứ giác lồi ABCD có AC ⊥ BD O Chứng minh rằng: 1/ AB + BC + CD + DA2 = 2(OA2 + OB + OC + OD ) 2/ AB + CD = DA2 + BC Cho tam giác ABC vuông A Từ trung điểm D cạnh AC kẻ DE vuông góc với BC E Chứng minh rằng: 1/ 2/ BE − CE = BD − CD AB = BE − CE Cho tam giác ABC có góc nhọn Lấy O điểm tùy ý miền tam giác Kẻ OH, OK, OL vuông góc với AB, BC, Ca H, K, L Chứng minh rằng: & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Trang 55 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II 1/ AH + BK + CL2 = OA2 + OB + OC − OH − OK − OL2 2/ AH + BK + CL2 = AL2 + CK + BH Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh : BC = AH + BH + CH Cho tam giác ABC cân A, đường cao CD Chứng minh rằng: AB + BC + AC = BD + AD + 3CD Cho tam giác ABC vuông A, Gọi a, b, c chiều dài cạnh BC, CA, AB Chứng minh: 1 2/ 1/ SV ABC = ( a + b + c)(b + c − a ) SV ABC = (a + c − b)(a + b − c) 4 Cho tam giác ABC vuông cân A điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MF, ME vng góc với AB, AC E F Chứng minh rằng: BM + CM = AM 1/ 2/ BM = 2ME CM = 2MF Cho hình vuông ABCD điểm M thuộc cạnh BC Kéo dài AM cắt tia DC N Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt tia CB E Chứng minh rằng: 1 1/ 2/ AE = AN = + 2 AB AM AN Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt tia đối AC D Chứng minh rằng: 1 2/ 1/ = + BD = AH 2 BK BC AH · = 900 Kẻ AH Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a > điểm A di động cho BAC vng góc với BC H Gọi HE HF đường cao tam giác ABH ACH 1/ Chứng minh BC = AH + BE + CF 2/ Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BE + CF đạt giá trị nhỏ · = 900 Kẻ AH Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a > điểm A di động cho BAC vng góc với BC H Gọi HE HF đường cao tam giác ABH ACH Đặt AH = x 1/ Chứng minh rằng: AH = BC.BE.CF = BC.HE.HF 2/ Tính S ∆AEF theo a x 3/ Tìm x để S∆AEF đạt giá trị lớn Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi E, F hình chiếu vng góc H cạnh AB, AC Đặt BC = a với a > BH CH 1/ Chứng minh rằng: BE = ; CF = BC BC 2/ Tính giá trị BE + CF theo a Cho tam giác ABC có trực tâm H 1/ Chứng minh: AB + HC = AC + HB = BC + HA2 2/ Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh: AB.HC + BC.HA + CA.HB = S · = 900 Gọi BM Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a > điểm A di động cho BAC CN đường trung tuyến tam giác ABC 1/ Chứng minh rằng: BM + CN = 5a 2/ Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BM + CN đạt giá trị lớn Cho hình chữ nhật ABCD với AD = t AB , ( t > ) Lấy điểm M cạnh BC Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD P Đường thẳng EF vng góc với AM cắt AB E cắt CD F Đường phân · cắt CD K Chứng minh rằng: giác DAM 1 t2 1/ 2/ EF = tBM + DK = + AB AM AP · = 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc 150 cắt cạnh BC M, cắt Cho hình thoi ABCD với BAD 1 đường thẳng CD N Chứng minh rằng: + = 2 AM AN AB & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 19 20 21 22 1 = + 2 BK BC AH a +b+c Chứng Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Đặt BH = x; BC = a; AC = b; AB = c; p = minh rằng: a2 − b2 + c2 1/ x= 2a 2/ SV ABC = 2(a 2b + b c + c a ) − (a + b + c ) 3/ S ∆ABC = p ( p − a )( p − b)( p − c) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH đường trung tuyến AM, BN, CP Đặt a+b+c BH = x; BC = a; AC = b; AB = c; p = ; AM = ma ; BN = mb ; CP = mc 2b + 2c − a 2/ Chứng minh rằng: ma2 = 1/ Tính x theo a, b, c 3/ Tính ma2 + mb2 + mc2 theo a, b, c 4/ Tính a, b, c theo ma ; mb ; mc Cho tam giác ABC ( AC > AB ) , trung tuyến AM, đường cao AH Chứng minh rằng: · AMB góc nhọn, · AMC góc tù 1/ 25 BH = BM − BM MH + MH ; CH = CM − 2CM MH + MH AB = AM + MB − BM MH ; AC = AM + MC + 2CM MH BC + AM ; AC − AB = BC MH Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH a +b+c BH = x; BC = a; AC = b; AB = c; p = 4/ 24 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH BK Chứng minh: 2/ 3/ 23 Trang 56 AB + AC = đường phân giác AD bcp ( p − a ) b+c Cho tam giác ABC Trên nửa đường thẳng thuộc đường trung trực cạnh BC, AC, AB miền tam giác lấy điểm A1 , B1 , C1 Từ A kẻ Ax vng góc với B1C1 D Từ B kẻ By vng góc với A1C1 E Từ C kẻ Cz vng góc với A1B1 F Gọi O giao điểm By Cz Kẻ OH vng góc với B1C1 Chứng minh rằng: 1/ Tính x, BD, CD theo a, b, c 2/ Chứng minh rằng: la = 1/ OC12 − OA12 = BC12 − BA12 = EC12 − EA12 2/ OB12 − OA12 = CB12 − CA12 = FB12 − FA12 3/ OC12 − OB12 = BC12 − CB12 = AC12 − AB12 4/ DC12 − DB12 = OC12 − OB12 ; HC12 − HB12 = AC12 − AB12 Cho tia Ax, By, Cz đồng qui điểm Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AB Lấy điểm M tùy ý thuộc (O) Vẽ MH vng góc với AB H Hãy xác định vị trí M (O) cho tổng OH + MH lớn YJY Baøi 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN I II Đặt Tỉ số lượng giác góc nhọn: đối kề đối kề sin α = cos α = tan α = cot α = huyền huyền kề đối Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc cos góc kia, tan góc cot góc ngược lại & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com sin B = AC BC Trang 57 cos B = AB BC tan B = BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II AC AB cot B = AB AC AC AB AC AB sin C = cot C = tan C = BC BC AB AC III Tam giác vuông cân - Nửa tam giác đều: Trong tam giác vng cân: Cạnh huyền = cạnh góc vng x 2 Cạnh góc vng = cạnh huyền x = cạnh huyền x 2 Trong nửa tam giác đều: Cạnh đối diện 600 = cạnh huyền x Cạnh huyền 300 = cạnh huyền Cạnh đối diện 600 = cạnh đối diện 300 x cos C = BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶT BIỆT sin α cos α tan α cot α 300 450 600 2 2 2 3 3 3 YJY Cho tam giác ABC vng A Hãy tính tỉ số lượng giác góc B C biết: AB = 3cm; AC = 4cm AB = 6cm; BC = 10cm 1/ 2/ AC = 5cm; BC = 12cm AB = 5cm; BC = 1Ddm 3/ 4/ 5/ 6/ AC = 2cm; BC = 2cm AB = 3cm; AC = 3cm Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Hãy tính sinB, cosB, tanB, cotB biết: 2/ AB = 30cm; AH = 24cm AB = 9cm; AH = 7, 2cm 1/ 3/ 4/ BH = 2cm; AH = 3cm AH = 6cm; CH = 3cm BH = 25cm; CH = 9cm BH = 9cm; CH = 16cm 5/ 6/ Cho tam giác ABC vng A Tính độ dài cạnh AC, BC biết: & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II 13 4/ 3/ AB = 1cm;sin B = AB = 3cm;cot B = Cho tam giác ABC vuông A Tính độ dài cạnh AB, AC biết: 1/ 2/ BC = 15cm;sin B = BC = 13cm; cosB = 13 3/ 4/ BC = 2cm; tan B = BC = 41cm;cot B = 40 Cho tam giác ABC có cạnh 2a với a > đường cao AH 1/ Tính BH, AH theo a 2/ Tính tỉ số lượng giác góc 30 ; 600 Cho tam giác ABC vng cân A có BC = 2a với a > 1/ Tính AB, AC theo a 2/ Tính tỉ số lượng giác góc 450 Cho tam giác ABC vuông A Hãy điền số thích hợp vào trống (Sử dụng máy tính cầm tay làm trịn kết đến chữ số hàng phần trăm đổi kết đo góc sang độ, phút, giây) 1/ Trang 58 AB = 12cm; tan B = AB 3 2/ AC 12 BC AB = 15cm; cosB = Góc B 300 20 40 150 180 30 100 540 22030 ' 7030 ' Góc C Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng: AB.sin B = AC.sin C Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng: BH = AB.cosB BC = AB.cosB + AC.cos C 1/ 2/ YJY 10 11 12 Cho tam giác ABC vuông A Đặt · ABC = x (0 < x < 900 ) Chứng minh rằng: 1/ 2/ sin x = cos(900 − x) cosx = sin(900 − x) tan x = cot(900 − x) 3/ Tính giá trị biểu thức sau: 1/ A = sin 230 − cos67 3/ C = tan180 − cot 720 Tính giá trị biểu thức sau: 1/ A = sin100 + sin 400 − cos500 − cos800 tan27 tan630 3/ C= cot 630.cot 270 4/ cot x = tan(900 − x) 2/ 4/ B = cos340 − sin 560 D = co t 360 − tan 540 2/ B = cos150 + cos350 − sin550 − sin750 cot 200.cot 450.cot 700 D= tan 200 tan 450.tan 700 4/ YJY 13 14 Tính tỉ số lượng giác góc nhọn sau cách sử dụng máy tính cầm tay làm tròn kết đến chữ số hàng phần nghìn: sin10 ;sin 230 ;sin 450 ;sin 67 ;sin 890 cos10 ; cos230 ; cos450 ; cos67 ; cos890 1/ 2/ 3/ 4/ tan10 ; tan 230 ; tan 450 ; tan 670 ; tan 890 cot10 ;cot 230 ; cot 450 ; cot 67 ; cot 890 · = x (00 < x < 900 ) Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC vuông A Đặt BAC & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 1/ Trang 59 sin x + co s x = BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II 2/ tan x = sin x cos x ; cot x = ; tan x.cot x = cos x sin x 1 = + tan x; = + co t x cos x sin x Tính giá trị biểu thức sau: 2/ 1/ A = sin 220 + cos 220 B = sin 400 + sin 500 3/ 4/ C = co s 200 + cos 700 D = tan150.cot150 6/ 5/ E = tan180.tan 720 F = co t160.cot 740 Tính giá trị biểu thức sau: 1/ A = sin 150 + cos 2150 + sin 750 + cos 750 2/ B = cos 2150 + cos 350 + cos 550 + cos 750 0 0 3/ 4/ C = tan15 tan 35 tan 55 tan 75 D = cot150.cot 350.cot 550.cot 750 Cho x góc nhọn 12 1/ Tính cos x, tan x, cot x biết sin x = 2/ Tính sin x, tan x, cot x biết cosx = 13 Tính sin x, cosx, tan x biết cot x = 3/ Tính sin x, cosx,cot x biết tan x = 4/ Tính giá trị biểu thức sau: 1/ A = (sin 10 + sin 20 + sin 30 + + sin 880 + sin 890 ) − (cos 10 + cos 20 + cos 30 + + cos 880 + cos 890 ) B = tan10.tan 20.tan 30 tan 880.tan 890 2/ C = cot10.cot 0.cot 30 cot 880.cot 890 3/ 4/ D = sin 10 + sin 20 + sin 30 + + sin 880 + sin 890 5/ E = cos 210 + cos 20 + cos 30 + + cos 880 + cos 890 Cho tam giác ABC vuông A Đặt · ABC = x (00 < x < 900 ) Chứng minh rằng: sin x < tan x Cho tam giác ABH vuông H Trên cạnh BH lấy điểm C Đặt · ABH = x, · ACH = y (00 < x, y < 900 ) 3/ 15 16 17 18 19 20 1/ 3/ So sánh x y, AB AC 2/ Chứng minh rằng: tan x < tan y; cot x > cot y Chứng minh rằng: sin x < sin y Cho tam giác ABH vuông H Trên cạnh BH lấy điểm C Đặt · ABH = x, · ACH = y (00 < x, y < 900 ) 1/ So sánh x y 2/ Chứng minh rằng: cos x < cos y 22 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần tỉ số lượng giác sau: 1/ 2/ sin150 ,sin 300 ,sin 450 ,sin 600 , sin 750 cos150 , cos300 , cos450 , cos600 , cos750 4/ tan150 , tan 300 , tan 450 , tan 600 , tan 750 cot150 , cot 300 ,cot 450 , cot 60 , cot 750 3/ 23 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần tỉ số lượng giác sau: 1/ sin110 ,sin 330 ,sin 550 ,sin 77 tan 220 , tan 44 , tan 66 , tan 880 2/ 3/ 4/ sin150 , cos800 , tan 250 , cot 750 sin100 , cos100 , tan 450 , cot 330 21 YJY BÀI TẬP NÂNG CAO Cho 00 < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau: 1/ 2/ sin x + cos x = − sin x.cos x 3/ sin x − cos x = − 2.cos x 4/ sin x + cos x 6/ + = + cos x sin x sin x Cho 00 < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau: 2/ 1/ tan x − sin x = tan x.sin x 1 3/ + =1 4/ tan x + cot x + 5/ 2 5/  + sin x − sin x  +   = tan x + sin x   − sin x & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com sin x + cos x = − 3.sin x.cos x − cos x sin x = sin x + cos x sin x + cos x − 2cos x = − cos x sin x − cos x + cot x − cos x = cot x.cos x cos x sin x + cot x + = sin x − cos x sin x + cos x − cot x 6/  + cos x − cos x  +   = cot x + cos x   − cos x TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com Cho 1/ 3/ 5/ 6/ Cho Trang 60 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II 00 < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x: 2/ A = cos x + sin x.cos x + sin x B = cos x − sin x + 2cos x 4/ D = sin x + cos x − 2sin x − cos x + sin x C = 2(sin x + cos x) − 3(sin x + cos x) E = sin x + cos x + sin x + cos x + 5sin x.cos x F = 2(sin x + cos x + sin x.cos x) − (sin x + cos8 x) 00 < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x: 1/ A = (tan x + cot x) − (tan x − cot x) 3/ C = (sin x + cos x − 1)(tan x + cot x + 2) 4/ E= AB = 2cm, AC = 3cm, · ACB = 300 7/ 8/ AB = 3cm, AC = 4cm, SV ABC = 3cm AB = 2cm, AC = 3cm, SV ABC = 3cm2 10/ AB = 2cm, AC = 4cm, SV ABC = 3cm2 9/ B AC = AB + BC Cho tam giác ABC vng A ( AB < AC ) có đường cao AH đường trung tuyến AM Đặt · ACB = x (0 < x < 900 ) Đặt BC = a; CA = b; AB = c Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: tan 1/ 2/ 3/ a) b) c) 10 2/  − tan x  2 B=  − (1 + tan x )(1 + cot x)  tan x  tan x − cos x cot x − sin x D= + sin x cos x · = 600 6/ AB = 3cm, AC = 3cm, ABC · = 450 AB = 2cm, AC = ( − 2)cm, BAC 5/ cot x − cos2 x sin x.cosx + cot x cot x Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh rằng: · < 900 S · 1/ Nếu BAC AB AC.sin BAC V ABC = ·) · > 900 S 2/ Nếu BAC AB AC.sin(1800 − BAC V ABC = Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh : · < 900 BC = AB + AC − AB AC cos BAC · 1/ Nếu BAC ·) · > 900 BC = AB + AC + AB AC cos(1800 − BAC 2/ Nếu BAC Cho tam giác ABC, tính cạnh BC biết: · = 1200 · = 600 1/ 2/ AB = 1cm, AC = 2cm, BAC AB = 1dm, AC = 5cm, BAC · = 300 · = 450 4/ 3/ AB = 2cm, AC = 3cm, BAC AB = 2cm, AC = 2cm, BAC 5/ Tính độ dài cạnh tam giác AHM theo a; b; c Tính tỉ số lượng giác góc x 2x theo a; b; c Chứng minh: sin x = sin x cos x cos2 x = 2cos x − = cos x − sin x = − 2sin x tan x tan x = − tan x Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD Đặt BC = a; CA = b; AB = c, p = Chứng minh rằng: · · BAC BAC cos 2 1/ · = 2sin sin BAC 2/ · BAC · S SV ABC = AB AC.sin BAC = AB AD sin V ABD 2 & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com a+b+c TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 3/ 11 12 13 14 15 16 17 19 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II 4/ AD = 2bccos b+c A Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD Đặt BC = a; CA = b; AB = c, p = a+b+c Chứng minh rằng: · · BAC BAC AD.c.cos = c + AD − BD 2 AD.b.cos = b + AD − CD 1/ 2/ 2 bcp( p − a) p( p − a) AD = 4/ 3/ AD = · b+c BAC (b + c)cos · = 600 , · Cho tam giác ABC có AB = 2, BAC ACB = 450 Kẻ đường cao AH AK tam giác ABC 1/ Tính AK, BK, CK, BC, AH 2/ Tính tỉ số lượng giác góc 150 750 · Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, ACB = 15 Đ ờng trung trực BC cắt AC M 1/ Chứng minh: sin 2011 B + cos B < 2/ Tính độ dài cạnh AC, BC theo c 3/ Tính tỉ số lượng giác góc 150 750 · Cho t am giác ABC cân A có BAC = 36 Tr ên tia đối tia BC lấy điểm D cho CD = AC Kẻ AH ⊥ BC H Đặt AB = AC = x, bc = y 1/ Chứng minh: ∆ABC đồng dạng với ∆DBA x = y ( x + y ) 2/ Từ tính x AH theo y 3/ Tính