TTT2 so 179 in phim pdf
Trang 2Những nhân vật, những tác giả của Toán Tuổi thơ
ane bao VU KIM THUY
ThS Vũ Kim Thủy sinh ngày 06.05.1956, qué
tại Nam Quan (nay thuộc Nam Lợi), Nam Trực,
Nam Định Đạt giải Nhất học sinh giỏi Thành phố các năm lớp 1, 2, 4, 7 (cuối cấp 2), giải Nhì tỉnh Nam Hà năm lớp 4 (cuối cấp 1), tham gia đội
tuyển của tỉnh thi học sinh giỏi miền Bắc năm lớp
7 khi học các trường Ngô Gia Tự, Trần Quốc
Toản, Trần Đăng Ninh, TP Nam Định Sau khi
nhập học trường cấp 3 Lê Hồng Phong, Nam Định
được gọi vào lớp 8 Toán đặc biệt (nay gọi là
Chuyên Toán) dành cho các tỉnh từ Nam Hà đến
Vĩnh Linh đặt tại ĐHSP Vinh Học ĐHSP Hà Nội
và 4.1975 nhập ngũ trong đợt tổng động viên, phục vụ tại Trung đoàn Z171, Tổng cục Kỹ thuật,
đóng quân tại Quảng Bình, sau đó về học tiếp đại
học Dạy học tại Trung học Sư phạm 10+2 Vĩnh
Phú, Bổ túc Dân chính Sóc Sơn, Hà Nội Từ 23.4.1991 làm biên tập viên báo Toán học và Tuổi trẻ, Viện Khoa học Việt Nam và tir 12.1991 THTT thuộc NXB Giáo dục Dự Hội nghị Nhà
văn trẻ 1994 Bảo vệ luận văn Thạc sĩ (đề tài Lý thuyết biểu diễn thứ cấp của các mơ
đun trên vành giao hốn) chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số tại Viện Toán học Việt
Nam năm 1998 Tham gia khóa học tại Trung tâm Toán học Vùng của ASEAN (SEAMEO
RECSAM) tại Malaysia Từ 2000 đến 2002 là Thường trực Hội đồng biên tập Toán Tuổi thơ Thư kí Tòa soạn Toán học và Tuổi trẻ từ 2004 đến 2007 Phó Tổng biên tập Toán
Tuổi thơ từ 2007, từ 2008 là Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí và 15.5.2010 là Tổng biên tập Toán Tuổi thơ đến 1.1.2018 thì nghỉ hưu
Là tác giả của Từ điển Tốn học Phổ thơng Anh-Việt, Việt-Anh, đồng tác giả 4 cuốn
sách toán, 2 cuốn tuyển tập toán Đăng gần 2300 bài báo trên 50 tờ báo, tạp chí, trong
đó 500 bài đăng trên Lao động, Tiền Phong, Thanh Niên, Thiếu niên Tiền phong, Giáo dục & Thời đại, Nhân dân, Văn nghệ, Pháp luật, Tuổi trẻ, Hà Nội mới, với 86 bút danh
Các bài thơ thường kí bút danh Bính Nam Hà, Vũ Đô Quan, VKT, Ủy viên Ban chấp
hành Hội Toán học Hà Nội từ 2003, Phó Tổng thư kí Ban chấp hành Hội từ 2009 Chủ
nhiệm Câu lạc bộ toán trên VTV (Các chương trình Dễ hay Khó, CLB tốn, Tư vấn ơn thi đại học) từ 1996 đến nay Đào tạo được hàng trăm học sinh giành được học bổng ASEAN, A* Star học ở Singapore và du học Mỹ, Anh, Úc, Nhật, Giải thưởng thơ của báo Thiếu niên Tiền phong và Hội Nhà văn tổ chức 2002 Tham gia chấm thi học sinh
giỏi Quốc gia lớp 9, chấm thi Toán Quốc tế 2007, Tham gia dẫn đoàn VN thi Olympic Khoa học Quốc tế lần thứ nhất tại Indonesia Phó ban tổ chức cuộc thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng và Singapore mở rộng từ 2004 Cố vấn chương trình Thần đồng Đất Việt
trên VTC, Trưởng ban tổ chức cuộc thi Phát hiện Trí tuệ Việt lần thứ nhất 2009
ThS Vũ Kim Thủy là tác giả của Cuộc thi Olympic Toán Tuổi thơ với 2 vòng thi: Cá
nhân, Tiếp sức đồng đội và Cuộc thi Câu lạc bộ Toán Tuổi thơ với 3 vòng thi Toán bằng
tiếng Anh: Cá nhân, Tiếp sức Toán và Du lịch Toán học trên toàn quốc duy trì suốt 10
năm qua
Trang 3: = Children's
loan tuditho = ” TRUNG HỌC CƠ SỞ Fun Maths J our nal
NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO
HOI DONG BIEN TAP Phó Tổng biên tập phụ trách: NGUYEN NGOC HAN Phó Tổng biên tập: TRẦN THỊ KIM CƯƠNG ỦY VIÊN NGND VŨ HỮU BÌNH TS GIANG KHẮC BÌNH TS TRẤN ĐÌNH CHÂU TS VŨ ĐÌNH CHUẨN TS NGUYỄN MINH ĐỨC ThS NGUYÊN ANH DŨNG TS NGUYỄN MINH HÀ PGS TS LÊ QUỐC HÁN PGS TSKH VŨ ĐÌNH HÒA TS NGUYỄN ĐỨC HOÀNG ThS NGUYÊN VŨ LOAN NGUYEN ĐỨC TẤN PGS TS TÔN THÂN TRƯƠNG CÔNG THÀNH PHAM VAN TRONG ThS HỒ QUANG VINH TÒA SOẠN
Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh,
quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại: 024.35682701 - Fax: 024.35682702 Email (Ban biên tap): bbttoantuoitho@gmail.com Email (Tri su - Phát hành): tapchitoantuoitho@gmail.com
Website: http://www.toantuoitho.vn
DAI DIEN TAI MIEN NAM
NGUYEN VIET XUAN
391/150 Tran Hung Dao, P Cau Kho, Q.1, TP HCM
ĐT: 028.66821199, DĐ: 0973 308199 Trị sự - Phát hành:
TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, VŨ ANH THƯ, NGUYEN HUYEN THANH, NGUYEN THI HAI ANH
Ki thuat vi tinh: DO TRUNG KIEN
Mĩ thuật: Họa sĩ TÚ AN
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN Chủ tịch Hội đồng Thành viên NXBED Việt Nam:
NGUYEN DUC THAI
Tổng Biám đốc NXBŒD Việt Nam: HOANG LE BACH Phó Tổng Biám đốc kiêm Tổng bién tap NXBGD Việt Nam: PHAN XUÂN THÀNH TRONG SỐ NÀY Dành cho học sỉnh lớp 6 & 7 Các dạng bài thường gặp về tổng ba góc của một tam giác Tạ Thập Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Nguyễn Hạ Hà Uyên Học ra sao? Giải toán thế nào? Số chính phương Mai Van Nam 63 ô cửa Nơi mùa xuân đến sớm Đông Nguyễn Nhìn ra thế giới
Đề thi Toán quốc tế Philipine [TMO 2017
Phùng Kim Dung, Cai Việt Long
Phá án cùng thám tử Sêlôccôc
Món quà của thám tử
Nguyễn Thị Phương Dung
Toán học & đời sống Tr 14 Cái thớt của bố Chu Cẩm Thơ Compa vui tính Chao 2018! Phạm Tuấn Khải
Học Toán bằng tiếng Anh
Introduction to Cartesian Coordinates
Trang 4TT hoc sinh lop s ` — > " a = ị lá > Một số tính chất cần nhớ để giải dạng toán về tổng
ba góc của một tam giác:
- Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°
- Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau
- Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó
Dạng 1 Tính số đo góc
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có A =80° Các tia
phân giác của các góc ABC và ACB cắt nhau tại I Tính số đo góc BIC Lời giải A / 809 B C Xét AABC có A +B+Ê = 1800 Mà A = 809, Suy ra B+ C = 180° — 80° = 1009 Mat khac bc = 8 op = © 2 2 Do đó (BC +icB = BTS - 50° Xét AIBC c6 BIC + IBC +ICB = 180° Suy ra BIC = 180° —50° = 130° Dạng 2 Chứng minh hai góc bằng nhau, phụ nhau, bù nhau
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại A vẽ AH
vuông góc với BC tại H Tia phân giác của góc
HAC cắt CH tại D Vẽ tia Ax là tia đối của tia AC Chứng minh rằng a) BAH = C: c) xAH và B bù nhau b) BAD = BDA; GÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP VỀ TONG BA GOC CUA MOT TAM GIAC TA THAP (TP Hồ Chí Minh) Lời giải B H D C
a) Ta có BAH+B = 90° (Vì AHAB vuông tại H) Mat khac C +B = 90° (Vi AABC vuông tại A)
Do đó BAH =C
b) Ta cé BAD + DAC = 90°(= BAC)
Mat khac BDA+HAD =90°(Vi AHAD vuông tại H) Theo gia thiét HAD =DAC Do đó BAD =BDA c) Ta có xAH = xAB +BAH = 909 +BAH; BAH + = 900 Suy ra xAH+B = 90° + 90° = 180° Vay xAH va B bu nhau Dang 3 So sánh góc Ví dụ 3 Cho điểm M nằm trong tam giác ABC So sánh BMC và BAC Lời giải Gọi D là giao điểm của BM và AC A B C
Vì mỗi góc ngoài của tam giác đều lớn hơn góc
trong không kề với nó nên ta có
BMC > MDC > BAC
Trang 51 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ e Chú ý |x| = 0 nếu x = 0; |x| =x nếu x>0; |x] =-x néu x <0 Vi du 1 Tinh A = |-2,5|.4 + |3,5|.|-3| Lời giải Ta có A = |-2,5|.4 + |3,5|.|-3| = 2,5.4 + 3,5.3 = 10 +10,5 = 20,5 2 Tìm một số khi biết giá trị tuyệt đối của nó e Chú ý |x|= a với xe Q thì + Nếu a = 0 thì x = 0 + Nếu a > 0 thì x = +a + Nếu a < 0 thì không tồn tại x thỏa mãn Ví dụ 2 Tìm x biết a) |x| = |-5,8|; b) |x| = C) |x| = -0,4 Lời giải a) Ta có |x| = |—5,8| |x| = =>x=+5,8 b) |x} =O>x=0
c) |x| = -0,4 < 0 nên không tồn tại x thỏa mãn 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
e Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta làm
như sau:
- Chứng minh với bất kì giá trị của biến thì A > m, với m là hằng số
- Chỉ ra tồn tại giá trị của biến để A = m - Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m
e Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta làm
như sau:
- Chứng minh với bất kì giá trị của biến thì A < n,
với n là hằng số
- Chỉ ra tồn tại giá trị của biến để A = n - Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là n
e Chú ý |A| = |_-A| > 0; |A| > A với giá trị bất kì của biến Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = |x—-6,8| + |x - 7,2| Lời giải Áp dụng bất đẳng thức |A| > A với giá trị bất kì x ta có B = |x — 6,8] + |x — 7,2] = |x — 6,8] + [7.2-x[>x- 8,8 + 7,2-x=0,4 Dấu đẳng thức xảy ra khi x - 6,8 > 0 và 7,2 - x> 0 c© 6,8<x<7,2
Vậy MinB = 0,4 đạt được khi 6,8 < x < 7,2
DU GIA TRI TUYỆT DOI CUA MỘT SỐ HUU Ti NGUYEN HA HA UYEN (TP Hồ Chí Minh) b) B Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= -|2x-2 + 2| 9 Lời giải Ta có |2x—— 2 0= -[2x-2 <0 -lax_Š 2 >A= +—<—., 9 9
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2x -3 =0c©x= -
Vậy MaxA = S đạt được khi x = -
Trang 602 ra sa0 ⁄ SO GHÍNH PHƯƠNG MAI VĂN NĂM (GV THCS Khánh Hồng, Yên Khánh, Ninh Bình) 1 Định nghĩa và một số tính chất của số chính phương
- Số chính phương là số viết được dưới dạng bình
phương của một số tự nhiên - Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 - Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8 - Tích của hai hay nhiều số chính phương cũng là số chính phương
- Số chính phương chia cho 3 chỉ có số dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1
- Số chính phương lễ chia cho 8 thì có số dư 1
- Số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1
hoặc 4
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hét cho p’
2 Chứng minh tính chất của số chính phương Bài toán 1 Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4 thì có số dư là 0 hoặc 1
Lời giải Gọi số chính phương có dạng nˆ (n e Đ) ® Nếu n = 2m (me Ñ) thì nˆ = (2m)? = 4m : 4 ® Nếu n = 2m + 1(mec Ñ) thì nˆ = (2m + 1)” = 4mˆ + 4m+ 1= 4m(m + 1) + 1 chia cho 4 dư 1 Suy ra đpcm Chứng minh tương tự cho các tính chất khác 3 Chứng minh một số là số chính phương, không là số chính phương Bài toán 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương Lời giải Ta có P =n(n+1)(n+ 2)(n+ 3) +1= (n* + 3n)(n? + 3n+ 2) +1 Đặt t = nˆ + 3n thì ta có P=t(t+2)+1=tˆ+2t+1= (t+ 1ˆ = (n + 3n+ TỂ Bài toán 3 Chứng minh rằng mˆ + n? không là số chính phương với mọi số nguyên lễ m, n
Lời giải Vì m, n là các số nguyên lễ nên mể, n là
các số chính phương lẻ
Suy ra mZ, nˆ chia cho 4 đều có số dư là 1 Do đó mÊ + n chia cho 4 có số dư là 2
Suy ra m + n chia hết cho 2 và không hết cho 4 Vậy mỶ + n” không là số chính phương
4 Tìm điều kiện để một số hay một biểu thức là số chính phương
® Chúý: Với m, Ac Z thì:
+ Nếu m2 < A<(m+2)Ê thì A=(m+ 1
Trang 7Bài toán 6 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho n + 1; 6n + 1 và 20n + 1 đều là số chính phương
Lời giải ® Nếu n = 3k + 1 (n c Ñ) thì n+ 1 = 3k + 2
chia cho 3 dư 2 nên n + 1 không là số chính phương ® Nếu n = 3k + 2 (n e Ñ) thì 20n + 1 = 60k + 41 chia cho 3 dư 2 nên 20n + 1 không là số chính phương ® Nếu n = 3k (n e Ñ) thì n : 3 Vì 6n + 1 là số chính phương lẻ nên 6n + 1 chia cho 8 dư 1, từ đó 6n : 8 Suy ra 3n : 4 nên n : 4, do đó n + 1 là số chính phương lẻ Suy ra n + 1 chia cho 8 dư 1, tức là n : 8 Mà (3, 8) = 1 nên n: 24 ® Với n = 24 thì 20n + 1 = 481 không là số chính phương ® Với n = 48 thì 20n+1=961=312;n+1=49 = 72; 6n+1= 289 = 17“ Vậy n = 48 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài Bài toán 7 Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau thì có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai: a) A + 51 là số chính phương; b) Chữ số tận cùng bên phải của A là 1; c) A - 38 là số chính phương Lời giải Nếu mệnh đề b đúng thì A + 51 có tận cùng là 2 và A - 38 có tận cùng là 3 nên cả hai số này không là số chính phương (mâu thuẫn với đề bài) Do đó mệnh đề b là sai và a và c là hai mệnh đề đúng Giả sử A+51=m2 và A—38 = nˆ với m,ne N Suy ra m2 —-nˆ =89 (m—n)(m+n) = 89 Ma 89 = 89.1 và m+n>m-n nén m+n=89 va m-n=1 Do đó m = 45 và n = 44 Vậy A = 1974 5 Tìm số chính phương
Bài toán 8 Tìm số chính phương có bốn chữ số
biết răng khi tăng thêm vào mỗi chữ số 1 đơn vị thì
số mới được tạo thành cũng là số chính phương Lời giải Gọi số chính phương có bốn chữ số cần tìm là abcd (a, b, c, d là các chữ số và a khác 0) Ta có 961= 312 < abcd = n* < 10000 = 1007 Suy ra 31<n< 100 Ta có 1000a + 100b +10c+d=nZ (1) Khi tăng mỗi chữ số lên 1 đơn vị ta cũng được một số chính phương, do đó (a+1)(b +1)(c +1)(d+ 1) = mÊ với (m>n > 31) => 1000(a + 1) +100(b + 1) + 10(c + 1+ d+1= mẺ (2) Từ (1) và (2) suy ra m2 —nZ =1111© (m+n)(m—n) =1111 Vi 1111 = 11.101 = 1.1111 va n < 100 nên chỉ xảy ra trường hợp m +n = 101 và m—n = 11, suy ra m=5%6,n=45 Thử lại ta có 2025 = 45^ và 3136 = 56 Vậy số cần tìm là 2025
Bài toán 9 Từ 1 đến 1000000 có bao nhiêu số tự
nhiên a vừa là bình phương của một số tự nhiên x
vừa là lập phương của một số tự nhiên y (với x z y)?
