(SKKN 2022) PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHU VĂN AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Người thực hiện: Hoàng Thị Thắm Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp Tóm tắt kiến thức lý thuyết có liên quan Giải pháp Một số dạng tập số phức 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 23 Kết luận, kiến nghị 23 3.1 Kết luận 23 3.2 Kiến nghị 24 Tài liệu tham khảo 25 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hiện nay, tốn học có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội, đặc biệt với máy tính điện tử, tốn học thúc đẩy mạnh mẽ q trình tự động hoá sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng trở thành công cụ thiết yếu khoa học Chính dạy học tốn Trường trung học phổ thông (THPT) phải gắn bó mật thiết với đời sống Nội dung chương trình tốn lớp 12 nội dung quan trọng có vị trí hướng nghiệp cho học sinh, từ có nhiều hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học Từ nhận thức trên, thời gian quan Bộ Giáo dục Đào tạo yêu cầu tăng cường giảng dạy toán thực tiễn gắn với chương trình học đề thi trung học phổ thông năm gần đây, số lượng câu hỏi vận dụng kiến thức toán để giải tốn có nội dung thực tiễn chiếm ti lệ định Qua làm thêm bật nguyên lý: “Học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội” Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục Đào tạo thức đưa nội dung “số phức” vào chương trình phổ thơng Đây nội dung học sinh bậc phổ thông, nội dung cịn mức độ đơn giản song lạ học sinh lớp 12, đặc biệt chi phân bố khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo nội dung cịn ít, nội dung đưa hầu hết đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học năm gần chiếm ti lệ định Vì việc dạy học “Số phức” có hiệu thật vấn đề cần nghiên cứu Trải qua hai năm tham gia dạy chương trình tốn lớp 12, tơi có trải nghiệm định việc dạy việc học học sinh thấy: + Học sinh tiếp cận tập hợp “ Số phức” lớp 12 nên phần lớn vận dụng em bị ảnh hưởng nhiều tính chất tập hợp số thực, em tỏ lúng túng giải toán số phức, đặc biệt em cịn nhầm tưởng tính chất tập hợp số thực tập hợp số phức + Nghiên cứu dạng tốn cịn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số dạng toán nâng cao hình học, lượng giác Từ lí mà xin trao đổi đồng nghiệp em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chương số phức lớp 12 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua SKKN học sinh nắm nội dung vấn đề cần lưu ý nghiên cứu chương số phức Đặc biệt học sinh nắm phương pháp giải số dạng toán số phức tránh số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trình giải tốn số phức + Hưởng ứng phong trào viết SKKN Trường THPT Chu Văn An 1.3 Đối tượng nghiên cứu * Đề tài áp dụng rộng rãi cho tất giáo viên dạy toán trường THPT tham khảo em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp Cao đẳng – Đại học * Phạm vi nghiên cứu đề tài: + Một số dạng tập thường gặp số phức + Ứng dụng số phức để giải số toán số thực + Các tốn tham khảo qua kì thi 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu, chuyên đề, đề thi có liên quan đến nội dung “Số Phức” - Phương pháp phỏng vấn: Khảo sát, phỏng vấn giáo viên, học sinh thuận lợi, khó khăn dạy, học nội dung “Số Phức” - Phương pháp chuyên gia: Thảo luận, trao đổi xin ý kiến góp ý giáo viên có kinh nghiệm, nhà khoa học, nhà quản lý, cựu học sinh có khiếu tốn học,… từ hồn thiện nội dung liên quan - Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức hướng dẫn cho học sinh nhận dạng nhanh dạng toán có liên quan nội dung “Số Phức” Thiết kế số kiểm tra ngắn, kiểm tra tổng thể để đánh giá mức độ nhận thức, vận dụng học sinh sau giáo viên hướng dẫn - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Số liệu thống kê, sử lý phần mềm Excell NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp nghiên cứu SKKN dựa sở: + Các kiến thức số phức + Các kiến thức lượng