So 152 Final pdf
Trang 2
1 ST an Fun Maths Children s CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN : 3
ee tauNa noc co 86 Journal Chi tich Héi déng Thanh vién MAC VAN THIEN
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO _‘ Téng Giam déc kiém Téng bién tap GS.TS VO VAN HUNG Tổng biên tập: ThS VŨ KIM THỦY HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP TRONG SỐ NÀY — Dành cho học sỉnh lớp 6 & 7 ỦY VIÊN _ Sử dụng nguyên li Dirichlet dé giai bai toan ; ma 2 dsp nig? NGND VŨ HỮU BÌNH + `
TS GIANG wud BINH a chia hetlop 6 va 7 Tạ Minh Hiếu
TS TRẤN ĐÌNH CHÂU 2 GIẢI oán thế ake?
man Học ra saof Giải toán thể nao’ Zz
TS NGUYEN MINH ĐỨC Một sé ki thuat bién doi biéu thức có chứa
ThS NGUYEN ANH DUNG can bac hai
TS NGUYEN MINH HA Pham Trung Kiên
PGS TS LE QUOC HAN Do tri thong minh Tr 5
PGS TSKH VU DINH HOA Điền số nào đây?
TS NGUYỄN ĐỨC HOÀNG Phan Trần Hướng
ThS NGUYỄN VŨ LOAN eo On tap cung ban mon, Tr 6
NGUYÊN uC TAN Phân tích đa thức thành nhân tỉ
PGS TS TON THAN an IC 8 thực thanh nhân tự
TRƯƠNG CÔNG THÀNH Phung Kim Dung
PHAM VAN TRONG Com pa vui tính Tr 15
ThS HỒ QUANG VINH Có chắc chắn không?
Phạm Tuấn Khải
TÒA SOẠN Phá án cùng thám tử Sêlôccôc 16
Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, Ai nói dối? quận Thanh Xuân, Hà Nội Vũ Mai Phương
Điện thoại (Tel): 04.35682701 nw nw gaa? „
Điện sao (Fax): 04.35682702 Den voi tieng Han Tr 18
Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn Bài 64: Bạn đã từng đến Bắc Kinh chưa”?
Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn Nguyén Vũ Loan
Dành cho các nhà toan hoc nho 22—
ĐẠI DIỆN TẠI MIỄN NAM Nguyên lí Dirichlet và những bài toán liên quan
NGUYỄN VIẾT XUÂN Nguyễn Minh Tuấn
55/12 Trần Đình Xu, P Cầu Kho, Q.1, TP HCM ˆ a ok ,
DT: 08.66821199, DD: 0973 308199 Cau lac ĐỘ de hay kho oe HiẾ2:
Trang 3TẠ MINH HIẾU (GV THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc) e Nguyên lí Dirichlet
* Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì tồn tại ít nhất một cái lồng chứa ít nhất ba con thỏ
* Nếu để m đồ vật vào n ngăn kéo (m > n) thì tồn
tại ít nhất một ngăn kéo chứa ít nhất hai đồ vật
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Cho 112 số tự nhiên khác nhau đều có ba chữ số Chứng minh rằng tồn tại hai số có hiệu là một số có ba chữ số giống nhau
Lời giải Lấy 112 số tự nhiên khác nhau đã cho chia cho 111 ta được 112 số dư Mà một số tự nhiên
bất kì khi chia cho 111 có 111 khả năng dư là 0, 1, 2, , 110 Do đó theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại
hai số cùng số dư khi chia cho 111 Hiệu của
chúng là một số chia hết cho 111 Suy ra đpcm
e Chú ý Trong bài toán trên thì số đồ vật là 112
số dư và số ngăn kéo là 111 kha nang du
Ví dụ 2 Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2013 gồm toàn các chữ số 1
Lời giải Xét 2014 số 1, 11, 111, , 111 1
2014
Lấy 2014 số đó chia cho 2013 ta được 2014 số dư
Mà mộit số tự nhiên bất kì khi chia cho 2013 chỉ có
2013 khả năng dư là 0, 1, 2, ., 2012 Do đó theo
nguyên lí Dirichlet thì tồn tại hai số cùng số dư khi chia cho 2013 Giả sử hai số đó là 111 1 và ~ “’ 111 111 1 (1 sn<ms 2014) m N Hiệu của hai số đó bằng 111 111 100 0 0= 111 1 1.10" "màn hn men chia hét cho 2013 Ma (10", 2013) = 1 nên 111 1: 2013 m-n Ví dụ 3 Cho 1008 số nguyên dương không vượt quá 2014 Chứng minh rằng:
a) Mỗi số đều viết được dưới dạng a = 2b (k, be Ñ,
b là số lẻ, quy ước 20 = 1) Xác định khoảng giá trị
của k và b để viết được mọi số lẻ nhỏ hơn 2014 b) Tồn tại hai số trong 1008 số trên mà một số
chia hết cho số kia
Lời giải a) Mỗi số nguyên dương nhỏ hơn 2014
đều viết được dưới dạng a = 2b với k e {0; 1; 2;
10}, be (1; 2; .; 20131
b) Có 1008 số, mà số lễ b chỉ có thể nhận nhiều
nhất 1007 giá trị từ 1 đến 2013 Do đó theo
nguyên lí Dirichlet tổn tại hai số cùng có giá trị b bang nhau Chang han a, = 2™.b và a, =2".b (m2n),
khi đó a : ai
Ví dụ 4 Có thể tim được số có dạng
201420142014 2014000 000 chia hết cho 2015 hay không?
Lời giải Xét 2016 số hạng sau 2014, 20142014, 201420142014, ., 2014 2014 Chia các số trên amas
2016 lần 2014
cho 2015 ta được 2016 số dư Mà một số tự nhiên
bất kì khi chia cho 2015 có 2015 khả năng dư là 0, 1, 2, , 2014 Do đó theo nguyên lí Dirichlet thi tổn
tại hai số cùng số dư khi chia cho 2015 Hiệu của
chúng có dạng 201420142014 2014000 000
chia hết cho 2015
Ví dụ 5 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao
cho 13* tan cling bang 001
L&i giai Xét 1001 sé 13, 132, 13%, ., 131007 Lay
các số trên chia cho 1000 ta được 1001 số dư Mà
một số tự nhiên bất kì khi chia cho 1000 chỉ có 1000
kha năng dư là 0, 1, 2, ., 999 Do đó theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại hai số cùng số dư khi chia cho 1000 Giả sử hai số đó là 13”' và 13” (1<n<m< 1001) Do đó 13” - 13” = 18"(13"~" ~ 4) : 1000 Mặt khác (13", 1000) = 1 nên 13m~n _ 1 :1000, Vậy 13”'~ " có tận cùng là 001 Bài tập vận dụng
Bài 1 Phải lấy ít nhất bao nhiêu số tự nhiên để
chắc chắn tồn tại hai số trong đó mà hiệu của
chúng chia hết cho 172
Bài 2 Chứng minh rằng tồn tại một bội của 1001
gồm toàn các chữ số 4
Bài 3 Cho 2016 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng
trong các số đó tồn tại hai số có hiệu chia hết cho 2015
Bài 4 Cho 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên 1, 3, 5, 7,
,199 Tìm số tự nhiên k bé nhất sao cho khi
chọn k số tùy ý trong 100 số đã cho thì bao giờ cũng tìm được hai số mà số này là bội của số kia Bài 5 Có tổn tại hay không một số nguyên dương là bội của 19 và có bốn chữ số tận cùng là 2015
Trang 4and i MOT SỐ KĨ THUẬT
BIEN DOI BIEU THUC
aT, CO CHUA CAN BAC HAI
PHAM TRUNG KIEN
(GV THCS Hồ Tùng Mậu, Ân Thi, Hưng Yên)
Khi giải các bài toán có liên quan đến căn bậc hai trong các đề thi vào THPT, THPT chuyên hoặc đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 nhiều học sinh còn lúng túng khi biến đổi
biểu thức chứa căn bậc hai Trong bài viết này chúng tôi trình bày một số kĩ thuật biến
Trang 5Do đó P = x2015 + y015 + 2016(x + y) + 1 = x201Š + (_—x)29†Š + 2016.0 + 1 = 1 Ví dụ 5 Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện xx+3 -y3 =vy+3 -XỶ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x? — 3xy + 6x — y* + 2013 Lời giai DKXD x > -3 ; y>-3 e Néu x = y = -3 thi P = (-3)? — 3(-3)(-3) + 6(-3) — (-3)? + 2013 = 1968 e Nếu x>-—3; y >—3 và x, y không déng théi bang -3 Ta có dx+8 -yê =ýy+8 —xể — x? -y3)=0 (x— y)(x2 +Xy+y^)= 0 " 2 2 e (x- (x — y)( Xauardvi3 — 1 4, +XV+ y+Y“) =0 ©x-y=ƯƠx=y eye —————'xˆ +xy+y^ >0 VX+3 ws Do đó P = x2 - 3xy + 6x — yˆ + 2013 = -3x2 + 6x + 2013 = -3(x2 - 2x + 1) + 2016 = 2016 — 3(x — 1) < 2016
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Trang 6no
ĐIỀN SỐ NÀO ĐÂY?
Bạn hãy điền số thích hợp vào dấu hỏi cho hợp lôgïc
Nhớ quan sát thật kĩ mũi tên để tìm ra quy luật nhé! (46) (55)
52 3 © 4@
| 8) | d3) (2) 4 @2
(HS lớp 10 toán 1, THPT chuyên Quốc học Huế,
PHAN TRẦN HƯỚNG
Thừa Thiên - Huế)
Ey VI TRI VA DUONG DI cress 1494150)
Nhận xét Hầu hết các bạn tham gia gửi bài
cho rằng bác thợ săn đi theo ba cạnh của tam
giác vuông hoặc ba cạnh của hình chữ nhật,
do đó dẫn đến đáp số sai
Kết quả Chiếc lều của bác thợ săn ở vị trí cực Nam của Trái Đất Bác thợ săn đi lên phía Bắc 40 m dọc theo kinh tuyến, đi sang phía Đông 1200 m dọc theo vĩ tuyến, sau đó đi về
phía Nam dọc theo kinh tuyến cũng với quãng
đường 400 m để về chiếc lều Vậy tổng
quãng đường mà bac tho san da di la 2000 m ese Xin trao thưởng cho các bạn: Lê =—=====-< Thu Trang 9D, THCS Lý Tự Trọng,
Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Huỳnh Phạm Mai
Phương, 9D8, THCS Nguyễn Nghiêm, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi
NGUYEN XUAN BÌNH
Trang 7
PHAN TICH DA THUC THANH NHAN TU
ThS PHUNG KIM DUNG
(Tổ trưởng tổ toán trường THPT Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội)
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường xuyên được sử dụng: e Phương pháp đặt nhân tử chung
e Phương pháp dùng hằng đẳng thức
e Phương pháp nhóm hạng tử
e Phương pháp tách hoặc thêm bớt các hạng tử
e Phương pháp đổi biến số e Phương pháp hệ số bất định
Sau đây chúng ta sẽ xét một ví dụ mà ta có thể sử dụng các phương pháp ở trên
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử
x*+(x+y}+ y
Lời giải Cách 1 Ta có
Xt 4+ (x + y)* + y* = 2x4 + 4x3y + 6x^y2 + 4xy3 + 2y! = 2[@f + 2x*y? + y‘) + 2xy(x2 + y2 + x*y?]
= 2[(&^ + y2) + 2(xˆ + y)xy + x^y?]
= 2(x? + y* + xy)?