Lời giải Theo đề bài ta có a = x2 = yŸ hay x’ = y.y’, do đó y là số chính phương Đặt y = Zˆ thì a = Z? Vì 1<a< 1000000 nên 1Ê < zÊ < 10Ẻ Suy ra 1 <z < 10 Ta có bảng: z| 1 2 3 4 5 6 a1 | 64) 729 4096 | 15625 | 46656 7 8 9 10 117649 | 262144 | 531441 | 1000000 Vì x z y nên ta có 9 số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 2° = 64; 3° = 729; 4° = 4096; 5° = 15625; 6° = 46656; 7° = 117649; 8° = 262144; 9° = 531441; 10° = 1000000 Bai tap
Bài 1 Chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên lễ đầu tiên là một số chính phương
Trang 8r.Y, = J8 —— pak -
LTS: Từ số 1⁄9 của năm học 2017 - 2018, Toán
&( Tuổi thơ mỏ chuyên mục 63 ô cửa để nói về đất
nước, con người Việt Nam Hiểu để thêm yêu đất nước và phấn đấu lớn lên xây dựng non sông gấm vóc ngày càng tươi đẹp hơn
ĐÔNG NGUYỄN Làng hoa Sa Đéc (thành phố Sa Đéc, tỉnh
Đồng Tháp) thường được ví von là Nơi mùa
xuân đến sớm nhất của đồng bằng sông
Cửu Long Vì sao ư? Vì cứ vào dịp cuối năm
âm lịch, khi sắc xuân chưa về trên vùng đất
rộng lớn này, thì ở đây muôn hoa đã khoe
hương tỏa sắc để chuẩn bị “lên đường”, mang
hơi thở mùa xuân đến Sài Gòn và rất nhiều tỉnh lân cận
Tương truyền, ngày xưa có cô con gái chúa
đất rất xinh đẹp, nết na, tên là Psardek Nàng
yêu thương một chàng trai nghèo nên bị gia
đình ngăn cản Chúa đất đã ám hại chàng trai
khiến nàng vô cùng đau khổ Rồi nàng ởi tu
Sau khi chúa đất qua đời, nàng dùng tài sản
gia đình để làm việc thiện, tu bổ đường sá,
xây cất chợ búa Từ đó, vùng đất này được
gọi theo tên Psardek của nàng, rồi lâu dần
mọi người đọc chệch thành Sa Đéc
Nghề trồng hoa ở Sa Đéc đã có từ hơn 100 năm nay Ban đầu, chỉ một số người dân vùng Tân Quy Đông làm nghề này với mục đích chính là trang trí và biếu nhau vào dịp Tết Dần dần, số người trồng hoa tăng lên và mục
đích cũng chuyển sang mua bán Ngày nay,
làng hoa Sa Đéc đã phát triển thành khu vực
rất rộng lớn với khoảng 2000 loài hoa đang
được nuôi trồng, chăm sóc Hoa và cây cảnh
Sa Đéc đã và đang “có mặt" ở rất nhiều nơi,
từ trong nước đến ngoài nước, đem hương sắc
mùa xuân của vùng châu thổ Tây Nam Bộ
đến với mọi vùng miền
Nét độc đáo của làng hoa Sa Đéc, khác hẳn với những làng hoa khác, là hoa được trồng
chủ yếu trên giàn cao Những khóm hoa được
trồng trong giỏ tre và giỏ được đặt trên giàn
để tránh ngập nước Khi triều cường, người trồng hoa phải chèo thuyền đi chăm sóc hoặc thu hoạch hoa Đây cũng chính là nét đặc
trưng của vùng sông nước miền Tây
Nhờ áp dụng các tiến bộ khoa học kĩ thuật
nên giờ đây những người trồng hoa ở Sa Đéc đã “hoá phép” cho hoa nở rộ suốt 4 mùa Tuy nhiên, những ngày giáp Tết cuối năm vẫn
luôn là quãng thời gian rực rỡ nhất, ngào ngạt
Trang 9Thơ —> NGUYEN TRONG DONG (GV THCS Phú Lộc, Krông Năng, Đắk Lắk)
Con diều biếc tuổi thơ
Nuôi ước mơ nho nhỏ
Sợi dây là ngọn gió Nối hai bờ thực hư
Mây trắng gọi ta về Với cánh diều mơ mộng Trời xanh xào xạc nắng
Tươi thắm tình thanh tân +
Những chiều tím hoàng hôn TA Cánh diều còn no gió `
Sáo ngân hay lời mẹ
Xao xuyến gọi mùa xuân
Triền đê cỏ lên xanh Thầm nghe con diều biếc
Bay cao, cao bát ngát
Như mây trắng khoảng trời
Khi mặt đất nối dài
Cho cánh diều cao mãi Tuổi thơ là hoa trái
Thơm ngát trời quê hương
Krông Năng, 1 - 2017
VŨ ĐỒ QUAN
Ooa dao
Pa Cav
Tây Bắc đường bên hoa Người và hoa khắp nẻo Đào hồng, hoa mận trắng
Cúc vàng, đồi chè xanh
Bức tranh tự nhiên vẽ
Điểm tô những nụ cười
Muôn người dưới xuôi tới
Xuân tưng bừng đường hoa Tết sum họp cả nhà
Tết bên hoa xuân mới Thưởng hoa bên đồng nội
Khác hoa trong phòng nha
Ông bà vui bên cháu
Con vui cùng mẹ cha Sáu người cùng hoa lá
Xuân ở lại trong ta
Trang 10DE THI TOAN QUỐC TẾ PHILIPINE ITMO 2017
ThS PHUNG KIM DUNG (GV THPT Ha N6i- Amsterdam, Q Cau Gấy, Hà Nội)
ThS CAI VIỆT LONG (GV THCS Ngô Sĩ Liên, Q Hoàn Kiếm, Hà Nội) Sưu tầm, dịch và giới thiệu
4 Biết rằng mỗi chữ cái D, A, V, O, M, T, H và S
đại diện cho các chữ số khác nhau từ 0 đến 9, sao
cho DAVAO và MATHS là các số có 5 chữ số thỏa mãn:
+DAVAO
DAVAO MATHS
Tính tổng của tất cả các giá trị có thể của T
2 Cho tứ giác ABCD thỏa man ZADC = ZABC =90° và AD = DC như hình vẽ Biết diện tích tứ giác ABCD là 196 cm^, hãy tính khoảng cách từ
D đến AB, theo cm D
C
A B
3 Hãy nối mỗi chữ cai ở trong ô vuông nhỏ ở trên với những chữ cái y hệt ở trong ô vuông nhỏ ở
dưới sao cho không có đường nào cắt nhau, và không có đường nào đi ra khỏi biên của hình vuông lớn M om” o fo} fm) |r| ft 4 Hãy điền vào mỗi ô trống các chữ số trong tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) mà không chữ số nào lặp lại sao cho M và N nguyên tố cùng nhau 1 1 M 1 —— + + LÌ[ILl—— N [| r+ | Tìm giá trị lớn nhất có thể của M —N
5 Hãy tô đậm các đoạn thẳng theo các đường chấm chấm để tạo thành các hình sao cho mỗi
vòng tròn nhỏ là tâm đối xứng của hình đó (mỗi
hình khi quay 180” xung quanh tâm vòng tròn
nhỏ ta vẫn được hình ban đầu) Một ví dụ về cách tô được miêu tả như dưới đây:
Hãy hồn thành cách tơ nói trên vào ba hình dưới đây:
6 Cho ba số gồm 3 chữ số ABC, BCD và CDE
(các chữ cái khác nhau đại diện cho các chữ số khác nhau) sao cho ABC +BCD + CDE = 2017
Tìm hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất có thể của số ABCDE
7 Andy muốn đặt một số đồng xu (có thể không
đặt đồng xu nào) vào mỗi hình vuông đơn vị của một bảng 3 x 3 ô vuông, sao cho tổng số đồng xu trên mỗi bảng con 2 x 2 ô vuông là một số nguyên tố và tất cả các số nguyên tố này phải khác nhau Hỏi Andy cần đặt vào bảng trên ít nhất bao nhiêu đồng xu? Hãy chỉ ra một ví dụ
8 Cho tam giác ABC D là trung điểm của BC và
E nằm trên AC sao cho AE : EC = 3 : 2 Giả sử
F là một điểm nằm trên AB sao cho diện tích tam
giác DEF gap 3 lần diện tích tam giac BDF, tinh ti
~ AF B
Trang 11IS l DE THI TOAN QUOC TE SINGAPORE IMC 2015 (Tiếp theo kì trước) LÚP 7
NGÔ VĂN MINH
(GV THCS Archimedes Academy, Hà Nội, Sưu tầm và giới thiệu)
43 Biết a và b là các số nguyên thỏa mãn a+D=8,b+= =4 Hỏi giá trị của tổng a + b a bằng bao nhiêu? 44 Biết 2(n + 1) — (n + 2) = n Tính giá trị của biểu x22+_2 x23+ +— l „zI5 2x3 3x4 15x16
45 Tìm giá trị của a (kết quả có thể để dưới dạng lũy thừa) khi chia đa thức x”"!Š + x2 + 2 x 370%
cho đa thức x? + x - 6 với đa thức dư là ax + b
46 Ban tổ chức IMC cần sắp xếp phương tiện di chuyển cho các đại biểu của một quốc gia, trong
đó một chiếc xe buýt mini chở được ít hơn một nửa
sé ) Nguoi mà một chiếc xe buýt chuyên dụng CÓ thể chở Biết rằng một chiếc xe buýt chuyên dụng và một chiếc xe buýt mini có thể chở 60 người Một chiếc xe buýt chuyên dụng và 2 chiếc xe buýt mini
thức
chỉ có thể chở s số đại biểu Nếu ban tổ chức sắp
xếp 7 xe buýt (chuyên dụng và mini) thì sẽ vừa đủ chỗ ngồi cho các đại biểu Hỏi quốc gia đó có bao nhiêu đại biểu? 9 Dùng các chữ số từ 1 đến 9 mỗi chữ số một lần để tạo thành một số có 2 chữ số, một số có 3 chữ số và một số có 4 chữ số sao Ì cho tích của hai số đầu tiên bằng số thứ ba ¡ Ví dụ: 12483 = 5796
Ngoại trừ ví dụ kể trên, hãy liệt kê hết các bộ
| số thỏa mãn điều kiện bài toán
40 Hình vẽ dưới đây biểu diễn một phần của
š bán đảo Ban căng Hỏi có bao nhiêu cách ta có thể tô màu mỗi miền bởi một trong bốn
' màu, sao cho mỗi hai miền kề nhau được tô bởi những màu khác nhau? l l l Le ass
47 Một chú bọ xuất phat từ tâm của mặt phẳng tọa độ và di chuyển hình xoắn ốc theo chiều kim
đồng hồ tạo ra các điểm dừng cứ sau mỗi bước
bằng 1 đơn vị như trong hình vẽ Nó xuất phát từ
điểm Pạ(0; 0), sau đó đi đến P,(-1; 0), P;(—1; 1), P,(0; 1), P,(1; 1), Hãy liệt kê tọa độ của 4 điểm
