Tạp chí toán học và tuổi trẻ tháng 2 năm 2020 số 512

ttps:/www, facebook com/Metrungkienmath XUAT BAN TU 1964 51 TAP CHi RA HANG THANG - NAM THU 57 G HOC CƠ SỞ UN TR VA G ON TH O PH C HO G UN TR O CH NH DA Trụ sở: 187B Giảng Võ, Hà Nội 2020 So https ://sites.google.com/site/letrungkienmath hành, Trị sự: (024) 35121606 ĐT Biên tập: (024)35121607; ĐT - Fax Phát n/toanhoctuoitre site: http://www.nxbgd.v Web m co ail @gm nam iet rev oit ctu nho toa l: Emai Nhà toán học Đức Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) -Cảnh đẹp Hannover (CHLB Đức TẠO ĐÀO VÀ DỤC )) BỘ GIÁO DỤC VIỆT NAM NHÀ XUẤT BẢN GIÁO ` 0hân trời sáng Íq0 BỘ SÁCH GIÁO KHOA OIA CHÂN TRỜI SANG TẠO Be O° IS Tự nhiên Xã hội Âm nhạc Mi thuật Hoạt động trải nghiệm Giáo dục thể chất Family and Friends 1 (National Edition), Student book SACH GIAO VIEN ils Tieng Việt 1, tập một- SGV: t2: Tiếng Việt 1, tap hai - SGV Toan - SGV Dao duc - SGV @§ự nhiên Xã hội - SGV a nhac - SGV Mithuat - SGV - Hoạt động.trải nghiệm 1-SGV áo dục thể c ất 1-SGV ly: and Friends (National Edition), Teacher |Guide i TRUNG IL GIỚI THIEU MINKOWSKI SƠ Hermann LƯỢC VE Minkowski (sinh ngày 22 tháng nam 1864 Kaunas, Litva — Mat 12 thang Gottingen) nam 1909, 14 tai métnha todn học Đức gộc Litva, người phat trién hinh hoc ctia số sử dụng phương pháp hình học để giải tốn khó /zyế: tốn Lý thuyết tương đối Hermann Minkowski hoc số, Vật lý Dai a,=t.b, s Dạng cụ thể: - Cho hai số thure (a,b); (c,d), ta có: Va? +B? +x|c2 + đ? >j(a+e} a=kb, c= kd oe da day tai Dai hoc Bonn, Göttingen, Königsberg va Zurich Tai Vién Bach khoa Lién bang (Federal Polytechnic Institute), Z7 Z„zrich, ông thầy giáo cua Einstein ll BAT DANG THUC MINKOWSKI s Dạng tổng quát: Cho hai (0001:0500) số thực va ta ln có: vấp + bổ +ja; 10; + +Ajđy + Dạ 2, thức 2 (at+cte) +(b+d+f) xảy tổn a=rb,c=rd,e=rƒ rzel§ a € ee ba ⁄ cho (với Để chứng minh BĐT ta sử dụng BDT Bunyakovsky Ill MOT SO UNG DUNG CUA BAT DANG THUC MINKOWSKI Giải phương trình Thí dụ 1.1 Giải phương trình: Vx? +12x4+614+Vx? -14x4+113 = Lời giải ĐK: © > (a +a, +.+4,) +(b +b, + 48,) Đăng thitc xay ton tai teR cho es a (4,4,, ,4,) (với bđ z0) Ve +P ale te sles fe bdf #0) Minkowski cho - Cho hai sô thực (a,b,e); (d,e, f), ta cd: giải thưởng toán học Viện Hàn lâm khoa học Hermann +(b+d) Dang thitc xảy tồn tai keR Dang cho cơng trình lý thuyết dang toàn phương a (với b #0) hoc Berlin va Kénigsberg, noi 6ng nhận học vị TÍGH"¡ Sỉ: mana 1885 hướng dan cua Ferdinand von Lindemann Khi cịn sinh viên tai Kưnigsberg, năm 1883 ơng nhận Pháp a a Hồ) (i=1,2, ,n) hoac += `: 338 x° +12x+61>0 x -14x+113>0 (x+6) +25>0 (x-7) +6420 ae âđD=R PT da cho tuong duong voi \(x+6) +5? +4(7-x) +8? = 33g Số 512(2-2020) eNOS ñ https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lời gidi Ap dung BDT Minkowski ta 06; Ap dụng BĐT Minkowski ta duge: [eonti+(P-yt! VI =y(x+6) +5? +4/(7-x) +8? >4(x+6+7—x)”+(5+8 ? _ 338 = VP Đẳng thức xy : (x+6).8=5(7-x)ôâx=-l Do ú x=1 l nghim PT Thí dụ 1.2 Giải phương trình V8x? -16x+10 +V2x? 4x44 =] —x2 428 Lời giải 8x? -16x+1020 2x7 -4x4+4>20 DK: 7-x Ệ |8(x-1)' +220 © +2x>0 ;) ⁄3 ÿ hợp với PT đầu hệ ta x = y =2 (x-1) \(2x~1+2~x)” +(3~2x+ x} =2x?~4x+10 =.Í2(x~D° +8 >8, J8-(x-1) >8 © 8-(x-1)' 28 0) Trong tam giác vung ABH Ta có: Tứ giác BNMD nội tiếp suy ra: BND =BMD (=‡x 20) (2).Goi O la giao điểm hai đường chéo hình vng 4PN, NHP = 90” nên điểm 4, P, H, M, N thuộc đường tròn tâm Ĩ, bán kính Ø4, TH NG Số 512(2-2020) CF vng góc với 4D Đặt: 4g = ©,AC=b HB = AB.cos ABC =c.cosC vng ÁACH ta có HC H H cosB Wee _ c.e a góc với 47) = ()- Ta có:ụ 8E // ta có: Trong tam giác b.cos po (cùng vng (@P Cau (2 diém) Cho AABC, c6 BAC>90°, H Câu diém) Rút gọn biểu thức: Nà „ +6 x l6 +V 2x Se es he ee chia hét cho 2019 góc tr 4, AH=6cm,BH=3cm Tính Câu (2 điểz) Cho đường trịn (7) có tâm Ĩ đường kính Câu (2 diém) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xy, cho đường thăng đ có phương trình (m tham số thực) Tìm tất y=mx+m—] vuông dién tich AABC inal 1 ata ta eerie 2, 48 2017 a ( đường CAH=3BAH, etl oc C4u 2 diém) Ching minh rang: OOS chân 4B cố định Gọi động đường tròn (7) ẤM điểm di cho M khéng tring voi A va B Goi C la diém d6i ximg voi diém O qua diém Đường thắng vng góc với AB € cắt AMtại N, đường thắng B⁄ tọa độ Óx, Óy tam giác có diện tích cắt đường thắng CN điểm #Ƒ Chứng minh độ dài đoạn thắng MF ngan nhat thi Câu (2 điểm) Cho số a,b,c thỏa mãn: la tam cha ABNF giá trị zø để đường thẳng đ ab+bce+ca=2019abe Tính 4= a2019 ¿2019 tạo với trục Câu (2 điểm) Cho số dương a,b,c Chimg va 2019(a+b+c)=1 „2019 mỉnh rằng: Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình: Z se ge eae ab+5b” be+5c” ca+5a x? +y? +xy+2x%=Sy fe +2x)(x+y~3)=-3y' Câu (2 diém) Cho hinh vng 4BCD có cạnh a Trên cạnh CD BClấy điểm Ä, cạnh lay diém N cho chu vi tam gidc CMN =- 2a.Chimg minh rang sé géc MAN không đổi KKK KKK = BE = Ae: =—— MC “CF ADB = ACB nên Cau 10 (2 diém) Cho 1000 điểm phân biệt M,,M), Myoo9 mặt phẳng Vẽ đường trịn (C) bán kính =1 tồn điểm S tùy ý Chứng minh đường (định lý Thales) (2) Ta có: phụ (góc nội tiếp chắn cung 48 ), ABE = ACB, ACF EBC DBE ), góc lập luận tương tự, có: ta Trong tam giác vuông ABE ta co: BE = AB.cos 4BC =c.cosC Trong vng 4CF ta có: CF = AC.cos ACF BE c.cosC Borde: cr b.cosB tam giác =b.cos B (3) Từ (1), (2), (3) ta có: trịn (C) Sao cho SM, +SM) + +SMyo99 21000 TRAN MANH CUONG (GW THCS Kim Xá, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc) Giới thiệu RE KEE REE ERE ERE RE RAR KERRIER IKKE ER ERE KEE R ERE RER ER ERE REE RE REE ABE = ADB (cùng 43) G Sj2m By $3 RER ERE KEE KERR ERK HH _ MB _c.cosB „00sC c| cosBÖ HC" MC bo” b.cosB es Vi cac géc B, Cnhon nén: cosB >0, cosƠ | cosC >0 Ap dung BDT Cauchy cho hai s6 dương ta có: cosB cosC cosB cosC >2 cosC cosB cosC cosB Do HG, M9 So 00100 V.