So 48 Full re pdf
Trang 2@ Ki nay:
Chắc các bạn đã làm nhiều bài toán thay các chữ cái
khác nhau bởi các chữ số khác nhau để được phép tính đúng Nhân dịp năm mới 2007 đã đến và Tết Đinh Hợi sắp tới, xin mời bạn hãy “số hóa các chữ cái” để được íf nhất một phép tính đúng :
ĐINH + HƠI = 2007 ;
ĐINH - HƠI = 2007
S6 HOA DUOC KHONG ?
KHANG KHÔI MINH (Hà Nội) @ Két qguưiú ‡ (TTT2 số 46) e Dùng các chữ số từ 1 đến 9 để lập thành các số có 5 chữ số khác nhau, ta sẽ lập được tất cả là 9 x8 x 7x6 x5= 15120 số
Trong đó, mỗi chữ số từ 1 đến 9 đều
xuất hiện ở các hàng (vạn, nghìn, trăm,
chục và đơn vị) với số lần như nhau là 15120 : 9 = 1680 lần Suy ra tổng các chữ số ở mỗi hàng của tất cả 15120 số này đều bằng nhau là 1680 x (1+2+ 3+ + 9) = 1680 x 45 = 75600 Vậy tổng của tất cả 15120 số trên là 75600 x (10 + 103 + 103 + 10 + 1) = 839991600 e Ta cũng có thể nhận xét, tập hợp 15120 số trên luôn nhóm được thành 7560 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổng các chữ số cùng hàng là 10 và tổng của mỗi cặp số đó luôn bằng nhau là 111110 Từ đó ta cũng tính được tổng của 15220 số trên là 7560 x 111110 = 839991600
e Các bạn được thưởng kì thi này là
Đào Lê Anh Tuấn, 7C, THCS Quang
Trung, Ngô Quyền, Hải Phòng ;
Nguyễn Thị Hiền, 8A›s, THCS Trưng
Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc ; Nguyễn
Tiến Phương, 7B, THCS thị trấn Sông
Thao, Cẩm Khê, Phú Thọ ; Trần Hà
Lan, 8A4, THCS Giảng Võ, Ba Đình,
Hà Nội ; Phùng Mạnh Linh, 7Aa, THCS
Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam
Định ; Vương Hùng Mạnh, 6/3, THCS Lê
Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương
ANH COMPA
Trang 3
Khi giải xong
một bài toán trong sách giáo khoa,
nhiều bạn coi như
là xong việc Thật
là đáng tiếc vì các bạn đã bỏ lỡ một cơ hội
rèn luyện và khám phá cho mình Bao giờ các bạn cũng nên tự đặt ra câu hỏi : Nghĩ
thêm được điều gì 2 Khi đó các bạn sẽ thấy nhiều điều thú vị Ta hãy xuất phát từ một
bài toán trong sách giáo khoa Hình học 9 tập một :
Bài 30 trang 116 Cho nửa đường tròn
tâm O có đường kính AB Gọi Ax, By là các
tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường
tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ
AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M
khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường
tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng :
a) COD = 900 b) CD = AC + BD
c) Tích AC-BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn y Zz D x J M CKY K G A 0O,H O B
Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau và tam giác đồng dạng, chúng ta sẽ
chứng minh được các kết quả trên
Nếu suy nghĩ thêm ta có thể đặt ra nhiều
NGHi THEM DUOC DIEU Gi?
VU THI THANH BINH
(THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định) câu hỏi khác xoay quanh bài toán này :
d) Nếu M chuyển động trên nữa đường
tròn tâm O thi trong tam G của AAMB
chuyển động trên đường nào ?
Hướng dẫn :
Ta nhận thấy rằng OG =OM =sOA không đổi, O cố định nên G chuyển động
trên nửa đường tròn tâm O bán kính SOA
thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia Ax, By (trừ hai điểm nằm trên AB)
e) Nếu M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O thì trung điểm ! của AM chuyển
động trên đường nào ? Hướng dân :
Các bạn có thể thấy OAM là tam giác
cân tại O, có / là trung điểm của AM suy ra
OI vuông góc với AM, từ đó có được điểm
I chạy trên nửa đường tròn đường kính OA
cố định (cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia Ax, By) trừ hai điểm A và O
Các bạn cũng có thể thấy, với O, là trung điểm của OA thì O, cố định và /O, là
đường trung bình của AAOM, suy ra
10, = SOM = S0A không đổi, cũng dẫn đến
kết quả trên
f) Có thể xác định vị trí của M trên đường
tròn tâm O sao cho diện tích của ACOD đạt giá trị nhỗ nhất (GTNN) không ?
Hướng dẫn : Câu trả lời là “có” vì
Trang 4đường tròn nội tiếp ACOD Chứng minh x 1F 1 rằng —<—<-— 3 R 2 Hướng dẫn : Gọi độ dài các cạnh CD, CO, DO lần lượt là a, b, c ta có S(COD) = sa +b+c)r= sar, suy ra (a+b+cr=aR=>-==— — (1) R a+b+c Mặt khác, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có b + c > a suy ra a+ b+c> 2a a 1 —<- (2) a+b+c 2 Ta lại có b < a và c < a Suy ra a+b+c<3a=—3 >2, (3) a+b+c 3 Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm
h) Tiếp tục gọi Fạ, F2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác COM
và DOM Chứng minh rằng rˆ = rỆ + rể Hướng dẫn : Ta thấy các tam giác vuông
COD, CMO và OMD đồng dạng, suy ra
S(CMO) _ CO^ _ P(CMO):n, _ co?
S(COD) cp? P(COD)-r cp? (trong đó P(.) là nửa chu vi, S(CMO) =
P(CMO)-r, và S(COD) = P(COD)-!) CO.n CO* nr => = => CD-r cp2 CO CD Tương tự ta có fp _ r h _ F2 _ r DO CD CO DO CD fo 6 rr +6 => = = =
CO? DO* CD* co?2+poˆ
Mat khac CD? = CO* + DO? (vi ACOD
vudng tai O) suy ra dpcm
i) Goi K là giao điểm của OD và MB Hãy xác định vị trí của điểm M để tứ giác OKMI là hình vuông Hướng dẫn : Tứ giác OKMI luôn là hình chữ nhật nên nó trở thành hình vng © MI = MK › MA = MB M là trung điểm cua AB
k) Tur M, ké MH vuông góc với AB Hãy xác định vị trí của M để chu vi AMOH đạt giá trị lớn nhất Hướng dẫn : Ta có chu vi AMOH = = HM+HO+ OM=HM+HO+R; (HM + HO)? < 2(HM* + HO?) = 2R° suy ra HM+HO<J/2-R = chu vi AMOH < (V2 +1)-R Dang thức xảy ra © HM =
© AOM = 45° hoac BOM = 45°
Vậy chu vi AMOH đạt giá trị lớn nhất là
(2 +1)-R
e Các bạn hãy thử quan tâm tới một bài
toán khác trong sách giáo khoa Hình học 9 tập một :
Bài 39 trang 123 Cho hai đường tròn
(O) và (Ơ) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B c (O), € c (Ơ)
Tuyếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp
tuyến chung ngoài BC ở /
a) Chứng minh rằng BAC = 90°
b) Tính số đo góc O/Ơ
c) Tính độ dài BC, biết OA = 9 cm,
Ơ A =4 cm
Tiếp tục khai thác, phát triển bài toán ta
có thể nêu thêm những vấn đề khác cho
bài toán :
d) Hãy tính BC theo R, r (lần lượt là bán
kính của (O), (©')) bằng hai cách
e) Hãy dựng tiếp tuyến BC bằng ba cách
ƒ) Tính !O, !Ơ' theo R va r
g) Chứng minh rằng /H-IO = IK-IO' trong
đó H là giao điểm của AB với !O ; K là giao
điểm của AC với !Ơ
h) Tìm điều kiện của (O) và (O) để tứ
giác /HAK là hình vuông
j) Gọi S là tâm của đường tròn tiếp xúc
với (O), (O) và BC Tính bán kính của (S)
theo R và r, nêu cách dựng đường tròn này
Việc khai thác, phát triển các bài tập trong sách giáo khoa còn rất nhiều điều
thú vị đang chờ các bạn
HO
Trang 5
Trong một đề thi có bài toán : Bài toán Tìm nghiệm tự nhiên (x ; y) của phương trình x2+y)+27y=36 + 9V Một số học sinh đã có lời giải như sau : Lời giải ¬ trình tương đương với xÊ + (y — 3) = Ta có 9 = 3ˆ + 03 = 12 + 23 nên xảy ra các trường hợp sau : 2 _ 92 _ Trường hợp †1 : x =3 of 3 (y-3=0 ý=3 2 _ 42 Trường hợp 2 : x =1 2 fel @-3 =2! WEŠ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm tự nhiên (x; y) là (3 ; 3) và (1 ; 5) Các bạn có ý kiến gì về lời giải ngắn gọn này ?
HOÀNG HẢI DƯƠNG
(THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang,
' e Ket qué: MOT THOANG BOI ROI crrzssas) |
e Mấu chốt của sai lầm là ở chỗ : Khi thay sin609 bởi ——, mà vẫn dùng dấu biến đổi _ i i i i
tương đương (góc có sin bang a có thể
bang 60° hoặc 1209) Vì vậy phải kiểm tra
¡ lại các giá trị tìm được của x để xác định giá š trị thích hợp
e Lời giải đúng: 4
¬
Ca H 2a B
Trước hết ta nhận thấy, với điều kiện của
bài toán thì He BC Thật vậy, giả sử Ce HB (do BH > CH) Khi do BAH > BAC = 60° = ABC < 30° Mặt khác, AC > HC = a = BC suy ra ¡ ABC > BAC = 60° mâu thuẫn với ABC < 309 Ta có HC < HB suy ra AC < AB > B <Ề Ta lại có 8+€ =1209 = € >60° >CAH I = AH > CH hay x > a Theo lời giải kì trước, từ đẳng thức AH-BC ¿ + = AB-AC-sinA ta suy ra x = V4 8285 _ N14 4 233 L288 a (vi xX > a)
e Trong đề bài, nếu thay giả thiết
A=60° bởi Ä=120° thì ta được kết quả _ 14-2433 -
=——==a
e Các bạn được thưởng kì này : Mạc Thị Thu Huệ, 7A, THCS Đồng Quế, Lập Thạch, I
Vinh Phuc ; Lé Huy Hoang, 8A, THCS | Tăng Tiến, Việt Yên, Bac Giang ; Tran Anh | Tu, 9C, THCS Bach Liéu, Yén Thanh, ! Nghé An ; Hoang Gia An, 9/3, THcs | Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng ; Võ Xuân |
Minh, 9/1, THCS Nguyên Văn Trôi, Cam ¡
Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa |
ANH KiNH LUP I
Trang 6Chắc đề ra không quá khó nên có rất nhiều bạn làm đúng Nhưng đúng đã đành,
đáp án hay lại là chuyện khác Thí dụ, đáp án của bạn Nguyễn Thùy Linh, 9A, THCS Đồng Phong, Nho Quan, Ninh Bình :
Lâm Đồng, Chợ Sắt, Bạc Liêu Đồng, Bạc, Sắt đó có điều giống nhau
Nguyên tố kim loại mau mau
Vàng Danh xứng đáng đứng sau xếp hàng Có đây đồng, sắt, bạc, vàng
Nhớ lời tình nghĩa họ hàng gần xa
Cac ban duete Uusing hi nay
Nguyén Ngoc Trung, 9A,, THCS Lam
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Đăng Tuấn, 7B ; Ngô Thị Thu Hằng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong ; Nguyễn Ngọc Long, 8A, THCS huyện Thuận Thành,
Thuận Thành, Bắc Ninh ; Lê Hồng Chí,
7E, THCS Chu Văn An, Eakar, Đắk Lak ; Võ Quang Dũng mẹ là Trịnh Thị Hà, giáo
s% “Xi nàự :
Cho dãy các địa danh :
BÀ NÀ, BÁC CỔ, CỬA ÔNG, LĂNG CÔ, ANH SƠN, ?
Hãy chọn một trong các địa danh :
1) BA VÌ ; 2) HẠ LONG ; 3) THÁI BÌNH ; 4) ĐÀ LẠT
để nối tiếp cho hợp lôgic
CHON DIA DANH NAO ?
(TTT2 số 46) IQ du doan da ra
Bài chưa hay, chẳng có quà vẫn vui
Chỉ mong bài được đăng thôi !