P.(X,, Yn) đầu tiên trên đường xoắn ốc sao cho [Xal + ly,| = 2015 và tìm các giá trị tương ứng của n yA P,P,| P, P 1 P 5 >X Po Pạ <<
48 Có N điểm được đánh dấu trên mặt phẳng Có thể đặt k đường thẳng sao cho đường thứ nhất đi qua đúng 1 điểm, đường thứ hai đi qua đúng 2 điểm, và đường thứ k đi qua đúng k điểm
Hình vẽ bên là một ví
dụ Khi k = 3, giá trị nhỏ
nhất của N là 4 Hỏi khi
k= 5 giá trị nhổ nhất
của N là bao nhiêu? Vẽ
Trang 12MOT SO BAI TOAN TRONG Ki THỊ TÌM KIẾM TAI NANG TOAN HOC TRE VIET NAM (MYTS)
PHAM VAN THUAN
(Trung tam Toan va Khoa hoc Hexagon)
Ki thi Tim kiếm Tài năng Toán học trễ (MYTS) do
Hội Toán học Việt Nam tổ chức hàng năm Năm 2017 đã có hơn 5000 thí sinh dự thi Kì thí có hai
vòng thi chính, chia thành bảy khối lớp từ lớp 4 đến lớp 10
Vòng thi thứ nhất thực hiện theo hình thức viết đáp
số, không cần giải thích Đề thi có 24 câu hỏi, ỗ mỗi khối lớp Mức độ câu hỏi từ dễ đến khó, với
dụng ý cho thí sinh tiếp xúc với những câu hỏi mới
mẻ và các bài toán đa dạng Khoảng 25% tổng số
thí sinh dự thi có kết quả tốt nhất được mời tham
gia Vòng thi thứ hai, tập trung tại Hà Nội và TP Hồ Chí Minh
Vòng thi thứ hai thực hiện theo hình thức làm bài tự
luận, yêu cầu thí sinh giải thích, trình bày lời giải
Đề thi gồm 06 câu hỏi, thời gian làm bài 120 phút
Kì thi MYTS 2018 sẽ được tổ chức vào đầu tháng
3/2018
Dưới đây, chúng tôi xin giới thiệu đề thí và lời
giải kì thi MYTS cho khối lớp 9, năm 2017
Bài toán 1 Cho bốn số thực (không nhất thiết
phân biệt) có tống bằng 172, đồng thời tổng hai số tùy ý trong bốn số luôn không âm Gọi a là số nhỏ nhất trong bốn số, tìm giá trị nhỏ nhất của a
Lời giải Gọi bốn số đã cho là a, b, c, d với a là số
nhỏ nhất Từ giả thiết ta có a + b>0,a+c>0,a+ d>0 Do đó (a + b) + (a + 6) + (a + d) - 2a=a+b +c+d= 172 Từ đó 2a + 172>0 Suy ra a> _= = -86 Đẳng thức đạt được với bộ số (—86, 86, 86, 86)
Bài toán 2 Cho f(x) = x° - x? - 5xỶ - x? — x — 1 và g(x) = x? — x? — 5x — 1 Biét rang phuong trình g(x)
= 0 có ba nghiệm phân biệt a, b, c Tìm giá trị của
f(a) + f(b) + f(c)
Lời giải Chú ý rằng f(x) = xŠ — x — 5x — x2 — x — † = X?(X - X— 5X — 1) —X- 1
Suy ra f(a) = —a - 1; f(b) = —b — 1; f(c) =—c - 1 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được f(a) + f(b) + f(c) =-a-b—c- 3 Vì a, b, c là các nghiệm của g(x) nên ta có (x — a)(x — b)(x - c) = g09 Do đó xỶ - (a + b + c)xˆ + (ab + bc + ca)x — abc =XỶ—XZ— 5x — 1 Từ đồng nhất thức trên ta có a+b+c=1 Suy ra f(a) + f(b) + f(c) = —1 - 3 = -4
Bài toán 3 Tìm tất cả các cặp số (p, n) trong đó p
là số nguyên tố, n là số nguyên dương sao cho
p"+ 144 là một số chính phương
Lời giải Ta có p" + 144 = m° hay p"= (m + 12)(m - 12)
Suy ra m + 12 = p°, m - 12 = p°, với các số nguyên
không âm a, b nào đó, a > b, a + b = n
Từ đó ta có p°(p2~° — 1) = 24 (1)
Như vậy, hoặc b = 0, hoặc số nguyên tố p là ước
của 24, nên p chỉ có thể nhận giá trị 2 hoặc 3 e Nếu b =0, ta có m = 13,p=5,n=2 e Nếu p =2, thì 24 = 2°(22~° — 1) nên b = 3, a = 5 vàn =8 e Nếu p =3, từ (1) suy ra b = 1 Ta có 8 = 32"! — 1, suy ra a=3,n =4 Vậy, tất cả các bộ số (p, n) thỏa mãn bài ra là: (5; 2), (2; 8), (3; 4)
Bài toán 4 Hình vẽ bên là một hình tháp gồm 21
ô vuông Bạn Hồng Hà điền vào mỗi ô một số tự nhiên sao cho không kể các ô trong hàng dưới cùng thì số ghi trong mỗi ô bằng tổng hai số ghi
Trang 13Hỏi bạn Hồng Hà có thể viết được ít nhất là bao nhiêu số CHĂN ở trong hình tháp? Tại sao?
Lời giải Ta xét sáu hình tháp nhỏ rời nhau, mỗi
hình gồm 3 ô vuông (A, B, G), (C, D, 1), (E, F, K), (L, M, Q), (O, P, S) va (T, U, V) V TJU QIR'.S LIMIOIP GIH'l'|J K AIBIC|D|ElIF Giả sử x, y, z là ba số ghi trong hình tháp nhỏ với x ở ô trên thì ta có x = y +Z Suy ra x + y + z = 2(y + Z), tức là trong ba số đó phải có ít nhất một số chẵn
Hình tháp lớn được cấu thành từ sáu hình tháp nhỏ
này và ba ô R, H, J Vì mỗi hình tháp nhỏ chứa ít
nhất một số chan nên hình tháp lớn chứa ít nhất 6 số chắn
Hơn nữa, R+ H+J=M+O+H+J=H+2l+J+ H+J=2(1B+C+D+E+C+D)
Suy ra R + H + J là số chẵn, tức là trong ba ô R, H,
J phải có ít nhất một số chan nữa Chứng tỏ hình tháp lớn chứa ít nhất 7 số chẵn Bây giờ ta chỉ ra một cách điền 22 1{01111410)1
Bài toán 5 Có 100 vận động viên tham gia một
giải thi đấu bóng bàn theo thể thức loại trực tiếp,
nghĩa là vận động viên thua sẽ bị loại ngay (không
có trận đấu hòa) Theo thể lệ cuộc thi, hai vận
động viên chỉ có thể được thi đấu với nhau nếu
chênh lệch giữa số trận đã thi đấu của họ không
quá 1 Biết rằng cuối cùng, chỉ còn lại đúng một
người vô địch, tất cả vận động viên khác đều đã bị
loại Hỏi nhà vô địch có thể thắng nhiều hơn 9 trận được không? Tại sao?
Lời giải Gọi a, là số người ít nhất tham gia thi đấu theo thể thức trên để người còn lại cuối cùng thắng
đúng k trận
e Nhận xét 1: a, la dãy tăng theo k
e Nhận xét 2: a; = 2, a; = 3
e Nhận xét 3: Khi k = 3, trước trận thứ 3, người
cuối cùng đã thắng 2 trận và phải đấu với người có ít nhất 1 trận thắng
Kết hợp với nhận xét 1 suy ra a; > a; + a; = 5 Lập luận tương tự ta có a¿ > a; + a;> 5 + 3= 8;
a; > a; + aa> 8 +5 = 13; aa > 89; a:s > 14A
Do đó để có người thắng 10 trận thì phải có ít nhất 144 người tham gia thi đấu Vì vậy thí sinh cuối cùng không thể thắng nhiều hơn 9 trận được Bài toán 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình vẽ Điểm D nằm trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) Gọi E, F lần lượt là hai điểm trên cạnh AB, AC sao cho BD = BE và CD = CF Gọi G là trung điểm của EF Chứng minh rằng BG vuông góc với GC Lời giải Gọi J là điểm đối xứng của D qua BC Khi đó BE = BD = BJ và CF = CD = € Vậy ÉJF = 360° —BJC —BJE - C.F
Chu y rang BUC = BDC; BEJ = BJE; JFC = CJF Suy ra EJF = 360° - BDC - (BEJ + CF.)
= 180° + A-(A+ EJF)
Do dé EJF = 90°
Trong tam giác vuông E.JF có G là trung điểm của cạnh huyền EF nên GF = GE = GJ Kết hợp với BE = BJ va CF = CJ suy ra GB, GC [an luot la
đường trung trực của E va Fu
Mà IE vuông góc với JF nên GB vuông góc với GC
Trang 14eG
NGUYEN TH] PHUONG DUNG
(6A2, THCS Yén Phong, Yén Phong, Bac Ninh)
a hen từ trước nên hôm đó, thám
tử Sêlôccôc tới nhà cô Mai chơi Cô Mai là chị em họ với thám tử
Cô vừa chuyển về nhà mới nên muốn mời thám tử đến thăm nhà
Khoảng 8 giờ tối, thám tử tới nơi Thấy Hà,
cháu gái cô Mai đang say sưa đọc cuốn sách
về các loài hoa, thám tử liền hỏi:
- Hà này, cháu thích loài hoa nào nhất?
- Dạ, hoa thược dược a
mượn cô bé một tờ giấy và cái bút, viết vào đó hai dòng chữ Rồi thám
tử nói tiếp:
- Bác có một món quà dành cho cháu, nhưng trước hết
cháu phải giải được câu đố của bác đã Giải được câu
đố, cháu sẽ tìm thấy vị trí đặt món quà Món
quà này chắc hẳn cháu sẽ thích lắm đấy
Nói rồi, thám tử đưa ra một tờ giấy được ghi câu đố:
Ban ngày ngẩng mặt cười tươi
Ban đêm đầu cúi, chẳng cười, lặng im - Có thể cho bác biết lí do vì sao không?
- Vì nó tượng trưng cho sự tử tế, vui
mừng bác ạ x
Chuyện trò một lát, thám tử Sêlôccôc
ry |
Hà cầm tờ giấy rồi suy nghĩ nhưng nghĩ mãi
không ra Cô bé đi ra ngoài phòng khách thì
thấy tường treo một bức tranh vẽ rất nhiều
loài hoa: hoa huệ, hoa quỳnh, hoa sen, hoa
dạ hương, Rồi chợt nhớ ra điều gì đó, Hà lật giở lại cuốn sách Cô bé reo lên rồi đi ra vườn, đứng trước một chậu hoa Cô bé lấy ngón tay nhẹ nhàng mở những cánh hoa ra th thấy một mảnh giấy có ghi dòng chữ: “Món qua 6 dang sau chậu hoa” Hà } nhn ra phía sau chậu hoa ' thì thấy một bó ` hoa thược dược - loài hoa mình ưa thích Hà cầm lấy bó hoa rồi chạy vào nhà, reo lên: - Cảm ơn bác, cháu rất thích món quà này bac a
Đố các bạn biết, Hà đã đi đến chậu hoa nào? Các bạn có thể giải được câu đố của thám tử Sêlôccôc được không?
