Tạp chí toán học và tuổi trẻ tháng 2 năm 2013 số 428

http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http //www vietmaths com/ http /[.]

Trang 2

NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM CÔNG TY CO PHAN DICH VU XUẤT BAN GIAO DỤC HÀ NỘI

a= e Dia chi: 187B Giang Võ, Đống Đa, Hà Nội e DT: (04).362.101.96 - Fax (04).362.102.01

HEPS e MST: 0103.488.607 s TK: 1261.00.00.00.6147 Ngân hàng BIDV chỉ nhánh Ba Đình

đới thiệu Độ sách

ÔN THỊ VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHO THONG CHUYEN

bậc phụ huụnh có một bộ tài liệu ôn thi vào THPT

uuên, NXBGD Việt Nam đã tổ chức biên soạn bộ sách

*Ôn thi uào lớp 10 Trung học phổ thông chuyénỢ gdm các môn học: Toán, Vật lắ, Hóa học, Sinh học, Ngữ văn,

Tiếng Anh Cuốn sách ỘÔn thi uào lớp 10 Trung học

phổ thơng chun - Mơn TốnỢ là một cuốn trong bộ sách nàu

Nive giúp các em học sinh, các thầu cô giáo, các

ể

Nội dung cuốn sách gồm ba phần: Phần thứ nhất gồm 20 chuyên đề bao quát toàn bộ các nội dung cơ bản của mơn Tốn THCS và nội dung các đề thi môn Toán tuuển sinh vào các trường THPT chuyên Mỗi chuyên đề gồm 3 nội dung: Kiến thức cơ bản, Một số kĩ thuật đặc trưng uà uắ dụ minh hoa, và Bài tập đê nghị Phần thứ hai giới thiệu 12 dé thi uào lớp 10 THPT chuyên của Hà Nội, Đà Nẵng, Phần thứ ba là Hướng dẫn giải các bài tập ở các chuuên đề uà đáp án của các đề thi tham khảo

Cuốn sách tập trung trình bày những nội dung điển hình nhất thuộc hai loại:

+ Các nội dung cơ bản sát với nội dung bài thi mơn Tốn

Vòng 1 cho tất cả các thắ sinh dự thi vào THPT chuyên * Một số nội dung nang cao đòi hỏi những kĩ năng đặc

biệt, hướng tới bài thi mơn Tốn Vịng 2 cho các học sinh thi vào chuyên Toán

Các tác giả là những giáo viên dạu Toán có nhiều kinh

nghiệm của một số trường chuyên có tiếng trên cả

nước tham gia biên soạn như các thầy giáo Doãn Minh

Cường (CB) (THPT chuyên ĐHSP Hà Nội), Đỗ Thanh

Sơn (THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội), Trần Văn Khải và Trịnh Hoài Dương (THPT chuyên Amsterdam - Hà Nội)

Hi vọng rằng, cuốn sách Ôn thi uào lớp 10 Trung học phổ thông chuyên - Mơn Tốn nói riêng và bộ sách Ôn

thi uào lớp 10 Trung học phổ thông chuuên gồm 6 môn

nói chung sẽ là tài liệu tham khảo hữu ắch để các giáo viên

Trang 3

ẹ BAI TOAN Cho (am giác ABC và một

điểm O nằm trong tam giác đó Các tia AO,

BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự

OM ON OP _,, 2) OA , OB OC _,

CP AM BN CP ¡LÊN Page gy CÁ, CB OC

LÊ LÊN gy Ot,

Ít nhất Đ ĐA OB OC, gy AM BN CP 5 yp

10) 4M BN CP 27

11) [oa OB [OC 537: OM YON OP 12) ae Ở"ể-Ợ- OA VOB VOC 2 13) jem JON , OP AM \ BN

14) Xác định vị trắ của điểm O đề OA.BC +

OB.CA + OC.AB dat gia trị nhỏ nhái

15) Dat BC = a, AC = b, AB = Ạ va goi

dẤ.d, d tương ứng là các khoảng cach tir O

NGODUCTHODUONGMINHCHAU

DD: 0986885389

1 : hỉ học toán cùng với việc tìm hiểu lời giải cho mỗi bài toán trên cơ sở khai thác các kiến mét giống nhau để hình thành một bài toán có nhiều câu hỏi cũng là một cách không kém phần thú vị Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn một bài toán như thế

Trang 4

3) Ap dung BDT Bunyakovsky va câu 1, ta có

| ait, [OX BN, (OP [ee AMNOM \NBN VON VCP \oOP

evi SM = ) OM ON OP ẹỞỞ+Ở+Ở>9

4) Từ câu 3 ta thay OM+OA ON+OB_ OP+OC

OA (aie | jon OC : AMV OA NBN VOB VCP VOC (24 OB OC l# BN we

AM BN CP) OA OB OC

OA OB OC

OA OB

OA OB OC 2 2 :

OP+ÓOC ` 9 oc À2

O4 2`OB 2`OC 2 (trái với câu 6) OA OB OC

TOANHOC _ 2 'Cluổitye Số 428 2-2015)

OM ậS, OM S, OA _S2 Ss [S253 OM S, S S?

Tươngtự C >2 Hi, ON % ` OP 2

08 OB Oe ng, ổn: OM ON OP 43] 515253 S 9) Ta có Chi ee, Ss

Tươnghy CẾ 2.|22 ốL, CC

11) Ap dung BDT Cauchy và câu 8, ta có

[oa , [oB , [oc

| [04 OB OC

Trang 5

HƯỚNG DẪN GIAI DE THI CHON HOC SINH GIỎI

MON TOAN LOP 9 TINH THANH HOA a NAM HOC 2011 - 2012 Se (Đề thi đã đăng trén TH&TT số 427, tháng I năm 2013)

( a a) 3a-1 )

-Ý34-9,2414 34 _

Vay p=_Ở3 x1 2(Vx-L+2) 2) Tinh x=4(3+2V2) Ở4(3-2V2)

1) Hoanh độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của PT x-2=Ởx? @x?+x-2=0

Do đó A(I;Ở1), B(Ở2;Ở4); AB=\(-2-1) +(-441)" =V18=3V2

2) Điều kién dé dỖ cat (P) tại hai điểm phân

biệt là PT x?-x+m=0 có hai nghiệm phân biệt, tức là A=I-4m>0eom<- Gọi C(x,xịiỞ2), Đ(xa,xƯỞ2) với x; +xị =], XI.Xạ =m Ta có

CD=AB CD? = AB? ẹ2(xỞx;)Ợ =18 (4 +x) Ở4x,x% =9 >1-4m=9<> m=-2 (thỏa mãn điều kiện) Câu II

Từ PT thứ nhất của hệ ta có y ỘỞ Ấ rồi thế

3x?+4x?-4x=0ẹ x(3x?+4xỞ4)=0 > 3x?+4x-4=0 (do x#0)

HPT có hai nghiệm(x;y) là C21)(3:2) 2) Coi PT là bậc hai với ân y y2~2x?y+(2xậ~320)=0

xe{+l,0,+2}

V6i x=0;+1 thi yeZ

Voi x=2 thi y=-8 hoac 24

Với x=-2 thì y=8 hoặc -24

Vậy (x;y)=(2;Ở8);(2;24);(-2;8);(Ở2:-24)

Câu IV (h.1)

Hii

1) Dễ thấy tứ giác 4EHF nội tiếp đường tròn (G) đường kắnh 47 Gọi P là trung điểm @ệ

nh 1

TOAN HOC

Trang 6

Để THIC Ti 19g nai GIỎI MÔN TOầN LỚP 9ITP HÀ NỘI

( Thời, gian Hi bài: dl 50 phú!) Câu I.(5 điểm)

L) Cho biểu thức

A=(42012 + p2012 + Ư2012 )Ở(g2008 + jỮ2008 +2008 )

với a, b, c là các số nguyên dương Chứng

minh răng 4 chia hêt cho 30

2) Cho f(x) =(2x3 Ở21xỞ29)

Câu 2 (5 điểm)

2) CAI hệ phương trình x?+xy+x-y-2y?=0

Tắnh Ặx) Câu 3 (2 điểm)

Câu 4 (4 điểm)

Cho 4 là điểm thuộc nửa đường tròn tâm Ó

đường kắnh 8C (4 không trùng với ỷ, Ạ) Gọi

H là hình chiếu của 4 trên 8C Đường

kinh AH cat AB, AC lan luot tai M, N

1) Chimg minh rang AOL MN

2) Cho AH=2cm,BC=VJ7cm Tinh ban

kắnh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC

Câu 5 (4 điểm)

1) Gọi ,h;,,r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kắnh đường tròn nội tiếp của một tam giác Chứng minh rang tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi

l + 1 + 1 =Ở 1

h+2h h+2h ạ+2h 3r

2) Trong mặt phăng cho 8045 điểm mà diện tắch của mọi tam giác với các đỉnh là các

điểm đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh

rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm

được 2012 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tắch không lớn

hon 1 ,

THANH LOAN ( Hà Nội)

Sưu tầm và giới thiệu

Ộem cua AH thi P la tam của (CỂ) Do

A =ự j¡ (góc có cạnh tương ing vuông góc) nên MEB= PEA suy ra MEP=BE4=90ồ

Do đó ME là tiếp tuyến của đường tron(C\)

Chứng minh tương tự có Ả⁄# là tiêp tuyên của

đường tròn (Ể;)

2) Gọi AM(Ể)=1, ta có AMEI>AMAE

(g.g) Suy ra ME?=MIMA, tương tự

ME?=MD.MK Do đó MIMA= MD.MK,

suy ra AMIDỦ3AMKA =MDI=MAK nên tứ giác 4/DK nội tiép > AIK =ADK =90ồ

=>KILAM Lai c6 HILAM nén J, H, K

Trang 7

i tot nghiép THPT va thi vao Đại hoc

/ thiệu một số phương pháp tắnh tắch

phân thường gặp nhằm giúp các bạn

học sinh chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT

và thị vào các trường Đại học, Cao đẳng sắp tới

I SỬ DUNG PHEP BIEN DOI VI PHAN

1 Tinh tich phan dang

JF (uCe))u' (xd = ff (u(x) du(x)

* Thắ dụ 1 (Khối B-2010) Tinh tich phan

[(+lnx)-2 de -2] dx _jx(@+inx?2 ;x(2+lnx) ;x(2+Inx)? = porns 2jd+In9

= In/2+Inaf, +=

=m3-10

2 Tinh tich phan dang Í(+w'ylx= [d(w)

hoặc Ở Hệ Ộ| VOi u=u0), v= (x) * Thắ dụ 2 7ắah tắch phan I = La

(x+22 J -

1 +2Ở

Ậ= fe ƯỦ+2#

(x42)?

