Đang tải... (xem toàn văn)
So 152 Final pdf
ISSN = ae (vet ni ‘ * sứ oe as eile fe “ st h TA: BS 1859-2740 B _ I9655 2015 50 nam cac Idp Toan dac biệt (chuyên t0an) ee CHỊU: TRÁCH NHIỆM3 XUẤT BẢN Children Mathss Fun ST an tauNa noc co 86 Journal Chi tich Héi déng Thanh vién MAC VAN THIEN NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO _‘ Téng Giam déc kiém Téng bién tap GS.TS VO VAN HUNG HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP Tổng biên tập: ThS VŨ KIM THỦY — TRONG SỐ NÀY Dành cho học sỉnh lớp & ỦY VIÊN _ NGND VŨ HỮU BÌNH TS GIANG wud BINH a TS TRẤN ĐÌNH CHÂU ; ma dsp nig? Sử dụng nguyên li Dirichlet dé giai bai toan + ` chia hetlop va Tạ Minh Hiếu GIẢI oán ake? TS NGUYEN Một man MINH ĐỨC ThS NGUYEN ANH DUNG TS NGUYEN MINH HA PGS TS LE QUOC HAN PGS TSKH VU DINH HOA TS NGUYỄN ĐỨC HOÀNG ThS NGUYỄN VŨ LOAN eo NGUYÊN uC TAN PGS TS TON THAN Học saof Giải toán thể nao’ sé ki thuat bién có chứa Do tri thong minh Tr On tap cung ban Tr Điền số đây? Phan Trần Hướng mon, Phânan tíchIC đa thứcthực thànhthanh ThS HỒ QUANG VINH Có chắn khơng? nhân tỉtự nhân Com pa vui tính Tr 15 Phạm Tuấn Khải Phá án thám tử Sêlôccôc Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, quận Thanh Xuân, Hà Nội Điện thoại (Tel): 04.35682701 Điện (Fax): 04.35682702 Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn thức Pham Trung Kiên Phung Kim Dung TÒA SOẠN biéu can bac hai TRƯƠNG CÔNG THÀNH PHAM VAN TRONG doi Zz ĐẠI DIỆN TẠI MIỄN NAM NGUYỄN VIẾT XUÂN 55/12 Trần Đình Xu, P Cầu Kho, Q.1, TP HCM DT: 08.66821199, DD: 0973 308199 - Biên tap: NGUYEN NGQC HAN, PHAN HUGNG Trị sự- Phát hành: TRỊNH THỊ TUYET TRANG, z VŨ ANH THƯ, NGUYÊN HUYỀN THANH Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN Mĩ thuật: TÚ ÂN Ai nói dối? Vũ Mai Phương nw nw gaa? „ Den voi tieng Han 16 Tr 18 Bài 64: Bạn đến Bắc Kinh chưa”? Nguyén Vũ Loan Dành cho nhà toan hoc nho 22— Ngun lí Dirichlet tốn liên quan Nguyễn Minh Tuấn ˆ a ok , Cau lac ĐỘ de hay kho oe Phương trình tốn học song Vũ Kim Thủy Trường Olympic ^^ Các cột số km Bình Đ Hà a4 _ Anh bìa 1: Phan Ngọc Quang HiẾ2: PET TẠ MINH HIẾU (GV THCS e Nguyên lí Dirichlet * Nếu nhốt thỏ vào lồng tồn lồng chứa ba thỏ * Nếu để m đồ vật vào n ngăn kéo (m > n) tồn ngăn kéo chứa hai đồ vật Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc) b) Có 1008 số, mà số lễ b nhận nhiều 1007 giá trị từ đến 2013 Do theo ngun lí Dirichlet tổn hai số có giá trị b bang Chang han a, = 2™.b a, =2".b (m2n), a : Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho 112 số tự nhiên khác có ba chữ số Chứng minh tồn hai số có hiệu số có ba chữ số giống Lời giải Lấy 112 số tự nhiên khác cho chia cho 111 ta 112 số dư Mà số tự nhiên chia cho 111 có 111 khả dư 0, 1, 2, , 110 Do theo ngun lí Dirichlet tồn hai số số dư chia cho 111 Hiệu chúng số chia hết cho 111 Suy đpcm e Chú ý Trong toán số đồ vật 112 số dư số ngăn kéo 111 kha nang du Ví dụ Chứng minh tồn bội số 2013 gồm toàn chữ số Lời giải Xét 2014 số 1, 11, 111, , 111 2014 Ví dụ Có thể tim số có dạng 201420142014 2014000 000 chia hết cho 2015 hay không? Lời giải Xét 2016 số hạng sau 2014, 20142014, 201420142014, ., 2014 2014 Chia số amas 2016 lần 2014 cho 2015 ta 2016 số dư Mà số tự nhiên chia cho 2015 có 2015 khả dư 0, 1, 2, , 2014 Do theo nguyên lí Dirichlet thi tổn hai số số dư chia cho 2015 Hiệu chúng có dạng chia hết cho 2015 201420142014 2014000 000 Ví dụ Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 13* tan cling bang 001 L&i giai Xét 1001 sé 13, 132, 13%, , 131007 Lay Lấy 2014 số chia cho 2013 ta 2014 số dư số chia cho 1000 ta 1001 số dư Mà 2013 khả dư 0, 1, 2, , 2012 Do theo kha dư 0, 1, 2, , 999 Do theo ngun lí Dirichlet tồn hai số số dư chia cho Mà mộit số tự nhiên chia cho 2013 có ngun lí Dirichlet tồn hai số số dư chia cho 2013 Giả sử hai số 111 ~ “’ 111 111 (1 sn x+y = yy? +2016 —Vx2 +2016 (1) Bình phương hai vế để làm dấu Ví dụ Chứng số Tương tự ta có nghiệm phương trình x — 16x2 + 32 = Lời giải Ta có = 2+ V3 +3(2—-V3) + 2,/3(4—3) =8 = 64-— 16X§ + xả = 32 = Xổ - 16x§ + 32 = = \(V2015 -1)? — (/2015 +1) Xo = 2+ 2+ _ 6-324 V3 x+y =Vx2 +2016- Jy? +2016 (2) Cộng theo vế (1) (2) ta 2(x + y ) = 0, SUY X = —Y 3) Do P = x2015 + y015 + 2016(x + y) + = x201Š + (_—x)29†Š + 2016.0 + = © x-9=0 (Vì x>-—7 nên 1 + Ví dụ Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện Ÿ(x-8)^+Ÿx-8+1 xx+3 -y3 =vy+3 -XỶ © x=9 Tìm giá trị lớn biểu thức Vậy phương trình có nghiệm x = Lời giai DKXD x > -3 ; y>-3 Bài Rút gọn e Néu x = y = -3 thi P = (-3)?— 3(-3)(-3) + 6(-3)— (-3)? + 2013 = 1968 e Nếu x>-—3; y >—3 x, y không déng théi bang -3 Ta có dx+8 -yê =ýy+8 —xể e 4, 2 y+Y“) +XV+ =0 ©x-y=ƯƠx=y 42+2+v3 +xy+y^ >0 Do P = x2 - 3xy + 6x — yˆ + 2013 = -3x2 + 6x + 2013 = -3(x2 - 2x+ 1) + 2016 = 2016 — 3(x — 1) < 2016 Dấu xảy x = y = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy MaxP = 2016 x = y = Ví dụ Giải phương trình Ÿx—8+.x+7 +x3—8x^—8x—14 =0 Lời giải ĐKXĐ x > -7 Phương trình tương đương với © (Đx-8-—1)+(\x+7 -4) + x? — 8x? -8x-9=0 x-9 /2-/2-v3 Bài Cho x=42+v3 — ` 10 V3 +1 + x-9 ÑŸ(x—8)?