Bài được đăng rồi nhé, bạn vẫn được quà
đấy Ngoài ra, các bạn sau cũng được quà :
Đào Thu Thủy, 7A, THCS Kiến Quốc, Kiến
Thụy, Hải Phòng ; Đào Hải Long, 347 Ngô
Gia Tự, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh ; Nguyễn
Yến Nhi, 9/2, THPT Khâm Đức, thị trấn
Khâm Đức, Phước Sơn, Quảng Nam
NGUYỄN ĐĂNG QUANG
viên trường THCS Nghèn, Can Lộc, Hà
Tĩnh ; Nguyễn Đình Đức, 9D, THCS Lý
Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Hoàng Văn Công, 8B, THCS Phạm Huy Thông,
Ấn Thi, Hưng Yên ; Nguyễn Doãn Tiến
Đạt, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải
Dương ; Trần Vũ Trung, 9A., THCS Phùng
Trang 7
Khi tìm giá trị nhỗ nhất (GTNN) hay giá trị
lớn nhất (GTLN) của biểu thức có chứa dấu
giá trị tuyệt đối, chúng ta thường xét các trường
hợp để khử dấu giá trị tuyệt đối để vẽ đồ thị
hoặc sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối như |a| +|b| > |a + b| > la| —|b| ., sau dé xét khả năng trở thành đẳng thức Bài viết
này đề cập đến một phương pháp tìm GTNN,
GTLN khá hiệu quả cho một lớp bài toán
Giả sử tồn tại m là GTNN của hàm số f{x) trên miền D khi đó f(x) = m với mọi xe D
Với một số œ c D thì m sẽ đạt tại các giá trị x thỏa mãn điều kiện f{x) < f(a) Tier dé
xác định được x e K, trong đó K c D được
gọi là phạm vi tìm kiếm
Để tìm giá trị m của ham sé f(x) tren miền
D, khi đó ta chỉ cần tìm giá trị m trên miền K (tương tự đối với GTLN) Nếu chọn được số B khác œ mà fœ) < f{B) thì ta sẽ xác định được phạm vi tìm kiếm hẹp hơn
Phương pháp này cần có kĩ năng giải bất
phương trình để tìm được K
Công việc trên được ví giống như ta đi tìm
chiếc chìa khóa bị đánh rơi, nếu ta chắc
chắn nó bị rơi trong nhà thì không lẽ ta lại tìm nó ở ngoài đường 2 Ví dụ 1 Tìm GTNN của hàm số : y =f(%) =|x +1|+|2x -1| Lời giải Hàm số y = f(x) có tập xác định là R Cách 1 Vì f) =5 nên ta chỉ cần tìm x
TÌM GIA TRI NHO NHAT CUA HAM $0 (0 CHUA DAU GIA TRI TUYET DOI
DANG XUAN SON
(GV Trường năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng)
fe efe số số co co cộo fe cộo cột cột cố ole ole SP SP SP ole thỏa mãn f(x) < = SUY ra : |x + 1| <3 2x -1 <Š, 2 2 Giải hệ hai bất phương trình trên, ta nhận được phạm vi tìm kiếm K = -2 I Chỉ cần xét xe K, tac6x+1>0;1-2x>0 suy ra f(x)=2—x >= Đẳng thức xảy ra © x =5 e K Vay GTNN cuta f(x) la = Cách 2 Ta có |2x - 1| > x~S SUY ra 1 f(x) =|x +1|+|2x —1| >|x +1|+ X=s > > 1 3 +09 = Mặt khác, f() => nén GTNN fix) la Š 2 2 2
Bình luận Mặc dù cách 2 đơn giản hơn
Trang 8c) y= h(x) =2|x +1|+|— Lời giải 1) Lời giải cho cả cau a) va cau b) Vì 1) = 2 = g(1) nên ta chỉ cần tìm x thỏa 1 <x<3 <20 Ix|>1 mãn |x -1 <2: Ề x x=-1 c© cuc Do f—1) > 2 và g(-1) > 2 nên chỉ cần xét x thuộc miền K = [1 ; 3], ta có f(x) =(x-1)+2=x+^~1 > 2,/2 -1 xX xX 42 cK Vay GTNN cia f(x) la 2V2 -1 g(x) -3~9+2=2|x+y Ìyx~3 xX xX >2-2+1-3=2 Đẳng thức xảy ra © x = 1 e K Vậy GTNN của g(») là 2 2) Lời giải cho câu c) Vì h(_—1) = 2 nên ta chỉ cần tìm x thỏa Đẳng thức xảy ra © x = x-1 1 man h(x) < 2, suy ra 2|x +1|<2;|—| <2 Xx giải hệ hai bất phương trình này ta thu được miền K = [-2 ; —1] Với x e K ta có he)=-20+9)+ŠT =-[ xe | x~1> x x ~(-1)-1=2 Đẳng thức xảy ra © x = —1 e K Vay GTNN cia h(x) la 2
Binh luan Cach tim mién K nhu vay giúp cho việc khử dấu giá trị tuyệt đối thuận lợi và đưa bài toán đã cho về việc tìm GTNN của hàm số trên một miền K nhỏ hơn Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán chứa tham số Ví dụ 3 Tìm m để GTNN của hàm số y =f(x) -F +3|x —1| là 2 x Lời giải Điều kiện cần Nếu GTNN của f{x) là 2 thì ta có f(1) =|m| > 2 Điêu kiện đủ Với |m| > 2, ta xét x thỏa ~|+3|x~1|<2, suy ra mãn điều kiện f(x) = Nu 1 —|<2;3|x-1|<2=|x|> 21a SX lA 8 x 3 3 xek=|1:3] VGi x € K, taco 6 annnrianaln x x > 2,/2|m| +1-3 = 2,/2|m| -2 > 2 Đẳng thức xảy ra © x= 1 e K và |m| = 2, suy ra GTNN cua g(x) la 2 Kết luận Vậy với m = +2 thì GTNN của f(x) la 2
Bai tap ap dung
Trang 9
GIỚI THIEU
CUOC THI TOAN CUA NIU DI-LAN
DANH CHO HOC SINH LOP 7 VA LOP 8
ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGD)
Problem Challenge
là cuộc thi Toán của
New Zealand dành cho học sinh các lớp 7 và 8 (tức là form 1,
form 2, bậc học THCS) Cuộc thi này tổ
chức từ năm 1991 Vào năm 2002, cuộc thi này đã thu hút được 728 trường, với 42000 thí sinh tham gia
Cuộc thi được hai giáo sư John Curran
và John Shanks (Khoa Toán và Thống kê,
Đại học Otago) đứng ra tổ chức, với sự
giúp đỡ của nhiều người khác
Mỗi năm, người ta gửi về các trường
đăng kí dự thi 5 loạt bài thi Mỗi loạt bài thi
gồm 5 câu hỏi, thực hiện trong 30 phút,
làm ngay tại trường mà học sinh đang
học, dưới sự giám sát của thầy cô giáo,
điểm số cũng được các thầy cô trong
trường chấm Kết quả cuối năm, khoảng
1% học sinh của mỗi trường sẽ được chọn
ra để nhận bằng tuyên dương danh dự
kèm theo một phiếu mua sách trị giá 20
đô-la MI
Trong số này và số sau, chúng tôi sẽ lựa chọn và giới thiệu với các bạn một số bài của năm 2001
Bài 1 Mã số trường học của thí sinh
Kirsty là một số có hai chữ số Tổng hai chữ số bằng 10 và hiệu hai chữ số đó bằng 2 Nếu mã số trường học của thí sinh
Kirsty bé hơn 50 thì mã số đó là số nào ? Bài 2 Nếu Louise bỏ 25 quả bóng gôn (golf) vào túi của cô ta, túi sẽ đầy một nửa Nếu Matt bỏ 17 quả bóng gôn vào túi của cậu ta, những quả bóng sẽ chiếm - SỨC
chứa của túi Còn khi Nick bỏ 12 quả bóng
gôn vào túi của cậu ấy, bóng chỉ chiếm -
sức chứa của túi Hỏi ai là người có túi lớn nhất 2
Bài 3 Hình dưới đây cho thấy ba tam
giác đều có cạnh dài lần lượt bằng 1, 2, 3 que diêm Cũng theo mẫu như thế, để xếp
thành một tam giác có độ dài cạnh bằng 6
que diêm thì em phải cần có bao nhiêu
que diêm 2
Bài 4 Trong căn nhà của Bob, có một bức tường mà trên đó có một cửa ra vào
và một cửa sổ Bob muốn sơn bức tường
này, nhưng không sơn cửa ra vào và cửa
sổ Bức tường hình chữ nhật có kích thước
7 m và 3m, hai cửa cũng là hai hình chữ nhật có kích thước tương ứng là 2 m và 1 m;
2 m và 1,5 m Nếu mỗi hộp sơn có thể sơn được 4 m* thi Bob phải mua ít nhất bao
nhiêu hộp sơn 2
Trang 10
CUOC THI TOAN CUA DAI HOC MARYLAND DANH CHO HOC SINH TRUNG HOC
(Tiếp theo ki trước)
Bai 1 (Cau 1, phan I, nam 2000)
Chon B : bo, dé, ngua
Lượng cỏ mỗi con ăn được tính theo don vi yard? là : Bo : 5-67 = 180; Ngựa : 3-r-5ˆ = 75w ~ 235,6 ; Dê : S222 Be 1213 ~ 209,5 Bài 2 (Câu 4, phần I, năm 2000) Chon (D): =
Sử dụng tam giác Pa-xcan ta có
(x + y)? = x? + Qx8y + 36x/y? +e +
Theo đề bài, 9pŠq = 36pÏq2 = p=4q;
Thế q = 1 - p vào đẳng thức p = 4q ta
nhận được kết quả trên
Bai 3 (Cau 10, phan I, nam 2000) Chọn (B) : 2 Gọi n,n + 1, ,n+m-_—-1(n>0 và m > 2) là m số nguyên dương bắt đầu bằng n Tổng của m số này là : Smn+n+m~1)= —m‹ðn + m~ 1) Do đó ta có -m(2n + m~ 1) = 100 2mn + mˆ_- m = 200 200+m-—m* 200 © 2n= = +1—m m m
Vì n nguyên dương nên 200 + m — mˆ > 0
và 200 chia hết cho m (m > 2), suy ra m nhận các giá trị 2, 4, 5, 8, 10 Lần lượt
kiểm tra ta nhận được kết quả trên
Bài 4 (Câu 1, phần II, năm 2000)
Giả sử ngược lại rằng cả hai phát biểu
ở đề bài đều sai Như vậy, có không quá 44 chiếc hộp cùng màu, đồng thời, có
không quá 44 màu khác nhau dùng để
sơn những chiếc hộp Như vậy, số hộp
được sơn sẽ không quá 44-44 = 1936 hộp
Điều này mâu thuẫn với giả thiết là có
2000 chiếc hộp được đem sơn Suy ra
đpcm
Bài 5 (Câu 2, phần II, năm 2000) Câu trả lời là không Ví dụ : Xét tam
giác (A) có độ dài ba cạnh là 1 ; 1,5 ; 2,25 (= 1,5-1,5) ; tam giác (B) có độ dài ba
cạnh là 1,5 ; 2,25 ; 3,375 ( 1,5-1,5-1,5)
Rõ ràng (4A) và (B) đồng dạng nên có các
góc tương ứng bằng nhau, có hai cặp
cạnh có độ dài bằng nhau nhưng cặp
cạnh thứ ba lại không có độ dài bằng
nhau
Trang 11
Hướng đẫn giải đề kì trước :
Kì thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thái Bình OS ©
nam hoc 2005-2006 (Dé dang trên TTT2 số 47)
Bài 1 Biến đổi về dạng phương trình bậc hai ẩn x, ta có 3(x2 + xy + y^) =x + 8y © 3x2 + (3y — 1)x + 3yˆ - 8y =0 Phương trình có nghiệm ©A.= -27y2 + 90y + 1 >0, với y nguyên suy ra0<y<3>yc({0;1;2;3)
Từ đây ta tìm được các nghiệm nguyên
dương của phương trình là (0 ; 0) ; (1 ; 1) Bài 2 1) xỶ+x2+2+3xJx+1>0 (1) Tập xác định : x > —1 Nếu x > 0 thì (1) luôn đúng Nếu —1 < x < 0 thì (1) tương đương với x?(x+1)—34|x?(x+1)+2>0 © Ê—3f+ 2 > 0 (đặt f =a|x2(x +1) >0) © 0<f< 1 hoặc f> 2 Ta có 0 < f< 1 © 0< xZ(x + 1) < 1 luôn
đúng với mọi x thỏa mãn -1 < x < 0 Vậy mọi x > —1 đều là nghiệm của (1) B 2) x? -3x 4145 x4 4+x741=0 (2) Tập xác định : x e R Ta c6 (2) <> 2(x* — x + 1) — (x*+x+1) 4 B ver B @ 21° +“=t-1=0 (chia ca hai vế cho ~x +1)(x? +X+1) = x? —-x +1 x2 +x 41 x*+x+140 va dat t= v3 ©>Í=—x=lt 3 >0)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 1
Bài 3 Ta có x thỏa mãn phương trình x7 + 2ax + 9 =0 với a > 3 (1) hay x2 + 2(3 + m)x + 9 = 0 với m > 0 hay (x + 3)2 + mx = 0 với m > 0 suy ra x < 0 Đặt f = —x > 0 Tương tự ta có y > 0 vì y thỏa mãn phương trình y2 - 2bx+ 9= 0 với b>3 (2) 2 Từ đó ta có f(a,b) = 3 + y)ˆ fi | > y 4 ¥ > 3(t+y)* + (=| > 8/3 Dang thitc xay +y 4 2 ra > 3(t+y)* (5) vat=y t+y ©t=y= eœx= L-;y= , 4/3" 13 V3
Vậy giá trị nhỏ nhất của f{a, b) la 8v3,
Trang 12Năm học : 2005-2006 - Thời gian : 150 phút
Bài 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức :
— a3 -5a +(aˆ —1)Naˆ ~9+a*+3 a3 -5a +(aˆ —1)Naˆ -9-a2-3 Bài 2 (1,5 điểm) V5 -1 —— A Chứng minh rằng cos72° = Bài 3 (3,5 điểm) 1) Cho phương trình sau với p là tham số : 3x2 — (2p — 1)x + p2 - 6p + 11 =0 Tìm các số hữu tỈ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên 2) Giải hệ phương trình : 1 Weyl toe es x:9°jn! 5 Jp2s 4xy
Theo giả thiết, hai đường tròn nội tiếp AABC và AACD tiếp xúc với nhau < hai
tiếp điểm của hai đường tròn này với AC trùng nhau tổng độ dài hai cặp cạnh
đối của tứ giác ABCD bảng nhau c hai
tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp AABD
và ABCD với BD trùng nhau <> hai đường
tròn này tiếp xúc với nhau Bài 6 Gọi D là giao điểm của AI và đường tròn Bài 4 (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O,), (O.) cắt nhau tại A, B
1) Một điểm M trên (O,), qua M kẻ tiếp
tuyến MD với đường tròn (O,) (D là tiếp
điểm)
MD?
