BAT DANG THUC LUONG GIAC

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Lê Tuấn Tú – olympia41124 The Inequalities Trigonometry N M O O 1 O 2 C h a x y z N Q P A B C M n n n aaa n aaa 21 21 ≥ + + + 2 3 coscoscos ≤++ CBA R cba zyx 2 222 ++ ≤++ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ xyz zyx z C y B x A 2 coscoscos 222 ++ ≤++ 2 tan 2 tan 2 tan cotcotcot 222 3 222 CBA cba CBA cba ≤         ++ ++ www.VNMATH.com Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác The Inequalities Trigonometry iii Các ký hiệu thường dùng : Trong chuyên ñề này, ta dùng gần như xuyên suốt các ký hiệu sau ñây : ABC ∆ : tam giác ABC CBA ,, : các góc của tam giác ABC cba ,, : các cạnh ñối diện lần lượt với các góc CBA ,, cba hhh ,, : các ñường cao ứng với các cạnh cba mmm ,, : các ñường trung tuyến ứng với các cạnh cba lll ,, : các ñường phân giác ứng với các góc SRrp ,,, nửa chu vi , bán kính nội tiếp, bán kính ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC cba rrr ,, bán kính ñường tròn bàng tiếp ứng với các góc CMR : chứng minh rằng ðpcm : ñiều phải chứng minh. www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác The Inequalities Trigonometry i Mục lục Lời nói ñầu …………………………………………………………………………… 1 Chương 1 : Các bước ñầu cơ sở 3 1.1. Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản…………………………………………… 4 1.1.1. Bất ñẳng thức AM – GM… …………… 4 1.1.2. Bất ñẳng thức BCS…………………………………………………… 8 1.1.3. Bất ñẳng thức Jensen……………………………………………… 13 1.1.4. Bất ñẳng thức Chebyshev………………………………………… 16 1.2. Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác…………………………… 19 1.2.1. ðẳng thức…………………………………………………………… 19 1.2.2. Bất ñẳng thức……………………………………………………… 21 1.3. Một số ñịnh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ðịnh lý Largare ……………………… ……………………………. 22 1.3.2. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai………………………………… 25 1.3.3. ðịnh lý về hàm tuyến tính…………………………………………… 28 1.4. Bài tập…………………………………………………………………… 29 Chương 2 : Các phương pháp chứng minh 31 2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương ……………………………………… 32 2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở …………………………………………… 38 2.3. ðưa về vector và tích vô hướng ………………………………………… 46 2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển ……………………………………… 48 2.5. Tận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ……………………………………… 57 2.6. Bài tập ……………………………………………………………………. 64 Chương 3 : Áp dụng vào một số vấn ñề khác 66 3.1. ðịnh tính tam giác………………………………………………………….67 3.1.1. Tam giác ñều………………………………………………………… 67 3.1.2. Tam giác cân………………………………………………………… 70 3.1.3. Tam giác vuông………………………………………………… … 72 3.2. Cực trị lượng giác………………………………………………………….73 3.3. Bài tập…………………………………………………………………… 76 Chương 4 : Một số chuyên ñề bài viết hay, thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 77 Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……………………………… 78 Ứng dụng của ñại số vào việc phát hiện và chứng minh bất ñẳng thức trong tam giác… ………………………………………………………………….82 Thử trở về cội nguồn của môn Lượng giác……………………………… 91 www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác The Inequalities Trigonometry ii Phương pháp giải một dạng bất ñẳng thức lượng giác trong tam giác…… 94 Chương 5 : Bất ñẳng thức như thế nào là hay ? Làm sao có thể sáng tạo bất ñẳng thức ? 99 Chương 6 : Hướng dẫn giải bài tập 101 www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác The Inequalities Trigonometry 1 Lời mở ñầu “Nơi vật lý và hoá học dừng chân chính là nơi toán học bắt ñầu” Toán học mang một sự bao la phong phú vô tận của khoa học tự nhiên. Toán học như một bầu trời ñêm thăm thẳm ñầy sao lấp lánh. Một trong những ngôi sao sáng nhất là ngôi sao mang tên “Bất ñẳng thức lượng giác”. Bất ñẳng thức là một lĩnh vực ñặc sắc của ðại số. Còn lượng giác lại là ñại diện xuất sắc của Hình học. Khi có sự kết hợp hoàn hảo giữa ðại số và Hình học, ta có ñược một vấn ñề hết sức thú vị và ñáng quan tâm : “Bất ñẳng thức lượng giác”. Một vấn ñề ñã mang lại bao hứng thú cho các nhà toán học, cho giáo viên dạy toán, cho học sinh giỏi toán khắp mọi nơi. Từ các quan hệ góc cạnh chặt chẽ trong tam giác ñến những tính chất diệu kỳ của lượng giác trên ñoạn ],[ π π − , tất cả ñều mang nét quyến rũ bí ẩn ñặc trưng của toán học. Vì vậy vấn ñề hấp dẫn này sẽ mãi là ñề tài nghiên cứu và khám phá cho mọi thế hệ người học toán trong quá khứ, hiện tại và tương lai. ðọc ñến ñây có lẽ bạn ñọc cho rằng tác giả hơi quá lời. Nhưng sự thật là vậy ! Sau khi ñọc chuyên ñề này, bạn ñọc sẽ ñồng ý với tác giả. Chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” sẽ ñưa bạn ñọc từ những bất ñẳng thức cơ bản dễ chứng minh ñến những bài toán gay go phức tạp, từ phương pháp cổ ñiển quen thuộc ñến phương pháp hiện ñại mới mẻ. Vì vậy chuyên ñề phù hợp cho mọi trình ñộ người ñọc. Chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” ñược chia làm 6 chương : Chương 1: Các bước ñầu cơ sở. Chương này tác giả trang bị cho người ñọc những “vật dụng” cần thiết cho việc chứng minh bất ñẳng thức lượng giác. Chương 2: Các phương pháp chứng minh. Chương sẽ bao gồm hầu như toàn bộ các phương pháp thường dùng khi chứng minh bất ñẳng thức lượng giác. Chương 3: Áp dụng vào một số vấn ñề khác. Các bất ñẳng thức lượng giác ñược vận dụng ñể giải quyết một số vấn ñề khác trong giải phương trình, ñịnh tính tam giác, tìm cực trị… Chương 4: Một số chuyên ñề, bài viết hay, thú vị liên quan ñến bất ñẳng thức. Chương 5: Bất ñẳng thức như thế nào là hay ? Làm sao có thể sáng tạo bất ñẳng thức? ðây lại là một chương thú vị về quan niệm bất ñẳng thức của tác giả và một số ý kiến quan ñiểm của giáo viên toán, học sinh giỏi toán quen thân với tác giả ñược thu thập và trình bày. Chương 6: Hướng dẫn giải bài tập. Trong từng phần của các chương ñều có các bài tập tương tự với bài toán ñược trình bày trong chương ñó ñể bạn ñọc luyện tập. Chương này sẽ là chương ñể trình bày lời giải hoặc hướng dẫn cho các bài tập này. Mong rằng chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” sẽ trở thành người bạn ñồng hành trên con ñường khám phá vẻ ñẹp “Toán học muôn màu” của bạn ñọc. Cuối cùng tác giả chân thành gửi lời cảm ơn ñến các bạn Lê Ngọc Anh, Trần ðăng Khuê và Nguyễn Thanh Tú (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) ñã cung cấp những tài liệu quý giá giúp cho chuyên ñề trở nên www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác The Inequalities Trigonometry 2 phong phú ña dạng hơn. Ngoài ra tác giả cũng xin cảm ơn những ý kiến ñóng góp nhiệt tình của : – Lê Phước Duy, Huỳnh Hữu Vinh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ). – Nguyễn Huỳnh Vĩnh Nghi, Lê Hoàng Anh (HS chuyên toán khóa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ). – Võ Quốc Bá Cẩn (HS chuyên toán khóa 2003 – 2006 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ). – Tạ Thanh Thủy Tiên (GV chuyên toán Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ ). ñể hoàn thiện chuyên ñề này. Cần Thơ, ngày 14 tháng 02 năm 2007 Lê Tuấn Tú HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ Mọi thắc mắc, ý kiến ñóng góp về chuyên ñề “Bất ñẳng thức lượng giác” xin gửi cho tác giả theo email : olympia41124@yahoo.com.vn hay nick olympia41124 trên www.diendantoanhoc.net , www.mathnfriend.net và www.mathnfriend.org . www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 3 Chương 1 : CÁC BƯỚC ðẦU CƠ SỞ ðể bắt ñầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang ñể lên ñường. Toán học cũng vậy. Muốn khám phá ñược cái hay và cái ñẹp của bất ñẳng thức lượng giác, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng, ñó chính là chương 1: “Các bước ñầu cơ sở”. Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác. Theo kinh nghiệm cá nhân của mình, tác giả cho rằng những kiến thức này là ñầy ñủ cho một cuộc “hành trình”. Trước hết là các bất ñẳng thức ñại số cơ bản ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Tiếp theo là các ñẳng thức, bất ñẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác. Cuối cùng là một số ñịnh lý khác là công cụ ñắc lực trong việc chứng minh bất ñẳng thức (ñịnh lý Largare, ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai, ñịnh lý về hàm tuyến tính …) Mục lục : 1.1. Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản…………………………………………… 4 1.1.1. Bất ñẳng thức AM – GM… …………… 4 1.1.2. Bất ñẳng thức BCS…………………………………………………… 8 1.1.3. Bất ñẳng thức Jensen……………………………………………… 13 1.1.4. Bất ñẳng thức Chebyshev………………………………………… 16 1.2. Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác…………………………… 19 1.2.1. ðẳng thức…………………………………………………………… 19 1.2.2. Bất ñẳng thức……………………………………………………… 21 1.3. Một số ñịnh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ðịnh lý Largare ……………………… ……………………………. 22 1.3.2. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai………………………………… 25 1.3.3. ðịnh lý về hàm tuyến tính…………………………………………… 28 1.4. Bài tập…………………………………………………………………… 29 www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 4 1.1. Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản : 1.1.1. Bất ñẳng thức AM – GM : Với mọi số thực không âm n aaa , ,, 21 ta luôn có n n n aaa n aaa 21 21 ≥ +++ Bất ñẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là một bất ñẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. ðây là bất ñẳng thức mà bạn ñọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất ñẳng thức. Sau ñây là hai cách chứng minh bất ñẳng thức này mà theo ý kiến chủ quan của mình, tác giả cho rằng là ngắn gọn và hay nhất. Chứng minh : Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy Với 1 = n bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng. Khi 2 = n bất ñẳng thức trở thành ( ) 0 2 2 2121 21 ≥−⇔≥ + aaaa aa (ñúng!) Giả sử bất ñẳng thức ñúng ñến kn = tức là : k k k aaa k aaa 21 21 ≥ +++ Ta sẽ chứng minh nó ñúng với kn 2 = . Thật vậy ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) k kkk k kkk k k kkkk kkkk aaaaa k aaakaaak k aaaaaa k aaaaaa 2 2121 22121 22121 22121 2 + ++ ++ ++ = ≥ ++++++ ≥ +++++++ Tiếp theo ta sẽ chứng minh với 1 − = kn . Khi ñó : ( ) 1 121121 1 121 1 121121 1 121121 1 − −− − − − −− − =− −≥+++⇒ = ≥++++ k kk k k k k kk k kk aaakaaa aaak aaaaaakaaaaaa Như vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn. ðẳng thức xảy ra n aaa ===⇔ 21 Cách 2 : ( lời giải của Polya ) www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 5 Gọi n aaa A n + + + = 21 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với n n Aaaa ≤ 21 (*) Rõ ràng nếu Aaaa n ==== 21 thì (*) có dấu ñẳng thức. Giả sử chúng không bằng nhau. Như vậy phải có ít nhất một số, giả sử là Aa < 1 và một số khác, giả sử là Aa > 2 tức là 21 aAa << . Trong tích n aaaP 21 = ta hãy thay 1 a bởi Aa = 1 ' và thay 2 a bởi Aaaa −+= 212 ' . Như vậy 2121 '' aaaa +=+ mà ( ) ( ) ( ) 0'' 2121212221 >−−=−−+=− AaAaaaAaaAaaaa 2121 '' aaaa >⇒ nn aaaaaaaa '' 321321 <⇒ Trong tích n aaaaP ''' 321 = có thêm thừa số bằng A . Nếu trong 'P còn thừa số khác A thì ta tiếp tục biến ñổi ñể có thêm một thừa số nữa bằng A . Tiếp tục như vậy tối ña 1 − n lần biến ñổi ta ñã thay mọi thừa số P bằng A và ñược tích n A . Vì trong quá trình biến ñổi tích các thừa số tăng dần. n AP <⇒ . ⇒ ñpcm. Ví dụ 1.1.1.1. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác nhọn. CMR : 33tantantan ≥++ CBA Lời giải : Vì ( ) C B A BA CBA tan tan tan 1 tantan tantan −= − + ⇔−=+ CBACBA tantantantantantan = + + ⇒ Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương. Theo AM – GM ta có : ( ) ( ) 33tantantan tantantan27tantantan tantantan3tantantan3tantantan 2 33 ≥++⇒ ++≥++⇒ ++=≥++ CBA CBACBA CBACBACBA ðẳng thức xảy ra ⇔ = = ⇔ CBA ∆ABC ñều. Ví dụ 1.1.1.2. Cho ∆ ABC nhọn. CMR : 3cotcotcot ≥++ CBA www.VNMATH.com Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 1 Các bước ñầu cơ sở The Inequalities Trigonometry 6 Lời giải : Ta luôn có : ( ) CBA cotcot −=+ 1 cot cot cot cot cot cot cot cotcot 1cotcot = + + ⇔ −= + − ⇔ A C C B B A C BA BA Khi ñó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3cotcotcot 3cotcotcotcotcotcot3cotcotcot 0cotcotcotcotcotcot 2 222 ≥++⇒ =++≥++⇔ ≥−+−+− CBA ACCBBACBA ACCBBA Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC ñều. Ví dụ 1.1.1.3. CMR với mọi ∆ ABC nhọn và *Nn ∈ ta luôn có : 2 1 3 tan tan tan tantantan − ≥ ++ ++ n nnn C B A CBA Lời giải : Theo AM – GM ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 33 3333tantantan3 tantantan tantantan tantantan3tantantan3tantantan − − − =≥++≥ ++ ++ ⇒ ++=≥++ n n n nnn nn nnn CBA CBA CBA CBACBACBA ⇒ ñpcm. Ví dụ 1.1.1.4. Cho a,b là hai số thực thỏa : 0coscoscoscos ≥ + + baba CMR : 0coscos ≥ + ba Lời giải : Ta có : ( )( ) 1cos1cos1 0coscoscoscos ≥++⇔ ≥ + + ba baba Theo AM – GM thì : www.VNMATH.com