tỉ số lượng giác góc 180 72 · = 1080 Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia AB lấy điểm D Cho tam giác ABC cân A có BAC cho · ACD = 720 Đặt AB = AC = x, BC = y 1/ Chứng minh: AD = CD = y 2/ Chứng minh: y = x( x + y ) 3/ Từ tính x AH theo y 4/ Tính tỉ số lượng giác góc 36 54 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, BK, CL Chứng minh rằng: SV AKL AK AL 1/ = = cos A SV ABC AB AC SV HKL = − (cos A + cos B + cos 2C ) Suy ra: cos A + cos B + cos 2C < 2/ SV ABC Cho tam giác ABC có cá đường trung tuyến BM CN vng góc với Đặt BC = a , AC = b AB = c 1/ 18 SV ABD BD c = = SV ABC BC b + c Trang 61 Tính a theo b c 2/ Chứng minh : cot B + cot C ≥ Cho 0 < x < 900 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1/ A = sin x + cos x B = sin x + cos x 2/ C = tan x + cot x 3/ 4/ D = tan x + cot x Cho tam giác Abc vuông A Chứng minh rằng: 1/ 2/ sin 2011 B + cos 2012 B < sin 2011 B + cos B < YJY BÀI : ĐƯỜNG TRÒN Định lý 1: Đường kính vng góc với dây cung chia dây làm hai phần Định lý 2: Đường kính qua trung điểm dây cung khơng qua tâm vng góc với dây Định lý 2: Tam giác nội tiếp đường tròn có cạnh đường kính tam giác vuoâng YJY & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 10 11 12 13 14 15 Trang 62 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II Hình chữ nhật ABCD tâm O Chứng minh: A, B, C, D thuộc đường tròn µ=D µ = 90o Chứng minh: A, B, C, D thuộc đường tròn Tứ giác ABCD có góc B ∆ABC có đường cao BD, CE cắt H Tìm điểm thuộc đường tròn ∆ ABC có M, P, S trung điểm AB, BC, CA chứng minh M, B, S, C thuộc đường tròn (P) Tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc Gọi M, N, R, S trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA chứng minh M, N, R, S thuộc đường tròn Cho (O) dây cung AB = CD OH, OK khoảng cách từ O đến AB CD Chứng minh : AH = CK OH = OK a/ b/ Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB dây CD Vẽ AP, BS, OH ⊥ CD Chứng minh : a/ ABSP hình thang vuông b/ HS = HP PC = DS Cho (O) đường kính AB Vẽ dây cung song song AC vaø BD a/ ∆ACB vaø ∆ADB laø tam giác ? b/ Chứng minh : tứ giác ACBD hình chữ nhật c/ Chứng minh : AC = BD d/ Chứng minh : C, O, D thẳng hàng Cho (O) đường AB = CD H, K trung điểm AB CD Chứng minh : a/ b/ OH ⊥ AB vaø OK ⊥ CD OH = OK Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính BC a/ Dây AB = R Tính cạnh AC góc ∆ABC b/ Dây AB = R Tính cạnh AC góc ∆ABC c/ Bán kính OA ⊥ BC Tính cạnh góc ∆ABC Cho đường tròn ( O, 5cm ) dây AD = 8cm Vẽ đường kính BC qua trung điểm H AD, điểm H nằm hai điểm O C Tính HO, AB, CA Cho (O, R) dây AB = R Vẽ OH ⊥ AB H, OH cắt cung nhỏ AB M cung lớn AB N a/ Tính OH, HM, HN, AM, AN theo R b/ Tìm số đo góc ∆AOB ∆ABC nội tiếp (O, R) có đường cao AH · b/ · , suy BOC · a/ Chứng minh : OA tia phân giác BAC Tính BOH c/ Tính HB, OH, AH theo R d/ AH cắt (O) I Tính BI ∆ABC cân A có AB = 8cm , nội tiếp (0,5 cm) · a/ Chứng minh : OA tia phân giác BAC b/ D điểm đối xứng A qua O, H giao điểm AD với BC Tính BD, BH, BC Cho (O, R) Vẽ bán kính OA, OB với · AOB = 120o , OI đường cao ∆AOB cắt (O) C a/ Chứng minh : I trung điểm AB b/ Tính góc ∆AOB c/ Tính AB, OI theo R d/ Chứng minh : OACB hình thoi Tính SOACB ADO D điểm đối xứng C qua O Chứng minh : DC đường trung trực đoạn AB, tính · Chứng minh: ∆ABD Cho A ∈ ( O, R ) đường kính BC AB = R µ, C µ AC, BH, CH, AH a/ Tính µA , B · = CAH · b/ Vẽ đường cao AH ∆ABC , đường kính AD Chứng minh : BAD c/ Chứng minh : AB AC = AH AD Cho A ∈ ( O, R ) đường kính BC Kẻ AH ⊥ BC , đường kính AD · = CAH · a/ Chứng minh : BAD b/ Chứng minh : AB AC = AH AD e/ 16 17 18 ∆ABC nội tiếp (O), H trực tâm, ( AB < AC ) , AK đường kính a/ c/ Chứng minh : ∆ABK ∆ACK vuông b/ Tứ giác BHCK hình ? Vẽ OM ⊥ BC Chứng minh : M trung điểm BC vaø HK & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com Trang 68 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II a/ Nêu cách dựng : đường tròn (O1) qua A tiếp xúc (O) B, đường tròn (O2) qua A tiếp xúc (O) C b/ Chứng minh : OO1AO2 hình bình hành Tìm đường kính dây BC OO1AO2 hình thoi c/ (O1) cắt (O2) điểm thứ M Chứng minh: M thuộc đường cố định (O, R) (O’, R’) tiếp xúc A BC tiếp tuyến chung (B ∈ (O); C ∈ (O’)) a/ Chứng minh đường tròn đường kính BC tiếp xúc OO’ đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc BC b/ Tính BC theo R, R’ c/ Đường tròn (K; x) tiếp xúc với (O) (O’) BC M Tính x theo R, R’ ·' = 60o Hãy viết hệ thức R R’ d/ Giả sử BOO Cho đường tròn ( O, R ) đường kính AB C thuộc đoạn AB Đường tròn (I) đường kính CA đường tròn (K) đường kính CB a/ Xác định vị trí (I) (K) b/ Đường thẳng vuông góc với AB C cắt (O) D DA cắt (I) M, DB cắt (K) K Chứng minh : MN tiếp tuyến chung (I) (K) c/ Xác định vị trí C thuộc đoạn AB để MN lớn d/ Xác định vị trí C thuộc đoạn AB để SDMCN lớn nhaát Cho ( O ,12cm ) , ( O ',16cm ) cắt A, B OO’ cắt AB I Biết OO’ bội chung 5 10 11 12 13 Tính AB, OI Cho (O1) tiếp xúc (O2) A; (O1) tiếp xúc (O3) B; (O2) tiếp xúc (O3) C AB, AC cắt (O3) D E Chứng minh : DE đường kính (O3) Đường tròn (O) đường kính AB M C, D thuộc đoạn AB, AC cắt BD M Chứng minh : đường kính MN đường tròn (MCD) vuông góc với AB Cho đường tròn (O1; R1) tiếp xúc (O2; R2) Tiếp tuyến chung BC cắt O1O2 A với góc · = 30o Biết BOC · = 108o Tính R1, R2 BAO Cho hai đường tròn (O), (O’) : hai tiếp tuyến chung : EH, GF cắt tiếp tuyến chung AB D, C Chứng minh : AC = BD AB Kẻ tia Bx vuông góc với đoạn AB Laáy O ∈ Bx cho BO = Tia AO cắt (O; OB) D E (D A, O) Đường tròn (A; AD) cắt AB C a/ Chứng minh : DE = AD AE b/ Chứng minh : AC = CB AB c/ Tia BD cắt (A) P Đường thẳng qua D cắt (A) M (O) N Chứng minh : ∆DPM = ∆DBN Điểm P ∈ ( O ) , (P ≠ O) Đường thẳng quay quanh P cắt (O) A, B Chứng minh trung điểm M dây AB luôn di động đường cố định Cho (O) (O’) cắt A B M trung điểm OO’ Đường thẳng vuông góc với AM A cắt (O) (O’) E, F a/ Chứng minh : AE = AF b/ Với cách dựng đường thẳng qua B cắt (O), (O’) H K : BH = BK (O), (O’) tiếp xúc A Tiếp tuyến chung MN cắt tiếp tuyến chung I a/ Chứng minh : ∆MAN ∆OIO’ vuông b/ Xác định vị trí tương đối MN với đường tròn bán kính OO’ c/ Tính SOIO’ biết R = 48cm ; R ' = 27cm Cho hai đường tròn (O, R) vaø (O’, R’) ngoaøi ( R > R ' ) , tiếp tuyến chung AB, A’B’ cắt I a/ Chứng minh : IA = IA ' vaø IB = IB ' b/ M, N trung điểm AB, A’B’ Chứng minh MN ⊥ OO ' c/ Tính AB theo R, R’ d = OO ' & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Trang 69 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II AB tiếp tuyến chung (O; 17 cm) (O’; 10 cm) Biết OO = 21cm AB cắt OO’ I a/ Xét vị trí tương đối (O) (O’) b/ Tính IO ∆ABC vuông A Đường tròn (O1) qua A tiếp xúc BC B, đường tròn (O2) qua A tiếp xúc BC C/ Chứng minh : a/ (O1) tiếp xúc (O2) A b/ Tiếp tuyến AM ∆ABC tiếp tuyến chung (O1) (O2) (O) (O1; R1) (O2; R2) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC với AB = 6cm , AC = 8cm a/ Chứng minh : ∆ABC vuông b/ Tính R1, R2 Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB Vẽ đường tròn (O’) đường kính OA Dây AC (O) cắt (O’) M a/ Chứng minh : (O) (O’) tiếp xúc b/ Chứng minh : O ' M // OC c/ Chứng minh : M trung điểm AC OM // BC d/ ∆ABC nửa tam giác đều, AC = a Tính AB (O, R) (O’, R’) ngoaøi nhau, OO ' = d AB, EF tiếp tuyến chung Tính AB, theo R, R’, d Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB M di động đoạn AB vẽ đường tròn (M) tiếp xúc AB H Vẽ hai tiếp tuyến AC, BD với (M) a/ Chứng minh : C, M, D thuộc tiếp tuyến (O) M b/ Chứng minh : AC + BD không đổi tính AC, BD theo CD c/ Giả sử CD cắt AB K Chứng minh : OA2 = OB = OH OK Cho điểm A, B, C thuộc đường thẳng với AB = BC Vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AB (O’) đường kính BC nửa mặt phẳng Tiếp tuyến chung FG cắt tiếp tuyến kẻ từ A C (O), (O’) D, E Tiếp tuyến chung B cắt DE I a/ Chứng minh : ∆OIO’, ∆DOI, ∆O’IE vuông b/ Tính BI, EG, AD theo O ' C = a c/ Tính SACED theo a Cho (O, R) đường thẳng xy (O) M di động xy, kẻ tiếp tuyến MP, MQ với (O) Kẻ OH ⊥ xy H Dây PQ cắt OH I OM K Chứng minh : a/ b/ PQ luôn qua điểm cố định IO.OH = OK OM = R Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB có hai tiếp tuyến Ax, By Tiếp tuyến M (O) cắt Ax, By C, D a/ Chứng minh : AC + BD = CD ∆COD vuông b/ AM cắt OC E, BM cắt OD F Tứ giác OEMF ? Chứng minh SOEMF = S AMB c/ OM caét EF I Tìm tiếp tuyến I M di động d/ AD cắt BC N, MN cắt AB J Chứng minh : MN // AC N trung điểm MJ e/ Xác định vị trí M để OEMF hình vuông Tính SOEMF biết AB = YJY BÀI : GÓC NỘI TIẾP - GĨC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG I Góc nội tiếp: Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đướng trịn cạnh cắt đường tròn Các định lý: 1 Định lý 1: Số đo góc nội tiếp số đo cung chắn 2 Định lý 2: Hai góc nội tiếp chắmn cung Định lý 3: Hai góc nội tiếp chắn cung Định lý 4: Góc nội tiếp chắn đường trịn góc 900 & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II góc tâm chắn cung Định lý góc tạo tiếp tuyến dây cung: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm nửa số đo cung bị chắn II Trang 70 Định lý 5: Góc nội tiếp = YJY -1 AC = 60o ∆ABC nội tiếp (O, R) có µA = 90o , Sđ » a/ Chứng minh : B, O, C thẳng hàng b/ Tính BC, AB, AC ∆ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt (O) D M trung điểm BC Chứng minh : a/ ∆DBC cân b/ O, M, D thẳng hàng Cho ∆ABC nhọn , đường tròn đường kính BC cắt AB, AC D, E BE cắt CD H a/ H ∆ABC b/ Kẻ HM ⊥ BC M Chứng minh A, H, M thẳng hàng (O) (O’) cắt A, B Vẽ đường kính AOM AON a/ Chứng minh : M, B, N thẳng hàng b/ Qua B kẻ cát tuyến cắt (O) E (O’) F Chứng minh số đo góc EAF không đổi · Tiếp tuyến (O) E tiếp tuyến (O’) F cắt I Chứng minh số đo EIF không đổi ∆ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt (O) M Phân giác đỉnh A cắt (O) N Chứng minh : MN ⊥ BC a/ M, O, N thẳng hàng b/ Cho nửa đường tròn đường kính AB = 10cm C ∈ ( O ) , keû CD ⊥ AB ôû D cho CD = 4cm c/ 10 11 12 13 14 15 16 ∆ACB tam giác ? b/ Tính AD, DB a/ Cho (O) đường kính AB M nửa đường tròn AM BM cắt (O) C, D Chứng minh : MA.MC = MB.MD Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB M ∈ (O), P hình chiếu M lên tiếp tuyến Ax Giả AM = 60o sử Sđ ¼ a/ Chứng minh : MA2 = MP AB b/ Tính MP, AP theo R Cho (O, R) Hai daây AB, CD đường kính EF cắt M Đặt OM = d Chứng minh : MA.MB = MC.MD = ME.MF = d − R Cho (O, R) M cố định (O) Kẻ cát tuyến MAB, MCD tiếp tuyến MT Đặt OM = d Chứng minh : MA.MB = MC.MD = MT = d − R Cho (O) vaø hai dây AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt BC D (O) E Chứng minh : AB = AD AE ∆MAB nội tiếp (O) Tia phân giác góc AMB cắt AB H (O) C Chứng minh : a/ b/ HA.HB = HM HC MH MC = MA.MB Cho (O, R) dây AB = R Vẽ OH ⊥ AB a/ Tính OH theo R, · b/ C thuộc cung AB (lớn) Tính · AOB ACB ? ∆ABC nội tiếp (O, R) Vẽ đường cao AH đường kính AD Chứng minh : AB.BC.CA AB AC = R AH a/ b/ S ABC = 4R · ∆ABC nội tiếp (O, R) đường kính AB Phân giác BAC cắt (O) D a/ Chứng minh : OD ⊥ BC b/ AD cắt BC I Chứng minh : KI ⊥ AB , BD cắt AC K Chứng minh : K thuộc đường cố định C di động KI ⊥ AB c/ Chứng minh : KA.KC = KB.KD ∆ABC nhọn nội tiếp (O) H trực tâm ∆ABC , AH cắt BC A’ (O) E AD đường kính (O) & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 17 18 19 20 21 22 23 Trang 71 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II a/ Chứng minh : AB AC = AD AA ' b/ Chứng minh : H, E đối xứng qua BC c/ Chứng minh : BEDC hình thang cân ∆ABC nhọn Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E D BD, CE cắt H AH cắt BC F Chứng minh : a/ H trực tâm ∆ABC b/ A, E, H, D thuộc đường tròn (I), xác định I c/ AE AB = AH AF = AC AD · = EDH · = ECB · Suy IE, ID tiếp tuyến (O) OD, OE tiếp tuyến (I) d/ EAH (O), (O’) cắt A B M thuộc đường thẳng AB (A M B) MC, MD tiếp tuyến (O) (O’) Chứng minh MC = MD A (O) AB, AC : tiếp tuyến OA cắt cung BC I, H Chứng minh : º = CI º BI b/ I laø tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC a/ IH AB = IA.BH c/ Cho điểm A (O, R) Kẻ tiếp tuyến AB, AC Đường thẳng AO cắt (O) theo thứ tự I, M BC H a/ Giả sử OA = 10 , BH = Tính HO, HA ( HO < HA ) AI AM = AH AO b/ c/ Nếu OA = R Chứng minh : ∆ABC ∆MBC d/ Dùng giả thuyết câu c, tứ giác ABMC hình ? Tính SABMC theo R · = ACB · Chứng minh : MA ∆ABC nội tiếp (O) Lấy M thuộc đường thẳng CB cho MAB tiếp tuyến (O) M ∈ BC (B M C) cho MB.MC = MA2 Chứng minh : MA tiếp tuyến đường tròn (ABC) ∆ABC cân A nội tiếp (O) Phân giác góc B góc C cắt E, cắt (O) F D Chứng minh : EDAF hình thoi YJY PHẦN NÂNG CAO : A (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC X thuộc dây BC KL ⊥ XO ( K ∈ AB, L ∈ AC ) Chứng minh : KX = LX (O) cắt (O’) A B Đường thẳng vuông góc với AB A cắt (O) C (O’) D CB cắt (O’) M, DB cắt · (O) N Chứng minh : AB phân giác MAN Hai hình vuông ABCD BKLN có K thuộc tia AB B nằm A K N thuộc tia BC, AN, AMD cắt DL M Tính · Cho nửa đường tròn (O) đường kính AC, dây AB cố định M di động cung AB, K trung điểm MB, KP ⊥ AM P a/ Chứng minh : KP luôn qua điểm cố định b/ Chứng tỏ K luôn di động đường cố định Cho hình vuông ABCD, M thuộc cạnh CD Đường tròn (O) đường kính AM cắt AB E Đường tròn (O’) đường kính CD cắt (O) D, N DN cắt BC P Chứng minh : CA ⊥ MP a/ E, N, C thẳng hàng b/ ∆ABC đều, đường cao AH M ∈ BC , MP ⊥ AB , MQ ⊥ AC O trung điểm AM a/ Chứng minh : A, P, M, H, Q thuộc đường tròn b/ Tứ giác OPHQ ? c/ Xác định vị trí M ∈ BC để PQ nhỏ Cho ∆ABC Ngoài tam giác dựng hai hình vuông ACA1A2 VÀ BCB1B2 Chứng minh : AB1; BA1; A2B2 đồng qui Cho điểm P cố định (khác O) (O) Hai đường AB ⊥ CD P di động M, N trung điểm AD, BC Chứng minh : MN luôn qua điểm cố định & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II · = BAF · Chứng (O) cắt (O’) A, B Kẻ cát tuyến CAD, EAF ( C , E ∈ ( O ) , D, F ∈ ( O ' ) ) với CAB minh : a/ CD = EF 10 11 Trang 72 BC BF = BE.BD · = OAC · ∆ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao AH Chứng minh : BAH ∆ABC