=e-I-4Í ẹ

ồ1

b) {(2vinx le

Il PHUONG PHAP DOI BIEN SO

1 Tắnh tắch phân có chứa biểu thức dạng

VF) Cách giải Ta thường sử dụng phép đổi biến số 7= #ÍẶ(x) * Thắ dụ 3 (Khói A-2005) Tinh tich phân

Lời giải Đặt ¡ = V1+3cosx > f =1+3cosx /2Ở]

0 l=

Khi x=0Ở/=2; khi x=2 ==l, Do đó

a (ete _ jee 2 if dt

=ậ Jar +nar=2( 2 +1) -4q 9} Da:

2 Tắnh tắch phân có chứa biểu thức dạng Va?Ở-x? (a>0)

Cách giải Đặt x = asinf hoặc x = acosi

1

* Thắ dụ 4 Tắnh tắch phân 1 tt

Lời giải Đặt x = cosi, ? e[0;m]Ở dx =Ởsin di

hi i= OSes By bi pe tyesỢ, Tad 2 23

Trang 8

cos? fsintdt _

2

3

* Thắ dụ 5 Tắnh tắch phân

pm

Lời giải Đặt x7, re|T5:2 mờ dục

Khi x=~3>1=-7; khi =

6

7 5 x [= Ở J cosidr =sind|ồ, 13 g

[f(@x)dx = [f(a +b- x)dx,

voi f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ;đ| Cách giải Đặt x=a+bỞ( Với các tắch phân

dang này, thường dẫn đến việc giải một PT

đơn giản mà ân sô chắnh là tắch phân cân tắnh m 4

* Thắ dụ 6 Tắnh tắch phân I = [ln(I+tanx)dx

Lời giải Đặt Tớ dx = ~d/ Khi xe0SI=.: khi x=.=r=0, Do đó TOAN HOC 6 :C[uớitre Số 428 (2-2013)

Vậy [= 7ln2-1 hay I= = in2 a

Trang 9

b

2 Tắnh tắch phân dạng Íp(x)4(e*)dx,

dv=q(e")dx ~ |v= [q(e")dx

* Thi dy 8 Tinh tich phan I = {(x? Ở3x)e*dx

Lời giải Đặt {i

* _" (2x~3kh

1=(x?~3x)e*[ Ở [(2x~3)e*dx =~2eỞ 1

Ta tinh J, = [(2xỞ3)e'dx

Khi đó 1 =(2xỞ3)e'|,

3 Tắnh tắch phân dạng [p(x)4(e*)dx,

th

ơn; Đất |)

xe J= pỂ@)

Cách giải Đặt pm hoặc Rad

Thường dẫn đến PT đơn giản mà ẩn số chắnh là tắch phân cân tìm

2 * Thi dy 9 Tinh tich phan I = {e* cos3xdx

lẤ đều: 3?

3 b 39 b 2

NGODUCTHODUONGMINHCHAU DD: 0986885389

Ở-3e*~2

.Q

4 Tinh tich phan dang [p(x)In* q(x)dx,

trong đó p(x) là một đa thức hoặc có dạng

hoặc là một hàm lượng giác

a"(x)

pn ( = Int g(x) _, Ju = Hint go) de

w=lnx+l) | dy= 2 Loi gidi Dat,

ke =>

Hl

a

=2h2-hnx +2| =3in2- In3

Trang 10

Ộ7⁄2 dữ Ki TH ĐỀ SỐ 5

PHẦN CHUNG Câu I (2 điểm) CÁ TT t1 /thấã số h6:

Cho hàm số y=

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của

hàm sô trên khi m= 1 2) Xác định các tham số m để đồ thị có tiếp tuyên song song và cách đường thăng

d: 3x+yỞ1=0 một khoảng cách bằng V10 Câu II (2 điểm)

(x+J)+(x+I)jy+I+y=6 x+(2+z)y+1=4

Câu IV (1 điểm)

có BAD=60ồ va mat phẳng (SDC) tạo với

mat phang (ABCD) một góc 30ồ Tinh thé

tich hinh chop S.ABCD

Câu V (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

2+4a 34+9b 6+36c

trong đó a, b, c là ba số thực đương thỏa mãn

điều kiện a+b+e=l

PHẦN RIÊNG ;

(Thi sinh chi được chọn một trong hai phân A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy cho hai điểm A(3;5), 8(5;3) Xác định

điểm M trên đường tròn (C):(x-1)Ỗ +(y+2)Ỗ =2

sao cho diện tắch tam giác M4 có giá trị lớn nhât

2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho tam giác 4C có 4(I1;U, 8(0,Ở1;Ở1),

C(3;5;-3) Lập phương trình đường phân giác trong góc A cua tam giác 48C

Câu VII.a (1 điển)

Cho các số phức z thỏa mãn |z-l+2|=v5

Tìm số phức w có môđun lớn nhất, biết rằng

w=z+l+i

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes

8 re Sé 428 (2-2013)

Oxy cho hai diém A(3 ; 4), B(S ; 3) Xác định

2 g2

điểm M trên đường elip (6 - + Ở=I sao

cho diện tắch tam giác Ả⁄4B có giá trị nhỏ

nhât

2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho hai đường thăng

+1 2-3

A:ZEL-2=1-Z-lvàƯ, 3.231 z-3 1 2 2 12 2

cắt nhau năm trong mat phang (P) Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đ và đ; năm trong mặt phang (P)

Trang 11

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 4

Câu I l) Bạn đọc tự giải

2) Điểm cực đại Đ(1;5); điểm cực tiểu 7G;1)

Gọi ậ; là điểm đối xứng của D(1;5) qua trục

Ox, khi đó 6;(1;-5), dễ thấy ậ/7ểOx=

ẹ2cos4x(cos2xỞsin2x)=0 2) Điều kiện Ởl<x#l

4(x-1) Với x>1, VT là hàm đồng biến, VP là hàm

Với Ởl<x<l VT là hàm đồng biến, VP là

nhât x = 0

Câu III Ta có 2

PT <> log; (x+1)+log4(x+2)=

Swan =, AH Ada Mat khac

Bc VS d(E(4AH))=CH Tìm được CH=ỞỞ

đ2-2b+3>2Ở=>ỞỞỘỞỞ<S (1)

Xét hàm số f(c)=c3}Ở3cta?-2a+7 trên khoảng (0;+Ủ) (xem z là tham số) ta có f'(c)=3c?-3=0 khi e = 1 Lập bảng biến suy ra Ặ(c)> /()= a?~2a+5>4 Đăng thức xảy ra khi a = 1 và 263

Xét hàm số g(2)=a*+b*+a2Ở2b?Ở6a+11 trên (0;+00) (xem ở là tham số) Lập bảng biến thiên, ta có g(2)>g(1)=b*Ở2b2+7>6,

Câu VI.a 1) Tim duoc a 3) G(1;2)

PT đường tròn đi qua 4, G, Hla

49 25_

2) Gọi

AB?

Trang 12

@ Cau Vila Số phần tử không gian mẫu

|G|=15! Gọi 4 là biến cố mà người đứng đầu hàng, và cuối hàng là nữ thì |QẤ|= A2 13! JGj_ A213! 1 iiss 7 C4u VI.b 1) PT tham sé cia (d) là |

Xét Me(d) thi M(t;5-t) Goi N la diém déi xứng với M qua Ó thì N(Ở;-5) và Ne(C)

thì vị 2-7 I: <(C)

2) Viết PT tham số của hai đường thẳng sau đó tìm PT đường vuông góc chung Đường

vuông góc chung đó cắt d,,d, ở A4(7;3;9),

B(3;1;1) Mat cau can tìm chắnh là mặt cầu có

đường kắnh 48 PT mặt câu có dạng

(z-5)`+(y-2)ỳ+(zỞ5)Ợ =21

Câu VII.b Xét một khả năng xảy ra khi sút xa 5 lần có 3 lần ghi bàn thăng Khi đó xác

suất cho khả năng này là (0,7) (0,3) =0,03087

Mặt khác, số khả năng xảy ra trong 5 lần sút

có 3 lần ghỉ bàn thắng, 2 lần không là C$

Vậy xác suất dễ Đội Việt Nam ghi 3 ban

thắng trong 5 lần sút xa là C3.0,03087=0,3087

(GV THPT Tran Thu Dé, Thai Binh)

Từ đó 2+(:~5)Ợ~8z+4~20+16=0ẹ 0= ể ; p= Vay _= y rt, aft) e(d) thi

nfaL aoe, of P a 3? 39 2 CÁC BÀI TOAN (Tiép trang 2)

OA+OK > 4H ẹ(OA+OK).BC> AH.BC <= OA.BC22SỞ25S, Dang thức xảy ra khi và chỉ khi điêm Ó thuộc đường cao 4H

Tương tự O8.C4>2SỞ2%; ; OC.AB>2S~2% Do đó OA.BC + OB.CA+OC.AB > 6SỞ2(S,+S2+5S3) <= OA.BC+OB.CA+OC.AB24S

Vay min(OA.BC+OB.CA+OC.AB)=4S, đạt được khi và chi khi diém O 1a trực tâm của tam giác ABC 15)a) Ta có ge \(abc) =(ad, (bd; (cd-) < ad, +bd,+cd.) (2) = dydyd, <

Do đó tắch đẤđẤđẤ lớn nhất khi và chỉ khi

giác ABC

TOAN HOC 10 ỘcTusitre Số 428 @-2015)

ar

a2+b2+c2+2ab+2be+2ca=(a+b+c)Ẽ ặlta4 +b.d,+ce.d,)=(a? +b? +c?) a be (a+b+c)

o Ở+Ở d, ds d, 4+ Ở > a5 Ở (ông đô) ông đổi)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d, =d, =d, hay

O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 4BC FT Bây giờ chúng ta hãy tự tìm phần kết luận của

những bài toán có phân giả thiết như sau:

Cho tam giác ABC nhọn và M là một điểm bat ki nam trong tam gidc đó Gọi H, K, L lần lượt là

hình chiếu của M trên các cạnh BC, C4, AB Chúc các bạn thành công

NGODUCTHODUONGMINHCHAU

Trang 13

LAP DAT DEN MAU

ể chuẩn bị đón Xuân Quý Ty bạn Mzi

làm một hình (khung) đa diện như hình vẽ (cạnh phắa trước có nét đậm hon) Ban Mai

dự định lắp ở mỗi đỉnh một bóng đèn màu và đặt một đường dây điện đi theo các cạnh đến tất cả các bóng đèn, bắt đầu ở đỉnh A và kết thúc ở đỉnh ỷ, sao cho đường dây điện đi qua mỗi đỉnh chỉ một lần Bạn Mai da dat day 6

đoạn AC, nhưng chưa biết đặt tiếp ra sao để

Trang 14

TOAN HOC SO CAP _

a bạn trẻ yêu toán thân mến! Xuất phát từ một kết quả thú vị, hoặc một bài toán

quen thuộc, nhờ vào những hệ thức liên hệ

giữa các yếu tố trong tam giác đôi khi chúng

ta có thể tìm được các công thức hoặc các bất

đẳng thức mới Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu thêm một số tắnh chất khá thú vị

trong hình tam giác xoay quanh Công ?hức

Euler, hay còn gọi là Công thức Pedal để

minh hoạ cho ý kiến trên

I CÔNG THỨC EULER

Cho tam giác ABC M là một điểm bắt kì

trong tam giac do Goi Ma, My, M, theo thứ

tự là hình chiêu vuông góc cua diém M lên

các cạnh BC, CA và AB; O, R lần lượt là tâm,

bán kắnh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó ta có hệ thức ẨM MyM,

S| q0) OM =RÌ~ an

Chứng mình Cách ¡ Nỗi MA cắt lại đường

tròn (Ó) tại điêm 7 (h.I), ta có

1 Ở

M,M,M, = 0u Mộ M.M,.sinM,M.M, Sử dụng định li sin cho tam giac MM,M ta

thay Để wat ẹ = MA Hay M,M = MA.sinA

I : =~ MA.MB.sinA.sinB.sinM,M.M Chi y rang 2

M,M.M, = MBD và từ định lắ sin cho tam

giac BMD ta thay MB.sin MBD = MD.sinC

TOAN HOC 12 :cTuổitre Số 428 (2-2015)

"` ai lạm

chimg minh OM?= R? Ở se 5

:

Cách 2 Sử dụng kết quả: Với mọi tam giác ABC ta có công thức sau

OM?=R(~42,Â, sinỢ CỞ4Â;Â; sinỢ 4

Ở4/,4 ,sinỢ 8) (*), rong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp, M là điểm bắt kì trong mặt

3

phẳng chứa tam giác ABC, A,el và vA =1

i=l

(Xem phép chứng minh kết quả này trong Tap chi TH&TT sô 376, tháng 10 năm 2008)

Trở lại việc chứng mình hệ thức Euler - Goi ra, Tp, Ve lân lượt là khoảng cách từ điêm

M đến các cạnh 8C, C4, 4B, còn hẤ,h,,h, là

Trang 15

4r,u,.sin? C _ 4n,z sinỢ 4 OM=R?|1Ở h,h, hh,

4.(28 yyy SiN A) 4.(2S yyy), Sin B) _ h,h, _ hh,

4S? sac AS? snc

Nhận xét 1) Hệ thức (1) đúng với mọi điểm

M nam trong hinh tron (O; R) (OM? < R?)

