TTT2 so 183 in phim pdf
Trang 2Ông Nguyễn Đức Thái, Chủ tịch HĐTV NXBGDVN phát biểu đề dẫn == {== TAOSAGHIGIAORHOEMHEO BINH HUCNGIEHANATAI ADO TBLUE NHINSHUSKINHINGHIEMIQUOGCETES
Thực hiện Nghị quyết số 88/2014/QH13 ngày 28
tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới chương
trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông, triển khai
nhiệm vụ biên soạn sách giáo khoa theo chương trình
giáo dục phổ thông mới, với mục đích trao đổi, học hỏi
kinh nghiệm quốc tế trong việc biên soạn sách giáo
khoa, NXB Giáo dục Việt Nam tổ chức Hội thảo Sách
giáo khoa theo định hướng phát triển năng lực: Nhìn
từ kinh nghiệm quốc: tế:
Hội thảo được tổ chức với mục tiêu:
e Mở rộng và nâng cao hiểu biết về cơ sở lí luận của
việc phát triển sách giáo khoa theo định hướng phát triển năng lực và các cách tiếp cận hiện đại về lí luận
dạy học
se Xây dựng các tiêu chí làm cơ sở cho việc soạn
thảo và đánh giá sách giáo khoa các môn học phù hợp
với yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông
e Vận dụng các lí thuyết và kinh nghiệm quốc tế trong việc biên soạn sách giáo khoa đáp ứng yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới
Tại Hội thảo, các chuyên gia đến từ Viện Bồi dưỡng
giáo dục thuộc Trường Đại học Potsdam - Đức và chuyên gia của Đại học Timepere - Phần Lan sẽ trình
bày nhiều vấn để quan trọng và thú vị về sách giáo khoa phát triển năng lực:
1 Vấn để khái niệm và bản chất của phát triển năng
lực trong giáo dục; khái niệm và vai trò, vị trí của sách
giáo khoa trong việc phát triển năng lực người học;
những tiêu chí cơ bản để phân tích và đánh giá sách giáo khoa phát triển năng lực
2 Quy trình biên soạn sách giáo khoa phát triển năng
lực, từ hình thành ý tưởng, dự thảo đề cương, biên soạn bản thảo, chỉnh lí và hoàn thiện bản mẫu trước khi in
ấn; các vấn đề cụ thể thuộc về kĩ năng, Kĩ thuật biên
soạn sách giáo khoa, từ cấu trúc các trang sách, sự
phối hợp hình ảnh và phần chữ, cách trình bày các
trang đôi .; sự phối hợp giữa tác giả, biên tập viên và
GS Bernd Meier và TS Nguyễn Văn Cường thuyết trình tại buổi hội thảo
Đại biểu đặt câu hỏi với các diễn giả
hoạ sĩ trong quá trình biên soạn bản thảo sách giáo
khoa, việc biên soạn các tài liệu điện tử đi kèm với sách giáo khoa, các tài liệu bổ sung sách giáo khoa trên
mạng
3 Mối quan hệ giữa sách giáo khoa phát triển năng lực
và các bài tập đặt ra cho học sinh trong quá trình dạy học; vai trò của bài tập trong việc phát triển năng lực
cho người học; khái niệm, bản chất, các kiểu loại bài tập, các bước tiến hành cụ thể trong việc biên soạn bài tập cho học sinh, mối quan hệ giữa bài tập và các chuẩn cần đạt được trong giáo dục
4 Cau trúc của sách giáo khoa với các vấn đề dung lượng, trình tự của các chương bài trong một cuốn sách; cách thức thể hiện yêu cầu cần đạt trong chương trình
giáo dục phổ thông thành mục tiêu bài học trong sách
giáo khoa và cách thức triển khai mục tiêu đó trong bài
học; các phương pháp dạy học được thể hiện trong
sách giáo khoa, việc biên soạn câu hỏi và tổ chức hoạt
động cho học sinh trong sách giáo khoa; cách thức kiểm tra, đánh giá trong sách giáo khoa; việc ứng dụng công nghệ thông tin trong sách giáo khoa; kinh nghiệm
chuyển đổi biên soạn sách giáo khoa từ định hướng dạy
học kiến thức sang định hướng phát triển năng lực Hội thảo được diễn ra trong 3 ngày 16, 17 và 18
tháng 3 năm 2018 tại Hà Nội và 3 ngày 20, 21 và 22 tháng 3 năm 2018 tại TP Hồ Chí Minh
Hội thảo là một bước chuẩn bị của NXB Giáo dục
Việt Nam nhằm thực hiện nhiệm vụ biên soạn SGK mới
phục vụ đổi mới giáo dục phổ thông
Với đội ngũ tác giả là các nhà khoa học, nhà giáo có uy tín trong toàn quốc và các tiểm lực sẵn có, NXBGDVN cam kết sẽ biên soạn, xuất bản những bộ
sách giáo khoa tiệm cận được xu thế giáo dục thế giới,
đáp ứng định hướng phát triển năng lực và phẩm chất người học theo tinh thần Nghị quyết 88 của Quốc hội về
đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông
Trang 3: = Children's
loan tuditho = ” TRUNG HỌC CƠ SỞ Fun Maths J our nal
NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO
HOI DONG BIEN TAP Phó Tổng biên tập phụ trách: NGUYEN NGOC HAN Phó Tổng biên tập: TRẦN THỊ KIM CƯƠNG ỦY VIÊN NGND VŨ HỮU BÌNH TS GIANG KHẮC BÌNH TS TRẦN ĐÌNH CHÂU TS VŨ ĐÌNH CHUẨN TS NGUYỄN MINH ĐỨC ThS NGUYỄN ANH DŨNG TS NGUYỄN MINH HÀ PGS TS LÊ QUỐC HÁN PGS TSKH VŨ ĐÌNH HÒA TS NGUYỄN ĐỨC HOÀNG ThS NGUYỄN VŨ LOAN NGUYEN DUC TẤN PGS TS TON THAN PHAM VAN TRONG ThS HỒ QUANG VINH TÒA SOẠN
Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh,
quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại: 024.35682701 - Fax: 024.35682702 Email (Ban biên tap): bbttoantuoitho@gmail.com Email (Tri sự - Phát hành): tapchitoantuoitho@gmail.com
Website: http://www.toantuoitho.vn
ĐẠI DIỆN TẠI MIỀN NAM
NGUYỄN VIẾT XUÂN
391/150 Trần Hưng Đạo, P Cầu Kho, Q.1, TP HCM
ĐT: 028.66821199, DĐ: 0973 308199
Trị sự - Phát hành:
TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG,
NGUYỄN HUYỀN THANH, NGUYỄN THỊ HẢI ANH Kĩ thuật vi tính: ĐỖ TRUNG KIÊN
Mĩ thuật: TRẦN NGỌC TRƯỜNG
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Chủ tịch Hội đồng Thành viên NXBED Việt Nam:
NGUYEN DUC THAI
Tổng Biám đốc NXBŒD Việt Nam: HOANG LE BACH Phó Tổng Biám đốc kiêm Tổng bién tap NXBGD Việt Nam: PHAN XUÂN THÀNH TRONG SỐ NÀY Dành cho học sinh lớp 6 & 7 Tr 2 Tổng các chữ số của một số tựnhiên Nguyễn Ngọc Hùng
Học ra sao? Giải toán thế nào? Tr 4 Sử dụng biệt thức Delta để giải một số dạng
toán
Hà Văn Nhân
Đo trí thông minh Tr7
Tim s6 con thiéu Nguyén Tu An
Nhìn ra thế giới Tr8 Lời giải Đề thi Toán học trẻ quốc tế Philippines
ITMO 2017 (Đề thi đồng đội)
Phùng Kim Dung, Cai Việt Long
Cuộc thi vui Số và Hình 2018
Dan Quynh
Phá án cùng thám tử Sêlôccôc Vụ trôm trước chuyến du lịch Mai Đình Bảo Quốc
Sai ở đâu? Sửa cho đúng Lời giải như thế đã đúng chưa?
Thái Nhật Phượng
Compa vui tính
Có vẽ được không?
Nguyễn Khánh Nguyên Học Toán bằng tiếng Anh
Types of angles and their relationships
Dương Thu Trang, Đỗ Đức Thành Dành cho các nhà toán học nhỏ
Định lí Ceva và ứng dụng
Đậu Công Nho
Ảnh bìa 1: Các em học sinh đội tuyển HOMC trường THCS Nguyễn Trường Tộ năm học
Trang 4HEU aT
hoc sinh lop TONG CAC CHU SO
CUA MOT SO TU NHIEN
NGUYEN NGOC HUNG
(GV THCS Hoang Xuan Han, Duc Tho, Ha Tinh) chữ số của n viết trong hệ thập phân Dé thay 0 < S(n) <n Bài toán 1 Chứng minh rằng n - S(n):9 b ho số tự nhiên n, ta gọi S(n) là tổng các
Lời giải Giả sử n= amam-_4 3¿ao (n có m + Í chữ số), khi đó S(n) = am + am_4 + + a4 + ap Ta có n= am -10” + an _+-107-Í + + a4 - 10 + 8g =89 9- am + 99 9- am_1 + + 9- ai m m-† +(Am + 8m-1 + + 8p) Đặt 39 9- am +89 9-am- + +9-a¡=9k m m-† =>n=9k+ S(n) > n- S(n):9 Bài toán 2 Tìm số tu nhiên n sao cho S(n) =nˆ -2018n +11 Lời giải e Nếu n = 0 thì không thỏa mãn e Nếu 1<n<2017 thì S(n) =nˆ - 2018n +11< nˆ -2018n + 2017 Ma n* —2018n +2017 =(n-1)(n— 2017) <0, (loai) e Nếu n = 2018 thì S(n) = 11, thỏa mãn e Nếu n > 2018 thì n—2018>1—.n2 -2018n>n = nˆ -2018n+11>n^ -2018n => Sí(n) >n (loại) Vậy n = 2018 Bài toán 3 Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2017 Lời giải Từ giả thiết ta thấy n có nhiều nhất 4 chữ số = S(n) < 4-9 = 36 Do đó n= 2017 - S(n) >2017 - 36 =1981 Suy ra 1981<n< 2016 e Xet 1981<n<1999 Đặt n =19ab với 0 <a, b < 9 Ta có n+Sí(n)= 2017 > 19ab +1+9+a+b=2017 => 11a = 107 - 2b > 107 - 2-9 = 89 > 11a > 89 Do đó a = 9, suy ra b = 4, khi đó n = 1994, thỏa mãn e Xét 2000 < n < 2016 Đặt n = 20cd với 0 < c, d < 9 Ta có n+ S(n)=2017 > 20cd+ 2+0 +c+d= 2017 — 11c = 15 - 2d < 15 Do đó c = 1, suy ra d = 2, khi đó n = 2012, thỏa mãn
Vậy n = 1994 và n = 2012 thỏa mãn bài toán
Trang 5e Néu S(n) = 29 thì S(n + 1) = 3 Khi đó Sí(n) - S(n + 1) = 26 = 9k - 1, suy ra k=3 Vậy số n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 2999 Bài toán 5 Gọi x là tổng các chữ số của số a=32°18 +2015 Gọi y là tổng các chữ số của số x và gọi z là tổng các chữ số của số y Tim z
Lời giải Ta có a chia cho 9 dư 8, do đó x, y,
z chia cho 9 cũng dư 8 Vì a=9!99° + 2015 < 101999 + 2015 nên a có không quá 1010 chữ số Do đó x < 9-1010 = 9090, nên y < 9-4 = 36 Suy ra Zz< 3+9= 12 Từ đó ta có z = 8 Bài toán 6 Tìm số tự nhiên n sao cho n + S(n) + S[S(n)] = 60 Lời giai Vi S(n) => 1 nên n < 59 = S(n) < 14 = S[S(n)] < 9 Do đó n = 60 - S(n) —- S[S(n)] = 60 - 14-9 = 37 Vậy 37 <n< 59 (1) Từ Bài toán 1 có n - S(n) = 9k và S(n) — S[S(n)] = 9h nên 60 =n + (n - 9k) + (n - 9k - 9h) => 6+ 9-6 = 3n - 9(2k +h) => (n—2) : 3 (2) Từ (1) và (2) suy ran € {38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59} The lai ta c6 n = 44, n= 47, n=
50 thỏa mãn bài toán
Bài toán 7 Tìm số tự nhiên n sao cho lũy thừa bậc 5 của tổng các chữ số của n bằng n° Lời giải Giả sử số cần tìm n có k chữ số và S là tổng các chữ số đó Ta có S° =n^ với S < 9k và n>10*"T — 9°k® >S° =nZ >102*~2, (1) 98k) Đặt Uk “1o2k-2 với ke Ñ Ta có 5 5 5 2(k+1)-2 P+ DP KAI 95 42 10°? 9-.k k 10°" vdi moi ke N Suy ra uy44 < Ug Vi ug <1 nén ta có 9°k° <10°%-2 k > 6 (2) Từ (1) và (2) suy rak <5 > S<9-5=45 Mặt khac tir S° =n? suy ra S phải là số chính phương Vậy S có thể là 1, 4, 9, 16, 25, 36 Thử trực tiếp chỉ đúng khi S = 1 và S = 9 ứng với n = 1 và n = 243 với mọi Bài tập vận dụng
Bài 4 Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n
Tìm số nguyên dương n sao cho a) S(n)=n^ -2019n +12; b) n— S(n) = 2018; c) 2n + 3S(n) = 122; d) 3n + 2S(n - 3) = 6007 (n > 4); e) n+ S(n) + S[S(n) |= 2018 sẻ g2018 42 , ~ Bai 2 Cho A=2 Gọi B là tổng các chữ số của A, C là tổng các chữ số của B, D là tổng các chữ số của C, E là tổng các chữ số của D Tính E
Bài 3 Tìm các số tự nhiên x có hai chữ số sao cho nếu x có tổng các chữ số là m thì
các số 2x^; 3xỶ có tổng các chữ số lần lượt
là 2m^; 3mỶ
Bài 4 Tồn tại hay không số tự nhiên n sao
cho S(n)=m; S(n*) =m?
