Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nhiệm vụ chính của trường THPT là hoạt động dạy và học, nhằm đạt được mục tiêu nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài Đặc biệt, việc củng cố kiến thức phổ thông, nhất là môn toán, là rất cần thiết trong đời sống con người Môn toán, với tính chất tự nhiên quan trọng và kiến thức rộng, thường khiến học sinh cảm thấy ngại học.
Để học tốt môn toán, học sinh cần nắm vững kiến thức khoa học một cách hệ thống và linh hoạt áp dụng lý thuyết vào các dạng bài tập Việc học phải gắn liền với thực hành, yêu cầu tư duy logic và khả năng biến đổi Giáo viên nên hướng dẫn học sinh nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, áp dụng lý thuyết vào giải bài tập, phân loại các dạng bài và tổng hợp các phương pháp giải.
Tôi xin giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm nhằm hỗ trợ học sinh THPT trong việc áp dụng và tìm kiếm phương pháp giải các bài toán liên quan đến lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là kiến thức cơ bản trong chương trình hình học lớp 10, nhưng việc lập phương trình cho các đường trong tam giác thường gặp trong đề thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đây là chủ đề khó khăn cho nhiều học sinh, vì vậy tài liệu này được biên soạn nhằm cung cấp kiến thức và rèn luyện kỹ năng toán học, giúp học sinh kết nối các kiến thức cơ bản để giải quyết những bài toán phức tạp hơn.
Những kiến thức cơ bản để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
1 Véc tơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
- Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d khi n0, có giá là đường thẳng vuông góc với d.
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng :
- Đường thẳng d đi qua A(x0; y0) và nhận vectơ n a b ; là vectơ pháp tuyến có phương trình là : a(x-x0)+b(y-y0)=0.
- Trong mặt phẳng, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng : ax+by+c=0 với
- Nếu đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A(a;0) và cắt trục Oy tại điểm B(0;b) thì phương trình có dạng :
Ví dụ 1 : Viét phương trình đường thẳng d đi qua A(2; 1) nhận vectơ n 2;5 làm véc tơ pháp tuyến.
Giải: Phương trình tổng quát của đường thẳng là: 2(x-2) + 5(y-1) = 0 2x5y 9 0
Ví dụ 2 : Viết ptđt trung trực của AB với A(1; 3), B(-3; 5)
Giải: Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I(-1;4) và có véc tơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát là: -4(x+1) + 2(y-4) = 0 hay -2x + y - 6 = 0
Ví dụ 3 : Viết pt các đường cao của tam giác ABC với A(1; 1), B(2; 3), C(-1;5)
Giải:- Đường cao AH có véc tơ pháp tuyến là BC 3;2 có phương trình tổng quát:
- Đường cao BK có véc tơ pháp tuyến là AC 2;4 có phương trình tổng quát:
- Đường cao CI có véc tơ pháp tuyến là AB 1;2
có phương trình tổng quát:
Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 1;0 ) và B( 0; 2)
Giải : Phương trình đường thẳng là: 1 2x+y-2=0
2.Véc tơ chỉ phương , phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng + Vectơ chỉ phương :
- Vectơ u0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d khi có giá là đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng d
- Đường thẳng d đi qua M(x0; y0) và nhận vectơ u a b ; làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là :
- Đường thẳng d đi qua A(x0; y0) và nhận vectơ u a b ; làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là : x x 0 y y 0 , a 0, b 0 a b
3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng d : Ax+By+C=0 và d’ : A’x+B’y+C’=0
Chú ý: - Nếu hai đường thẳng song song thì có cùng véc tơ pháp tuyến và cùng véc tơ chỉ phương
Nếu hai đường thẳng vuông góc, thì véc tơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ vuông góc với véc tơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại Điều này có nghĩa là hai véc tơ pháp tuyến và hai véc tơ chỉ phương cũng sẽ vuông góc với nhau.
