01 Goc giua hai duong thang LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề Hình học không gian Tài liệu tham khảo GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ AB = u o o CI AC CI AC Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI = a 3 →cos(CI AC[.]
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian Tài liệu tham khảo: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng I TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN 1) Góc hai véc tơ AB = u o CI AC CI AC o LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian Tứ diện ABCD cạnh a, CI trung tuyến tam giác ABC nên CI = a3 ( →cos CI AC; ) = CI AC ( ) Ta có CI AC = CI AI + IC a = CI AI + CI IC Do ∆ABC nên CI ⊥ AI ⇔ CI AI = ( Đồng thời, CI IC = CI IC cos CI IC; ) = ( Thay vào (2) ta ( )2 ⇔ cos CI AC; ) a3 a3 3a2 = 3a2 cos1800 = − ( 3a2 →CI AC.= − → CI AC; ) =150 3a2 =− ,( )2 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học không gian b//b′ Nhận xét: ( ) + Giả sử a, b có véc tơ phương tương ứng u; v u; v (a; b)= φ = φ ; 0o ≤ ≤φ90o Khi đó, (a; b)=180 o −φ ; 90o < φ ≤180o + Nếu a // b a ≡ b (a; b)= o Các xác định góc hai đường thẳng: Phương án (sử dụng định nghĩa) Phương án a // a′- Lấy điểm O thuộc a ′ Tạo đường →(a,b) = (a ,b′ ) b // b′ - Qua O, dựng đường ∆ // b →(a,b) = (a,∆) Chú ý: Các phương pháp tính tốn góc hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vng dùng cơng thức tính tốn tam giác vng: sin, cosin, tan, cot Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TỐN Chun đề Hình học khơng gian Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = ABCD hình chữ nhật nên BD = Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = 13a2 Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cosIOB = OI 10a2 + OB2 − IB2 = + 7a2 −4 = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN = (SC;BD ) → IOB = arccos 130 Chun đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian a) Do DC//AB→ (DC,SB) = (AB,SB) = α Tam giác SAB vng A nên α góc nhọn, tanα = SA → =α30o 2a = = AB 2a Vậy góc hai đường thẳng DC SB 30o b) Gọi I trung điểm AB, AI = a Tứ giác ADCI hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên hình thoi Lại có góc A, D vng nên ADCI hình vng cạnh a → =DI a mặt khác, tứ giác BIDC hình bình hành (do cặp cạnh DC BI song song nhau) nên BC // DI Khi đó, (SD,BC)=(SD,DI)=β Chứng minh hai véc tơ phương hai đường thẳng vng góc với nhau, u.v = Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, Ví dụ Cho tứ diện ABCD AB = AC = AD = a, BAC = 60o, BAD = 60o, CAD = 90 o Gọi I J trung điểm AB CD a) Chứng minh IJ vng góc với hai đường AB CD b) Tính độ dài IJ Hướng dẫn giải: b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông I ta LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian IJ = a2 −a =a − = AJ AI 2 ậ V y IJ = a/2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Hướng dẫn giải: Chứng minh: SA ⊥ BC ( ) =SA.SC −SA.SB SA.SC = SA.SC.cos SA;SC( Xét SA.BC =SA SC −SB Mà () SA.SB =SA.SB.cos SA;SB ) →SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC −SA.SB = 0→SA.BC=⇔0 SA⊥ BC SA = SB =SC ASB = BSC = CSA Chứng minh tương tự ta SB Ví dụ Cho tứ diện ABCD, cạn ⊥ AC, SC ⊥ AB h a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ứ a) Ch ng minh AO vng góc v i CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc BC AM AC BM Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M trung điểm CD Ta có = ( ) AO.CD AM + MO CD = AM.CD + MO.CD Do ABCD tứ diện nên AM ⊥ CD O tâm đáy (hay O giao điểm ba đường cao) Khi AM ⊥ CD AM.CD = a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vng cân A LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Từ BC = BD = a,CD = a →∆BCD vng cân B Chứng minh IJ vng góc với AB Do ∆ACD, ∆BCD vuông cân A, B nên AJ = CD →AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB BJ = CD Chứng minh IJ vng góc với CD Do ∆ACD, ∆BCD nên CI = DI → IJ ⊥CD ⇔ →AO.CD = ⇔ AO ⊥ CD MO ⊥ CD MO.CD = b) Xác định góc BC AM; AC BM Xác định góc BC AM: Gọi I trung điểm BD → MI // BC AMI Từ (BC;AM) = (MI;AM) = 180 − AMI Áp dụng định lý hàm số cosin ∆AMI ta Chuyên đề Hình học khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian AM2 + MI2 − AI2 , ( )1 cosAMI = 2.AM.MI Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM = a3 MI đường trung bình nên MI = a/2 a2 3a2 3a2 4+4 −4 = →AMI = arccos ⇔ (BC;AM) = arccos Từ ( )1 ⇔ cosAMI = aa3 23 2 Xác định góc BC AM: Gọi J trung điểm AD → MJ // AC 23 23 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian ACB Do A C //AC′ ′→(A C ,B C′ ′′ ) ′ = (AC,B C′ ) = 180o − ACB′ Xét tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đường chéo mặt hình vng hình lập phương) ′ Do ∆ACB′ →ACB′ = 60o ⇔ (A C ,B C′ ′ ) = 60 o b) Tính độ dài OI theo a OA + OC = Với O tâm hình vng ABCD →OA + OC + OB + OD = OB+ OD = Khi OI = OA′+ OB′+ OC′+ OD′ OA′+ OC′ = 2OO′ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian Gọi O′ tâm đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có →OI = 4OO′ OB′+ OD′ = 2OO′ Khoảng cách từ O đến I độ dài véc tơ OI, từ ta OI = 4OO′ = 4a LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học khơng gian Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a Tính góc a) SB CD b) SB AC ... khơng gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN Chun đề Hình học không gian a) Do DC//AB→ (DC,SB) = (AB,SB) = α Tam giác SAB vuông A nên α góc nhọn, tanα = SA → =α30o 2a = = AB 2a Vậy góc hai đường thẳng. .. = (a,∆) Chú ý: Các phương pháp tính tốn góc hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vng dùng cơng thức tính tốn tam giác vng: sin, cosin, tan, cot Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý... b)= o Các xác định góc hai đường thẳng: Phương án (sử dụng định nghĩa) Phương án a // a? ?- Lấy điểm O thuộc a ′ Tạo đường →(a,b) = (a ,b′ ) b // b′ - Qua O, dựng đường ∆ // b →(a,b) = (a,∆)