giác phương pháp tọa độ mặt phẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Với mục tiêu “Học đôi với hành”, dạy học phải giúp học sinh biết vận dụng kiến thức vào việc giải toán đề thi THPTQG, qua trao đổi, phỏng vấn giáo viên dạy toán số trường (Trường THPT Đông Sơn 1, THPT Triệu Sơn 2, Trường THPT Hàm Rồng, Trường THPT Chu Văn An, Trường THPT Sầm Sơn,…), kết cho thấy: nhìn chung dạy học Tốn trường THPT, giáo viên chủ yếu tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng tư tri thức nội mơn Tốn chủ yếu, cịn vận dụng vào mơn học khác chưa ý mức thường xuyên Những tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất cịn trình bày cách hạn chế chương trình tốn phổ thơng Đối với học sinh, qua trao đổi, phóng vấn em cho áp dụng hình thức thi trắc nghiệm nên phải học, làm lượng tập nhiều; bên cạnh đó, câu để lấy điểm cao đề thi thường toán có tính thực tiễn, vận dụng Vì vậy, khó khăn q trình học kiến thức tốn học khơng hệ thống hóa thành dạng tập có tính thực tiễn, vận dụng thấy tính liên mơn khó để đạt điểm cao thực đề thi Như vậy, giảng dạy toán muốn tăng cường rèn luyện khả ý thức ứng dụng toán học thiết phải ý mở rộng phạm vi ứng dụng, ứng dụng vào thực tiễn cần đặc biệt ý thường xuyên, qua góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho tốn học khơng trừu tượng khơ khan nhàm chán Học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải trực tiếp số vấn đề sống ngược lại Đối với chủ đề “Số Phức”, qua trao đổi, phỏng vấn giáo viên, cho thấy: tổ chức dạy học chủ đề này, giáo viên xác định mục tiêu quan trọng dạy học chủ đề “Số Phức” giúp học sinh thấy ứng dụng thực tiễn chủ đề này, đồng thời rèn luyện khả sử dụng kiến thức “Số Phức” để giải vấn đề mơn học khác đề thi THPTQG; họ cịn chi khó khăn thân khơng có đủ sách tham khảo, tài liệu hướng dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy khơng có quy trình giảng dạy cụ thể mà chủ yếu kinh nghiệm giảng dạy thân Đối với học sinh tiếp cận tập hợp “ Số phức” lớp 12 nên phần lớn vận dụng em bị ảnh hưởng nhiều tính chất tập hợp số thực, em tỏ lúng túng giải tốn số phức, đặc biệt em cịn nhầm tưởng tính chất tập hợp số thực tập hợp số phức 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp Tóm tắt kiến thức lý thuyết có liên quan 1) SỐ PHỨC * Định nghĩa 1: Mỗi số phức biểu thức có dạng a+ bi, với a, b  R i2 = -1 Kí hiệu số phức z = a +bi ; i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu C * Định nghĩa 2: Hai số phức  a a ' ' ' a  bi a  b i    b b ' Từ đó, a + bi =  a = b = Chú ý: 1) Đây sở việc ứng dụng số phức để giải toán tập hợp số thực 2) Trong C khơng có quan hệ thứ tự, nghĩa khơng có khái niệm z > z’ ,z < z’, z  z’, z  z’ * Biểu diễn hình học số phức: + Ứng với số phức z = a + bi có điểm M(a;b) mặt phẳng Oxy ngược lại Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b) Ngoài ra, số phức z = a + bi biểu diễn vectơ u (a; b) + Các điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo * Phép cộng, phép trừ hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi số phức z’ = a' + b’i Tổng hai số phức số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i Hiệu hai số phức số phức z-z’ = (a-a’) + (b-b’)i Khi đó, u (a; b) biểu diễn số phức z, u '(a ' ; b ' ) biểu diễn số phức z’ vectơ u  u ' , u  u ' lần lượt biểu diễn số phức z+z’, z- z’ * Phép nhân số phức: Cho hai số phức z = a + bi số phức z’ = a' + b’i Tích hai số phức số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i Chú ý: Có thể thực phép tốn cộng, trừ, nhân hai số phức cách hình thức tương tự phép toán cộng, trừ, nhân tập hợp số thực R * Phép chia số phức: + Số phức liên hợp số phức z = a +bi số phức z a  bi + Môđun số phức z = a +bi z  a  b 1 + Số nghịch đảo số phức z = a +bi khác số phức z  z z + Thương z' hai số phức z’ = a’ + b’i số phức z = a + bi khác tích z z' z' z ' 1 z với số phức nghịch đảo z, tức z z z  z ’ a'  b' i (a'  