2) Néu M nam ngoai hinh tron tam O, ban

kinh R (OM? > R?) thi ta cé hé thire

OM? = R? vare| I MOT SO Ki HIEU VA NHUNG HE THUC QUEN THUỘC

Với mỗi tam giác 48C (BC=a, CA=b, AB=c,

BAC=a, ABC=f, ACB=/) ta gọi R, r lần

lượt là bán kắnh đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp Còn Ó, 7, E, N, L, G, H, J theo thứ tự là

tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn

nội tiếp, tâm đường tròn Euler, điểm Nagel,

diém Lemoine, trong tâm, trực tâm, điểm

Gergonne cua tam giác ABC (ỞẤ Ó,; O.) ,

Cas Ip; +), (Ea Ep, E.) Ừ (Nas Noy Ne), (Las Lo;

Le), (Gai Go; Ge), (Ha Ho; He), JaỖ Jos Jc)

theo thứ tự là các bộ hình chiếu vuông góc của các điểm O, 1, E, N, L, GỂ, H, J lên các

cạnh 8C, C4, 4B Ngoài ra, ta gọi K là tâm

đường tròn bàng tiếp tương ứng với đỉnh 4

của tam giác ABC va K,, Ky, K theo thir tu la hình chiếu của K lên 5C, CA, AB; còn p là

nửa chu vi tam giac ABC Ching ta đã được làm quen với các hệ thức sau (xem Tạp chắ

TH&TT số 376, tháng 10 năm 2008) 0G*= R= a +H +e) (3) OH? =9R? - (a2 +B? +0) (4) OI? = R?- 2Rr (Hệ thức Euler) (5)

(4R+r) NỢ=(RỞ 2n) (8)

(+h +e?)

I MOT SO HE THUC TRONG TAM GIAC

Trang 16

OG? = R* - 1 (4? + b? + c?) Suy ra

56.6.6, - a +b? +e?

Suse 36R?

Kết quả 4 1) Với tam giác 48C nhọn, cho

diém M tring với diém H, từ hệ thức (I) ta

on =e Ởane{ } Mặt khác, từ (4)

có OH= 9RẺ ~ (đỢ + bỶ + c?)

Sinn, a +b +c 9 Sic AR? Ổ

2) Với tam giác 4BC có một góc tù thì từ các công thức (2) và (4) ta nhận được kêt quả a?+bẼ+c?

pc A4R ` Kết quá 5 Cho điểm M tring voi điểm E Từ

Sitgtstte Ở 2_ công thức (1) ta có OE ? = R2 -s#|

OE?= 2 rh (at +b?+cỖ)

SE, EẤ aồ+Đ?+c? 5

Supe 16R 6 Két qua 6 Cho diém M tring voi diém J Tir

Từ đó có kết quả công thức (1), ta cd OJ? = R? Ở sn

(4R+r} 3 _ P rữ+R) Sage RÌ(4R+r} Kết quả 7 Cho điểm Ả⁄ trùng với điểm Ư

OJ?=R?Ở et) an Số 428 (2-2015) 14

(a2+b?+c?)? ` Suy ra Sint hig Sige AR (a? +b? +07)Ợ

Kết quả 8 Cho điểm M tring với điểm K Từ

công thức (2), lưu ý K năm ngoài đường tròn S

eee } Từ

công thức (6) có OKỢ = RỶ + 2RzẤ , nên (O; R) ta thấy OK ?= R? + an mg, SƠ SẤc 2R`

Syne <1 -ậ) Sic RL R)

Điểm Brocard Xét tam giác ABC, khi đó có đúng hai điểm B, va B; nằm trong tam giác ABC sao cho

BCB, = CAB, = AGE 0 (h.3); BCB, - CAB, = ABB,

on? = an ON?=(R-2r)Ỗ Từ đó

Bị,B, được gọi là các điển Brocard của

tam giác ABC, ụ,Ủ được gọi là góc

Brocard tương ứng với các điểm Bị, BỈ Ta tắnh khoảng cách từ Ó đến điểm B,

Dat AB, = x, BB, = y, CB, = z Ta thay

Trang 17

Từ đó sin 4B,C =sinz Sử dụng định Ii sin

cho tam giác AC, ta có

b _ z7 _ bsing, sin ABC sing, siny Ẽ Ấ _._ C.SInđ) Ấ a.sin@,

Mat khac, Sage = 5 sin AB,C = any 2 c.SiN@, sinỢ a l sina Ổsiny = Sape- sin? @ =ậ (1) 1 in2

sinỖ y 2 sinỖ a

Spp a =Sapc- BBA ~PABCỎ 2 B (3)

Cho diém M tring véi diém B, va chon

_ Scae sin? sn Sage _ sinỖ @,

4 Shoe apc sin? y ỘSoc ante ỔABC SiNỢ @ " sin? sinỢ a

Từ công thức (*) ta thu duoc OB? = RỂ ỞsinỢ ụ

x ẻ + a + Đề

14,1 = Rồ -16R* sinỔ (+ 2] (4)

Chú ý rằng Sxgc = SApiC Ẩ Ếcpịp + ẾggAẤ Tiên

1 _ 1 + 1 _ 1 sin? a sina sinỖ sinẼy a2p2c2 ẹ 4R?.sinồụyỞỞỞỞỞỞỞỞ (5)

Từ (4) và (5) nhận được

08 = Os d2? +b?c? +c2a? Kết quả 10 Gọi B,Ấ, Bụ, , B,Ấ lần lượt là hình =#(~4sin? a)) chiếu vuông góc của điểm Brocard B, lên các

Cho điểm # trùng với điểm B, Từ công thức S5 mụn, }

b+ be? + 07a? (1) c6 OB? =R? - sr Mặt khdc OB,? = R? Ở

a?bồc?

Sine AR?(4?b? + bồc? + c?a2)`

Chúng tôi xin được kết thúc bài viết tại đây Một vấn đề đặt ra cho bạn đọc là trong số

mười tam giác O,0;0 IẤ,l,klẤ EẤE;E,,

XN.M,N., LLL, GiGsGi, H,H,H., TI Tey

K,K,K., B,,B,,B,, hay thtt sap thir ty vé mặt

diện tắch mười tam giác đó theo quan hệ "<"

hoặc ">" Chúc các bạn thành công!

IV BÀI TẬP ĐÈ NGHỊ

Chứng minh rằng với mỗi tam giác 4BC ta có

các kêt quả sau: 4S1pc (@ +B? +cỖ) ; Sa, mụn Ề =sinỢ ụ = 1 S, GqG,Ge = 9a?b2c? >

2.8 485 pc

te Sian

S aồ+bồ+c?)

5 Chứng minh lại định lắ về đường thắng

R.Simson

6 Gia sir a là góc Brocard của tam giác ABC tương ứng với điển Brocard B, Chứng

2 minh rang sing, > (5)

7 Giả sử M là {1a diém nan nam trong tam giác ABC sao cho MAB=MBC=MCA =Ủ Chứng minh rằng

a) cotụ=cot A+cot B+cotC ;

b) sin? w=sin(A Ởq@).sin(B-@).sin(C -@);

c) Xác định góc ụ lớn nhất thoả mãn câu a)

TOÁN HỌC

Trang 18

CÁC LỚP THCS Bài T1/428 (Lớp 6) Tìm tất cả các bộ ba số

LƯU LÝ TƯỞNG

(GV THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ)

Bài T2/428 (Lớp 7) Cho tam giác 48C

vuông tại 4 với đường cao 4H, 4CB =30ồ

Dựng tam giác đều 4CD (D và B khác phắa đối với 4C) Gọi K là hình chiếu vuông góc

của ; trên 4C Đường thẳng qua #7 và song song với 4D cắt 4B kéo đài tại Ả⁄ Chứng

minh rang ba điểm D, K, M thang hàng

CAO NGOC TOAN ; (GV THPT Tam Giang, Phong Điên, Thừa Thiên-Huê) Bài T3/428 Xét bàn cờ có dạng hình vuông

6x6 ô vuông bị khoét đi 4ôở4 góc (hình vẽ) Hãy tắnh số ô vuông nhỏ nhất có thể bôi đen sao cho 5 ô vuông tùy ý tạo thành một

hình dau + luôn có ắt nhất

(GV ĐHSP Hà Nội)

đoạn [1;2] Chứng minh rằng

a?+b?+c?ồ+3ả (abe} >2(ab+ be + ca) TRAN TUAN ANH

(GV ĐHKHTN, ĐHQG TP Hỗ Chắ Minh)

Bài T5/428 Cho tam giác không vuông 4BC (AB < AC) với dudng cao AH Goi E, F theo

thứ tự là hình chiêu của # trên AB va AC

TOAN HOC

1 ỘCTuổitre Số 428 2-2015)

Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm 4 vẽ

nửa đường tròn đường kắnh CD Qua ỷ vẽ đường thắng vuông góc với CD cắt nửa đường tròn trên tại K Chứng minh rằng DK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF

LÊ XUÂN DƯƠNG

(GV THCS Lý Thường Kiệt, Yên Mỹ, Hưng Yên) CÁC LỚP THPT

nghiệm thực dương Hãy tìm giá trị lớn nhất

9b~10(3a~Ở1) PHẠM ĐÌNH HẢI (TP Ho Chi Minh) Bai T7/428 Giải hệ phương trình 1 1 x-Ở+,fy-Ở =v3 Vay 4 i 1

\ 16 V" 16 v3 9 9

V7 16 V 16 v của biểu thức P =

Bài T8/428 Cho hai hằng số thực a, ở thỏa

mãn ab>0 Xét dãy số (w,) với

n=1,2,3, được cho bởi ứ =a; Ấ., =uẤ + bu?

(Vweứ'") Tắnh lim [Betts Mn }

TS, Hà Una

NGUYEN VAN XA

(GV THPT Yén Phong So 2, Bac Ninh)

TIEN TOI OLYMPIC TOAN

Trang 19

cho với mọi số nguyên tố p va Với mọi số tự

nhiên a, ở ta có nêu p là ước của (ab Ở &) thì p là ước của (/4)/(Đ) Ở k)

TRÀN NGỌC THÁNG

Bài T10/428 Cho z,e[0;Z] (/=1.n), (ụ>0)

[Iề-s)<z['-Ế Si

n trong đó S, = Ya Ởa, V6imoi i=l,n

DO THANH HAN

(GV THPT chuyén Bac Liéu)

Bai 111/428 Cho tam gidc ABC va diém O năm trong tam giác Tia Ox song song voi AB va cat BC tai D, tia Oy song song với BC và

cắt C4 tại E, tia Oz Song song với C4 và cắt

AB tai F Ching minh rang 1

a) Sper 53 Sắc >

b) OD.OE.OF<27.AB.BC.CA

LỤC ĐỨC BÌNH

(GV THPT Trưng Vương Đông Hà, Quảng Trị) Bài T12/428 Cho hai đường tròn (Ở) và (G) cắt nhau tại A, B Điểm C cé dinh thudc (OQ) và điểm D cé dinh thudc (0Ỗ) P di chuyén trên tia đối của tia 84 Đường tròn ngoại tiệp các tam giác PBC, PBD theo thứ tự cắt BD, BC tại điểm thứ hai E, F Chứng minh rằng

trung điểm của đoạn thăng ặƑ luôn thuộc đường thắng cố định khi P di chuyển

TRAN QUANG HUNG (GV THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội)

CÁC ĐỀ VẬT LÍ

Bài L1/428 Đặt điện áp z=400cos100

(u tinh bang V, ằ tắnh bằng s) vào hai đầu đoạn mạch 4 gồm điện trở thuần 50O mắc

nôi tiệp với đoạn mạch X Cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch là 2A Biệt 6

thoi diém ằ, dién ap tirc thi gitra hai dau AB có giá trị 400V; ở thời điểm 4269), cường độ dòng điện tức thời qua đoạn mạch bằng không và đang giảm Hỏi công suất tiêu

thụ điện của đoạn mạch X là bao nhiêu ?