MA-MB
không phụ thuộc vào vị trí cua M trén (O,)
2) Kéo dài AB về phía B lấy điểm C, từ
C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF với đường
tròn (O,) (E, F là các tiếp điểm và F cùng phía với (O.) bờ AB) Đường thẳng BE và
BF cắt đường tròn (O,) tai P va Q Goi / là
trung điểm của PQ Chứng minh ba điểm E, F, | thang hàng
Chứng minh rằng biểu thức
ngoại tiếp AABC, ta c6 BD =CD = DIB =
IAB + IBA = BCD + IBC = CBD +/BC = DBI
= DB = DI = DC
Trang 13Bài 1(46) Giải hệ phương trình
xŠ+2x2+x—3=y (1
y? +2yŸ +y-3=z (2) z3+2z?+z—3=x (3)
Lời giải Giả sử (xp, yạ, zạ) là một nghiệm của hệ phương trình trên Từ (1) ta có : Yo -1 = XŠ + 2xé + Xo -—4 = (xổ — xổ) + 3(xG — Xo) + 4(X0 -1) =(Xọ —1)(x§ +3xg +4) 2 Chú ý X§ +3Xọo +4 -[x s2] tr >1 Do đó lyạ— 1|=lx~ 1|{xã +3x¿+4) >ạ - 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xạ = yạ = 1
Tương tự, từ (2) ta có |Zo - 1| > [yạ - 1l;
từ (3) ta có |xo — 1| > |Za — 1|
Bởi vậy |xạ - 1| > |Zạ - 1| > lựa - 1| > lxo - lI Suy ra |xo — 1| = |Zạ — 1| = lạ — 1| Hệ quả la Xy = Vy =2Zy = 1 Ta cung thay ngay x = y=z=1 langhiém của hệ phương trình Vậy hệ phương trình (1), (2), (3) có nghiệm duy nhất là x = y = z = 1
Nhận xét Bài toán giải hệ phương trình trên là một bài toán khá đơn giản Có nhiều
cách lí luận khác nhau để suy ra x = y=z=1
là nghiệm duy nhất, nhưng cách lí luận trên
là cách đơn giản nhất Các bạn sau có lời
giải tốt : Nguyễn Đăng Tuấn, 7B, THCS Yên Phong, Bắc Ninh ; Đậu Hoàng Giáp, 7B,
THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ;
Lê Hồng Chí, 7E, THCS Chu Văn An,
Eakar, Đắk Lắk ; Mạc Thị Thu Huệ, 7A, THCS Đồng Quế, Lập Thạch ; Tập thể lớp
6A,, THCS Thach Đà ; Tập thể lớp /Aụ,
THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc
NGUYỄN MINH ĐỨC
Bài 2(46) Cho a, b là hai số thực không âm va P(x) = (a2 + b*)x? — 2(a3 + b*)x + (a2 — b2)
Chứng minh rằng P(x) < 0 với mọi x thỏa
mãn |a - b| < x< a + b
Lời giải Ta có P(x) = (a2xˆ —- 2a3x + a')
+ (bˆx2 — 2bŠx + b) - 2a^b2 suy ra
P(x) = a2(x - a)* + b*(x — b)* -2a*b* (1)
Vi |ja— b| > a— b nên từ điều kiện của a, b, X Suy raa—b<x<a+b>—-b<x-8@<b = |x— a| <b = (x— a)Ê < bể (2) Tương tự ta có (x — b)2 < a2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra P(x) < a?bˆ + a^b2 - 2a2b# < 0 Nhận xét 1) Các bạn cũng có thể biến đổi P(x) =
a?(x— a— b)(x— a+ b) + bˆ(x— a— b)(x+ a— b)
để chứng minh hoặc xét dấu tam thức bậc
hai P(x) với ab z 0
2) Các bạn có lời giải tốt nhất là Nguyễn
Đăng Tuấn, 7B, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh ; Lê Văn Dũng ; Nguyễn Kiến Quyền ; Nguyễn Văn Nguyên ; Tạ Hồng
Khang, 6A., THCS Thạch Đà, Mê Linh, Vĩnh
Phúc ; Võ Quang Dũng, xóm 7, Bắc Sơn, thị
trấn Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh ; La Hồng
Quân, 8B, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa ; Trần Văn Hạnh, đội 9, Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Nguyễn Đình Đức, 9D, THCS Lí Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Lương Trung Kiên, 8C,, THCS
Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Trần
Bao Trinh, 8A,, THCS Nhơn Lộc, An Nhơn,
Bình Định ; Lê Hồng Chí, 7E, THCS Chu
Văn An, Eakar, Đắk Lắk ; Trần Văn Thành,
8A, THCS Nguyễn Huệ, Cam Lộ, Quảng Trị
NGUYỄN ANH QUÂN
Trang 14Bài 3(46) Cho tổng
1 1 1 + + 1 _P
n+9 gq
trong đó n, p, q là số nguyên dương và 5
là phân số tối giản Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n để q chia hết cho 2006 Lời giải Trước hết ta phân tích 2006 thành tích các thừa số nguyên tố 2006 = 2-17-59 Nếu gq : 59 thì n(n + 1)(n + 2) -(n + 9) : 59 (vì tich n(n + 1)(n + 2) (n + 9) : q) Do đó n + 9 > 59 hay n > 50 Ta sẽ chứng minh với n = 50 thì q : 2006 Vì trong các số 50, 51, ., 59 chỉ có 51 : 17 1 †1 1 ai 1 SUY ra —+——+ +—=—+— 90 51 99 6 51 _S1a+d Pg: 47, 51b q (a, be N*, b/'17) Hoàn toàn tương tự, ta có q : 59 Để chứng minh gq : 2, ta chú ý 1 1 1 —+—+ +—- 50 51 59 11111 =l—+—+—`'—-—'—+ 51 53 55 57 59 1/1 1 11 1 TH ———— 2\25 27 29 26 28 c 1fe 14+13 ) =—+—|—+ qd 2\f 4-7-13, (c, d, e,fc Ñ* là các số lẻ) € 4/13e+2/ƒ _c g d 8:7-13-f d 8h (g, he N* la các số lẻ) _ 8ch+dg _— 8dh ` Do đó q : 8 Vậy với n = 50 thì q : 8-17-59 suy ra q: 2-17-59 hay q : 2006
Nhận xét Bài toán này khó, lạ với nhiều bạn học sinh THCS Các bạn sau có lời giải
đúng : Hoàng Văn Công, 8B, THCS Phạm
Huy Thông, Ân Thi, Hưng Yên ; Nguyễn
Doãn Tiến Đạt, 9C, THCS Phan Bội Châu,
Tứ Kỳ, Hải Dương ; Nguyễn Ngọc Trung,
9A,, THCS Lam Thao, Lâm Thao, Phú Tho
NGUYEN MINH BUC
Bài 4(46) Cho tam giác ABC ngoại tiếp
(J) và nội tiếp (O) Gọi các giao điểm của AI, BI, CI với (O) lần lượt là A,, B„, C ; các tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB lần lượt là A B,, C, va S, S,, S, lan lugt là diện tích của
các tam giác ABC, A,B,C,, A,B,C Chung minh rang S? = 4S,-S, Lời giải 4a Goi A,, B,, C- tương ứng là tâm các đường ^~> tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C Ta
thay A,, B,, C, lan lượt là trung điểm của
các đoạn IA,, IB, IC- (kết quả quen thuộc)
Mặt khac do A,B, 1 /C, A,B, 1 IC nén
A,B, II A:B„ Tương tự có B,C, II B,C; và
C„A, II CaA+ Gọi h, là độ dài đường cao kẻ từ C; của tam giác A,B,€, (¡ = 2, 3)
Vi AA,B,C, © AA,B,C, nén
AgB, _ AjB,
hy hg
Trang 15Từ đó S2 - Đa = ALB, ‘Ay ‘A3Bz -ha =
4 2
-[z2 9] (1)
(Sa là diện tich tam giac A,B,C.)