b' i)(a  bi) 2  ,(a  b ) a  bi a  b2 Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M ’ biểu diễn số phức z’ độ dài ' đoạn thẳng MM mơđun z  z 2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI * Định nghĩa: Căn bậc hai số phức w số phức z cho z2 = w *Nhận xét: +) Mỗi số phức z 0 có hai bậc hai hai số đối (khác 0) +) Số có bậc hai +) Đặc biệt: số thực a dương có hai bậc hai a  a ; số thực a âm có hai bậc hai  ; * Chú ý 1:Khơng dùng kí hiệu để chi bậc hai số phức * Phương pháp tìm bậc hai số phức w a  bi : + Giả sử z x  yi bậc hai w Vậy ta có: z w   x  y   xyi a  bi  x  y a (1) + Giải hệ phương trình:   xy b Việc tìm bậc hai số phức w quy việc giải hệ phương trình (1) phương pháp tập hợp số thực *Phương trình bậc hai: Az  Bz  C 0; A 0 (2) giải sau: +) Tính  B  AC +) Nếu  0 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:  B  B  z1  , z2 ,  bậc hai  2A 2A B +) Nếu  = phương trình (2) có nghiệm kép: z1 z  2A 3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG * Định nghĩa: Dạng lượng giác số phức z : z r cos  i sin   , với r > Vậy: * Phương pháp tìm dạng lượng giác: số phức z = a + bi (a, b  R) khác cho trước: +) Tìm mơđun số phức z r  a  b a   cos  r +) Tìm acgumen số phức z  ,   R cho   sin  b  r * Nhân chia hai số phức dạng lượng giác: , , , , +) Nếu z r cos  i sin   , z r  cos  i sin   , ( r  0, r ,  )   zz , rr , cos   ,   i sin     ,     z r    cos  , z r,        ,   i sin    ,       +) Lưu ý: Nhân hai số phức: tích mơđun tổng acgumen Chia hai số phức: thương môđun hiệu acgumen * Công thức Moa – vrơ: +)  r  cos   i sin   n r n  cos n  i sin n ; n  N * +) Đặc biệt r = 1:  cos  i sin   n cos n  i sin n * Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z r cos  i sin   , r > 0, có hai bậc hai là:           r  cos  i sin   r  cos  i sin   r  cos(   )  i sin(   )  2 2 2     Giải pháp 2: Một số dạng tập số phức Dựa vào nội dung trọng tâm kiến thức cần lưu ý, sở ta phân loại số dạng tập vận dụng sau đây: Dạng 1: Các phép tính số phức tốn định tính * u cầu: - Nắm khái niệm phép toán - Rèn luyện kĩ tính tốn thành thạo, xác - Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức z biết : (1+ i)2.(2- i)z = + i + (1+2i)z ( Đề thi TS Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Giải:  1  i  (2  i)  (1  2i) z 8  i Ta có (1+ i) (2- i)z = + i + (1+2i)z  i 8  i 1  2i    2i  i    2i  z 8  i  z   2  3i  2i   Vậy z có phần thực 2, phần ảo -3 Ví dụ 2: Tìm phần ảo số phức z biết : z   i  2i (Đề thi Đại học Khối A- năm 2010) Giải z   i  2i  z   2i  2i  z 5  2i  z 5  2i Vậy z có phần ảo -          1  Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z   3i 1 i Tìm mơđun số phức z  iz (Đề thi Đại học Khối B- năm 2010) Giải 8   4i Ta có  3i  , nên z  1 i  z   4i  z  iz   4i  (  4i)i   8i   Vậy z iz 8 Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z  z2 số thuần ảo (Đề thi Đại học Khối D- năm 2010) Giải 2 Gọi z a  bi , z  a  b z a  b  2abi  a  b 2 Theo yêu cầu tốn ta có  2  a  b 0  a 1  a 1  a   a 1  a           b 1  b 1  b   b   b 1 Vậy số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i Chú ý: Trong số trường hợp, thực chất yêu cầu toán thực phép tính tập hợp số phức mà áp dụng tương tự tập hợp số thực 2011 Ví dụ 5: Tính tổng : S 1  1  i   1  i   1  i    1  i  Giải Áp dụng cơng thức tính tổng 2012 số hạng cấp số nhân với số hạng   i  ta đầu u1 1 , công bội q 1 2012   1  i   1  i  2012   2i 1006  21006  21006  S     i  1  i  i 3i 3i Ví dụ 6: Tìm số phức x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:  (1  2i) x  (3 10i) y 2  (1)  3x  (1  2i) y 3  5i Giải * Sai lầm học sinh:  (1  y )  ( x 10 y)i 2 Hệ (1)    (3x  y )  yi 3  5i 1  y 2    x 10 y 0   Hệ vô nghiệm  3x  y 3   y   *Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y  R nên coi hệ số i vế phải phương trình hệ phần ảo, phần lại phần thực * Lời giải đúng:  3(1  2i) x  3(3 10i ) y 6 Cách 1: Hệ (1)    3(1  