So 65 Full re pdf
Trang 1Sap cha BO GIAO DUC VA DAO TAO NHA XUAT BAN GIAO DUC 4 ah () 2 | TRUNGHOCCOSO OT at ee estat,
GD MUNG THANH CONG CUOC THI
Trang 22 -
® Kindy DOI MAU BI
Trên một màn hình có 17 viên bi màu đỏ, 21 viên bi màu xanh và 10 viên bi màu vàng Hồng đố Anh thực hiện trò chơi với các viên bi
như sau : mỗi lần, ta lấy hai viên khác màu chạm vào nhau và cả
hai viên bi này sẽ cùng đổi màu sang màu khác với màu của cả hai
viên bi đó (chỉ trong các màu trên là đỏ, xanh và vàng) Hỏi Anh có
thể chuyển toàn bộ các viên bi trên thành một màu được không ? TẠ THẬP (TP Hồ Chí Minh) © Két qua HAY TIM DA THUG or secs) Nếu f(x) là đa thức có các hệ số nguyên thì (f(2008) - f(2010)) : 2 Mà lập phương
của hai số nguyên liên tiếp là hai số khác
tính chấn lẻ nên hiệu của chúng là một số
lẻ Vậy không có đa thức nào thỏa mãn điều kiện bài toán Nhận xét Nếu f(x) là đa thức có các hệ số (m # Nn) Các bạn được thưởng kì này : Đặng Thế Mạnh, 8C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Lê Thị Oanh, 8A¿, THCS Quán Hành, Nghi Lộc, Nghệ An ; Nguyễn Việt Bằng, 9B, THCS Quỳnh Hội, Quỳnh Phụ, Thái Bình nguyên thì (f(m) - f(n)) : m—n), Vm,ne Z ANH COM PA DANH SÁCH Đ0RT GIẢI
THI GIAI TOAN QUA THU NAM HOC 2007 - 2008
(TREN TAP CHI TTT2)
@ GIAI CA NHAN
+ Giải Vàng : Phạm Quang Thịnh, 9I, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên
+ Giải Bạc : Đính Tiến Dũng, 9C, THCS Tam Dương, Tam Dương, Vĩnh Phúc ; Bùi Đức Phương, 6Aa, THCS Nhơn Lộc, An Nhơn, Bình Định ; Nguyễn Thị Ngân, 7A, THCS Trung Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh
+ Giải Đồng : Nguyễn Mạnh Quân, Nguyễn Thị Thúy Hằng, Nguyễn Đăng Hiếu, 9C, THCS
Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Trần Thị Thúy Hoan, 9D, THCS Trần Quốc Toản, TX
Phủ Lý, Hà Nam ; Nguyễn Ngọc Long, 9A, THCS Thuận Thành, Thuận Thành, Bắc Ninh ; Hoàng Minh Lập, 9E, THCS Quang Trung, Kiến Xương, Thái Bình ; Lê Cao Thăng, 9A, THCS
Phan Chu Trinh, Sông Cầu, Phú Yên ; Nguyễn Trường Giang, 9A, THCS Giấy, Phong Châu,
Phù Ninh ; Triệu Thị Quỳnh Mai, 9A2, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Văn Quý, 9A, THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định ; Nguyễn Thị Thu Hiền, 9A, THCS Nhữ Bá Sỹ,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa
® GIẢI TẬP THỂ
+ Giải Vàng : Trường THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
Các cá nhân và tập thể đoạt giải chưa nhận giải trong Lễ trao thưởng ngày 28.06.2008
thông báo với tòa soạn địa chỉ liên hệ để Ban tổ chức gửi giải thưởng qua đường bưu điện
Trang 3Singapore Mathematical Olympiad (SMO) 2008 (Junior Section) Tuesday, 27 May 2008 (0930 — 1200 hrs) Important :
Answer ALL 35 questions
Enter your answers on the answer sheet provided
For the multiple choice questions, enter your answer on the answer sheet by shad- ing the bubble containing the letter (A, B, C, D or E) corresponding to the correct answer
For the other short questions, write your answer on the answer sheet and shade the
appropriate bubble below your answer
No steps are needed to justify your answers
Each question carries 1 mark No calculators are allowed
MULTIPLE CHOICE QUESTIONS 1 How many zeroes does the product of
25°, 1504 and 20083 end with ? (A) 5 ; (B) 9 ; (C) 10 ; (D) 12 ; (E) 13
2 Given that /2x + y +vx* -9 =O, find
the value(s) of y — x
(A)-9 ; (B) -6 ; (C) -9 or 9; (D) -3 or 3 ; (E) None of the above
3 The number of integers between 208 and 2008 ending with 1 is
(A) 101 ; (B) 163 ; (C) 179 ; (D) 180 ; (E) 200
4 The remainder when 72208 + 92908 js
divided by 64 is
(A) 2 ; (B) 4; (C) 8; (D) 16 ; (E) 32
5 John has two 20 cent coins and three 50 cent coins in his pocket He takes two
coins out of his pocket at random, one after
the other without replacement What is the probability that the total value of the two coins taken out is 70 cents ?
6 3 12 3 13
(A) 35 (B) 70° (C) 35 (D) 5 (E) 20:
6 In the following sum, O represent the
digit 0 A, B, X and Y each represents distinct digit How many possible digits can A be 2 + AOOBAOOB BOOABOOA XXOXYXOXX (A) 6 ; (B) 7; (C) 8; (D) 9; (E) 10 7 The least integer that is greater than (2+3) is (A) 13 ; (B) 14; (C) 15; (D) 16 ; (E) 17 8 Let x, y and z be non-negative num- bers Suppose x + y= 10 and y+ z=8 Let S = xX+z What is the sum of the maximum and the minimum value of S ?