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;-1)
Giải Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương AB 2; 3 nên có phương trình tham số là:
Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (2;-3) và song song với đường thẳng:
Giải : Đường thẳng d đi qua M (2;-3) và nhận vectơ u 2; 3 làm vectơ chỉ phương
Phương trình tham số là:
Ví dụ 7: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng
Giải : Đường thẳng D có véc tơ pháp tuyến n 2; 3 Đường thẳng d vuông góc với D nên nhận véc tơ n 2; 3 làm véc tơ chỉ phương Phương trình tham số là:
4 Góc giữa hai đường thẳng :
Cho đường thẳng d1 : ax+by+c=0 và d2 : a1.x+b1.y+c1=0 Gọi là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
Trong đó n n , 1 là các vectơ pháp tuyến của d1, d2.
Ví dụ 8 : Xác định cosin của góc giữa hai đường thẳng : d : x-2y+3=0 và d’ : 2x-3y+1=0 Giải: Đường thẳng d và d ’ lần lượt có véc tơ pháp tuyến là n 1; 2 và n ' 2; 3
Ví dụ 9 : Cho A(1; 2) và d : x+y-1=0 Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A tạo với d một góc 60 0
Giải: Gọi n a b ; là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d ’, đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến
Vậy có hai đường thẳng d’ là:
5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường :
Cho đường thẳng d : Ax+By+C=0 và M (x0; y0) Khi đó khoảng cách từ M đến d là :
Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(1;1), B(3;2) và C(-1;6), ta cần xác định hai phương trình đường thẳng Đầu tiên, đường thẳng d đi qua điểm A và cách đều hai điểm B và C Tiếp theo, ta cần viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng BC, với khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Giải: a Gọi n a b ; là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d đi qua A(1;1) có phương trình dạng: ax + by -a - b = 0 Theo yêu cầu bài toán.
Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: x + y - 2 = 0 và x - 1 = 0 b Đường thẳng BC có véc tơ chỉ phương BC 4;4 nên có véc tơ pháp tuyến là n 1;1
Phương trình tổng quát là: x + y - 5 = 0 Đường thẳng d song song với đường thẳng BC nên phương trình có dạng: x + y + c = 0 Theo yêu cầu bài toán
Vậy phương trình đường thẳng d là: x + y + 1 = 0
Cũng cố: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần phải biết một trong những những yếu tố sau:
+ Biết một điểm đi qua và biết véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
+ Biết hai điểm d đi qua
Để xác định một đường thẳng khi biết một điểm đi qua và góc a mà nó hợp với đường thẳng đã cho, hoặc khi biết khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng d là một giá trị cụ thể, bạn cần áp dụng các công thức hình học cơ bản Việc này giúp bạn xây dựng được phương trình của đường thẳng mới một cách chính xác.
+ Biết véc tơ pháp tuyến và khoảng cách từ điểm nào đó đến d bằng giá trị nào đó.
2.3.2 Một số bài toán lập phương trình đường thẳng trong tam giác
Bài toán 1 : Viết phương trình các đường đặc biệt của tam giác biết 3 đỉnh
Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với
1 Viết phương trình các cạnh AB, AC của tam giác.
2 Viết phương trình các đường trung bình.
3 Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC
4 Viết phương trình đường cao AH
5 Viết phương trình đường trung tuyến AM
6 Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
1 Phương trình tổng quát các cạnh tam giác ABC.
- Phương trình cạnh AB: có véc tơ chỉ phương AB 3;1
nên có véc tơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát cạnh AB là: x + 3y - 7 = 0
- Phương trình đường thẳng AC: 2x - y = 0
2 Phương trình các đường trung bình
lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB Phương trình đường trung bình MN song song với AB có phương trình là:
3 Đương trung trực của cạnh BC Đi qua trung điểm M và nhận BC 1; 5 làm véc tơ pháp tuyến của đường thẳng Phương trình tổng quát là: x - 5y + 4 = 0
4 Đường cao AH nhận BC 1; 5 làm véc tơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của AH : x-5y+9=0
5 Viết phương trình các đường trung tuyến AM Đương trung tuyến AM nhận
làm véc tơ chỉ phương nên có véc tơ pháp tuyến n 3; 5 làm véc tơ pháp tuyến Phương trình tổng quát là: 3x - 5y + 7 = 0
6 Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
Những điểm M(x;y) thuộc đường phân giác góc A thì thỏa mãn
Hai đường phân giác trong và ngoài của góc A được xác định dựa vào vị trí của điểm B và C Để xác định phương trình phân giác trong của góc A, ta cần xem xét vị trí của các điểm này so với hai đường phân giác.