Bài 5 Với mỗi số tự nhiên n, chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên m sao cho
S(nm) < 2S(m)
Trang 6SU DUNG BIET THOT DELTE Be GIA MGT SO DANG TOAN HA VAN NHAN (GV THCS Hoằng Xuân, Hoằng Hóa, Thanh Hóa) ài viết này giới thiệu cùng bạn đọc cách sử dụng biệt thức delta A =bˆ-4ac của phương trình ax? +
bx + c = 0 (véi a # 0) vào giải một số dạng
toán
Phương trình đã cho có nghiệm khi
A =bˆ-4ac>0 hoặc A'= b'ˆ -ac>0, trong
đó b = 2b’
4 Giải phương trình, hệ phương trình
nhiều ẩn
Ta viết phương trình f(x;y)=0 dưới dạng phương trình bậc hai với ẩn x hoặc ẩn y, khi đó ẩn còn lại là tham số
Bài 1 Giải phương trình:
5y* —6xy + 2x? + 2x —2y +1=0 (1)
Lời giải Xét phương trình ẩn y sau
(1) = 5y? — 2(3x +1)y + 2x? + 2x +1=0 (2) A’ = (3x + 1)* —5(2x? + 2x +1) =-(x +2)? <0
nên (2) có nghiệm khi x + 2 = 0 => x = -2,
thay vào (1) được y = -1
Vậy phương trình có nghiệm là: x = -2; y = -1 Bài 2 Giải hệ phương trình:
ư +4y^ +X-4xy-2y-2=0_ (3) 4x2 + Axy + y? —2x—y—56 =0 (4)
Lời giải
(3) x? + (1—4y)x + 4y? —2y-2=0, đây là phương trình bậc hai đối với x
Ta có: A =(1—4y)2 -4(4y? - 2y - 2) =9
X,=2y-2 ie =2y+1
Tương tự: Đối với phương trình (4) có
4x2 + 2(2y - 1)x + yˆ - y— 56 =0
=> A’ = (2y-1)* - A(y* — y — 86) = 4y* — dy +1-4y? + 4y +224 = 225 = 152 X3 = 7 Xa=—— 8 -y 42 Để (x; y) là nghiệm của hệ thì:
(X4; Xa) = (Xa; Xa) hoặc (X; Xa) = (Xa; Xa)
Giải ra ta có nghiệm của hệ là: (x; y) =
(2,8; 2,4); (-3,2; —0,6); (3,4; 1,2); (-2,6; —1,8)
Bài 3 Tìm nghiệm của hệ phương trình:
x? + Ay? +X—4xy-2y-2=0 x? +2yˆ + 2xy -Ä4y-2x+2=0
Lời giải Giải tương tự như bài toán 2, ta có nghiệm của hệ là: x = 0; y = 1 hoặc x = 3; y = 1 2 Phương trình nghiệm nguyên
Để phương trình với hệ số nguyên có nghiệm
Trang 7e Với y =—1—= X=-—1 hoặc x=5 (loại) e Với y=0>x=+42 (loại)
se Với y=1—>x =1 hoặc x=-5 (loai) eV6i y=2>x=0 hoadc x=-1
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (x; y) = (0; -2); (1; =2); (1; —1); (1; 1); (0; 2) Bài 5 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 +2x—4yˆ +9 =0 (2) Lời giải Để phương trình (2) có nghiệm thì: A'=1+4y?-9=4yˆ -8=kZ với k>0 => 4y* —k? = 8 => (2y -k)(2y + k) = 8 Vì 2y - k; 2y + k có cùng tính chan lẻ, mà (2y - k)(2y + k) = 8 nên 2y - k và 2y + k cùng 3 _ 2y-k=2 => chăn ={9 k=4 ý 2 doại) YTK= k=1 2y -k=-4 -— (loại) 2y+k=-2 kat Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên Bài 6 Giải phương trình: 5y -6xy + 2x? +2x-2y+2=0 Lời giải Ta có: By? ~ 6xy + 2x? +2x-2y+2=0 (3) © 5yˆ -2(3x + 1)y +2x2 +2x+2=0 — A' =(3x + 1)ˆ - 5(2x2 + 2x + 2) = 9xZ +6x +1~10x^ — 10x — 10 = -x* — 4x -9 =-(x +2)? -5<0 Vì A' < 0 nên phương trình (3) vô nghiệm 3 Chứng minh bất đẳng thức Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax? +bx+c (az0)—= 129 _x2+Ð2x„Ê a a a ( 2 b2 —4ac > A =| x+— |] —-————=| x+— ] -—~
2a 4a? 2a) 4a?
e Néu A <0 thi 10) >0 = f(x) luôn cùng dấu a với hệ số a 2 e Nếu A = 0 thì (x42 | >0 = f(x) a 2a na ` wT Ze" ˆ w ` —b luôn củng dấu với hệ số a (trừ x =2} a e Nếu A > 0 thì £0) — Ox — x4)(x— x9); (giả sử a
X+<Xa)=f(x) trái dấu với hệ số a nếu X+<X<Xa; f(x) cùng dấu với hệ số a nếu
X>Xị hoặc X >Xa
Bài 7 Chứng minh bất đẳng thức:
5yˆ ~6xy + 2x? + 2x—-2y+2>0, VX; y
Lời giải Vận dụng kết quả bài toán 6, ta có:
f(y) = 5y* - 2(3x + 1)y + 2x? +2x+2=0 — A' =(3x + 1)ˆ - 5(2x2 + 2x + 2)
=-xˆ -4x—-9=-(x+2)ˆ -5<0, Vx
= f(x,y) >0, Vxiy
Bài 8 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam
giác ABC Chứng minh rằng: 2a* +b* +07
-2a(b +c) >0 Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải Xét tam thức bậc hai theo a
f(a) = 2a2— 2(b+c)a+ b* +07 Ta cé hé s6 cla a* lA2 va
A’ =b* + 2bc + c? — 2(b? +¢7) =—(b-c)* <0
Nếu A'=0 thi -(b-c)* =O >b=c, nén tam
thức bậc hai f(a) có nghiệm Vậy
f(a) =2a2- 2(b + c)a + bf +c^>0Va,b,c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c AABC đều Bài 9 Chứng minh bất đẳng thức:
x? +Byˆ +2z7 - 4xy - 2yz- 2z+1>0,
với mọi x, y, Z
Lời giải Xét tam thức bậc hai theo x
f(x) = x? -4xy + 5y? +2z2 —2yz-2z+1
CÓ A'=4yˆ -Byˆ -2zˆ + 2yZ + 2z - Í
=-(y~Z)”=(- TỶ” <0
Trang 8= f(x) =0, véi moi x, y, z
Bài 10 Cho đẳng thức:
x? —x+y? -y=nxy (1)
Chitng minh rang (y — 1)" = (x -1)? = Lời giải Xét tam thức bậc hai theo x
x* —(y + )x +(y* —y) =O (2)
A=(y+1)* —4(y* - y) =-3y? +6y +120
= 3y* -6y-1<0
—= 3yˆ -6y+3<4—= 3(y - 1ˆ <4
4
—=(y-1)?<— (y -1) 3
Tương tự nếu ta tinh y theo x thì từ (1) dẫn đến phương trình bậc hai đối với y
Tương tự như trên ta cũng có: (x -1ˆ =
4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,
miền giá trị của hàm số
Giả sử cho trước hàm số y = f(x), xét phương
trinh: f(x) = a Phuong trình này có nghiệm khi a thuộc về dạng tam thức bậc hai, mà
công cụ để giải chính lại là biệt thức delta
Bài 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= x? + 5y? + 227 — 4xy -2yZ-— 2Z + 1
Lời giải Từ các bước giải của toán 9, ta có
thể dễ dàng tìm ra kết quả bài này: MinA = 0 khi x= 2; y=Z = 1 Bài 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất x2 -x+1 2 của biểu thức A = X“.+Xx+† Lời giải 1\ˆ, 3 Ta thấy x2+x+1=[xe2) t+>0 VX x7 -x41_, > nen x" +X+1 (A -1)x? +(A + 1)x + (A—1) =0 (1) e Nếu A = 1 thì phương trình (1) có dạng 2x = 0 >x=0 Vi A= e Néu A #1 thi (1) la phuong trinh bac hai an X Để (1) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là: A=(A+1)* -4(A-1)* 20 =(GA~1(A~3)<0=2<A <3 (Az') Với A=— hoặc A = 3 thì x = —1
Kết hợp các trường hợp trên ta có: minA = s khi x = 1; maxA = 3 khi x = -1
Bài toán này cho ta một cách giải để tìm x2—x+† x2 4x41 miền giá trị của hàm số y = , đó là 3 Bài 13 Tìm miền giá trị của hàm số _ X a x2+1 Lời giải Ta thấy x7 +1>0 vx X x7 414 e Nếu a = 0 thì (2) có nghiệm là x = 0
se Nếu a z 0, ta xét phương trình bậc hai ax? —x+a=0 đối với x, phương trình này có
nghiệm khi:
Đặt =a, khi đó ax2-x+a=0 (2)
A=1~4aÊ =(1~2a)(1+2a) >0=›— sas
Vậy miền giá trị của A là 5: |
2 2 Bai tap tu luyén
Trang 9
IEE
SO NAO THICH HOP?