(A) 16 ; (B) 18 ; (C) 20 ; (D) 24; (E) 26 9 How many integer solutions (x, y, Z) are there to the equation xyz = 2008 ? (A) 30 ; (B) 60 ; (C) 90 ; (D) 120 ; (E) 150 10 The last two digits of 92098 ¡s (A) 01 ; (B) 21 ; (C) 41 ; (D) 61 ; (E) 81 SHORT QUESTIONS 41 Find the remainder when x2008 + + 2008x + 2008 is divided by x + 1 12 Find the maximum value of Xx—-144++4722-—x
13 Five identical rectangles of area 8 cm? are arranged into a large rectangle as shown
Find the perimeter of this large rectangle 14 60 students were interviewed Of these, 33 liked swimming and 36 liked soccer Find the greatest possible number of students who neither liked swimming nor soccer
15 As shown in the picture, the knight
Trang 4
can move to any of the indicated squares of the 8 x 8 chessboard in 1 move If the knight starts from the position shown, find the number of possible landing positions
after 20 consecutive moves Z 2F Li _12 12 12 12 2 22 ⁄/ Uy, fe GW, YY KZ LM fl lof YU, OG GB
16 Given that a + B = 17 and of = 70, find the value of |œ — BỊ
17 Evaluate (in simplest form)
2008 + 2007/2008 + 2007/2008 +2007V 18 Find the sum of all the positive integers less than 999 that are divisible by 15 19 A brand of orange juice is available in shop A and shop B at an original price of
$2.00 per bottle Shop A provides the
“buy 4 get 1 free” promotion and shop B provides 15% discount if one buys 4 bottles or more Find the minimum cost (in cents) if one wants to buy 13 bottles of the orange juice
20 Anna randomly picked five integers from the following list 53, 62, 66, 68, 71, 82, 89 and discover that the average value of five integers she picked is still an integer If two of the integers she picked were 62 and 89, find the sum of the remaining three integers
21 Suppose the equation ||x — a| — b| = 2008 has 3 distinct real roots and a + 0 Find the value of b
22 Find the value of the integer rn for the following pair of simultaneous equations to have no solution 2x= 1+ ny, nx= 1 + 2y \Y
23 There are 88 numbers 4, Ap; Ag, , đạo
and each of them is either equals to —3 or —1
Given that a,” + ay” + + Age” = 280, find 4 4 4
the value of a, +82 + + Age’ 24 Find the value of 1 1 1 1 1 1 1 1 114017 2 3.4 5.6 7 2004_ 2005 1 1 3 4 5 6 7 8 2005 2006 T1 1 2006 2007 T1 1 2007 2008
25 An integer is chosen from the set {1, 2, 3, , 499, 500} The probability that this integer is divisible by 7 or 11 is mn in its
n
lowest terms Find the value of m+ rn
26 The diagram shows a sector OAB of
a circle, centre O and radius 8 cm, in which
ZOAB = 120° Another circle of radius rcm
is to be drawn through the points O, A and B Find the value of r
A
8 cm
120°
O B
27 The difference between the highest common factor and the lowest common multiple of x and 18 is 120 Find the value of x
28 Let oa and 8 be the roots of
x? -Ax+c= 0, where c is a real number If
Trang 5` ¿| e4¿a BẠN NÚI THÊM 6Ì NỬA CHANG ? AME = 3EMB Lời giải
lần lượt tại M và N sao cho AME+EMB+MND=225° và Bài toán Cho đường thẳng EF cắt hai đường thẳng AB và CD Biết hai đường thẳng AB và CD phân biệt Nhận xét gì về hai
đường thẳng AB và CD 2
Vì AME + EMB=180° (hai géc ké bu)
ma AME + EMB + MND = 225° (giả thiết) nén MND = 225° -180° = 45°
Vi AME = 3-EMB (gia thiết) nên 4-EMB =180° => EMB =45°
Suy ra MND = EMB
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD
Bạn sẽ nói thêm gì nữa chăng 2 NGUYỄN ĐỨC TẤN e %£: g„á DŨNG LÌNH DUNG KHÔNG ? œmassea Bạn Tính đã làm sai Phép dựng hình chỉ cho phép sử dụng thước kẻ và com pa Ở đây Tính đã sử dụng thêm hình
chữ nhật có diện tích bằng diện tích xung
quanh của hình trụ Việc “lăn” hình trụ để
tạo ra hình chữ nhật có chiều dài bằng 2R
chính là để tạo ra một đoạn thẳng có độ
dài bằng chu vỉ một đường tròn cho trước, một bài tốn dựng hình khơng giải quyết
được bằng thước kẻ và com pa, vì 7 là một
số siêu việt Bài toán mà Tính nêu ra có
tên là Cầu phương hình tròn, cùng với bài
toán Chia ba một góc bất kì và bài tốn Gấp đơi thể tích một khối lập phương, đến
nay người ta vẫn chưa giải quyết được bằng thước kẻ và com pa
Rất tiếc là kì này chưa có bạn nào tìm được lời giải đúng cho bài tốn này
ANH KÍNH LÚP
Trang 6
« 2 ~ `
+: say HE DEN ROI!
Hè đến rồi ! Nắng dựng tóc gay luôn ! Ban hãy điền một trong bốn hình A, B, C hoặc D vào dấu chấm hỏi cho hợp lôgic nhé !
©@ @
GNGRGI
oper aes
@ Két qua CHON THE NAO ? (11128663)
1 Quy luật của bài toán là : ghép thêm từ
đường vào trước mỗi từ trong đề bài để được một từ có nghĩa Do đó từ bị loại là Gỗ
cua cau d)
2 Ta có 14B = 122 + 1 ; 170 = 132 + 1 và 197 = 142 + 1
Do đó số tiếp theo là 152 + 1 = 226
Bác Quang quyết định trao thưởng kì này
cho các bạn sau : Trần Thị Mai Anh, con bố Trần Đức Hùng, hiệu trưởng trường THCS Quang Sơn ; Nguyễn Hòa Phúc, 6A, THCS
Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc ; Vũ Thị
Lan Phương, 8B, THCS Hồ Xuân Hương,
Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Cao Thi Thu Ha,
7D, THCS Nguyén Trai, Nghi Xuan, Ha
Tĩnh ; Nhóm big babol, 9B, THCS Yén
Phong, Yén Phong, Bac Ninh
NGUYEN DANG QUANG
Trang 7
Trước hết, xin được nhắc lại lí thuyết 1 Định nghĩa a) Đa thức biến x bậc n (n > 0) là một biểu thức có dạng P(x) = a,x" + a.„xxf `
+ a,X + a trong dO ap, a,, , a, la các
hang s6 cho truéc, a, #0 va a, dude goi là
hệ số bậc cao nhất của đa thức P(x)
Đa thức 0 là đa thức không có bậc b) Nếu a, e Z, Vi e {0; 1; 2; ; n} thì P(x) được gọi là đa thức có hệ số nguyên Kí hiệu Z[x] là tập hợp tất cả các đa thức có hệ số nguyên 2 Tính chất Cho đa thức P(x) =a„x"+a„_;x? + + + a,X + a, © Z[x] (n > 0)
a) Néu x,, X,, - , X, (n> 0) la cac nghiém nguyén phan biét cua P(x) thi P(x) = (K — X4)(K — x2) 2 X— xạ) “QỌ%), với kạ, ko, ., k, € N* va Q(x) e Z[l b) Néua, be Z, a#b thi (P(a) - P(b)) : (a — b) Sau đây là một số ứng dụng Bài toán 1 Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) e Z[x] nhận giá trị lẻ khi x = 0 và
x = 1 thi P(x) khéng có nghiệm nguyên
Lời giải Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x =c Khi đó tồn tại đa thức Q(x) c Z[x] thỏa mãn P(x) = (x - c)Q(x) Ta có P(0) = -c-Q(0) va P(1) = (1 - c)Q(1) Vì —c và 1 — c là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chắn Do đó P(0) và P(1) MOT SO Tinh CHAT UA Ge DUNG CUA BA THỨ tú HE SO néUYEN
ThS HOANG DUC NGUYEN (GV Khối THPT chuyên ĐHSPH Nội) TTT2 số 58 đăng bài viết của nhà giáo Vũ Văn Dũng về ứng dụng của việc tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức có hệ số nguyên để
phân tích đa thức thành nhân tử Bài viết này xin được giới thiệu
tiếp một số tính chất và ứng dụng của đa thức có hệ số nguyên
không thể cùng là số lẻ, vô lí, suy ra đpcm Nhận xét Ta có bài toán tổng quát sau
Bài toán 2 Cho đa thức P(x) € Z[xj
Chứng minh rằng nếu các số P(0), P(1), , P(m - 1) đều không chia hết cho m (me N
cho trước, m > 2) thì P(x) không có nghiệm nguyên (Put Nam, 1940)
Bài toán 3 Cho đa thức P(x) € Z[x] Biét
răng P(x) nhận giá trị bằng 7 với bốn giá trị nguyên khác nhau của x Chứng minh rằng
P(x) # 14, V xe Z
Lời giải Giả sử P(a) = P(b) = P(c) = P(d) =7
trong đó a, b, c và d là bốn số nguyên đôi một khác nhau Ta có P(x) = (x — a)(x — b)(x — c)(x — d)Q(x) + 7, với Q(x) c Z[x] Gia sứ tồn tại xo e Z mà P(xạ) = 14 Suy ra (Xọ — 8)(Xạ — b)(Xo — €)Œg - d)Q(xạ) = 7
Tức là 7 được phân tích thành tích của ít nhất 4 số nguyên đôi một khác nhau, vô lí,
suy ra đpcm
Bài toán 4 Cho đa thức P(x) c Z[x] có 13 nghiệm nguyên khác nhau Chứng minh răng nếu n e Z không là nghiệm của P(x)
thì |P(n)| > 7(6!)2 (Hy Lap, 1997)
Lời giải Gọi x,, x5, , X43 la 13 nghiém
nguyên khác nhau của P(x)
Trang 8
nguyên phân biệt khác 0 và Q(n) c Z,
Q(n) z 0 nên
IP(n)| > |1(1)2(-2) 6(—6).7| = 7(6!)2
Bài toán 5 Chứng minh rằng không tồn
tại đa thức P(x) e Z[x] thỏa mãn
P(2007) = 2008 ; P(2009) = 2007 Lời giải Giả sử tồn tại đa thức P(x) thỏa
mãn yêu cầu bài toán
Ta có (P(2007) - P(2009)) : (2007 - 2009)
hay (2008 — 2007) : 2 : vô lí, ta có đpcm Bài toán 6 Cho đa thức P(x) € Z[x] ;
a và b là hai số nguyên và nguyên tố cùng
nhau Chứng minh rằng nếu P(a) : b và
P(b) : a thi P(a + b) : ab
Lời giải Vì (P(a + b) — P(a)) : (a + b — a)
nên (P(a + b) —- P(a)) : b Mà P(a) : b nên P(a + b) : b
Tương tự P(a + b) : a Vì a và b nguyên
tố cùng nhau nên P(a + b) : ab
Nhận xét Ta có bài toán tương tự sau Bài toán 7 Cho đa thức P(x) € Z[xj
Chứng minh rằng không tồn tại 3 số nguyên
phân biệt a, b và c sao cho P(a) = b, P(b) = c và P(c) = a (USA MO, 1974)
Bài toán 8 Xác định xem các số a, b