C nằm trên hai mặt phẳng bờ, và nếu một trong hai đường thẳng đó là phân giác trong, thì đường phân giác trong sẽ có phương trình xác định.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh biết cách ra một đề toán tương tự để về nhà ôn tập.
- Học sinh có thể tham khảo bài toán tương tự với các đỉnh A, B, C như sau
1 Cho tam giác ABC với A(4; 1), B(2; 5), C(-2; -3)
2 Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(2; 3), C(-2; -1)
Bài toán 2 yêu cầu xác định phương trình các cạnh của tam giác ABC với đỉnh A(x; y) và hai đường BM, CN có phương trình lần lượt là ax + by + c = 0 và a’x + b’y + c’ = 0 Để giải bài toán này, cần xác định các phương trình của các cạnh còn lại của tam giác dựa trên vị trí của đỉnh A và các đường thẳng đã cho.
1 BM, CN là hai đường cao
2 BM, CN là hai đường trung tuyến
3 BM, CN là hai đường phân giác
4 BM là đường cao, CN là đường trung tuyến
5 BM là đường cao, CN là đường phân giác
6 BM là đường trung tuyến, CN là đường phân giác
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải ví dụ vận dụng dưới đây
Ví dụ Áp dụng cho tam giác ABC biết A (1; 2) hai đường thẳng BM và CN lần lượt có phương trình là 2x-y+1=0 và x+3y-3=0
Viết phương trình các cạnh của tam giác biết.
1 BM: 2x - y + 1 = 0, CN: x+3y-3=0 là hai đường cao
- Đường thẳng AC vuông góc với BM nên có véc tơ pháp tuyên n 1; 2 phương trình tổng quát là:
- Đường thẳng AB vuông góc với CN nên có véc tơ pháp tuyên
3; 1 n phương trình tổng quát là:
- Đường thẳng BC đi qua hai điểm B va C nên ta phải tìm tọa độ điểm B và C.
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
Đương thẳng BC nhận BC 7; 7 làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là:
2 BM: 2x - y + 1 = 0, CN: x+3y-3=0 là hai đường trung tuyến
Giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB thì tọa độ điểm M(3-3y; y), N(x; 2x+1) Gọi tọa độ điểm B(xB;yB) và điểm C(xC;yC) Để viết phương
H 11 K trình các cạnh của tam giác ABC ta phải tìm tọa độ điểm B và C.
- Điểm B thuộc BM nên tọa độ thỏa mãn: 2xB - yB + 1 = 0 (1)
- Điểm N là trung điểm của AB nên tọa độ điểm
mà N thuộc đường thẳng CN nên thỏa mãn:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tọa độ điểm G là nghiệm của hệ.
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát là: 57(x-1) - 32(y-2) = 0 hay 57x - 32y + 7 = 0
+ Tương tự phương trình tổng quát của cạnh AC: 27x - 52y + 77 = 0
Tương tự phương trình tổng quát của cạnh : BC: 6x + 4y + 1 = 0
3 BM, CN là hai đường phân giác
Gọi H là điểm đối xứng với A qua CN thì H thuộc BC. Đường thẳng AH vuông góc với CN nên có phương trình: I K
Gọi I là giao điểm của AH và CN thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
Điểm I là trung điểm của AH nên tọa độ điểm H là:
Tương tự, gọi K là điểm đối xứng với A qua BM thì K thuộc BC Đường thẳng AK có phương trình: x + 2y - 5 = 0.