Lại có S = Sap,c, † Sgc,A, + SGCA,C„B, = = ŠQ;B;C; † SG;C2A; + ŠCA;C;B; = 1 = ŠC;B,CA, = 2208; -hạ (2) Từ (1) và (2) suy ra S* = S;-Sa Dễ thấy Sạ =4S, nên S = 4S;-S;„ (đpcm)
Nhận xét, Bài toán trên là hệ quả trực
tiếp của định lí Peletier được phát biểu dưới
dạng sau : “Cho tam giác ABC nội tiếp
trong tam giac A,B,C, (Ac B,C,, Be C.A,,
C € A,B,) déng thời ngoại tiếp tam giác
A,B,C, (A, € BC, B, € CA, C, e AB) sao cho A,By I A,By, ByCo I! B,C, Va CoA, II CA,
thi Sagc =Sapc, -Sa,B,c,”-
2) Số bạn gửi lời giải về tòa soạn không
nhiều, sau đây là các bạn có lời giải đúng,
gọn : Nguyễn Ngọc Trung, 9A,, THCS Lam
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Ngọc
Long, 8A, THCS huyện Thuận Thành ; Ngô Thị Thu Hằng, 9A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh ; Hồng Văn Cơng 8B, THCS Phạm
Huy Thông, Ân Thi, Hưng Yên ; Trần Vũ
Trung, 9Ag, THCS Phung Chi Kién, TP Nam Định, Nam Định ; Nguyễn Đình Đức, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Tập thể lớp 9 Toán, THCS Bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh
NGUYỄN VĂN MẠNH
Bài 5(46) Cho tam giác ABC vuông tại A
có r và R lần lượt là bán kính của các đường
tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ; h_ là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A Chứng
minh rằng h„ < (1+A/2)r < R
Lời giải Đặt a, b, c theo thứ tự là độ dài các cạnh BC, CA, AB và P, S lần lượt là nửa
chu vi, diện tích của tam giác ABC
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có
R =5 ‘r= — (kết quả quen thuộc)
Theo định lí Py-ta-go ta có :
(b+c}ˆ <20? +c2) =2a* > b+c< 2a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c hay
AABC cân tại A Vậy he _ 29 _ 2Fr _ a+brC _ a+ 2a a a a a = (14+ J2)r Đẳng thức xảy ra khi va chi khi AABC cân tại A (1+ v2)r = (14-2)? *S=8 < < (+2)(2a-a) _ Q2 +12 -1)a _ _ 2 2 5 =R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AABC cân tại A Tóm lại : hy <(1+V2)r < R (đpcm)
Nhận xét Đây là bài tốn khơng khó, rất nhiều bạn tham gia giải và đều cho lời giải đúng Xin nêu tên một số bạn có lời giải tốt :
Ngô Thị Thu Hằng, 9A, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh ; Nguyễn Văn Tú,
9A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh
Phúc ; Võ Xuân Minh, 9, THCS Nguyễn
Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Hoàng Quang Nhật, 9B, THCS thị
trấn Gio Linh, Quảng Trị ; Võ Quang Dũng,
mẹ là Trịnh Thị Hà, giáo viên THCS Nghàèn, Can Lộc, Hà Tĩnh - ;
Trang 16Chúc mừng các cá nhân và tập thể đã nhiệt
tình tham gia cuộc thi trong suốt thời gian
qua và đã trúng các giải thưởng cao nhất : e Ba giải nhất cá nhân, mỗi giải trị giá 1.000.000 đồng thuộc về các bạn : Tran Van
Ngọc Tân, lớp 12/1, THPT Hoàng Diệu, Điện Bàn, Quảng Nam ; Lê Thị Thảo, 10A,, THPT
Gia Lộc, Gia Lộc, Hải Dương ; Lê Minh
Hoàng, TAS THCS Lương Khánh Thiện, Kiến
An, Hải Phòng
e Sáu giải nhì cá nhân, mỗi giải trị giá 400.000 đồng thuộc về các bạn : Nguyễn
Mạnh Khôi, lớp 11 Toán, THPT chuyên Bắc
Giang, Bắc Giang ; Vũ Văn Pho, lớp 12 Văn,
THPT chuyên Thái Bình ; Lê Thị Hồng Nhung, mẹ là Đinh Thị Thiện, giáo viên trường THCS Thụy Quỳnh, Quỳnh Phụ, Thái Bình ; Hoàng
Minh Tuấn - Trịnh Văn Phong, 374177 phố Hải
Thượng Lãn Ông, P Đông Vệ, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Nguyễn Đỗ Thảo Khang, 7/1, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu ; Đặng Thị Quỳnh Trang, 15/142 Nguyễn Thái Học, P.5, TP Tuy Hòa, Phú Yên
e Chín giải ba cá nhân, mỗi giải trị giá
200.000 đồng thuộc về các bạn : Từ Hữu Tuấn, 8A, THCS Xuân Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Lê
Tổng kết cuộc thi THÊ GIỚI QUANH TA
(Từ số 37 đến số 46 trên TTT2)
Chí Tài, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An ; Nguyễn Thị Hương Yến, 9A., THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Trần Thị
Thùy Trang, 8H, THCS Quảng Phú, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Nguyễn Đình Thi, 8B, THCS Trần Quốc Toản, TP Tuy Hòa, Phú Yên ;
Nguyễn Thị Kiểu Oanh, 7C, THCS Lê Quý
Đôn, TX Tuyên Quang, Tuyên Quang ; Lê
Thùy Dung, số 34, ngõ 01, đường Tản Đà,
Đông Sơn, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Lê
Thanh Thủy, 74 Trần Phú, Từ Sơn, Bắc Ninh ;
Đặng Huy Việt, số nhà 10, Lê Hồng Phong, TP Nam Định, Nam Định e Một giải nhất tập thể, trị giá 1.000.000 đồng thuộc về Tập thể lớp 8E, THCS Phương Mai, Q Đống Đa, Hà Nội e Hai giải nhì tập thể, mỗi giải trị giá 500.000 đồng thuộc về các tập thể : Trường
THCS Nguyễn Trị Phương, TP Huế, Thừa
Thiên - Huế ; Trường THCS Trưng Vương, Mê
Linh, Vĩnh Phúc
e Ba giải ba tập thể, mỗi giải trị giá
300.000 đồng thuộc về các tập thể : Tập thể
lớp 7A;, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ;
Trường THCSLê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Phòng GD TP Việt Trì, Phú Thọ Hết quả cuộc thi THÊ GIỚI QUANH TA mrrzsø4ø ¬ LjE|T N U > »< —=|0|Ol|> > OlZl +|DÌ|- m = > =|>|Z|O dilmli|= PỊA|X
e Câu hỏi phụ Có thể tìm thông tin nhanh
nhất để giải được ô chữ trên trong Bộ các tập
ảnh chân dung các nhà bác học Toán học, Vật
li, Hóa học, Sinh học của Công ty Bản Đồ - Tranh ảnh Giáo khoa Hà Nội
e Các cá nhân và tập thể xuất sắc nhất được
trao tặng phẩm kì này là Lê Minh Hoàng, /Aạ,
Ô chữ 0Á NHÀ BÁC H00
THCS Lương Khánh Thiện, Kiến An, Hải Phòng ;
Lê Thị Thảo, 10A-, THPT Gia Lộc, Gia Lộc, Hải
Dương ; Nguyễn Mạnh Khôi, 11 Toán, THPT
chuyên Bắc Giang, Bắc Giang ; Lê Thị Hải Yến ;
Phạm Thị Thu Hà, 9A, THPT chuyên Hà Giang,
TX Hà Giang, Hà Giang ; Lại Đắc Hợp, 8A, THCS huyện Thuận Thành, Thuận Thành, Bắc
Ninh ; Lê Xuân Quý, 9A, THCS Nguyễn Hằng
Chi, Ích Hậu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Hoài
Thơ, 6B, THCS Lê Hồng Phong, TX An Khê,
Gia Lai ; Phan Hữu Thành, 9A., THCS Ngô Mây,
Phù Cát, Bình Định ; Vũ Đức Trí, THCS Quỳnh
Thạch, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Tập thể trường
THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh
Trang 17
tu
TRONG KWACH SAN
TRAN HOAI MINH
(11B, THPT Kim Liên, Đống Đa, Hà Nội)
Đã một tuần nay cả thành phố không có
giọt mưa nào Không khí nóng hầm hập khiến ai nấy đều khó chịu và mệt mỏi Sau
giờ làm việc buổi chiều, về đến nhà, thám tử Sê-Lốc-Cốc quyết định tắm ngay cho sảng khoái Khi ông vừa chuẩn bị xong khăn tắm và quần áo thì bỗng chuông điện
thoại reo vang Thám tử nhấc máy :
- Chào ngài thám tử ! Tôi là trung sĩ cảnh sát Gim-mi Tôi có việc phải làm phiền ngài
đây a
- Phải chăng lại có vụ án nào vừa xảy ra 2? - Vâng, đúng thế ! Tại khách sạn Kim Cương, quý bà Ni-na vừa bị mất món đồ
trang sức đắt giá Chúng tôi đang rất cần sự giúp đỡ của ngài Xin thám tử vui lòng a !
- Được rồi, tôi đến đó ngay - Thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vẻ nhận lời
Hiện trường là phòng số 102 trên tầng 10 của khách sạn Mọi đồ đạc trong phòng đều ngăn nắp, gọn gàng như không hề có
bất cứ sự lục lọi nào Chỉ mỗi chiếc hộp gỗ nhỏ để trên bàn trang điểm là đang mở
Thám tử Sê-Lốc-Cốc bà hỏi Ni-na :
- Đây có phải là chiếc hộp mà bà đựng đồ trang sức không ?
- Da, dung a!
- Theo tôi thì kẻ trộm không ở đâu xa, hắn phải là người biết rõ bà đựng đồ trang
sức trong hộp này - Thám tử nhận định Rồi ông hỏi tiếp :
- Bà có thể kể lại mọi chuyện cho tôi
nghe được không 2
- Thưa, vâng Cách đây hơn một tiếng, vừa đi chơi về, nóng quá, tôi quyết định sẽ
tắm ngay Tôi tháo đồ trang sức đang đeo,
cho vào cái hộp này Vào nhà tắm được
một lát, tôi sực nhớ mình chưa đóng cửa phòng Tôi vội chạy ra thì đã thấy cửa phòng mở toang, chiếc hộp bị mở và toàn bộ đồ trang sức trong hộp đã biến mất Tôi vôi vàng gọi điện cho cảnh sát
- Theo bà thì những ai biết bà thường để
đồ trang sức trong chiếc hộp này ?
- Thưa thám tử, chỉ có ba người thôi Đó
là cô em dâu Li-li, bà chị họ La-sa cùng
người giúp việc của bà ấy Họ đang nghỉ ở
khách sạn này
- Bà có thể cho tôi gặp ba người đó
không 2 Tôi cần hỏi một số điều
- Thưa vâng, tôi sẽ dẫn ông sang phòng
của họ
Một lúc sau, thám tử Sê-Lốc-Cốc đã có mặt tại phòng của cô Li-li
- Thưa cô Lỉ-li, cô là em dâu của bà Ni-
na phải không a ? Cách đây chừng một giờ, bà Ni-na đã bị mất món đồ trang sức
Trang 18phạm chứ 2
- Thưa vâng Tôi có thể giúp gì được ngài ?
- Xin cô trả lời thật trung thực những gì tôi hỏi Lúc xảy ra vụ mất trộm cô đang làm gì, ở đâu ?
- Dạ, lúc ấy tôi đang xem phim ở rạp
Một bộ phim giả tưởng hay tuyệt ! Đây, tôi
vẫn còn giữ cuống vé xem phim, ngài có thể kiểm tra Tiếp theo, thám tử sang phòng bà chị họ La-sa : - Thưa bà, cách đây khoảng một tiếng, bà Ni-na bị mất món đồ trang sức Bà sẵn
lòng giúp chúng tôi tìm ra kẻ gian chứ ?
- Thưa vâng Cần gì xin ông cứ nói ! - Tôi muốn hỏi, lúc xảy ra vụ trộm, bà đang ở đâu va lam gi ?
- Dạ thưa, lúc đó tôi đang đi dạo trong
công viên hóng mát Thật may mắn, đang
đi dạo thì tôi được ngắm cầu vồng Cầu
vồng in bóng xuống mặt hồ trong công
viên đẹp quá, tôi cứ ngắm mãi nên về
khách sạn khá muộn
Cuối cùng, thám tử hỏi người giúp việc của bà La-sa Bà ta đáp :
- Lúc đó tôi ra phố mua mấy thứ lặt vặt cho bà chủ Khi về khách sạn, tôi có dừng lại nói chuyện vài câu với ông bảo vệ Ngài
có thể hỏi ông ấy
Sê-Lốc-Cốc quay ra nói với bà Ni-na : - Tôi biết ai là thủ phạm rồi Kẻ gian ra tay
rất nhanh nhưng lại để lộ sơ hở Đó là
Theo các bạn, thám tử Sê-Lốc-Cốc đã đoán ai là người ăn trộm món đồ trang sức ?