được cho như sau là số hữu tỉ hay vô tỉ ? a) a= $2 +Ä24 b) b= 9/9 +45 +¥9-4V5 Lời giải a) Vì a = Ä2 +34 nên a? =6+6(2 +34) =6 +8a Suy ra a3 — 6a — 6 = 0 Do đó a là nghiệm của đa thức P(x) = xỶ — 6x — 6 Ta thấy nếu xo là nghiệm hữu tỉ của P(x) thì xạ e {1 ; +2 ; +3 ; +6} Bằng phép thử trực tiếp ta thấy các số này đều không phải là nghiệm của P(x) Do đó a là số vô tỈ b) Tương tự b là nghiệm của đa thức Q(x) = x3 — 3x — 18 = (x — 3)(x? + 3x + 6)
Suy ra b = 3 nên b là số hữu tỉ
Bài toán 9 Cho đa thức P(x) c Z[x] bậc
m Gọi n là tổng số các nghiệm nguyên
phân biệt của hai phương trình P(x) = 1 (1)
va P(x) = —1 (2)
Chứng minh rằng n < m +2 (IMO 1974) Lời giải Dễ thấy số nghiệm (nếu có) của
mỗi phương trình (1) hoặc (2) đều không vượt quá m và khi (1) (2) cùng có nghiệm thì chúng không có nghiệm chung
+ Nếu (1) hoặc (2) không có nghiệm
nguyên thì n < m, ta có đpcm
+ Nếu (1) và (2) đều có nghiệm nguyên thì gọi r, s thứ tự là nghiệm nguyên bất kì của (1) và (2) Ta có (P(r) - P(S)) : (r — S)
hay 2 : (r — S) (3)
Kí hiệu r* là nghiệm nguyên nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm nguyên của (1) và
(2) Không mất tổng quát, giả sử r* là nghiệm của (1) Từ (3) suy ra (2) chỉ có thể
có hai nghiệm là r” + 1 va r* + 2 Suy ra n <m +2, ta có đpcm
Nhận xét Ta có bài toán tương tự sau Bài toán 10 Cho đa thức P(x) c Z[x] có
bậc là 1991 Xét đa thức Q(x) = P2(x) — 9
Chứng minh rằng số nghiệm nguyên của đa thức P(x) không vượt quá 1995 (Dự tuyển IMO, 1991) Cuối cùng tôi xin giới thiệu một số bài tập để các bạn tự giải Bai 1 Cho da thttc P(x) € Z[x] ; X4, X; và Xa thứ tự là nghiệm nguyên của các phương trình P(x) = 1, P(x) = 2 và P(x) = 3 Chứng
minh rằng xạ, x„ và xạ là nghiệm duy nhất
của mỗi phương trình trên
Bài 2 Cho đa thức P(x) c Z[x] ; a, be Z
thỏa mãn a < b và P(a) = P(b) = 1;c, de Z thỏa mãn c < d và P(c) = P(d) = —1 Giả sử
a < c Chứng minh rằng a, b, c và d là bốn
số nguyên liên tiếp
Trang 9
Như đã nói trong hai số báo trước (TTT2 số 63 và 64), trong số này chúng
tôi tiếp tục tuyển chọn và giới thiệu các bài
toán từ các kì thi Olympic Toán học Estonia Đây là những bài toán phù hợp
trình độ toán THCS ở nước ta (các lớp ghi trong bài là lớp của Estonia)
Bài 1 (Lớp 9, 2007)
Số nguyên tố 373 có đặc điểm là : tất cả
các dãy số có mặt trong số này là 3, 7, 37, 73 và 373 đều là các số nguyên tố Số 373 được gọi là số siêu nguyên tố (hyperprime)
Tổng quát, ta nói một số tự nhiên là một
số siêu nguyên tố nếu các dãy số có mặt trong số này đều là các số nguyên tố
Hãy tìm tất cả các số siêu nguyên tố Bài 2 (Lớp 9, 2001) Tìm các chữ số a, b và số tự nhiên x thỏa mãn 14ab45 = 37(72 +3x) Bài 3 (Lớp 70, 2002) Cho đa giác lồi 7 cạnh có số đo (bằng Cuộc thi
Olympic Toản hoc Estonia
(Tiếp theo kì trước)
ThS NGUYỄN VĂN NHO (NXBGD)
độ) của 7 góc ở đỉnh khác nhau từng đôi một, cùng là các số tự nhiên chia hết cho
9 và đều lớn hơn 90 Tìm tổng số đo của
hai góc lớn nhất
Bài 4 (Lớp 9, 2002)
Cho hai đường tròn có tâm là O; và O,,
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B PQ
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(với P e (O,), Q e (O,)) Biết O,, A, Q
thang hang va O,, A, P thang hang Chứng minh rằng hai đường tròn đã cho có bán kính bằng nhau
Bài 5 (Lớp 71, 2007)
Cho AABC cân tại A Một đường tròn
(O) đi qua hai điểm A, B và cắt cạnh đáy BC tại điểm thứ hai P z B Qua B kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt đường tròn ngoại tiếp AABC tại điểm thứ hai Q z B
Chứng minh rằng P nằm trên đường
thẳng AQ khi và chỉ khi AQ L BC
Cac ban dase thuetng bi nay
Phạm Quang Thịnh, 9l, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa ; Lê Cao Thăng, 9A, THCS Phan Chu Trinh, Sông Cầu, Phú
Yên ; Lê Thị Oanh, 8A¿, THCS Quán Hành, Nghi Lộc ; Phan Thanh Tùng, 6D,
THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ
An ; Nguyễn Thị Thanh Van, 8A,, THCS
Phú Thái, Kim Thành, Hải Dương ;
Nguyễn Thế Bảo, 8A., THCS Yên Lạc,
Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Bùi Quang Khương, 8C, THCS Thụy Ninh, Thái Thụy ; Vũ Thị Thu Thảo, 9A., THCS Lương Thế Vinh, TP Thái Bình, Thái Bình ; Nguyễn Văn
Linh, 9A., THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP
Trang 10
Cuoc thi Olympic Toan hoc Estonia