nhọn, AH đường cao K, P điểm đối xứng H qua AB, AC HP cắt AB, AC I, F BF, CI cắt O Chứng minh : O trực tâm ∆ABC Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ôû P A ∈ ( O ) , tieáp tuyeán AB (O’) cắt (O) C AP · = BPD · cắt (O’) D Chứng minh : CPB b/ PA tiếp tuyến (O) A Dây BC song song PA PB, PC cắt (O) K, L Chứng minh : KL qua trung điểm PA Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc M, R > R ' Dây AB (O) tiếp tuyến T AMB (O’) Chứng minh : MT tia phân giác · o · Cho xOy < 90 , (I) tiếp xúc Ox, Oy A, B Từ B vẽ đường thẳng song song với Ox cắt (I) C OC cắt (I) D, BD cắt OA E Chứng minh : a/ ∆OEB đồng dạng ∆DEO b/ OE = AE (O, R) cắt (O, R’) A, B ( R > R ' ) Tiếp tuyến AP (O) (P ∈ O’) dây BD (O) song song dây AP cắt (O’) C Chứng minh : AP CD hình bình hành » Tiếp tuyến C cắt MH O AB , MH ⊥ AB, C ∈ MB Cho nửa đường tròn đường kính AB M ∈ » HM cắt AC D BC E Chứng minh : a/ BCDH; AHCE thuộc đường tròn b/ O đường tròn (D, C, E) (O) đường kính AB E trung điểm OB, dây MN ⊥ AB E, dây MD // AB , I điểm » MB a/ b/ c/ Cho Chứng minh : AP = BN IO cắt PM K Chứng minh OKME hình chữ nhật Chứng minh : KE // PN (O, R) vaø (O, R’) (R > R’) P ∈ ( O ) , Px, Py cắt đường tròn thứ tự A, B, E C, D, F Biết CD < AB Chứng minh : PA = BE a/ b/ Cho (O, R) đường kính AB Hai dây AD, BC AE AD + BE.BC = R A' B BC ' ∆ABC Laáy A ' ∈ AB ; C ' ∈ BC = vaø = AB BC thẳng cắt BC’ D đường tròn E Tính SA’C’E biết PE > PF cắt E (O) Chứng minh : vẽ đường tròn (A’BC’) Qua A’, kẻ đường BC ' = , BD = , DE = , S ∆ABC = 32 Trên cạnh CD hình vuông ABCD ta lấy M (khác C, D) Đường tròn đường kính CD AM cắt N (khác D) DN cắt BC P Chứng minh : AC ⊥ PM Gọi CA, CB tiếp tuyến (O1) Đường tròn (O2) qua C tiếp xúc AB B cắt (O1) M (khác B) Chứng minh : AM chia BC thành đoạn Cho đường tròn (O) tiếp xúc (O’) D Tiếp tuyến (O) A cắt (O’) B, C Chứng minh : A cách đường thẳng BD, CD Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc D Tiếp tuyến A (O’) cắt (O) B, C Chứng minh : A cách BD, CD Cho (O) đường kính EF (O’) tiếp xúc (O) A Đường thẳng vuông góc với EF cắt (O) B tiếp xúc (O’) M Chứng minh : AM qua đầu đường kính EF Cho M (O) Kẻ cát tuyến MAB với (O) Chứng minh : MA.MB không phụ thuộc vào vị trí MAB AB, CD cắt M MA.MB = MC MD A, B, C, D thuộc đường tròn & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 29 30 31 32 33 34 35 37 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II Cho (O) đường kính AB M ∈ ( O ) MH ⊥ AB H Vẽ nửa đường tròn (O1) đường kính AH (O2) đường kính HB MA, MB cắt (O1), (O2) P, Q a/ Đặt AH = a , BH = b Tính PQ theo a, b b/ Xác định vị trí tương đối PQ với (O1), (O2) c/ Xác định vị trí M ∈ ( O ) để MPHQ hình vuông · < 90o A, B ∈ Ox OA = a , OB = a , C ∈ Oy , OC = a Cho xOy OA OC a/ Tính b/ So sánh ∆OAC ∆BOC OC OB c/ Chứng minh : Oy tiếp tuyến C đường tròn (ABC) Cho (O, R), đường kính AB ⊥ CD M thuộc cung AC, kẻ tiếp tuyến cắt AB, CD F, E · = 2MBO · · = 30o Xác định vị trí M AC a/ Chứng minh : MEO b/ Nếu EFO c/ Tính OF, MF, EF, SEOF theo R Cho (O; R), hai đường kính AB ⊥ CD S thuộc tia đối tia CO SA cắt (O) M Tiếp tuyến M cắt CD P BM cắt CD T Chứng minh: b/ a/ PM MA = MT OA PS = PM = PT c/ Cho PM = R Tính TA, SM theo R Cho (O; R) đường kính AB Gọi d tiếp tuyến (O) A T ∈ d, TM tiếp tuyến (O) P, Q : hình chiếu M lên AB d Chứng minh: · · TMP a/ AM = PQ AM, PQ, OT đồng qui I b/ MA tia phân giác QMO c/ ∆AIQ đồng dạng ∆ATM; ∆AIP đồng dạng ∆AOM d/ Tính AQ, AI, AP bieát AT = a (theo a, R) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc A Một cát tuyến quay quanh A cắt (O), (O’) B, C Kẻ đường kính BOD COE a/ Chứng minh : BD // CE D, A, E thẳng hàng b/ Trung điểm M BC luôn thuộc đường cố định c/ Giả sử R = R ' tứ giác BDCE hình ? » Chứng minh: Cho điểm A ∈ ( O ) Đường kính B’OB song song daây CA , A ∈ CB a/ 36 Trang 73 Đường cao BH ∆ABC tiếp tuyến (O) · = BCA · = 90o c/ CAB HB = HA.HC b/ (O, R) dây AM với · AOM = α (0 < α < 90o), tiếp tuyến (O) A cắt OM T Tiếp tuyến (O) M cắt đường thẳng kẻ từ T song song OA N MH đường cao ∆MNT a/ Tính NT, MH theo R α b/ Tính α biết NT = R R c/ Nếu AT = Tính MT, MN, MH theo R Đường tròn (O) đường kính AB D ∈ ( O ) , I trung điểm cung BD, C ∈ OB , IC cắt (O) E Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt DE J Chứng minh : ∆BCJ cân YJY BÀI : GÓC TRONG – GÓC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN TỨ GIÁC NỘI TIẾP – NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Định lý góc có đỉnh bên đường tròn: Số đo cua góc đường trịn = số đo cung chắn II Định lý góc có đỉnh bên đường tròn: Số đo góc ngồi đường trịn = hiệu số đo cung chắn III Tứ giác nội tiếp: I & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com • • • 3 Trang 74 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường trịn Tính chất: Trong tứ giác nội tiếp thì: Hai góc đối bù Góc ngồi góc đối diện với Hai đinh liên tiếp nhìn cạnh phía Cách chứng minh: Có cách: Chứng minh tứ giác có góc đối bù Chứng minh tứ giác có góc ngồi góc đối diện với Chứng minh tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh phía Chứng minh tứ giác có đỉnh cách điểm YJY AB, AC hai dây (O) M trung điểm AB, N trung điểm AC E, H giao điểm MN với AB, AC Chứng minh : AE = AH ∆ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc B, góc C cắt (O) ôû E, F EF caét AB, AC ôû M, N Chứng minh : AM = AN Cho điểm S (O) SA tiếp tuyến, SBC cát tuyến Phân giác góc BAC cắt (O) E, BC D Chứng minh : a/ 10 11 12 b/ ) » = BC » = BD AC =» AD AC = CS CM b/ SA = SD » , tiếp tuyến M cắt AB E, MC cắt AB S (O, R) có đường kính AB ⊥ CD M thuộc BC Chứng minh : a/ » = EB » EC ES = EM c/ P (O, R) Kẻ tiếp tuyến PA B trung điểm PA, cát tuyến BCD (C B D) a/ Chứng minh : BA2 = BC.BD b/ PC, PD cắt (O) E, F Chứng minh : PE.PC = PF PD = AB I ∈ dây AB (O) (IA > IB) D trung điểm cung AB Dây DC qua I Tiếp tuyến (O) C cắt AB K a/ Chứng minh : KI = KC b/ E điểm đối xứng I qua K, EC cắt (O) ởM Chứng minh : M, O, D thẳng hàng c/ Chứng minh : CA.CB = CI CD A (O, R) với OA = R Đường tròn (I) đường kính OA cắt (O) B, C a/ Chứng minh : AB, AC tiếp tuyến (O) Tính AB, AC b/ Tứ giác ABOC ? c/ OA cắt (O) D, E AMN cát tuyến (O) Chứng minh : AD AE = AM AN = số d/ Trung điểm K MN luôn di động đường cố định nào? e/ AK cắt BC J Chứng minh : O, K, I, J thuộc đường tròn AJ AK = AB ∆ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Tìm tất tứ giác nội tiếp hình vẽ ∆ABC nội tiếp (O) Dây MN ⊥ OA cắt AB, AC D, E Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp ∆ABC nội tiếp (O) có Ax tiếp tuyến Đường thẳng song song với Ax cắt AB, AC D, E Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp ∆ABC nhọn nội tiếp (O) Đường tròn (I) đường kính BC cắt AB, AC D, E xy tiếp tuyến (O) A a/ Chứng minh : AD AB = AE AC vaø DE // xy b/ K laø trung điểm DE Chứng minh : IK ⊥ xy ∆ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt ôû H & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 