(TTT2 số 180+181)
Quy luật Bài 1 Nhóm 3 số liên tiếp của dãy với nhau thành một bộ ba số theo thứ tự đã cho Mỗi số liền sau bộ ba số này bằng bình phương số ở giữa trừ đi tích của hai số còn lại Theo quy luật đó, x = 7ˆ — 1.(-20) = 69
Bài 2 Ta thấy trong mỗi hình, số nằm ở giữa ngôi sao bằng số lớn thứ ba trong các số ở
năm cánh của ngôi sao Vậy y = 4
B]fiecii Nhận xét Hai bài kì này tuy đơn
—== giản nhưng chỉ có ít bạn tham gia gửi bài Xin trao thưởng cho các bạn: Nguyễn Công Hải, Nguyễn Công Hùng, 8A3, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Quang
Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP Tam Điệp,
Ninh Bình; Nguyễn Vũ Chí Nguyên, 7D,
THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
Tòa soạn tuyên dương nhóm các bạn:
Hoàng Anh, Như, Nguyên Vũ, Lê Na, Giang
Châu, Thảo Quỳnh, 9D, THCS Xuân Diệu, thị trấn Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh NGUYEN XUAN BÌNH TIM SO CON — Bài 1 G dién > thích ( lề chỗ é cho hợp =) (2 NGUYEN TU ẤN (TP Hồ Chí Minh)
TIN TUC - HOAT DONG - GAP GO
Ngày 25/3/2018, tại Trường THPT chuyên
Hà Nội - Amsterdam đã diễn ra Lễ khai
mạc Kì thi Toán học Hà Nội mở rộng năm
2018 - lần thứ 15 (The 15” Hanoi Open Mathematics Competition 2018) Dén du cé GS TS Phiing Xuan Nha, Uy vién Trung
ương Đảng, Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Dao
tạo; Ông Ngô Văn Quý, Phó Chủ tịch
UBND TP Hà Nội; TS Chử Xuân Dũng, Giám đốc Sở GD&ĐT Hà Nội, GS TS
Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch Hội Toán học
Hà Nội; Đây là lần đầu tiên kì thi có sự
tham gia của các thí sinh quốc tế Có 534 thí sinh đến từ 8 quốc gia: Ba Lan,
Indonesia, Malaysia, Myanmar, Philippines,
Thai Lan, Trung Quéc va Viét Nam (Viét
Nam có học sinh của 23 tỉnh, thành tham
dự) Ngày 29/3/2018, Lễ bế mạc kì thi đã
được tổ chức tại trường phổ thông liên cấp Olympia Nhiều giải thưởng đã được trao
cho các tập thể và cá nhân
PV
Trang 10LOI GIAI DE THI TOAN HOC TRE QUOC TE PHILIPPINES (ITMO) 2017
ThS PHUNG KIM DUNG (GV THPT Ha N6i- Amsterdam, Q Cau Gay, Hà Nội) ThS CAI VIỆT LONG (GV THCS Ngô Sĩ Liên, Q Hoàn Kiếm, Hà Nội)
Sưu tâm, dịch và giới thiệu o3 gta + 9743 9°443 o3 9.93 o3 3.9°4 9743 997943 9743 39 2+1 g@ 3 = + = 9743 9743 Từ đó ta có lên 1 h lâm] 2017 2017 lốp 2 }: (Fr) 2017 2017 (#8)-088): Do đó f 1 +f 2 + +Í 2016 = 1008 2017 2017 2017 2 1 Ta có f(a) + f(1- a) = 1; ae) (3 ai a (ao) 2m)" f oan) 1— 017 = ~] 1 =1 1008 2017 M Q A LC Từ đề bài ta có CP : PN : NM =5: 13: 12 và BM = 2AM (1)
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác MBC và đường thẳng AN; tam giác ABQ và đường thẳng CM, tam giác ANC và đường thẳng PQ ta được CC CN AM _, 1; (2) CQ MN AB AM BC QN | BM QC AN ˆ AQ NP CL "© Naepia | (Đề đăng trên TTT2 số 182) BQ Từ (1), (2) có CC =2 (6) QN_2 Từ (1), (3) và (6) có —C == (6) CL 2 Tu (1), (4) va (6) (1), (4) va (6) suy suy ra — = — [A 13 3 Ta CÓ 442017 + 22017 — 2201772017 + 1) va 777 = 7.(7)'° = 7 (mod 8) Suy ra 720 4 4 = 7.77) + 1 = 74+ 1=8 (mod 2’) Do đó 442017 4 22017 — 0 (mod 22020) | Đáp số: 2020
(Kì sau đăng tiếp)
DOC LAI CHO DUNG
Do sơ suất, tạp chí đã dang Idi giai bai 1(179)
chuyên mục Thi giải toán qua thư trên TTT2 số 182 chưa chính xác, mong bạn đọc thông
cảm Lời giải đúng của bài toán như sau: Dãy số 1; 2; 3, ; 2018 có 2018 số Tập hợp các số chia hết cho cả ba số 5, 7, 8 gồm các số chia hét cho BCNN(5, 7, 8) = 280 Số bé nhất chia hết cho 280 là 280 Số lớn nhất chia hết cho 280 là 1960 Suy ra số các số chia hết cho cả ba số 5, 7, 8 là (1960 — 280) : 280 + 1 = 7 (số) Tập hợp các số không chia hết cho ít nhất một trong các số 5, 7, 8 là phần bù của tập hợp các số chia hết cho cả ba số
Do đó trong dãy số đã cho, số các số không chia hết cho ít nhất một trong các số 5; 7; 8 là
2018 - 7 =2011 (số)
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Nguyễn Tuấn Duong, 7B5, THCS Chu Văn
An, Ngô Quyền, Hải Phòng; Hán Vũ Long,
7C, Nguyễn Bá Hoàng, 7E, THCS Văn Lang,
TP Việt Trì; Vũ Hồng Phúc, 7G, THCS Hùng
Vương, TX Phú Thọ, Phú Thọ
Trang 11GG THI VU! §Ố VÀ HÌNH 2018
te da vé, ching ta lai aang nhau tham dye
Cugc thi voui Sé va Tinh, nhdm giip cic ban
bai todn oui sau mét nam hec Cugc thi oui Số ud Hinh 2018 cap Trung hec co sé danh cha
các em hec sinh dang hec cic lip 6, 7, 8 va 9 nam hec 2017-2018
& Dé bai sé dugc dang trén Toán Tuổi the 2
các số 183 wa 184 (ra thing # uà 5 năm 2078)
& Cac bai todn sé dugc cham riéng oa cudi auéc
du Cac ca nhan va tap thé cé diém cao nhat sé & Dap an va danh sich doat gidi sé dang trén
Todn Tuéi the 2 số 188+189
& Bai tham dy git uê Tạp cfú Toán Tuổi the, tầng, 5, số 361 Trường Chink, Thanh Xuân, ta Ng Ngoai phong bi ghi ré “Tham due
Cuộc thi oui Sé wd Tink 2018”
& Théi han nhan bai gidi: hét ngay 30.7.2018
(thea daw bưau điện)
Sau đây là nội dung câu hỏi của kì này:
Bài 1 Chọn chữ số
Bạn hãy thay mỗi chữ bởi một chữ số trong hệ thập phân sao cho phép cộng cho kết quả
đúng, biết rằng chữ khác nhau biểu thị chữ số khác nhau và các số hạng trong phép cộng đều là số nguyên tố CHƠI ĐỒ VUI HE 2018
Bài 2 Số 2018 là tổng hai số chính phương
Hãy biểu diễn số 2018 thành tổng hai số
chính phương, trong lập luận cần tìm cách để
lời giải có ít phép thử nhất
Bài 3 Tam giác vuông với số 2018
Hãy tìm các tam giác vuông có số đo các
cạnh đều là số nguyên sao cho số đo một cạnh của nó bằng 2018
Bài 4 Biến tam giác thành hình vuông
Từ một mảnh bìa hình tam giác (mặt trên có màu) với ba cạnh tỉ lệ với 20 : 18 : 16, ban
hãy cắt thành 5 đa giác như ở hình 1 rồi ghép tất cả các đa giác đó lại, không chờm lên
nhau, để tạo thành một hình vuông cùng màu như hình 2 Hãy trình bày cách dựng hình
bằng thước thẳng và compa để xác định được
S đa giác như trên Hình 1 Hình 2 Bài 5 Ghép hình con chó
Chào năm Mậu Tuất, các bạn hãy cắt một miếng bìa hình vuông thành 12 đa giác như ở hình 3 rồi ghép tất cả các đa giác đó, không
chờm lên nhau, để tạo thành hình một chú
chó như hình 4 Hãy ghi số thứ tự các mảnh đa giác được cắt ra trên hình vuông tương ứng với số của các đa giác đó trên hình chú chó Hình 4
ĐAN QUỲNH (Hà Nội)
(Kì sau đăng tiếp)
Hình 3
Trang 12ĐỀ THI TIM KIEM TAI NANG
TOAN HOC TRE VIET NAM 2018 LOP 8 (MYTS)
PHAM VAN THUAN
(Trung tam Toan va Khoa hoc Hexagon)
Đề thi khối lớp 8, gồm 24 câu hỏi Thời gian làm bài: 120 phút
4 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x > y và
(x=2y)" _8 rạn X,
xy 3 y
2 Cho A = 2018? — 2017? + 20167 - 20152 +
+ 2ˆ — †2 Tìm hai chữ số tận cùng của A 3 KỈ lục của kình ngư Ánh Viên tại SEA
Games 28 trong cuộc thi 200 m bơi tự do là 1
phút 59 giây Biết rằng sau khi nhảy xuất
phát, vận tốc bơi của Ánh Viên giữ ổn định ở mức 1,6 migiây Hỏi Ánh Viên nhảy xuất
phát xa bao nhiêu mét (coi như không tính
thời gian nhảy xuất phát)?
4 Có bao nhiêu số nguyên dương n mà khi
chia n cho 45 thì có phần dư đúng bằng bình phương của thương?
5 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) thỏa man |x| + |y| < 72 6 Cho các số thực dương x, y Đặt a=x+—, b=y+— va c=xy+—l Rut gon X y xy biéu thc P = a? + b* + c? — abc
7 Lan có 37 cái kẹo, Thảo có 49 cái kẹo và Mai có 67 cái kẹo Mỗi ngày, một trong ba bạn cho tất cả các bạn khác trong lớp (không gồm Lan, Thảo, Mai) mỗi người 1 cái kẹo Đến khi không chia được như vậy nữa thì số kẹo còn lại của cả Lan, Thảo và Mai đều bằng nhau Hỏi lớp có tối đa bao nhiêu bạn? 8 Hai cầu thủ Xuân Trường và Văn Thanh
cùng nhau tập sút phạt đền, mỗi người sút ít
nhất một lần Giả sử tỉ lệ sút thành công của
Xuân Trường là 80% và của Văn Thanh là
95% Hỏi tổng số lần sút thành công của cả
hai cầu thủ nhiều nhất có thể là bao nhiêu, nếu tổng số lần sút của họ là 125?
9 Trong hình vẽ dưới, ABCD là hình vuông
và E là trung điểm của cạnh CD Biết diện tích hình vuông bằng 144 cm? Tính diện tích phần tô đậm D E C A B
40 Có bốn trang trại nuôi bò A, B, C, D, theo
thứ tự đó nằm trên một trục giao thông
Khoảng cách từ trang trại A tới các trang trại
B, C, D lần lượt là 2 km, 5 km, 6 km Người ta
xây một nhà máy chế biến sữa nằm trên trục
giao thông đó sao cho tổng các quãng
đường từ nhà máy tới hai trang trại A, B bằng
tổng các quãng đường từ nhà máy tới hai
trang trại còn lại Hỏi nhà máy được xây cách
trang trại A bao nhiêu km? (Coi trục giao
thông là một đường thẳng)
11 Cho hình lục giác lồi ABCDEF Hỏi có
bao nhiêu cách tô 6 đỉnh bằng ba màu đỏ,
xanh, vàng sao cho mỗi màu được dùng để
tô đúng hai đỉnh không kề nhau? (Hai cách tô màu được coi là khác nhau nếu tồn tại một đỉnh mà màu được tô cho nó ở cách này khác màu được tô cho nó ở cách kia.)
12 Một bể xả nước hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông cạnh 1 m và chiều cao
Trang 13bể với tốc độ không đổi là 0,2 m/giờ Biết
rằng ban đầu bể không có nước và hai van
xả luôn mở Hỏi sau bao nhiêu lâu thì bể bắt đầu bị tràn? 43 Có bao nhiêu bộ ba số nguyên (a, b, c) thỏa mãn hệ ab +bc + ca =0 1 + 1 + 1 + 3 =0 a2 b c3 4 14 Một lớp học có 2 dãy bàn học, dãy I có 8
hoc sinh va day lÏ có 10 học sinh Trong một
lần kiểm tra toán, điểm trung bình của các
học sinh ở dãy | la 9 va 6 dãy II là 8,1 Biết
rằng nếu bạn Xuyến ở dãy I đổi chỗ ngồi với
bạn Diệp ở dãy II thì điểm trung bình của học
sinh ở mỗi dãy bằng nhau Hỏi điểm kiểm tra
của Xuyến và Diệp chênh lệch nhau là bao nhiêu?
15 Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 17 và BC = 30 Vẽ ra ngoài tam giác ABC tam
giác BCD với CBD =90° va CD // AB Tinh
d6 dai doan thang BD
16 Tìm số nguyên dương N nho nhất chia
hết cho 99 và trong biểu diễn thập phân của N không chứa chữ số 9 17 Tìm số nguyên tố nhỏ nhất có ba chữ số cba đều là các số nguyên tố 48 Xét các số thực a, b, c thoa mãn |a| < 5, |b + 1| < 7 và |c + 2| < 9 Tìm giá trị nhỏ nhất S và giá trị lớn nhất T của |a + b - c| 49 Xét các số thực a, b, c, d thỏa mãn hệ (a + b)(c + d) =2 (a+c)(b+d)=3 (a+ d)(b+c) =4 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng a? + b2 + c2 + đ? 20 Cho 13 hình tròn được sắp xếp thành 3
hàng, mỗi hàng có 5 hình, như hình dưới
Điền 13 số nguyên dương đầu tiên vào 13
hình tròn đó sao cho mỗi hình tròn chỉ chứa đúng một số và tổng của 5 số ở mỗi hàng bằng tổng của 7 số nằm ở 7 hình tròn tô đậm Tìm giá trị lớn nhất có thể của tổng 6 số được điền ở 6 hình tròn có đánh dấu x
21 Trong một buổi tiệc, ngoại trừ Hà, hai người bất kì đều bắt tay nhau Hà chỉ bắt tay
với những người mình quen Biết rằng mỗi
cặp hai người chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi
Hà có bao nhiêu người quen trong buổi tiệc? 22 Cho hình vuông ABCD cạnh 1 Xét điểm
E di động trên cạnh CD sao cho E không
trùng với C và D Dựng hình vuông AEGF
như hình dưới Gọi J là giao điểm của BC và
Trang 14VỤ TRỘM > ane chuiyer i I0 © MAI DINH BAO QUOC (7/1, THCS Lé Van Thiém, TP Ha Tinh, Ha Tinh)
ôm nay thám tử Sêlôccôc thức dậy Hà Ông ra vườn ngắm những giọt
sương mai long lanh trên cây có Cảm
thấy thật sảng khoái, thám tử quyết định sẽ
nghỉ ở nhà một buổi để chăm sóc vườn tược
Đang thích thú với ý định bất chợt đó của
mình, bỗng thám tử thấy vợ gọi vào nghe điện thoại Thám tử hỏi vọng vào:
- Em có biết ai gọi anh không? - Bà Hiền bạn anh
Nghe vậy, thám tử vội chạy vào Bà Hiền là bạn thân từ thuở bé Chắc phải có việc gì cần bà ấy mới gọi sớm thế này
- Alo, chào bà bạn!
- Tôi có việc cần ông giúp, mà thời gian thì
khá gấp rồi Ông có thể tới nhà tôi luôn
không?