(Tiếp theo kì trước) 2 NH = x7 = AC = Vax" 1 = 2 1 v2 1 1 + 1 Bài 1 Dễ thấy — = m m+1 m(m+†) ex 32 1 1 2 NT LẠ: Vme Ñ va —=—+— (1), tUc la bai 17 6 102 toán đúng với k = 2 Với k = 3, ta thay phân số có mẫu số lớn nhất ở vế phải của (1) bởi ——+————— 103 102-103 th ot, 4,1 (2) 17 6 103 102-103 Cứ tiếp tục như vậy, ta có đpcm Bài 2 B Ol x 4 E Qa) a F x Q A D C Đặt CE = x ; CED = œ thì EB = EA = x và AED = EAB =a Dé thay EF AF FE ED 1 — = — = cosa > — =— == ED AB FA AB 2 Suy ra EHX AE 3 ma een EF EC ED ~ cosœ = ED2 = EC.EF Bài 3 Tất cả các số tự nhiên cần tìm là : a) Các số tự nhiên có không quá 7 chữ
số, mỗi số chỉ chứa hai chữ số là 0 và 2 ; b) Các số có 8 chữ số dạng 20000*** : c) Số cuối cùng là số 20002000 Vậy số tất cả các số cần tìm là 127+8+1= 1% Bài 4 Vì 10! có có hai chữ số tận cùng là 00 nên nếu n > 9 thì nl có hai chữ số tận cùng là 00 Dễ thấy các số 1!, 2I, , 9! có hai chữ số tận cùng lần lượt là 01, 02, 06, 24, 20, 20, 40, 20, 80 nên kết quả cần tìm là 13 Bài 5 C A C, C, B Ta co AC, = C,C, = CB ; BA, =A,A, = =A,C ; CB, = B,B, =B,A
Suy ra BC>A, = BC,A> =BAC va
BA,C> =BA,C, =BCA
Mà A;A„€,€, là tứ giác nội tiếp nên
BAaC¡ = 1809 - AC2A+ =BC2Ai
Suy ra BAC = BCA
Tương tự CAB = CBA,suy ra AABC đều
Trang 11
Ví dụ 1 Chứng minh rằng trong tập hợp
các số nguyên tố Z không có số nguyên tố lớn nhất
Lời giải Vì 2 e # nên + Ø Giả sử p„ là số nguyên tố lớn nhất trong Z Gọi p là tích của n số nguyên tố đã biết, tức là P = P1Ð2Ða -Đn-
Đặt A = p + 1 thì A > pạ nên A là một hợp
số Suy ra A có ít nhất một ước số nguyên tố d, với d < p„ Suy ra p : d nên 1 : d, vô lí, ta có đpcm Vi du 2 Cho 2™ ~ 1 là một số nguyên tố Chứng minh rằng m là một số nguyên tố Lời giải Giả sử m là hợp số thì m = p-q (p, qc Ñ vàp, q> |) Vi2™ — 4 = 2P9_ 4 = ((2P)9— 1) : (2P — 1) mà 1 < 2? - 1< 2" - 1 nên 2"' - 1 là một hợp số, vô lí Vậy m là một số nguyên tố Ví dụ 3 Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên 15x2 — 7y2 = 9 (1) Lời giải Giả sử (1) có nghiệm nguyên Dễ thấy y : 3 Đặt y = 3z (z e Z) thì 5x2 — 21z2 = 3 Suy ra x : 3 Dat x = 3t (tc Z) thì 15t2 — 7z2 = 1 Hay 5(t2 - z2) = 2z2 + 1 (2) Vì z2 chia 5 dư 0, 1 hoặc 4 nên 2z2 + 1
mOT CACH CHUNG Mine
BANG PHUONG PHAP PHAN CHUNG
TA MINH HIEU (GV THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc) Một trong số những cách để chứng minh một bài toán bằng
phương pháp phản chứng là ta giả sử kết luận của bài toán sai rồi lập luận để có một kết luận trái với giả thiết của bài toán, từ đó khẳng định được kết luận đúng của bài toán đó Sau đây là một số ví dụ
chia 5 dư 1, 3 hoặc 4 Do đó 2z2 + 1 không
chia hết cho 5
Vậy (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm
Ví dụ 4 Chứng minh rằng nếu abc là
một số nguyên tố thì bˆ - 4ac không phải là một số chính phương
Lời giải Giả sử bˆ - 4ac = k2 (ke Z”)
Ta có 4a-abc = 400a2 + 40ab + 4ac
= 400a2 + 40ab + bế - (b2 — 4ac) = (20a + b)* — k2
= 4a-abc =(20a + b + k)(20a + b — k) (1)
Dễ thấy b > k >0, suy ra
20a +b+k> 20a +b —k> 4a
Mà (20a + b + k)(20a + b - k) : 4a nên
từ (1) suy ra abc là hợp số, vô lí
Vay b2 —- 4ac không phải là số chính
phương
e Bài tập tự luyện
Bài 1 Chứng minh rằng nếu a, b và c là
độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn
điều kiện aˆ + b2 > 5c thì c < a và c <b
Bài 2 Chứng minh rằng nếu 2" + 1 là
một số nguyên tố thì n là một lũy thừa của 2
Bài 3 Chứng minh rằng n2 + 3n + 5
không chia hết cho 121, Vn c Ñ
Bài 4 Cho d là ước số chung lớn nhất
của a và b Chứng minh rằng tồn tại các số
nguyên m, n sao cho am + bn = d
Trang 12ĐỀ THỊ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYEN DHKHTN,., ĐHQG HÀ NỘI Thời gian : 150 phút - Năm học : 2008-2009 1 MÔN TOÁN (VÒNG 1) Câu I (3,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình K + yˆ = 2X (x —1)° +y? =1 2) Giải phương trình (2x+7)V2x+7 =x? +9x+7, Câu II (3,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số abcd sao cho abcd : 3 va abc—bda = 650 2) Tìm tất cả các số nguyên p sao cho phương trình 2x2 — (p — 1)x + p + 2008 = 0 có tất cả các nghiệm đều là những số nguyên
Cau Ill (3,0 điểm) Cho AABC có góc A
vuông ; AH L BC (H c BC) ; đường phân
giác của góc BAH, CAH thứ tự cắt BH, CH
tại M và N
1) Chứng minh rằng tâm đường tròn
ngoại tiếp AAMN trùng với tâm đường tròn
nội tiếp AABC
2) Kí hiệu d,, d lần lượt là các đường
thẳng vuông góc với BC tại các điểm M và N Chứng minh rằng d,, d tiếp xúc với
đường tròn nội tiếp AABC
Câu IV (1,0 điểm) Cho các số nguyên dương a, b thay đổi thỏa mãn aD1+1 3 a+b 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 31,3 a’ +b
2 MON TOAN (VONG 2)