13 14 Trang 75 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II a/ Tìm tứ giác nội tiếp hình b/ Chứng minh : H tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF c/ Chứng minh : A, B, C tâm đường tròn bàng tiếp ∆DEF ∆ABC nhọn nội tiếp (O) M ∈ cung BC, kẻ MH, MI, MK vuông góc với AB, BC, CA H, I, K Chứng minh : H, I, K thẳng hàng (Đường thẳng simson) ∆ABC nhọn Hai phân giác đỉnh B, C cắt E, phân giác đỉnh B, C cắt F Cho a/ b/ c/ · =α BAC Tính góc BFC theo α I trung điểm EF Chứng minh tứ giác ABIC nội tiếp ·=· Lấy M ∈ BC cho MIC AIB Chứng minh : AB.CI + AC.BI = BC AI YJY PHẦN NÂNG CAO : · < 90o điểm O xAy · Dựng đường tròn (O) cho Ax cắt (O) B, C, Ay cắt (O) Cho xAy » để CF » = BD » Chứng minh : DF // BC D, E Laáy F ∈ CE » , CA », » AB Chứng minh : ∆ABC nội tiếp (O) A1, B1, C1 thuộc BC a/ Nếu AA1, BB1, CC1 phân giác ∆ABC đường cao ∆A1B1C1 b/ Nếu AA1, BB1, CC1 đường cao ∆ABC phân giác ∆A1B1C1 ∆ABC nội tiếp (O) M, N, P trung điểm cung AB, cung BC, cung CA AB cắt MN I, AN cắt BP K Chứng minh : a/ ∆BNK caân b/ AI BN = IB AN c/ IK // BC C trung điểm cung AB (O), D thuộc cung AB lớn, E thuộc cung BC CE cắt AB S, AB cắt CD I Chứng minh : a/ CB tiếp tuyến đường tròn (SBE) CB = CS CE b/ IA.BD = DA.IB Cho (O) dây AB Lấy C thuộc tia đối tia BA Gọi CM, CN tiếp tuyến (O) (M ∈ cung AB nhỏ, N ∈ cung AB lớn) D trung điểm cung AB lớn DM cắt AB E I trung điểm AB Chứng minh : a/ b/ CM = CE EA.NB = NA.EB c/ M, C, N, O, I thuoäc đường tròn µ F µ cắt K Chứng A, B, C, D ∈ (O) AB cắt CD E AD cắt BC F Phân giác E minh: EK ⊥ FK AB qua I CF, ED cắt AB M, N (O) dây AB I trung điểm AB Hai dây CD, EF C , E ∈ » ( ) Chứng minh : IM = IN 10 11 · = 45o Ax cắt BC, BD E, F Ay cắt CD, BD G, H Chứng minh : Hình vuông ABCD, xAy AE AF = AG AH Cho ∆ABC Đường tròn (O) qua A, B cắt AC, BC D, E M giao điểm thứ đường tròn (ABC) đường tròn (DEC) Chứng minh : · = 90o a/ Tứ giác BODM nội tiếp b/ OMC ∆ABC có đường cao AH H1, H2 điểm đối xứng H qua AB, AC H1H cắt AB, AC K I Chứng minh: AH, BI, CK đồng qui ∆ABC trực tâm H Từ A, H kẻ đường thẳng m // n Đường thẳng qua B vuông góc với m M1 vuông góc với n N1 , đường thẳng qua C vuông góc với m M2 vuông góc với n N2 Chứng minh: BH, M1N2, AC đồng qui CI, M2N1, AB đồng qui & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 12 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II ∆ABC nội tiếp (O) M di động đoạn BC Đường tròn (I) qua B, M tiếp xúc AB B đường tròn (J) qua M, C tiếp xúc AC C/ (I) cắt (J) điểm thứ N (N ≠ M) Chứng minh : a/ N ∈ (O ) b/ 13 Trang 76 Đường thẳng MN luôn qua điểm cố định · = 90o A ∈ Ox , B ∈ Oy với OA = OB , Az cắt Oy M ( M ∈ OB ) BH ⊥ AM H cắt AO xOy I a/ So sánh OM OI, nhận xét tứ giác OMHI b/ OK ⊥ BI K Chứng minh : OK = KH K thuộc đường cố định 14 15 16 17 18 Trong ABCD hình vuông vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AD, cung AC tâm D P ∈ » AC , DP cắt (O) K PH ⊥ AB H Chứng minh: PK = PH AC MH ⊥ AC, MK ⊥ BC Gọi E, F trung điểm AB, HK Chứng ∆ABC nội tiếp (O) M ∈ » · = 90o minh: EFM ∆ABC coù A1, B1, C1 ∈ BC, CA, AB Chứng minh đường tròn (AB1C1); (BA1C1); (CA1B1) giao điểm M di động đoạn AB Mx1 ⊥ AB Lấy C, D thuoäctia Mx cho MC = MA ; MD = MB Đường tròn (AMC) tâm O1 đường tròn (BMD) tâm O2 cắt N khác M a/ Chứng minh : A, N, D B, C, N thẳng hàng b/ Nhận xét A, B, C, D điểm lại c/ Chứng minh : MN qua điểm cố định ∆ABC cân B xBy // AC O di động xy Đường tròn (O) tiếp xúc AC D, cắt AB, BC E, F Chứng · không đổi minh số đo EDF 19 », » A, B, C thuộc (O) M, N, P trung điểm » AB , BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E AN cắt BC D Chứng minh : a/ ∆BNI caân b/ AE.BN = EB AN c/ 20 22 23 24 26 b · = CND · = 90o Chứng minh : Hình thang vuông ABCD (BC // AD ) : M, N thuoäc AB cho CMD S ABCD = S MCD + S NCD ∆ABC nội tiếp (O) A1, B1, C1 đối xứng A, B, C qua O A0, B0, C0 trung điểm BC, CA, AB Chứng minh : A1A0, B1B0, C1C0 đồng qui · cố định Đường tròn (I) di động luôn tiếp xúc Ox A A cố định thuộc tia Ox xOy cắt Oy B, C Chứng minh tâm J đường tròn nội tiếp ∆ABC luôn thuộc đường cố định ∆ABC có BC = a , AC = b , AB = c Chu vi = 2p S : diện tích Gọi r, rA; rB; rC : bán kính nội tiếp bàng tiếp góc A, góc B, góc C D, E, F : tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn nội tiếp F’, E’ tiếp điểm AB, AC với đường bàng tiếp góc A Chứng minh : a/ b/ AE ' = AF ' = p AE = AF = p − a c/ 25 AN AB = BN BD ∆ABC vuoâng B, AC = b Phân giác góc B, góc C cắt I Chứng minh : I thuộc đường tròn bán kính : 21 d/ EI // BC S = pr = ( p − a ) rA = ( p − b ) rB = ( p − c ) rC d/ S= p ( p − a )( p − b )( p − c ) Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến (O) A, C cắt tiếp tuyến (O) A M, · N BP đường cao ∆ABC Chứng minh BP tia phân giác MPN Cho hình bình hành ABCD Đường tròn (O1, R) qua A, B vaø (O2, R) qua B, C (O1) cắt (O2) M ≠ B Chứng minh bán kính đường tròn (AMD) R & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoaïi: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Trang 77 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II ∆ABC nội tiếp (O) D trung điểm cung BC Đường tròn qua A, D cắt AB, BD, AC E, F, G Chứng minh : a/ D trung điểm cung EG b/ EP song song với đường cố định ∆ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A, góc B, góc C cắt (O) A’, B’, C’ Chứng minh : AA '+ BB '+ CC ' > AB + BC + CA ∆ABC nội tiếp (O) có H trực tâm I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Giả sử I ∈ OH Chứng minh : ∆ABC cân ∆ABC có BN phân giác O tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC AI ⊥ BN I, cắt BC H Chứng minh : A, O, H, C thuộc đường tròn Hai đường thẳng xy, x’y’ cắt M A ∈ Mx , C ∈ Mx ' B, F thuộc tia My (B M F) D, E’ thuộc tia My’ (D M E) Biết MA.MB = MC MD MD.ME = MB.MF Chứng minh : a/ A, B, C, D thuộc đường tròn B, D, E, F thuộc đường tròn b/ AC // BF (O) cắt (O’) M, P Dây MA (O1) tiếp tuyến (O2) M Dây MB (O2) tiếp tuyến (O1) M HP = PM (H ∈ tia đối tia PM) Chứng minh tứ giác MAHB nội tiếp Hình thang ABCD nội tiếp (O) AC cắt BD AD cắt BC F Chứng minh : a/ A, D, O, E thuộc đường tròn b/ Tứ giác AOCF nội tiếp C góc AOB CD ⊥ OA; CE ⊥ OB DN ⊥ OB, EM ⊥ OA Chứng minh : OC ⊥ MN Tứ giác ABCD có AB cắt DC E; AD cắt BC F Chứng minh đường tròn (AED), (EBC), (ABF), (CDF) qua điểm Tứ giác ABCD nội tiếp (O) BA cắt CD M; BC cắt AD N Đường tròn (BMN) cắt (O) B’ ≠ B Dựng hình bình hành MDNK Chứng minh : a/ K thuộc đường tròn (BMN) b/ DB’ qua trung điểm MN Cho ∆ABC , phân giác góc B phân giác góc C cắt M Phân giác góc C phân giác góc B cắt N P trung điểm MN Chứng minh P thuộc đường tròn (ABC) Cho hai đường tròn (O1) cắt (O2) A, B Cát tuyến qua A cắt (O1), (O2) M, N Tiếp tuyến A (O1) (O2) cắt BN, BM P, Q Chứng minh : PQ // HN 39 Cho ∆ABC Nửa đường tròn (O) tiếp xúc AC; BC K, I có O ∈ AB Tiếp tuyến với (O) cắt BC, AC M, N KI cắt OM; ON P, Q Chứng minh : MN = PQ 40 A, B, C, D theo thứ tự ∈ (O) với AB = BD , AB cắt CD E Tiếp tuyến (O) A cắt BC Q Chứng minh : QE // AD 41 A, B, D, C ∈ (O) (theo thứ tự) AB cắt CD E Đường thẳng từ E song song với AD cắt CB F FG : tiếp tuyến (O) G Chứng minh : a/ 42 43 ·= Sñ EFC ( » Sñ » AB + SđCD ) b/ FG = FE ∆ABC nội tiếp (O) Dây DD’ // BC AD’ cắt BC E (D’, B thuộc nửa mặt phẳng đối bờ AC) a/ So sánh ∆ABD ∆AEC, ∆ABE ∆ADC b/ Chứng minh : AD AE = AB AC c/ AC cắt DD’ F, chứng minh ∆AFD đồng dạng ∆AD’B d/ Chứng minh : EC EB = ED '.EA ACB cắt AB Dây AB (O) M ∈ tia đối tia BA Tiếp tuyến MC, MD (O) Phân giác · E Chứng minh : ADI a/ b/ DE tia phân giaùc · MC = MB c/ I : trung điểm dây AB Chứng minh đường tròn (MCD) qua điểm cố định · d/ IM tia phân giác CID 44 e/ Vị trí M thuộc đường thẳng AB để ∆MCD ∆ABC nội tiếp (O) Phân giác góc ABC góc ACB cắt (O) D, E/ DE cắt AB, AC F, G & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com Trang 78 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II Chứng minh AF = AG AH ⊥ BC Đường thẳng vuông góc với AB B cắt đường thẳng vuông góc với AH A K Giả sử BC = 3a , AK = a , AK = a Tính BA, AC, CK ∆ABC nội tiếp (O) có G : trọng tâm, H : trực tâm Chứng minh: a/ AH lần khoảng cách từ O đến BC b/ H, G, O thẳng hàng GH = 2GO ∆ABC nội tiếp (O) M thuộc cung BC D thuộc MA với MD = MB Chứng minh : MA = MB + MC a/ ∆BMD b/ ∆ABC có R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp RA, RB, RC/ Bk đường tròn bàng tiếp góc A, góc B, góc C S : diện tích, P : nửa chu vi 1 1 a/ Tính r, R, RA, RB, RC theo S, P, a, b, c b/ Chứng minh : + + = hb hc r 1 1 + + = c/ RA RB RC r a/ b/ 45 46 47 48 ∆ABC nội tiếp (O, R) đường cao AH r, r1, r2 bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC, ∆ABH, ∆ACH Chứng minh : AH = r + r1 + r2 a/ AB + AC = (R + r) b/ 49 ∆ABC nhọn nội tiếp (O) có AH, AD đường cao, phân giác/ Chứng minh : · = CAO · a/ b/ BAH AD = AB AC − BD.DC ∆ABC vuông A Trên BC lấy BD = BA ; CE = CA a/ DE đường kính đường tròn nội tiếp ∆ABC · b/ Tính DAE O, O1 : Tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A ∆ABC Đường tròn (ABC) cắt OO1 M a/ Chứng minh : M trung điểm OO1 b/ Giả sử BC = 1, r, rA : bán kính (O) (O1) Tính SABC (theo r) biết rA = 2r 50 51 52 ∆ABC vuông A, tiếp tuyến AM Đường tròn nội tiếp ∆ABM tiếp xúc AM K a/ Tính góc ∆ABC K trung điểm AM b/ D tiếp điểm BC với đường tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh S ∆ABC = DB.DC 53 ∆ABC có phân giác AD Đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc BC D cắt AB, AC E, F Chứng minh : a/ EF // BC AE AC = AF AB = AD b/ ∆ABC AD, AM : phân giác, tiếp tuyến Đường tròn cắt AB, AC E, F Chứng minh : AB BE DB a/ b/ BE = CF = = AC CF DC Chứng minh : a/ Nếu tứ giác nội tiếp tích đường chéo tổng tích cạnh đối diện b/ Nếu tứ giác không nối tiếp tích đường chéo nhỏ tổng tích cạnh đối diện AB, BC, CD, DA tiếp xúc với (O) M, N, P, Q Chứng minh : µ µA = C µ MP = NQ a/ Nếu có MP = NQ µA = C b/ 54 56 57 58 59 60 Tứ giác ABCD có AC ⊥ BD O DE ⊥ AB ; OF ⊥ BC ; OG ⊥ CD ; OH ⊥ DA Chứng minh tứ giác EFGH nội tiếp (O) đường thẳng xy OA ⊥ xy Cát tuyến ABC với (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt xy D, E Chứng minh A trung điểm DE P (O) PA, PB : tiếp tuyến (O) M ∈ AB Đường thẳng ⊥ OM M cắt IA, PB C, D/ a/ Chứng minh : MC = MD b/ I thuộc cung AB H, K, L : hình chóp I lên BA, IA, PB Chứng minh: KH IL = IH HL HL & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Trang 79 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II Tứ giác ABCD nội tiếp (O) M ∈ cung DC E, F, G, H : hình chóp M lên AB, BC, CD, DA Chứng minh : ME.MG = MF MH ∆ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt D Cát tuyến DEF cắt AC I Giả sử DEF song song AB Chứng minh : a/ B, O; I, C, D thuộc đường tròn b/ IE = IF ∆ABC cân A Đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC B, C M thuộc cung BC Kẻ MD, ME, MF vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh : a/ Tứ giác MDBF MDCE nội tiếp b/ ∆FBM đồng dạng ∆DCM, ∆DBM đồng dạng ∆ECM c/ MD = ME.MF ∆ABC nhọn Ngoài ∆ dựng ∆ A1BC; B1AC; C1AB O1, O2, O3 : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh : a/ b/ (O1), (O2), (O3) cắt điểm AA1 = BB1 = CC1 ∆O1O2O3 c/ · = PDA · Chứng minh : PAB · = PCB · P hình bình hành ABCD với góc PBA ∆ABC có AH, AM, AD đường cao, trung tuyến, phân giác a/ Chứng minh : D nằm H M b/ Giả sử đường tia phân giác góc hợp tia Tính µA ∆ABC nội tiếp (O) M ∈ BA , N ∈ CA với BM = CN a/ Chứng minh : MN luôn qua trung điểm D cung BAC b/ Phân giác góc BAC cắt (O) E Đường tròn (O’) qua A, E cắt AB, AC P, Q Chứng minh : BP = CQ Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Chứng minh đường tròn (ABC) tiếp xúc đường tròn (ACD) (O1) tiếp xúc (O2) E AB, CD tiếp tuyến chung (A, D ∈ (O1)) Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ∆ABC vuông A, cao AH Đường tròn (O) đường kính AH cắt AB, AC E, F/ a/ Chứng minh : AEHF hình chữ nhật E, O, F thẳng hàng b/ Tiếp tuyến (O) E, F cắt BC M, N Chứng minh : M, N trung điểm HB HC c/ Chứng minh : ∆MON vuông vaø chu vi (MON) = chu vi (ABC) Tính SMEFN biết AB = 8cm , AC = 19cm ∆ABC vuông A D thuộc cạnh AC Đường tròn (O) tiếp xúc BC S BT tiếp tuyến (D) M trung điểm BC, AM cắt BT N Chứng minh : AN = NT ∆ABC cân A P ∈ BC Đường tròn (O1) qua P, tiếp xúc AB B, đường tròn (O2) qua P tiếp xúc AC C B (O1) cắt C (O2) Q I : trung điểm O1O2 chứng minh P chạy BC Q cố định I di động đường thẳng cố định Cho ∆ABC trực tâm H (O1), (O2), (O3) đường tròn ngoại tiếp ∆AHB, AHC, BHC, ABC Chứng minh : ∆O1O2O3 = ∆ABC a/ (O1), (O2), (O3) baèng b/ d/ 71 72 73 74 75 Cho tứ giác ABCD hình bình hành Đường tròn (BCD) cắt AC M Chứng minh BD tiếp tuyến chung đường tròn (AMB) (AMD) · = 90o A cố định thuộc tia Ox, M di động thuộc tia Oy Hình vuông AMNP nằm góc Góc xOy xOy AN cắt MP I a/ Chứng minh tứ giác AOMI nội tiếp · = 30o OA = a b/ Tính SAMNP, S AOMI biết OAM c/ Tìm tập hợp N, P & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 76 78 79 80 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II · < 90o quay quanh P, Px, Py cắt (O) A, B P cố định thuộc (O, R), xPy a/ Chứng minh độ dài AB không đổi b/ Vẽ hình bình hành APBM Chứng minh trực tâm P’ ∆ABM thuộc (O) c/ Gọi H trực tâm ∆APB, I trung điểm AB Chứng minh : H, I, P’ thẳng hàng d/ Nếu AB = a Tính OI theo R a e/ 77 Trang 80 · quay quanh P, H chạy đường ? Khi xPy (O, R) (O’; r), ( R > r ) tiếp xúc M OO’ cắt (O) C (O’) D Tiếp tuyến chạy AB cắt OO’ H Tiếp tuyến chung M cắt AB I Chứng minh : AB = R.r a/ ∆OIO’ vaø ∆AMB vuông b/ c/ Tia AM cắt (O’) A’, BM cắt (O) B’ Chứng minh : A, O, B’ A’, O’, B thẳng hàng CD = BB '2 + AA '2 d/ AM caét OI N; BM cắt O’I N’ Tính MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R vaø r e/ Giả sử R = 3r Tính SINMN’ ∆ABC M ∈ CB , N ∈ CA với BM = CN a/ Chứng minh I luôn di động đường cố định b/ Xác định vị trí M, N thuộc CB CA để MN nhỏ ∆ABC nhọn nội tiếp (O), trực tâm H, M thuộc