- Tất nhiên là có Tôi sẽ đến ngay
Một lúc sau, thám tử Sêlôccôc đã có mặt tại
nhà bà Hiền Bà Hiền kể:
- Ngày mai tôi đi Hàn Quốc du lịch Vậy mà tối qua tôi vừa phát hiện bị mất sợi dây chuyền Vì thế sớm nay tôi đành phải gọi điện làm phiền ông
- Bà kể chỉ tiết xem nào!
- Chiều qua, khoảng 4 giờ, tôi tháo sợi dây chuyền ra, định bụng cất đi vì nghe hướng
dẫn viên du lịch khuyên là không nên mang
theo đồ trang sức Tôi để tạm sợi dây trên
mặt bàn trang điểm rồi quay ra sắp xếp hành
lí chuẩn bị cho chuyến đi Mải làm, tôi quên
béng sợi dây Đến lúc đi ngủ, sực nhớ ra thì
chả thấy đâu nữa Ngay lúc đó tôi đã định gọi
ông, sau lại ngại nên sáng nay mới gọi
- Từ lúc bà tháo dây chuyền đến lúc phát hiện bị mất trong nhà có những ai?
- Con trai tôi, con cô em gái tôi và cô giúp
việc Con em gái tôi ở đây cùng tôi được mấy tháng rồi
- Tôi phải hỏi chuyện từng người Bà đồng ý
chứ?
- Tất nhiên rồi Ông cứ hỏi
Đầu tiên là cậu Bình, con trai bà Hiền:
- Từ chiều qua đến tối qua, cháu đã làm
những gì, ở đâu?
- Cháu ở trong phòng cháu là chính Cháu
đang ôn thi nên bận lắm ạ Chỉ lúc ăn cơm
cháu mới xuống phòng bếp
Trang 15- Cháu hãy kể cho bác nghe hôm qua,
khoảng từ 4 giờ chiều đến 10 giờ đêm, cháu
đã làm gì, ở đâu
- Da, chau xem phim a
- Chau xem trén mang a?
- Vâng Cháu xem liền tù tì mấy phim liền nên
chả để ý thời gian nữa Lúc bác giúp việc gọi
xuống ăn cơm thì cháu xuống ăn, xong cháu
lại lên phòng ngay
- Phim gì mà cháu say mê đến thế?
- Phim Badman ạ Cháu là fan cuồng của hãng phim Marvel Cứ thấy phim của hãng này là cháu phải xem bằng được
- Badman là phim của Marvel ư?
- Vâng Đó là một bộ phim siêu nổi tiếng của
hang Marvel
Cuối cùng là ba Liên giúp việc:
- Chiều và tối qua, ngoài lúc cơm nước dọn
dẹp bà có làm gì nữa không?
- Lúc xong hết việc thì tôi xem TV ở phòng
khách
- Bà có nhớ là xem chương trình gì không?
- Tôi chỉ nhớ đã xem phim về loài đà điểu
thôi Mang tiếng là chim mà đà điểu chả hề
biết bay Thú vị thật!
Sau khi trò chuyện với cả 3 người, thám tử
Sêlôccôc nói nhỏ với bà Hiền:
- Tôi cảm thấy có một người đáng nghi bà ạ
Bà cứ lựa lời hỏi thẳng người đó xem sao,
nhưng nhớ là phải thật tế nhị nhé Vì chưa có chứng cứ nên ta phải thận trọng
* Bà Hiền nghĩ mãi nhưng chưa đoán ra thám
tử đã nghi ngờ ai Các thám tử Tuổi Hồng hãy giúp bà nhé! , > Ket qua Chiée wo bién mét
Thật vui vì tất cả các bạn tham gia kì này đều nắm rất chắc quy định về trang phục trong
luật thi đấu bóng rổ: Vận động viên không
được mặc áo có tay vào bên trong áo thi đấu,
kể cả khi áo đó có cùng màu với áo thi đấu
Nhờ nắm chắc quy định này nên các thám tử nhí đã nhanh chóng tìm ra kẻ khả nghi là cậu
Nam, cháu bà Hoa
+ Phần thưởng sẽ được gửi tới:
——= Nguyễn Phương Linh, 6A1, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn
Thùy Dung, 6D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Quang Huy, 6E,
THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An;
Ngô Đức Anh Thái, Nguyễn Hoàng Nguyên,
6A, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh Thám tử Sêlôccôc ““ > THỂ CỜ (Kì 99) làn ‘ trước về sư 7 Ww 1 77 Ez
tae vas MH cag Z7 A msi ⁄
Trang 16LÙI GIẢI NHƯ THẾ DA DUNG CHUA? THÁI NHẬT PHƯỢNG (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa) Bài toán Cho x, y, z là các số thực dương thỏa ~ 5 man x+y†Z<= Tìm giá trị nhỏ nhất của A= CaF Weyer y Z X Lời giải Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta có: xa? +b? + Vc? + 0° > (atc)? +(b +d)? với a, b, ccR Đẳng thức xảy ra © ad = bc Áp dụng bất đẳng thức trên hai lần và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: AGED (TTT2 số 180+181) CHAP NHAN DUOC KHONG? B M - d A H Bạn học sinh khi giải bài toán đã biến đổi đúng cho đến bất đẳng thức AB > OH - R không đổi, nhưng đã sai khi khẳng định:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = H Lúc đó
HB = OH - R & HB + R = OH, ttt là tiếp
điểm B của AB nằm trên đoạn thẳng OH,
điều này không xảy ra
Lời giải đúng như sau Vẽ OH L d tại H Ta
có điểm H cố định và OA > OH Vẽ AB tiếp
xúc với đường tròn (O) tại B thì ABO = 90°
Áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác vuông
OAB được AB? = OA? - OB2 = OA2 - R?> A= Pas Were peed y Z X 2 "11 X y Z >jpetveal[ tia 'z]>ý2-5- 342 Đẳng thức xảy ra Co x=y=Z SE,
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3.2
Nếu giải như thế thì lúc đầu ta áp dụng bất
đẳng thức AM-GM có gọn hơn không?
OH? — R? khong déi Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi A = H Lúc đó kẻ tiếp tuyến HM với
đường tròn (O) tại M thi HM* = OH? — OM?= OH? — R? khong đổi Vậy khi điểm A trùng với
điểm H thì độ dài đoạn thẳng tiếp tuyến HM
là nhỏ nhất và lúc đó HM?= OH? — R?
Nhận xét @ Một số bạn chỉ ra được AB? > OH - Rˆ đã kết luận ngay mà chưa nói
OH? — R? không đổi
® Hầu hết các bạn giải bằng lời đúng,
nhưng không vẽ hình để chứng tỏ sự tồn tại của điểm A khi A trùng với H, tức là tồn tại
diém H dé HM? = OH? - R? Chính bạn học
sinh đã đưa ra lời giải không được chấp nhận
đã mắc lỗi này
etary Các bạn sau có lời giải đúng, được
—=—=—== thưởng kì này: Đặng Phương Nam,
9E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn
Tiến Phong, Trần Quang Tài, 9A1, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phạm Minh Thư, 8A, THCS Thị trấn Neo, Yên
Dũng, Bắc Giang; Lê Quang Chiến, 9A,
THCS Quang Sơn, TP Tam Điệp, Ninh Bình
Trang 17
AGETED (ri72 sé 180+181)
CO CON DUNG KHONG?
e Cho tam giac déu ABC néi tiép dudng tron
tam O ban kinh R Goi D là điểm trên cung
nhỏ AC với D khác A, C Hai tia AD va BC cat nhau tai E Duéng kinh AN cat BC tai M thi M
là trung điểm của BC A Nối ND, dễ thấy ABOM = ACNM (g.c.g) Từ đó 2OM = 2MN = ON = R
Do AN là đường kính nên ADN = 90° =AMC Ta thấy hai tam giác vuông AND và AEM có góc NAE chung nên hai tam giác này đồng
dạng Từ đó có AD _ AM
AN AE
Suy ra AD.AE = AM.AN = aR = 3R’
e Khi D trùng với A thi AD = 0, khi D trùng với C thì AD = AC = AE nên trong tam giác vuông
ANC có AC” = AM.AN = 3RẺ
Như vậy, hệ thức AD.AE = 3R? vẫn đúng khi
điểm D di động trên cung nhỏ AC, kể cả khi
CO VE DUOC KHÔNG? Bài toán Có thể sắp xếp trên mặt phẳng 7 đoạn thẳng sao cho mỗi
đoạn cắt đúng ba đoạn khác được không trong mỗi trường hợp sau: a) Mỗi giao điểm chỉ thuộc hai đoạn thẳng?
b) Mỗi giao điểm có thể là điểm chung của nhiều đoạn thẳng?
NGUYỄN KHÁNH NGUYÊN (3⁄29E Đà Nẵng, Hải Phòng)
điểm D trùng với điểm C
-—= Nhận xét Một số bạn chứng minh — đúng nhưng dài hơn cách giải trên do không kế đường kính AN để xét hai tam giác đồng dạng AND và AME Các bạn sau có lời giải đúng, được khen thưởng kì này:
Hoàng Thị Việt Hằng, 9E, Võ Phạm Tuấn Nam, 9G, THCS Dang Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An; Lê Quang Chiến, 9A, THCS Quang
Sơn, TP Tam Điệp, Ninh Binh
ANH COMPA
DUOC THUONG Ki NAY
Nguyễn Manh Kién, Tran Quang Tai, 9A1,
THCS Yén Phong, Yén Phong, Bắc Ninh; Ha Quang Tung, 7A3, THCS Lam Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Công Khanh, 7D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ
An; Nguyễn Quang Đức, 7B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Tạ Kim
Nam Tuấn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Huỳnh Nguyên Phái, 6A1 Huỳnh Nguyên Phúc, 9A1, THCS Mỹ Lộc, Phù Mỹ, Bình Định; Dương Lê Nhật Duy, 7A6, THCS Thốt Nốt, Q Thốt Nốt, Cần Thơ; Trần Hà Nhi, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Phạm Minh Thư, 8A, THCS Thị trấn Neo, huyện Yên Dũng,
Bắc Giang; Đào Quỳnh Hương, 8A, THCS
Lê Quý Đôn, Mộc Châu, Sơn La; Lê Quang
Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP Tam
Điệp, Ninh Bình
Trang 18
e 2 se se GIải Bài 1(480+84) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (a; b) thỏa mãn (3° — 1)(3 — 2)(3? — 3)(3? — 4)(3 — 5)(3? — 6) = 2016° + 20159
Lời giải Vế trái của đẳng thức là tích của 6
số nguyên liên tiếp nên vế trái là một số chan Vi vay 2016° + 20159 là số chắn, suy ra 2016” là số lẻ nên b = 0 Khi đó, ta có: (3? — 1)(3° — 2)(3° — 3)(3* — 4)(3* — 5)(3° — 6) = 20160 = 8-7-6-5-4-3 > 3?-1=8>a=2 Vay (a; b) = (2; 0)
Nhận xét Ở bài toán này các bạn có thể xét
vế trái chia hết cho 2, 3 hay 7 Có rất nhiều
bạn có lời giải tốt: Đỗ Văn Tài, Ngô Gia Đức,
Nguyễn Hữu Niêm, Ngô Xuân Sang, Lê Đăng
Quang, 7A1, Nguyễn Chí Trung, Nguyễn
Trung Kiên, 7A2, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thanh Sơn, Trần
Quang Đạt, Trần Thị Yến Khanh, Dương Đức
An, Quách Thạch Thảo, 7A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Công
Khanh, 7D, THCS Dang Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An; Vũ Tuấn Nghĩa, Nguyễn Quang Đức, Trần Văn Quân, Nguyễn Hoàng Anh, Lê
Đức Chính, 7B, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút
Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Tạ Kim Nam Tuấn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh
Phúc; Huỳnh Nguyên Phát, 6A1, THCS Mỹ
Lộc, Phú Mỹ, Bình Định
PHÙNG KIM DUNG
Bài 2(180+181) Cho tam giác ABC có
A=75°, B=45° Trên cạnh AC lấy điểm D
sao cho ABD=300 AD =x/3DC Lời giải Kẻ DH L BC, BK 1 AC (H € BC, Ke AC) Chứng minh rằng toàn qua thu 3 B H C