Cau | (3,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình
es — y2x =Í
8x? — y° = 7,
2) Cho 0 <x< 1 Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức y = x+2/2(1- x)
Câu II (3,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên
x, y thỏa mãn 2x2 + yˆ + 3xy + 3x+ 2y +2=0 2) Tìm các số nguyên dương a, b và c (ab — 1)(bc — 1)(ca —1) là abc sao cho biểu thức một số nguyên
Câu III (3,0 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp AABC có các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P nằm khác phía A so với BC Trên cung BC không chứa A lấy
điểm K khác B và C Đường thẳng PK cắt
đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q khác A
1) Chứng minh rằng các đường phân giác của góc KBQ và KCQ cắt nhau tại
một điểm thuộc đường thẳng PQ
Trang 13
Bài 1(63) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho các số x2 + 3y va y? + 3x
đều là số chính phương (tức là bình phương của một số nguyên) Lời giải Giả thiết về x, y là đối xứng nên có thể giả sử x > y Khi đó x? < x? + By < (x + 2) Suy ra x2 + 3y = (x + 1)* hay 3y = 2x + 1 Do đó 3y lẻ và y lẻ Đặt y = 2z + 1 (z c N) thì x= 3z + 1 + Nếu z =0 thì x = y = 1 Khi đó X2 + 3y = yˆ + 3x = 22 : thỏa mãn + Xétz >0 Vì (2z + 2)2 < 4z2 + 13z + 4 < (2z + 4)“ nên yˆ + 3x = 4z* + 13z + 4 = (2z + 3)2 ©Z=5 Suy ra x = 16 ; y = 11 : thỏa mãn Vậy (x; y) e {(1 ; 1); (16; 11); (11; 16))
Nhận xét Đây là một bài toán số học
không khó Các bạn sau có lời giải đúng và
ngắn gọn : Phạm Quang Thịnh, 9I, THCS
Hùng Vương, TP Tuy Hòa ; Lê Cao Thăng, 9A, THCS Phan Chu Trinh, Sông Cầu, Phú Yên ; Trịnh Đăng Sơn, 9A, THCS thị trấn
Quán Lào, Yên Định, Thanh Hóa ; Lê Thị Oanh, 8A,, THCS Quan Hanh, Nghi Léc,
Nghé An ; Nguyén Thj Diéu Thuy, 9C, THCS Nguyén Cao, Qué V6 ; Nguyén Van
Linh, 9A,, THCS Nguyén Dang Đạo, TP
Bac Ninh ; Dam Thi Thanh Huong, 8B,
THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn
Thị Thanh Vân, 8A., THCS Phú Thái, Kim
Thành, Hải Dương ; Phan Xuân Trường, 8C, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường ;
Nguyễn Thế Bảo, 8A,, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; „ HOANG TRỌNG HẢO Bài 2(63) Giải phương trình x(2008 — x?00') - 2007 (1) Lời giải Nếu x < 0 thì x(2008 — x09) < 0 : loại Suy ra x > 0 Ta có (1) c 2008x — x^098 - 2007 © x200 _ 1 _ 2008x + 2008 = 0 ©(x— 1)(x2007 4 2006 4 <= x= 1 hoac x2007 „ „2006 _ - Giải (2) + Nếu x> 1 thì xX>1,Vke{1;2; ; 2007} nên vế trái của (2) > 0 : loại + Nếu 0<x< 1 thì xX*<1,Vke{1;2; ;
2007} nên vế trái của (2) < 0 : loại Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1
Nhận xét Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2008 số
dương ta có
2008 12007 = x20 + 1+1+ +1> 2008x ¬————
2007 sé 1
Các bạn sau đây có bài giải tốt : Bửi
Quang Khương, 8C, THCS Thụy Ninh, Thái Thụy ; Vũ Thị Thu Thảo, 9A2, THCS Lương Thế Vinh, TP Thái Bình, Thái Bình ; Phạm Ngoc Thanh, 8A, THCS Dinh Tiên Hoàng, Hoa Lu, Ninh Binh ; Nguyén Thé Bao, 8A, THCS Yén Lac, Yén Lac, Vinh Phuc ;
Luong Anh Nguyét, THCS Tran Huy Liéu,
Vu Ban, Nam Dinh ; Hoang Khanh Duy,
9A,, THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ ; Lê Thị Oanh, 8A+, THCS Quán Hành, Nghi Lộc ; Phan Thanh Tùng, 6D, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Lê Quang Bình, 9K, THCS Hoa Liên, Nghi Xuân, Hà Tĩnh +x— 2007) =0 +®x-2007=0 (2) NGUYEN ANH DŨNG Bài 3(63) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 1 + 1 Vn¢+Vn+1 vn+1+xn+2
Lời giải Nhân với liên hợp của mẫu số mỗi phân số ta được
<0,02 (1)
Trang 14
(1) <> wn+1—+x/n +xn +2 -x/n +1 <0,02 © Vn+2-Vn <0,02 © vn+2 < vn +0,02 © n+2<(xn +0,02)2 © vn > 49,99 = n >2499,0001 Do đó số nguyên n dương nhỏ nhất thỏa mãn (1) là n = 2500
Nhận xét Bài toán này có nhiều cách
giải nhưng lời giải trên là ngắn gọn và đơn
giản nhất Bài giải của các bạn hầu hết là
đúng, tiếc là một số bạn giải dài
NGUYỄN ĐỨC HOÀNG
Bài 4(63) Cho các số thực a, b, c thỏa
mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1 1
+ +
a+b+4 b+c+4 c+a+4
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
cho hai số dương bất kì x và y, ta có 1 2 Suy ra %+9| + lề 4 x y Do đó “2|x*yJ x+y 4|x y thức A = Suy ra “" 1 a+b+4 4|la+2 b+2 ‘aah (2) c+2 Tương tự cif b+c+4 4\b+2
“"“ A 1 c+ia+4 4\|c+2 a+2
Công theo vế của (1), (2) và (3) ta được
Axl | + 1 + = 2la+2 b+2 c+2
(a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)