Cách 2 Ta có
x4+ (x + y)* + ` = 2x4 + 4x3y + 6x2y? + 4xyŠ + 2y! = 2(x* + 2x3y + 3x^y? + 2xy? + y*)
= 2[X + x2(2xy + 2y?) + (x2yˆ + 2xyỶ + y)]
= 2[(x?)? + 2x*(xy + y*) + (xy + y)”]
= 2(x2 + xy + y2
Cách 3 Ta có
xt + (x + y)4 + y* = (x4 4+ y4 + 2x2y2) + (x + y)* -
2x?y* = [(x? + y*)? — x*y4] + [(x + y)* — xˆy”]
= [(x? + y?)? — x2y?] + [(x + y)? — xy]l( + y)? + xy]
= (x2 + y2 — xy)(x2 + y2 + xy) + (x2 + y2 + xy)(x2 + yŸ + 3xy) = (x2 + yˆ + xy) (x2 + y? — xy + x2 + y2 + 3xy) = 2(x2 + y2 + xy)Ê Cách 4 Ta có xt + (x + y)* + v = 2(x* + y* + xy? + 2x3y + 2xyŠ + 2x2y?) = 2(x2 + y2 + xy)Ê Cách 5 Xét xy z 0, ta có x+(x+y)! + y! = 2(x + 2x3y + 3x2y? + 2xy + y') = 2x*y* 2% 43 +24 VI y y x xX ) Đặt " n t? -2 y X y? x? Do d6 x* + (x + y)4 + 4 = 2x*y2(t? - 2 + 3 - 2t) = 2x*y@(t? + 2t + 1) = 2xy2(t + 1)? 2
= 2(xy)* tiên 1 = 2(x2 + yˆ + xy)Ê
Với x = 0 hoặc y = 0 thì ta vẫn có x? + (x + y)' + y' = 2(x2 + y2 + xy)? Cách 6 Đặt x = ky Ta có xỶ+(x+y)! + y` = (y + ky)" + (ky)? + y4 = y* + 1)! + y*(kf + 1) = y'[Œ + 1)! + kÝ + 1] = y*(2k* + 4k? + 6k? + 4k + 2) = 2y“(k + k2 + 1 + 2k + 2k2 + 2k) = 2y*(k? + k + 1)? = 2(y2k2 + y2k + y2)^ = 2(x2 + y2 + xy) Cách 7 Đặt x + y = a, xy = b, ta có xi+(x+y)'+y?=x?+y?+(x+y} = (a2 - 2b)2 -2b2 + a = 2(a“ - 2a2b + b^)
= (a? — b)* = [(x + y)* — xy? = (x? + y? + xy)
Cách 8 Dùng phương pháp hệ số bất định
Phân tích
x+(x+y)* + y! = 2x + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 2y“
= 2(x* + 2x%y + 3x2y2 + 2xy? + y4
Ta dự đoán kết quả là 2(x^ + axy + y2)( x2 + bxy + y2)
= 2[x* + 2(a+ b)xỶy + (ab + 2)x2y2 + 2(at b)xy? + VI
Suy ra ab + 2 = 3, a+b= 2 Do đó a = b = 1
Từ đó ta có lời giải giống với cách 4
Trang 8ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI LỨP 6 CẤP TRƯỜNG
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) PHÚ CƠNG VINH (GV THCS Ngơ Quang Nhã, Châu Thới, Vĩnh Lợi, Bạc Liêu) Câu 1 a) Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 99’ 99999999 9999999999 b) Chứng minh rằng nếu x, y e Z thì 2x + 3y : 17 © 9x + 5y : 17 Câu 2 Tính giá trị của biểu thức A= 4,4 1 : 1,71 tty tt + 1: (30.1009 — 160) 7 23 1009} |23 7 1009 7 23 1009 Câu 3 a) Tìm số tự nhiên x, biết + 1 + 1 + + 1 x= 23, 1.23 2.3.4 3.4.5 8.9.10 45 1 1 1 1 c+— d
Câu 4 Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 120 dư 58 và chia cho 135 dư 88 Câu 5 Góc tạo bởi tia phân giác của hai góc kề bù bằng bao nhiêu độ? Vì sao?
Câu 6 Có 20 điểm trong đó có n điểm cùng nằm trên một đường thẳng, những điểm còn lại không
nằm trên đường thẳng đó, ngồi ra khơng có bộ ba điểm nào khác thẳng hàng Vẽ tất cả các đường thẳng đi qua hai điểm trong các điểm đã cho Tìm n biết rằng có tất cả 170 đường thẳng b) Tìm các số tự nhiên a, b, c và d biết 30 _ 43 at b+ X7? UNIT 1Š cress 1494150
Câu hỏi 1 Biểu đồ cho thấy các phân tử khói
trong một hộp trong suốt được quan sát bằng kính hiển vi Một điểm sáng nhỏ được thấy đang chuyển động xung quanh như thấy trong biểu đồ 2 Thí nghiệm này minh họa điều gì về phân tử khí? A Chúng liên tục chuyển động ngẫu nhiên
B Chúng có thể nhìn thấy qua kính hiển vi
C Chúng chuyển động nhanh hơn khi chúng được làm nóng lên D Chúng chuyển động bởi sự va đập với các phân tử khói E Chúng phát ra ánh sáng khi chúng va đập với các phân tử khói khác Đáp án: A
Câu hỏi 2 Khi nhiệt độ được tăng lên, các phân
tử nhận năng lượng và chuyển động mạnh hơn
quanh vị trí cố định của chúng Cuối cùng chúng có đủ năng lượng để vượt qua lực liên kết giữa chúng sao cho chúng có thể di chuyển qua nhau,
dù lực yếu hơn, vẫn khơng cho phép chúng hồn tồn tự do chuyển động Quá trình nào được mô tả trong các mệnh đề trên A Sự truyền nhiệt B Sự đối lưu C Sự bức xạ nhiệt D Sự nóng chảy E Dun séi chat long Dap an: D
PHI Oce== „ Nhận xét Các bạn sau có bài dịch sát
Ba onc it nhất và sớm nhất được thưởng kì này:
Trần Thị Thu Huyền, 9D, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thu Trang, 8A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Văn Quang, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Huỳnh Phạm Phương
Mai, 9D8, THCS Nguyễn Nghiêm, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi
BÍNH NAM HÀ
Trang 9LỜI GIẢI ĐỀ THỊ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THỊ OLYMPIC TOAN QUỐC TẾ HỒNG KÔNG NĂM 2014 (VÒNG 1) ThS PHÙNG KIM DUNG
(Tổ trưởng Toán THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam,
sưu tâm, dịch và giới thiệu)
(Tiếp theo kì trước) 6 Ta kí hiệu R, Y và G thứ tự là các quả bóng màu
đỏ, vàng và xanh lá cây Gọi một nhóm là “đồng màu” nếu tất cả các quả bóng trong nhóm đó
cùng màu Ta chia làm các trường hợp sau:
e Có ba nhóm đồng màu: Có một cach chia
e Có hai nhóm đồng màu: Trường hợp này không xảy ra (vì nếu có hai nhóm đồng màu thì nhóm thứ
ba cũng là nhóm đồng màu)
e Có một nhóm đồng màu: Có ba cách chia, chính là số cách chọn ra một màu làm nhóm đồng màu,
với mỗi cách chọn đó chỉ có một cách chia các
quả bóng có hai màu còn lại
e Không có nhóm đồng màu nào: Có hai cách chia
mà mỗi nhóm chỉ có một quả bóng màu R ({RYG, RYG, RYG}; {RYG, RYY, RGG}) Cac cach chia nhóm có dạng {RRX, RXX, XXXJ) với X là Y hoặc G; RRX thì có hai cách chọn X; RXX có hai cách
chọn XX (vì sau khi chọn RRY chúng ta có thể
chọn RYG hoặc RGG mà không chọn RYY) Do
đó trong trường hợp này có 2 + 2.2 = 6 cách Vậy số cách chia nhóm là 1 + 0 + 3 + 6 = 10 7 A Goi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC Ta có PDB = 2PCB =60° và DB = DP Tam giác BDP đều nên ta có APD = 360° —1509 ~609 =1509 = APB Mặt khác PB = PD nên AAPB = AAPD Hơn nữa, từ AD = AB = AC và DB = DC, ta có AABD = AACD Tir dé suy ra BAP = DAP va BAD =CAD Do dé BAP =5 CẬP =130
8 Trước hết ta có nhận xét nếu trong các số chọn
ra có cặp số JAB, BA với 1 <A<B <9 hoặc có một trong 9 số 11, 22, 33, .,
được một dãy “con rồng” 99 thì ta luôn chọn ra Có tất cả C§ = 45 số có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị, giả sử trong các số đó có n số nào đó lập thành một dãy
“con rồng” là JA+Aa, A2Aa, AaAa, , AnA+ với
A, >A, >Agz > >A, >A, (v6 li)
Trang 10eo 92014 * + +| —————+ 3 3 2 22 23 24 22013 22014 ` =| —+—-1 |+| —+—-1]+ 4+ + —1 3 3 3 3 3 3 ) 2 s3 2014 2015 _ — 2.2 2, 42 —1007 -2 — ~^-1007, 3.3 3 3 3 Hai chữ số tận cùng của một lũy thừa của 2 chỉ có thể là 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04, 08, Day
số trên lặp đi lặp lại với chu kì là 20 Do đó hai chữ
số tận cùng của 2?0†Š giống hai chữ số tận cùng
của 2!Š và là 68
2015 _
Đặt 22015 _ 2 = 100k + 66 Vì —_” là số nguyên,
k là bội số của 3 hay k = 3m
Vậy hai chữ số cuối cần tìm là hai chữ số cuối của 100m + 22 - 7 và bằng 15 10 A
e Nếu ED = EC, ta gọi E, là điểm trên AC thỏa
man E,D =E,C Khi đó BE; là đường trung trực của DC Vì BE; là tia phân giác của CBA nên ta
yo AEi _AB 13, AE; AE, _13
EC BC 7 AG AE,+EC 20
13b
Dat AC = b thi AE, =—— 20
e Nếu ED z EC thì EB là tia phân giác của DEC
nên tia EB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CED
tại điểm nằm trên đường trung trực của CD, đó
chính là điểm B Do đó E là giao điểm của đường
tròn ngoại tiếp tam giác CBD và cạnh AC Gọi =
Trang 11ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI LỨP 9 DUEL EL đê;li:†r0G Bài 1 Ta có a+b+e==— nên abc(a + b + c) = 1 abc Do đó 1 + b°c2 = abc(a + b + œ) + bc? = bc(a + b)(a + ©c) Tương tự 1 + a2c^ = ca(a + b)(b + ©); 1 + a2b2 = ab(a + b)(b + c) Suy ra — ta°e’) -Ê the ta) bo c^ˆ(1 +a“b“) Cc +a =\(a+b)* =a +b _ fbc(a+b)(a +c)ca(a +b)(b +c) | c*ab(a +c)(b +c) Bài 2 a) Điều kiện x > -3 Ta có 2x? +x+3 = 3xVx+3 > (2x — Vx +3)(x- Vx +3) =0 "In x-vx+3 =0 x =Vx+3 x20 x={ © 1|2x=xx+3 © 1+^/13 ao oO b) Điều kiện x > 1 và x > -y y=2⁄x-1 y=2x-1 =“ erat a0 Do x +2vx -1 =(Vx -1 +1)? nén Vx =141=x? -2Vx -1 @ x? -1=3x -1 © (x2 -1)^ =9(x —1 x=1>y=0 x=2>y=2
Bài 3 Qua điểm M trên cạnh BC vẽ đường thẳng
song song với AB cắt AC tại E, vẽ đường thẳng
song song với AC cắt AB tại D
Ta có ADBM œ2 AABC Œ2 AEMC nên 2 2 ŠMDAE _ {_ ÖDBM _ Semc |() (Ee <> (x —1)(x —2)(x? +3x +5) =0 °| SABC Sapo SABC BC BC 2 <1-1{BM CMI_.1 2 2 THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH B M C Vậy M là trung điểm của BC thì hình bình hành AEMD có diện tích lớn nhất Bài 4 a) Ta có 3 2 p_XẺ+12,_(x-y? 4C 1V tế x+y A(x + y) X+y 2/3 (x4 y)*.12 >0, 14 — =§, x+y Dấu “=” xay ra khi x = y = 2 b) 2x2 + yˆ + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 © (2x+y+ 1)(x+y + 1)=_-1 © K= X=-2,y=2 Vậy các cặp số nguyên (x, y) cần tìm là (2; —4); (2; 2) Bài 5
Vẽ đường kính AF của đường tròn (O)
Ta có ABF = ACF =90° (góc nội tiếp chắn nửa
Trang 12Năm học: 2014 - 2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (2,5 điểm)
Cho các số a, b, c khác 0 và a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)* — 4abc = 0 Chứng minh rằng 1 + 1 + 1 _ 1 22018 b2018 2015 2015 , p2015 „ (2015 Bai 2 (4,5 diém) a) Giải phương trình 1 _ 1 3x2-6x+9_ x2—6x+10 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x2 + y? — Axy + 14x - 4y - 8 =0 Bài 3 (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 10 không chia hết cho 9 Bài 4 (5 điểm) a) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh * 1 1 1 3 rang + + <-, ab+a+2 bc+b+2 ca+c+2 4 b) Tim giá trị nhỏ nhất của A —— bề a với a, b > 0 a? +b? Bai 5 (4 diém) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Gọi D 2x2 + +1
là điểm thuộc cạnh huyền BC (DB < DC) và E là điểm đối xứng của D qua AB Gọi F là giao điểm của AB và DE Từ giao điểm G của AB và CE, vẽ GI vuông góc với BC tai | Cac tia CG va IF cắt nhau tai K a) Chứng minh rằng BGK = BIF b) Chứng minh rằng ba đường thẳng BK, GI, CA đồng quy Bài 6 (2 điểm)
Một cửa hàng bán sô cô la có bán các hộp gồm 4 thanh, 10 thanh hay 15 thanh mỗi hộp Một nhóm
học sinh ở một trường gần đó muốn mua các hộp sô
cô la sao cho mỗi học sinh được một thanh sô cô la
và không có dư Muốn làm được như vậy, họ phải
tạo thành các nhóm gồm 14 học sinh (mua một hộp
gồm bốn thanh và một hộp gồm 10 thanh), 35 học sinh (mua hai hộp gồm 10 thanh và một hộp gồm
15 thanh), Nhưng người bán hàng hứa với các
học sinh rằng ông ta sẽ bán cho bất kì nhóm bao
nhiêu học sinh cũng được và nếu ông ta cần mở một
hộp sô cô la mới khi chia (như bán cho nhóm 5, 13
hay 17 học sinh) thì ông ta sẽ tặng miễn phí các
thanh sô cô la dư cho nhóm đó Hỏi các học sinh phải chia thành nhóm có số học sinh lớn nhất là bao
nhiêu để vẫn được nhận thanh sô cô la miễn phí?