cung BC Gọi N, E điểm đối xứng M qua AB, AC a/ Xác định vị trí M để BHCM hình bình hành b/ Chứng minh : N, H, E thẳng hàng c/ Xác định vị trí M để NE lớn (O, R) (I, r) đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ∆ABC d = OI Chứng minh : R − d = R.r Từ suy R > 2r YJY BÀI : ĐA GIÁC ĐỀU NỘI TIẾP Tứ giác ABCD nội tiếp (O, R)’ coù AB = R , BC = R , CD = R Tính : a/ Số đo : cung AB, cung BC, cung CD, cung DA độ dài AD µ µ,C µ µ, D b/ A, B c/ Khoảng cách từ O đến AB, BC, CD, DA » = 90o vaø AD laø cạnh hình Tứ giác ABCD nội tiếp (O, R) có AB : cạnh lục giác đều, SđBC vuông a/ Tính độ dài AB, BC, AD b/ Tính số đo cung BD c/ Chứng minh : ABCD hình thang cân AC ⊥ BD d/ Tính AC, BD theo R Trong (O, R) có dây AB = R Tiếp tuyến OA, B (O) cắt C a/ Tứ giác ACBO hình ? b/ OC cắt (O) I BA H Tính OH, HI, AI theo R c/ AI tia phân giác góc CAB ∆ABC có AB, AC, BC cạnh lục giác đều, ∆ nội tiếp (O, R) a/ Tính bán kính đường tròn (ABC) theo R b/ AH đường cao ∆ABC Tính AH (theo R) » = 90o , Sñ BC » = 30o A, B, C theo thứ tự thuộc (O, R) với Sđ AB a/ Tính AB, AC theo h b/ AH : đường cao ∆ABC Tính HA, HB, HC theo R c/ Tia đối tia OH cắt AC (lớn) D Chứng minh : HD trung trực AC ∆ACD ∆ABC vuông A nội tiếp (O, R) có AB = R & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com Trang 81 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II a/ b/ c/ 10 11 Chứng minh : B, O, C thẳng hàng Đường tròn (I) đường kính OA Chứng minh: (I) (O) tiếp xúc (I) cắt BC AB, AC H, D, E Chứng minh: AH, DE : đường cao, đường trung bình ∆ABC d/ Tính góc AOC diện tích phần mặt phẳng giới hạn cung AC (O), góc AEO (I) đoạn OC theo R A ∈ (O) đường kính BC D ∈ OC, đường thẳng vuông góc với BC D cắt (O) I, K, cắt AB < AC E, F CE cắt (O) J Tiếp tuyến A (O) cắt EF M Chứng minh : FA.FC = FE.FD a/ D trung điểm IK b/ c/ B, J, F thẳng hàng d/ M trung điểm EF Tính cạnh, trung đoạn bát giác nội tiếp (O, R) A, B, C thuộc đường thẳng xy Chứng minh độ dài nửa đường tròn bán kính AC tổng độ dài nửa đường tròn đường kính AB AC Giả sử có n điểm A1, A2,…, An ∈ đường thẳng xy Chứng minh độ dài đường tròn đường kính A1An = tổng độ dài đường tròn đường kính A1A2,…, An – 1An Đường tròn (O) bán kính OM Đường tròn (O’) đường kính OM Bán kính OA (O) cắt (O’) B Chứng minh : l» = l¼ AB MB · R CO' D = · R' AOB 12 Cung AB thuoäc (O, R); cung CD thuộc (O’, R’) l» = lCD » Chứng minh : AB 13 » = 30o Tính l theo R A,B,C ∈ ( O,R ) với AB = R ; SđBC » AC 14 15 Vẽ đường tròn (O; R1) (O; R2) (R1 > R2) Tính diện tích S hình vành khăn theo R1, R2 ∆ABC cạnh a nội tiếp (O) Vẽ đường tròn qua O cặp đỉnh Gọi S diện tích phần bị gạch Tính S theo a Cho (O; R) OA = R Hai tiếp tuyến AB, AC Tính diện tích phần tứ giác OBAC nằm (O) M ∈ đoạn AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ n đường tròn đường kính AM, MB, AB Xác định vị trí M cho diện tích hình giới hạn nửa nửường tròn đạt giá trị lớn Cho S1 = diện tích hình tròn (O1; R1); S2 = diện tích hình tròn (O2; R2) S3 = diện tích hình tròn (O3; R3) tiếp xúc tiếp xúc đường thẳng (d) R3 1 = + a/ Chứng minh : R3 R1 R2 16 17 18 b/ 19 Tìm giá trị lớn S1S2 theo độ dài cho trước R3 Cho (O; R), đường kính AB ⊥ CD Dựng đường tròn (D; DA) cắt CD E S diện tích giới hạn ¼ Chứng minh: S = S ¼ AEB ACB ∆ADB 20 21 22 23 24 25 Phân giác KN, IP ∆KIM cắt Q với PN = 1cm , đỉnh M thuộc đường tròn (NPQ) Tính độ dài cạnh số đo góc ∆PNQ Cho (O1R1) (O; R2), (R1 > R2) Bán kính OA, OB (O1R1) cắt (O; R2) A’, B’, M, N : trung điểm AA’, BB’ S : diện tích hình giới hạn cung AB, cung A’B’ đoạn AA’, BB’ Chứng minh : S = ( R1 − R2 ) lMN ¼ với cung MN đường tròn (O, OM) Cho ∆ABC cạnh cm, nửa đường tròn đường kính BC nửa mặt phẳng với A Tính diện tích phần hình tròn tam giác ∆ABC vuông A có BC = 4cm M, N, P trung điểm AB, BC, CA : Tính diện tích hình tròn (MNP) Hình vuông ABCD EFGH ngoại tiếp nội tiếp hình tròn (O, R) S : diện tích phần mặt phẳng nằm hình vuông ABCD hình vuông EKGH Biết diện tích hình tròn (O) = 4π cm2 Tính S Chu vi hình vuông chu vi hình tròn Hình diện tích lớn hơn? & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 www.luyenthiminhtri.com 26 27 29 30 31 32 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II ∆ABC ngoại tiếp (O) Các tiếp tuyến (O) song song với cạnh ∆ABC , cắt cạnh ∆ tạo thành lục giác/ Chứng minh lục giác đường chéo đồng qui cạnh đối (O) cắt (O’) A, B Các bán kính (O) qua A B tiếp tuyến (O’) ngược lại · = BAO' · Tính : AB = 6cm OAB a/ 28 Trang 82 Bán kính (O) (O’), l¼ , l¼ , l¼ , l¼ AmB AnB Am' B An' B b/ SAOBO’ Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính BC A thuộc tia đối tia CB AF tiếp tuyến (O) AF cắt tiếp tuyến Bx D 4R a/ Chứng minh : ∆OAF đồng dạng ∆ABD Tính OA, BD, AD biết AF = OM ⊥ BC cắt AD M Tính MF, DM b/ c/ Chứng minh : ∆MDO cân d/ Tính SDOM, SBOMD 5π R Cho (O, R) vaø lAB » = a/ Tính · AOB b/ Xác định C thuộc cung AB lớn biết CH ⊥ AB CH ⊥ AB H HA = HC c/ Tính l» d/ Tính độ dài cạnh SABC AC ∆ABC cạnh cm Đường tròn (O1), đường kính AH : đường cao đường tròn (O2) nội tiếp ∆ABC S : diện tích hình O1 ∆ABC (O2) Tính S Cho (O; R) (O; 2R) Kẻ tiếp tuyến M với (O, R) cắt (O; 2R) A, B OM cắt (O; 2R) C a/ Chứng minh: ∆OBC Tính diện tích S hình viên phân ACB b/ Kẻ tiếp tuyến AN (O; R) S’ : diện tích hình giới hạn AM, AN, cung MN (O, R) Chứng minh : S + S’ = diện tích đường tròn (O; R) µ = 60o , AB = a ABx · = 120o (Bx nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A) A = 90o , B ∆ABC có µ Đường thẳng vuông góc với BC C cắt Bx D Chứng minh : SABC = a/ Chứng minh : ∆ABC đồng dạng ∆CBD b/ SABCD Xác định tâm đường tròn (ABC) M thuộc tia đối tia AB với AM = AB Xác định vị trí E để BMCE hình thoi Tính SBMCE ME d/ Tính diện tích phần chung đường tròn (ABC) tứ giác ABCD Cho ∆ABC nội tiếp (O, R) Trong tam giác vẽ nửa đường tròn đường kính AB, AC cắt D a/ Chứng minh D ∈ BC b/ Tính S∆ABC c/ 33 c/ d/ Tính diện tích phần chung nửa hình tròn tam giác ∆ABC Tính diện tích giới hạn cung BD, cung DC, cung BC YJY CHÚC CÁC EM ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 & Năm học 2014 - 2015 www.luyenthiminhtri.com TRUNG TÂM BDVH MINH TRÍ 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 0983 790 520 – 0909 295 017 ... 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 098 3 790 520 – 090 9 295 017 www.luyenthiminhtri.com 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Trang 69 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II AB tiếp tuyến chung (O; 17... 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 098 3 790 520 – 090 9 295 017 www.luyenthiminhtri.com 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Trang 79 BIÊN SOẠN : TỔ TỐN CẤP II Tứ giác ABCD nội tieáp (O)... 1157/36 Hồng Sa, P 5, Q Tân Bình TP.HCM Điện thoại: 098 3 790 520 – 090 9 295 017 www.luyenthiminhtri.com 76 78 79 80 BIÊN SOẠN : TỔ TOÁN CẤP II · < 90 o quay quanh P, Px, Py cắt (O) A, B P cố định thuộc