2(a+2)(b+2)(c+2) — (ab + bc + ca) + 4(a +b + c) +12
2[ abc + 2(ab +bc + ca) +4(a+b + c) +8 | Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có ab + bc + ca > 3% (abc)? =3 => abc + 2(ab + bc +ca)+4(a+b+c)+8= = 2(ab + bc + ca) + 4(a +b +c)+9>
> (ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 12
Suy ra A <= Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi a =b = c= 1
Vậy giá trị lớn nhất của A là =
Nhận xét Đề bài đã sơ suất khi thiếu giả
thiết a, b, c > 0 Các bạn sau có lời giải tốt :
Nguyễn Văn Linh, 9A,, THCS Nguyên
Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh ;
Nguyễn Thị Thanh Vân, 8A,, THCS Phu Thái, Kim Thành, Hải Dương ; Hoàng Minh
Lập, 9E, THCS Quang Trung, Kiến Xương ;
Vũ Thị Thu Thảo, 9Aa, THCS Lương Thế
Vinh, TP Thái Bình, Thái Bình ; Hoàng Thị
Vân Anh, 8B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc,
Thanh Hóa ; Nguyễn Thị Ngân, 7A, THCS Trung Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh NGUYÊN MINH ĐỨC Bài 5(63) Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và diện tích S Chứng minh rằng 4 1 1 373
b+c-a c+a-b a+b-c 2S
Lời giải Đặt x = b + c— a;y=c+a—b; Z=a+b-c Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có xy+ yz+zx > 3 (xyz)? x+y+z>3‡3xyz = (xy+yz+zx)$lX+y+z > 34l3(xyz)° 4 ° Xy+yZ+Zx ` 343 xyz 4lxyz(x+y+z) 1 1 1 342 ©—+—+—->— x y z 2S
(theo công thức Hê-rông)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AABC đều
Nhận xét Đây là bài toán khá quen
thuộc Nó được hình thành từ việc kết hợp
giữa công thức Hê-rông và bất đẳng thức
Trang 15
e®6666666666 6666666666666 66666666666 666666666666 66666666666
Cơ-si Một sô bạn áp dụng bất đẳng thức i) DAC > DBC
Bu-nhi-a-cốp-xki để suy ra 1,1, Trở lại bài toán
p-a p-b Điều kiện cân Theo bổ đề 1, ta có +> kà và áp dụng bất đẳng thức —C ——— — _—— _— p6 p CIAD = 90° + CBD= 90° +—CAD= ClgD Cé-si cho bén sé 1 1 3
ni 606 een so Da’ p-b’p-c p= tif gidc DCI, I, ndi tiếp (1)
để đi đến kết quả của bài toán Các bạn Tương tự, tứ giác BCI,Ip nội tiếp (2)
sau có lời giải tốt hơn cả : Nguyên Văn Linh, Từ (1) và (2) suy ra
9A,, THCS Nguyén Dang Dao, TP Bac {~~ —
Ninh, Bắc Ninh ; Lý Duy Cương, Nguyễn lslAC +lplAC = 360” — 5 (ADC + ABC) =
Thế Anh, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vinh 1
Tường ; Nguyễn Phương Thùy, 9H, THCS_ = 3809 ~—.180° = 2709
Liên Bảo, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn ˆ
Văn Quý, 9A, THCS Hai Hau, Hai Hau, —Suy ra Iglalp = 360° —270° = 90°
Nam Dinh ; Bui Quang Khương, 8C, THCS
Thụy Ninh, Thái Thụy, Thái Bình ; Lê Thế B C
Vinh, 9B, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa ; Nguyễn Hồng Ngọc Thạch,
9A, THCS Dang Thai Mai, TP Vinh ; Lê Văn
Ước, 8L, THCS Quỳnh Vinh, Quynh Luu ;
Đậu Thế Vũ, 9B, THCS Cao Xuân Huy, CB
Dién Chau, Nghé An ; Lé Cao Thang, 9A,
THCS Phan Chu Trinh, Sông Cầu ; Phạm
Quang Thịnh, 9l, THCS Hùng Vương, TP A D Tuy Hòa, Phú Yên ; Phùng Nguyễn Việt
Hưng, 8A., THCS Tân Xuân, Đồng Xoài, Bình Phước
HỒ QUANG VINH Chứng minh tương tự ta được I.I-Icln là tứ
Bài 6(63) Cho tứ giác ABCD có I,, I„, le
và I, lan lượt là tâm các đường tròn nội tiếp giác có ba góc bằng 902 nên là hình chữ nhật
Điều kiện đủ
các tam giác BCD, CDA, DAB và ABC B
Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp =———C
khi và chỉ khi lAlplclp là hình chữ nhật YQ
Lời giải (Theo bạn Nguyễn Ngọc Long, ` Á
9A, THCS Vũ Kiệt, Thuận Thành, Bắc Ninh) Sù
Trước hết xin phát biểu không chứng | minh hai bổ đề đơn giản sau
Bổ đề 1 Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC thì BIC = 909 +S BAC, D
Bổ đề 2 Với tứ giác lồi ABCD, hai điều kiện sau là tương đương :
i) Anam trong đường tròn ngoại tiếp tam
Trang 16BANCANBIET BANG GIA SACH GIAO KHOA
DUNG CHO HOC SINHA THCS IN NAM 2008
(Phục vụ năm học 2008 - 2009)
Tên sách : Giá bìa (đồng)
LH Lớp 6 Toán tập 1 (T1) : 5500 ; Toán T2 : 4200 ; Vật lí : 5100 ; Sinh học : 11200 ; Công nghệ : 8800 ; Ngữ văn T1 : 7300 ; Ngữ văn T2 : 7400 ; Lịch sử : 3700 ; Địa lí : 5700 ;
Giáo dục công dân : 2800 ; Âm nhạc và Mĩ thuật : 9500 ; Tiếng Anh : 12300 ; Tiếng Pháp : 6700 ; Tiếng Trung Quốc : 5500 ; Tiếng Nga : 8500
LH Lớp 7 Toán T1 : 6000 ; Toán T2 : 4200 ; Vật lí : 4600 ; Sinh học : 12700 ; Công nghệ : 9900 ; Ngữ văn T1 : 8200 ; Ngữ văn T2 : 6600 ; Lịch sử : 8200 ; Địa lí : 11900 ; Giáo dục công dân : 2900 ; Âm nhạc và Mĩ thuật : 9900 ; Tiếng Anh : 11900 ; Tiếng Pháp : 8800 ;