Suy ra AKH = 90° Mà AKF = 909
Do đó K, H, F thẳng hàng
Ta chứng minh được H, M, F thẳng hàng
Suy ra đpcm
b) Ta có BKF = BCF =HBC; CKF = CBF =HCB
Do đó BC là tiếp tuyến chung của các đường tròn
ngoại tiếp các tam giác BHK và CHK
Trang 13Bài 1(149+150) Tìm các số tự nhiên có 5 chữ số sao cho số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó Lời giải Gọi số cần tìm là abcde (a, b, c, d, e là các chữ số và a z 0) Ta có abcde =(a+b+c+d+e)Ÿ (1) Đặt a+b +c+d+e=m (me Ñ\) Vì 10000 < abcde < 99999 nên 22 < m < 46 (2) Ta lại có 10000a + 1000b + 100c + 10d + e = m3 = 9999a + 999b + 99c + 9d = m3 — m = (m— 1)m(m + 1) (3) Vế trái của (3) chia hết cho 9 nên vế phải của (3) cũng chia hết cho 9
Vì trong ba số tự nhiên liên tiếp có một và chỉ một số
chia hết cho 3, mà tích đó chia hết cho 9 nên trong
ba số này có một và chỉ một số chia hết cho 9 Do đó m là số chia hết cho 9, hoặc m chia cho 9
dư 1 hoặc dư 8 Kết hợp với (2) thì m nhận các giá trị là 26; 27; 28; 35; 36; 37; 44; 45; 4G Suy ra abcde = m tương ứng là 17576; 19683; 21952; 42875; 46656; 50653; 85184; 91125; 97326 Chỉ có hai số 17576 và 19683 thỏa mãn Vậy các số cần tìm là 17576 và 19683
Nhận xét Đây là bài toán hay, kết hợp kiến thức đại
số và số học để giải Khá nhiều bạn tham gia giải
bài Một vài bạn lại suy luận sai: Vì m(m2 —1):9
nên mì : 9 hodc m? — 1 : 9 trong khi 9 không phải
là số nguyên Tố
Các bạn sau có lời giải đúng: Nguyễn Thị Ngọc
Mai, 7A4, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Phùng Thị Hồng Nhung, 7A, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên; Trần Minh Huy, 7A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Phan Trung Kiên, 6A3, THCS
Lê Quang Cường, TP Bà Rịa, Bà Rịa - Vũng Tàu;
Nguyễn Quốc Thứ, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ, Ngô Đặng Công Vĩnh, 7B9,
THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng
PHÙNG KIM DUNG
Bài 2(149+150) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB <AC Vẽ các đường phân giác BD, CE Chứng
minh rằng BE < ED < DC
B M N C
Gọi O là giao điểm của BD va CE Tw gia thiết ta có
BOC = 1359, suy ra BOE = COD = 45° Trên cạnh
BC lấy các điểm M, N sao cho
BOM =MON = NÓC = 45°
Khi đó ABOE = ABOM (g.c.g), suy ra OE = OM (1) Ta có ACOD = ACON (g.c.g), suy ra OD = ON (2) Mặt khác
OMN = BOM + OBM = 45° + OBM: ONM = CON+ OCN = 45° +OCN
Tir ABC > ACB > OBM > OCN, dan dén OMN > ONM = ON > OM (3)
Từ (1), (2) va (3) suy ra OD > OE = OED > ODE, ma OED +ODE = 45°
nén OED > 22°30' > ODE (4)
Lai c6 EBD > DCE, ma EBD +DCE = 45°, nén EBD > 22°30' > DCE (5)
Từ (4) và (5) suy ra EBD > ODE = BDE > BE <ED
DCE < OED = CED > ED <DC
Vay BE < ED < DC
Nhận xét Một số bạn đã sử dụng kiến thức vượt
quá chương trình lớp 7 Các bạn sau có lời giải
đúng: Nguyễn Thành Nam, 6A2, Nguyễn Huy Lợi,
Lê Hồng Anh, 7A3, Tạ Phương Chi, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Ta Kim Thanh Hiền, 7A4, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc
HỒ QUANG VINH
Bài 3(149+150) Giả sử K là tích của tám số tự nhiên liên tiếp, còn Q là bình phương đúng nhỏ nhất thỏa mãn Q > K Chứng minh rằng Q - K là
một bình phương đúng
Trang 14Lời giải (Theo bạn Nguyễn Thùy Dương, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ) Đặt K = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)(a + 5)(a + 6)(a + 7), (ac Ñ) K = (a2 + 7a)(a2 + 7a + 6)(a^ + 7a + 10)(a2 + 7a + 12) e TH1 a= 0 thì K =0, khi đó Q = 1 Do đó Q - K = 1 e TH2 a= 1 thì K=8l = Q=201° Suy ra Q - K = 92 e TH3 a > 2 Đặt a2 + 7a = x thì x > 18 Ta có K = x(x + 6)(x + 10)(x + 12) = (x? + 6x)(x? + 22x + 120) = x* + 28x? + 252x* + 720x Xét (x? + 14x + 26)* = x4 + 28x? + 248x2 + 728x + 676 Suy ra K - (x? + 14x + 26)? = (2x - 2)? - 680 > (2.18 — 2)* - 680 > 0 Xét (x2 + 14x + 28)* = x* + 28x? + 252x? + 784x + 784 Suy ra (x2 + 14x + 28)2 - K = 784 + 64x > 0 Do đó (x2 + 14x + 26)2 < K < (x2 + 14x + 28)2 Suy ra Qe {(x2 + 14x + 27)? (x2 + 14x + 28) + Néu Q = (x* + 14x + 27) thi Q—K =36x + 729 - 2x2 > 0 = (x— 9)^< 446 = 18 < x< 30 Do đó a e {2; 3} - Với a = 2 thì x = 18, Q — K= 272 - Với a = 3 thì x = 30, Q —- K = 9#, + Nếu Q = (x2 + 14x + 28)? thì
Q -K =ô4x + 784 = 64(a + 7a) + 784 = (8a + 28)/
Vậy Q - K luôn là một bình phương đúng
Nhận xét Đây là bài toán hay và khó, các bạn sau có lời giải đúng: Nguyễn Thùy Dương, 8A3,
THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đặng
Quang Anh, 9A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn,
Thanh Hóa; Phạm Hồ Thảo Nguyên, 9D8, THCS
Nguyễn Nghiêm, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi
NGUYEN NGOC HAN
Bài 4(149+150) Cho a, b và c là các số thực
dương thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
a2 b2 c?
P =2 a~+b+c 2 TẠI bˆ+c+a 2 2 T42 c^ˆ +a+b 2" Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có 9= (at+b+c)* = (a.1+vb.vb + 0.1)? < (a? +b+c7)(1+b+1) Do đó áp dung bất đẳng thức AM-GM ta có = 40320 = 200 < VK < 201 a? a?(b+2) a? avb+2 < => < a2+b+c2 9 a2 +b + c2 3 _ 4 v3lb +2) „a(3+b+2) _ 5a+ab 3/3 643 643 - mer tu ¬ a be, | < ^+c+aF Cc ss Suy a2 b2 c2 2 2 "I2 2 T2 2 a^+b+c bˆ+c+a c“+at+b 1g, Arbre) < S(a+b+€)+ (ab + bc + ca) 3 _ 5 6/3 6/3 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Nhận xét Có nhiều bạn tham gia giải bài Hầu hết các bài giải đều đúng, một số bài biến đổi dài mới đi đến điều phải chứng minh Các bạn sau đây có
lời giải đúng và ngắn gọn: Cao Việt Hải Nam, 8E, Trần Thị Diễm Quỳnh, 9G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nguyễn Thị Như Quỳnh A, 9A, THCS Lý
Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nguyễn Hữu Tình, Lương Thị Xuân, Đặng Thị Lan, Nguyễn Thị Nga, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Hoàng Thế Sơn, 9A1, THCS Hồng Bàng,
Hồng Bàng, Hải Phòng; Trần Mạnh Cường, Nguyễn Hoàng Phi, Nguyễn Thảo Chi, 9A3, Trần
Thu Hằng, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao;
Nguyễn Sơn Lâm, 9A4, THCS Giấy Phong Châu,
Phù Ninh; Hồng Lê Cơng Khôi, 9B, THCS Thanh
Hà, Thanh Ba, Phú Thọ; Đặng Quang Anh, 9A,
THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa
CAO VĂN DŨNG Bài 5(149+150) Cho tam giác ABC, đường cao AH, I là giao điểm của ba đường phân giác Gọi E, F tương ứng là hình chiếu của I lên AC, AB; K, L tương ứng là hình chiếu của E, F lên BC Chứng
minh rằng nếu AH2 = 2EK.FL thì ABC là tam giác vuông
Lời giải (Theo bạn Nguyễn Văn Thanh Sơn, 8/1,
THCS Nguyễn Khuyến, Cẩm Lệ, Đà Nẵng) Gọi G hình chiếu của I trên BC
Trang 15BYL HGK Zz C Do d6 0 =(x +y)(x +z) -2yz =x? +xy +xz -yz 2 = sức +y? +2xy +X +27 +2xz ~y? -z? —2yz) - XC +y)2 +(x +z)2 ~(y +z)2) = siAB? +AC? -BC?)