Ông đã căn cứ vào sơ hở nào trong lời khai
của kẻ gian 2
o Két qua: Al LA AI ? rr: số 46)
Người phụ nữ duy nhất chính là cô Phú
Bình - người phụ trách chuyên mục “Không chỉ là văn” (nói vòng tròn Ơ-le thành vòng
tròn Ta-lét), người thanh niên còn trẻ là hoa sĩ Vinh Kêu (tưởng bài toán 4 màu là chuyện pha 4 màu, thực ra là chỉ cần
dùng 4 màu để tô mọi bản đồ), người đàn
ông cao to là TS Nguyễn Minh Hà - chuyên
gia hình học (đăng bài trong số có vụ Bắc
Đại bàng), người nói nhỏ nhẹ là TS Nguyễn
Minh Đức - chuyên gia số học và đại số
(cái gì hay cũng ví von với phép chứng
minh độc đáo cho một bất đẳng thức) và
lãnh đạo tạp chí thường tiếp các cộng tác
viên đó chính là TS Lê Thống Nhất
Phần thưởng được trao cho ba bạn đoán được nhiều nhất : Nguyễn Thị Kiều
Oanh, 6A, THCS Lương Khánh Thiện, An
Lão, Hải Phòng ; Vũ Thị Hoa, đội 5, thôn
Cậy, Long Xuyên, Bình Giang, Hải Dương ;
Nguyễn Thu Trang, mẹ là Nguyễn Thị
Thiéng, Phòng Tổ chức cán bộ Công an
tỉnh Thanh Hóa, Thanh Hóa
Thám tử Sê-Lốc-Cốc
Trang 19LTS Bài toán mà các tác giả nhỏ tuổi nói
đến chính là Bài toán 2 của cuộc thi
Olympic Toán châu Á Thái Bình Dương năm
1991, đăng trên TTT2 số 44 Phần hướng dẫn giải ở số sau đó chỉ nêu cách dựng và
Tòa soạn đã “hiệu triệu” các bạn tìm cách chứng minh phù hợp với THCS
Sau một thời gian ngắn, đã có nhiều lá
thư trả lời, xin được giới thiệu cùng các bạn một chứng minh gọn gàng, đơn giản nhất
Trước hết ta nhắc lại đề bài và cách dựng
Bai 2 (APMO, 1991) Hai đường tròn (C)
và (C? cùng tiếp xúc với đường thẳng AB tại B Hãy chỉ ra cách dựng tất cả các đường tròn đi qua A và tiếp xúc với cả hai đường tròn (C) và (C) Cách dựng - Dựng tiếp tuyén chung QQ’ cla (C) va (C’)) (Qe (C) va Q’e (C))
- Nối AQ cắt (C) tại điểm thức hai P ; nối AGï cắt (C) tại điểm thức hai P”
- Goi tâm của (C), (C? lần lượt là O, O”;
PO cắt P'O' tại X Đường tròn (X ; XA) chính là đường tròn cần dựng
MOT BAI TOAN APMO 1991
Chứng minh (của hai bạn Nguyễn Ngọc
Trung, 9A, THCS Lâm Thao, Phú Thọ ;
Nguyễn Đức Công, 10A., THPT Đô Lương
1, Nghệ An)
Do AB là tiếp tuyến của (C) suy ra
ABQ = BPQ > AABQ œ› AAPB
- 3B _ AQ _ np? _ AP AQ Tương tự,
AP AB
AB? = AP’-AQ’ suy ra AP-AQ = AP’-AQ’
AQ _ AQ’ = = AAPP’ © AAQ’Q
AP’ AP
— AQ’Q = APP’ =P’Ax (Ax Ia tiếp tuyến cla (X ; XA) tai A) = QQ’ // Ax
Goi X’ la tâm của đường tròn (APP) suy
ra AX’ 1 Ax => AX’ L QQ’ => AX’ // OQ — PQO = PAX’
= hai tam giac can AOPQ & AX’PA
= APX =QPO =APX' >X =X' Từ đây
suy ra đpcm Biện luận
Néu (C) và (C) tiếp xúc trong với nhau
tại B thì bài toán không có nghiệm hình vì A
khác 8
Nếu (C) và (C) tiếp xúc ngoài với nhau tại B và A thuộc một trong hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này thì bài
toán có một nghiệm hình
Nếu (€) và (C) tiếp xúc ngoài với nhau tại B và A không thuộc cả hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này thì bài
Trang 20THACH DAU ! THACH ®⁄ấu DAY |
TRAN DAU THU BON MUOI
®e Người thách đấu Đàm Huy Đông, giáo viên THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên
e Bài toán thách đấu Cho a, b, c là những số thực không âm thỏa mãn :
a* + b* +07 = 4
Chứng minh rằng a+b+c < abe + vB @ Xuat xi’ Sang tac
® Thời hạn nhận thách đấu Trước ngày 15 - 3 - 2007
AG qué: TRAN AAU THO BA MUO TAM ca <5
Bài tốn này khơng q khó Các võ sĩ
Trần Quốc Luật, 10A., THPT Cao Thắng, Hương Sơn, Hà Tĩnh ; Trần Vũ Trung, 9A.,
THCS Phùng Chí Kiên, TP Nam Định, Nam
Định và một võ sĩ không có địa chỉ đã cho
lời giải đúng và ngắn gọn bằng cách sử dụng bổ đề sau (đã được giới thiệu và
chứng miinh trong bài 4(37), TTT2 số 39)
Bồ đề Cho tứ giác ABCD AB ¬ CD = E;
AD ¬ BC =F Khi đó trung điểm của các đoạn AC, BD, EF cùng thuộc một đường thẳng
Riêng võ sĩ Trần Ngọc Trung, 9A,, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ đã đề xuất
và giải bài toán tổng quát hơn mà không sử dụng bổ đề trên
Xin giới thiệu với bạn đọc bài toán tổng quát mà võ sĩ Trung đề xuất cùng với lời giải
của võ sĩ (đã được sửa chữa)
Bài toán Cho tứ giác lồi ABCD và các
điểm /, ư lần lượt thuộc các đoạn AC, BD sao
cho IA - “Đặt E= AJ ¬ BỊ; E= Ca DI IC JD"
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của hai cạnh
AB, CD Ching minh rang EF // HK
Lời giải Có hai trường hợp cần xem xét
1) AD, BC không song song 2) AD, BC song song
Vì phép chứng minh bài toán trong cả hai
trường hợp là hoàn toàn tương tự nên tôi chỉ
giới thiệu phép chứng minh bài toán trong trường hợp 1
Đặt O = AD n¬ BC Trên các tia OA, OB
ta lấy các điểm X, Y sao cho OX = AD ;
OY = BC Gọi Z là trung điểm của XY Dựng các hình bình hành HADP, HBC Ta có : O Y B C DP/IAH;DP=AH;, CQiIBH;, CQ= BH = DP If CQ; DP = CQ = DPCQ là hình binh hanh = K là trung điểm của PQ Cũng vì HADP, HBCQ là hình bình hành nên HP//AD ; HD= AP; HQ / BC ; HQ = BC —>HPi//OX;HP=OX;HQ//OY;HQ=OY
— HP = OX; HQ= OY; PHQ= XOY = APHQ = AXOY = APHK = AXOZ (vi PK = XZ) = PHK = XOZ = HK// OZ (1) (vi HP // OX)
Trang 21
vượt nu won
6999 HHHHHHHHOF
Bai toan n chéng minh bất đẳng thức có rất nhiều dạng và đã gây không ít trở ngại cho
các bạn học sinh trong các kì thi Một trong các phương pháp được sử dụng để chứng
minh bất đẳng thức chính là phương pháp
phản chứng Phương pháp này tổ ra có ưu thế rõ rệt khi trong giả thiết và kết luận của
bài toán có nhiều bất đẳng thức
Sau đây là các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Chứng minh rằng (a + b)ˆ > 4ab
Lời giải Giả sử (a + b)ˆ < 4ab suy ra
a2 + 2ab + bˆ < 4ab = a* -— 2ab + b* <0
= (a — b)ˆ < 0, điều này là sai với mọi a, b
Vậy giả sử trên là sai, suy ra đpcm
Ví dụ 2 Cho ba số a, b, ce (0; 1)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai :
1 1 1
a(1—b)>—; b(1—c) >—; c{—a)>— q-Ð) 4 (1—-c) 4 q-a) 4 Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức trên
đều đúng Theo giả thiết ta có a, b, c, 1 — a, 1— b, 1— c đầu là các số dương, suy ra 1 a(1~b)b(1~6)e(1~4) > = (1) oe 14 ¬a <S—; 4’ ;c(1-c)< Mặt khác a(1- a) = | 1 4 Tương tự ta có b- b) < 1 4 1 4 suy ra a(1— b)b(1— c)c(1—a) <—_ oa tC
Ta có (1) mâu thuẫn với (2) nên giả sử
ban đầu là sai, suy ra đpcm
thì ít nhất một trong hai phương trình sau có
nghiệm : x? + a,x+b,=0;
khi đó ta có Am <0 và Ai) < 0 suy ra
Aya, +A
điều này là sai với moi a,, a, Vay gia su trên là sai, suy ra đpcm
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng a, b, c cùng dương
c không dương Không mất tính tổng quát,
giả sử số không dương đó là a (a < 0) a<0 a<0 =>=4b<0 (4) hoặc b>0O (5) c>0 c<A® (1)) c > -(a + b) > 0 = cía + b) < => ab + c(a + b) < ab — PHƯƠNG PHÁP
ˆ GHỨNG MINH BAT DANG THUG
BANG PHAN CHUNG
GIÁP TRẦN QUÂN (Hà Nội) Ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu a,-a > 2(b, + b.) (1) x? + aX + by =0 (2) Lời giải Giả sử (1) và (2) đều vô nghiệm, <0 = af —4b, +a5 -4b› <0
= af +a% —A(b, + by) <0
Trang 22= ab + bc + ca < -(a* + ab + b2) < 0, mâu
thuẫn với (2)
Nếu (5) xảy ra thì tương tự ta cũng chỉ ra
được ab + bc + ca < 0, mâu thuẫn với (2) Vậy giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm
Ví dụ 5 (đề thi HSG Mát-xcơ-va 1986)
Với mọi số thực x, y, z, chứng minh rằng có
ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai : |x[ < ly - Z{; lyl < lz- x{ ; lzl < lx - vi Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức trên
đều đúng, suy ra xÊ < (y - z)ˆ
= x*-(y-z)*<0
= (x— y+ Z)(x + y—- Z) <0; tương tự ta có (y—zZ+x)(y+Zz—x) <0;
(Z—-x+y)(Z+x- y) <0
Nhân theo từng vế 3 bất đẳng thức trên
suy ra (x— y+ Z)^(y— z + x)?(z — x+ y)ˆ < 0
là bất đẳng thức sai với mọi x, y, z => giả sử
ban đầu là sai = dpcm
Bài tập áp dụng
Bài 1 Cho a + b = 2cd Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng : cẰ>a; dˆ> b Bài 2 Cho các sé a, b, c, A, B, C thỏa man aC — 2bB + cA = 0 va ac — b* > 0 Chứng minh rằng AC - B <0 Bài 3 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng :
_.- (Vô định Toán quốc tế 2000) Bài 4 Cho abc z 0, chứng minh rằng ít
nhất một trong ba phương trình sau có
nghiệm : ax2 + 2bx + c=0 ; bx2+ 2cx+ a=0; cx2 + 2ax + b =0 Bài 5 Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau đây, có ít nhất một bất đẳng 2 thức đúng : a2 +bÊ > (6 <9 2 b2+c2 >\ c+a)* -c2+a2„(a+Ð)ˆ 2 Ket qua :
TRAN BAU TH BA MUCI TAM
(Tiép theo trang 19) Mặt khác từ đẳng thức A - *Ö tạ có: IC JD 2B s ABE) =“ s(ABE) JD IC
= S(ADE) = S(BCE) => S(OXE) = S(OYE) (vi OX=AD; OY=BC) >Ze OE>Ee OZ Tuong tu ta cd Fe OZ Vậy đường thẳng OZ chính là đường thẳng EF (2) Từ (1) và (2) suy ra EF /! HK Lời bình Võ sĩ Trung xứng đáng là người đăng quang trong trận đấu này vì sự cố gắng trong việc mở rộng bài toán thách
đấu
NGUYỄN MINH HÀ
Trang 23
Danh cho cac nha
toanhoc nho
CUC TRI HINH HOC VA QUY TICH
(Tiếp theo kì trước)
% We Me Se Me Sa & $4 ~~ w~ WG Ww W~
Các bạn cũng có thể giải bài toán 2.2 bằng cách áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác MAKEB với K là trung điểm của cung
chứa góc 1802 — œ dựng trên đoạn AB, vẽ
trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa cung chứa góc ơ dựng trên đoạn AB
Trở lại việc giải câu b) của bài toán 2
N
M
S AE O B F
Từ câu a) suy ra MIN =120° Mặt khác
MN = R khơng đổi, theo bài tốn 2.2 ta có
chu vi tam giác MIN lớn nhất © IM = IN
© MN // AB (các em tự kiểm tra)
Lời bình Bài foán 2.2 chính là một trong vài ví dụ kinh điển về bài toán cực trị hình