Trang 15ASGETED crr2 sé 176+177)
Net tudi sing
mua lank
Bộ phim Đảo Đầu lâu (tên gốc tiếng Anh:
Kong: Skull Island) la mot phim quái vật của Mỹ năm 2017 do Jordan Vogt-Roberts
đạo diễn Phim bắt đầu được khởi quay vào
ngày 19 tháng 10 năm 2015 tại Hawaii Năm
2016, Việt Nam được chọn làm phim với bối
cảnh chính là một thung lũng rộng 2 ha ở trong lòng quần thể di sản thế giới Tràng An (Ninh Bình) Có 5 danh thắng thuộc 3 tỉnh phía Bắc Việt Nam được ghi hình để làm phim là: Tràng An, Vân Long, Tam Cốc (Ninh Bình); vịnh Hạ Long (Quảng Ninh) và Phong Nha (Quảng Bình)
Thế mà anh chàng Bình, con trai bà giúp việc lại cho rằng: “Trên màn ảnh rộng, biển
đảo Nha Trang hiện ra vô cùng quyến rũ!” Thám tử Sêlôccôc đã nhanh chóng phát hiện ra sơ hở này và nghi ngờ anh ta chính là thủ phạm lấy trộm chiếc nhẫn kim cương “ woo THE CO (Ki 96) Trắng đi trước cấu net sau 2 nước a b c Waa jane & ⁄⁄ Ue,” To Ya, Ạ bY; Yam; Fa > COLT L NO G2 +> ƠI oO) ` œ ` ` VN WF Mi 2 Vi, ⁄ z777Z 77777 2 2 Wi, 24; Y, Se 2M; “ưza y ⁄ Ue 2) { ara? & By Yj; a b Cc d e f h po wo fF a Ơ N OW
LE THANH TÚ (Đại kiện tướng Quốc t6)
Phần thưởng sẽ được gửi tới các
thám tử sau: Nguyễn Đức Bảo Chau, 7A2, THCS Yên Phong, Yên Phong,
Bắc Ninh; Vũ Duy Linh, 8A6, THCS Hồng
Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng; Hoàng Ngọc
Quân, 9A4, THCS Nguyễn Đức Cảnh, Thái
Thụy, Thái Bình; Vũ Huyền Trang, 8H,
THCS Văn Lang, Việt Trì Phú Thọ; Trần
Khánh Huyền, 7D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An Các bạn sau được khen kì này: Nguyễn x Quang Minh, fC, THCS Lê ' Văn Thịnh, thị trấn Gia Bình, Bắc Ninh; Đỗ Thu Hường 7A1, THCS Chất
lượng cao Dương Phúc Tư, Văn Lâm,
Hưng Yên; Nguyễn Tuấn
Minh, 8A1, THCS Nam Hà, Kiến An, Phòng; Vũ Thu Hiền, 7A, THCS Đào Sư
Tích, Trực Ninh, Nam Định; Nguyễn Minh
Châu, 7A1, THCS Chất lượng cao Mai Sơn, Mai Sơn, Sơn La; Nguyễn Yến Nhi, 8F,
THCS Tran Mai Ninh, TP Thanh Hóa,
Thanh Hóa; Nguyễn Khánh Huyền, 9B,
Trang 16CAI THOT CUA BO PGS TS CHU CAM THO
(Nha sáng lập và Giám đốc Nghiên cứu và Phát triển POMath) Tít rất thích làm việc Thế nên khi thấy người lớn làm việc gì, Tít cũng muốn làm cùng Mỗi lần có cỗ, nhà Tít sẽ có thịt gà Công
việc chặt thịt gà là của bố hay sao ấy Tít
nhớ, hồi Tít 4 tuổi, bố bảo khi Tít lớn sẽ là
người đàn ông của gia đình, khi ấy sẽ được làm việc giống bố Nay Tít học lớp 4 rồi, Tít cũng đã bê được cái thớt gỗ nghiến của bố rồi mà Tít cũng đã được làm việc này đâu!!!
Thấy Tít buồn, bố bày trò giúp Tít có việc để
làm Bố hỏi Tít: Thớt này có hình gì? Tít thấy quá dễ, nó là hình tròn mà Bố đố Tít xem trong nhà có những vật nào có hình tròn nữa Trong vòng 15 phút, Tít tìm thấy những vật sau: * Ống giấy vệ sinh * Cái lọ đựng đường của mẹ (mà miệng lọ nào cũng hình tròn thì phải) * Lon bia của bố
* Miệng của cái ấm * Miệng của cái nồi
* Cái bánh xe đạp của Tít
Bố lại cho Tít cái thước dây Bố bảo Tít đo
vòng quanh những vật ấy, rồi lại đo chỗ rộng
nhất của những hình tròn ấy xem sao
Cái thớt: đo vòng quanh được 80 cm, chỗ rộng nhất là 26 cm Cái nồi: đo vòng quanh được 51 cm, rộng nhất đo được là 16 cm Cái cốc: đo vòng quanh được 22 cm, rộng nhất là 7 cm Cái ấm: đo vòng quanh được 35 cm, rộng nhất đo được là 11 cm Lon bia của bố: đo vòng quanh được 18 cm, chỗ rộng nhất đo được là 6 cm Cái lọ đựng đường của mẹ: đo vòng quanh được 38 cm, chỗ rộng nhất là 12 cm Cái ống giấy vệ sinh: đo vòng quanh được 13 cm, chỗ rộng nhất đo được là 4 cm
Bố bảo Tít lấy số đo chỗ rộng nhất rồi nhân với 3 xem sao Ồ hay chưa, Tít thấy kết quả đều gần bằng số đo vòng quanh của mỗi vật đó đấy
Bố nói, số đo vòng quanh là chu vi hình tròn,
chỗ rộng nhất là đường kính Từ ngàn xưa, các cụ đã biết chu vi gần gấp ba lần đường kính Còn sau này, các nhà toán học thì biết đó là số Pi Có nhiều điều kì bí về số Pi đấy Người ta thường lấy giá trị gần đúng của số
Pi là 3,14
Các bạn thấy thử nghiệm của Tít và bố có
thú vị không? Các bạn hãy thử nghiệm với
Trang 17giải nhé!
Ä¿€Í§ [` (rrra số 176177)
KE DUONG PHAN GIAC CUA MOT GOC
Để dựng hình ta dựa vào tính chất: Ba đường phan giác trong của một tam giác thì đồng quy; một đường
phân giác trong và hai đường phân giác ngoài tại hai
đỉnh còn lại của một tam giác thì đồng quy
* Cách 1 e Dựng hình Kẻ đường thẳng d cắt a tại C và cắt b tại D (hình 1)
Vẽ đường tròn tâm C cắt a tại E, F và cắt CD tại P
Vẽ các đường tròn tâm E bán kính EC, đường tròn tâm F bán kính FC và đường tròn tâm P bán kính
PC Đường tròn (P) cắt đường tròn (E) tại T (khác C) va cắt đường tròn (F) tại V (khác C)
Vẽ đường tròn tâm D cắt b tại M, N và cắt CD tại
Q sao cho E và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ CD Vẽ các đường tròn tâm M bán kính MD, đường tròn tâm N bán kính ND và đường tròn tâm Q bán
kính QD Đường tròn (Q) cắt đường tròn (M) tại X (khác D) và cắt đường tròn (N) tại Y (khác D)
Kẻ CT và DX, chúng cắt nhau tại H Kẻ CV và DY,
chúng cắt nhau tại K Kẻ KH thì KH chứa đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng a và b
e Chứng minh Giả sử A là giao điểm của a và b
Trong tam giác ACD thì theo cách dựng hình, CT và DX tương ứng là phân giác của góc ACD và ADC nên H nằm trên đường phân giác của góc
CAD Tương tự, theo cách dựng hình, CV và DY
tương ứng là phân giác của góc FCD và NDC nên
cazm CHAO 2018!
Bài toán Cho phương trình Vx +7 —V/x-82 = x-2017 Hồng nói phương trình đã cho có một nghiệm Hà biến
đổi mãi mà chưa tìm ra cách giải Các bạn giúp Hà tìm lời
PHẠM TUẤN KHẢI (Hà Nội)
K nằm trên đường phân giác của góc CAD Trong
hai điểm H, K thì một điểm là giao điểm của hai đường phân giác trong, còn điểm kia là giao điểm
của hai đường phân giác ngoài, do đó đường
thẳng HK di qua giao điểm A của a và b
Chú ý rằng nếu hai đường thẳng a và b khá gần
nhau thì chọn các đường tròn (C) và (D) đều có bán kính bằng CD, lúc đó số thao tác dựng hình sẽ ít hơn (hình 2) 3
Hinh 2
Nhận xét Sau khi tìm được một điểm H nam trên
đường phân giác của góc CAD có nhiều cách
dựng đường phân giác đó Chẳng hạn:
* Cách 2 Dựng đường tròn tâm H cắt hai đường thẳng a và b tại A và B rồi tìm trung điểm của AB là
K thì HK là đường phân giác của góc tạo bởi a và b
* Cách 3 Dựng hình bình hành CDTF (các điểm C, D, F, N như ở hình 1), dựng tia phân giác Dx
của góc NDT, kể đường thẳng Hy // Dx thì Hy là
đường phân giác của góc tạo bởi a và b
xxo—~ Các bạn Ngô Thi Hải Yến, 8A1, THCS
Bộ lúc tí Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê
Minh Quỳnh Anh, 8F, THCS Trần Mai
Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa đã giải đúng,
được nhận phần thưởng kì này
ANH COMPA
Trang 18al ua Bài 1(176+177) Tìm số có ba chữ số abc thỏa bca + cab qu mãn abc = , biết rằng a, b, c là các chữ số khác nhau và khác 0 Lời giải Ta có 0 < a, b, c < 9 Theo giả thiết ta có - 068 + CĐ _ 1o0a + 10b+c _ 100b + 10c + a+ 100c + 10a+b _ 2 & 189a = 81b+108c © 7a = 3b + 4c © 7(a—b) = 4(c—b) > 4(c—b):7 > c—b:7 (Vì (4,7) = 1) Mặt khác 0 <b,c<9 nên -9 <c—b <9 =(c-b)e{-7; 0; 7} Ta xét các trường hợp sau e TH1: c-b=-7 ©b=c+7<9>ce{1,2} * Với c= 1 thì b= 8 và a =4, ta có số abc = 481 * Với c = 2 thì b = 9 và a = 5, ta có số abc = 592 e TH2: c—b =0 © c=b (loại) e TH3: c-b=7 ©c=b+7>be††.2) Tương tự như TH1 ta tìm được các số 581 và 692 Vậy các số cần tìm là 481; 592; 581; 692
Nhận xét Có nhiều bạn đã tham gia giải và các bạn sau có lời giải chính xác, chặt chẽ: Trịnh Đức
Tuấn, 7A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn;
Nguyễn Quang Đức, 7B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Văn Bảo Châu, 6/5, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng; Lương
Minh Hiếu, 7C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì; Vũ
Hồng Phúc, 7G, THCS Hùng Vương, TX Phú
Thọ, Phú Thọ; Trần Thiên Ngân, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Nguyễn Viết
Vương, 6A; Nguyễn Tuấn Linh, 6C, THCS Vũ Kiệt, Thuận Thành; Ngô Gia Đức, 7A1, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh
PHÙNG KIM DUNG
toàn thư
Bài 2(176+177) Cho tam giác ABC cân tại A có
A<60° Giả sử M là điểm nằm trong tam giác thỏa mãn MAC = MBA =MCB Chứng minh rằng MB < MC Lời giải A D X B C
Về phía ngoài AABC, kẻ tia Ax sao cho CAx = BAM Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD
= AM Khi đó AAMB = AADC (c.g.c) Suy ra ADC = AMB (1)
Mat khac MCB = MBA nén MCA =MBC Ma MAC = MCB
Suy ra BMC = AMC = 180°
(vi ABC > 60°)
Do đó AMB > 1209 > AMC (2) Từ (1) và (2) suy ra ADC > AMC
Ta lai có ADM = AMD nén MDC > DMC Suy ra MC > CD, từ đó MC > MB
Trang 19Nhận xét Các bạn sau có lời giải tốt: Lương
Minh Hiếu, 7C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Nguyễn Văn Huấn, Nghiêm Xuân Bắc, 7A5, THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Tuấn Dương, 7B5, THCS Chu Văn An,
Ngô Quyền, Hải Phòng; Trịnh Đức Tuấn, 7A,
THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa; Nguyễn Huỳnh Ngọc Anh, 7H, THCS Nguyễn Chí
Thanh, Đông Hòa, Phú Yên
HỒ QUANG VINH
Bài 3(176+177) Cho 2017 số a¿, as, as,
thỏa mãn «+5 89017
31 + 4a +9aa + + 20172821; =Í 4a +9aa + 16aa + + 20187 a9947 =12
9a, +16a5 + 25aa + + 20192a2o+; = 123
Tinh M = 16a, + 25a + 36a3 + + 2020a9917 Lời giải Đặt
S3+= ai + 4a¿ +9aa + +201728201z = 1;
So = 4a, +9a> +16a3 + + 20187 a5947 = 12; Sa = 9a; + 16a› + 259aa + + 20192aao+; = 123
Ta thấy mỗi hệ số của a, (n = 1, 2, 3, , 2017) trong S¿, S;, S; và M tương ứng là n2, (n + 1)”, (n+ 2#, (n + 3)? Ta lại có (n+3)F = 3(n? + 4n+ 4) - 3(n? + 2n+1)+n7 => (n+3)* = 3(n+ 2)? —3(n +1)? + nể Do đó với mỗi n, ta có (n+ 3)2 an = 3(n+ 2)2 a, — 3(n+ 12 a, + nˆan Viết hệ thức trên với n =1, 2, 3, ,2017 rồi cộng theo vế các đẳng thức đó ta được M = 383 -3S9 + Sy = 3.123 - 3.124 1= 334 Vay M = 334
Nhận xét Các bạn sau đây có bài giải tốt: Lê
Minh Quỳnh Anh, 8E, THCS Trần Mai Ninh, TP
Thanh Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Công Hùng,
8A3, Nguyễn Đức Tân, 9A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Quỳnh Chi, 8A1,
THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Văn Mạnh, 8D; Lê Đình Tú, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nguyễn Thị Kiều Trang,
Nguyễn Phương Linh, 9A, THCS Nguyễn Hiển, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Thu Hiền, 8A3, THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình NGUYỄN ANH DŨNG Bài 4(176+177) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a^ +b^ + c2 = 12 Chứng minh rằng a+b \ b+c c+a > 2 (1) 4+bc 4+ca 4+ab 2 Lời giải Ta phải chứng minh P= 4a+b) 4brc) 4(c+a) >6 4+bc 4+ca 4+ab - Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 4(a +b) bc(a + b) 1 =a+b—-————>a+b-—$\bc(a +b) 4+bc 4+bc 4 vbo( ) Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bất đẳng thức nhận được ta có P>2(a+b+c)
—|abe + bJca + cVab + avVab + bvbc + cca | Ap dung bat đẳng thức AM-GM ta có
axbc +bx/ca + cVab
< a(b+c) | b(c+a) + c(a +b) 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có axab +bxbc + cvca < \(a2 +b? + c*)(ab +bc + ca) = /12(ab + bc + ca) Do đó
P.>2(a +b +e)~[ab + bo + oa + xJÏ2[ab + bo + oa) |= Q Đặt t = /12(ab + bc + ca) với 0<t<12và 2 a+b+c = -ja2 +b2 +c2 + 2(ab +bc + ca) = 12+ ae 2? 1Ít - Khi đó Q=2,12+—-—|—+t| Ta sẽ chứng 6 4112 minh Q>6 Thật vậy Q>6 f2 1Ít f2 1Ít © 2,12+—-—| +t|>6<2.j12+—>-—| —+t|+6 6 4|112 6 4112 © t* +24t? —816t2 +6912t - 27648 < 0 © (t— 12)(t + 36t? — 384t + 2304) < 0 (luôn đúng) Suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra khi t =12 hay a=b=c =2
Nhận xét: Đây là bài toán khó nên không có bạn
nào có lời giải đúng = ab +bc + ca CAO VĂN DŨNG Bài 5(176+177) Cho một phong sôcôla kích thước 6 x 6 ô vuông Tính xem phong sôcôla đó
có thể bẻ thành tối đa bao nhiêu thanh có kích
thước 1 x 4 ô vuông?