Suy ra AB? + AC2 = BC2
Vậy theo định lí Pythagoras dao thi tam giac
ABC vuông tại A
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Trần Thị Thu Huyền, Trần Mạnh Cường, Trần Quốc Lập,
Phan Phú Dũng, Nguyễn Quốc Trung, Nguyễn Hải Dương, Nguyễn Hoàng Phi, Nguyễn Thảo
Chi, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phan Thị Thuỳ Linh, 9A2, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Pha Tho; Ta Nam Khanh, 8E1, THCS Vinh
Tường, Vĩnh Tường, Nguyễn Kim Ngân, 9A1,
THCS & THPT Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh
Phúc; Phùng Quang Minh, 9A1, THCS Hồng
Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng; Đặng Quang Anh,
9A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa
NGUYÊN MINH HÀ
Bài 6(149+150) Cho tam giác ABC đều Các điểm D, E, I lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB thỏa mãn ⁄BAD + ⁄CBE + ⁄ACI = 120°
Chứng minh rằng các tam giác BAD, CBE, ACI
phủ kín tam giác ABC
Lời giải
e TH1 Trong các điểm D, E, I có ít nhất một điểm trùng với đỉnh của tam giác ABC Khi đó các tam
giac BAD, CBE va ACI phủ kín tam giác ABC
e TH2 Trong các điểm D, E, I không có điểm nào
trùng với đỉnh của tam giác ABC
HOCMAI
B D C
Gọi M là giao điểm của BE và AD Các tam giác
BAD, CBE và ACI phủ kín tam giác ABC khi và chỉ
khi ACM < ACL
Ta cé ACM <ACI @BAD +CBE +ACM
< BAD + CBE +ACI =120°
«> ABE +MCB +CAD 260°
(vi BAD + CBE + ACM+ ABE +MCB + CAD = 180°)
Giả sử MC là đoạn thẳng nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC
Xét tam giác MCB có MB >MC —MCB >MBC
— MCB + ABE >MBC +ABE =ABC =60°
— ABE +MCB +CAD >60° =ACM <ACL
Tương tự nếu MA (hoặc MB) nhỏ nhất trong ba
đoạn thẳng MA, MB, MC thì xét tam giác MAC (hoặc tam giác MBA) Suy ra đpcm
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Nguyễn
Văn Thanh Sơn, 8/1, THCS Nguyễn Khuyến, Cẩm Lệ, Đà Nẵng; Tạ Nam Khánh, 8E1, THCS Vĩnh
Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Đặng Quang Anh,
9A, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa
TRỊNH HỒI DƯƠNG
Trang 16
Ý kiến của bạn thế nào?
Thực hiện lần lượt các thao tác sau (xem hình trên)
1 Dựng đường tròn tâm B bán kính BA
2 Dựng đường tròn tâm C bán kính CA, cắt đường
tròn tam B tai Ava A, 3 Ké AA, cat BC tai H
4 Dựng đường tròn tâm H ban kinh HB
5 Dựng đường tròn tâm B bán kính BH, cắt đường
tròn tâm H tại D và E (với AD < AE)
6 Dựng đường tròn tâm C bán kính CH, cắt đường
tròn tâm H tai G va K (véi AK < AG)
7, 8, 9, 10, 11 va 12 Dung cac doan thang BD, DK, KC, CG, GE, EB dugc hinh luc giac BDKCGE
Ta chứng minh BDKCGE là lục giác đều Dễ thấy
BD = BE = BH = CH = CK = CG = HD = HE = HK
= HG, suy ra các tam giác BHD, BHE, CHK, CHG
ĐƯỢC THƯỞNG KÌ NÀY BÚ
Crag vinmone nite
HONG HÀ
Lutes toeryde thilegg - With tetdug ka
CO CHAC CHAN KHONG?
Bài toán Bạn Vui vẽ tam giác ABC nhọn, K là điểm bất kì trên cạnh BC Hạ KM
va KN lần lượt vuông góc với AB và AC (Me AB, Nc AC) Vui cho rằng chắc chắn
tồn tại hai điểm K trên cạnh BC để tam giác AMN đồng dạng với tam giác ban đầu
PHẠM TUẤN KHẢI (Số nhà 29, ngõ 67 Giáp Bát, Hoàng Mai, Hà Nội)
là các tam giác đều, do đó các tam giác HDK,
HEG cũng là các tam giác đều, tức là có BD = BE
= BH = CH = CK = CG = DK = EG
Cách khác: Thay các thao tác 5 và 6 bởi:
5' Dựng đường tròn tâm A bán kính AH, cắt đường
tròn tâm H tại D và K (vdi BD < BK)
6 Dựng đường tron tam A, bán kính A,H, cắt đường tròn tâm H tại E và G (với BE < BG) Nhận xét Khi dựng hình các bạn chưa chú ý sao cho số thao tác là ít nhất Com pa vui tính nhắc lại
rằng: Một đường tròn cắt đường tròn khác, hoặc cắt đường thẳng tại 2 điểm (trừ khi hai đường tiếp
xúc nhau), trong khi hai đường thẳng cắt nhau
nhiều nhất tại 1 điểm Dựng đường vuông góc,
đường song song, dựng góc đều dùng đến 3 thao tác Do đó nên tận dụng dùng com pa vẽ đường
tròn Tất cả các bạn có lời giải đúng nhưng đều
dùng từ 13 thao tác trở lên
Fal Ozsarene, Các bạn sau có lời giải đúng va it thao
Ba on HÀ tác được thưởng kì này là: Nguyễn Văn
Thanh Sơn, 8/1, THCS_ Nguyễn
Khuyến, Đà Nẵng; Phan An Khánh, 8A2, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội; Lê Ngọc Hoa, 8E1,
THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vinh Phuc; Bui
Thị Quỳnh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Minh Trang, 9A2, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh
ANH COMPA
Trang 17
VŨ MAI PHƯƠNG
ã hơn 9 giờ tối, thám tử Sêlôccôc
đang chuẩn bị đi ngủ thì chuông
điện thoại bỗng reo vang Thì ra
là bà Maria, bạn thân của thám tử từ hồi thơ
bé
- Có việc gì mà gọi giờ này hả bà bạn của tôi?
- Có đấy! Ơng đến nhà tơi bây giờ được
không?
- Được thôi nhưng bà bình tính đi! Chờ
chút, tôi đi luôn đây
Chừng một tiếng sau, thám tử đã có mặt ở
phòng khách nhà bà Maria
- Nào, có chuyện gi ba ké di!
- Chiều nay, khi mở két để cất ít tiền, tự
nhiên tôi lại lôi hộp nữ trang ra ngắm nghía
Trong hộp toàn là đồ kỉ niệm Cái thì do bà
để lại, cái thì được mẹ tặng, cái thì chồng
mua cho nhân dịp này dịp kia Lẽ ra ngắm xong cất ngay vào két thì tôi lại lơ đãng, cứ
(8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)
để cái hộp đó trên giường rồi quên bẵng đi
Lúc nãy, trước khi cất, tôi mở hộp ra xem lại thì phát hiện một chiếc dây chuyền đã bị mất
- Két ở phòng riêng của bà chứ?
- Đúng thế
- Từ chiều tới giờ trong nhà có những ai?
- Tôi, hai đứa con và một đứa cháu
- Bà đã hỏi chúng nó rồi chứ?
- Tất nhiên rồi, nhưng chắc ơng cũng đốn được, đứa nào cũng nói là không biết gì - Để tôi! Bà gọi lần lượt từng đứa một xuống
đây đi!
Một lát sau, cậu Bic, 25 tuổi, con trai lớn của
bà Maria đã có mặt:
- Từ chiều tới giờ cháu đã làm gì, ở đâu? - Cháu đi làm về lúc 6 giờ Tắm rửa, ăn cơm
xong là cháu chui vào phòng chơi games
cho đến giờ ạ Mẹ cháu có hỏi về chuyện dây
chuyền, nhưng cháu nói thật là cháu hầu
Trang 18
như không bao giờ vào phòng mẹ nên
chẳng biết việc mẹ để hộp nữ trang trên
giường
Tiếp theo là cô Mery, 24 tuổi, cháu gọi bà
Maria bằng dì Mery kể với thám tử:
- Hôm nay sau giờ làm cháu đi xem phim
với bạn Cháu đã gọi điện báo với dì là về muộn và không ăn cơm Khoảng gần 9 giờ cháu về tới nhà thì thấy dì nói về chuyện mất dây chuyền
Cuối cùng là cậu Bôp, 13 tuổi, con trai út
trong nhà
- Cháu đã làm gì trong chiều và tối nay? - Chiều nay cháu cùng mấy đứa bạn đến Thủy Cung Aqua chơi Vé cháu vẫn còn giữ Khoảng 5 giờ, về đến nhà là cháu vội lên
phòng để vào mạng xem tiếp về các loài cá
Sau đó một lúc cháu thấy mẹ hỏi về dây chuyền
- Cháu có thể kể cho bác một thông tin thú
vị nào đó về các loài cá mà cháu vừa xem
được không?
- Được ạ Cháu vừa xem clip về cảnh cá ngựa mẹ ấp trứng trong cái túi to trước
bụng, sau đó một thời gian thì đàn con rất đông cứ ào ào chui ra Các loài cá khác
thường đề trứng thẳng vào nước chứ không
ấp như vậy ạ Cháu thấy thú vị quá nên cứ
Say sưa xem mãi
Sau khi Bôp về phòng, thám tử nói riêng với
bà Maria:
- Tôi phát hiện đứa nào nói dối rồi Tuy
nhiên, chưa đủ căn cứ để kết luận cháu đó có lấy dây chuyền hay không Sáng mai tôi
sẽ đến để nói chuyện thêm với cháu Bây
giờ bà cứ coi như không có chuyện gì xảy ra
nhé Nếu cháu có trót dại thì mình phải tế
nhị và tâm lí, đừng làm cháu sợ hay ngượng Chào tạm biệt thám tử Sêlôccôc nhưng bà Maria vẫn chưa rõ thám tử đã nghi đứa nào và dựa vào đâu mà thám tử lại nghi ngờ như thế Các bạn giúp bà được không?
x:cœrr:e NGÀY PHÁT LƯƠNG crizsé149+150)
Thám tử Sêlôccôc nghi ngờ bà quản gia, bởi lẽ khi ông vừa hỏi về chuyện bà chủ mất tiền
thì bà ta đã thốt lên “Mất hết số tiền để phát
lương cho chúng tôi á?” Bà chủ mới chuẩn bị
tiền để phát lương, chưa hề thông báo cho
bất kì ai về việc sẽ phát lương sớm, vậy mà
bà quản gia lại thốt lên câu đó
Kì này, tất cả các “thám tử Tuổi Hồng” đều
phán đoán chính xác và đều có câu trả lời đúng Tuy nhiên, số bạn có cách diễn đạt
mạch lạc, rõ ràng, thoát ý vẫn chưa nhiều
Các bạn cần chú ý rèn luyện khả năng diễn
đạt sao cho thoát ý, ngắn gọn, tránh dài dòng,
lũng củng và tối nghĩa Muốn vậy, chúng ta cần mở mang vốn từ và nắm chắc ngữ pháp
f1 Phần thưởng được gửi tới: Đỗ ====~ Hoàng Anh, 7A5, THCS Yên Lạc,
Yên Lạc; Nguyễn Hải Khoa, 6A, THCS Lý Tự
Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Đặng Thị Hoài Anh, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền,
Ứng Hòa, Hà Nội; Lê Quang Hoàn, 8A,
THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Phạm Ánh Nguyệt, 7A, THCS Hoàng Xuân Han,
Đức Thọ, Hà Tĩnh
Thám tử Sêlôccôc
Trang 19Bùi64: 34ÈZk?JdjW m1 ? Bạn đã từng đến Bắc Kinh chưa? ThS NGUYEN VU LOAN Từ mới ®'lRshửjià: [thử giả] kì nghỉ hè
7š Gùgõng: [cố cung] Cung điện cũ thời nhà Minh, nhà Thanh id guo: [qua] qua, sang, don
#3 Aiji: [ai cap] nudc Ai cap
†È3{Lúndũn: [Luân đôn] Luân Đôn - thủ đô nước Anh + bŸ Chángchéng: [trường thành] (Vạn lí) Trường Thành f#äEÏ Déguó: [Đức quốc] nước Đức
Mẫu câu
1 A: S4EBBRRKT HA HF ? (innian shijia ni qu le shénme difang?) Mùa hè năm nay ban di dau?
B: RADAR MEM (W5 qu guo Bẽijng hé Shànghăi.)