2i) x  (1  2i) y (3  5i)(1  2i )  3(1  2i ) x  3(3 10i) y 6  (3  6i) x  (9  30i) y 6   (20  28i) y   11i  3(1  2i ) x  ( 11  2i) y   11i  2843 1777i   3(1  2i ) x  3(3 10i) y 6 x   3552    11i  56  3i   y    56  3i  y 20  28i 296   296 ’ Cách 2: Gọi số phức x = a + bi, y = a + b’i, a, b, a’, b’  R Thay vào hệ (1) ta  (1  2i)(a  bi)  (3 10i)(a'b' i ) 2   3(a  bi)  (1  2i) (a'b' i) 3  5i  a  2b  3a' 10b' 2   (a  2b  3a' 10b' )  (b  2a  3b'10' )i 2  b  2a  3b'10' 0   3  5i  3a  3a'4b' 3  (3a  3a'4b' )  (3b  3b' 4a' )i  3b  3b' 4a'   2843  a  3552   1777 b   3552 Giải hệ tập số thực ta   a'  56  296   b'    296 2843 1777i  x   3552 Vậy nghiệm hệ   y  56  3i  296 Bài tập tương tự Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i) Tìm phần thực, phần ảo số phức z (Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010) Bài 2: Tìm số phức z biết : a) (2  i) z  (1  3i) 5  5i  2i z b)  3i 1  i  c) z  3z  2i (2  3i) z Bài 3: Giải hệ phương trình sau tập hợp số phức:  z  1i    z  3i a)   z  3  z   (1  2i) x  (3 10i ) y 2 b)  ( x, y  C )  3x  (1  2i) y 3  5i   z  w 3(1  i) c)  3  z  w 9(  i) Dạng 2: Biểu diễn hình học số phức * Yêu cầu toán thường cho dạng: +) Biểu diễn hình học số phức mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) +) Tìm điểm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một vài điều kiện cho trước *) Kiến thức: - Nắm định nghĩa cách biểu diễn số phức điểm, vectơ, biểu diễn môđun số phức độ dài vectơ, … - Vận dụng thành thạo quỹ tích đường quen thuộc đường thẳng, đường tròn, đường Elip, đường Hypebol, … *Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn 4i  6i ; (1  i).(1  2i); số phức i 3 i a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D cho ABCD hình vng Giải 4i 2  2i  điểm A(2; -2) a) Ta có i 1  i 1  2i  3  i  điểm B(3; 1)  6i 2i  điểm C(0;2) 3 i Từ đó: BC = 10 ; BA = 10 BC.BA 0  BC BA   BC  BA Vậy tam giác ABC vuông cân B b) Do tam giác ABC vuông cân B, ABCD hình vng  CD BA  x D    y D    x D    y D  Vậy số phức cần tìm z = -1- i Ví dụ 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau: a) z   i  z b) z   z  10 Giải a)* Sai lầm học sinh: i  z   i  z  i  z  z  i  z    2 z    i  z    i  z  1 i  điểm M(-1; ) biểu diễn số phức z 2 Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu mơđun số phức với kí hiệu gái trị tuyệt đối tập hợp số thực Lời giải đúng: Cách 1: a) Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x  yi; x, y  R z   i  z  ( x  2)  yi  x  ( y  1)i Ta có:  ( x  2)  y  x  ( y  1)  x  y  0 (d) Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng (d) Cách 2: Ta có: z   i  z  z  ( 2)  z  i (1) Gọi M điểm biểu diễn số phức z, điểm A(-2; 0) điểm biểu diễn số phức -2, điểm B(0;1) điểm biểu diễn số phức i Khi (1)  MA = MB Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường trung trực (d) đoạn AB, với (d ) : x  y  0 b) Cách 1: Gọi số phức z x  yi, x, y  R Khi z   z  10  x  yi  x  yi  10  ( x  4)  yi  ( x  4)  yi 10  ( x  4)  y  ( x  4)  y 10 (*) 10 Gọi F1(-4;0), F2(4;0) Khi (*)  MF1  MF2 10 Từ suy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z đường Elip nhận F1, F2 hai tiêu điểm, trục lớn 10, tiêu cự x2 y2  1 Phương trình tắc (E): 25 Cách 2: Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F1(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm F2(4;0) biểu diễn số phức + 0i Khi đó, z  khoảng cách MF1; z  khoảng cách MF2 Ta có : z   z  10  MF1  MF2 10 Theo định nghĩa đường Elip, suy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z đường Elip nhận F1, F2 hai tiêu điểm, trục lớn 10, tiêu cự Lưu ý:Với câu b) - Học sinh thường gặp rắc rối cách từ (*) khó biến đổi phương trình đường Elip dạng tắc quen thuộc khơng phát cơng thức tính khoảng cách hai điểm biết tọa độ chúng, định nghĩa đường Elip khó quỹ tích điểm M cách cụ thể , - Để vận dụng theo cách học sinh phải nắm môđun z  z biểu diễn khoảng cách hai điểm điểm biểu