+Ÿx-8+1 VXx+7+4 +(x—9)(xÊ+x+1)=0 & (x-9)( Ñ(x—8)2 +Ÿx—8 +1 +——————+X“+X+†f?)=0 VX+7+4 1)2015, Bài So sánh (khơng dùng máy tính) = 2016-2015 B= 2015 - v2014 Bài So sánh A-23-2/19 B = A27 ee ee —————'xˆ VX+3 ws 2-3 Bài Chứng minh eye > 2t43 , 2_—2x_— A= (x* + X°—xX (x— y)(x2 +Xy+y^)= (x (x-— y)(— Xauardvi3 Tính giá trị biểu thức x? -y3)=0 " (thỏa mãn ĐKXĐ) Bài tập P = x? — 3xy + 6x — y* + 2013 — Vx+7+4 +xX°+x+1>0) 2/1 3V2 43 +———‹2 2016/2015 ĐIỀN SỐ NÀO ĐÂY? no Bạn điền số thích hợp vào dấu hỏi cho hợp lôgïc Nhớ quan sát thật kĩ mũi tên để tìm quy luật nhé! (46) 52 | 8) | d3) (55) © (2) 4@ @2 PHAN TRẦN HƯỚNG (HS lớp 10 toán 1, THPT chuyên Quốc học Huế, Thừa Thiên - Huế) Ey VI TRI VA DUONG DI cress 1494150) Nhận xét Hầu hết bạn tham gia gửi đường 400 m để lều Vậy tổng cho bác thợ săn theo ba cạnh tam quãng đường mà bac tho san da di la 2000 m ese Xin trao thưởng cho bạn: Lê =—=====-< Thu Trang 9D, THCS Lý Tự Trọng, giác vng ba cạnh hình chữ nhật, dẫn đến đáp số sai Kết Chiếc lều bác thợ săn cực Nam Trái Đất Bác thợ săn lên Bắc 40 m dọc theo kinh tuyến, sang Đông 1200 m dọc theo vĩ tuyến, sau vị trí phía phía Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Huỳnh Phương, 9D8, THCS Nguyễn Quảng Ngãi, Quảng Ngãi phía Nam dọc theo kinh tuyến với quãng 5) Phạm Mai Nghiêm, TP NGUYEN XUAN BÌNH PHAN TICH DA THUC THANH NHAN TU ThS PHUNG KIM DUNG (Tổ trưởng tổ toán trường THPT Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường xuyên sử dụng: e Phương pháp đặt nhân tử chung e Phương pháp dùng đẳng thức e Phương pháp nhóm hạng tử e Phương pháp tách thêm bớt hạng tử e Phương pháp đổi biến số e Phương pháp hệ số bất định Sau xét ví dụ mà ta sử dụng phương pháp Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Đặt " n x*+(x+y}+ y y Lời giải Cách Ta có Xt 4+ (x + y)* + y* = 2x4 + 4x3y + 6x^y2 + 4xy3 + 2y! = 2[@f + 2x*y? + y‘) + 2xy(x2 + y2 + x*y?] X y? x? t? -2 Do d6 x* + (x + y)4 + = 2x*y2(t? - + - 2t) = 2x*y@(t? + 2t + 1) = 2xy2(t + 1)? = 2[(&^ + y2) + 2(xˆ + y)xy + x^y?] = 2(xy)* tiên Cách Ta có Với x = y = ta có x? + (x + y)' + y' = 2(x? + y* + xy)? x4+ (x + y)* + ` = 2x4 + 4x3y + 6x2y? + 4xyŠ + 2y! = 2(x* + 2x3y + 3x^y? + 2xy? + y*) = 2[(x?)? + 2x*(xy + y*) + (xy + y)”] = 2(x2 + xy + y2 Cách Ta có xt + (x + y)4 + y* = (x4 4+ y4 + 2x2y2) + (x + y)* - 2x?y* = [(x? + y*)? — x*y4] + [(x + y)* — xˆy”] = [(x? + y?)