Trang 20Lời giải Ta tô màu phong sôcôla như hình 1 0l1]2 3 0 1 2 3
Hinh 1 Hinh 2 Hinh 3
Ta thấy mỗi thỏi có kích thước 1x4 đều có chứa duy nhất một ô vuông tô màu Do đó mỗi lần bẻ một thỏi sôcôla 1x4 là ta đã xóa đi đúng một ô vuông tô màu khỏi phong sôcôla ban đầu Vì chỉ có 8 ô vuông tô màu, nên số thỏi có thể bẻ được không thể vượt quá 8
Ta chứng minh 8 là số tối đa khi bẻ phong sôcôla bằng cách chỉ ra một cách bẻ như hình 2
Vậy ta có thể bẻ tối đa là 8 thỏi sôcôla
Nhận xét Có nhiều bạn tham gia giải bài, tuy nhiên một số lời giải có lập luận không chặt chẽ
Chẳng hạn có bạn lập luận rằng hình vuông tạo
bởi các thỏi kích thước 1x4 chỉ có kích thước
2k x 2k là sai
Ngồi cách tơ màu trên, ta có thể lập luận không bẻ được 9 thanh bằng cách đánh số như hình 3 Mỗi thỏi kích thước 1x4 đều có tổng các số ở các
ô là 6 Nếu có thể bẻ ra 9 thỏi từ phong sôcôla thì
tổng các số ở trên phong sôcôla này tối thiểu phải
bằng 54, nhưng theo cách đánh số trên thì tổng các số ở trên phong sôcôla chỉ bằng 52 Vậy số
thỏi có thể bẻ được không vượt quá 8
Các bạn sau có lời giải đúng: Phùng Quốc Lâm,
9E, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc;
Đặng Ngọc Linh, 6A1; Phạm Đức Trí, 6A2, THCS
Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội; Nguyễn Huy Hoàng, 9A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Công Hải, Vũ Minh Khải, 8A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
TRỊNH HOÀI DƯƠNG
Bài 6(176+177) Cho đường tròn (O) và dây BC
không là đường kính Xét A là điểm nằm trên
cung lớn BC và AB z AC Trên đường trung trực
của AC lấy điểm E sao cho AE L AB Trên đường
trung trực của AB lấy điểm F sao cho AF L AC Tiếp tuyến tại O của đường tròn ngoại tiếp tam
giác OEF cất đường trung trực của OA tại T Chứng minh răng T luôn năm trên một đường
thẳng cố định khi A di chuyển trên trên cung lớn BC và AB z AC
Lời giải e Bổ để Cho tam giác ABC, (O) là
đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp, M là trung điểm cung BC không chứa A của (O)
Khi đó MB = MC =MI
Bạn đọc tự chứng minh bổ để
Trở lại bài toán
Gọi M là trung điểm của AO; E, F theo thứ tự là
trung điểm của OP, OQ; R là giao điểm của BQ và CP; (S), (K) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và tam giác PQR; L là giao điểm thứ hai của (S) và (K); N là giao điểm thứ hai của
LA và (K); W là trung điểm của ON Dễ thấy AP // ME, AQ // MF và A, P, Q thẳng hàng Từ đó, chú ý rằng AEOFF là hình bình hành, suy ra A là trung điểm của PQ Do đó
OBR + OCR = 180°— OBQ +180°—~ OCP
= 360° -(OAQ + OAP) = 360° — 180° = 180°
Vậy R thuộc (S) (1)
Mà OB = OC, suy ra QRO = BRO = CRO = PRO
Mặt khác PQO = AQO = BQO = RQO;
Suy ra O là tâm đường tròn nội tiếp APQR (2) bé thay CBR = LCR; LOR =LPR Do dé [BQ =LCP; LQB =LPC Kết hợp với BQ = AQ = AP = CP, suy ra ALBQ = ALCP Do d6 LQ =LP, LB=LC
Kết hợp với AQ = AP,OB = OC, suy ra N là trung điểm cung PQ không chứa L của (K) (3)
S là trung điểm của OL và LCO = 90° (4)
Từ (2) và (3), theo bổ đề trên, suy ra N là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ
Từ đó, chú ý rằng E, F, W theo thứ tự là trung điểm
Trang 21a BANG Ty LE ý xa Oo > z ya CARTESIAN COORDINATES INTRODUCTION TO +
taney ThS DUONG THU TRANG (Gmath Education)
TS ĐỖ ĐỨC THÀNH (GV Trường liên cấp Tiểu học và THCS Ngôi Sao Hà Nội) Cartesian Coordinates are used to locate a point in a plane The left-right (horizontal) direction is commonly called x-axis The up-down (vertical) direction is commonly called y-axis
The point where the x-axis and y-axis meet is
called the origin (O)
The coordinates are always written in a certain order: The horizontal distance first, then the vertical distance This is called an “ordered pair” (a pair of numbers in a special order)
And usually the numbers are separated by a
comma, and parentheses are put around the whole thing like below: A(2, 3)
We say: A has coordinates (2, 3), 2 is the
x-coordinate, 3 is the y-coordinate A O33) ae 3 at x-axis | | > 3.units ++ td, -3 9 41 O 1 2X X -+ -¬-='+ B(-3 ,-1) -2 -3+ - xD y-axis ——> e Mid-point theorem
To find a point that is halfway between two given
points, get the average of the x-values and the average of the y-values The midpoint between the two points (x,, y,) and (x,, y2) is given by: (2m) 2 ` 2 Example: The midpoint of A(2, 3) and B(-3, -1) is m-(22C9 =) 2 1 2 2 2 e Technical terms coordinate tọa độ horizontal ngang vertical doc
x-axis truc hoanh
y-axis truc tung X-coordinafe hoanh dé y-coordinate _tung dé origin gốc tọa độ midpoint trung điểm average trung bình cộng distance khoảng cách vertex dinh e Exercise
1 Juliet lives in Castle A whose coordinates are
(20, 30) and Romeo lives in Castle B whose
coordinates are (2, 4) Juliet would like to see her
man halfway between the two castles What are
the coordinates of the meeting point?
2 You are graphing a rectangle ABCD on a plane You know the coordinates of vertex A and
vertex B are (2, 5), (10, 5) respectively and the
area of the rectangle is 48 units squares Find the coordinates of the other vertices and the center of the rectangle
Bạn hãy giải hai bài toán trên (bằng tiếng Việt
hoặc tiếng Anh) rồi gửi bài giải về tòa soạn nhé
Năm bạn có bài giải tốt nhất sẽ được nhận quà
eẹ@Ằ0G96G9666666666666 6666666666
ASAETED TRIANGLES (TTT2 số 176+177)
Các bạn sau có bản dịch sát nghĩa, được thưởng kì này: Nguyễn Khắc Lâm Nguyên, 8A1, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Trần Đăng Nguyệt Nhi, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hà
Tĩnh; Đỗ Thị Linh Vân, 9A, THCS Nguyễn Hiển,
Nam Trực, Nam Định; Vũ Duy Linh, 8AG, THCS
Hồng Bàng, Q Hồng Bàng, Hải Phòng; Nguyễn
Trình Tuấn Đạt, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An
Trang 22TIỀN NƯỚC SINH H0OẠT
HÀ UYÊN (TP Hồ Chí Minh)
A Giá tiền nước
Theo công ty cổ phần cấp nước Bến Thành thuộc tổng công ty cấp nước Sài Gòn thì định mức tiêu thụ nước mỗi người là 4
mỶ/người/tháng và đơn giá được tính theo bảng sau: Lượng nước tiêu thụ (m`) mm Đến 4 mỶ/người/tháng 5300 Trên 4 mỶ/người/tháng 40200 Trên 6 mỶ/người/tháng 11400
Số tiền phải trả trong hóa đơn là T gồm tiền
nước gọi là A, thuế giá trị gia tăng 5% gọi là
B, 10% phí bảo vệ môi trường gọi là C
Nhu vay T=A+B+C
Do đó T =A + A.5% + A.10%
B Các bài toán
Bài 1 Gia đình anh Toàn có 3 người trong
tháng 9 năm 2017 đã sử dụng hết 20 m3 nước
máy Hỏi tháng 9 năm 2017 gia đình anh Toàn phải trả theo hóa đơn là bao nhiêu tiền? Lời giải Ta có 20 = 4.3 + 2.3 + 2 Số tiền nước tháng 9 năm 2017 nhà anh Toàn phải trả (chưa kể phụ phí) là: A = 5300.4.3 + 10200.2.3 + 11400.2 = 147600 (đồng) Số tiền trong hóa đơn nhà anh Toàn phải trả là: T = 147600 + 147600.5% + 147600.10% = 1697400 (déng)
Bài 2 Gia đình cô Dung có 9 người trong
tháng 7 năm 2017 phải trả tiền nước theo hóa đơn là 653430 đồng Hỏi gia đình cô Dung đã sử dụng bao nhiêu m nước máy?
Lời giải Số tiền nước nhà cô Dung phải trả (chưa kể phụ phí) là: A = 653430 : (100% + 5% + 10%) = 568200 (đồng) Ta co 5300.49 + 10200.29 = 374400 < 568200 Do vậy số m? nước máy nhà cô Dung sử dụng lớn hơn 4.9 + 2.9 = 54 (m?)