Minh đã đi Bắc Kinh và Thượng Hải
A:34t1b,*3†1tX (Wð yš qù guò Bšijing.) Minh cũng đã đi Bắc Kinh
B:#*£+t†## I8 ? (Nïi qù guò Gùgõng ma?) Bạn có đến Cố cung không? ASREDHMA, MAEM (W6 qu gud Gugong, hai qu guò Chángchéng.)
Minh đã đến Cố cung, mình còn đi cả Vạn lí Trường Thành nữa
2 Ame, $F SRMRHR-RAT BE BREE ARH
Ae, AnnA Aw ASE a Fei, AAT PERT Am BRADE
El, Mine REE
(Ann méi qu guo Déguo, jinnian shtyjia ta gén péngy6éu yigi qu le Déguo Shtyia Déguo you hén hao de yinyueé hui,Ann hé péngydu kan duzhou yanyuan héméi Guo yănyuán de biãoyăn, tamen de bidoyan hao ji le.Ann yé méi qu guo Faguo, ta hai xiang zuo hudché qu Fagus.)
Amn chưa đi Đức, mùa hè năm nay cô ấy cùng bạn bè đã đi đến Đức Mùa hè ở nước Đức có rất
nhiều buổi hòa nhạc hay, Ann và bạn xem diễn viên Châu Âu và nước Mỹ biểu diễn, họ biểu diễn rất hay Ann chưa từng đi Pháp, cô ấy muốn đi tàu hỏa đến Pháp
Tập đọc
I 3jT†Nd R3, KROKRAFMSAITESEER FHBKITEER, HRR-RAT
Trang 20Wo met da guo pingpang q1ú, wð Jintian kaishi xuéxi da pingpang qiu Gégé xihuan da
w_ = v NN Uo
2 FR IG EEL T IR GOK SRL, RE PEAS, WE
Ate ?R m2
Wo de mama jinnian shũjià zuò f€Ijï qù le Bšijng Mama bù hui shuõ Hànyũ, hšnduö zhongguo rén hui shuo y1ngyũ, tã zài bẽ1jing hến gaoxing Bài tập Đọc và nôi
1) RAEVKM a) Ta méi qugud Gigong
2) MENU BE b) Mama méitian hé Zhonggué cha
3) HHA RE c) Ta changchang da pingpang qiu
NKR ew He d) Tã xuéxíguò shũfã
Trang 21
Question 3 A J-shaped tube contains 3 cm? of air trapped by mercury The mercury levels are the same on both sides of the tube as shown in diagram 1
More mercury is poured into the open tube until the levels differ by 76 cm The atmospheric pressure remains constant at 76 cm of mercury 3.0 cm? 76 cm Diagram 1 Diagram 2 What is the volume x of trapped air shown in diagram 2? A 0.25 cm? B 0.5 cm? C 0.67 cm? D 1.0 cm? E 1.5 cm? GAS LAWS AND PARTICLES OF MATTER (Tiếp theo kì trước) VŨ KIM THỦY
Question 4 By what process does the smell
of a gas spread to fill a room? A diffraction B diffusion C evaporation D reflection E refraction Physics Terms trap giữ differ khác, khác với mercury thủy ngân air không khí smell mùi diffraction sự nhiễu xạ reflection sự phản xạ refraction sự khúc xạ diffusion sự khuếch tán
Spread được tỏa ra
Answer Tòa soạn chờ bài làm của các bạn
gửi về Bài làm tốt được nêu tên trên báo và
nhận quà tặng Bạn nhớ ghi đầy đủ địa chỉ để
Trang 22
7
TRAN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM BA MƯƠI
Người thách đấu: Bùi Hải Quang, GV THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ
Bài toán thách đấu: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a^ + b^ + c2 z 0 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = Ja+2b+3c
J2a+2b+3c+VJa+5b+3c+VJa+2b+7c_ Xuất xứ: Sáng tác
Thời hạn: Trước ngày 08.11.2015 theo dấu bưu điện
TRAN DAU THU MOT TRAM HAI MUO! TAM care sé149+150) (Theo ban Ta Nam Khanh, 8E1, THCS Vinh
Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc)
Ta có XŠ + m = X + y2 © xŠ - x= y2 — m
Ta c6 x° — x = x(x — 1)(x + 1)(x* — 4 + 5) = (x — 2)(x — 1)x(x + 1)(x + 2) + Bx(x2 — 1) : 5
Do dé x° = x (mod 5), suy ra y2 = m (mod 5)
Một số chính phương chia cho 5 dư 0, 1 hoặc 4
nên m chia cho 5 dư 0, 1 hoặc 4
Mặt khác 0 < m < 10,mec Z nên me {0; 1; 4; 5;
6; 9} (1)
Ta lai c6 x° — x = X(Xx— 1)(x + 1)(x2 + 1) : 3
Do dé x° = x (mod 3), suy ra yˆ = m (mod 3)
Một số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên
m chia cho 3 dư 0 hoặc 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra m e {O; 1; 4; 6; 9}
e Với m = 0 thì (0; 0) là một nghiệm của phương trình
e Với m = 1 thì (0; 1) là một nghiệm của phương trình e Với m =4 thì (0; 2) là một nghiệm của phương trình
e Với m = 6 thì (2; 6) là một nghiệm của phương trình
e Với m = 9 thì (0; 3) là một nghiệm của phương trình
Vay me {0; 1; 4; 6; 9}
Nhận xét Bài toán trên khi đọc đề tưởng là khó nhưng thực ra lời giải rất đơn giản như trên Bạn
Tạ Nam Khánh là người đăng quang trong trận
đấu này vì có lời giải ngắn gọn nhất
LÊ ĐỨC THUẬN
z nw
TINH TONG crm se149+150)
Biến đổi giả thiết (a2 + b2)> = (a? + bỶ)2 được 3a2bZ(a2 + b2) = 2a3b ©› a2b2(3a? + 3b2 — 2ab) = 0 › a?b?[2a2 + 2b2 + (a — b)?] = 0 Đẳng thức xảy ra
khi a = 0, hoặc b = 0, hoặc a = b = 0 Như vậy
không tồn tại hai số a, b đều khác 0 mà thỏa mãn
đẳng thức trên Vì vậy không thể tính được giá trị của biểu thức chứa a, b
Nhận xét Có thể xét a, b đều khác 0 thỏa mãn đẳng thức trên, rồi biến đổi
dẫn tới điều vô lí Anh Kính Lúp trao giải thưởng kì này cho các bạn sau có lời giải tốt:
Lê Ngọc Hoa, 8E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh
Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Minh Nghĩa, Nguyễn
Ngọc Sơn, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Nguyễn Văn Thanh Sơn, 8/1, THCS
Nguyễn Khuyến, Cẩm Lệ, Đà Nẵng; Chu Tuấn
Trang 23"` TỔ Lộ DỤ) DT) NGUYÊN LI DIRICHLET và nhưng bài toán liên quan
PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN
(GV Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội) 1 Giới thiệu
e Nguyên lí chuồng bồ câu, nguyên lí hộp hay nguyên lí ngăn kéo Dirichlet được phát biểu như sau: Nếu m con chim bồ câu được nhốt vào n chuồng, với m > n thì ít nhất một chuồng có nhiều
hơn một con chim
e Với m = 3, n = 2 nguyên lí này có dạng: Trong 3
găng tay có ít nhất hai găng tay phải, hoặc hai găng tay trái Mặc dù điều này về mặt trực giác rất
đơn giản nhưng nó lại được dùng để chứng minh
các vấn đề khó trong toán học
e Người đầu tiên đề xuất nguyên lí này là nhà toán
học người Đức Johann G.L Dirichlet (1805-1859)
và ông gọi là nguyên lí ngăn kéo
e Nguyên lí ngăn kéo Dirichlet cũng đúng cho tập
hợp vô hạn các phần tử Cụ thể ta có khẳng định sau: Giả sử số lượng vô hạn các phần tử chứa trong n (hữu hạn) tập hợp Khi đó tồn tại ít nhất một tập hợp chứa vô hạn phần tử Để phát biểu dưới dạng tổng quát hơn, ta kí hiệu m ` x ˆ ˆ 2 ^ ~ m z ` ~ | a là phân nguyên trên của phân số —, tức là số n n ˆ 2 tm ipa 2 ms, 19 nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn —, ví du 10 =2 n Ta kí hiệu = là phần nguyên dưới của phân số n m a x ww a Z, we ˆ Zz m —, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá —, n n ví dụ = =4 3 Định lí 1 Nếu m con chim bồ câu được đặt vào n chuồng và m > n (n > 1) thì ít tồn tại ít nhất một m chuồng chứa ít nhất
n | con nếu m chia hết cho n và tồn tại ít nhất một chuồng chứa ít nhất H
n con nếu m không chia hết cho n
Chứng minh Giả sử m = na + r với 0<r<a- 1
m r ˆ m
thì a<—=a+—< a+ 1 nên a =| —!