(900015)18/) AB 210) Dấu “==” xảy cosŒ=cosBð = AABC can tai A B=C BÙI VĂN CHỊ (21⁄2 Lê Hồng Phong, TP Quy Nhơn, Bình Định) Số 512(2-2020) CƯ: Trong tam giác tồn đường tròn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp Điều cịn không với với tứ giác? Trong viết giới thiệu tứ giác Sách giáo khoa phơ thơng đề cập ''Đường tròn tiếp xúc với bốn cạnh tứ giác” mà ta thường gọi đường tròn nội tiếp tứ giác hay tứ giác ngoại tiếp đường tron Henri Pithot la n xi y da u Sa ác gi tứ nh cạ c cá i vớ c tâm tiếp xú , ác gi tứ h an qu ng xu án to i bà giới thiệu số ngoại Hep đường Bài toán Cho /ứ giác ABCD tron (I) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm cua (I) với cạnh AB, CD, BC, DA Ching minh AC, BD, MP, NO dong quy Lời giải kỹ sư người Pháp, nhiều định lý hình học mang tên ơng, năm 1725 ơng cơng bó tính chất “7 giác lơi ABCD ngoại tiếp đường trịn AB + CD = BC Pithot Nam + DA” có sách gọi Định lý 1846 nhà tốn học Thụy Sỹ Jakob Steiner cing da đưa nội dung cách chứng minh tương tự Chúng ta chứng minh tính chất Chứng mính Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (7), tiếp điểm thứ tự với cạnh AB, BC, CD, DA M, N, P, Q AM= AO, BM= BN, CN = CP, DP = DQ + DA Cộng lại ta có 4B + CD = BC Ngược lại, xét 4B + CD = BC + DA < 4D, 4B + CD = BC + DẠ Giả sử 4B = BC DP = DQ Ti dé, tam giác 4BO, CBP DPQ tam giác cân Suy phân giác góc đỉnh 4, €, D ba đường trung trực ABPO, nên đường đồng quy tai J Do cách cạnh tứ giác 4BCD, suy tồn đường tròn S Gee S6 512 (2-2020) với cạnh 4B, BC, IM L 4B, IP LCD, từ IM= IP > CD, AIMP DA nên tam giác cân = IMP = IPM => BMP =90° - IMP =90° - IPM = MPC Ti C kẻ đường thăng song song v6i AB cat MP tai E thi CEP = BMP= CPM Do d6 A CPE 1a tam gide cân = CP = CE Gia sit AC cat MP tai K, AB song song KC [IP (ï) voi CE nén_ theo dinh ly Thales: CE cp \: Goi Hla giao diém etta AC voi NO, AF song song BC, chứng minh tương tự ta có A TT 4Q (2) Mặt khác 4B, BC, CD, DÁ GRC) tiếp tuyến đường tròn (7) nén AM= AO, CP = CN Từ (1) (2) nằm AC suy K = 7ÿ, AK AH,KvàH —=—_ KG se Tương tự ta ching h BD, MP, NỌ đồng avy, nén AC, BD, MP, N O dong quy ... nénx=-l (loai) 3 +2/ 2)(3 ~24 2)|f5+2j2 +Ñ-2j] ©z=6+ 2S x=-] 56 120 -20 00 ©2y—y—1=0 ©0-1)2y+1)=0 y=1 (chon); y= -5 (loại) « Vớix= yy) 2, thay vào phương trình cho, ta có: 4/°+y +2+ 1=4+2y?+2y a0) are (chop)... đương với “lỗ (3 2( x-1) +22 0 ©1-2V2