Goi x (m*) la s6 m? nuéc may nha c6 Dung st
dung trong thang 7 nam 2017
Theo đầu bài, ta có phương trình 5300.4.9 + 10200.2.9 + 11400(x — 54) = 568200 © 11400(x — 54) = 193800 = x - 54=17 ©x= 1 (thích hợp) Vậy tháng 7 năm 2017 gia đình cô Dung đã sử dụng 71 m3 nước máy
CUOC THI DAC BIET NHAN
15 NAM TOAN TUOI THO 2
Năm 2018, Toán Tuổi thơ 2 tròn 15 tuổi
Để kỉ niệm dấu mốc quan trọng này, Tạp
chí tổ chức Cuộc thi đặc biệt nhân 15 năm
Toán Tuổi thơ:
® Đối tượng dự thi: Các em học sinh
Trung hoc co sé
©_ Đề bài: Các bài toán trong chuyên mục Thi giải toán qua thư từ số 179 (tháng
1.2018) đến số 190 (tháng 12.2018)
® Cách tham gia dự thi: Các bạn học sinh tham gia giải bài trong chuyên mục
Thi giải toán qua thư là các em đã tham
gia đồng thời hai cuộc thi: Cuộc thi thi giải
toán qua thư và Cuộc thi đặc biệt nhân 15
năm Tốn Tuổi thơ
® Trao thưởng: Tháng 2.2019, Tạp chí sẽ công bố danh sách học sinh đoạt giải Giải thưởng gồm: Quà tặng, giấy chứng nhận và tiền mặt
Trang 23phạm Hà Nội
~~ ‘TRAN DAU THU MOT TRĂM NĂM MU0I MỐT
Người thách đấu: Nguyễn Minh Hà, GV THPT chuyên Đại học Sư
Bài toán thách đấu: Cho tam giác ABC Giả sử tồn tại các điểm P, Q, R thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BP = CQ = AR và
BPR = CQP = ARQ Chứng minh rằng AABC là tam giác đều Thời hạn: Trước ngày 08.02.2018 theo dấu bưu điện
AGREED TRAN DAU THU MOT TRAM BON MUO! CHIN (rTT¿ số 176+177)
Lời giải Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của K trên CA, AB; P, Q theo thứ tự là hình chiếu của H
trên CA, AB; R, S theo thứ tự là hình chiếu của L
trên CA, AB; U, V theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên EF A B D C Ta có KM//HP//LR; KN//HQ//LS Từ đó, với chú ý rằng K, H, L thẳng hàng, suy ra MR KL NS pods MP_MR 4) NQ NS Theo giả thiét BP // FM, CQ // EN, EA= FA, MA=NA Ta có AFBU œ AECV (g-g) Do đó MP _ MP EC FB _ MA EA FB _ FB _FU (2) NQ FB NQ EC FA NA EC EC EV Dé thay MF//RL; NE//SL; ME = NF NS MENS FEEL EL Từ (1), (2) và (3), chú ý rang DB = FB; DC = EC, suy ra DB FB FU MP _MR_FL_FU+FL_ LU DC EC EV NQ NS EL EV+EL LV Kết hợp với BU//CV// AI, theo định lí Thales đảo, suy ra DJ // AI Kết hợp với AH // ID, suy ra A.JDI là hình bình hành Vậy AJ= ID =r
Nhận xét Trận đấu này không có võ sĩ nào đăng
quang Phần thưởng xin gác lại kì sau
NGUYÊN MINH HÀ
s@e@Ằ®G9Ằ®666®966666669 6669660696669 666
Ket qua Thi giải toán
(Tiếp theo trang 18)
Chú ý rằng OT tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
tam giác OEF, ta có OT 1 OW (3) Từ (1) và (4) chú ý rằng OCPE=OAP và LAP = 90° , suy ra AON = 180°-AOL-LOR = 180° - AOL-LCR = 180°- AOL ~ (180° - CO — OCP) = 180°- AOL
~ (180° - 90° - OCP) = 180° - AOL - (90° - OAP)
= 180° - AOL -LAO = ALO
Do đó NO tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AOL (6)
Từ (5) và (6) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AOL thuộc OT
Kết hợp với OT = OA, suy ra T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOL (7)
Từ (4) và (6) suy ra TS L OL
Điều đó có nghĩa là T thuộc đường thẳng cố định,
qua S vuông góc với OL
Nhận xét Không bạn nào có lời giải đúng bài toán
này
NGUYỄN MINH HÀ
Trang 24BÀNH €H@
NUR PHUONG PHAP CHUNG MINH MOT DIEM LA TAM BUONG TRON NOI TIEP TAM GIAC LE VIET AN (Phú Thượng, Phú Vang, Thừa Thiên - Huế)
1 Phương pháp chứng minh trực tiếp
Để chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta chứng minh điểm đó là giao điểm
của hai đường phân giác trong của tam giác Bài toán 1 Cho tam giác ABC với AB < AC,
đường tròn nội tiếp tam giác có tâm I và tiếp xúc
với BC, CA và AB thứ tự tại D, E và F Tia AI cắt
các đường thẳng DE và DF thứ tự tại X và Y Gọi Z
là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC Chứng minh rằng D là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác XYZ (problem 5 of Middle European
Mathematical Olympiad 2014)
Lời giải
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau, ta có CD = CE,
từ đó tam giác CDE cân tại C Suy ra ẾEB =90°- — _ 90° — ACB _ BAC + ABC 2 2 Do đó — [BD +ÍXD =ÍBD + (1809 - AXE) = 1809 Suy ra tứ giác BDXI nội tiếp, từ đó BXI = BDI = 90° Tương tự CYI = 909
Do đó AXB = AZB (= 909) nên tứ giác ABZX nội
tiếp khi Z nằm giữa B và D (nếu khác xét tương
tự)
Do đó DZX = BAX = CAY = CZY = DZY Suy ra ZD là phân giác của XZY (1)
Chứng minh tương tự ta được YD là phân giác của
XYZ (2)
Từ (1) và (2) suy ra D là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác XYZ
Bài toán 2 Cho tam giác ABC Các đường phân giác ngoài và phân giác trong tại đỉnh A của tam
giác thứ tự cắt BC tại D và E Giả sử F là một điểm
thuộc đoạn thẳng BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF thứ tự cắt AB và AC tai | va J (J thuộc AC) Gọi N là trung điểm của IJ và H là hình chiếu
của E trên DN Chứng minh rằng E là tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác AHF (Problem 3 of
European Mathematical Cup, Junior Category, 2014)
Lời giải
Vì đường phân giác ngoài tại đỉnh A của AABC cắt
BC tại D nên AB + AC Không mất tính tổng quát, giả sử AB < AC Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp AADF Ta có DAE = 909 Do dé JAD = CAD = DAE +EAG = 90° + BAC Từ đó DIJ = 1809 - JAD = 180° -{ 90 +28)
= 90° -S2° _ DAE -BAE = DAB = DAI =U
Suy ra ADIJ can tai D nén DI = DJ Ma N là trung
điểm của IJ nên DN là đường trung trực của lJ, suy
ra O thuộc DN
Đường thẳng DN cắt lại đường tròn (O) tại X thì DX
là đường kính của đường tròn (O) nên
DAX = 90° = DAE
Trang 25Suy ra ba điểm A, E, X thẳng hàng
Từ đây suy ra EFX = DFX = 90° = EHX va
DAE=EHD=90° nên các tứ giác EFXH và
ADHE nội tiếp
Vì các tứ giác EFXH, ADXF và ADHE nội tiếp nên
AHE = ADE = AXF =EHF, do dé HE [a tia phan
giác của AHF (1)
Mặt khác EFH = EXH = AXD = AFD nén EF [a tia
phân giác của AFH (2)
Từ (1), (2) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp của
tam giac AHF
2 Phương pháp chứng minh gián tiếp
e Bổ đề 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi P là trung điểm của 8C không chứa điểm
A Diém | nằm trong đoạn AP sao cho PI = PB
Khi đó I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC
e Bồ đề 2 Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giac ABC thi BIC = 90° os
e Bổ để 3 Cho tam giác ABC Diém | nam trong
—
tam giác ABC sao cho BIC = 909 =< và AI là
tia phân giác của BAC Khi đó I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
Bạn đọc tự chứng minh các bổ đề trên
Bài toán 3 Giá sử BC là một đường kính của
đường tròn (O) Gọi A là một điểm trên (O) sao
cho AOB < 1200 Gọi D là trung điểm của cung
AB không chứa điểm C Đường thẳng qua O song
song với DA cat AC tai | Đường trung trực của OA
cắt đường tròn (O) tại E và F Chứng minh rằng | la
tâm đường tròn nội tiếp của tam giác CEF
(Problem 2, IMO 2002)
Lời giải E
A
Không mất tính tổng quát, ta giả sử E va C nam
cùng phía đối với OA thì khi đó điểm F và C nam khác phía đối với OA
Từ giả thiết AOB < 1209, suy ra AOC > 609
Ma EA=EO=OA=OF=FA nên A là trung
điểm của ÉP và OAE, OAF là các tam giác đều
Suy ra AOE=60°<AOC va AOF=60° >
= AOB = AOD nên tia OE nằm giữa hai tia OA va
OC, tia OD nam gitfa hai tia OA va OF
Suy ra E thuéc AC không chứa điểm B, còn F
thuộc AC chứa điểm B nên tia CA nằm giữa hai tia CE và CF
Ta có DO là trung trực của AB nên DO 1 AB, và do BC là đường kính của (O) nên AC L AB
Từ đó DO // AI Chú ý rằng AD // OI nên
OIA = ODA = OAD = AOL
Suy ra tam giác AOI
Al= AO => Al= AE = AF
Theo bổ đề 1 thi | là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác CEF
Bài toán 4 Hai đường tròn (O,) và (O;) tiếp xúc
ngoài với nhau tại l và cùng tiếp xúc trong với
đường tròn (O) Tiếp tuyến chung của (O,) và (O;) tại I cắt (O) tại A Một tiếp tuyến của (O;) và (O;) không đi qua I cắt (O) tại B và C sao cho A va | nằm cùng phía đối với đường thẳng BC Chứng
minh rang I là tâm đường tròn nội tiếp của tam
giác ABC (IMO Shortlist 1992) Lời giải cân tại A, từ đó Trường hợp O, O;, O; cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC
Gọi tiếp điểm của (O,) với BC là E thì ta có
O,E 1 BC Gọi tiếp điểm của (O;) với (O) là M, ta có O, O,, M thẳng hàng
Gọi P là điểm chính giữa BC của đường tròn (O)
không chứa A Ta có OP 1 BC
Trang 26Từ đó O;E // OP Mặt khác MO, _ Oye nén M, E, P thang hang MO P Tương tự (O;) tiếp xúc với BC và (O) lần lượt tại F, N thì N, F, P thẳng hàng Ta có PEF =BEM =.—ÉO/M = —OM = BNM Tương tự có PFE =PMN PE PN Suy ra APEF w APNM y œ (9.9) (g.g), tu dé — =— OE PM Do đó PE.PM =PF.PN (1)
Giả sử PI cắt (O4), (Oa) thứ tự tại l, | Ta có PE.PM =PIPI,; (2) PF.PN =PIPls (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra Pl; = Plo
Do đó l =lạ =l, hay PI là tiếp tuyến chung tại I
của (O4) và (O)
Suy ra A, I, P thang hàng
Ta laicé PI? =PE.PM=PFPN (4)
Mặt khác P là điểm chính giữa BG nên PBE =PBC =PCB = PMB Suy ra APBE œ› APMB, từ đó PB2 =PE.PM (5) Từ (4) và (5) suy ra PI = PB Theo bổ đề 1 thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Trường hợp O4,Oz nằm khác phía với O so với đường thẳng BC chứng minh tương tự
Bài toán 5 Cho tam giác ABC với AB = AC và D
là trung điểm của AC Đường phân giác trong của
BAC cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCD
tại điểm E thuộc miền trong tam giác ABC Đường
thẳng BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE
tại F AF cắt BE tại | va Cl c&t BD tai K Ching minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
KAB (IMO Shorflist 2011)
Lời giải A
B M C
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CI
Vì AB = AC và AE là tia phân giác của BAC nên
ba điểm A, E, M thẳng hàng
Ta có ACB = 909 =<
— BED = 180° - BCD = 180° - ACB = 90° =
Theo Bổ đề 3, ta có E là tâm đường tròn nội tiếp
của tam giác ABD
Suy ra BI trùng với BE là tia phân giác của ABK (1)
Ta co EAF =EBF =EBA=EFA va DAE =BAE = 180° - BFE = DFE Suy ra DAF =DFA, tir dé tam giac DAF can tai D (2) Theo tính chất đường trung bình của tam giác thì ND // AI và MN // BE nên từ (1), (2) và Bổ đề 3 ta có
“) + (FAD -DAE) = 909 +(T——+FAÐ)
- DAE = 90° + 90° -DAM = 180° - DAM
Suy ra tứ giác ADNM nội tiếp
cert >> _— —Đ iit
= (90° +
Do MN // BE nén
ADN = 180° — AMN = 180° -IEM = AE (4)
Từ (3) và (4) suy ra AADN w AAEI (g.g)
Từ đó suy ra AAIN œ AAED (c.g.c)
Chú ý rằng E là tâm đường tròn nội tiếp AABD nên
AIK = AIN = AED = 90° + —— = 909 +
Kết hợp với (1) và Bổ đề 3, suy ra | la tam dudng tròn nội tiếp tam giác KAB
Bài tập
Bài 1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn
(O) Kẻ AI // BC với I thuộc (O) Đường thẳng qua
A song song với OB cắt IB tại K, đường thẳng qua
A song song với OC cắt IC tại L Chứng minh rằng | là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AKL
Bài 2 Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao
AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H Chứng minh
rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong
đường tròn (O) H là trực tâm Gọi AH, BH, CH
theo thứ tự cắt lại (O) tại D, E, F Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 4 Giả sử các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự
Trang 27NHUNG BI MAT DUOC KHAM PHA TU SO PI PGS TS LE QUOC HAN (GV Khoa Toan Dai hoc Vinh, Nghé An)
Đã có không ít những bài viết về số pi, nhưng vẫn chưa thể nói đầy đủ về số pi Bài viết