n a n
e Xét m = na Nếu mọi chuồng đều có không quá a — 1 con chim thì tổng số chim là n(a - 1) = na -n =m -n<m Vì vậy tồn tại ít nhất một chuồng chứa b con chim với b > a
e Xét m = na + r với r > 1 Nếu mọi chuồng đều có
không qua a con chim thi tổng số chim là na =
m -r<m Vì vậy tồn tại ít nhất một chuồng chứa
b con chim với b > a + 1
Mỏ rộng hơn, chứng minh tương tự ta có định lí sau:
e Định lí 2 Nếu m đồ vật để trong n chiếc hộp thì
ít nhất một hộp có không ít hơn | dé vat va it
nhất một hộp chứa không quá [= đồ vật n
e Bài toán về ngày sinh đề cập đến khả năng một số người có cùng ngày sinh trong số m người cho trước Theo nguyên lí ngăn kéo Dirichlet, nếu
m = 367 thì tổn tại ít nhất hai người có cùng ngày
sinh
2 Một số bài toán
Bài toán 1 Chứng minh rằng không tồn tại đường
thẳng mà nó cắt ba cạnh của tam giác nhưng
không đi qua đỉnh nào
Lời giải Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử
ngược lại, tồn tại đường thẳng d cắt ba cạnh của
tam giác ABC và không đi qua đỉnh nào Gọi P„ và P; là hai nửa mặt phẳng được chia tách bởi đường thẳng d Ba điểm A, B và C thuộc hai nửa mặt
phẳng P¿, P; Theo nguyên lí Dirichlet, tổn tại hai
đỉnh thuộc cùng một nửa mặt phẳng Gọi hai đỉnh đó là A và B cùng thuộc nửa mặt phẳng P Suy ra đường thẳng d không cắt AB (mâu thuẫn với điều giả sử) Do đó điều giả sử là sai Suy ra đpcm
Bài toán 2 Chứng minh rằng không tồn tại đường
thẳng mà nó cắt tất cả các cạnh của đa giác 2n + 1 đỉnh (n c Ñ'")
Lời giải Ta kí hiệu các đỉnh liên tiếp của đa giác
là A+, A2, Aa, ., A »**2n + 1° Khi đó các cạnh của đa
gidc IAA, A, Ang, AgAy, +s AonAon 1ˆ 12 F12/Àa;› 4 4 Aon 4Ay-
Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại,
Trang 24tồn tại đường thẳng d cắt tất cả các cạnh của đa giác đó và không đi qua đỉnh nào Gọi P¿ và P, là hai nửa mặt phẳng được chia tách bởi đường thẳng d Xét đỉnh A„ không mất tổng quát giả sử A thuộc P, Vid cat A,A, nén A, thudc P., Do d cat A,A,
nén A, thudc P, Cif tiép tuc nhu vay thi A,
thudc P, Nhu vay ca A, va A, n+ ¡ đều thuộc P;¿ n+ 1
nên d không cắt A ;A; (mâu thuẫn với điều giả sử) Do đó điều giả sử là sai Suy ra đpcm
Bài toán 3 Chứng minh rằng trong sáu người bất
kì tồn tại ba người đôi một quen nhau hoặc không
quen nhau
Lời giải Gọi sáu người đó là A, B, C, D, E và F Ta kí hiệu hai người A và B quen nhau là AB và không
quen nhau là AB Xét 5 cặp AB, AC, AD, AE và
AF, theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ba cặp cùng
loại, chẳng hạn AB, AC, AD (Nếu là AB, AC, AD
thì lập luận tương tự) Xét tiếp ba cặp BC, BD, CD
Nếu BC, BD, CD thì ba người B, C, D đôi một không
quen nhau Nếu trái lại thi tồn tại hai người quen nhau, chẳng hạn BC, khi đó ta có AB, AC, BC, tức
là ba người A, B, C đơi một quen nhau
Bài tốn 4 Trong hội nghị có n đại biểu Khi gặp
nhau họ đều bắt tay nhau Chứng minh rằng tồn tại hai người có số lần bắt tay bằng nhau
Lời giải Các đại biểu được chia vào n nhóm Au, A¿, A2 1 A, _ , (trong đó nhóm A, gồm có những người bắt tay k lần với k = 0,n— 1) Nếu Ao có ít nhất
1 người, nghĩa là có ít nhất một đại biểu không bắt
tay người khác thì nhóm A, _ ¡ gồm những người bắt
tay n - 1 người khác không có người nào Tương tự nếu nhóm A._ ; có ít nhất một người thì nhóm A„
gồm những người không bắt tay ai không có người
nào Do đó ta có n người được chia vào n —- 1 nhóm
nên theo nguyên lí Dirichlet thì tổn tại ít nhất hai
người thuộc cùng một nhóm Suy ra đpcm
Bài toán 5 Cho 51 điểm nằm trong hình vuông cạnh bằng 5 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất ba điểm nằm trong hoặc nằm trên một đường tròn có 1 án kính — bá N2
Lời giải Chia hình vuông 5 x 5 thành 25 hình
vuông nhỏ cạnh bằng 1 Ta có 25 ô vuông chứa 51 điểm Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất
3 điểm nằm trong hoặc trên cạnh của một hình
vuông cạnh 1 Ba điểm đó nằm trong hoặc nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông và đường
tròn đó có bán kính —E
42
Nhận xét Trong bài toán trên thì số đồ vật là 51, số chiếc hộp là 25 và = = 3
Bài toán 6 Thầy giáo cho hoc sinh xếp thành 7
hàng dọc và 7 hàng ngang chơi trò chơi sau: Sau
một hồi trống thì mỗi em học sinh phải đổi chỗ
sang vị trí kể với vị trí của mình nhưng vẫn thuộc
cùng hàng ngang và thuộc cùng hàng dọc với vị
trí lúc đầu Sau một hồi trống thầy giáo thấy học sinh vẫn xếp 7 hàng ngang và bảy hàng dọc Thầy hỏi: - Các em đã đổi chỗ chưa? - Rồi ạ! Cả lớp đồng thanh đáp - Có em nào chưa đổi chỗ như thầy yêu cầu không? - Cả lớp im nặng
- Có ít nhất một em chưa đổi chỗ, những em nào
chưa đổi chỗ thì tự giác đứng ra ngoài nhé! Thầy nói
Thế là một số học sinh đã phải ngoan ngoãn bước
ra khỏi hàng
Bạn hãy giải thích tại sao thầy giáo lại khẳng định
như vậy?
Lời giải Ta coi mỗi em học sinh đứng trong một ô vuông nhỏ của một hình vuông 7 x 7 = 49 ô
vuông Bằng cách tô màu các ô vuông đen trắng xen kẽ giống như bàn cờ vua Có tất cả 49 ô vuông nên số ô trắng và số ô đen không bằng nhau Giả sử có 25 ô đen và 24 ô trắng Theo quy tác đổi chỗ, mỗi em phải chuyển sang ô khác màu kề bên Như vậy có 25 học sinh đang đứng ở ô đen chuyển sang 24 ô trắng (vô lí) Do đó khẳng định của thầy giáo là đúng
Nhận xét Trong bài toán trên ta có thể thay số 7 bằng một số lẻ bất kì
Bài toán 7 Trên bàn cờ vua 8 x 8 ô vuông người
ta bỏ đi hai ô ở hai đỉnh đối diện trong 4 ô chứa đỉnh bàn cờ Một trong hai ô chứa đỉnh còn lại
chứa một con mã Hỏi con mã có thể đi lần lượt
đến tất cả các ô còn lại được không? Với điều kiện con mã chỉ được đến mỗi ô một lần
Lời giải Bàn cờ có 32 ô đen và 32 ô trắng Hai ô
ở hai đỉnh đối diện luôn cùng màu nên sau khi bỏ đi hai ô đen chẳng hạn thì còn lại 32 ô trắng Con
mã đi lần lượt từ ô trắng sang ô đen rồi lại từ ô đen sang ô trắng Nhưng từ 32 ô trắng không thể đến lần lượt 30 ô đen Vậy câu trả lời là không thể
(Kì sau đăng tiếp)
Trang 25an nudc (Tiếp theo kì trước)
The CENTRE for EDUCATION in MATHEMATICS and COMPUTING Gauss Contest Grade 8 (Grade 7 Contest is on the reverse side) Wednesday, May 14, 2014 (in North America and South America) Thursday, May 15, 2014 (outside of North America and South America) HOÀNG TRỌNG HẢO (Sưu tầm và giới thiệu)
Part C: Each correct answer is worth 8
21 The diagram shown consists of circles with
radius 1 cm and semi-circles with radius 1 cm
The total shaded area, in cmễ, is (A) 10 (B) 9.5 7
(C) 97m (D) 8.5 7 (E) 87
22 Beginning with a 3 cm by 3 cm by 3 cm cube, a 1 cm by 1 cm by 1 cm cube is cut from one corner and a 2 cm by 2 cm by 2 cm cube is cut from the opposite corner, as shown In cm, what is the surface area of the resulting solid? Ne Qe ====F=“ I Seepe=== to oe (A) 42 (B) 45 (C) 48 (D) 51 (E) 54 23 The sum of the first 100 positive integers is 5050 That is, 1+2+ +99 + 100 + 5050 What is the sum of the first 100 positive odd integers? (A) 5050 (C) 10 050 (B) 10 000 (D) 10100 (E) 10150
24 Grids are formed using 1 xX 1 squares The grid shown to the right contains squares of sizes 1x1,2x2,3 x3, and 4 x 4, for a total of exactly 30 squares Which of the following grids contains exactly 24 squares?
C D E
25 Residents were surveyed in order to determine which flowers to plant in the new Public Garden A total of N people participated in the survey Exactly a of those surveyed said that the colour of the flower was important Exactly
5 of those surveyed said that the smell of the
flower was important In total, 753 people said that both the colour and smell were important How many possible values are there for N? (A) 22 (B) 23
(C) 21 (D) 24 (E) 25
Trang 26
Bài 16NS Tìm các số tự nhiên x, y, z thổa mãn x + 2y + 3z = 4xyz — 5
PHAM THANH HUNG (Tân Hiệp A, Tan Hiệp, Kiên Giang) Bài 17NS Cho 0 < x < y và số thực a 2 Chứng minh rằng — xˆ+a KIỀU ĐÌNH MINH (GV THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ) 2_ 22_ v2 _ po 7Y 59.%°¥ 2 ye +a x+y
Bài 18NS Cho hai đường thẳng d và d' cố định và song song với nhau A và B là hai điểm cố định thứ tự nằm trên d và d Điểm C di động trên d, điểm D di động trên d' sao cho CAD là góc tù và tứ giác ACBD là hình bình hành E, M và N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng CD, d và
AD Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn thuộc một đường thẳng cố định
NGUYEN BUC TAN (TP, Hồ Chí Minh)
SEMETED CUOC THI GIA TOAN DANH CHO NU SINH crrrz 26-140+150
Bài 10NS Ta có 3x2 — 18y2 + 2z2 + 3y^z2— 18x = 27 ©3(x-— 3)? — 18y2 + 277 + 3y2z? = 54 Ta có z2 : 3z : 3 z^> 9 Do đó y2 < 4 nên y2 = 1 hoặc yˆ = 4 Suy ra y = 1 hoặc y = 2 e Nếu y = 1 thì z2 << Từ đó z = 3 và x= 6, e Nếu y = 2 thì zZ < 9, suy ra z = 3 Từ đó x = 3 Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương (x, y, Z) là (6, 1, 3); (3, 2, 3)
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng cho bài
toán trên: Đặng Thị Lan, 9A1, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh; Triệu Thị Ngọc Ánh, Lê
Hồng Anh, Vũ Ngọc Ánh, Nguyễn Việt Thu, Nguyễn Thị Thanh Lan, Nguyễn Thùy Linh,
Nguyễn Thùy Dương, Phạm Thùy Linh, 7A3,
Trần Thu Hằng, 8A3, Trần Thị Thu Huyền,
Nguyễn Thảo Chi, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ; Kim Thị Hồng Lĩnh, 9E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Trần Thị Diễm Quỳnh, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An Bai 11NS Véix, y > 0 thi_-+-L > 8 () — x? y* (x+y)? Ap dung (*) ta có = 1 2 + 1 + 5 2 e (a+3) 2 27 2 Ga (+9) [a+z+5] 2 2 8 64 „_ 64 1 T 2“ 2“ 2 4 (e+3) [a+5+o+10 | (6 +10) (Vi Ya+o)+b=12ea+2+6=6)
Vay Mink =— khia=1,b=4,0=3,
Nhận xét, Các bạn sau có lời giải đúng cho bai
toán trên: Kim Thị Hồng Lĩnh, 9E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Trần Thị Thu Huyền, Hoàng Thị Hồng Ngát, 9A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Thị Diễm Quỳnh, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An Bài 12NS Gọi K là giao điểm của EO va BD Ta chứng minh được BD = MD, OD I1 MB, CM = CA = CE, AC.BD = Rˆ và tứ giác EBKA là hình bình hành Mặt khác OD L MB, MB // AK nén OD 1 AK Do O là trực tâm của AADK nén KO L AD, suy ra KE 1 AN nên EN = EA = 2AC Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2MD + 3NE = 2BD + 6AC > 2/2BD.6AC = 4V3R
Dấu “=” xảy ra khi
2BD = 6AC =2V3R ©MAB =609
Vay 2MD + 3NE dat gia tri nhỏ nhất khi MAB = 60° o Nhận xét Chỉ có bạn: Nguyễn Thị
E5 HÔNGHÀ Thảo Vy, 9A, THCS Đặng Thai Mai,
TP Vinh, Nghệ An có lời giải đúng Các bạn sau được thưởng kì này: Trần Thị Diễm
Quỳnh, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Kim Thị Hồng Lĩnh, 9E1, THCS Vĩnh
Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Đặng Thị Lan, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phạm Thùy Linh, Lê Hồng Anh, 7A3, Trần Thu
Hằng 8A3, Trần Thị Thu Huyền, 9A3, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
Ảnh các bạn được thưởng ở bìa 4
NGUYEN NGOC HAN
Trang 27
SEPARATE
NGUYEN DUC (st)
CAN CHON TU NAO?