Gọi J là giao điểm của AK và BM thì tọa độ điểm J là nghiệm của hệ:
Điểm J là trung điểm của AK nên tọa độ điểm K là:
+ Đương thẳng BC đi qua hai điểm H, K nhận 0; 14 0;1
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát đường canh BC là: 5x - 1 = 0
- Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
- Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát của cạnh AB: 3(x-1) - 4(y-2) = 0 hay 3x - 4y + 5 = 0
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát của cạnh AC: 4(x-1) - 3(y-2) = 0 hay 4x - 3y +2 = 0
4 BM là đường cao, CN là đường trung tuyến
AC vuông góc với BM, nên đường thảng AC có phương
- Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
Gọi N là trung điểm của AB thì N(xN; 2xN +1) Gọi tọa độ điểm B(xB;yB)
- Điểm B thuộc BM nên tọa độ thỏa mãn: 2xB - yB + 1 = 0 (1)
- Điểm N là trung điểm của AB nên tọa độ điểm
mà N thuộc đường thẳng CN nên thỏa mãn:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát là: 57(x-1) - 32(y-2) = 0 hay 57x - 32y + 7 = 0
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát BC là: 55(x-9) + 256(y+2) = 0 hay 55x + 256y + 17 = 0
5 BM là đường cao, CN là đường phân giác
+ AC vuông góc với BM, nên đường thảng AC có phương
- Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ I
Gọi H là điểm đối xứng với A qua CN thì H thuộc BC. Đường thẳng AH vuông góc với CN nên có phương trình:
Gọi I là giao điểm của AH và CN thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
Điểm I là trung điểm của AH nên tọa độ điểm H là:
làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình tổng quát cạnh BC là: 2(x-9) +11(y+2) = 0 hay 2x + 11y + 4 = 0
+ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
làm véc tơ chỉ phương Phương trình tổng quát của AB là: 6(x-1) - 1(y-2) = 0 hay 6x - y - 4 = 0
6 BM là đường phân giác, CN là đường trung tuyến
Gọi K là điểm đối xứng với A qua BM thì K thuộc BC Đường thẳng AK có phương trình: x + 2y - 5 = 0 J
Gọi J là giao điểm của AK và BM thì tọa độ điểm J là nghiệm của hệ:
Điểm J là trung điểm của AK nên tọa độ điểm K là:
Gọi M là trung điểm của đoạn AC với tọa độ M(3-3y; y) Để xác định phương trình các cạnh của tam giác ABC, trước tiên cần tìm tọa độ của điểm B(xB; yB) và điểm C(xC; yC).
- Điểm B thuộc BM nên tọa độ thỏa mãn: 2xB - yB + 1 = 0 (1)
- Điểm N là trung điểm của AB nên có tọa độ dạng:
mà N thuộc đường thẳng CN nên thỏa mãn:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình tổng quát cạnh BC là:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình tổng quát cạnh AB là: 57(x-1) - 32(y-2) = 0 hay 57x - 32y + 7 = 0
làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình tổng quát cạnh AC là:
Vậy các cạnh của tam giác ABC có phương trình là: Đường thẳng AB: 57x - 32y + 7 = 0 Đường thẳng AC: 268x - 267y + 266 = 0 Đường thẳng BC: 341x - 48y + 47 = 0
Giáo viên hướng dẫn học sinh biết cách ra một đề toán tương tự về nhà ôn tập.
- Học sinh có thể tham khảo bài tập dưới đây
Bài 1 Cho tam giác ABC biết A (-1; 2), hai đường cao BM, CN lần lượt có các phương trình là 7x-3y-4=0 và CK : x+y-2=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác với các câu hỏi như trên.
Bài 2 Cho tam giác ABC biết A (-1; -2) và hai đường BM, CN lần lượt có các phương trình là 2x+y-5=0 và x+y-3=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác với các câu hỏi như trên
Bài 3 Cho tam giác ABC có A (1; -1) và hai đường thăng BM, CN lần lượt có các phương trình là x+2y-3=0 và 2x-3y+1=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác với các câu hỏi như trên.
Bài toán 3 : Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết các yếu tố đặc biệt
Trong mặt phẳng Oxy, tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng d: x - 4y - 2 = 0, với cạnh BC song song với d Đường cao BH được xác định bởi phương trình x + y + 3 = 0, và trung điểm AC được ký hiệu là M với tọa độ (1;1) Cần tìm tọa độ các đỉnh A, B và C của tam giác ABC.
- Đường thẳng BC song song với đường thẳng d nên phương trình có dạng: x - 4y + c = 0 ( c khác 2)
- Điểm M là trung điểm của AC nên
Vậy đường thẳng BC có phương trình là: x - 4y + 8 = 0
- Đường thẳng AC qua điểm M(1 ; 1) và vuông góc với BH nên có phương trình là:
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
+ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
+ Tọa độ điểm C M là trung điểm AC nên ta có tọa độ điểm C là:
Vậy ba điểm có tọa độ là: : A(-
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H (
5 5 ) và phương trình các; cạnh AB, AC lần lượt là 4x-y-3=0 và x+y-7=0 Viết phương trình cạnh BC.