NGUYỄN QUANG HẬU

(Hà Nội)

Bài L2⁄428 Trên trục chắnh của một thấu

kắnh có điêm sáng Ế cách quang tâm 30cm Di chuyên thâu kắnh ra xa vật với vận tôc không đôi y= 5cmús

a) Tắnh tiêu cự của thấu kắnh, biết rằng khi thấu

kắnh đi chuyên được 2 giây thi van toc anh cua S

bắt đâu đôi chiêu

NGUYỄN VĂN THUẬN

FOR LOWER SECONDARY SCHOOLS

11/428 (For 6" grade) Determine all triple

of prime numbers a, 5, c (not necessarily

distict) such that

abc < ab + be + ca

12/428 (For 7" grade) Let ABC be a right

triangle, with right angle at A and AH is the

altitude from A, ACB=30ồ Construct an

equilateral triangle ACD (D and B are in opposite side AC) K is the foot of the perpendicular line from H onto AC The line

through H and parallel to AD meets AB at M Prove the points D, K, Mare colinear

13/428 Consider a 6x6 board of squares with 4 corner squares

being deleted (see picture) Find the smallest number of squares that can be painted black given that among the 5 squares in any

figure +, there is at least one black

(Xem tiếp trang 27)

TOÁN HỌC

Trang 20

* Bai 11/424 (Lớp 6) Tim tat cả các số

gồm hai chữ só sao cho khi nhân số đó với 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thi tổng các chữ só của chúng đều bằng nhau

Lời giải Gọi số phải tìm là x thì các số sau có tổng các chữ có đều bằng nhau: 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x (*) Vi 9x chia hết cho 9 nên tổng các chữ sô của nó chia hết cho 9, do đó tổng các chữ số của 2x cũng chia hết cho 9 Do 2 và 9 nguyên tố cùng nhau nên x phải chia hết cho 9, nghĩa là x thuộc tập hợp {18,27,36,45,54,63, 72,81,90,99} Theo diéu kiện của đề bài ta thấy, các số 27, 36, 54, 63, 72, 81 có ắt nhất một số trong dạng (*) không thỏa mãn Thử với các sô 18, 45, 90, 99 thi thây thỏa mãn đê bài

>Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Phú Thọ: Trần Minh Hiếu, Lê Nguyễn Quỳnh Trang, Nguyễn Phương Thảo, Nguyễn Hoàng Hải, 6C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Nguyên Kiên Chung, 6A, THCS Nguyễn Quang Bắch, Tam Nông; Vĩnh Phúc: Đỗ Minh Trung, Nguyên Tường Vy, Nguyễn Thị Thùy Dung, Trân Thanh Huyền, Nguyễn Thành Vinh, Nguyễn Ngọc Bảo Linh, Nguyễn Vương Huy, Nguyễn Ngọc Xuân

Huy, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Tran

Quang Đức, 6A1, Nguyễn Minh Hiếu, Bùi Thị Liễu

Dương, 6A5, THCS Yên Lạc; Hà Nội: 7ạ Lê Ngọc Sáng, 6E, THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam; Nghệ An: Nguyễn Văn Toàn, 6A, THCS Lý Nhật Quang, Đô Luong; Quang Ngãi: Định Thị Ngọc Hà, Đỗ Trân Công Phương, 6A, Nguyễn Tân Duy, Nguyễn Hiếu Ngân, Hô Thị Ánh Tuyết, 6B, THCS Hành Phước, Nghĩa Lộc, Tuy Phước VIỆT HẢI * Bài T2/424 (Lớp 7) 2 3

Che B=

`

tani, 2m

Do đó OP 2 st Fx 41),

Thay (m,k) lần lượt là (2;2013),(2?;2013?),

(asthe 2013-1 2013?-1) \201%-1 201327 -1

Ộ(sea ~I 2013224 =} Từ đó

~ 2013-1 201322" Ở1 1006 201322" 1 Suy ra S <Ởo

>Nhận xét Trong 38 lời giải mà Tòa soạn nhận được

có hai bài giải sai và một chưa chắnh xác Các bạn còn

lại làm đúng và phân lớn làm theo phương pháp trên hoặc tương tự Tuyên dương các bạn sau đây: Phú Thọ: Nguyên Vũ Nguyên Tùng, 7A, THCS Phong Châu; Nghệ An: Czo Đức Bảo, Võ Thi Thu Hà, Nguyễn Thanh Lâm, Ngô Trắ Nguyên, Nguyễn Trọng

Nghĩa, 7C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu; Hà

Tĩnh: Nghiêm Thị Ngọc Ảnh, Nguyễn Lệ Giang, Tran Minh Hiếu, Võ Thị Hông Liệu, Bùi Minh Thúy, Lê Thị Ngoc Tram, Tran Thị Tường Vy, Lê Thị Thu Uyên, TB, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ; Quảng Ngãi: Nguyễn Thi My Chi, Cao Thi Thiy Diém, Dinh Thi Ngoc Ha, _Nguyễn Thị Hạnh, Phạm Thị Mỹ Hằng, Nguyễn Tấn Phúc, Nguyễn Thúy Phượng, Đặng Lưu

Trang 21

Ha Vy, 7A, THCS Hành Phước, Nghĩa Hành; Nguyên Đại Dương, THCS Nguyễn Kim Vang, Nghĩa Hành;

Tran Thi Mỹ Linh, Phạm Quốc Trung, 7A THCS Nghĩa Mỹ, Từ Nghĩa; Tiền Giang: Trân Thị Ánh Trinh, 72, THCS Tân Mỹ Chánh, Mỹ Tho

TẠ NGỌC TRÍ

* Bai 13/424 Tim nghiệm nguyên của phương

trình

(vy Ở2)x? +(9? Ở6y + 8)x = y? ỞSyt 62

Lời giải PT đã cho tương đương với

(y-2)*?+(y~2)\(y~4)x=(y~2)w~3)+56

cẹ (y-2)(x? +(y~4)x~(y~3)) =56

ẹ(y-2)(x-I)(x+y-3)=56 Ể9)

Nhận thấy (x~I)+(y~2)=x# y~3, nên ta

phân tắch 56 thành tắch của 3 số nguyên sao cho tổng hai số đầu bằng số còn lại Như vậy ta có 56=l1.7.8=7.1.8=(-8).I.(Ở7)=l (Ở8).(Ở7)

= (-8).7.(-1) =7.(-8).(-1) Tir do ta tim

được các số nguyên (x;y) là (2;9),(8;3), (-7;3), (2;-6), (Ở7;9), (8;-6) 0

>Nhận xét I) Nhiều bạn tham gia giải bài nay Tat ca biến đổi được đến (*), nhưng chỉ có ắt bạn tìm được đầy đủ 6 nghiệm của PT, phần lớn đều thiếu hai nghiệm (x;y) là (Ở7;9), (8-6) Lắ do là các bạn đã phân tắch 56 thiếu hai truong hop 1a 56=(-8).7.(-l) = 7.(-8).(-1) Một số bạn không để ý (x-1)+(yỞ2)=x+yỞ3 nên lời giải còn dài

2) Các bạn sau có lời giải tốt: Bắc Ninh: Nguyễn Chắ Trung, Nguyễn Quang Minh, 9A, THCS Yên Phong; Vĩnh Phúc: : Nguyễn Thị Nga, 9A, THCS Yên Lạc; Phú Thọ: Nguyễn Đức Thuận, 8A3, THCS Lâm Thao; Hà Nam: Nguyễn Thanh Tùng, 9A1, THCS Nguyễn

Khuyến, Bình Lục; Thanh Hóa: Lê Văn Duẩn, 8D,

THCS Nhữ Bá Sỹ, Bút Sơn; Quảng Ngãi: Nguyên Thị My Chi, Pham Thi My Hang, 8A, THCS Hành Phước, Nghia Hanh, Tran Thị Mỹ Linh, 9A, THCS Nghĩa Mỹ, Tư Nghĩa; TP.Hồ Chắ Minh: Đồ Nguyễn Vinh Huy, 9A1, THPT chuyên Trần Đại Nghĩa, Quận 1

TRÀN HỮU NAM

* Bài T4/424 Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa sơ sẽ Pee &x AI d

mãn đăng thức X +V { : =2 Chứng

x+y

minh rang [1+ xv là một số hữu tỉ

Lời giải Với điều kiện x+ y #0, ta có 2

+2 S0) =2

x+y

(xy) -afayet)e{ 224) =0

(x+y) =w+lẹ \x+y =|x+)| Do x, y là các số hữu tỉ nên |x + y| là số hữu tỉ Vậy vJxy+l là một số hữu tỉ

ỘNhận xét 1) Bài này có nhiều bạn tham gia giải Tuy nhiên đa số các bạn đều mắc sai lầm khi suy luận

(x+ vy =xy+l =.jxy+l=x+ y (!) và quên đặt điều

kiện x+ y#0

2) Các bạn sau có lời giải tốt: Phú Thọ: Nguyễn Quang Khai, 9B, THCS Văn Lang, Việt Trì, Thạch Hoàng Tiến, Nguyễn Tiên Dũng, 9A3, THCS Lâm Thao; Bắc Ninh: Nguyễn Quang Minh, Nguyên Thu Hiển, 9A,

THCS Yên Phong; Vĩnh Phúc: Nguyễn Thanh Thủy,

ậA; Nguyễn Thị Nga, Nguyên Thị Khánh Huyễn, 9A, THCS Yên Lạc; Hà Nam: Đồ Đăng Dương, Hoàng Đức Mạnh, 9A, THCS Định Công Tráng, Thanh Liêm; Nghệ An: Phạm Việt Anh, Phạm Phượng Ngọc, 9A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Hà Tinh: Than Văn Hòa, Trần Đoan Trang, 9C, THCS Xuân Diệu, Can Lộc; Phú Yên: Tran Dé Bao Huan, 9B, THCS Nguyễn Thị Định, Tây Hòa; Quảng Ngãi: Phạm Thiên Trang, 7A; Đặng Lưu Việt Quy, Vii Thi Thi, 8A; Nguyên Thị Mỹ Chi, Dinh Thi Ngoc Ha, 9A, THCS Hành Phước; TP Hồ Chắ Minh: Do Nguyễn Vĩnh Huy, 9A1, THPT chuyên Trần Đại Nghĩa, Quận 1

PHẠM THỊ BẠCH NGỌC

* Bài T5/424 Gia sw O la giao diém cua hai

đường chéo AC va BD cua tứ giác lôi ABCD

Gọi E, F,ý H lân lượt là chân các đường

vuông góc kẻ từ B, Ạ, Q đên 4D Chứng mình răng AD.BE.CF < AC.BD.OH Đăng thức

xảy ra khi nào?