Hai từ sau được sắp xếp theo một lôgic nhất định: JANEY, FEBRILE
Bạn hãy chọn 1 từ trong số 4 từ
dưới đây để xếp tiếp vào 2 từ trên
sao cho hợp với lôgic đó
BEZOAR; PAVILION; MAROON;
EET” Ai lam dung? « (TTT2 sé 1494150)
Sắp xếp các từ theo thứ tự sắp xếp trong từ điển
là một việc không khó nhưng rất dễ nhầm Thật
may, lần này tất cả các bạn đều cẩn thận nên không ai nhầm cả Đáp án của các bạn cũng
chính là đáp án của Chủ Vườn: Chlorine, Chocolate, Company, Cooper, Cooperation, Crazy, Cream, Credit
Những bạn có tên sau sẽ được nhận phần quà
may mắn: Trần Đan Trường, 7A, THCS Lý Tự
Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Đức Hiếu, 8E, THCS Nhữ Bá Sĩ, thị trấn Bút Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Thái Anh Quân, 8A, THCS Đặng Thai Mai,
Vinh, Nghệ An; Nguyễn Xuân Thành Đạt, 7D,
THCS Thị trấn Gio Linh, Gio Linh, Quảng Trị;
Nguyễn Văn Thanh Sơn, 8/11, THCS Nguyễn Khuyến, Cẩm Lệ, Đà Nẵng Ore VANinG aket aD Hine ik Chủ Vườn cm? Ca dao nham (TTT2 số 149+150)
® Chiều chiều ra đứng ngõ sau Trông về quê mẹ ruột đau chín chiều ® Chiều chiều mang giỏ hái dâu
Hái dâu không hái hái câu ân tình
® Chiều chiều cắt mướp nấu canh Bỏ tiêu cho ngọt bỏ hành cho thơm ®_ Chiều chiều âu lại lo âu
Kén ươm thành nhiễu, đá lâu thành vàng
® Chiều chiều lại nhớ chiều chiều Tay bưng cái rổ tay dìu con thơ
Thật vui vì kì này tất cả các bạn đều phát hiện chính xác những từ bị nhầm và đều sửa lại rất đúng Khi đọc những câu ca dao này nói riêng
và kho tàng ca dao của cha ông ta nói chung,
nếu chú ý, các bạn sẽ thấy mỗi từ đều được dùng rất chuẩn, rất “đắt” Hãy trau dồi vốn từ cho bản thân mình thông qua việc tìm hiểu ca
dao, tục ngữ các bạn nhé!
inc i Phần thưởng được gửi tới: Đào Ngọc — Hai Dang; Nguyén Van Huong, 7A, THCS Ly Tu Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Mai Linh, 7A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Hải Ly, 7A, THCS
Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Vũ Thái
Thùy Linh, 8B, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An
Trang 28
STERTED KI 6 oreo 1494150)
Câu 16 Nhóm các nước ASEAN bán đảo
(Trung Ấn): Vietnam, Laos, Campuchia,
Myanmar, Thailand
Nhóm các nước ASEAN quần đảo:
Philippines, Brunei, Indonesia, Singapore, Malaysia
Câu 17 J: Johor Bahru (Bang thuộc miền
Nam Malaysia) S: Singapore
R: Riau (Quần đảo thuộc Tây Bắc Indonesia)
Câu 18 Eo biển nối biển Đông (thuộc Thái
Bình Dương) với biển Adaman (thuộc Ấn Độ
Dương) là: Eo biển Malacca (phía Bắc là
fs1fzwr: Malaysia, phía Nam là Singapore o_tu_z_ Wa Indonesia)
Nhận xét Các bạn được thưởng kì này: Thái
Anh Quan, 8A, THCS Dang Thai Mai, TP
Vinh, Nghệ An; Trần Thị Thu Huyền, 9D,
THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc
BTC
5(fffrÐ GáẲ (đrrzs614s+:5o)
Khi tới biển bạn sẽ làm gì? Thăm thú cảnh biển với bầu trời vời vợi, xem đường chân trời rộng mở cùng ánh mặt trời vào mỗi buổi sáng hay đến với biển để đắm mình vào làn nước
trong quên ởi sự vội vã ha hê của cuộc sống
thường ngày Còn đối với họa sĩ Đồn Hồng
thì khác, ơng tới biển để vẽ cát theo cách cảm nhận và suy nghĩ riêng của ông về nó
Bức tranh ông vẽ về cát thật đẹp và thơ mộng Ấn tượng đầu tiên khi nhìn vào nó tôi đã bị thu hút ngay sự lấp lánh ánh vàng của cát Cát vàng nhạt trải dài đầy ắp dấu chân người, thi thoảng các con sóng biển ập đến như muốn nuốt cát, đưa cát trôi theo dòng
nước đẩy về đại dương xa, giúp biển có thêm người bầu bạn Khi để ý kĩ trong bức tranh thì
ta sẽ thấy hình ảnh mơn man làn gió ru nhè
nhẹ, du dương trên bờ cát mịn màng nếu như ngay lúc này được đặt bàn chân lên đó thật là
tuyệt vời! Ngắm nhìn bức tranh tôi có cảm
giác bình yên đến lạ thường Tuyệt nhiên, tôi
thấy cát thật to lớn Một nắm cát là chứa bao sự đoàn kết, bền chặt khăng khít của hàng nghìn, hàng vạn hạt cát nhỏ bé Tưởng chừng
như cát đơn giản vậy thôi nhưng họa sĩ Đoàn
Hồng đã cho thấy rằng cát là một trong yếu tố
quan trọng tạo nên về đẹp của biển các bạn a
ft Phần thưởng kì này trao cho các
===== bạn: Nguyên Thị Mai, 9A3, THCS
Trang 29
1 Nhân nhẩm
Người dẫn: Máy tính điện tử giúp chúng ta giải
các bài toán phức tạp Máy tính bỏ túi giúp chúng ta tính toán những phép tính không quá khó
Nhưng nếu bạn biết thêm tính nhẩm nữa thì rất tốt
Chẳng hạn khi đi ra chợ mà không mang máy tính
bỏ túi thì bạn sẽ nhân 57 với 34000 như thế nào nhỉ? Xin mời thầy Thủy giúp các bạn
Thầy Thủy: Giả sử lớp chúng ta có 57 bạn, cần mua cho mỗi người một cái áo đồng phục kiểu áo phông
cho một buổi câu lạc bộ Giá mỗi chiếc áo được bán
là 34000 đồng Bạn phải trả bao nhiêu tiền nhỉ?
Rõ ràng ai cũng biết ta tạm bỏ đi 3 con số 0 để chỉ nhân 57 với 34 Ta sẽ làm như sau: 57 x 34 8 L 7 x4=28, viết 8, nhớ 2 20 + 21 = 41 cộng 2 là 43 Viết 3, nhớ 4 57 x 34 = 1938 Lf 5x 3= 15, cộng 4 là 19
Sau cùng bạn thêm 3 chữ số 0 vào cuối ta được kết quả là 1938000 đồng Nếu bạn mặc cả được người bán hàng bớt đi 8000 đồng thì bạn còn phải trả 1930000 đồng cho 57 chiếc áo
Nào, bây giờ nếu bạn phải mua thêm cho mỗi
người trong lớp một cái mũ với giá 18000 đồng một chiếc Bạn cần phải trả bao nhiêu tiền nhỉ? 2 Mối quan hệ giữa nhiệt độ môi trường và số
calo tiêu thụ
Người dẫn: Trong chương trình lần trước, qua các ví
dụ sinh động gắn kết với đời sống, thầy Thủy đã cùng chúng ta tìm hiểu về những ứng dụng của phương
trình, bất phương trình bậc nhất trong việc mua điều
hòa trả góp, mua máy thu hình và mở trường dân lập Việc dạy toán và học toán của các nhà trường
trong xu thế cách tân trên thế giới hiện nay cũng theo
PHUCNG TRINH TOAN HOC Un CUgC SONG VU KIM THUY FP
phương hướng làm cho mơn tốn gần gũi, ít kinh viện và do đó lôi cuốn hơn Hôm nay chúng ta tiếp tục chủ đề này với những ứng dụng khác
Thầy Thủy: Hôm trước chúng ta bắt đầu với phương
trình y = ax + b và bất phương trình y > ax + b đúng
không nhỉ
Người dẫn: Hàm số bậc nhất quá quen thuộc với
chúng ta, đến mức nhiều người quên mất nó có rất
nhiều ứng dụng trong cuộc sống Bây giờ thầy Thủy sẽ giới thiệu với các bạn một số vấn đề đơn giản nhưng không kém phần hấp dẫn Đó là mối
liên hệ giữa lượng calo cần tiêu thụ của mỗi người với nhiệt độ môi trường
Thầy Thủy: Qua nghiên cứu người ta nhận thấy
rằng với mỗi người, trung bình nhiệt độ môi trường
giảm đi 19C thì lượng calo cần tăng thêm khoảng
30 calo Tại 212C một người làm việc cần sử dụng
khoảng 3000 calo mỗi ngày Bạn hãy trả lời các
câu hỏi sau đây:
a) Làm thế nào bạn biết rằng lượng calo tiêu thụ biến thiên bậc nhất theo nhiệt độ? Hãy viết ra
phương trình đó
b) Nếu một người làm việc ở sa mạc Sahara trong nhiệt độ 50°C thi can bao nhiêu calo một ngày
c) Bạn thử xem tại nhiệt độ nào thì người lao động
không cần một tí calo nào nữa
Trang 30toán học Tuy vậy ta phải hiểu điều đó chỉ đúng
trong phạm vi sức chịu đựng của con người Tức là nhiệt độ nóng nhất là 509C và lạnh nhất là
—50°C Qua ngưỡng đó thì các tính toán đều mang tính lí thuyết
Người dẫn: Bài toán trên đơn giản nhưng đúng là
khá lôi cuốn Nó giải thích cho ta hiểu một điều là vì sao ở xứ lạnh người ta cần ăn nhiều hơn và vì
sao về mùa hè chúng ta thường chán ăn
3 Sự sinh sôi của vi khuẩn trong phòng thí
nghiệm
Người dẫn: Học tốn khơng phải để sau này trở thành người làm toán là điều ai cũng biết Học
toán tức là học tư duy và rèn khả năng giải quyết
các vấn đề Đồng thời học toán còn giúp cho việc
học các môn học khác Giả sử sau này bạn
nghiên cứu về sinh học hay y học, làm việc trong
phòng thí nghiệm Nào chúng ta hãy cùng thầy
Thủy vào một phòng thí nghiệm nuôi cấy vi trùng
để tìm các bài toán
Thầy Thủy: Đã biết số vi trùng trên một minimet vuông trong mẻ đem cấy trong phòng thí nghiệm tăng theo hàm số mũ (với một hệ số a nào đó) theo thời gian Vào ngày thứ Ba trong tuần có
2000 con trên một mmZ Vào ngày thứ Năm tuần
đó số vi trùng lên tới 4500 con trên một mm?
a) Hãy xác định phương trình chỉ sự sinh sôi của
vi trùng này
b) Tính số vi trùng trên một mm cấy đó vào thứ Ba tuần kế tiếp
c) Xác định thời gian mà tại đó số vi trùng đạt tới 10000 con trên một mm d) Vẽ đồ thị của hàm số Bài làm a) Đặt V là số vi trùng trên 1 mm¿ Đặt t là số ngày mà kể từ sáng thứ Ba này thì t = 0 Số vi trùng là V = a x bỶ với cặp số (t, Vì (*) Với cặp số (0, 2000) thay vào (*) ta có 2000 = a x bữ nên a = 2000 Thay (2, 4500) vào (*) ta có 4500 = 2000 x bý, do đó b = 1,5 Vậy ta có phương trình V = 2000 x 1,5F b) Vào sáng thứ Ba tuần kế tiếp thì t = 7 nên V = 2000 x 1,5’ = 34171,87 = 34000 con/mm? c) Ta có 10000 = 2000 x 1,5! 2 sẽ có trong mẻ => 5=1,5' = lg5 = tlg1,5 = t = 3,9693 Sau bốn ngày nữa tức là vào sáng thứ Bảy số vi trùng sé dat 10000 con/mm? d) Dé thi 120000 110000 100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 { 0 42345678910 4 Mối quan hệ giữa khối lượng và diện tích trứng động vật
Người dẫn: Đề tài vi trùng sinh sôi có lẽ làm cho
các bạn cảm thấy không được thích thú lắm Bây giờ chúng ta sang phòng thí nghiệm khác vậy
Nào chúng ta cùng đi với thầy Thủy
Thầy Thủy: Mời các bạn và các em cùng chúng tôi vào phòng thí nghiệm sinh học tiếp theo Đây
là quả gì vậy? À, ai cũng biết đó là quả trứng gà
Các em có biết nó nặng bao nhiêu gam không?