Vi ABD =30°; A=75° nén ADB=75° =>
AABD cân tại B — BK là tia phân giác của
góc ABD = B, =B> =B3 =15° va DK =KA
Xét hai tam giác vuông DKB và DHB có:
Cạnh DB chung, ö› =Ba nên ADKB = ADHB Từ đó DH = DK = KA hay AD = 2DH (1) Vì tam giác DCH vuông tai H ma C=60° nên CDH =309 Do đó CD = 2CH Áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác DCH ta được: CD? = CH? + DH? => DH? +700? = CD? v3 = DH2 =Š©D2 =>DH= Y3 cp, (2) 4 2 Tu (1) va (2) suy ra AD = /3CD
Nhận xét Các bạn sau có lời giải tốt: Tạ Kim
Nam Tuấn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Hà Quang Tùng 7A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Quang Đức, 7B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa,
Thanh Hóa; Trần Thiên Ngân, Thái Thanh
Lam, Phạm Ngọc Nữ, Ngô Thị Hiền Trang, 7A,
THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu; Trần
Phương Mai, 7B, THCS Hồ Xuân Hương,
Quỳnh Lưu, Nghệ An; Dương Lê Nhật Duy,
7A6, THCS Thốt Nốt, Q Thốt Nốt, Cần Thơ
Trang 19Bài 3(180+181) Cho phương trình: 2xÝ - 4x + (4 - a)x? + (a - 2)x + a - aˆ = 0 Chứng minh rằng phương trình đã cho có đúng một
nghiệm âm khi a > 1
Lời giải Phương trình đã cho có thể viết thành 2x?(x? —x+1-a)—2x(x? —X+†1-a) + a(x? —x+†1-a)=0 © (2x7 ~ 2x + a)(x? —-xX+1-a)=0 2x?-2x+a=0 (1) x?-x+1-a=0 (2) Phương trình (1) có A' = 1 - 2a < 0 khi a > 1 Vậy khi a > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm Phương trình (2) có A = 4a - 3 > 0 khi a > 1 Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt thỏa mãn xx¿ =1-a<0>x;<0<Xa;
phương trình có một nghiệm âm và một
nghiệm dương
Vậy khi a > 1 thì phương trình trong đề bài có
đúng một nghiệm âm Bài toán được chứng minh
Nhận xét Điều then chốt của bài toán là
chuyển phương trình đã cho thành
2x? -2x+a=0 (1) x? —x+1-a=0 (2)
để xét từng trường hợp khi a > 1
Có thể giải bài toán theo cách: Viết phương
trình trong đề bài thành phương trình bậc hai
ẩn số a; tìm a theo x; thu được các kết quả
(1), (2) như trên
Các bạn sau đây có bài giải tốt: Huỳnh
Nguyên Phúc, 9A1, THCS Mỹ Lộc, Phù Mỹ,
Bình Định; Nguyễn Mạnh Kiên, Trần Quang
Tài, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc
Ninh; Lê Thị Hằng Nhi, Nguyễn Anna, 9A,
THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
NGUYÊN ANH DŨNG
Bài 4(180+181) Cho tam giác ABC vuông tại
A có độ dài cạnh huyền là a và độ dài đường cao xuất phát từ A là h Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức Q = 301 + an 1975
Lời giải Kí hiệu m là độ dài đường trung
tuyến xuất phát từ A Khi đó h<m =S hay 3»2, h Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: o=302+4 21975 h a -2924(2+42)+1975 h \h a >29.2+ 2, Bae +1975 = 2037 a
Vay Q dat gia trị nhỏ nhất bằng 2037 khi tam
giác ABC vuông cân tại A
Nhận xét Có rất nhiều bạn tham gia giải bài và hầu hết các bạn có lời giải đúng Các bạn sau có lời giải tốt và ngắn gọn: Lê Quang
Huy, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương;
Nguyễn Xuân Hưng, 8C, THCS Cao Xuân
Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Huỳnh Nguyên
Phúc, 9A1, THCS Mỹ Lộc, Phú Mỹ, Bình
Định; Lê Danh Vinh, 8A1, Nguyễn Mạnh
Kiên, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phạm Minh Thư, 8A, THCS Thị
trấn Neo, huyện Yên Dũng, Bắc Giang; Trần
Hà Nhi, Đoàn Huy Giáp, Nguyễn Tiến Đức, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Tạ Kim Nam Tuấn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Đàm Quang Anh, 9E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Đảo
Quỳnh Hương, 8A, THCS Lê Quý Đôn, Mộc Châu, Sơn La; Lê Quang Hiếu, 9A, THCS Quang Sơn, Tam Điệp, Ninh Bình
CAO VĂN DŨNG Bài 5(180+181) Cho A là một tập hợp con
của tập {1, 2, 3, , 31} mà có không ít hơn
19 phần tử Chứng minh rằng A hoặc chứa
một lũy thừa của 2 hoặc chứa hai số mà tổng
của chúng là một lũy thừa của 2
Lời giải Ta chia tập {1; 2; 3; ; 31} thành 16
tập hợp con là {1; 31}, {2; 30}, ., {15; 17},
{16} Nếu tập hợp A có chứa số 16 thì ta có điều phải chứng minh Nếu tập hợp A không
chứa số 16, thì mỗi phần tử của A chỉ có thể
thuộc một tập hợp nào đó trong số 15 tập
hợp còn lại Vì tập hợp A có không ít hơn 19 phần tử nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít
nhất hai phần tử của A thuộc cùng một tập
hợp bên trên Tổng của hai phần tử này là
32 = 2, là một lũy thừa của 2 (dpcm)
Trang 20Nhận xét Tất cả các bạn gửi bài lần này đều có lời giải đúng Ngoài cách giải trên, một số
bạn có cách giải khác như sau: Ta chia tập hợp {1; 2; 3; ; 31} thành 19 tập hợp con là {1; 2; 4; 8; 16}, {3; 5}, {6; 10}, {7; 9}, {11; 21}, {12; 20}, {13; 19}, (14; 18}, (15; 17}, {22}, {23}, {24}, {25}, {26}, {27}, {28}, {29}, {30}, {31} Nếu tập hợp A có chứa ít nhất một phần tử thuộc tập hợp {1; 2; 4; 8; 16} thì ta có điều phải chứng minh Nếu tập hợp A không có phần tử nào thuộc tập hợp {1; 2; 4; 8; 16} thì mỗi phần tử của A đều thuộc một trong 18 tập hợp còn lại Vì A có không ít hơn 19 phần tử nên theo
nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất hai phần tử của A thuộc cùng một tập hợp Rõ ràng tập hợp
này chỉ có thể là một trong số các tập hợp {3; 5},
{6; 10}, {7; 9}, {11; 21}, {12; 20}, {13: 19),
{14; 18}, {15; 17} nên tổng của hai phần tử
trong tập hợp đó là lũy thừa của 2 (đpcm)
Từ bài toán trên, ta có thể đặt ra bài toán mới
như sau: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, , 31}
Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho mọi tập hợp con B của A có k phần tử đều có tính
chất: B hoặc chứa một lũy thừa của 2 hoặc
chứa 2 số mà tổng của chúng là một lũy thừa
của 2
Các bạn sau có lời giải tốt: Trần Phương Mai,
7B, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Nguyễn Hồng Khánh Lâm, 8E, THCS Đặng
Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Công Hùng, Vũ Minh Khải, 8A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Quang Đức,
7B, THCS Nhữ Bá Sĩ, thị trấn Bút Sơn,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Đặng Phương
Nam, Đàm Quang Anh, 9E1, THCS Vĩnh
Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn
Mạnh Kiên, Nguyễn Tiến Phong, Trần Quang Tài, 9A1, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh; Lê Quang Chiến, 9A,
THCS Quang Sơn, Tam Điệp, Ninh Bình
TRỊNH HOÀI DƯƠNG
Bài 6(180+181) Cho tam giác ABC Trên
cạnh BC lấy điểm M (khác B, C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt cạnh AB tại D,
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt cạnh
AC tại E Gọi N là giao điểm của BE và CD
Đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC và
đường tròn ngoại tiếp tam giác NDE cắt nhau
tại N và K Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tổng KB + KC + KM đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải Gọi I là giao điểm của AK và BC; H
là hình chiếu của K trên BC
Dễ thấy ADN + AEN = ADC + AEB = AMC + AMB =180°
Do đó tứ giác ADNE nội tiếp
Vay BAI =DAK =DNK =KBI
Suy ra AIAB w AIBK
Do do 182 = /8 1B 1a =! 1B 1A =1K-IA
IA IB
Tương tự IC =IK -IA
Vậy IB =IC va ik = BC, 4-lA
Điều đó có nghĩa là I, K cố định
Tóm lại KB + KC + KM nhỏ nhất KM nhỏ nhất M trùng H
Nhận xét Bài toán này không khó nhưng chỉ
có một bạn giải đúng với lời giải khá dài: Lê
Quang Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP
Tam Điệp, Ninh Bình
Trang 21sx %5
SAA Mi sm = TYPES OF ANGLES
AND THEIR RELATIONSHIPS
*
tay ThS DUONG THU TRANG (Gmath Education)
TS ĐỖ ĐỨC THÀNH (GV Trường liên cấp Tiểu học và THCS Ngôi Sao Hà Nội) I Types of angles
Type Definition Illustration Technical terms Acute anale An angle whose measure Acute angle:
g is less than 90 degrees Góc nhọn
An angle whose measure Right angle:
Right angle is 90 degrees Góc vuông
An angle whose measure C
is bigger than 90 degrees Obtuse angle: Obtuse angle but less than 180 Góc tù
degrees B
A le wh ee Straight | n angle whose measure LY raight angle:
Straight angle is 180 degrees Góc bẹt B D
Two angles with a
Adjacent anales | Common vertex and one C Adjacent angles:
J g common side and don’t 2 Các góc kề
overlap 1
B A
Two angles whose Complementary
Complementary measures add to 90 307 angles:
g degrees 60° Các góc phụ nhau
Two angles whose a+b = 180° Supplementary
Supplementary measures add to 180 angles:
angles degrees Các góc bù nhau
Vertical angles Two angles that have a common vertex and whose sides are formed
by the same lines Vertical angles:
Các góc đối đỉnh
Trang 22Mi 39
Hãy thay các chữ cái bởi các chữ số
Các chữ khác nhau biểu diễn các chữ
số khác nhau Lời giải cần có lập luận lơgic TRO HOPP KARLEK ĐƠNG BA XEETED KI SL cra so 1800181) BULL BUS SOUNDS Từ giả thiết có các điều kiện sau: 1)Bˆ<S$<9nên 1<B<3
2) L-S =S + 10T với chữ số T nào đó, suy ra S(L - 1) chia hết cho 10, do đó xảy ra ba trường hợp sau: 2a) L= 1,S > 1 tùy ý: 2b) L=6, S chẵn; 2c) S =5, L lễ Xét các trường hợp sau: 1a) và 2a) không đồng thời xảy ra vì B = 1 = L 1a) và 2b) B = 1, L = 6 và S bằng 2, hoặc 4, hoặc 8 Từ BULL -BUS < 2000-200 = 400000 suy ra S < 4, do đó S = 2
Tir 1U66 -1U2= 108732 + 20860U + 1000U?