Trang 22

AT= AOẹT=O, tức là 4C L 8D

Nghĩa Hành; TP Hồ Chắ Minh: 7rang Vĩ Hùng, 9A1, THPT chuyên Trần Đại Nghĩa, Quận I NGUYÊN XUÂN BÌNH *% Bài T6/424 Xé/ các số thực dương a, b, c

GP +S B+5

a +14+1>3ầa 1.1 > a8 +2234

S wt? > ey wT R(bec) a'(b+e) a(b+c) Ở 3a?be _ bebe? _ 3(x+x?) _a(b+e) a@(btc) 9 ytz |

B+5 Ấ30+7ồ), c?+5 Ấ 3(z +Ợ) b(c+a) Ở z+x (ath) x+y `

a(b+e) P(c+a) c(a+b) 20 Nhàn: Số 428 (2-2015)

y+z ztx X+y yẨZ ZẨX x+y Với các số thực dương x, y, z ta có hai bất đăng thức quen thuộc

a a (2) (BDT Nesbit);

eo sett gy

Lại có x+y+z>3Ỳxyz =3, kết hợp với (3)

Từ (1), @2) và (4) thu được ae + bì+5 4 +5 a(b+c) b(c+a) cl(a+b)

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =1

>Nhận xét 1) Day là bài toán không khó nên có rất nhiều bạn gửi bài giải và hầu hết làm đúng Có thê chứng minh các BĐT (2) và (3) bằng cách đặt

A=y+z; PB=z+x; C=x+y; P=x+y+z Sau khi biến đổi ta được cả hai BĐT (2) và (3) tương đương với

(A+8+C(T+te]>9: BĐT này được A BC >9 (đpem) Suy Ta bằng cách nhân theo về hai BĐT sau I1 1 3 A+B+C>3ỲABC và Ở+Ở+Ở> Ổ A BC ABC 2) Các bạn sau đây có lời giải tốt:

Tiền Giang: Cháu Hoàng Long, 10 Toán, THPT chuyên Tiền Giang; Nghệ An: Dương Khánh Linh, 10A1, THPT Cờ Đỏ, Nghĩa Đàn; Hà Tĩnh: Nguyễn Hữu Đức, Nguyễn Thị Việt Hà, Võ Mỹ Linh, 10 Tốn I:

Hồng Đại Phú, 10 Toán 2, THPT chuyên Hà Tĩnh;

Quảng Nam: Nguyễn Thanh Hải, Nguyễn Thành Luân, 10/1, THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Tam Kỳ; Bình Định: Nguyễn Hồng Tâm, 10T, chuyên Lê Quý Đôn; Hưng Yên: Phan Văn Quý, Bùi Gia Khánh, \0T1,

THPT chuyên Hưng Yên; Thanh H6a: Pham Anh Thu,

10A1, THPT Lê Văn Hưu; Long An: Nguyễn Minh Trắ, Lê Thành Nghĩa, 10 T1, THPT chuyên Long An; Bến Tre: Nguyễn Duy Linh, Từ Nhật Quang, 10 Toán, THPT chuyên Bến Tre; Quảng Ngãi: 7rương Quang Huy, 10 Toán 2, THPT chuyên Lê Khiết; Quảng Bình: Ngơ Hồng Thanh Quang, 10 Toán, THPT chuyên Quảng Bình

Trang 23

* Bài T7/424 Giải phương trình

1) LÝ G ể =3(x +t] :

x4 1 LÝ

LÝ LÝ/(, 1Ý {x+541) o{e+4n} (+1) x4 x? x4 (ers)

> Nhận xét Có nhiều bạn tham gia giải bài toán trên và đa số cho lời giải đúng Bài toán trên cũng có thê giải được nhờ sử dụng BĐT Holder, BĐT Cauchy hoặc BĐT Jensen Một sô bạn khi áp dụng BĐT Holder với ba bộ sô bat kì mà quên điêu kiện các số phải không âm Các bạn sau có lời giải tốt: Thái Bình: Vi Van Dãng, 10T2, THPT chuyên Thái Bình; Hà Nội: Nguyên Đình Thịnh,

11A1, THPT Thanh Oai B; Nguyên Duy Khánh, 12AI,

THPT Ba Vì; Nghệ An: Lê Hồng Đức, Trương Công

Phú, LIAI, THPT chuyên Phan Bội Châu, TP Vinh; Phan Xuân Đức, 11C4, THPT Nam Đàn 2; Bùi Hoàng Dat, 11C1, THPT Nguyén Đức Mậu, Quỳnh Lưu; Hà

Tĩnh: 7hái Khắc Tiến, Nguyễn Thị Việt Ha, 10TI, THPT chuyên Hà Tĩnh; Đông Tháp: Nguyên Phương Ngọc, 1IT, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu; Phú

Vên: Lê Nhật Thăng, 12 Toán, THPT chuyên Lương

Văn Chánh

NGUYÊN THANH HỎNG

*Bài T8/424 Cho tam giác ABC có góc BAC

nhỏ hơn 909 Giả sử P là một điểm thuộc miễn

trong tam giác ABC sao cho BAP=ACP va

CAP=ABP Gọi M và N lần lượt là tâm đường

tròn nội tiếp các tam giác ABP va ACP, R la ban kinh duong tron ngoai tiép tam giác AMN Ching minh rang

1 1 1 1

Ở =Ở_ + Ở_ + Ở_ R AB AC AP

Loi gidi Goi E là giao diém cia PM va AB; F la giao diém cua PN va AC Từ giả thiết ta có

MPBu>r ACP A(g.g), dan dén APB=APC

=180ồ-BAC Suy ra EPF =+(4PB+ APC)

=180ồỞB4C Do đó tứ giác 4EPF nội tiếp Cũng từ 4PB= 4PC ta thấy APE = APF

suy ra AE=AF

Theo tắnh chất đường phân giác trong các tam giác 4EP và AFP ta cé

Tá _ EN 5 UNEP Lai i EF EM AE AF NF

PE AP+AE en in", Ap dung dinh li sin AP+AE 2

Trang 24

tên những bạn có lời giải gọn hơn cả:

Hà Nội: Nguyễn Trọng Bách, 12 Toán 1, THPT chuyên

ĐHSP Hà Nội; Hải Phòng: Lương Thế Sơn, 10 Toán,

THPT chuyên Trần Phú; Hòa Bình: Đặng Hữu Hiếu, 12 Tốn, THPT chun Hồng Văn Thụ; Vĩnh Phúc:

Hoàng Đỗ Kiên, l2A1, THPT chuyên Vĩnh Phúc;

Hưng Yên: Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Việt Hà, 11 Toán 1, THPT chuyên Hưng Yên; Nam Định: Trần

Phúc Tài, 10 Toán 1; Vũ Tuấn Anh, 11 Toán 2, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Thái Bình: Trinh Thi Thiy

Dương, II Toán 1, THPT chuyên Thái Bình; Nghệ An:

Lê Kim Nhã, Lê Hông Đức, Chu Thị Khánh Vân, Đậu

Chỉ Mai, Nguyễn Văn Tiến, L1A1, THPT chuyên Phan Bội Châu, TP Vinh; Phú Yên: Lê Nhật Thăng, 12 Toán, THPT chuyên Lương Văn Chánh, TP Tuy Hòa; Long An: Nguyên Hữu Minh Nguyệt, IIT; THPT chuyên

Long An; TP Hé Chi Minh: Dinh Dat Thanh, 10CT1,

THPT chuyên Lê Hồng Phong HỖ QUANG VINH

* Bài T9/424 Giải phương trình

Lời giải Nhận thấy tất cả các số nguyên x déu là nghiệm của phương trình Xét x ặ Z2, ta có

x4 2faT [xP -2x =(+~[xƑ)~2(+2 =(x-L[x]).A, trong dé -[xỲ) A=x?+x[x]+[xỳ -2(x+[x]) Chú ý: +) Nếu x < 0 thì [x]<-l= 4>0 +) Nếu x>2 thì[x]>2

nên A=x(x-2)+[x]([x]Ở2)+xx] >xI[x]>0

Tir dé suy ra néu xằZ va x la nghiém cua phương trình thì 4 = 0 và 0<x<2 Bởi vậy

hoặc [x]= 0 hoặc [x]= 1 s [x]=0= 4=x?Ở~2x=0=xe{0;2}, loại

TOAN HOC 22 Ộcluổitye Số 428 @-2015)

>Nhận xét Đây là bài toán phan nguyên dang cơ bản, không quá khó Hoan nghênh các bạn học sinh THCS sau tham gia và có lời giải đúng: Phú Thọ: Nguyễn Quang Khải, 9G, THCS Văn Lang, Nguyễn Tiến Dũng, Phạm Minh Hải, Nguyễn Thanh Quang, Trương Anh Tú, Nguyễn Huy Tuyển, 9A3, THCS Lâm Thao; Hà

Nội: Trịnh Huy Vũ, 9A10, THCS Giảng Võ; Vĩnh

Phúc: Nguyễn Thị Nga, 9A, THCS Yên Lạc

NGUYÊN MINH ĐỨC

*Bài T10/424 Cho một hình vuông có cạnh

bằng 1 Bén trong hình vuông này có

n(nc<Nứ') hình tròn có tông diện tắch lớn hơn nỞI Chứng minh rang ton tại một điểm của

hình vuông năm trong tất cả các hình tròn này Lời giải (Theo bạn Chu Tự Tài, 12A12,

THPT Diễn Châu 2, Nghệ An)

Kắ hiệu ụ0 hình tròn này 1a C,Q), G, va Hla

hình vuông, theo gid thiét thi C; CH (i=1,n)

Trang 25

n n

Thanh thir lốc): 0 nên { C¡ zử

Do đó tồn tại ắt nhất một điểm X<Ặ ÌC

C¡,Cạ, ,CẤ E]

2) Bài này có nhiều bạn tham gia giải và giải đúng nhưng đa số các lời giải là dài, phức tạp

3) Các bạn sau đây có lời giải tốt: Hà Nội: Nguyễn Trọng Bách, 12 Toán 1, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội; Thừa Thiên-Huế: Nguyễn Quốc Hùng, 11T1, THPT chuyên Quốc học Huế; Hải Phòng: Lương Thế Sơn, 10 Toán, THPT chuyên Trần Phú; Vĩnh Phúc: Nguyễn Đức Đại, 10A1, Hoàng Đỗ Kiên, 12A1, THPT chuyên

Vĩnh Phúc

DANG HUNG THANG

* Bài T11/424 Cho phương trình

Lời giải (Theo đa số các bạn)

Do phương trình (1) có nghiệm nên ụạ # 0 Gọi xị,x;, ,xẤ là các nghiệm của PT (1), khi đó PT (1) có dạng

đp(x~ x\)(X~ %Ư) (Ở XẤ) = ỷ (3)

ồ

(4)

Xị +X; + +XZ =(M + + +,}' Ởỷ(M X: + Xị Xã +

n(x? +x3 + +x7) >(x+x;+ +xẤ}` ẹ

Dang thức không xảy ra vì các SỐ Xi,X3, XẤ

phân biệt Từ (Ế) và (6), suy ra

na? ~2ayar) ` (_ đt ỳ tớ

aj Ở( đụ

Do a, #0 nén (7) SLL gee,

ai

Vậy bất đẳng thức (2) duge chimg minh 0

>Nhận xét Đa số các bạn đều giải theo cách trên, tức là dựa vào công thức Viète để chứng minh bất đăng thức (2) Bài toán đang xét chắnh là trường hợp riêng của bài toán cơ bản quen biết về ứng dung dinh li Rolle đối với đa thức thực Có nhiều bạn đã biết về kết quả này nên đã ứng dụng đạo hàm liên tiếp bậc n-2 dé đưa đa thức ở về trái của (1) về tam thức bậc bai và sử dụng điêu kiện đê tam thức bậc hai có hai nghiệm phân

biệt là A >0, đó chắnh là bât đăng thức (2)

NGUYÊN VĂN MẬU * Bai T12/424 Cho tam giác ABC với

duong tron ngoai tiép (O), đường tròn nội tiếp (, tâm đường tròn bàng tiêp góc A là lẤ Đường thang Al cắt BC tại D Đường thang Bl cat CA tai E Đường thăng qua I vu6ng géc với OI, cat AC tại M Chứng minh rằng DE di qua trung điểm của đoạn thẳng IM