học được thiết kế thông qua một bài toán quỹ tích, có trong một số tài liệu toán sơ cấp mà tôi đã nói đến ở kì trước
Câu b) của bài toán 2 chỉ là sự kết hợp
của bài toán 2.1 và bài toán 2.2 thông qua gợi ý là câu a)
Câu b) của bài toán 2 còn được giải quyết
nhờ bài toán bất đẳng thức hình học sau
Bài toán 2.3 Cho AABC cé A=120° 2/3 Chứng minh rằng AB + AC <= BC Như vậy, thông qua định lí Pt6-lé-mé va bất đẳng thức hình học trên, ta có thể giải được bài toán 2 mà không cần biết rằng đây o% WM eo Me Me Me Sa & 4ˆ W~ Ww YW UW Ww WY ~~ TS NGUYEN MINH HA (BHSP Ha Néi) oe Me Me Me Me Me So & “~ ~ ~~ Uw WW Wy WY ~~
là bài toán cực trị hình học được thiết kế
thông qua một bài toán quỹ tích Tuy nhiên,
để làm được điều này đối với các bài toán
tương tự, người làm toán cần phải có một kĩ
năng khá cao, đặc biệt là kĩ năng biến đổi
đại số (và lượng giác) trong hình học Ngoài
ra, có những bài toán không thể giải được
hoặc giải được một cách rất khó khăn nếu người làm toán khơng biết rằng bài tốn mình đang giải là bài toán cực trị hình học được thiết kế thông qua một bài toán quỹ tích
e Bài toán 3 (đề thi năm 2004 - 2005, đã
sửa chữa) Cho điểm M chạy trên (O) có
dây AC cố định khác đường kính, M khác A
và Œ Gọi ! là trung điểm của AM; H là hình
chiếu vuông góc của / trên CM Tìm vị trí
của M để S(ACH) lớn nhất
Lời giải Trước hết ta có hai bài toán phụ
Bài toán 3.1 Cho điểm M chạy trên (O)
có dây AC cố định khác đường kính, M khác
A và C Gọi ! là trung điểm của AM; H là
hình chiếu vuông góc của / trên CM Tìm
qui tích của điểm H
Lời giải bài toán 3.1
Trang 24
Lấy B đối xứng với € qua O và trung
điểm K của AB (B, K cố định ; B thuộc (O))
Thuận Giả sử H thỏa mãn điều kiện của bài toán, ta có : IH.L CMvà BM L CM suy ra IH!! BM; (1) IM = IA va KB = KA suy ra IK là đường trung bình của AABM = IK // BM (2) Từ (1) và (2) suy ra Ke IH => KHC = 90°
= H thuộc đường tròn đường kính KŒ
= He (O,) ngoại tiếp AACK
Mặt khác, vì M khác A và C nên đường
thẳng CM khác đường thẳng CA và khác
tiếp tuyến với (O) tại C Suy ra H khác A và
E, trong đó E là giao điểm khác C của tiếp
tuyến với (O) tại C và (O;)
Tóm lại, H c (O2), bỏ đi hai điểm A, E
Đảo Các em hãy tự làm
Kết luận Quỹ tích những điểm H thỏa
mãn điều kiện bài toán là (O,) ngoại tiếp
AACK, bo di hai diém A, E
Bài toán 3.2 Cho H chạy trên (O ; R) có
dây AB cố định khác đường kính Tìm vị trí của H sao cho khoảng cách từ H tới AB lớn nhất Lời giải bài toán 3.2 Gọi I, H„ lần lượt là
trung điểm của đoạn AB, cung lớn AB ;
là hình chiếu vuông góc của H trên AB
Ta có (các em hãy tự vẽ hình) :
HJ < HI< HO + OI= R+OI
Đẳng thức xảy ra © = ! và O e HI
©H=hp
Trở lại việc giải bài toán 3 (vẫn dùng
các kí hiệu trong lời giải bài toán 3 1) Ta có : S(ACH) lớn nhất c Khoảng cách từ H tới AC lớn nhất
© H là trung điểm của cung lớn AC của
(O,) (theo bài toán 3.1 và bài tốn 3.2) © H=š Họ M=M (vì Họ khác A và E nên Mẹ khác A và C)
Lời bình
Trước hết xin giới thiệu bài toán gốc :
Bài toán 3.3 (đề thi năm 2004 - 2005,
bài toán gốc) Cho tam giác vuông ABC tại
A, nội tiếp (O) M là một điểm tuỳ ý thuộc (O) (M khác A, B, C) Gọi ! là trung điểm
của đoạn AM và H là hình chiếu vuông góc
của ! trên đường thẳng CM Hãy tìm vị trí
của M sao cho S(ACH) lớn nhất
Bài tốn 3.1 khơng khó, cũng không dễ
nhưng lại rất quen thuộc nên đã được giấu
đi bằng cách kết hợp nó với bài toán 3.2 để
sinh ra bài toán 3.3 Tuy nhiên, vì bài tốn
3.7 khơng dễ (nhất là khi nó đã bị giấu đi)
nên trong bài toán 3 3 buộc phải gợi ý (thiếu
tự nhiên) cho học sinh bằng cách cho thêm
điểm B
Bài toán 3 là một sự kết hợp tự nhiên hơn
so với bài toán 3.3
e Bài toán 4 (đề thi năm 2005 - 2006, bai
toán gốc) Cho nửa đường tròn tâm O,
đường kính AB = 2E và C là trung điểm của cung AB Gọi M là điểm tùy ý trên BC (M
khác B, C) Kẻ dây BK // CM Đường tròn
đường kính KM cắt tia BM tại điểm thứ hai S Hãy xác định vị trí của điểm M sao cho khoảng cách từ S đến AB lớn nhất, tính khoảng cách đó theo Lời giải L] A O JH B
Gọi ! là trung điểm của BC va là hình
chiếu vuông góc của ! trên AB, ta có
Trang 25U=-.OB=+R, 2 2 (1) Xét ASKB, ta có KSB = KSM =900° : SBK = MBK =5-sđÍWK = —‹sđÏMC + ~-sđƠR -sđÍWC +—-sđBM (vi MC // BK) ð[ >N|>M -sdCB = =-90° = 459, Suy ra SKB = 45° =CKB > Ce KS — CSB =90° (vi KSB = 90°) Vay SI = = BC = ep (2) Goi H là hình chiếu của S trên AB, từ (1) V2 +1, 2 và (2) suy ra SH< SỰ < lJ+ SI=
Gọi Sọ là giao điểm của !J với nửa đường
tròn đường kính BC dựng trên nửa mặt
phẳng bờ 8C không chứa O và Mạ là giao
thứ hai của BSọ với đường tròn (O) Dễ thấy, Mẹ là trung điểm của BÒ (các em tự kiểm
tra) Kẻ dây BKo // CMạ Dễ thấy, Sạ là giao
điểm thứ hai của đường tròn đường kính
KoMẹ với tia BMạ (các em tự kiểm tra)
Đẳng thức xảy ra © H = J và le Sư © S= S © M= Mạ © MìÌà trung điểm của Bỏ
Lời bình Mặc dù trong lời giải bài tốn 4 khơng nói tới một bài toán quỹ tích nào nhưng nếu tinh ý, các em sẽ phát hiện ra ngay bài
toán quỹ tích ẩn chứa trong bài toán 4 :
Bài toán 4.1 Cho nửa đường tròn tâm O
đường kính AB và C là trung điểm của A8 Một điểm M chuyển động trên BC, khác B
và C Kẻ dây BK J! CM Đường tròn đường
kính KM cắt tia BM tại điểm thứ hai là S Tìm
quỹ tích điểm S
Bài toán 4 chính là sự kết hợp cơ học
giữa bài toán 4.1 và bài toán 3.2
Ở phần cuối lời giải của bài toán 4 có yêu
cầu các em tự kiểm tra tính đúng đắn của
hai khẳng định :
+ Mẹ là trung điểm của BÒ Khẳng định
này cho ta thấy thêm ý nghĩa hình học của
điểm Mạ Tuy nhiên, nếu không có nó thì lời
giải bài toán 4 mà tôi giới thiệu ở trên vẫn
được coi là hoàn chỉnh, bởi lẽ vị trí cần tìm
của điểm M đã được xác định (M = Mẹ là giao điểm thứ hai của BS với (O))
+ So là giao điểm thứ hai của đường tròn
đường kính KoMp với tia BMạ Khẳng định
này rất quan trọng, nếu không có nó thì lời
giải bài toán 4 mà tôi giới thiệu ở trên sẽ
khơng cịn hồn chỉnh
Vấn đề nêu trên có độ sâu sắc và tế nhị
rất cao Nhiều người làm toán thường quá
coi trọng khẳng định thứ nhất mà không
quan tâm tới khẳng định thứ hai Do đó, có thể coi bài toán 4 là bài toán khó đối với các em về phương diện lôgïc
Trước khi kết thúc bài báo này, xin giới thiệu với các em ba bài toán cực trị hình học
được thiết kế thông qua một bài toán quỹ
tích để các em rèn luyện kĩ năng
Bài toán 5 Cho (O) và hai điểm A, B cố định Điểm M chạy trên (O) và điểm N là
trọng tâm tam giác MAB Tìm vị trí của M
sao cho NA có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) Bài toán 6 Cho tam giác đều ABC có độ
dài cạnh là a và tâm là O Điểm M chạy
trong tam giác sao cho tam giác HKL vuông tại H, trong đó H, K, L theo thứ tự là hình
chiếu của M trên BC, CA, AB Tìm vị trí của M sao cho MO nhỏ nhất và hãy tính giá trị nhỏ nhất đó theo a
Bài toán 7 Cho tam giác ABC có [ï là tâm
đường tròn nội tiếp Điểm P nằm trong tam
giác và thỏa mãn điều kiện
PBA +PCA = IBA +ÍCA
Trang 26
Ri nay
Với các chuyên mục Đo trí thông minh,
Không chỉ là văn, Rừng cười, Vào thăm
Vườn Anh, câu đố Hồng Hà, các bạn có
thể tham gia giải đố trúng thưởng bằng
mot trong hai cach:
1 Gọi điện đến số 19001548 rồi làm theo hướng dẫn 2 Nhắn tin đến số 8109 theo mau : 3T Mã chuyên mục X Y, trong đó : - Mã chuyên mục cụ thể : Tên chuyên mục | Mã Đo trí thông minh {| IQ2 Không chỉ là văn V2 Rừng cười RC2 Vào thăm Vườn Anh | VA2 Câu đố Hồng Hà | HH2 Ai là ai 2 A2
- X là đáp án của bạn (các chữ cái viết
liền, không dấu)
- Y là số người có đáp án đúng (theo dự đoán của bạn)
Ví dụ : Trong chuyên mục Rừng cười kì
này, nếu đáp án của bạn là chưới và theo
bạn có 7234 người đoán đúng thì bạn hãy
soạn tin 3T RC€2 CHUOI 1234, gửi đến số
8109
Lưu ý : Riêng cuộc thi “Ai là ai ?”, các bạn hãy soạn 3T A2 phương án lựa chọn của bạn Y, trong đó phương án lựa chọn
của bạn là 1 hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4 ; Y là số người có đáp án đúng (theo dự
đoán của bạn) Ví dụ : Nếu bạn chọn
phương án 2 và dự đoán có 7234 người đoán đúng thì hãy soạn tin 3T A2 2 1234
rồi gửi đến số 8109
CÂU HỎI KÌ NÀY CHO TỪNG CHUYÊN MỤC
Đo trí thông minh : Bạn hãy cho biết
đáp án đúng của câu đố kì này
Không chỉ là văn : Hãy tìm từ thích hợp
để thay thế từ “Nguyên Tiêu” trong câu
“Nguyên Tiêu còn gọi Tết ta”
Rừng cười : Hãy giải đáp câu đố “Cây gì
nhảy xổm trốn mưa ?”
Vào thăm Vườn Anh : Hãy tìm từ ở hàng
ngang đầu tiên từ trên xuống
Câu đố Hồng Hà : Hãy tìm từ ở cột dọc ngoài cùng bên phải
Ai là ai : Hãy cho biết phương án lựa chọn của bạn Xin chúc mừng các bạn sau đã trúng
thưởng cuộc thi trên TTT2 số 46 :
4 Đo trí thông minh : Đính Tuấn Anh, số
30, tổ 32, Lê Hồng Phong, TP Thái Bình (số
điện thoại 0988854246)
2 Không chỉ là văn : Lê Tất Thắng, 9A,
THCS Cộng Hiền, Vĩnh Bảo, Hải Phòng (số
điện thoại 0313585899)
3 Vào thăm vườn Anh : Nguyễn Khánh
Linh, 8A,, THCS Van Son, Đồ Sơn, Hải Phòng
(số điện thoại 0313862236)
4 Rừng cười : Nguyễn Hoàng Hải Triều,
55 Phạm Ngũ Lão, TP Buôn Ma Thuột, Đắk
Lắk (số điện thoại 050859730)
5 Thế giới quanh ta : Lưu Đức Thắng,
khu tập thể Đoàn 296, đường Thanh Niên,
TX Sâm Sơn, Thanh Hóa (số điện thoại
Trang 27
Problem E24 (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education Publishing House) A man bought 20 chickens and ducks altogether, with a 2000 VND discount per chicken and 500 VND discount per duck He saved 22000 VND in all How many chickens and how many ducks did he buy ?