? — x2y?] + [(x + y)? — xy]l( + y)? + xy] = (x2 + y2 — xy)(x2 + y2 + xy) + (x2 + y2 + xy)(x2 + yŸ + 3xy) = (x2 + yˆ + xy) (x2 + y? — xy + x2 + y2 + 3xy) = 2(x2 + y2 + xy)Ê xt + (x + y)* + v = 2(x* + y* + xy? + 2x3y + 2xyŠ = 2(x2 + y2 + xy)Ê x+(x+y)! + y! = 2(x + 2x3y + 3x2y? + 2xy + y') 2% 43 +24 VI y = = = = y* + y*(2k* 2y“(k 2y*(k? 1)! + y*(kf + 1) = y'[Œ + 1)! + kÝ + 1] + 4k? + 6k? + 4k + 2) + k2 + + 2k + 2k2 + 2k) + k + 1)? = 2(y2k2 + y2k + y2)^ = 2(x2 + y2 + xy) Cách Đặt x + y = a, xy = b, ta có xi+(x+y)'+y?=x?+y?+(x+y} = (a2 - 2b)2 -2b2 + a = 2(a“ - 2a2b + b^) = (a? — b)* = [(x + y)* — xy? = (x? + y? + xy) x Phân tích x+(x+y)* + y! = 2x + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 2y“ = 2(x* + 2x%y + 3x2y2 + 2xy? + y4 Cách Xét xy z 0, ta có y Cách Đặt x = ky Ta có Cách Dùng phương pháp hệ số bất định Cách Ta có = 2x*y* = 2(x2 + y2 + xy)? xỶ+(x+y)! + y` = (y + ky)" + (ky)? + y4 = 2[X + x2(2xy + 2y?) + (x2yˆ + 2xyỶ + y)] + 2x2y?) = 2(x2 + yˆ + xy)Ê xX Ta dự đoán kết 2(x^ + axy + y2)( x2 + bxy + y2) = 2[x* + 2(a+ b)xỶy + (ab + 2)x2y2 + 2(at b)xy? + VI Suy ab + = 3, a+b= Do a = b = ) Từ ta có lời giải giống với cách 6) ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI LỨP CẤP TRƯỜNG Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) PHÚ CƠNG VINH (GV THCS Ngơ Quang Nhã, Châu Thới, Vĩnh Lợi, Bạc Liêu) Câu a) Các phân số sau có khơng? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 99’ 99999999 9999999999 b) Chứng minh x, y e Z 2x + 3y : 17 © 9x + 5y : 17 Câu Tính giá trị biểu thức A= 4,4 23 1009} : 1,71 |23 1009 Câu a) Tìm số tự nhiên x, biết tty 1.23 tt 23 + 43 + 2.3.4 b) Tìm số tự nhiên a, b, c d biết 30 _ + 1: (30.1009 — 160) 1009 + + 3.4.5 1 at b+ 8.9.10 x= 23, 45 1 d Câu Tìm số tự nhiên bé chia cho 120 dư 58 chia cho 135 dư 88 Câu Góc tạo tia phân giác hai góc kề bù độ? Vì sao? c+— Câu Có 20 điểm có n điểm nằm đường thẳng, điểm cịn lại khơng nằm đường thẳng đó, ngồi khơng có ba điểm khác thẳng hàng Vẽ tất đường thẳng qua hai điểm điểm cho Tìm n biết có tất 170 đường thẳng X7? UNIT 1Š cress 1494150 Câu hỏi Biểu đồ cho thấy phân tử khói hộp suốt quan sát kính hiển vi Một điểm sáng nhỏ thấy chuyển động xung quanh thấy biểu đồ Thí nghiệm minh họa điều phân tử khí? A Chúng liên tục chuyển động ngẫu nhiên B Chúng nhìn thấy qua kính hiển vi C Chúng chuyển động nhanh chúng làm nóng lên D Chúng chuyển động va đập với phân tử khói E Chúng phát ánh sáng chúng va đập với phân tử khói khác Đáp án: A Câu hỏi Khi nhiệt độ tăng lên, phân tử nhận lượng chuyển động mạnh quanh vị trí cố định chúng Cuối chúng có đủ lượng để vượt