Lời giải Trước hết ta cần có hai bồ đề

Bổ dé 1 Cho tam gidc nhon ABC, E la tam

Trang 26

WWW.VIETMATHS.COM Goi (E) la duong tron Euler cua tam giac ABC;

(K) là đường tròn ngoại tiêp của tam giác HBC

Dễ thấy (E), 4 theo thứ tự là đường tròn Euler

và trực tâm của tam giác HBC Do đó, theo

ket qua co ban ve dudng thang Euler, E là

trung diém cua AK (ID)

Mặt khác, vì 8X = 8ZH =90ồ= CXH =CYH nên các tứ giác BXHZ, CXHY nội

Bồ đề 2 Cho tam giác 4BC; O, 1Ấ theo thứ tự

là tâm đường tròn ngoại tiệp và tâm đường tròn bàng tiếp đôi diện dinh 4 Con BE, CF la các đường phân giác trong của tam giác đó Khi đó 1Ó L EF Chứng mình (h.2) i

Goi J, Jy, J theo thir tu 1a tam đường tròn nội

tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh C của tam giác 4BC Dễ thấy các điểm Ó, / theo

thứ tự là tâm đường tròn Euler, trực tâm của

tam giác /Ấ!J, Do đó, theo Bé dé 1, 1,0 1 EF

Trở lại giải bài toán T12/424 (h.3) Goi L la

giao điểm của 4D và EF Dễ thấy (4D)= -1

(kết quả quen thuộc) Do dé E(BCDF) =

E(VIADL) = Ở 1 (*) Chú ý rang, tir BO dé 2 c6

TOAN HOC

24 :Cluổitre Số 428 (2-2015)

1,0 L EF, suy ra IM // EF Tit (*), kết hợp

v6i IM // EF, suy ra ED di qua trung diém của

IM (theo tinh chat cua chùm điêu hòa)

(đpcm) 0

Hình 3

>Nhận xét 1) Bài toán này không khó, nhiều bạn tham gia giải và có lời giải đúng, tuy nhiên, một số bạn cho lời giải quá dài

2) B6 dé 1 chắnh là bài toán T9/355 (Tạp chắ TH&TT sô 355, tháng 1, năm 2007)

3) Không sử dụng Bồ đề 1, vẫn chứng minh được Bổ đê 2, băng cách áp dụng kết quả sau đây cho các đường

tròn (Ó), (1,):

Cho hai đường tròn (O\), (Ó;) với trục đăng phương A, M la diém bat k, H là hình chiêu của M trên A Khi đó

84 (01) ỞM\0ạ) = 2OÓ2.HM

4) Xin nêu tên một số bạn có lời giải tương đối ngắn gọn: Nghệ An: /ê Hồng Đức, 1IAI, THPT chuyên

Phan Bội Châu, TP Vinh; Hưng Yên: Dương Minh

Cường, 12TI, THPT chuyên Hưng Yên; Thái Bình:

Trinh Thi Thuy Duong, 11T1, THPT chuyén Thai

Bình; Thừa Thién-Hué: Nguyén Quéc Hùng, IIT, Phan Minh Châu, 12T, THPT chuyên Quốc Học Huế; Đà Nẵng: Nguyễn Tuần Dũng, 10T1, THPT chuyên Lê

Quý Đôn; Long An: Chu Thi Thu Hién, 11T, THPT chuyén Long An; Ha Tinh: Phan Van Trung, 10T2,

Trang 27

là t Ngwoi thứ hai đi từ B tới M với vận tốc

vỖ = 13 m/s, réi tir M tới D với vận tóc vỢ = 5

mắs Hai người khởi hành cùng một lúc và gap nhau tai D Cho c=540m, AD//BM va

AB LAD Hay tim

L) Khoảng thời gian t nhỏ nhất

2) D6 dai AD, BM va MD

Lời giải a) Goi tla thoi gian thr lúc hai người

khởi hành đến khi gặp nhau (tại điểm 2Đ), ¡¡ là

thời gian đê người thir hai di hét doan BM, ta cd BM =v't, = 134, qd) MD = v"(tỞt,) =S(t-t) (2)

AD =vt =4t , (3)

AD = BM +VMD? Ởc? (4)

Lay đạo hàm biểu thức trên theo /¡ rồi cho băng 0 ta tìm được /¡= 27(s), khi đó có

f= min = 1443)

b) Thay /¡ và f = /mia vào (1), (2) và (3) ta tắnh

dugc AD = 576(m), BM = 351(m),

= 585(m) 0

>Nhan xét Các bạn sau có lời giải đúng và gon: Nghệ An: Trần Trung Hiếu, 12A1, THPT Thái Hòa ; Nguyễn Xuân Cường, 11T1, THPT Anh Son 1; Ho Sầ Phương, 11A1, THPT Hoang Mai, Nguyễn Thị Khánh

Linh, Vũ Kiểu Oanh, 8A, THCS Hồ Xuân Hương,

Quỳnh Lưu; Thanh Hóa: Lê Thị Quỳnh, 11C1, THPT Hoằng Hóa IV; Thái Nguyên: 74 Văn Tuan, Pham Thanh Binh, 11A1, THPT Luong Phú, Phú Bình; Hòa Bình: Nguyễn ẾỮ An 10 Toán THPT chuyên Hoang Văn Thụ; Phú Yên: Lẻ Trường Hải, 10T2, THPT chuyên Lương Văn Chánh; Bắc Ninh: Nguyễn Đắc Nam, 9C, THPT Nguyễn Cao, Quế Võ; Hà Nội: Nguyễn Ngọc Linh, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa; Nguyễn Duy Khánh, 12A1, THPT Ba Vì; Đồng Tháp: Lê Duy Nhất, Nguyễn Quốc Chắ, 11Aậ, THPT Thành phố Cao Lãnh

NGUYÊN XUÂN QUANG

*Bài L2/424 Hai thanh vật liệu khác nhau

nhưng có cùng một độ dài L và tiết điện

ngang của S, được ghép hai đâu với nhau còn

hai đâu kia có định bằng các giá đỡ (hình

vẽ) Nhiệt độ của chúng là T và không có sức

căng ban đâu Người ta nung chúng nóng lên

để nhiệt độ cả hai thanh tăng lên thêm là AT

ul

a) Chung minh rang mat tiép xúc giữa hai

thanh di chuyên một đoạn ` LAT

h+E

trong do a, Q la hé số nở dai va Ej, E> la

suat Young cua các vật liệu Bỏ qua độ biến thiên của tiết điện ngang

b) Tắnh lực căng tại mặt tiếp xúc khi tăng nhiệt độ lên AT

Lời giải a) Thanh thứ nhất nếu để nở tự do

sẽ dài thêm là A4; =ụỦ;LAT Ở đây nó chỉ

đài thêm AL, vậy nó đã bị nén co lại là

AL, = Alyy Ở AL = @LAT ỞAL qd) Thanh thứ hai nếu đề nở tự do sẽ dài thêm là

Aly) =a2LAT ạ đây nó lại bị co lại AL,

vậy nó bị co lại tông cộng là

AL, = Alyy + AL = @)LAT + AL (2) Mặt tiếp xúc giữa hai thanh nằm cân bằng nên áp suất ở hai bên của nó bằng nhau

R=B (3)

Ap suat# do thanh bên trái đây lên thanh

bên phải tại chỗ tiếp xúc là (chú ý tới (1))

Sts = BajAT~ỘB 4)

Áp suất.2? do thanh bên phải đây lên thanh

bên trái tai chỗ tiếp xúc là (chú ý tới (2))

Trang 28

Fy AL, 2= 2=Ở>E 2 ng

= E;ỦAT + = (5)

AL -[ Tế ar (6)

2?= BaAT Ở BAT| đi

Ở 528 |, Suyra ea Fi PE2AT(@i+ụ:),

SE\ E,AT (a + a2)

>Nhận xét Các bạn sau đây có lời giải tot:

Quang Ngai: Nguyễn Nhật Hãn, II Lắ, THPT chuyên

Lê Khiét; Tién Giang: Vo Viét Tan, 12 Li, THPT

chuyén Tién Giang; Hung Yén: Nguyén Hoai Nam, 11A1, THPT Duong Quang Ham

NGUYEN VAN THUAN

=SR =

- (1) Đuổi Hươu, chém RanỢ: Dién tich noi vé vigc Hán Cao tổ

tắch Chém Rắn, đuổi hươu Ợ của Nguyễn Khác Phi tròn

chắ Ngôn ngữ số 2 năm 2013

ỳ 2) Nhắc đến việc My: Châu đã phải trả giá đắt cho tội Ộmất cảnh giácỢ (3) Ngũ xà gồm loại rắn (Hồ Mang, Hồ Thiếc, Cap Nong, Cạp Nia, Rá

ae uốc bổ, song ty có ý kiến cho rằng nếu xử lắ không đúng quy cách lại

con người \ :

a + ó", "người giàuỢ: MoeỘ đối chữ trong câu thành ngữ ỘẬ

TOAN HOC

Trang 29

PROBLEMS (Tiép trang 17)

74/428 Let a, b, c be real numbers in the interval

[1; 2] Prove the inequality

+h +0? +32 (abe) > 2(ab + be +ca) 75/428 Let ABC be a non-right triangle, (AB<AC) with altitude AH E, F are the orthorgonal projection of point H onto theo AB and AC respectively EF meets BC at D Draw a semicircle with diameter CD on the half-plane containing A with edge CD The line through B and perpendicular to CD meets the semicircle at K Prove that DK is tangent to the circumcircle of triangle KEF

FOR UPPER SECONDARY SCHOOLS 16/428 Given that the equation

axỖ Ởx? +axỞb=0 (a #0,a#b) has three

positive real roots Determine the greatest value of the following expression

Ia? Ở3V3abỞ 5 9b~10( 3a Ở1)

P=

mm va =3 a zỞ =8

T8/428 Let a, Đ be real constants such that

ab>0 Let (w,) be a sequence where

y Séch va Thiết bị trường học ở địa phương

Tp TH&TT đang phát hành cuốn ĐÓNG TẬP TỐN HỌC VÀ TI TRẺ NĂM 2012

5 oe Tất cả 12 số Tạp chắ TH&TT trong năm và ĐẶC SAN Tạp chắ TH&TT Số 2, Số 3 đu \

ia Ở Số lượng sách có hạn, bạn muốn có trọn bộ TH&TT năm 2012 hãy liên hệ ngay \

| doe ĐẶC SAN TẠP TOÁN HỌC VÀ TUỎI TRẺ SÓ 6 Giá bìa: 14.500 đồng Sách phát

tháng 2/2013 Các bạn có thẻ đặt mua tại các Cơ sở Bưu điện trên cả nước theo Mã số Cu

n=1,2,3, given by ¡ =4; 2 ntl =u, +bu> (vn Ạ NỔ) Determine the limit

uru u

lim | ++ 4+ 4Ở |

T39, Hy Huy

TOWARD MATHEMATICAL OLYMPIAD T9/428 Find all positive integers & with the property that there exists a polynomial f(x)

with integer coefficients of degree greater

than | such that for all prime numbers p and natural numbers a, b, if p divides (ab Ở k) then it also divides (f(a)f(b) Ở k)

110/428 Given a,ằ[0;a] (i=1,7), (a>0)

Prove the inequality

[Is-s)<z{'-Ế =

T11/428 Point O is in the interior of triangle ABC The ray Ox parallel to AB meets BC at D, ray Oy parallel to BC meets C4 at E, ray Oz parallel to CA meets AB at F Prove that