=2OUND6 suy ra U < 5 và 6U - D chia hết
cho 10 Nếu U = 4 thì D = 4 = U (loại) Thử
với U = 3, D = 8 không thỏa mãn 1a) và 2c) B = 1, =5 mà S <4 (loại) 1b) và 2a) B =2,L=1,S>3 ® Nếu U = 9 thì 29? = 841 nên S bằng 8 hoặc 9 Thử lại thấy không thỏa mãn ® Nếu U = 8 thì 28? = 784 nên S bằng 7 hoặc 8 Thử lại thấy không thỏa mãn ® Nếu U =7 thì 27? = 729 nên S bằng 7 hoặc 8 Thử lại thấy không thỏa mãn
® Nếu U = 6 thi 267 = 676 nén S bang 6
hoặc 7 Thử lại thấy khơng thỏa mãn
® Nếu U = 5 thì 25? = 625 nên S bằng 6 hoặc 7 Thử lại thấy khơng thỏa mãn
® Nếu U = 4 thì 24? = 576 nên S bằng 5 hoặc 6 Thử lại thấy khơng thỏa mãn
® Nếu U = 3 thi 23? = 529 nén S bang 5
hoặc 6 Thử lại thấy chi cé 2311-235 =
543085 thỏa mãn
1b) và 2b) B = 2, L =6, S chẵn
® Nếu S = 8 thi 800000 < BULL -BUS < 890000 nên 5 < U < 7 Thử lại thấy khơng
thỏa mãn
® Nếu S = 4 thì BULL -BUS < 490000 nên
U <3, suy ra U = 1 Thử lại thấy không thỏa mãn 1b) và 2c) B = 2, S = 5, L lẻ Tương tự như trên từ S = 5 suy ra 3 < U < 4 Thử lại với các số L lẻ khác 5 chỉ có 2311-235 = 543085 thỏa mãn 1c) B = 3 thì S = 9 nên chỉ xảy ra L = 1 Thử lại thấy không thỏa mãn
Vậy bài toán có nghiệm duy nhất là
2311-235 = 543085
Trang 23TUISAEH TOAN TUOI THƠ
CÁC DẠNG TỐN CAC CAU DO
CAP TIEU HOC Số trang: 172; Khổ: 17 x 24 cm Giá bìa: 21 000 đồng C1 lị 1 } lí i? TOAN TUO! THO NAM 2014 Đóng tập tạp chí cả năm 2014 Khổ: 19 x 27 cm Giá bìa: 145 000 đồng Số trang: 188; Khổ: 17 x 24 cm Giá bìa: 21 000 đồng * TONG TAP “^^ Toan Tus; Th NAM 2016 7 aif we « a, ae ể - đau “` Đóng tập tạp chí cả năm 2016 Khổ: 19 x 27 em Giá bìa: 170 000 đồng Đóng tập tạp chí cả năm 2017 Khổ: 19 x 27 cm Giá bìa: 170 000 đồng Đóng tập tạp chí cả năm 2017 Khổ: 19 x 27 cm Giá bìa: 170 000 đồng 21) BAI GIANG SO HOC a Số trang: 136; Khổ: 17 x 24 cm Giá bìa: 23 000 đồng TONG TAP Toan Tuoi Tho NAM 2016 ee Đóng tập tạp chí cả năm 2016 Khổ: 19 x 27 em Giá bìa: 170 000 đồng BẠN ĐỌC CÓ THỂ ĐẶT MUA TẠP CHÍ CẢ NĂM HỌC TẠI CÁC CƠ SỞ BƯU ĐIỆN
TRONG CẢ NƯỚC VỚI MÃ
ĐẶT CÁC ẤN PHẨM NHƯ
Trang 24"_
Sai
NH©@ IU6li ĐỊNH LÍ CEVA VA UNG DUNG
DAU CONG NHO
(GV THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An)
định lí Ceva thì ta sẽ tìm được rất
nhanh lời giải Bài viết này tôi xin giới thiệu một số bài toán mà trong lời giải có sử
dụng định lí Ceva
Định lí Ceva Xét ba điểm A', B', C' lần lượt
thuộc ba cạnh BC, CA, AB của tam giác
ABC Khi đó AA', BB', CC' đồng quy khi và
chỉ khi AĐBC CÀ,
A'C B'A C'B
Bạn đọc tự chứng minh (Hướng dẫn: Qua A
kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các
tia BB’ va CC” thứ tự tại M và N Xét các tam giác đồng dạng) N A M C ó nhiều bài toán hình học nếu sử dụng B A’ C
Ta áp dụng định lí Ceva để giải một số bài
toán sau đây
Bài toán 1 Giả sử tam giác ABC có đường
cao AH, đường phân giác CD, đường trung
tuyến BM đồng quy tai I Chứng minh rằng HB BC HC AC’ Lời giải A D M B H C Tam giác ABC có AH, BM, CD đồng quy Theo định lí Ceva ta có HB MG DA - 1 Ộ HC MA DB Ta lại có Mr TT (vì BM là đường trung tuyến) Mà DA _ÁC (Tính chất đường phân giác DB BC của tam giác) HB AC HB BC Suy ra ——.——=1>——=— HC BC HC AC
Bai toan 2 Cho tam giac ABC (AB > BC)
Kẻ đường phân giác BE, đường trung tuyến
BD Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với
BE tại F, cắt AB và BD lần lượt tại K và G Chứng minh rằng GE // BC
Lời giải
A DE C
Vì BF vừa là đường phân giác vừa là đường cao của AKBC nên BF cũng là đường trung tuyến của AKBC, suy ra FC = FK
Ta lại có D là trung điểm của AC nên DF là
đường trung bình của AAKC, suy ra DF // AK
Trang 25Từ (1) và (2) suy ra
GB ED _,_,GB_EC GD EC “GD ED
= GE // BC (theo dinh If Thales dao)
Bài toán 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD và ACE sao cho BA = BD và CA = CE Chứng minh
răng AH, BE, CD đồng quy
Lời giải
A
B H C
Gọi M là giao điểm của AB và CD, N là giao
điểm của AC và BE Theo định lí Thales ta có AM _ AG _ ÂU (JAC//BD) MB BD AB NG _ GE _ AC (JAB//CE) AN AB AB
Vi AABH w ACBA nén AB? =
Vì AACH w ABCA nén AC? =
AB“ BHBC BH AC? CHBC CH
MA HB NC_ AC AB“ AC_
MB “HC NA AB FAC2 AB _
Theo định lí Ceva thì AH, BE, CD đồng quy Bài toán 4 Cho tam giác ABC, trên đường
trung tuyến AD lấy một điểm O Tia CO cắt
AB tại M, tia BO cắt AC tại N Chứng minh rang MN // BC Lời giải BH.BC CH.BC Suy ra Do đó Xét AABC có AD, BN, CM đồng quy tại O MA DB NC MB DC NA Ma BD = DC nén AM CN_ MB NA AM AN Suy ra —— =— > MB NC Thales dao)
Bài toán 5 Cho tam giác ABC, lấy các điểm
M, N và D lần lượt trên các cạnh AB, AC, BC sao cho MN // BC, BD = DC Chứng minh ba
đường thẳng AD, BN, CM đồng quy
Lời giải Xem hình ở bài toán 4
Vi MN // BC, theo dinh li Thales ta có
MA _ NA _ MA DB NC _ DB _
MB NC MB DC NA DC |
Theo định lí Ceva thì AD, BN, CM đồng quy Các bạn hãy giải các bài toán sau nhé
Bài 1 Từ một điểm O nằm trong tam giác ABC, kẻ các đường thẳng MN // AB, EF // BC,
KG // AC (G, E thuộc AB; N, K thuộc BC;
M, F thuộc AC) Chứng minh rằng OE.OM.OK
= OF.ON.OG
Bài 2 Trên ba cạnh AB, BC, CA của tam
giác ABC thứ tự lấy các điểm D, E, F sao cho AE, BF, CD đồng quy tại điểm O Đường
thẳng kể qua O song song với AC cắt các
đường thẳng EF và DF lần lượt tại M và N
Chứng minh rằng OM = ON
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao
AH Trên cạnh AB và AC thứ tự lấy các điểm
M và N sao cho HA là tia phân giác của góc MHN Chứng minh rằng AH, BN, CM đồng
quy
Theo định lí Ceva ta có
Trang 26
‘Sy am
hông có làn nước trong veo, cũng
1 sora chảy róc rách, nhưng van
được gọi là suối Đó chính là Suối
Hồng với dòng nước sánh mịn màu đỏ
cam, không giống bất kì dòng suối nào ở
nước ta Con suối tuyệt đẹp này nằm ở Mũi
Né (Phan Thiết, Bình Thuận) và còn có những tên gọi khác là Suối Tre, Suối Tiên
Gọi là suối nhưng thực ra Suối Hồng là một khe nước nhỏ, chảy len lỏi dưới chân những đổi cát hồng (nhờ thế mà nước suối mới có màu đỏ hồng rất đặc biệt) Dòng
suối chảy nhẹ đến nỗi người lội có cảm giác như nước chỉ vỗ rất êm vào chân
mình Mực nước xâm xấp bàn chân, còn lòng suối là lớp cát màu đồ cam mịn màng,
êm ái Bởi vậy, người lội có thể thoải mái bước chân trần trong lòng suối, thoải mái
cảm nhận sự mát lành, êm dịu ngay cả khi
trên đầu là bầu trời đang nắng chói chang
Phong cảnh bờ suối thì được ví như chốn bồng lai tiên cảnh với vô vàn cột cát, nhũ cát kì lạ, được tạo nên bởi cát, gió và nước
HÀ ĐÔNG
Với màu đỏ nâu đặc trưng, những cột cát, nhũ cát này khiến mọi người cảm thấy như đang đứng trước một công trình kiến trúc
cổ xưa bị quên lãng Một điều hết sức thú
vị là những cột cát, nhũ cát tuyệt đẹp này
lại luôn thay đổi hình dáng tùy theo dòng chảy của nước suối Chính vì thế, mỗi lần đến Suối Hồng là một lần mọi người lại được ngắm nhìn phong cảnh tươi mới Dọc theo suối có nhiều lối dẫn lên đồi cát
Từ trên đổi nhìn xuống, phong cảnh Suối Hồng hiện ra thật kì vĩ Một bên là dừa
xanh bát ngát, một bên là “bức tường ”cát
sừng sững, xen lẫn hai màu trắng xám và
nâu đỏ Muôn vàn cột cát, nhũ cát vươn
thẳng lên trời, lấp lánh dưới ánh nắng vàng rực
Dù chỉ cần khoảng một giờ là có thể lội hết
từ đầu đến cuối Suối Hồng nhưng rất nhiều
người thường dành cả buổi để thỏa sức tận
hưởng cảm giác tuyệt vời khi khám phá chốn bồng lai tiên cảnh có một không hai
Trang 27Bal |
TR Triste, SAI PHAN PHAP TRONG Y TRAI TOAN PHAP NHAT DAC LUC
Toan hoo TA DUY PHƯƠNG (Viện Toán học, Hà Nội),
DOAN THI LE (Bai hoc Thanh Hoa, Đài Loan),
CUNG THỊ KIM THÀNH, PHAN THỊ ÁNH TUYẾT
Giới thiệu
hà toán học Nguyễn Hữu Thận (1757-
N ao tên hiệu là Ý Trai, tự Chân
Nguyên Ông quê làng Đại Hòa, tổng
An Dã, huyện Hải Lăng, phủ Triệu Phong (nay là xã Triệu Đại, huyện Triệu Phong, tỉnh
Quảng Trị) Năm 1786, Nguyễn Hữu Thận ra làm quan cho nhà Tây Sơn, dần thăng lên
chức Hữu thị lang bộ Hộ Năm 1802, Ông ra
làm quan cho triều Gia Long, từng giữ các chức Hộ tào Bắc thành, Thượng thư bộ Hộ,
Thượng thư bộ Lại, Quản lí Khâm thiên giám Tháng 3 năm Kỷ Ty (1809), ông được cử làm Chánh sứ sang nhà Thanh Thời gian ở Yên Kinh (Bắc Kinh), ông chịu khó học hỏi và tìm
mua được nhiều sách quý về lịch số và toán
học Tháng Giêng năm Nhâm Thân (1812),
khi được cử làm Phó quản lý Khâm Thiên
giám sự vụ, Ông đã tau xin lam lich Hiép Ki
thay cho lich Vạn Toàn Lịch Hiệp KỈ đã được dùng cho tới năm 1945 Năm 1828, Ông về
trí sĩ, dốc tâm hoàn thiện quyển sách Ý Trai
toán pháp nhất đắc lục
Theo chúng tơi, Ý Trai tốn pháp nhất đắc
lục ([1], 8: BF 5Ã šš — Fe Bk —- Một điều tâm
đắc về toán của Ý Trai) của Nguyễn Hữu Than (St 4 ‡#) là cuốn sách tốn Hán Nơm dày nhất và có nội dung phong phú nhất trong số 22 cuốn sách tốn Hán Nơm cịn
tìm được đến nay
Phép bình phân (Bình phân pháp) là dạng
toán chia đều: Biết tổng số S (tiền), chia cho
N (người), hỏi mỗi người được nhận bao
nhiêu? Phép sai phân là dạng toán chia theo
tỉ lệ: Biết tổng số S (tiền), chia cho N (người), người thứ ¡ được n, phần, hỏi mỗi người được
bao nhiêu? Hai dạng toán này thường gặp trong thực tế (chia lương, tiền công, phát
lương thực cho quân lính, phân bổ thuế, )
Do đó phép bình phân và phép sai phân là dạng toán bắt buộc trong các kì thi toán ngày
xưa Phép bình phân trong các sách toán Hán Nôm đã được giới thiệu trong [2]
Bài viết này giới thiệu một số bài toán về
Phép sai phân trong Ý Trai toán pháp nhất
đắc lục Chúng tôi kết hợp lời giải của
Nguyễn Hữu Thận với ngôn ngữ hiện đại để trình bày cho dễ hiểu Các dạng toán trong
bài viết được sắp xếp theo thứ tự của các tác
giả
Đơn vị tiền cổ: (theo thứ tự từ trên xuống)
1 quán (quan) = 10 mạch = 600 văn (tiền); 1 mạch (bách) = 60 văn (tiền)
Đơn vị đo khối lượng: (vàng, bạc) 1 hốt (cân) = 10 lượng (lạng); 1 lạng = 10 tiền;
1 tiền = 10 phân; 1 phân = 10 li; 1 li = 10 hào
Dạng 1 Chia theo tỉ lệ
Bài 1.1 Nay có số tiền 18 quán 1 mạch 32
văn, chia cho 36 người và một người nhận
một nửa Hỏi mỗi người được nhận bao
nhiêu?
Giải Đổi đơn vị: 18 quán 1 mạch 32 văn
= 18 x 600 + 1 x 60 + 32 = 10892 văn
Gọi x là số tiền (văn) người thứ 37 được
nhận Mỗi người trong số 36 người nhận 2x
văn
Theo bài ra ta có: 36 x 2x + x = 10892
= 73x = 10892 => x = 149 thừa 15 văn
Vậy mỗi người trong số 36 người nhận 298
văn, người thứ 37 nhận 149 văn, thừa 15 văn Ghi chú Phần lớn các bài toán sai phân
trong Ý Trai toán pháp nhất đắc lục chỉ thực
hiện phép chia nguyên (để lại phần dư không
chia nhỏ nữa)
Bài 1.2 Có số tiền là 3 quán 1 mạch 15 văn, chia cho 30 người, trong đó có một người
nhận được 4 phần 7 Hỏi mỗi người được
nhận bao nhiêu?
Giải Đổi 3 quán 1 mạch 15 văn = 1875 văn
Một người nhận 4x văn, thì 29 người nhận 7x văn
Trang 28Ta có: 29 x 7x + 4x = 1875 207x = 1875 © x=9 văn dư 12 văn
Vậy mỗi người nhận 63 văn, người cuối cùng
nhận 36 văn
Bài 4.3 Có số tiền 7 quán 2 mạch, chia cho
50 người, trong đó 10 người nhận bằng nửa những người khác Hỏi mỗi người nhận được
bao nhiêu?