qua lực liên kết chúng cho chúng di chuyển qua nhau, dù lực yếu hơn, khơng cho phép chúng hồn tồn tự chuyển động Q trình mơ tả mệnh đề A Sự truyền nhiệt B Sự đối lưu C Sự xạ nhiệt D Sự nóng chảy E Dun séi chat long Dap an: D PHI Oce== „ Nhận xét Các bạn sau có dịch sát Ba onc it sớm thưởng kì này: Trần Thị Thu Huyền, 9D, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thu Trang, 8A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Văn Quang, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Huỳnh Phạm Phương Mai, 9D8, THCS Nguyễn Ngãi, Quảng Ngãi Œ) Nghiêm, TP Quảng BÍNH NAM HÀ LỜI GIẢI ĐỀ THỊ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THỊ OLYMPIC TOAN QUỐC TẾ HỒNG KƠNG NĂM 2014 (VỊNG 1) ThS PHÙNG KIM DUNG (Tổ trưởng Toán THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, sưu tâm, dịch giới thiệu) (Tiếp theo kì trước) Ta kí hiệu R, Y G thứ tự bóng màu đỏ, vàng xanh Gọi nhóm “đồng màu” tất bóng nhóm màu Ta chia làm trường hợp sau: Ta có PDB = 2PCB =60° DB = DP Tam giác BDP nên ta có APD = 360° —1509 ~609 =1509 = APB Mặt khác PB = PD e Có ba nhóm đồng màu: Có cach chia e Có hai nhóm đồng màu: Trường hợp khơng xảy (vì có hai nhóm đồng màu nhóm thứ Hơn nữa, từ AD AABD nên AAPB = AB = AC = AAPD DB = DC, ba nhóm đồng màu) e Có nhóm đồng màu: Có ba cách chia, số cách chọn màu làm nhóm đồng màu, Tir dé suy BAP = DAP va BAD =CAD bóng có hai màu cịn lại e Khơng có nhóm đồng màu nào: Có hai cách chia có cặp số với cách chọn có cách chia mà nhóm có bóng màu R ({RYG, RYG, RYG}; {RYG, RYY, RGG}) Cac cach chia nhóm có dạng {RRX, RXX, XXXJ) với X Y G; RRX có hai cách chọn X; RXX có hai cách chọn XX (vì sau chọn RRY chọn RYG RGG mà khơng chọn RYY) Do trường hợp có + 2.2 = cách Vậy số cách chia nhóm + + + = 10 A ta có = AACD Do dé BAP =5 CẬP =130 Trước hết ta có nhận xét số chọn JAB, BA với >A, >A, (v6 li) Vậy ta phải chọn 46 số có hai chữ số để tồn hai số AB BA, thành lập dãy “con rồng” Chú ý 2" chia cho dư n chẵn dư n lẻ Do an _2 n —† ~ n lẻ Do S = Goi D tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BPC =0+ 3| + |3 2-2 2%-1\ + 3 2n n chăn ry + a + + + 2014 {23-2 24-4 + 3 = 2"-2 eo + +| —————+ 22 =| —+—-1 — 2.2 3.3 Ta có AABE„ œ2 AACD nên AE„ x AC = AD x AB 23 24 |+| —+—-1]+ 4+ CBD cạnh AC 92014 * s3 2, 42 22013 + 3 2014 2015_ —1007 -2 — 22014 ` —1 ) AE›2 = ADxAB (13-713 78 AC b Vậy tích cần tìm isp 20 bị b =907 10 411 Ta có 2013 x 2014 =2 x 3x 11 x 19 x 53 x 61 ~^-1007, Hai chữ số tận lũy thừa 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, Đây tích số nguyên tố khác ta chia số thành nhóm Ví dụ {2, 3, 11}, {19, 53} {61} cách chia nhóm có dạng (3 số, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04, 08, Day số, số), tương ứng ta tích số số lặp lặp lại với chu kì 20 Do hai chữ nhóm 66, 1007 61 Ta có a = 61, b = 66 c số tận 2?0†Š giống hai chữ số tận 2!