diễn hai số phức z z’ Ví dụ 3: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn : z  i  (1  i) z (Đề thi Đại Học Khối B – năm 2010) Giải z Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức x  yi, x, y  R , mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: z  i  (1  i) z  x  ( y  1)i  ( x  y)  ( x  y)i  x  ( y  1) ( x  y )  ( x  y )  x  y  y  0 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình : x  y  y  0 Ví dụ 4: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn : z  i  z  z  2i Giải Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x  yi, x, y  R , mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: z  i  z  z  2i  x  ( y  1)i  (2 y  2)i x2  x  ( y  1) ( y  1)  y  (P) 2 11 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường Parabol có phương trình : x2 y Bài tập tương tự Bài 1: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn a) z a  ai, a  R (Đáp án: đường thẳng y = x) b) số ảo z  2i ( Đáp án: Trục Oy trừ điểm (0;-2)) z  2i c) số thực âm z  2i ( Đáp án: Trục Oy ứng với điểm có tung độ thuộc khoảng (-2;2)) 2 d) z  z 25 25 (Đáp án: đường hypebol y  ) 4x Dạng 3: Căn bậc hai số phức phương trình bậc * Yêu cầu tốn thường cho dạng: - Tìm bậc hai số phức z - Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hệ số phức * Kiến thức: - Nắm định nghĩa bậc hai số thực âm, bậc hai số phức cách tìm bậc hai số phức - Nắm công thức nghiệm phương trình bậc hai tập hợp số phức * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z  3z  0 b) (1  i) z  2(1  2i) z  0 c) z  (3  2i) z   5i 0 Giải a)   31 có hai bậc hai 31i  31i   31i   31i z  Phương trình có hai nghiệm : z1  4 b) ' 1  2i   4(1  i) 1 có hai bậc hai -1  2i  1  2i 1 -1  i z  2i Phương trình có hai nghiệm : z1  1 i 1 i c)*  3  2i   4(5  5i)  15  8i *Tìm bậc hai  Cách 1: Gọi  x  yi; x, y  R bậc hai  , ta có 12  x  y  15    xy 8  x 1  x       y 4  y   1 4i Cách 2: Viết   15  8i 1  2.4i 16i 1  4i    1 4i * Phương trình có hai nghiệm :   2i  (1  4i) z1  -2  i   2i  (1  4i) z  -1  3i Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm định lí Viet trường hợp xét phương trình bậc hai tập hợp số phức Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập hợp số phức: (2  3i) z  (4i  3) z 1  i 0 Giải Ta có (2  3i)  (4i  3) 1  i 0 1 i   i Vậy phương trình có hai nghiệm z1 1 z   3i 13 13 Dạng 4: Phương trình quy bậc hai * Những dạng phương trình quy bậc hai thường gặp: - Phương trình có ẩn mẫu - Phương trình bậc cao * Phương pháp giải: - Đối với phương trình có chứa ẩn mẫu, thực phép toán quy đồng chia hai số phức để dưa phương trình bậc hai Phải ý đến điều kiện cho mẫu thức khác - Đối với phương trình bậc cao, thơng thườngsử dụng phương pháp đổi biến phải nhẩm nghiệm để tách thành nhân tử biểu thức bậc thấp tương tự cách giải phương trình bậc cao tập hợp số thực * Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z   7i z  2i z i Giải * Điều kiện: z i z   7i z  2i  z   7i ( z  i)( z  2i) Phương trình z i  z  (3i  4) z 1  7i 0  1  2i   4(1  i) 1 có hai bậc hai -1  2i  1  2i 1 -1  ivà z  2i Phương trình có hai nghiệm : z1  1 i 1 i Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập hợp số phức:  z  z 2  4 z  z   12 0 13 Giải * Đặt t = z  z t  Phương trình trở thành: t  4t  12 0   t 2  z  z  0 Phương trình cho    z  z  0    23i z      z    23i bốn nghiệm phương trình cho    z 1  z  Ví dụ 3: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z2 z  z   z 1 0 (1) Giải Vì z = khơng nghiệm phương trình, nên phương trình (1) 1  z  z    0   z     z    0 z z z  z    3i t  2 Đặt t z  , (1) trở thành: t  t  0     3i z t    3i 1  3i  z  (1  3i) z  0 (2) *Với t  , ta có z   z  3i   i  1  i  z1   8  6i i  3 , (2)     3i   i 1   i  z2  2   3i 1  3i  z  (1  3i) z  0 (3) *Với t  , ta có z   z  3i  i  1    i  z3  2  8  6i i  3 , (3)     3i  i  1  i  z4   Vậy phương trình có bốn nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình sau :  z i    1 (1)  z i Giải Điều kiện: z i 14  z i   1  z i * Sai lầm học sinh::   z i 1  z  i    z i   z i * Phân tích sai lầm:Học sinh áp dụng phương pháp giải phương trình x4 = tập hợp số thực Nhưng tập hợp số phức, ngồi số -1 cịn có số i –i thỏa mãn i4 = 1, (-i)4 = * Lời giải đúng: Cách 1:  z i 1  z  i   z i    z i  z  i   1    z i  z i i  z  i   z i  i  z i  z 0  z 0   (1  i) z 1  i   z 1 (1  i ) z   i  z   Cách 2:  z i    1  z i   z  i  ( z  i)  z  z  z  z 1 z  z  z  z 1  z  z 0  z 0   z 1 ba nghiệm phương trình cho  z  Bài tập tương tự Bài 1: Giải phương trình sau a) z5 + 1= b) z2 + z + =0 c) z2 -2(2+i)z + + 4i = d) z3 – 27 = e) z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = Dạng 5: Dạng lượng giác số phức * Bài toán thường cho dạng: - Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác ngược lại - Thực nhân, chia bậc hai số phức dạng lượng giác - Bài tốn ứng dụng cơng thức Moa – vrơ * Kiến thức: 15 - Nắm dạng lượng giác số phức cách xác định môđun acgumen số phức, đặc biệt phải biết vận dụng công thức giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt - Nắm phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác bậc hai số phức dạng lượng giác * Một số ví dụ: Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lượng giác: a) z   i   i b) w sin   i cos 2 c) z sin   2i sin Giải a) Cách 1:   5 5     i 2cos  i sin    i 2cos  i sin  6 3    7 7    5    5    4cos  i sin  Vậy  i   i 4cos    i sin       6  3 3     7 7    i 4cos  i sin  Cách 2:  i   i   2i 4   6        b) w sin   i cos cos     i sin     2  2  c) * Sai lầm học sinh:    z sin   2i sin  2 sin  cos  i sin  (1) dạng lượng giác 2 2 2 số phức z *Phân tích sai lầm: Do học sinh khơng hiểu định nghĩa dạng lượng lượng giác số phức z r (cos  i sin  ) , với môđun r > * Lời giải đúng:    z 2 sin  cos  i sin  (1) 2 2  - Khi sin 0 dạng lượng giác số phức z khơng xác định  - Khi sin  (1) dạng lượng giác số phức z        - Khi sin  z  sin  cos     i sin     dạng lượng  2  2  giác số phức z Ví dụ 2: Tìm acgumen số phức sau:   z 1  sin   i cos ,      2  Giải          16 Ta có: z 1  sin   i cos ,       2     1  cos Do         i sin   2  2           2 sin     i sin   cos    2  2  2          2 sin    sin    i cos                   2 sin    cos    i sin    (1)  2            sin      nên   2  2 Vậy (1) dạng lượng giác số phức Vì    acgumen số phức z Ví dụ 3: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1 w z 2012  2012 , z  1, z z Giải *Điều kiện: z 0 *Từ phương trình z  1  z  z 1 0 z     i  z1 cos  i sin  z1   3 2           z cos    i sin    i  z2   2  3  3   Áp dụng công thức Moa – vrơ   * Với z cos  i sin 3 2012     w  cos  i sin   2012 3   cos   i sin     3  2012 2012     i sin 3   cos 2012  i sin 2012     3   2 2      cos  i sin 3   cos 2  i sin 2     3     cos 17   i   = -1    i 2 Vậy phần thực w -1, phần ảo w     * Với z cos    i sin   , tương tự ta có phần thực w -1, phần  3  3 ảo w Chú ý: Trong tập thay số mũ số khác tập tương tự Khi vận dụng công thức lược giác liên hệ cung có liên qua đặc biệt để tính tốn    Ví dụ 4: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức z biết: a) z sin   i cos 3 z b) z  acgumen  1 i Giải a) * Sai lầm học sinh:     z cos     i sin    có hai bậc hai có dạng lượng giác 2 2         cos    i sin   2 4 2 4 *Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm định nghĩa dạng lượng giác số phức *Lời giải đúng:           z cos     i sin    có hai bậc hai cos    i sin   2 2   2 4 2 4       dạng lượng giác hai bậc hai cos    i sin    2 4 2 4   3    3  cos    i sin     2 2 b) Gọi  acgumen số phức z  -  acgumen z z   Vì acgumen 1+ i nên acgumen (-  - ) 4 1 i   1   3       k 2     k 2 , k  Z  z   cos  i sin  3 4 2   3  cos  i sin  Vậy dạng lượng giác bậc hai số phức z 3 4 5 5  3  cos  i sin  3 4  18 Bài tập tương tự Bài 1: Biểu diễn số phức sau dạng lượng giác 1   1 i a) z   i  2 