(Solution E22
Denote by xy the two-digit number on the third card (x, ye N,O<x<9,0<y<9Q)
All possible six-digit numbers formed by putting consecutively these three numbers are :
3297xy, 9732xy, 32xy97, 97xy32, xy3297, xy9732
They are added up to give 3535350 : 3297xy +32xy97 +9732xy +97xy32 + + xy3297 + xy9732 = 3535350 From the above equation : 329700 + xy + 973200 + xy + 320097 + 100: xy + 970032 + 100: xy + 10000: xy + 3297 + 10000: xy + 9732 = 3535350, or > 20202 xy = 3535350, which yields xy = 46
The number written in the third card is 46
Nhận xét Trong đề bài lần này có sự
không chính xác (thừa cụm tu “of digits”)
do sơ suất của tòa soạn và đó là lí do chỉ
có ít bạn gửi bài tham gia Xin cáo lỗi cùng
các bạn Tuy nhiên những bạn gửi bài thì
đều hiểu đúng và cho đáp số đúng vì bài
không khó Xin khen ngợi các bạn sau :
Nguyễn Anh Quân, 8H, THCS Trưng
Vuong, Ha Noi ; Pham Quang Tung, 9A, THCS Thanh Thủy, La Phù, Thanh Thuy,
Phú Thọ ; Trần Thị Mai Dung, 8C, THCS
Thái Hòa II, Nghĩa Đàn ; Hoàng Dinh Qué,
9C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu,
Nghệ An
TS NGÔ ÁNH TUYẾT (NXBGD) |
Trang 28
e Xi nay : TẾTtfll0 [II
Những ngày lễ tết trong năm Người ghi sơ ý đã nhầm lung tung
Nhờ di lễ tết thuộc lòng
Sia lai cho đúng uui cùng đón xuân ! Nguyên Tiêu còn gọi Tết ta
Nơi nơi náo nức, nhà nhà đón xuân
Tất Niên là lễ đầu năm
Chẳng ai quên cúng ngày rằm tháng Giêng
Vu Lan tảo mộ tổ tiên
Tháng ba đúng tiết chớ nên lơ là Đoan Ngọ mồng ba tháng ba
Bánh trôi, chay sắm cả nhà cùng ăn
Trùng Thập mồng năm tháng năm
Tết diệt sâu bọ, nhớ thầm Khuất Nguyên
Trung Thu còn gọi trung nguyên
Ram thang bay cúng tổ tiên, oan hồn Hạ Nguyên vằng vặc trăng tròn Đêm rằm tháng tám cháu con rước đèn
Hàn Thực nhiều nơi đã quên Mồng chín tháng chín tết miền núi xa
Trùng Cửu lương y định ra
Mười tháng mười cúng chè kho, bánh dày Nguyên Đán nông dân nhớ ngày
Tháng mười cơm mới sắm ngay cúng nhà
Thanh Minh tháng chạp hai ba
Tết tiễn ông Táo nhà ta chầu trời Những mong cuộc sống yên vui
Các ngày lễ tết người người hân hoan
MAI ĐÌNH PHẨM
(45 Tân Lâm, Ý Yên, Nam Định)
2ï
e %2 quá : NƯỚC (UANH TA (rTT2 số4e)
Nước quanh ta không dễ sửa Em phải có hiểu biết về từng loại nước Bạn TTHL (Bắc Ninh) viết “Nước sôi ta dùng thường
xuyên”, “Nước đá dùng để pha trà” là sai “Nước ngọt” mới dùng thường xuyên, còn
“nước sôi” dùng để pha trà mới đúng Bài thơ có thể sửa như sau :
Nước ngọt ta dùng thường xuyên Nước lợ chỉ thấy ở miền cửa sông
Nước phèn gây hại cây trồng
Nước sông khi đục khi trong không chừng
Nước cất tinh khiết vô trùng Nước ao tù đọng chỉ dùng tưới cây
Nước lọc qua máy dùng ngay
Nước khoáng tiêu chuẩn đóng chai đắt hàng
Nước triều phụ thuộc tuần trăng
Nước giếng dùng khắp xóm làng từ lâu
Nước cứng tỉ lệ khoáng cao
Nước lũ ngầu đục dồi dào phù sa Nước sôi dùng để pha trà
Nước đá cứng nhẵn như là mặt gương Nước thải ô nhiễm môi trường
Nước máy phục vụ phố phường đông dân
Nước mưa hứng bể dùng dần
Nước biển kho chứa muối ăn dồi dào Nước mạch thường ở vùng cao
Nước ngầm khoan xuống đất sâu kiếm tìm Những bạn được thưởng kì này là : Ngô
Thu Thủy, 9B, THCS Nguyễn Hiền, Nam
Trực, Nam Định ; Phạm Tú Tài, 8B, THCS
Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ;
Nguyễn Thị Kiều Oanh, 6A, THCS Lương Khánh Thiện, An Lão, Hải Phòng ;
Nguyễn Thị Thu Hiền, 204B Ngô Gia Tự,
thị trấn Bình Định, Bình Định ; Nguyễn
Thị Chi (con bố Nguyễn Tiến Sơn), khu 6,
xã Mạn Lạn, Thanh Ba, Phú Thọ
Trang 29Chú Khoa ơi, cháu biết chú đã từng học nhiều năm ở
nước ngoài, chắc cũng đã
từng đón những cái Tết ở phương trời xa xôi ấy Chú
thấy Tết “Ta” và Tết “Tây” có
gì khác nhau 2 Bật mí cho
chú biết nhé, cháu sắp đi Mỹ
học Bố cháu đang làm đại diện cho một công ty của Việt Nam ở bên ấy mà
THỦ PHƯƠNG
(phuongthu91@yahoo.com)
TRAN DANG KHOA :
Mỗi nước có phong tục đón Tết khác
nhau Chú không biết cách đón của người Mỹ thế nào Chú chỉ biết phong vị Tết của nước Nga thôi Ở nước Nga, người Việt đón đến hai cái Tết Tết “Tây” và Tết
“Ta” Tết “Tây” là ngày mồng Một tháng
Một dương lịch Người Nga chỉ nghỉ Tết một ngày Chính vì thế, mà cái Tết vèo qua rất nhanh Đối với người Việt còn
chưa quen phong tục ấy, thì nó như một
giấc mơ đẹp dang dở Nhưng để có giấc mơ ấy, người Nga đã rục rịch chuẩn bị
trước hàng tháng trời Trên đường phố, hay trong các cửa hàng, cửa hiệu, vào trung tuần tháng mười hai, người ta đã thấy phấp phới những tấm băng đỏ chào mừng năm mới Rồi những cây thông
được trang trí bằng ông già Tuyết và nhiều
quả thủy tỉnh óng ánh muôn màu Rồi kẹo Rồi bánh Rồi đồ chơi dành cho trẻ
con Nhìn vào đâu cũng tưng bừng, náo
nhiệt Ở Việt Nam, ngày Tết người ta
thường đến nhà nhau, thăm hỏi, chúc tụng, cầu cho nhau luôn gặp được những
điều tốt lành Mình đến nhà bạn chúc Tết, trong khi đó, bạn cũng lại đến nhà mình Thế là cả hai đều không gặp được nhau, đều “nhông nhông” trên đường Nhưng như thế lại vui Tết mà Tết Việt Nam là thế Là cứ bung ra đường Tết ở ngoài đường, ngoài phố Còn ở nước Nga thì
ngược lại Người ta ít ra đường, cũng
không đến nhà nhau Tết Nga lại co vào trong nha Đấy là cái tổ ấm chỉ vợ chồng,
con cái đầm ấm với nhau Người ta cũng bày cây thông, trang trí lại nhà cửa, nấu
những món ăn cổ truyền Người Nga
không thích tiếp khách trong nhà riêng
vào những ngày Tết ấy Đúng khoảnh
khắc giao thừa, người ta chúc nhau qua
điện thoại hoặc qua những cánh thiếp đã gửi đi từ mấy ngày trước đó Còn ở các kí
túc xá sinh viên có người nước ngoài thì
thật náo nhiệt Họ nhảy múa, ca hát tưng bừng ở trong phòng rồi tràn cả ra hành
lang chói trang ánh điện Một anh chàng
xúng xính trong bộ áo quần ông già Tuyết, chống cây gậy bịt giấy bạc đi dọc hành
lang Phía sau là một cô gái Tuyết lộng lẫy,
vừa đi vừa nhún nhảy, tươi cười, qua phòng
nào cũng gõ cửa, rồi ném kẹo vào Ấy là
Trang 304 ` @ Ki nay: Ô chữ CAC NA KHOA HOC
Trên mỗi hàng ngang của ô chữ này là tên một nhà khoa
học lừng danh thế giới Bạn có biết họ là ai khơng ?
NGUN HỒNG NAM
(6A„, trường Đoàn Thị Điểm, Từ Liêm, Hà Nội)
\ 2
@ Két qua: TO CHỨC QUOC TẾ (TTT2 số 46)
Bạn đọc của Toán Tuổi thơ thật xứng đáng là những chủ nhân tương lai của đất nước trong thời kì hội nhập và phát triển Các bạn đã tỏ ra rất am hiểu về các tổ chức thế giới
Có rất nhiều bạn gửi bài tham gia Vườn Anh kì này Một số bạn xuất sắc còn cung cấp
cho Chủ Vườn nhiều thông tin lí thú về các tổ chức đó
Đáp án : OPEC (Organization of Petrolium Exporting Countries) : Tổ chức các nước xuất khau dau mé ; UNESCO (United Nations Educational, Scientific and Cultural Oganization) : Tổ chức Giáo dục, Khoa hoc va Văn hóa của Liên Hiệp Quéc ; ASEAN (Association of South East Asian Nations) : Hiép héi cac quéc gia Dong Nam A ; WHO (World Health Organization) : Tổ chifc y té Thé gidi ; FIFA (Fédération Internationale de Football Association) : Lign đoàn Béng da Thé gidi ; UNICEF (United Nation International Children’s Emergency Fund) : Quy
bao trợ Nhi đồng của Liên Hiệp Quốc ; FBI (Federal Bureau of Investigation) : Cuc diéu tra
Liên Bang Mỹ ; FAO (Food and Agriculture Organization) : Tổ chức Lương Nông Liên Hiệp
Quéc ; WWE (World Wild Fund) : Quỹ bảo vệ động vật hoang dã Thế giới
Năm bạn xuất sắc nhất sẽ được nhận quà của Chủ Vườn : Nguyễn Trọng Đức, 6A,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Văn Thắng, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An ; Phạm Thị Hải Hà, 9A„, THCS Bình Minh, TP Hải Dương ; Nguyễn Thị Thùy Dung, 7B, THCS Phú Thái, Kim Thành, Hải Dương ; Phạm Thị Yến Ngọc, 92, THCS
Trang 31CL aw `
e4: sa, : CẤM GT ?
Đố bạn tìm các loại cây
Có chữ C ở đầu tên của mình :
Cây gì họa sĩ dùng quen ?
Cây gì thân phải đứng nghiêng đeo buồng ?
Cây gì đánh rộn làng buôn ?
Cây gì quả chát, thân suông, chẳng cành ?
Cây gì dùng lá nhuộm xanh ?
Cây gì cùng với bưởi, chanh họ hàng ?
Cây gì thu nở hoa vàng ?
Cây gì quả chín vị càng thêm chua ? Cây gì nhảy xổm trốn mưa ?
Cây gì cho quả ngọt chua, nấu xào ?
Cây gì dệt chiếu đẹp sao ? Cây gì cho vỏ têm trầu bà xơi ?