1

a) Sper $3 Sac >

b) OD.OE.OF<27.AB.BC.CA

T12/428 The circles (Ó) and (ÓỢ) meet at

points A, B Point C is fixed on (O) and point D is fixed on (OỖ) A moving point P is on the opposite ray of ray BA The circumcircles

of triangles PBC, PBD intersect BD, BC at

Trang 30

ãy truy hồi là dạng toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi Giai toan trên máy tắnh Theo quy trình lập sẵn, máy tắnh cầm tay có thé dé dang tinh chinh xác các số hạng của dãy truy hỏi đến 10 chữ số Điều này trợ giúp nghiên cứu các tắnh chất của dãy số Quy trình tắnh toán trên máy tắnh cằm tay là một bài toán lập trình đơn giản, vi vậy thành thạo tắnh truy hồi trên máy tắnh câm tay giúp hình thành tư duy thuật toán và tiếp cận với lập trình trên máy tắnh lớn

I DÃY TRUY HỘI DẠNG xẤ.¡ = Ặ(xẤ)

Nhiều dãy số đã được học trong chương trình

phổ thông có dạng xẤẤ¡ = /(x,) Thắ dụ, cấp số cộng xẤà =xẤ+dvới đ là một số không

đổi (được gọi là công sai); cap số nhân

xẤa=gxẤvới g là một số không đổi (được

gọi là công bội) Với xị cho trước, ta dễ dàng tắnh được x; = f(x) Tiếp tục, bằng cách /ặp, ta tinh được các giá trị x3 = f(x), x4 = f(%3), theo cong thuc truy hoi Xn+1 = f(x) Thắ dụ 1 Tắnh các giá trị của x, biết 5 1 2 Ỏ =L35 va Xe] -1Ừ:Ậ] H=1,2,, (*) n

Quy trinh Bude 1 Khai bdo x, [=]: 1.5[=]

Bước 2 Khai báo cơng thức xẤ.ị -3ÍỪ +2)

2 %

{( [Ans] [+]2 [2] [Ans]p] [+]2

Bước 3 Tắnh x; : Bắm phắm l=]

28 ene Sé 428 (2-2013)

Giải thich 1) May duoc thiét ké dé sau khi

khai bao 1.5[=], dir ligu x, =1,5 hiển thị trên

màn hình và được lưu trong ô nhé [Ans]

2) Bước 2 là một quy ứrình giúp máy hiểu và thực hiện fắnh roản theo chương trình Công thức tốn được chun sang ngơn ngữ máy

x

với x, =1,5 Két qua x, ~1.416666667 duoc

lưu vào ô nhớ (đè lên x¡ =1,5) Bam

liên tiếp phắm [=| ta được x; ~1.414215686;

xƯ =1.414213562 Nếu bắm tiếp phim [=], ta vẫn chỉ được đáp số trên Như vậy,

xX ~1.414213562 là giá trị gân đúng đên 10

chữ sô giới hạn của dãy (*)

3) Phim [=]: May tinh giá trị x; -z|Ừ ể

Nếu sử dụng máy tắnh với số chữ số trên màn

hình nhiêu hơn, thắ dụ, Calculator cai dat trén máy tắnh cá nhân hiên thị được 32 chữ sô, thì

có thê tắnh chắnh xác hơn giới hạn của dãy

(*), tuy nhiên, cũng mât nhiêu bước lặp hơn

4) Công thức (*) chắnh là công thức Newton- Raphson tắnh gân đúng nghiệm dương của phương trình x? =2, tức là tắnh gần đúng số

vô tỉ # =2 Thay đổi gid tri ban dau x, ta

thấy số bước cần tắnh phụ thuộc vào xị

Thắ dụ này trợ giúp hình thành khái niệm số

v6 ti (1a giới hạn của dãy số hữu tỉ) cho học sinh lớp 9 và hình thành khái niệm giải gân đúng phương trình cho học sinh lớp 12

II DÃY TRUY HỘI DẠNG xẤ:z= ẶxẤ.Xz+¡)

Để tắnh được x:, sau đó là x;, xs, , ta phải

Trang 31

1 Day Fibonacci Xj = XẤ.i + XẤ; Xi = X; = 1

Bằng quy nạp, có thể chứng minh công thức

Xx, -Ọ(E#] -{=#]] n=1,2

"sil 2 2 pO LE

Quy trình tắnh số Fibonacci:

Gửi x; =1 vao 6 [A]: 1 [SHIFT] [STO] [A] Tinh x; = x) +x, va giri vao 6 nho[B]: [+]1 màn hình hiện x; = 2 Tắnh xƯ =x; +x; và gửi vào ô nhớ |A]: màn hình

Tắnh x; = xƯ + x; và gửi vào ô nhớ [BỈ: ALPHA| [B| [SHIFT màn hình hiện x; = 5

Lặp lại hai dãy phắm trên, tạ lần lượt tắnh

được 49 sô hạng đâu tiên của dãy Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, , 7778742049

2 Dãy Lucas xẤ.; = ẢxẤ.¡ + BxẤ, xị =a,x; =b

Quy trình I Tắnh số Lucas:

Gửi x; =đ vào [A]: b|SHIFT

Tinh x, = Ax) + Bx, và gửi vào ô nhớ |BỈ:

[x] 4 [+] B [x] a [SHIFT

Tinh x, = Ax; + Bx, va gui vao 6 [A]:

[| 4 [+] [ALPHA] [A] fx] 2 [sear] [sto] [4]

Tinh x; = Ax, + Bx; va gui vao 6 [B]:

] 4 [+] [ALPHA] [B] [x] 2 [sHFT| |sTo] |]

Lap lai hai day phim cudi dé lan lượt tắnh các sô hạng đâu của dãy Lucas

Dưới đây là hai trong các quy trình khác:

Quy trình 2 Gửi biến đếm vào ô nhớ

(bắt đầu đếm từ 0): 0|SHIFT]

Gửi xị = đa vào [A]: a[SHIFT] [STO] [A]

Giri x)= b vao [B]: 6|SHIFT] [STO] [B]

Tang bién dém M:

[ALPHA] [M] [ALPHA] [=| [ALPHA] [M] [+]1

Tinh x; theo céng thire x3 =Ax2 + Bx:

[ALPHA] [:] [ALPHA] [A] [ALPHA] [=] [ALPHA] [+]B[ALPHA]

I=] [+]1

Tinh x4 theo công thức x4 = Ax3 + Bx:

[ALPHA] [:| [ALPHA] [B] [ALPHA] [=] [ALPHA] [A] [+] B[ALPHA] [B]

Chú ý Để làm việc trong môi trường đại số

ta phải sử dụng phắm [ALPHA] Dac biét,

phải khai báo dấu = bởi [=] Néu

chi khai bao l=] thì máy báo lỗi Khai báo

[| là để ngăn cách các biểu thức Quy trình 3 (Sử dụng phắm |CALC|) Bấm: [=] 4 B (] [| A B

Máy hỏi: B? Khai báo x, =b: b [=| Máy hỏi: 4? Khai bao x, =a: a [=|

Lap lai phắm[=|được các số hạng x,

Tương tự, có thể viết quy trình tắnh các dãy truy hổi các dạng sau trên các máy Casio Ặ%- 500M, Vinacal $70-ES và các máy tương đương

Trang 32

3 Day Fibonacci tuyén tinh bac ba

My = ty = 1, Wy = 2, Uy Ở Hạ + Hạ tye N23

4, Day Lucas suy rộng tuyến tắnh không thuân nhát

Uy = @, Uz, =b, Uy = Au, + Buy +f(n)

5 Day Fibonacci béc hai phi tuyén dang

m=a, Ấy=bÙ, Una =e +H 4

BAI TAP

Dưới đây chỉ là mội số trong rát nhiễu đề thi về dãy truy hồi Ngoài các câu hỏi về /áp công thức Iruy hoi va quy trinh bam phim tắnh số hạng của dãy số, còn có những câu hỏi về chuyển đổi công thức truy hồi về Công thức nghiệm và ngược lại, các câu hỏi về tắnh chất của dãy số, Bạn đọc có thể tìm thêm đề thi trên mạng hoặc trong các sách về máy tắnh

Bài 1 (Bệ GD-ĐT, 2000, Lớp 9) Cho dãy số

mụ =144; uy = 2335 Uns = Un + Un

1) Lập mét quy trinh bam phắm để tắnh zẤẤ

2) Tinh m2, U37, Usg VA U39-

3) Tắnh chắnh xác đến 5 chữ số sau dấu phây

các tỉ số 2, 4 `, Me Uy Uy Us Us

Bài 2 (Bộ GD - ĐT, lớp 9, 2003) Cho dãy số

Uy = 2, Uy = 20, tẤyi = 2M, +Uy1, 1 = 2,3, 1) Tinh ug, U4, Us, U6, U7-

2) Viết quy trình tắnh giá trị của Ấ, 7 =3,

Bài 3 (Bộ GD-ĐT, THCS, 2007) Cho dãy số (13 + V3)" -Ở(13- V3)" Ẽ 2x3

2) Lập công thức tắnh w,42 theo uj.) Va Un

3) Lap quy trình bam phim lién tuc tắnh ụẤ 30 Soke Sé 428 (2-2013) Bài 4 (Bộ GD-ĐT, THCS, 2009) Cho dãy số (I+⁄2} -(-v2} 242

2) Lập quy trình bấm phắm liên tục tắnh ,

3) Tắnh các giá trị từ U, đến ỈỈ Bài 5 (Bộ GD-ĐT, THCS, 2008) Cho đãy số

1) Lập quy trình bắm phắm tắnh Ứ,Ấi

U, = voi n=1,2

a, = 5, Gy = 3, Anir = 4 Any +5a,, 1 =1,2,

Bai 7 (Chọn đội tuyển, Sở GD-ĐT Lâm Đồng,

2004)

1) Cho dãy số (6+2V7)" -(6-2V7)"

4/7

la) Tinh 11, uo, U3, U4, Us, U6, U7, Us

1b) Lập công thức tắnh z;:¡ theo ụạ Và Unt

2) Hai dãy số được cho bởi

với ự=l,2,3,

m=l; y=2

Uns = 22v, Ở15u, voi n=1, 2, 3, Viet =17v, Ở12u,

2a) Tinh s, 4ạ;14s Ấis; VsẤ Vịo ; Vịs ; Vịg s Mịo -

2b) Viết quy trình tắnh ụẤẤ và vẤ¡ theo 0

Và tạ

Bài 9 (Sở GD-ĐT Đồng Nai, lớp 9, 2004-2005) Cho dãy SỐ y,/2, ,Ấ,wẤ.¡, thỏa mãn

Trang 33

ắp Ôngh là người đâu tiên để ra cách ghi s8 nhất các ph | người vận tạo nên cách dùng các chữ cái để t rong t ng khám Vm ra mối qu a

heo sử sách thì vị tướng chỉ ag Moes dùng đến 500 chữ trong mật thư gửi đến Vua Tây Ban Nha Philip II vào ngày 28 thang 10 năm 1589 Tháng 3 năm 1590 Viète gửi bản giải mã bức thư đó lên Vua Pháp Henry IV Nhờ đó Pháp đã giành thắng lợi trong chiến tranh với Tây Ban Nha Mật mã như thế nào? Giải mã ra sao? Sau đây trình bày cách lập mã khóa và giải mã của Viète đã được ỘViệt hóaỢ cho bạn đọc dễ hiểu

Trước hết lập bảng ô vuông (23 hàng, 23 cột) với hàng trên cùng và cột bên trái ghi thứ tự 23 chữ cái là A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L,M, N, O, P, Q, R, S,T, U, V, X, Y Theo quy luật đó việt được các chữ cái trong bảng như sau

L|K|L |M|N|OI|P|olR|sl|r|U|Vv|x| vy|A |5ị cị Dị rịr | ỏị H NOI Ợ Giả sử thông

K|t|M|n|o|r|o||s|r|u|v|x|vy|a | s| c|b| gj| r| 6} H ! | điệp mật muốn gửi là

NO R|S|T|U|V B|C|D|El|lrj|g|H "