Giải 7 quán 2 mạch = 4320 văn Gọi số tiền
của mỗi người nhận một nửa là x Theo bài ra ta có
40 x 2x + 10x = 4320 90x = 4320 = x= 48
Đáp số: 40 người, mỗi người nhận 96 văn; 10 người, mỗi người nhận 48 văn
Bài 1.4 Số tiền 25 quán 1 mạch 30 văn, chia
cho 249 người, trong đó có 17 người nhận
bằng š người khác Hỏi mỗi người nhận bao
nhiêu?
Giải Đổi 25 quán 1 mạch 30 văn = 15090
văn
Gọi số tiền của mỗi người nhận đủ là 7x Số tiền những người còn lại nhận là 3x
Ta có 232 x 7x + 17 x 3x = 15090 => x=9 du
15 van
Vậy mỗi người nhận 7 x 9 = 63 van 17 người, mỗi người được nhận 27 văn, dư 15 văn Dạng 2 Chia theo tỉ lệ cấp số cộng
Tuy chưa sử dụng khái niệm và thuật ngữ
cấp số cộng (dãy số có số hạng sau bằng số
hạng trước cộng với một số không đổi, được
gọi là công sai, kí hiệu là d), nhưng dưới đây
thực chất là các bài toán về chia theo tỈ lệ cấp số cộng
Bài 2.1 Có số bạc 176 lượng, chia cho 8 người, từ trên xuống dưới, muốn mỗi người chênh nhau 4 lượng Hỏi mỗi người được
nhận bao nhiêu?
Giải Gọi số bạc người được nhận ít nhất là x Những người tiếp theo sẽ nhận được là x + 4n, n=1,2, , 7 Tổng số bạc là: x+(x+4)+ +(xX+28) =8x + 112 = 176 Suy ra x = 8 lượng Những người tiếp theo nhận tương ứng 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 lượng
Bai 2.2 Có một thiên sách, cộng lại được 3900 chữ, một người chép 12 ngày thì xong
Số chữ người đó viết được trong mỗi ngày chênh nhau 30 chữ Hỏi mỗi ngày, người đó viết được bao nhiêu chữ?
Giải Gọi số chữ ngày đầu tiên chép là x
Những ngày tiếp theo sẽ chép được x + 30n chữ (n =1, 2, , 11) Sau 12 ngày chép được: x+(x+30) + + (x+ 11x30) = 12x + 1980 = 3900 Suy ra x = 160 chữ Số chữ mỗi ngày chép được là: 160, 190, 220, 250, 280, 310, 340, 370, 400, 430, 460, 490 chữ
Bài 2.3 Nay có 768 đĩnh bạc, chia đều cho hai nhóm gồm 12 người, nhóm Thượng 4 người, nhóm Hạ 8 người Hỏi mỗi người được bao nhiêu, biết mỗi người chênh nhau cùng số bạc Giải Vì chia đều số bạc cho hai nhóm nên mỗi nhóm được nhận 384 đĩnh Gọi số bạc người được nhận ít nhất là x và số bạc chênh lệch là t Những người tiếp theo sẽ được nhận là x + nị, n=1,2, , 11 Tổng số bạc nhóm Hạ là: X+(X+t)+ + (K+ 7t) = 8x + 28t Tổng số bạc nhóm Thượng được nhận là: (x+ 89 + x+ 9) + (x+ 109 + (x + 11t) = 4x + 38t Theo bài ra ta có hệ phương trình Bx + 28t= 384 _ 2x+7t=96 4x + 38t = 384 2x +19t = 192 <©t=8,x=20 Vậy số bạc mỗi người được nhận lần lượt là: 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100 (đính bac) Tài liệu trích dẫn [1] Bt 4 f†# Nguyễn Hữu Thận, # 7# HB we — 4% #4 Ý trai toán pháp nhất đắc lục (1829), Thư
viện Hán Nôm: A.1336; VHv.1184; A 982; A.1336/a
[2] A Volkov, Didactical Dimensions of Mathematical Problems: Weighted Distribution
in a Vietnames Mathematical Treatise, in: Alain
Bernard, Christine Proust (Editors), Scientific Sources and Teaching Contexts Throughout
History: Problems and Perspectives, Springer,
2014, Chapter 10, pp 247-271
Trang 29số chính phương ¿ Bài 34NS Tìm các số nguyên n sao cho n* — 2016n + 1016067 là CAO NGỌC TOẢN (GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế) NGUYỄN VĂN XÁ
(GV THPT Yên Phong số 2, Yên Phong, Bắc Ninh)
Bài 33NS Trên đường tròn cho 21 điểm được tô bởi một trong bốn màu: đỏ, xanh, vàng, cam
(mỗi điểm một màu) Mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong 21 điểm đã cho được tô màu tím hoặc
đen (mỗi đoạn thẳng một màu) Chứng minh rằng với mọi cách tô màu ta luôn chọn được hai tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu NGUYỄN ĐỨC TẤN (TP Hồ Chí Minh) AGED (TTT2 số 180+181) Bài 25NS Ta có fx) = ax? + bx + c với a, b, ce Z {(2) = 4a + 2b+c=3, f(3) = => 5a+b=5 >b=5-D5a Do đó f(2016) - f(2014) = 8050a + 10 có tận cùng là 0
Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Hoàng
Thị Yến Nhi, 7A3, Phạm Minh Hải, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Vũ Huyền Trang, 8H, THCS Văn
Lang, TP Viét Tri, Pha Tho; Phan Khanh
Huyền, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh, Phạm Minh Thư, 8A, THCS
Thị trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang
Bài 26NS Ta có xÊ + yˆ + zÊ = † = x? <1, yˆ <1, z2 <1 >x2-1,y2-1,z2-1 => (1+ x)(1+ y)(1+ z) 20 >14+x+y+zZ+xy+yz+zx+xyz20 (1) 9a+3b+c=8 8060a + 2b = Ta lại có (1+x+y+z)ˆ >0 —=1+Xˆ+yˆ2+z2+2x+2y+2z + 2xy + 2yz +2Zx>0 =>Í1+X+Y+Z+Xy+yZz+Zx>0 (Vì x + yˆ + z? =1) (2) Từ (1), (2) suy ra P>0 Dang thức xảy ra khi (x;y;Z)e {(—1,0;0);(0;—1;0);(0;0;—1)} Vậy minP = 0 Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Phạm Minh Hải, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1,
THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
Bài 27NS Do sơ suất nên tòa soạn đăng
thiếu nội dung trong đề bài Mong bạn đọc
thông cảm Câu cuối cùng đúng là: Chứng
minh rằng đường thẳng vuông góc với HK tại
K luôn đi qua điểm cố định
A
B N D C
Gọi D, I lần lượt là trung điểm của BC, MN
Vì AABC vuông tại A, €=309 nên 8= 609
Do đó ABMN đều — HI L MN, HNI = 300,
y= TN 2
Ta lại có IK là đường trung bình của ANAM_ ES%”
Trang 30Pitter patter rain drops
Falling from the sky Here’s my umbrella Hold it high! When the rain is over then grow, grow, grow! APRIL SHOWERS
Đây là một bài thơ rất dễ thương về tháng tư tươi đẹp Ngay ở câu đầu tiên, bạn đã bắt gặp từ lay Piffer pafter Bạn có biết cách viết khác của từ này không? Hãy viết 02 câu tiếng
and the sun begins to glow Anh có sử dụng từ láy này nhé! Little flowers start to bud Phần thưởng đang chờ bạn đấy! Chủ Vườn
xcœme NEW YEAR WISHES (TTT2 số 180+181)
Chủ Vườn rất phấn khởi vì đã nhận được
khá nhiều lời chúc năm mới Mặc dù một số bạn còn mắc lỗi chính tả, hoặc sai chút chút
về ngữ pháp nhưng Chủ Vườn vẫn hết sức
vui mừng Xin chia sẻ với các bạn một vài lời
chúc mà Chủ vườn nhận được nhé:
v Wishing for a year that everyone will
accomplish all the dreams and plans for this year Happy New Year!
wv Maybe your work in the previous year bring you some bad luck But don’t worry, may the coming year bring more good luck to you than last year Happy New Year!
v Please always remember: Family is a precious thing and the New Year is time of family gathering So have a Happy New
Year with your family!
v Tomorrow is the first blank page of a 365-
page book Write a good one!
œœr Phần thưởng kì này sẽ được gửi tới
— những bạn sau: Nguyễn Chí Công, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ; Nguyễn Phương Linh, 6A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Trương
Quang Mạnh, 7D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
Chủ Vườn = 1K AM, 1K =" ON jgA=BD,BM= SuyraX-.Í_Í KRi=BHN 2 2 HD HN 2
BN = AM=DN) Vì AKHD có HD =2HK, KHD =IHN = 60°
Vi IK // AM = KIM = BMN = 60° nén nên AKHD là nửa tam giác đều
Do đó KD L KH
HIK =HND = 1500 Hl KI Vậy khi M di động trên đoạn AB, đường thẳng An LH BH at th BA se td
Xét AHIK va AHND cé ——-=—-, HIK=HND vuông góc với HK tại K luôn đi qua điểm cố
HN DN định D
Trang 31
Nhân Ngày Trái Đất 22/4 - EARTH DAY 22 April
MOI PHUT TREN TRAI DAT PHAN HUONG (Theo aif.by va nat-geo.ru) ạn thường nghĩ 1 phút chả có ý nghĩa
Re đúng không? Một vài con số thú vị
về những gì diễn ra trên Trái Đất trong
vòng 1 phút có thể sẽ khiến bạn thay đổi
cách nghĩ Hãy trân quý Trái Đất - ngôi nhà
chung của chúng ta và hãy quý trọng từng phút trong cuộc đời, bạn nhé! Theo ước tính của các nhà khoa học thì trong 1 phút, trên Trái Đất có: e 6000 tia sét s 5 trận động đất e 2 468 177 kg rac thai e 6 206 232 kg khi carbon bi thai vao khi quyén e Hon 100 ngàn tấn rác bị vứt xuống biển s Gần 20 ngàn héc ta rừng bị phá s 28 500 cây xanh bị chặt
s 960 triệu tấn nước bốc thành hơi
s Diện tích sa mạc rộng thêm gần 50 hecta,
tương đương 500 ngàn nỉ
arth Day» s Dân số tăng thêm khoảng 150 người
s 58 chiếc máy bay lượn trên bầu trời
e 6 triệu phản ứng hóa học diễn ra trong từng
tế bào của cơ thể người
s Trái tim người đập hơn 60 nhịp e Chim ưng bay 5 km
s Chim ruồi đập cánh 4000 lần
se Con báo chạy 5 km
s Mỗi người nháy mắt 12 lần
s Hơn 2 triệu lượt tìm kiếm trên Google
Trang 32_ DE THI
CAU LAC BO TTT
NGUYEN DUC TAN
DUONG THU TRANG (dich)
Ki 16
CLB1 Find prime numbers p, g, r such that
pq - 2ˆ = 4
CLB2 Let a, b, c be a real numbers such
that (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc Find the (a+b+ c)2917 a2017 „ p2017 „ „2017 al value of M = CLB3 Find positive integer n such that: (1-F\-4) 2 )-3e 2:3), 3-4 n-(n+1)) 6045" CLB4 Let ABC be a triangle (BC = a, AC = b, AB = c) such that ab +1_ bc+1_ ca +1 Cc a and abc # 1 Prove that ABC is a equilateral triangle
CLB5 Let ABCD be a square E is inside
ABCD such that ZAEC =140° DEF be an
isosceles right triangle with ZEDF =90° (E and F is on two opposite sides with CD)
Find the measure of angle ECF @e2@2020200000000000000000080808080 AGATTED Ki ' 4 (TTT2 số 180+181) CLB1 Ta có P(1963) + P( 1963) = (20a.1963" + b.1963 + 2018) + (-20a.1963" — 6.1963 + 2018) = 4036 Ma P(1963) = 2017 Do d6 2017 + P(-1963) = 4036 Vay P(-1963) = 2019 CLB2 Tacda+b+c=0 => (a+b)? = (-c)* —= a? + b?- c2 =-2ab Tương tự aZ + c? — b* = —2ac (b2 _¢2 y2 — a4 4 a4 (b2 _ c2) a4 (b2 c2) = a" — (a? —b* + c?)(a? +b? — c2) at a? =—_* 4= -1 (-2ab)(-2ac) 4abc Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các đẳng thức nhận được ta có 3,63, ¬3 Meath +e 4 4abc Ta lại có a+b+c=0, suy ra 8Ÿ + b + cẰ= 3abc Vậy M=Š-3=-Š 4 4 CLB3 Ta cé 100° <A < 100! + 100 + 100 + + 10059, Suy ra 10209 < A < 10101 0100 LE 201 chữ số
Vậy A là số có 201 chữ số và hai chữ số đầu
tiên bên trái của A là 10 CLB4 Ta c6 2M = 2(a + 8)(b + 8) - 2cd = Zab + 16a+ 16b + 128 — 2cd = (a2 + bˆ + 8ˆ + 2ab + 16a + 16b) + (c?+ dˆ — 2cd) - 2018 - 8ˆ + 128 =(a+b+ 8) + (c - d)” - 1954 > —1954 Đẳng thức xảy ra khi a + b + 8 =0 và c— d=0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là —977 khi chẳng han a=0, b =-8, c=977, d= 977 CLB5 N A B H C Gọi I là giao điểm của AH va DE Ta có ADHE là hình chữ nhật Suy ra AD = HE, AE = HD, AH = DE, IA=I1H = ID = IE Ta lại có N= nén n= DE Do đó tam giác NDE vuông tại N Vậy DNE = 900 b) Theo định lí Pythagoras ta có AB + AC? = BC”; BD? + HD? = BH’; CE? + HE? = CH?