này cố gắng cho một cách nhìn tổng quan về
lịch sử phát sinh và phát triển trong quá trình
vén những bí mật từ con số quen thuộc nhưng không đơn giản này
41 Pi là số hữu tỉ hay vô tỉ?
Câu hỏi tưởng chừng đơn giản, nhưng con người phải trải qua hàng nghìn năm mới tìm được câu trả lời chính xác
Từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng tỉ số giữa
chu vi và đường kính của hình tròn là một
hằng số, không phụ thuộc vào độ lớn của hình tròn và họ gọi nó là pi Thoạt đầu người ta nhầm tưởng nó là một số hữu tỉ và đã cố
gắng tính nó một cách chính xác nhưng
không thể, họ đành bằng lòng chấp nhận các giá trị gần đúng của nó Kí hiệu x cho ti số trên được dùng đầu tiên bởi nhà nhà toán học
Anh William Jones vào năm 1706 và được giới toán học chấp nhận vào năm 1737 nhờ sự nỗ lực của nhà toán học thiên tài Leonhard Euler, nhưng ta sẽ dùng kí hiệu này ngay bây
giờ để việc trình bày ngắn gọn và sáng sủa
Đầu tiên, người phương Đông cổ đại lấy giá trị
của 7z là 3, đến người Ai Cập ho đã lấy
2
n=4( =] = 3,16049 Tuy nhién, két qua
của họ chỉ dựa trên thực nghiệm cụ thể
Khoảng thế kỉ IV trước Công nguyên, người Hy Lạp phát hiện ra loại số vô tỈ nhưng họ
không thể chứng minh được rằng z là số vô tỉ
Mai dén nam 1761, Johann Heinrich Lambert
mới chứng minh được điều này, và năm 1794,
Adrien Marie Legendre méi chttng minh dudc
rrˆ là số vô Ỉ
2 Phương pháp tính z cổ điển
Phương pháp này dựa vào việc dựng những
đa giác đều có cùng số cạnh nội tiếp và ngoại
tiếp một hình tròn và tính chu vi của các đa giác đó Sau đó gấp đôi liên tiếp số cạnh của những đa giác đều, xuất phát từ lục giác đều,
rồi đến các đa giác đều 12, 24, 48, 96 cạnh, nhà toán học vĩ đại Archimedes đã tìm thấy kết quả ns, và như vậy 3,1408 < œ < 3,1428 Khoảng năm 480, nhà toán học
Trung Hoa Tổ Xung Chi đã dùng phương
pháp đó và nhận được kết quả n= hay
m= 3,1415929 Nam 1593, nhà toán hoc
Ha Lan Adriaan van Roomen dùng phương
pháp cổ điển với đa giác đều 2? cạnh để
nhận được 15 chữ số thập phân của r, đến
năm 1610 nhà toán học Đức Ludolph van
282
Ceulen với đa giác đều cạnh để nhận
được 35 chữ số thập phân của r, giá trị đó được khắc trên mộ ông
Song song với phương pháp cổ điển bằng
công cụ hình học, người ta còn kết hợp với công cụ lượng giác để xác định các chữ số
thập phân của z Khoảng 150 năm sau công
nguyên, nhà thiên văn học thiên tài Ptolemy ở
Alexandria trong cu6n Syntaxis mathematica
Trang 28chiều dài của một dây cung có góc ở tâm là 1 được nhân với 360 rồi đem chia cho
đường kính thì được giá trị của z Từ đó nhận
được kết quả naa hay 7 = 3,1416 Nam 1621, nhà vật lí Hà Lan đã cải tiến phương
pháp cổ điển bằng cách kết hợp với công cụ lượng giác để nhận được kết quả của Ceulen
với đa giác đều chỉ 2 cạnh
3 Phương pháp xác suất
Năm 1760, bá tước Buffon đã nghĩ ra Bài
toán cái kim trong đó m được xác định bằng
phương pháp xác suất Giả sử có một số
đường thẳng song song cách đều một
khoảng a được vẽ trên một mặt phẳng nằm
ngang Và giả sử có một cái kim (hai đầu như nhau) có chiều dài d < a được thả rơi
ngẫu nhiên lên mặt phẳng đó Bằng cách
thực hiện thí nghiệm này với một số lớn lần và ghi lại số các trường hợp kim cắt đường thẳng so với số lần rơi, ta sẽ được số p ~ = Từ đó tính được giá trị gần đúng của z Kết quả tốt nhất có được bằng cách này đã được
một người Italia tên là Lazzerini đưa ra vào
năm 1901 Với 3408 cú thả rơi cái kim, ông
đã tìm thấy nm với 6 chữ số thập phân Cũng
có những phương pháp xác suất khác để tính
nm Chẳng hạn năm 1904, R Chartres da ap dụng và cho thấy rằng nếu viết hai số
nguyên dương một cách ngẫu nhiên thì xác
suất để chúng nguyên tố cùng nhau là 6r2
4 Phương pháp tổng và tích vơ hạn
Năm 1593, nhà tốn học pháp Francois Viète
đã tìm ra kết quả về zr liên quan đến tích vô
hạn 2_ 12 ,32+2 ,32+ 2+2 và từ
` Tt 2 2 2 "
đó xác định được 9 chữ số thập phân của r
Năm 1655, nhà toán học người Anh John Wallis da tìm được một công thức kì lạ 2.2.4.4.6.6.8.8 -T] An 1.3.3.5.5.7.7.9 n4n^—1 nhà toán học Scotland James Gregory đã Năm 1671, chứng minh được rằng iy TT 4 3 5 7
Kết quả này suy ra từ mệnh đề tổng quát sau: Giả sử x là số thực sao cho tanœ =x (ø tính
3 v5 x!
bang radian), thé thi a = x -~X XX
3.5 7
Với x = 1 ta nhận được kết quả trên Năm
1705 Abraham Sharp khi cho x = đã tìm
thấy giá trị của 5 gồm 71 chữ số thập phân và năm 1719 De Lagny đã tìm thấy 128 chữ
số thập phân cho z, nhưng về sau Euler dùng một công thức tính x đã chỉ ra Lagny sai từ
chữ số thứ 113
5 Phương pháp sử dụng máy tính điện tử
Năm 1949, dựa trên máy tính điện tử ENIAC ở phòng nghiên cứu đạn đạo quân đội ở
Aberdeen, Maryland, nhà toán học Von
Neumamn cùng cộng sự đã tính được 7ø với
2037 chữ số thập phân, mở đầu cho một giai
đoạn mới: tính = qua máy tính điện tử Chẳng
hạn, năm 1967, trên máy CDC 6600, Jean Guiloud và các cộng sự ở Commissariat à
I'Energie Atmique (Paris) đã tìm thấy mœ với 500000 chữ số thập phân
Năm 1989, với máy tính điện tử Cray 2 và IBM 3040, người ta đã tính được 7m với 1 011 196 691 chữ số thập phân
Các nhà toán học còn đưa ra rất nhiều công
thức của số r, nhưng xin hẹn một dịp khác để
kể về chúng
Trang 29
Bài 22NS Cho các số thực a, b thỏa mãn a? + b® = nguyên có thể được của P = a + b
TRUONG QUANG AN (GV THCS Nghĩa Thắng, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi) Bài 23NS Giải phương trình Ÿ
2 Tìm tất cả các giá trị
2x3 4 7x2 ~33x = “+ Š +,
x2 X
THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam anh, Khánh Hòa)
Bài 24NS, Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi M là điểm trên đường tròn sao cho M "không trùng
với A và B Vẽ dây MN của đường tròn (O) vuông góc với AB tại H Gọi K là trung điểm của AH, vẽ HI
vuông góc với MK tại l Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HIN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O)
TA THẬP (TP Hồ Chí Minh)
AGED (TTT2 số 176+177)
Bài 16NS (Do sơ suất nên đề bài đã in thiếu điều
kiện y + 4 là số chính phương, mong bạn đọc
thông cảm) Điều kiện x2 - 5 > 0
Phương trình tương đương với V(x? -5)(y + 4) -2vx? -5 — Jy +4 = © (Vx? 5-1) fy +4 —2(Vx2 —5 -1) =7 © (Vx? -5 -1(,/y +4 -2) =7 (1) Ta có y + 4 là số chinh phuong nén x’ - 5 là số chính phương, vì nếu trái lại thì vế trái của (1) là số vô tỈ Giải ra ta được (x; y) = (3; 77),(—3; 77) Nhận xét Không có bạn nào giải đúng bài toán này Bai 17NS DKXD x # 0, x # +1 VGi a, b, c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0, ta có Trưng trà) a2 bề c7 \a bc a (x-1)2 4x2 (x +1)? (x-1ˆ (2x) 1 -( 1 1 ) + ——-—+—\ (x +1)? x-1 2x Xx+† Phương trình tương đương với 11 1 ) ont X-1 2X X+1 144 (3x2 +1)? (3x? +1)? 144 | 2x(x? — 9Ï © | 2x(x? -] = 12? © 2x(xÊ - 1) = +12 © x = +2 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {+2)
Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Nguyễn Thị
Mai Anh, 9D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An; Vũ Huyền Trang, 8H, Nguyễn Thị Diệu
Linh, 8l, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Pham Minh Hải, Đào Phương Anh, 8A3, Triệu Hồng Ngọc,
Phạm Thùy Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Kiều Trang, Nguyễn
Thị Anh Thư, Nguyễn Phương Linh, 9A, THCS
Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Thị Duyên, 9E1, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh
Phúc
Bai 18NS Bạn đọc tự vẽ hình
Xét F nằm giữa C và E
Ta có BC là đường trung trực của MN (tính chất
đường nối tâm)
Suy ra CM = CN=> MEF =FEN (1)
Ta lại có BMC=90° nên CM là tiếp tuyến của đường tròn (B) Do dé FMC = MNF (cing chan MF ) Mà MCE =MNE (cùng chắn ME) = FMC + MCE = MNF +MNE — MFE = FNE (2) Từ (1) và (2) suy ra AMEF ằœ AFEN (g.9) Do đó CÍ - EP _ Er2 -EMEN EF EN
Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Triệu Hồng
Ngọc, Phạm Thùy Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Duyên, 9E1,
THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
; Các bạn sau được thưởng kì này:
== — Nguyên Thị Mai Anh, 9D, THCS Đặng
Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Triệu
Hồng Ngọc, Phạm Thùy Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Kiều
Trang, 9A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam
Định; Nguyễn Thị Duyên, 9E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
Cre varie
NGUYEN HIEP
Trang 309 mn ` 2 SO NAO NHI? Bài 1 Hãy điền số thích hợp vào ché (7) cho hap ldgic 15 ? -9 5 9 Bài 2 Tìm số còn thiếu trong dãy số sau 0; 2; 6; 10; 24; 30; 60; 2 NGUYỄN TÚ ẤN (TP Hồ Chí Minh) ASSETED (riz s6 176177)
SO NAO TIEP THEO?