- Đường cao BH vuông góc với cạnh AC nên có phương trình là: x - y =0
- Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
- Đương cao CH vuông góc với cạnh AB nên có phương trình là:
- Tọa độ điểm C là ngiệm của hệ:
- Đương thẳng BC nhận BC 4;1 làm véc tơ chỉ phương Phương trình đương thẳng BC: x - 4y + 3 = 0
Ví dụ 3 : Cho A(1; 1) Tìm B trên đường d : y=1, C trên đường d’ : y=x+2 để tam giác ABC đều.
Tam giác ABC là tam giác đều:
+ Với b = 1 thay vào (*) Phương trình vô nghiệm.
+ Với b = 2c - 1 thay vào (*) ta được: (2c-2)2 = (c-1)2 + (c+1)2
Vậy có hai điểm C thỏa mãn là:
Do b = 2c - 1 nên cũng có hai điêm B là:
2.3.3 Một số bài toán phát triển
- Giáo viên hướng dẫn để học sinh có thể tổng quát bài toán là cho A(x1; y1) và hai đường thẳng d : ax+by+c=0, d’ : a’x+b’y+c’=0 Tìm B trên d, C trên d’ để tam giác ABC đều.
- Học sinh đã tìm được các bài toán rất hay sau các bạn có thể tham khảo để ôn luyện.
1 Cho A(-3; 5) Tìm B trên Oy, C trên đường y=5 để tam giác ABC đều.
2 Cho A(0; 2) Tìm B trên đường d : y=x, C trên đường d’ : y=x+4 để tam giác ABC đều.
3 Cho A(2; 1), tìm điểm B trên d : x-2y=0 và C trên d’ : 2x+y-1=0 sao cho tam giác ABC đều.
Ví dụ 4 : Trên Parabol (P) : y=x 2 lấy hai điểm A(-1; 1) và B(3; 9), M là điểm thuộc cung AB Xác định M để diện tích tam giác AMB lớn nhất.
Gọi M(a; a 2 ) là điểm trên cung AB Khi đó 1 a 3 Đường AB có phương trình 2x-y+3=0
Diện tích của tam giác ABC là S1
2 AB d(M; AB) Để diện tích này lớn nhất thì d(M; AB) lớn nhất d(M; AB) 2
Nên d(M; AB) lơn nhất khi và chỉ khi a=1
- Giáo viên hướng dẫn học sinh mở rộng bài toán trên cho Parabol và một đường thẳng cắt parabol bất kỳ.
- Học sinh của tôi đã mở rộng thành các bài toán sau
Bài 1 Cho (P) : y=-x 2 +2x+4 và hai điểm A(-2; -4), B(3; 1) Tìm M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Bài 2 Cho (P) : y=2x 2 -4x+3 và hai điểm A(0; 3), B(4; 19) Tìm điểm M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Bài 3 Cho (P) : y=2x 2 -4x+3 và hai điểm A(-1; -1), B(2; -3) Tìm M trên (P) sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
Bài 4 Cho (P) : y=-x 2 -2x+3 các điểm A(-2; 3), B(1; 0) và hai đường thẳng d : y=2x-5, d’ : y=4-x. Tìm M trên cung AB sao cho a Diện tích tam giác MAB lớn nhất. b Khoảng cách từ M đến d lớn nhất. c Khoảng cách từ M đến d’ lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 5 Cho (P) : y=x 2 -3x+2 và đường thẳng d : 2x-y+3=0 Tìm M trên (P) sao cho khoảng cách từ
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, giúp học sinh nâng cao khả năng lập phương trình đường thẳng trong các bài toán hình tam giác và tứ giác Qua việc hướng dẫn kỹ lưỡng, học sinh có mức học trung bình trở lên đã cải thiện đáng kể kỹ năng giải bài tập và hứng thú học tập Cụ thể, sau khi áp dụng sáng kiến này, số học sinh hiểu và có khả năng giải các dạng toán cơ bản đã tăng rõ rệt, thể hiện qua kết quả các bài kiểm tra thử.
Năm học Lớp Tổng số Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5 Số lượng
Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ 2021