= (AD + BD)? + (AE + CE)? = (BH + CH)?
© (BD? + AE?) + (AD? + CE?) + 2(AD.BD +
AE.CE) = BH? + CH? + 2BH.CH Do đó AD.BD + AE.CE = BH.CH
9z: Nhận xét Kì này chỉ có bạn Phạm
=====- Minh Thư, 8A, THCS Thị trấn Neo,
Yên Dũng, Bắc Giang có lời giải tốt được
nhận thưởng
Trang 33
Hỏi: Anh Phó Gỡ ơi! Em rất thích tháng tư -
tháng giao mùa giữa Xuân và Hạ Hết âm u,
ẩm ướt nhưng chưa nắng nóng chói chang
Anh có điều gì chúc chúng em trong tháng tư rất đẹp này không? PHAM HÀ THU (THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp: Tháng tư ư? Chúc không hư Hoc that cu Không béo bự Đừng do dự Cứ viết thư Bận bỏ xử Nhưng anh cứ Trả lời thư Vui tháng tưi
Hoi: Mùa này em rất hay bị viêm họng Mỗi
lần bị thế là ho, sốt, đau đầu Mặc dù em đã
cố gắng giữ gìn sức khỏe, nhưng hic hic có vẻ như căn bệnh này chả chịu buông tha
em Anh có mẹo gì giúp em không?
TRẦN ĐỨC KIÊN
(THCS Trần Đăng Ninh, TP Thanh Hóa,
Thanh Hóa)
Đáp: Hì hì Dù không phải là bác sĩ nhưng
anh cũng có thể bắt bệnh cho em ngay Có
phải là sau lúc nô đùa, chạy nhảy hay đạp xe, đi bộ, khi mồ hôi đang nhễ nhại, em thường
uống nước lạnh, ăn kem, ngồi sát vào quạt hoặc bật ngay máy lạnh, đúng không? Nếu
đúng như vậy thì bọn vi khuẩn gây viêm họng
luôn “hoan hô” em đấy Bọn này thường
xuyên ẩn trốn trong mũi, họng của chúng ta
va chúng chỉ chờ được gặp lạnh là “quay tung bừng” Anh chỉ nói thế là em tự biết cần phải làm gì để lũ vi khuẩn đáng ghét đó không có
cơ hội “bung lụa” rồi chứ?
Hỏi: Anh ơi! Em rất muốn viết bài cộng tác
với chuyên mục Phá án cùng thám tử Sêlôccôc, nhưng em cứ thấy “lăn tăn”: Nhỡ
thám tử chê cười vì em viết dở? Nhỡ thám tử khó chịu vì em chữ xấu? Mà biết đâu thám tử
không thèm đọc bài của em?
Một bạn giâu tên (THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An) Đáp: Nếu thường xuyên theo dõi chuyên mục
của thám tử Sêlôccôc thì em sẽ thấy: Hầu hết các bài viết đều do các “thám tử nhí” cùng tuổi em “sáng tác” Thám tử Sêlôccôc chỉ sửa sang, biên tập, hay nói cách khác là ông chỉ
“nâng” bài của các em lên 1, 2 level thôi Làm
việc lâu năm cùng thám tử Sêlôccôc nên anh
biết rất rõ: Ông luôn khuyến khích các em tự
Tra để, vì ông hiểu làm _ Z
như vậy là giúp các : PHIẾU
biểu bi, trau dối ir | DANG Kt Sy a 7 | THAM DU :
nang viet, nang cao kha: ~ 3
năng phán đoán và đặc : CUỘC THỊ 5
biệt nhất là được nhận =; GTQT - NHUAN BUT, he he!!! : NĂM HỌC :
ANH PHO G6: 2017-2018 :
Trang 343
=q@ớ%
CÁC LỚP 6 & 7
Bài 1(183) Với mỗi số nguyên dương a, kí hiệu S(a) là tổng tất cả các chữ số của số a Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(4020n) với n là số nguyên dương NGUYÊN HẠ HÀ UYÊN (TP Hồ Chí Minh)
Bai 2(183) Cho tam giac ABC
với AB < AC, đường cao AH, trung tuyến AM Biết rằng BAH = HAM = MAC Chứng minh rằng
tam giác ABC là tam giác vuông LẠI QUANG THỌ (Phòng GD - ĐT Tam Dương, Vĩnh Phúc) CÁC LỚP THCS Bài 3(183) Giải hệ phương trình: vee +/8-x+y =23 3/8—-x+y-2./38+6x- 13y =5 THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa,
Cam Ranh, Khanh Hoa)
Bài 4(483) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng 2 12 „2 yee 2 (ve +b? +Vb? +02 +c? +a?) b ca 42 Đẳng thức xảy ra khi nào? CAO MINH QUANG }—€ }€
(GV THCS chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long)
Bài 5(483) Hai người chơi OQ C) (2) hai quân cờ S (sói) và T
(thổ) trên một bàn cờ như
trong hình vẽ Người A luôn ) (
dùng quân S, người B luôn G ) dùng quân T Môi bước đi
được đẩy một quân cờ ở một 3 C
đỉnh ô vuông của bàn cờ C ) theo cạnh của ô vuông đến
đỉnh ô vuông gần nhất Bắt (1) C €@ đầu là người A đẩy quân cờ
S đi một bước, sau đó lần lượt đến người B đẩy
quân cờ T một bước và cứ
lần lượt như thế Người A
, “+4, thắng nếu sau không quá
7 PHIEU > 20 bước quân cờ S gap
' ĐĂNG KÍ ' được quân cờ T tại cùng q : mét 6 Hdi rang A thang hay 3 THAM DU : không nếu: |
: CUỘC THỊ ' a) S bắt đầu ở ô 1, còn T
: - _ bắt đầu ở ô 2
; GTQT = bys bat déu ở õ 1, còn T
: NĂM HOC : bắt đầu ở ô 3
: 2017-2048 ' VŨ ĐÌNH HÒA
(GV Đại học Sư phạm Hà Nội)
Bài 6(483) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tam | Goi D là tiếp điểm của (I) và BC Đường thẳng qua D vuông góc với AD cắt IB, IC theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng tam giác
AMN cân tại A -
NGUYÊN MINH HÀ
(GV trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội)
SOT) MN aN (h
COMPETITION QUESTIONS
Translated by Trang Duong Thu
1(183) For each positive integer a, we denote
S(a) as the sum of the digits of a Find the
minimum value of S(4020n) in which n is a positive integer
2(183) Let ABC be a triangle with AB < AC The
altitude is AH and the median of triangle is AM If ZBAH = ZHAM = ZMAC, prove that ABC is a right triangle 3(183) Solve the following system of equations : 4,/3x+4y+/8-x+y =23 3./8 -x+y —2,/38 + 6x -—13y =5 4(183) Let a,b,c be a positive real numbers, }€ }€ prove that: Se > (Ve? +b? +b? +c? +e? ra) b ca 42
What is the condition for the equality?
board game with chessman Wolf (W) and chessman Rabbit (R) in a board as in
@—O—O
always use W, player B
always use R In each step, ) (
the player can move the C )
chessman at the vertex of
1
side to the closet square’s J - - first and then player B moves his chessman turn by turn Player A will win the game if W caught R at the same vertex after not more than 20 steps a) W starts at vertex 1 and 7 starts at vertex 2 b) W starts at vertex 1 and 7 starts at vertex 3 6(183) Let ABC be a triangle circumscribed The line passing through D and perpendicular to AD intersects /B, IC at M and N respectively Prove that triangle AMN is an isosceles triangle
2 p2 c2 4
5(183) Two friends play a S S 2
the picture below Player A
the square following by its
vertex Player A moves his chessman one step
Could player A win the game if:
circle (/) D is the point of tangency of (/) and BC
Trang 35TRUONGSTRUNG|HOCICOISONGUYENGTRUONGHTO
HH wrm ~ | — Truéng THCS Nguyén
ee aera lai how a ae ; rc Trường Tộ ở quận Đống ` xv ` nt `
_ một ngôi trường không chỉ 1) by cà Ho a có cái tên 'ấn tượng"!
Danh nhân Nguyễn
Trường Tộ là một trong những "nha cải cách lớn”,
'nhà thiết kế vĩ đại" của Việt Nam ở thế kỉ XIX
Sống ở thời điểm giáo dục
nước nhà còn 'máy móc,
ông lại có cơ hội được đi
học tập và tận mắt chứng kiến những thành tựu của
người phương Tây, nên ông đã mạnh dạn đề xuất 'Xin sửa đổi học thuật, chú trọng thực dụng" Với trí tuệ sáng suốt, tầm nhìn vượt thời đại, ông khẳng định: "Học là phải làm hơn điều sách đã dạy, thầy đã chỉ
Chính vì vậy, được xây dựng từ năm 1996, trải qua hơn 20 năm phát triển, các thế hệ giáo viên và học sinh trường THÉS Nguyễn Trường Tộ luôn tự hào về ngôi trường mang tên một danh nhân lỗi lạc Từ khi thành lập
đến nay, trường liên tục đạt thành tích đơn vị xuất sắc của Thành phố, được Nhà nước tặng Huân chương Lao
động hạng Nhì và Bằng khen của Thủ tướng Chính phủ
Về công tác dạy và học, hàng năm học sinh nhà trường luôn đạt hơn 90% giỏi và tiên tiến, 98% học sinh
xếp loại hạnh kiểm Tốt Kết quả thi Toán và Văn trong kì thi vào lớp 10 của trường luôn xếp thứ 1 trong quận
Đặc biệt, trường THS Nguyễn Trường Tộ luôn là lá cờ đầu trong công tác đào tạo học sinh giỏi các mơn văn hố của quận, của thành phố Từ năm học 2013 - 2014 với các cuộc thi liên mơn, qua mạng, thi Tốn, Tiếng
Anh trường năm nào cũng có thành tích ở giải quốc gia và quốc tế
Để đạt được những thành tích đáng tự hào đó, nhà trường luôn chú trọng đổi mới việc dạy và học, thường xuyên tổ chức các 0âu lạc bộ, các cuộc thi Olympic cấp trường từ lớp 6 để các em được thỏa sức phát huy sáng
tạo Bên cạnh đó, nhiều hoạt động nhằm giáo dục toàn diện học sinh cũng rất được nhà trường coi trọng
Trong bể dày truyền thống ấy, làm nên thương hiệu 'Thầẩy dạy tốt - Trò học tốt' không thể không kể đến đội
tuyển Toán - đội ngũ giàu thành tích nhất của trường Năm học 2013-2014 trường có 5 giải quốc gia; năm học
2015-2016, trong cuộc thi Toán quốc tế lần thứ 37, có 4 giải Nhì, 3 giải Ba; năm 2016-2017, tại cuộc thi Toán quốc tế Úc, đạt 15 giải, dành giải cao tại các cuộc thi Toán quốc tế Mỹ, Malaysia, IMG, Lập trình Wecode 2016
Đặc biệt, ngày 28/3/2018 vừa qua, tại cuộc thi Toán học Hà Nội mở rộng (HOM©) lần thứ 15, với sự tham gia
của 23 tỉnh thành trên cả nước và 8 đoàn quốc tế, học sinh trường THCS Nguyễn Trường Tộ đã xuất sắc giành 5/6 huy chương của đội tuyển Toán quận Đống Đa (3 Vàng: Nguyễn Thiện Hải An, Vũ Minh Châu, Trần Vương Hưng; 1 Bạc: Trần Đắc Nhật Anh; 1 Đồng: Phạm Đức Trung; đều là học sinh lớp 8Aạ), giúp đội nhà vươn lên chiếm giải Nhất đồng đội lứa tuổi Junior Bảng B trong cuộc thi Trong cuộc thi tìm kiếm tài năng Toán học trẻ
2018, nhà trường giành được 3 Huy chương Bạc, 1 Huy chương Đồng Thành tích này khẳng định vị trí của trường
trên "Bầu trời Toán học" Thủ đô
Với các bạn học sinh say mê mơn Tốn, từ lâu tạp chí Toán Tuổi thơ đã là một ấn phẩm được yêu thích, là cầu nối đến với các bạn nhỏ trên cả nước, giúp các em có nhiều cơ hội thử thách và tỏa sáng Hi vọng Tạp chí sẽ tiếp tục đồng hành cùng nhà trường phát hiện và bồi dưỡng những tài năng Toán học trong tương lai
Hội đồng sư phạm trường THCS Nguyễn Trường Tộ
PV
Dành cho giáo viên, phụ huynh và trẻ em từ 12 tuổi đến dưới 16 tuổi
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin Mã số: 8BTT183M18 In tại: Công ty cổ phần in Cơng Đồn Việt Nam, 167 Tây Sơn, Đống Đa, Hà Nội In xong và nộp lưu chiểu tháng 04 năm 2018