b)   i  20 z   19 3 i 1 c) z 10  10 , biết z  1 z z  d) z  sin 8  i cos Bài 2: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức sau: a) z   i b) z sin   i cos Dạng 6: Nhị thức Niu – Tơn số phức * Yêu cầu toán thường cho dạng: - Tính tổng - Chứng minh đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Với số nguyên dương n, chứng minh hệ thức sau 1  Cn2  Cn4  Cn6  2  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  2 2 n Giải Xét số phức z = 1+ i Theo công thức khai triển nhị thức Niu- tơn ta có: n z n (1  i) n   Cnk i k 1  Cn2  Cn4  Cn6    Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  i k 0  z n  1  Cn2  Cn4  Cn6    Cn1  Cn3  Cn5  Cn7   2 n Mặt khác, z n  z Suy ra: 1  C n  Cn4  Cn6    Cn1  Cn3  Cn5  Cn7   2 n (đpcm) 2 Ví dụ 2: Tính tổng: 2010 2012 S C2012  C2012  C 2102   C2012  C 2012 Giải Khai triển nhị thức Niu – tơn (1 + i)2012 ta được: 2012 k 2012 2011   Cn1  Cn3  Cn5  Cn7   C2012 i (1  i) 2012   C2012 i k 1  Cn2  Cn4  Cn6   C2012 k 0 Mặt khác, (1  i) 2012 (1  i )   2i 1006  21006 2010 2012  C2012  C2102   C2012  C2012  21006 Nên ta S C2012 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1006 n  Cn3  Cn6  Cn9    n  cos  3 Giải 19  2 2  i sin , có z3 = 1; 3     cos  i sin  z  z 0 1 z   i cos  i sin ;1+z2 =  i 2 3 2 3 Ta sử dụng công thức Nhị thức Niu – Tơn: n Cn0  Cn1  Cn2  (1) (1  z ) n Cn0  zC n1  z 2Cn2  z 3Cn3  z 4Cn4  Cn0  zCn1  z 2Cn2  Cn3  zCn4  (2) n (1  z ) Cn  z Cn  z Cn  z Cn  z Cn  Cn0  z 2Cn1  zC n2  Cn3  z 2Cn4  zC n5  (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế được: n  (1  z ) n  (1  z ) n 3(Cn0  Cn3  Cn6  ) n n  cos 3(Cn0  Cn3  Cn6  ) 1 n n  Vậy  Cn  Cn  Cn     cos  3  Bài tập tương tự Xét số phức z cos Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có hệ thức sau: n C n0  3Cn2  32 Cn4  33 Cn6 2 n cos 2n n C n1  3Cn3  32 Cn5  33 Cn7  sin 3 Dạng 7: Hệ thức lượng giác * Yêu cầu toán thường cho dạng: - Biểu diễn biểu thức lượng giác theo biểu thức lượng giác khác - Chứng minh đẳng thức lượng giác, … * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh công thức lượng giác: cos 3 4 cos3   cos sin 3 3sin   sin  Giải Đặt z cos  i sin  Ta tính z theo cách đồng Từ cơng thức Moa- vrơ ta có: (cos  i sin  ) cos 3  i sin 3 (1) Mặt khác theo khai triển Niu – Tơn ta có: (cos  i sin  ) cos3   3i cos2  sin   cos sin   i sin  (cos   cos sin  )  i(3 cos  sin   sin  ) (2)  cos 3 cos   cos sin  Từ (1) (2) suy ra:   sin 3 3 cos  sin   sin  Thay sin2  = 1- cos2  , cos2  = 1- sin2  ta được: cos 3 4 cos   cos s sin 3 3sin   sin  20 a Ví dụ 2: Cho số thực a, ,b cho sin 0 Với số nguyên n  1, xét tổng: S cos b  cos(a  b)  cos(2a  b)   cos(na  b) T sin b  sin( a  b)  sin( 2a  b)   sin( na  b) Tính S + iT, từ suy S T Giải Đặt z cos a  i sin a, w cos b  i sin b S + iT =  cos b  i sin b   cos(a  b)  i sin(a  b)   cos(2a  b)  i sin(2a  b)    cos(na  b)  i sin(na  b) n = w  wz  wz   wz w(1  z  z   z n )  z n1 a w = ( để ý z 1 sin 0 ) 1 z n 1  n 1 n 1  sin a sin a  i cos a   cos(n 1)a  i sin(n 1)a 2   w =w a a a  cos a  i sin a sin  sin  i cos  2 2 n 1 sin a n 1 n 1   a a  w sin a  i cos a  sin  i cos   a  2  2 sin n 1 n 1 sin a sin a na na  na na    2 w cos  i sin   cos  i sin  cos b  i sin b    a  a  2 2 sin sin 2 n 1 sin a   na   na   cos  b   i sin   b   a      sin n 1 n 1 sin a sin a na  na  2 cos  b  T sin   b  Từ suy ra: S  a a     sin sin 2 Bài tập tương tự: Bài 1: Tính sin4  , cos4  theo lũy thừa cos  sin  Bài 2: Cho z = cos  + isin  a)Chứng minh rằng: z n  z n 2 cos n z n  z n 2i sin n b)Dùng khai triển : ( z  z )  z  z  để tính cos5  , sin5  theo  cos3  , sin3  cos  , sin  21  Bài 3: Cho x k 2 Tính S sin x  sin x  sin 3x   sin nx 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Đối với thân: Từ việc nghiên cứu tài liệu có liên quan giúp tơi hệ thống khái quát kiến thức nội dung “Số Phức”, đồng thời tập hợp nhiều tốn có tính thực tế, vận dụng kiến