Š 68 2015 _ Đặt 22015 _ = 100k + 66 Vì—_” số nguyên, k bội số hay k = 3m Vậy hai chữ số cuối cần tìm hai chữ số cuối 100m + 22 - 15 10 = 1007 Ta xét trường hợp sau: e TH1 Các số nguyên tố chia thành ba nhóm (4 số, số, số) Số cách chọn hai số hai nhóm có phần tử C§ = 15 e TH2 Các số nguyên tố chia thành ba nhóm (3 số, số, số) Có cách chọn số có C2 = 10 cách chọn số số cịn lại, trường hợp có 6.10 = 60 cách chọn A e TH3 Các số nguyên tố chia thành ba nhóm (2 số, số, số) Có cách để chọn số nhóm với 2, có cách để chọn hai nhóm cịn lại Do trường hợp có 3.5 = 15 cách chọn Vậy số cách chọn 15 + 60 + 15 = 90 42 Ta có x3 — = (x— 1)(x2 + x + 1) chia hết cho X2 +x + Ta xét trường hợp sau: e TH1 n= 3k, ta có xf" (x3) e Nếu ED = EC, ta gọi E, điểm AC thỏa man E,D =E,C Khi BE; đường trung trực DC Vì BE; tia phân giác CBA yo AEi _AB 13, EC BC AE; AG 13b Dat AC = b thi AE, =—— 20 AE, AE,+EC nên ta _13 20 — +3 chia cho x? + x"+ = (x3)- + +x+1du3 e TH2 n= 3k+ 1, ta có x2" + x" + = x2[(x3)2— 1] + x[(x)k - 1] + (x? +x +1) chia hét cho x? +x +1 e TH2 n= 3k+ 2, ta có x2" + x" + = x'[(x3)2— 1] + X'[@&x3)* - 1] + @&f + x2 + 1) chia hết cho x2+x+ xỶ+x2+ 1= (x2+x+ 1)(x2 — x + 1) Vậy tổng số n thỏa mãn điều kiện đề (1+2+ + 2014) —(3 +6 + + 2013) _(1+2014)x2014 _ =1352737 (3+2013)x671 e Nếu ED z EC EB tia phân giác DEC nên tia EB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CED điểm nằm đường trung trực CD, điểm B Do E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD cạnh AC Gọi = giao điểm đường trịn ngoại tiếp tam giác ®) (Kì sau đăng tiếp) ... Các số nguyên tố chia thành ba nhóm (3 số, số, số) Có cách chọn số có C2 = 10 cách chọn số số cịn lại, trường hợp có 6.10 = 60 cách chọn A e TH3 Các số nguyên tố chia thành ba nhóm (2 số, số, số) ... k bội số hay k = 3m Vậy hai chữ số cuối cần tìm hai chữ số cuối 100m + 22 - 15 10 = 1007 Ta xét trường hợp sau: e TH1 Các số nguyên tố chia thành ba nhóm (4 số, số, số) Số cách chọn hai số hai... lẻ 1, 3, 5, 7, ,199 Tìm số tự nhiên k bé cho chọn k số tùy ý 100 số cho tìm hai số mà số bội số Bài Có tổn hay khơng số ngun dương bội 19 có bốn chữ số tận 2015 2) MOT SỐ KĨ THUẬT and i aT, BIEN