Các nhà khoa học không những biết nó nặng bao nhiêu mà còn biết nếu trải toàn bộ vỏ nó ra trên mặt phẳng thì được diện tích là bao nhiêu đấy Người ta đã tính được rằng diện tích bề mặt quả
trứng tỉ lệ thuận với lũy thừa bậc : của khối lượng
của nó Với quả trứng gà nặng khoảng 60 gam thì diện tích bề mặt của nó khoảng 28 cmZ Đặt S là diện tích bề mặt (cm^2) và M là số cân nặng (gam) của quả trứng 2 Ta có phương trình S = kM3 (**) Bay giờ ta phải tính k Thế cặp có thứ tự (M, S) = (60, 28) vào (**) có 2 28 = k(603) 2 Suy ra k = 1,8269 Do đó S = 1,8269xM3 Bây giờ chúng ta dùng công thức này để tính diện
tích bề mặt của quả trứng đà điểu Quả trứng đà
điểu các em có biết nó nặng bao nhiêu không? Nó
nặng 1600 gam
2
Vậy ta có S =18269x16003 =249,92 , tức là
trứng đà điểu có diện tích bề mặt là 250 cm? (tức
là gần bằng nửa tờ giấy A4 đấy)
Các em hãy tính xem nếu bề mặt của trứng con thằn
Trang 31DỤ | | II
rên đường quốc lộ 38Ẻ, quốc lộ nối
Hưng Yên và Nam Định trước đây có
cột cây số: Nam Định 3 km Bỗng dưng gần đây lại thấy thay bằng Nam Định
1 km (!) Có người coi trung tâm Nam Định là
Quảng trường Hòa Bình, người thì coi là hổ Vy Xuyên, có người lại coi là hổ Vy Hoàng Có người xác định cứ đến địa giới nội thành là
tính Vậy mới có trang website nói Hà Nội
cách Nam Định 45 km (họ lấy 2 điểm địa giới
gần nhất theo đường quốc lộ 1 và quốc lộ 21) Sự việc sẽ càng phức tạp nếu tính đến TP Hà
Nội với nội thành rộng hàng trăm km
Vấn đề đã có lời giải cách đây cả trăm năm Thời đó ở cửa Bưu điện Bờ hồ Hà Nội có cột cây số ghi: Hà Nội 0 km Ở cửa Bưu điện thành phố Nam Định (cạnh quảng trường Hòa
Bình) có cột cây số ghi: Nam Định 0 km Để tính khoảng cách giữa 2 thành phố Hà Nội, Nam Định người ta tính cách đi ngắn nhất ra
quốc lộ 1 từ cột cây số Hà Nội 0 km, đo dọc quốc lộ 1 rồi theo quốc lộ 21 vào cột cây số
Nam Định 0 km cũng theo phố có lộ trình
ngắn nhất Tổng cộng được 90 km Cả trăm
năm nay người ta nói Hà Nội - Nam Định 90 km Bây giờ do đường mới Phủ Lý - Nam Định
rút ngắn so với lộ trình cũ nên khoảng cách
mới Hà Nội - Nam Định là 87 km Ở các thị xã,
thị trấn đều có bưu điện trung tâm Đó là nơi
nên dựng các cột cây số 0 km Bạn nên lưu ý
khi nói khoảng cách giữa 2 địa điểm ngày nay ta thường hiểu đó là khoảng cách giữa 2 bưu
điện trung tâm theo đường bộ (Ở một số nước
châu Âu thì ngoài cách tính 2 bưu điện có > is 7 : = See tale + % s 3 i oe # et |Cac cot cay sé 0 Km BINH NAM HA NAM HA nước chọn cách tính giữa các nhà thờ lớn) Bên cạnh đó còn có các khoảng cách khác
nhưng phải nói cụ thể Ví dụ khoảng cách
bằng đường sắt giữa Hà Nội và Nam Định là 87 km (trước đây khác khoảng cách đường bộ
3 km, bây giờ tình cờ trùng nhau là 87 km) Đó là khoảng cách giữa ga Hàng Cỏ (ga Hà Nội) và ga Năng Tĩnh (ga Nam Định) chạy dọc theo đường sắt Còn khoảng cách đường
sông giữa Hà Nội và Nam Định là
408 km (tính từ bến Phà Đen, Hà Nội dọc
theo sông Hồng, sông Đào đến bến Đò
Quan, Nam Định)
Trở lại đầu bài, cột cây số cũ Nam Định 3 km là đúng Khoảng cách được tính đến Bưu điện
trung tâm là hợp lí Không thể tính đến Trụ sở các tỉnh, thành vì những trụ sở này có thể dịch chuyển, thay đổi do sự phát triển của đô thị
nhiều hơn tòa Bưu điện trung tâm Còn tại sao
lại là Bưu điện là câu hỏi các bạn tự trả lời
Trang 32
Hỏi: Anh Phó ơi! Trong lớp em có một bạn rất
hay phát biểu bài, kể cả các câu hỏi rất dễ bạn ấy cũng giơ tay phát biểu Các bạn khác
thì bảo bạn ấy là sĩ diện, anh có nghĩ thế không ạ? (HTV 9 THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Dinh, Nam Định) Dap: Hoc ma mu6én gidi Phải đủ bốn khâu: Nghe, nghĩ, nói, ghi
Khi ngồi trên lớp
Nghe thầy để hiểu Nghĩ sẽ hiểu sâu Nói ra nhớ lâu Ghi theo cách hiểu (Dùng từ sĩ diện chẳng đúng tẹo nào)
Hỏi: Anh Phó ơi! Khi học THCS em đọc Toán
Tuổi thơ thấy rất hay và bổ ích Khi em học
THPT thì có tạp chí tốn nào để đọc khơng ạ? (TTV THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế)
Đáp:
Tiểu học Tuổi thơ 1 Trung học Tuổi thơ 2 Riêng trung học phổ thông Toán học và Tuổi trẻ
Còn nhiều điều mới mẻ Báo giấy trễ suốt đời
Hỏi: Anh Phó ơi! Nếu em tham gia Cuộc thi
giải toán dành cho nữ sinh thì có cần dán ảnh vào bài thi của từng số hay không?
(Một bạn nữ trường THCS Trưng Vương,
Hà Nội)
Đáp:
Điều lệ của cuộc thi Dán lần đầu một ảnh
Nhớ ghi tên đầy đủ
Thế là được thi rồi
Trang 33CÁC LỚP THCS Bài 3(152) Giải hệ phương trình x+y+z=2016 xy yz ZX 2 21-2 217 z=1 Xếˆ+Xy+y“ y^ˆ+yZ+Z“ˆ Z“+ZXx+X CAO NGỌC TOẢN
(GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)
Bài 4(152) Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = a, AC =b,
SỐ AB = c Tìm giá trị nhỏ nhất của P _(a+b\(b+c)(caa)
CÁC LỚP 6 & 7 abc
Bài 1(152) Tìm chữ số tận cùng của một ` TT CAO MÌNH QUANG
lũy thừa, biết rằng cơ số của lũy thừa đó (GV THPT chuyên Nguyên Bính Khiêm, Vĩnh Long) là số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số và Bài 5(152) Kí hiệu [y] là số nguyên lớn nhất không vượt quá
hiệu hai chữ số đó bằng 7, số mũ của lũy y và phần lẻ của y là {y} = y - [y]
thừa đó là số tự nhiên nhỏ nhất có 16 giải phương trình [x[x]] + 4{x} = 16
ước số dương VŨ HỒNG PHONG (Phòng Gia dị và Bà as (GV THPT Tiên Du 1, Tiên Du, Bắc Ninh)
Tam Dương, Tam Dương, Vĩnh Phúc) Bài 6(152) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), Bài 2(152) Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE Goi | la trung điểm của DE Tia AI cắt đường tròn (O) tại M khác A Gọi N là điểm đối xứng của
A = 45°: B =120° Trên tia AB lấy điểm ốm —
D sao cho AD = 3AB Tính số đo gócADC _M qua BC Chung minh rang BNC = DNE
THÂN VĂN CHƯƠNG THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THCS Võ Như Hưng, Điện Bàn, (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh,
Quảng Nam) Khánh Hòa)
SOLVE VIA MAIL COMPETITION QUESTIONS
Translated by Nam Va Thanh
1(152) Find the last two digits of the power of a number, given that the base is the largest two-digit whole number whose difference of the two digits equal to 7, and that the exponent is the smallest whole number having 16 positive divisors
2(152) Let ABC be a triangle having ZA = 45° and 2B = 120° Let D be the point on the ray AB such Q that AD = 3AB Find the measure of the angle ADC
Doe ee es es ee ¬ 3(152) Solve the following simultaneous equations PHIẾU DANG Ki 0 X+y+z=2016 xy yZ ZX 2 2° 9 21 z=1 X“ˆ+Xy+y“ y“^ˆ+yZz+zZ“ Zˆ+Zx+x 4(152) Let ABC be a right-angle triangle with the right angle at C and let THAM DU BC = a, AC = b, and AB = c Find the minimum value of the expression ^ (a + b)(b + c)(c + a) P= CUỘC THỊ —
5(152) Denote [y] as the largest integer not exceeding y, and the fractional
part of y as {y} = y — [y] Solve the equation [x[x]] + 4{x} = 16
6(152) Given an acute triangle ABC inscribed in a circle (O), and its heights BD and CE Let / be the midpoint of DE The ray Al intersects the circle (O)
Trang 34KUP '!IIIÌIJIEIIƑEHII[T
Điều lệ cuộc thi đăng ở TTT2 số 140, 144 Câu hỏi đăng trên các số tạp
chi trong ca nam 2015
Cau 22 Ban hay chú thích cho G bức ảnh trên
Câu 23 Bức ảnh đó chụp ở nước nào? Bạn hãy giới thiệu 1O dòng về
nước đó
Câu 24 Các nước nào trong số có ảnh ở trên không thuộc vào ASEAN?
Trang 35Một hoạt động văn hóa đậm chất dân tộc và là niềm tự hào của người Việt mình Bức ảnh chụp rất tự
nhiên một vẻ đẹp không lời mà như nói với ta bao điều Bạn có thể viết những gì khi nhìn bức ảnh đẹp này? Tạp chí đợi bài viết hay của các bạn gửi về và hi vọng nhiều bạn sẽ được nhận qua tặng MORISVU & Ảnh: Phan Ngọc Quang CAC HOC SINH DUOC KHEN TRONG CUOC THỊ GIẢI TOAN DÀNH CH0 NỮ SINH Tu trai sang phai: Kim Thi Hong Linh, Dang Thi Lan, Pham Thuy Linh, Lé Héng Anh, Tran Thu Hang
Œb Crsww=»e““ Gang ty CP VPP Héng Ha là nhà tài trợ cho 2
SINCE 1959 4n xs tin Giải toán qua thư ì Giải toán dành
Luu teuyéin thing - Oiét tuong lai _ :
cho nữ sinh