thức Bên cạnh đó, giúp tơi hồn thành tốt công tác giảng dạy năm học; cụ thể: năm học 2021 - 2022, Nhà trường phân cơng dạy mơn tốn lớp 12A14 lớp 12A15, đưa nội dung “phương pháp giải số dạng tập số phức” vào giảng dạy - Đối với học sinh, sau học nội dung “Số Phức” giúp học sinh luyện tập dạng tập số phức phân tích để tránh sai lầm cho em giải đề thi tạo thêm hứng thú luyện tập, tự tin giải toán Bằng việc dạy rèn cho em theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm; kết thúc học chuyên đề, tổ chức kiểm tra (đề kiểm tra tổng hợp toán từ đề thi trường) Kết thực kiểm tra hai lớp Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 12A14 41 10 24,4 21 51,2 22,0 2,5 0 12A15 45 17,8 24 53,3 11 24,4 4,4 0 Kết quả, cho thấy học sinh đạt điểm khá, giỏi chiếm 70% - Đối với phong trào giáo dục nhà trường, sáng kiến nghiệm tài liệu tham khảo để góp phần nâng cao chất lượng dạy, học Sau sử dụng phương pháp tơi thấy bạn đồng nghiệp, em học trò mức độ giỏi tự tin áp dụng khơng cịn tâm lí e ngại III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm, phương pháp giải số dạng tập số phức trên, trang bị cho em học sinh chuẩn kiến thức cần thiết để giải thành cơng dạng tốn Qua thực tế kiểm tra thi học sinh lớp 12 nhận thấy em nắm kiến thức nâng kết cao Điều chứng tỏ em có tiến nhận thức kĩ vận dụng phương pháp giải tốn nói Từ học sinh chủ động sáng tạo việc học tốn u thích mơn tốn Qua khơng chi tạo hứng thú luyện tập mà cung cấp cho em kiến thức sống góp phần đào tạo người lao động phát triển tồn diện, có tư sáng tạo, có lực thực hành giỏi, có khả đáp ứng đòi hỏi ngày cao trước u cầu đẩy mạnh cơng nghiệp hố - đại hố gắn với phát triển kinh tế trí thức xu hướng tồn cầu hố Lớp 22 Trước hết, nội dung sáng kiến kinh nghiệm nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Bên cạnh tài liệu giúp cho em học sinh làm quen với câu hỏi vận dụng tăng khả giải câu hỏi đề thi tốt nghiệp THPTQG Trong khuôn khổ viết này, tơi khơng có tham vọng đưa hết dạng tốn liên quan đến “Số Phức” khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Chu Văn An, quý thầy, cô đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Hằng năm, tiếp tục phát động phong trào viết sáng kiến nghiệm cấp học, tổ chức biên tập sáng kiến kinh nghiệm hay theo từng mơn học để phổ biến cho trường, giáo viên tham khảo, vận dụng vào trình giáo dục giảng dạy - Ở cấp độ trường trung học phổ thông Chu Văn An, sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học; giúp học sinh hiểu rõ chất “Số Phức” toán thực tiễn, giúp em tránh khỏi lúng túng trước dạng câu hỏi vận dụng đề thi tốt nghiệp THPT Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022 Trường THPT Chu Văn An HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan sản phẩm cá nhân NGƯỜI THỰC HIỆN NGƯT, ThS Hoàng Văn Huân Hoàng Thị Thắm TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 - Sách giáo khoa Giải tích 12 chuẩn nâng cao; - Chuẩn kỹ kiến thức; - Các đề thi đại học, THPT từ năm 2015 đến năm 2021; - Kế hoạch giảng dạy cá nhân năm học 2021-2022 - Phân dạng phương pháp giải tốn số phức ( Tác giả: Lê Hồnh Phò) - Phương pháp trọng tâm ( Tác giả: Phan Huy Khải) - Một số sai lầm thường gặp giải toán ( Tác giả: Trần Phương) 24 ... nghiệp nhà trường 23 Kết luận, kiến nghị 23 3.1 Kết luận 23 3.2 Kiến nghị 24 Tài liệu tham khảo 25 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hiện nay, tốn học có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác khoa học, công... sống xã hội, đặc biệt với máy tính điện tử, tốn học thúc đẩy mạnh mẽ q trình tự động hoá sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng trở thành công cụ thiết yếu khoa học Chính dạy học tốn Trường trung... thi Như vậy, giảng dạy toán muốn tăng cường rèn luyện khả ý thức ứng dụng toán học thiết phải ý mở rộng phạm vi ứng dụng, ứng dụng vào thực tiễn cần đặc biệt ý thường xuyên, qua góp phần tăng