TRUONG HAI
(33A, Quốc lộ 60, khu phố 1, p.6, TP Mĩ Tho,
Tiền Giang)
Thần kì huyền ảo khó tin
Thần công vũ khí làm kinh quân thù Thần nông trồng trọt cần cù Thần y vị thuốc cứu tinh
Thần thánh tài phép anh minh siêu phàm
Thần tốc nhanh đến ngỡ ngàng Thần chú bí mật, xin đừng lộ ra
Thần đồng em bé tài hoa
Thần thoại truyện cổ lời bà hôm nao
Thần thông hiểu rộng biết cao
Thần tiên như có phép màu hiện ra Thần dân giải đố tài ba
Trẫm khen, Trẫm thưởng phần quà mừng xuân Ban thưởng : Trần Phương Anh, 6A.,
THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Thắm, 7A,, THCS Lé Thần tượng ngưỡng mộ, viết thư, ngắm nhìn ® “Kết quả : THÂN GI ? (TTT2 số 46) SPhanh chi:
Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải Dương ;
Nguyễn Thị Hoài Thơ, 6B, THCS Lê Hồng
Phong, An Khê, Gia Lai ; Đỗ Kiều Linh,
8A, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Vân Đình,
Ứng Hòa, Hà Tây ; Đặng Thị Trà Giang, 8A, THCS Đặng Tất, Can Lộc, Hà Tĩnh
VUA TEU
Trang 32
———_- ——————
2ú tâm Thi thim thie
Tudi héng:., xin cd tudi hong Fe
Chuyen gt qua sin xiv khong that 10)
Hoi : Néu me em hoac ai
đó giục em học thì em lại thấy
chán chẳng muốn hoc ? Anh có cách gì giúp em với ! Hoa Thủy Tiên (6D, THCS thị trấn ĐH, Thái Bình) Dap: Người giục chẳng sợ phí công Thế mà em chán
muốn không nghe lời
Hay la anh giuc em choi ?
Chắc em cũng chán
và cười lại anh 2
se@eẴẰ9ẰG966669666 6666
Hỏi :
Em muốn tặng quà cô nàng
Nhân dịp “Đinh Hợi - Heo vàng” đó anh Phân vân nên vẫn để dành Nhờ anh mách nước ngọn ngành cho em Thám tử “Lovể” (9A, THCS Đan Trường, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp : Anh xin nói rõ rành rành Quà mua cứ tặng loanh quanh làm gì Không nói thì cứ “hi hi” Cô nàng nhất định “khi khì” đầu xuân e®06/6/666666666 66
Hỏi : Anh ơi ! Con trai và
con gái chơi thân với nhau, đèo nhau về nhà là có gì không tốt hả anh 2 Tại sao các vị phụ huynh và cô giáo nhìn những chuyện đó với ánh mắt không thiện cam ? Girl T.T (7A,, THCS Hai Ba Trung, IX Phúc Yên, Vĩnh Phúc) Đáp : Quay đều theo nhịp bàn chân Xe đạp ơi ! Nhớ những lần đèo nhau Còn ai nhìn thấy mà cau Chắc là chỉ sợ ai mau tỏ tình Hỏi : Bọn bạn nó trêu em :
Được nêu tên trong chuyên
muc IQ chang có gì là hay cả ! Sướng nhất là ở phần giải toán qua thư Em buồn quá anhơi! - NGUYÊN THỊ LY LY (9/6, THCS Lê Quý Đôn, TT Hà Lam, Thăng Bình, Quảng Nam) Đáp : Mục nào cũng phải thông minh Mới được khen thưởng để rinh quà về Đã không được lại còn chê Buồn làm chỉ để não nề ruột gan ? 31) Hoi :
Mỗi lần làm được bài nào
Là em vui sướng nao nao trong lòng
Gửi bài xong lại chờ mong
Mà tên không thấy hỏi rằng - tai sao ? NGUYEN VAN THANG (7D, THCS Ly Nhat Quang, D6 Luong, Nghé An) Đáp : Khen cho trường Lý Nhật Quang
Lâu nay nhiều bạn
giỏi giang giải bài Chưa khen không phải giải sai Bởi vì có bạn giải tài hơn cơ ! se®e6Ằ6Ằ696096960669606 66666 Hỏi : Sinh nhật bạn thân, em định tặng hắn một bộ ảnh chân dung các nhà
toán học vì hắn rất mê toán
nhưng như thế có ít tiền quá không 2 (Vì anh biết đấy, bộ bưu ảnh chỉ có 8.200 đồng !) Em gái phân vân (THPT Chuyên ban Ngô Quyền, TP Biên Hòa, Đồng Nai) Dap: Quà hay ở chỗ bất ngờ Quà hay vì đúng ước mở hàng ngày
Ít tiền nhưng ý nghĩa hay
Còn hơn quà đắt, nặng tay
em à
Trang 33
Bài 1(48) Cho hai số nguyên dương khác nhau A và B đều có
2004 chữ số, trong đó bao gồm 1000 chữ số 1 ; 800 chữ số 2 ; 200 chữ số 3 và 4 chữ số 4 Chứng minh rằng trong hai số A và B không
thể có số này chia hết cho số kia
TRAN ANH ĐỨC (K26D Toán, ĐHSP Hà Nội 2 Phúc Yên, Vĩnh Phúc) Bài 2(48) Chứng minh rằng 1 1 1 246 A= - (V1 +3) " (V3 + V5)? TỔ (2003 + /2005)3 “ 2007 NGUYỄN ĐỨC TRƯỜNG (THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội)
Bài 3(48) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho tồn tại 2k số
nguyên dương x¿, X›, , X„, ÿ;, ÿ› - y„ đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 1) Xị + y¡# X; + y, VỚI mọi /; /c {1 ; 2; ; k} và izJ; 2) x;+ y, < 2009 với mọi í e {1 ; 2 ; ; k}
NGUYEN TIEN LAM (K50A1S, khoa Toán-Cơ-Tin, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội) Bài 4(48) Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là AB = V3, BC = 3, CD = 243, DA = 3¥V3 va A=60° Tinh cac góc còn lại của tứ giác ABCD
BÙI VĂN CHI (THCS Lương Thế Vinh, TP, Quy Nhơn, Bình Định)
Bài 5(48) Cho tam giác ABC bất kì Trên tia đối của các tia AC, BA, CB lần lượt lấy các
diém A,, B,, C, sao cho AA, = BC, BB, = AC, CC, = AB
Chứng minh rằng S(ABC,) + S(ACB,) + S(BCA,) 2 6-S(ABC) Đẳng thức xảy ra khi nào ?
NGUYÊN QUANG ĐẠI (Hà Nội)
CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION
English version translated by Pham Van Thuan
> 1(48) Let A, B two distinct 2004-digit positive integers, both of which have one thou- : : sand 1s, eight hundred 2s, two hundred 3s, and four 4s Prove that they are not divis- : : ible by each other
: 2(48) Prove the inequality
1 1 246
1
A= 7
(v1 + ¥3)° (/3 +5) a (2003 + 2005)” ~ 2007
: 3(48) Find the greatest positive integer k such that there exist 2k pairwisely distinct : : pOSitiVe integerS X¿, X¿, , X„, V+, Yo «+ » Y, Satisfying the following conditions simul- : : taneously: 1) x, + y,#x,+y; for alli; je {1;2; ; k} and ¡#/; 2) x; + y < 20089 for all ¡ < {1 ; 2 ; ; kỳ
4(48) Let ABCD be a quadrilateral with side lengths: AB = \3, BC=3, CD = 243, :
: DA = 3V3 and A=60° Find the measures of other angles of the quadrilateral ABCD :
> §(48) ABC is a triangle Points A,, B,, C, are respectively chosen on the opposite :
> rays of AC, BA, CB such that AA, = BC, BB, = AC, CC, = AB
Trang 34= Kính gửi : Tạp chí TTT2 I
Nhân dịp Tạp chí đón nhận Bằng khen của Thủ tướng Chính phủ, chúng tôi xin nồng nhiệt chúc mừng và chân thành kính chúc các đồng chí trong Hội đồng Biên
tập sức khỏe, hạnh phúc
Hất mong các đồng chí tiếp tục cho ra mắt những số
tạp chí hay với nhiều bài viết trí tuệ
Chúng tôi vô cùng cảm ơn các đồng chí vì những gì
đã học hỏi được ở Tạp chí
NGƠ TIỂU TRÍ (hay mặt CLB Toán
trường THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh)
® TTT2 : Cam ơn bạn đọc rất nhiều 3T2 (- sa Chúng em rất muốn mua bộ ảnh chân dung các nhà bác học mà TTT giới thiệu Xin Tạp chí cho biết
cách thức liên hệ mua như thế nào ?
(Nhiều bạn đọc điện và nhắn tin qua số đường dây nóng)
® TTT2 : Vì Tòa soạn không thể
gửi về cho từng em nên đề nghị các
em đăng kí mua tập thể Tòa soạn chỉ
gửi về địa chỉ các em đăng kí khi mua
ít nhất 30 bộ bưu ảnh Các em gửi tiền qua Bưu điện dưới hình thức Thư
chuyển tiền (gửi về : Tạp chí Toán Tuổi thơ, số 38 ngõ 61, Trần Duy
Hưng, Hà Nội) và ghi rõ trong phần viết thư : số lượng từng loại bưu ảnh cùng địa chỉ gửi Các em hãy tham
gia cuộc thi "Ai là ai ?" để được nhận
\ các giải thưởng thú vị ! Cảm ơn z
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP TẠP CHÍ TOÁN TUỔI THƠ
Tổng biên tập : PGS TS NGUT Vũ Dương Thụy
Phó Tổng biên tập : TS Lê Thống Nhất
Ủy viên Hội đồng biên tập Toán Tuổi thơ 2 :
GS Nguyễn Khắc Phi, PGS TS Trần Kiều, PGS TS
NGND Tôn Thân, TS Nguyễn Văn Trang, PGS TS Vũ
Nho, TS Trịnh Thị Hải Yến, ThS Nguyễn Khắc Minh, Ông Phạm Đình Hiến, PGS TS Ngô Hữu Dũng, TS Trần Đình
Châu, NGND Vũ Hữu Bình, TS Nguyễn Minh Hà, PGS TSKH Vũ Đình Hòa, TS Nguyễn Minh Đức, PGS TS Lê
Quốc Hán, Ông Đào Ngọc Nam, Ông Nguyễn Đức Tấn, TS Nguyễn Dang Quang, TS Tran Phuong Dung, TS Ngô Ánh Tuyết, Ơng Trương Cơng Thành
* Biên tập : Nguyễn Anh Quân, Phan Hương
Xin đáp ứng hết mọi điều chờ mong !
CHỊU TRÁCH NHIỆMXUẤTBẢN
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc : NGÔ TRẤN ÁI
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập : NGUYÊN QUY THAO
* Kĩ thuật vi tính : Đỗ Trung Kiên * Mĩ thuật : Lê Minh Sơn
* Trị sự - Phát hành : Trịnh Đình Tài, Trịnh Thị Tuyết Trang, Mạc Thanh Huyền
* Địa chỉ liên lạc : số 38, ngõ 61, Trần Duy Hưng, Q Cầu Giấy, Hà Nội * ĐT : 04.5567125
* Fax : 04.5567124 * Đường dây nóng : 0903436757 * Website : http://toantuoitho.nxbgd.com.vn E-mail : toantt@fpt.vn * Giấy phép xuất bản : 31/GP-BVHTT ngày 23/1/2003 - Bộ Văn hóa và Thông tin
* In tại : Công ti cổ phần in Sách giáo khoa TP Hà Nội
Nộp lưu chiểu tháng 02 năm 2007
Trang 35— e
IV 5
Cuộc thi này thử tài của các bạn nhận ra các nhà bác học đồng thời giúp các
bạn hiểu thêm về các nhà bác học, những tấm gương sáng về sự sáng tạo
e Đối tượng dự thi : Không giới hạn lứa tuổi, ngành nghề Một người có thể dự
thi nhiều bài, nhiều lần
e Thời hạn dự thi : Hết ngày 30 tháng 4 năm 2007
e Hình thức dự thi : Gửi bài thi viết về Tạp chí Toán Tuổi thơ, điện thoại về số
19001548, nhắn tin về số 8109
e Giải thưởng : Một giải đặc biệt (1 xe đạp trị giá 1.000.000 đồng) và nhiều giải
thưởng hấp dẫn khác
e Nội dung cuộc thi : Giữ nguyên thứ tự tên các nhà bác học ở cột thứ nhất, sắp xếp lại thứ tự các nội dung ở các hàng của cột thứ hai để nội dung ở cột thứ hai có
liên quan tới nhà bác học ở cột thứ nhất
Tên nhà bác học Nội dung liên quan Thư tự PY-TA-GO Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 1
F VI-ET Phat minh ra vaexin 2
A CO-SI Dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước va compa 3
P PHÉC-MA Cây đậu Hà Lan 4
S DACUYN Hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa 5
ACSIMET Tháp nghiêng thành Pida 6
GALILÊ Đo chiều cao kim tự tháp 7 ANBE ANHXTANH X2 + yˆ =Z2 với x, y, z thudc Z 8 IXAC NIUTON 1540 - 1603 9
ALEXANDRO VONTA Tau Bigon 10