" ` : P ; ; s|T|U|v|x 2 i " Ạ|D|E|F|G|HỊI ; ; ỘVE SAI GON GAPỢ N|O|P|o|R|s|r|Uu|v|x|y|A|B|C|Dp|E|rl|lo|HRI|K|L|M Xét cột chữ bặt đâu olP|Oo|R|s|T|U|V|x|Y|A|lB|cC|D|E|lrl|Go|H|I|K|L|MN bằng H (chữ đầu của P|o|lR |[s|Tr|u|v|x|vy|Al|p|c|p|s |ặ |6 | H| ¡| k| L| vị x| o| khóa HANOD, ta thay

|| s|r|u|v|x|y|A|s|c|bp|E|lr|o|nli|k|L|w|N|o|r| chữ V năm ở hàng

R|SI|T|U|V|X|Y|A|B|C|D|E|E|G|H|I|K|L|MN|OIP bắt đầu bằng chữ O s|r|u|v|x|y|A|bp|c|p|lr|o|H|t|k|L | MJN| o| ? | o| R| Do đó thay vì viết Vv 1 Ụ vị|x|y|aAlsnlclplrlr|o|H|l |K|L | MỊN| O|P 9|R|ÌSÌ thì mật mã viết O uly x y|A|alclolslr|ld|nlt|k|L| | NỊ o| Pị gÌ &|sịT (Theo ngơn ngữ tốn v|x|Y |A|B|C|D|E|F|G|H|I|K|L|M|N|O|P|O|R|S|T|U R Ẽ x|Y|A |B|C|D|El|Fr|G|H|I|K|L|M|N|O|P|Q|R|s|T|U|V học thì V là tọa độ vịalbp|c|p|lrlrlo|nli|k|t|wM]nlol?lolRjsirjulvjx của điềm (H, O) hay

viết V(H, O)) ỘTiếp tục muốn gửi chữ E thì xét cột chữ bắt đầu, bằng A (chữ thứ hai của

HANOD, ta thấy chữ E nằm ở hàng bắt đầu bằng chữ E, nên vẫn viết chữ E Với cách làm như vậy thì thông điệp ỘVE SAI GON GAPỢ được viết thanh ỘOE FLA YOA RQHỢ Khi nhận được dòng mật mã này, người giải mã đã dùng bảng trên và từ khóa dé tim ra thông điệp ỘVE SAI GON GAPỢ bằng cách V(H, O), E(A, E), SN, F), A(O, L), 1q, A), G(H, Y), O(A, O),

N(N, A), G(O, R), ACI, Q), P(H, H), trong đó các chữ in đậm nôi với nhau tạo thành dãy khóa

HANOIHANNOI Nói tóm lại, thuật toán ở đây là:

Người gửi: Gửi Ộtung độỢ: Người nhận: Nhận tung độ rồi dùng mã khóa làm hoành độ để giải mã, xác định Ộtọa độỢ Điều quan trọng ở đây là phải dò tìm được zmã khóa Không tìm được mã khóa xem như bó tay! Mời các bạn hãy thử đánh mật mã thông diép ỘCHUC MUNG NAM MOI QUY TYỢ với mã khóa ỘTOANHOCVATUOITREỢ nhé!

TOÁN HỌC

Trang 34

Số 428 (2.2013) ap ằ i va Tòa soạn : 187B, phố Gling Vo, Ha Nội

ở ĐT - Fax Phát hành, Trị sự : 04.35121606

_z7 _ Mathematic and Youth Magazine tai: aainshelrsishoynvmolLsem

BẠN CỐ VẤN KHOA HỌC CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN

x ` Chủ tịch Hội đồng Thành viên kiêm

G5/15511: NGUYÊN CANH TOAN Tổng Giám đốc NXB Giáo dục Việt Nam

GS TSKH TRAN VAN NHUNG NGUT NGO TRAN Al

TS NGUYEN VAN VONG Tổng biên tập kiêm

GS DOAN QUYNH Phó Tổng Giám đốc NXB Giáo dục Việt Nam

PGS.TS TRAN VĂN HAO TS NGUYEN QUY THAO

HOI DONG BIEN TAP

Tong bién tap : TS PHAM THI BACH NGOC Thư kắ Tòa soạn : ThS HỒ QUANG VINH

TS TRAN BINH CHAU, ThS NGUYEN ANH DŨNG, TS TRAN NAM DUNG, TS NGUYEN MINH DUC, TS NGUYEN MINH HA, TS NGUYEN VIET HAI, PGS TS LE QUỐC HAN, TAS PHAM VĂN HÙNG, PGS 7S VŨ THANH KHIẾT, GS TSKH NGUYỄN VAN MAU, Ong NGUYEN KHAC MINH, TS TRAN HUU NAM, PGS TS NGUYEN DANG PHAT, PGS TS TA DUY PHUONG, ThS NGUYEN THE THACH, GS TSKH DANG HUNG THANG, PGS TS PHAN DOAN THOẠI,

ThS VU KIM THUY, PGS TS VU DUONG THUY, GS TSKH NGO VIET TRUNG

TRONG SO NAY

0 Danh cho Trung hoc Co sé Ở For Lower d Giải trắ toán học

Secondary School Tìm hiểu sâu thêm Toán học sơ cấp Ở

Đỗ Quang Minh - Các bài toán có phần Advanced Elementary Mathematics giả thiết giống nhau Hồ Quang Vinh - Thêm tắnh chất cho Huớng dẫn giải Đề thi chọn học sinh giỏi hình tam giác

mơn Tốn lớp 9 tỉnh Thanh Hóa, năm học @ệ Dé ra kì này Ở Problems in This Issue

2011~ 2012 Giải bài kì trước Ở Solutions to Previous

Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 TP Problems

Hà Nội, năm học 2011 - 2012 @ Nguyễn Khắc Phi - Chuyện Rắn, Chuyện

Chuẩn bị thắ vào đại học Ở University Văn, Chuyện Người

Entrance Preparation ẹ Diễn đàn dạy học Toán

Lê Hồ Quý - Một số phương pháp tắnh Tự Duy Phượng - Dãy truy hồi trên máy

tắch phân tắnh cầm tay

ẹ thứ sức trước ki thi - Dé s6 5 Toán học và đời sống

Phan Thanh Quang - Công trình giải mã

ẹ Hướng dân giải Để số4 cua nha toan hoc Francois Viéte

Ảnh Bìa 1 (ừ trái sang phdi): GS Pham Minh Hac, GS Tran Héng Quan, Phó Thủ Tướng Nguyễn

Thiện Nhân, Nguyên Phó Chủ tịch nước Nguyễn Thị Bình, GS Nguyễn Minh Hiển, GS Phạm Vũ Luận (Sáu Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo qua các thời kì) và NGƯT Ngô Trần Ái

Trang 35

WWW.VIETMATHS.COM

NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM

`4 Tuân trọng giới thiệu cing ban doe

BO SACH GIAITICHVEGTO

iải tắch vectơ là một nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng trong chương trình Giải tắch, nó bao gồm Trường

vectơ, Tắch phân đường và Tắch phân mặt, ngoài ra nó còn đề

cập đến Phép tinh vi phan của hàm vecta nhiéu bién sé va cac dạng vi phân, mà một số giáo trình nước ngoài xem như là phần nghiên cứu nâng cao Nhiều kHái niệm và vấn đề trong Giải tắch

vectơ không dễ tiếp nhận, nhất là đối với bạn đọc mới làm quen với nội dung này

Tác giả PGS.TS Nguyễn Xuân Liêm là một nhà khoa học có uy tắn trong lĩnh vực này, đồng thời là một nhà sư phạm tâm huyết, sau nhiều năm giảng dạy và nghiên cứu đã biên soạn bộ sách gồm hai quyển Giải tắch vectơ và Bài tập Giải tắch vectfơ theo một hướng tiếp cận mới, hiện đại, mang tắnh ứng

dụng cao nhằm tạo thuận lợi và giảm bớt khó khăn cho bạn ý

đọc trong việc tiếp cận, học tập và nghiên cứu các vấn đề của Số trang : 468

Giải tắch vectơ Giải tắch vectơ gồm bảy chương và tương ứng Khô sách : 17x24

với nó là Bài tập Giải tắch vectơ với những bài tập có nội dung G002 phong phú, được tuyển chọn công phu và sắp xếp khoa học,

hỗ trợ bạn đọc hiểu vấn đề nêu ra trong lắ thuyết một cách thực chất và sâu sắc hơn

Broth ad

Bộ sách là tài liệu hữu ắch, có thể được sử dụng rộng rãi cho

nhiều đối tượng, từ sinh viên các khoa Toán, Lắ và các khoa khác

của các trường Đại học Sư phạm và các trường Đại học Khoa

học Tự nhiên, Đại học Bách khoa và các trường Kĩ thuật, đến

các nghiên cứu sinh, giáo viên các ngành Toán, Lắ và tất cả bạn đọc yêu thắch, quan tâm đến Giải tắch vect

Bạn đọc có thể mua sách tại các Công ty Sách - Thiết bị trường học ở các địa phương hoặc các cửa hàng sách của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam: * Tai TP Ha Noi: 187 Giang V6 ; 14/3 Nguyén Khanh Toan ;

232 Tay Son ; 25 Han Thuyén ; 51 Lo Đúc ;

45 Hàng Chuối ; 67B Cửa Bắc ; 45 Phố Vọng ; &

Ngõ 385 Hoàng Quốc Việt

ềTai TP Da Nang: 78 Pasteur; 247 Hải Phòng; 71 Lý Thường Kiệt hư xxx

* Tại TP Hồ Chắ Minh: ni Đinh Tiên Hoàng, quận 1; 231 Nguyễn Văn Cừ ;

240 Trân Bình Trọng, quận 5; Sốt :380

116 Dinh Tiên Hoang, quận Binh Thanh hee : 17x24 * Tại TP Cần Thơ: 162D đường 3 tháng 2, quận Ninh Kiều Giá : 68.000 đồng * Tại Website bán hàng trực tuyến: www.sach24.vn

Trang 36

'NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

gày 20 tháng 1 năm 2013 vừa qua, tại Hội i

trường A Bộ Giáo dục và Đào tạo, Nhà i

Xuất bản Giáo dục Việt Nam đã trọng thể tổ 09000 \ z2Ợ |

chức Lễ kỉ niệm 55 năm ngày thành lập và đón | | 2 I

nhận Huân chương Lao động hạng Nhất lần 9) lai A

thu hai vi nhiing thanh tich dat dugc trong5 je Ỉ năm (2007 - 2012) Nguyên Phó Chủ tịch nước JNG | Nguyễn Thị Bình và Phó Thủ Ộtướng Nguyén ụ

Thiện Nhân đến dự Buổi lễ còn có sự hiện diện của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo Phạm

Vũ Luận, các Thứ trưởng: Nguyễn Vinh Hiển,

Nguyễn Thị Nghĩa, Bùi Văn Ga và Lãnh đạo Bộ qua các thời kì Nhân dịp này, Chủ tịch nước CHDCND Lào đã trao tặng Huân chương Hữu

nghị Việt - Lào cho NXBGD Việt Nam về những

đóng góp quan trọng đối với sự nghiệp giáo

dục - đào tạo của nước bạn Lào anh em A

Tạp chắ Toán học và Tuổi trẻ xin tran trọng giới thiệu một số hình ảnh về Lễ Kỉ niệm và Hội thi Văn nghệ

- Thể thao chào mừng Kỉ niệm 55 năm thành lập Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

ISSN: 0866-8035 Giấy phép XB số 510/GP-BTTTT cấp ngày 13.4.2010

TẾT TT T1 In tại Xắ nghiệp Bản đồ 1 - BQP Giá: 8000 đồng