Quy luật Bài 1 Nếu thêm 1 vào mỗi số hạng của dãy số đã cho, ta được dãy số mới:
2,4,8, 16, 32, hay 21, 22, 23, 21, 2°,
Vậy mỗi số hạng của dãy số đã cho là số liền trước của các lũy thừa liên tiếp của 2 với số mũ
tăng dần, kể từ 1 Theo quy luật đó, số hạng tiếp
theo của dãy là 2Ê - 1 = 63
Bài 2 Số ở đỉnh phía dưới bên phải của mỗi tam
giác bằng 5 tổng của hai số ở hai đỉnh còn lại
Vay ? = : (123 + 456) = 386
Nhận xét Quy luật ở bài 1 có thể phát biểu cách
khác: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng hai
lần số hạng liền trước cộng thêm 1 Do đó số hạng
tiếp theo của dãy là 2 31 + 1 = 63
zwez=—- XỈn trao thưởng cho các bạn có diễn
Ba hone ui đạt chính xác, ngắn gọn: Nguyễn: Thị
Diệu Linh, 8l, THCS Văn Lang, TP Việt Trì; Hạ Hiền Lương, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Vũ Thế Anh, 7A, THCS Ly
Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thu Hà, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc
Ninh; Trần Trọng Quang Huy, 8A, THCS Trần
Huy Liệu, Vụ Bản, Nam Định
Các bạn sau được tuyên dương: Nguyễn Phương Mai, 8C, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc
Ninh; Vũ Minh Khải, Phạm Minh Hải, 8A3, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Vũ Bao Ngoc,
9A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Hoàng Ngọc Quân, 9A4, THCS Nguyễn Đức
Cảnh, Thái Thụy, Thái Bình; Nguyễn Ngọc Tuấn
Anh, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc
NGUYEN XUAN BINH
DUOC THUONG Ki NAY
Trịnh Đức Tuấn, 7A, THCS Nguyễn Chích,
Đông Sơn; Lê Minh Quỳnh Anh, 8E, THCS
Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa;
Nguyễn Văn Bảo Châu, 6/5, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng; Lương Minh Hiếu, 7C,
THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Trần
Thiên Ngân, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu; Lê Văn Mạnh, 8D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nguyễn Thị
Quỳnh Chi, 8A1, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Tuấn Dương, 7B5,
THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng;
Nguyễn Huỳnh Ngọc Anh, 7H, THCS Nguyễn
Chí Thanh, Đông Hòa, Phú Yên; Nguyễn Huy
Hoàng, 9A, THCS Nguyễn Hiển, Nam Trực,
Nam Định; Nguyễn Thu Hiền, 8A3, THCS Thị
trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình; Đặng Ngọc
Linh, 6A1; Phạm Đức Trí, 6A2, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội; Phùng Quốc Lâm, 9E,
Trang 31NHUNG DIEU THU VI
CUA MUA XUAN
PHUONG MAI (Theo Vokrugsveta.ua)
e Vao mua xuân, nhịp thở của con người nhanh hơn rất nhiều so với mùa thu
e Thời xưa, một số dân tộc coi ngày 1 tháng
hai là ngày cuối cùng của mùa đông
e O Uc, Argentina va Madagascar mia
xuan tdi vao thang 9
e Hiện tượng vòi rồng, lốc xoáy xuất hiện nhiều nhất vào mùa xuân
e Một số dân tộc coi tiếng hót của chim cúc cu là dấu hiệu báo mùa xuân đã đến
e Các nhà khoa học Anh khẳng định: Vào
mùa xuân, trẻ em lớn nhanh gấp 3 lần so với
mùa thu và mùa đông
se Rễ cây nhạy cảm nhất với tiết trời ấm áp của mùa xuân Trời chỉ cần bắt đầu hơi ấm
lên chút xíu thì rễ đã dài thêm ra khá nhiều
rồi
~~,
e Các nhà khoa học đã tính được vận tốc của mùa xuân Trong 24 tiếng, mùa xuân di
chuyển được 50 km Tốc độ này được tính
toán dựa vào việc quan sát quá trình nở hoa
của nhiều loài cây cối khác nhau
e Vào mùa xuân, không chỉ có cây thay áo
mới mà các loài vật cũng vậy Bộ lông của
thỏ, sóc và nhiều loài vật khác đều chuyển từ
màu sáng sang màu sẫm hơn khi xuân về e Các loài chim đều có khả năng cất tiếng
hót từ lúc chào đời Tuy nhiên, để biết hót
thực sự thì chúng cần có thời gian khá dài để
tập luyện Một điều thú vị là hầu hết chúng
đều hoàn thành nhiệm vụ quan trọng này vào
mùa xuân, khi chúng đã chào đời được khoảng 300 ngày
e Đã 2 thế kỉ nay, người dân Giơ-ne-vơ (thủ đô Thụy Sỹ) có một truyền thống rất đặc biệt
để xác định ngày mở đầu của mùa xuân: Khi
nào cây hạt dẻ ở bên cửa sổ tòa nhà của chính quyền thành phố đâm lá chồi đầu tiên, khi đó mùa xuân chính thức bắt đầu Theo số
liệu thống kê thì hầu như năm nào sự kiện
này cũng diễn ra vào tháng ba, tuy nhiên,
cũng có những năm vào tháng hai Đặc biệt,
năm 2002, chồi non đầu tiên đã nhú hôm 29
tháng 12 Riêng năm 2006, điều kì lạ đã xảy
ra: tháng ba cây đâm chồi 1 lần, đến tháng 10 lại thêm lần nữa
pa -
e Còn bạn, bạn có biết những điều thú vị
nào nữa của mùa xuân thi hay ké voi TTT nhé! Những phần thưởng dễ thương đang
Trang 32DE THI CAU LAG BO TTT THÁI NHẬT PHƯỢNG PHAM VAN THUAN (dich) Ki 13 CLB1 Which is larger 21829 or 31239 ? CLB2 Without the aid of calculator, find the value 2 of M= se ` 2018” -2016 CLB3 Find the remainder polynomial when x* is divided by x? + 1
CLB4 Let x, y, z be real numbers distinct from
zero such that 1 = 1 + 1 Xy Z roan TUOITHO Find the value of A = ra zy xX
CLB5 Let ABC be a right triangle with hypotenuse BC An altitude from A is drawn, intersecting the opposite side BC at H such that AC = 8 cm, BH =
= cm, find the area of ABC AGETED err 6 176+177) A A we CLB51 Phuong trinh (x —2017)(x? —20187)(x? — 2019°)(x* -2020) = 0 có 6 nghiệm là 2017; +2018; 2019; +2020 ©LBS52 Ta có P= bx? -5| +? -6| +|x? -2017| = bx? -B|+|x? -6|+|2017-x?| > x? -54+0+2017-x? = 2012 Đẳng thức xảy ra khi x = +8
Vậy MinP = 2012 khi x = +6
CLBS53 Tổng các số được viết lên bảng là
1+2+3+~ + 50 = 1275 là số lẻ
Khi thay cặp số (a, b) bởi số |a - b| thì tính chan lẻ của tổng các số trên bảng không thay đổi
Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là số lẻ c Đặt c = 2m + 1 (me Ñ)) Suy ra c? = (2m + 1)? = 4m(m + 1) + 1 chia cho 8 du 1 CLB54 Ta cé e Với x= 0 hoặc x = 1 thì M = 2017 e Với x # 0, x #1 thi x(x — 1) > 0 nên 2x2 - 2x > 0, suy ra M< 2017 Vậy MaxM = 2017 khi x = 0 hoặc x = 1 CLB55 A B D C Ta có AD? + BD? = AB? (vì ADAB vuông tại D) Do đó BD = V132 -122 =5 Ta lai c6 AD? + CD? = AC? (vi ADAC vuông tại D) Do đó CD = V152 -122 = 9 Vì AABC nhọn nên D thuộc đoạn BC, từ đó BC = BD + CD =5+9 = 14 Do đó SABC =5-12.14 = 84 1x84 Suy ra BE = = 11,2
=xse==~ Nhận xé Các bạn sau có lời giải tốt
Bad inc được thưởng kì này: Lê Minh Quỳnh
Anh, Nguyễn Hà Thân Lâm, 8F, THCS
Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Trần Trọng Quang Huy, 8A, THCS Trần Huy Liệu, Vụ
Ban, Nam Định; Trương Thảo Nguyên, BA1,
THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh
NGUYỄN NGỌC HÂN
Trang 33
Hỏi: Anh Phó ơi! Năm mới 2018 đang đến rồi Anh có điều gì nhắn nhủ chúng em không?
Nhóm bạn quên ghi tên
(Thanh Miện, Hải Dương) Đáp: Chào năm mới dương lịch Chúc các em bớt nghịch Tính tình thêm thanh lịch Tập ca rồi tập kịch Rèn thân thể chắc nịch Học hành gắng vô địch!
Hỏi: Anh cho em hỏi: Khi làm bài tham gia
chuyên mục /Q - Đo trí thông minh thì có cần viết lập luận không hay chỉ viết đáp án là đủ
a?
NGUYÊN CÔNG ĐỨC HÙNG
(9B, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An) Đáp: Mục Đo trí thông minh không chỉ đo
đáp án mà còn đo cả cách trả lời và cách
trình bày câu trả lời nữa em ạ Em hãy tự lựa chọn cách trả lời mà em cho là thông minh nhất Có như thế thì TTT mới đo được IQ của
em chứi
Hỏi: Anh ơi! Khi giải bài chuyên mục Thế Cờ,
chúng em chỉ cần viết tên các quân cờ hay
phải vẽ cả hình những quân đó nữa?
NGUYỄN THỤC ANH
(7C, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An)
Đáp: Không riêng gì với mục Thế Cờ mà với
tất cả các mục khác cũng vậy: Câu trả lời
chuẩn nhất là câu trả lời đúng, đủ, ngắn gọn, rõ ràng, không thừa không thiếu Vì thế, em hãy đọc thật kĩ mọi yêu cầu của đề bài rồi tự quyết định xem mình cần trả lời như thế nào và bằng cách nào nhé
~ “ OS
Hỏi: Anh Phó có thể “bật mí” cho em biết phần thưởng của chuyên mục Thế Cờ và Đo
trí thông minh là gì không a?
NGUYỄN TUẤN MINH
(8A1, THCS Nam Ha,
Trang 34ON
CAC LOP 6 &7 Bai 1(179) Cho dãy số tự nhiên sau: 1; 2; 3; .; 2018 Hoi trong dãy số trên có bao nhiêu số không chia hết cho ít nhất
một trong các số 5, 7 và 82
LẠI QUANG THỌ
(Phòng Giáo dục và Đào tạo Tam Dương, Vĩnh Phúc)
Bài 2(179) Cho tam giác ABC với A =105°;
B=45° Đường trung tuyến BM của tam giác
ABC cắt tia phân giác của ACB tại I Tính BAI NGUYÊN KHÁNH NGUYÊN (Số 3/⁄29E đường Đà Nẵng, Hải Phòng) CÁC LỚP THCS Bài 3(479) Giải hệ phương trình Xx +4y +z =2017 NGUYEN NGỌC HÙNG (GV THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh) Bài 4(179) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng ant bet ont, 0 b+1 c+1 a+1
CAO MINH QUANG
(GV THPT chuyén Nguyén Binh Khiém,
Vinh Long)
Bai 5(479) Cho một miếng giấy hình vuông kích
thước m x n ô vuông Người ta nối các đỉnh của các ô vuông đơn vị bởi các đoạn thẳng không cắt
nhau để chia miếng giấy thành các tam giác đơn
Tam giác đơn là tam giác không chứa đỉnh ô
vuông đơn vị nào khác (ba đỉnh của nó) ở bên
trong hoặc trên cạnh của nó Hãy tính số tam giác đơn thu được
VŨ ĐÌNH HÒA
(GV trường Đại học Sư phạm Hà Nội) Bài 6(1/9) Cho tam giác ABC với AB < AC, M là
trung điểm của BC Gọi H là hình chiếu của B trên AM
Lấy điểm Q trên tia đối của
tia AM sao cho AQ = 4MH
Gọi D là giao điểm của AC và BQ Chứng minh rằng
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ nằm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC TRẦN QUANG HÙNG (GV THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội) SOLVE IASMAIL COMPETITIONIQUESTIONS
1(179) Given the following counting number sequence: 1; 2; 3; .; 2018 In the sequence, how many numbers are not divisible by at least one of
the three numbers: 5, 7 and 8?
2(179) Let ABC be a triangle such that ZA = 105°, ZB = 45° The median BM of the triangle intersects the bisector of angle ZACB at / Find the size of angle ZBAI
3(179) Solve the simultaneous equations vx + Jy +Vz = /2017 3(x + 3)(y + 3)(z+ 3) =3+3/xyz 4(179) Let a, b, c be positive real numbers such a-1 b1 c-I >0 b+1 c+1 a+t
that abc = 1 Prove that
5(179) Given a square sheet of paper made of m xn unit squares The vertices of the unit squares are connected by line segments not intersecting each other These line segments divide the paper into single triangles (single triangles are triangles whose vertices are made of vertices of the unit squares but do not contain any other square units’ vertices on their sides or in their interior region) Find the number of these single triangles
6(179) Let ABC be a triangle with AB less than AC in length Point H is located on the median AM of the triangle such that BH is perpendicular to AM Point Q is chosen on the opposite ray of ray AM such that AQ = 4HM Let D be the intersection of AC and BQ Prove that the incenter of triangle
Trang 35
Sinh năm 2006 nhưng chỉ đến cuối năm 2010, tức
là khi mới 5 tuổi, cô bé Jacquelyn Ngô (người Australia
gốc Việt) đã trở thành tâm điểm của báo chí và giới nghệ thuật bởi những bức tranh tuyệt vời của mình
Vào thời điểm đó, cô bé dự thi mảng tranh thiếu nhi
trong một hội thi do Trung tâm nghệ thuật thành phố
Liverpool (Anh) tổ chức và đã giành giải cao Thấy các
bức tranh của Jacquelyn Ngô quá xuất sắc, Trung tâm
nghệ thuật này đã tổ chức riêng cho cô bé một triển
lãm với tên gọi 'Thế giới trong mắt em" 30 tác phẩm được trưng bày trong triển lãm này đã thu hút sự chú ý
đặc biệt của báo chí và giới nghệ thuật Thậm chí có
cả những chuyên gia, do không tin đây là những bức
vẽ của một cô bé chưa đầy 6 tuổi, nên đã đến tận nhà
để "giám sát" Kết quả là họ vô cùng thán phục khi tận mắt chứng kiến 'nữ hoạ sĩ nhí" miệt mài vẽ nên những
bức tranh trong sáng, hồn nhiên và tràn day năng
iiffaffer9i
Từ đó đến nay, Jacquelyn Ngô đã có thêm một số triển lãm nữa, lần nào cũng rất thành công 0ô bé
thích vẽ người, phong cảnh, thiên nhiên, con vật Và
mặc dù không sinh sống ở Việt Nam nhưng Jacquelyn Ngô vẫn vẽ áo dài, áo tứ thân hay nhạc cụ dân tộc 0ô
bé còn được các trung tâm nghệ thuật mời đến dạy vẽ cho trẻ em lượng PHAN HƯƠNG Bạn đã có TONG TAP T0ÁN TUỔI THO NAM 2017 ? e Đóng tập 12 số tạp chi cả năm 2017 e Đóng bìa cứng
e Tiện tra cứu cho thầy cô e Bồi dưỡng học sinh giỏi
e Lưu trữ trong thư viện
e Quà tặng học sinh giỏi
e Giá bìa: 170000 đồng
Tạp chí còn có tổng tập -
các năm 2013, 2014, 2016
Các bạn có nhu cầu hãy liên hệ theo số điện thoại
024 35682701
ay eee ted! Gh eats or OR) Aw
Dành cho giáo viên, phụ huynh và trẻ em từ 12 tuổi đến dưới 16 tuổi
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin Mã số: 8BTT179M18 In tại: Công ty cổ phần in Cơng Đồn Việt Nam, 167 Tây Sơn, Đống Đa,
Hà Nội In xong và nộp lưu chiểu tháng 01 năm 2018