Tiếng Trung Quốc : 7900 ; Tiếng Nga : 9900
LH Lớp 8 Toán T1 : 5700 ; Toán T2 : 5700 ; Vật lí : 5400 ; Hóa học : 8000 ; Sinh học : 13200 ; Công nghệ : 12700 ; Ngữ văn T1 : 7200 ; Ngữ văn T2 : 6600 ; Lịch sử : 8000 ; Địa
lí: 9900 ; Giáo dục công dân : 2900 ; Âm nhạc Mĩ thuật : 9900 ; Tiếng Anh : 10300 ; Tiếng Pháp : 8600 ; Tiếng Trung Quốc : 7300 ; Tiếng Nga : 10800
LH Lớp 9 Toán T1 : 5500 ; Toán T2 : 5800 ; Vật lí : 8400 ; Hóa học : 10800 ; Sinh học : 12100 ; Công nghệ (nấu ăn) : 5200 ; Ngữ văn T1 : 9500 ; Ngữ văn T2 : 8600 ; Lịch sử : 9400 ; Địa lí : 9900 ; Giáo dục công dân : 3100 ; Âm nhạc và Mĩ thuật : 7400 ; Tiếng Anh :
7000 ; Tiếng Pháp : 6600 ; Tiếng Trung Quốc : 5500 ; Tiếng Nga : 7600 ; Công nghệ (trồng
trọt) : 4700 ; Công nghệ (cắt may) : 4700 ; Công nghệ (điện) : 3700 ; Công nghệ (sửa xe) : 3200
Nguồn : Nhà xuất bản Giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo
Se Sees ee eeese see soe
[SS Không mất tổng quát, giả sử DAC > DBC + JTCB +909 +— | Bec DBC +902 + 1 Bbc EK =
2 2 2
Theo bổ đề 2 thì A nằm trong đường tròn
ngoại tiếp ABCD và BAC > BDC = 180° +5 (BCD +DBC +BDC) = 270°
Theo bổ đề 7 thi — Oo as
— — — — Suy ra lAlblp > 90”, mâu thuân
DIạC > DịaC ; Blp€ > BlaC Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp
Suy ra l-, In lượt nắm trong đường tròn Nhận xét Bài toán này gồm hai phần quen
ngoại tiếp các tam giác DI,C va BI,C và lạ : điều kiện cần - rất quen, điều kiện đủ -
rất lạ Có 9 bạn tham gia giải bài này và chỉ có — ‘ 5 bạn giải đúng Ngoài bạn Long, các ban sau các tam giác I-IAD và IrlAB cũng có lời giải tốt : Phạm Quang Thịnh, 9I,
TA LAR Gre EO THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên ;
Suy ra lBlAD < IaCD ; IDlAB <lpCB Vũ Thị Thu Thảo, 9A,, THCS Luong Thế = lIaD <-_ÃCD ; [gIaB <-_ÁCB Vinh, TP Thái Bình, Thái Bình ; Đoàn Thị
2 2 Hồng Vân, Nguyễn Hồng Tuyết, 9B, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bac Ninh
NGUYỄN MINH HÀ
Do đó C nằm trong đường tròn ngoại tiếp
Trang 17
Tên trom trong bong toi
VU THI GIANG (6A„, THCS Mão Điền, Thuận Thành, Bắc Ninh) ⁄ ào một buổi sáng chủ nhật mát
\/” thám tử Sê-lốc-cốc đang đưa con ởi chơi công viên thì chuông điện thoại reo vang
- Xin chào thám tử Tôi là Đi-ma, chủ
hiệu vàng Be-ra Tôi rất xin lỗi vì làm phiền ông trong ngày nghỉ
- Không sao đâu, có việc gì ông cứ
nói May ra tôi có thể giúp - Thám tử
niềm nở nói
- Vâng Thưa ông, cửa hàng tôi vừa
bị mất trộm Ông có thể tới xem xét giúp
được không ?
- Được, để tôi chở các con về nhà đã
nhé Khoảng nửa giờ nữa tôi sẽ có mặt
Ông nói địa chỉ đi
Một lúc sau, đúng như đã hẹn, thám tử
Sê-lốc-cốc có mặt tại cửa hàng vàng
Be-ra Bà La-ra, vợ ông Đi-ma khẩn
khoản nói :
- Thưa thám tử, chỉ vì một chút chủ
quan mà chúng tôi đã bị mất số tiền lớn
- Đầu đuôi thế nào, bà kể lại cho tôi
nghe
- Tối hôm qua có người mang một số
tiền đến trả nợ Do lúc đó đã muộn,
người lại hơi mệt nên tôi ngại không mở
két cất tiền Tôi để tạm vào tủ, khóa lại cẩn thận Vậy mà, đêm đến, trộm đã lẻn
vào cuỗm sạch
- Có ai nhìn thấy hoặc nghe thấy gì lúc xảy ra vụ trộm không ?
- Có ạ Anh Pôn nhân viên bảo vệ đã
phát hiện vụ trộm Tôi sẽ gọi anh ta tới ngay day a
Mấy phút sau, thám tử đã trực tiếp trò chuyện với Pôn Pôn kể :
- Lúc đó chừng hơn 11 giờ đêm Vừa
thiêm thiếp ngủ thì tôi nghe có tiếng động khe khẽ ở phòng bên Tôi khẽ khàng đi sang và nhìn thấy có bóng
người Tôi vội với tay bật đèn nhưng đèn
không sáng Chắc tên trộm đã ngắt điện trước khi thực hiện hành vi xấu xa của
mình Định hét toáng lên nhưng tôi lại sợ
nhỡ hắn có dao hay búa Thế là tôi lên ra
phía cửa chính để báo tin cho anh Giôn
là người bảo vệ đang trực Không thấy
Giôn đâu, nhà thì tối om, tôi đành vội
Trang 18thật tiếc, tên trộm áo tím đã biến mất Tôi hô lên, mọi người chạy đến thì phát hiện cánh tủ bị mở, số tiền trong đó đã mất
Nghe đến đây, thám tử Sê-lốc-cốc quay sang nói với ông bà chủ cửa hàng
vàng :
- Theo tôi thì tên trộm chưa ởi đâu xa
Chúng ta có thể bắt hắn ngay, nhưng tôi
muốn hắn tự thú
Ông Đi-ma và bà La-ra nhìn nhau chẳng hiểu vì sao thám tử kết luận
nhanh chóng và chắc chắn như vậy Còn anh Pôn thi to vẻ ngơ ngác
Các thám tử “Tuổi Hồng” có thể giải
thích được không 2? Theo các bạn, thám
tử Sê-lốc-cốc đoán ai là kẻ đã ăn trộm số
tiền và ông căn cứ vào đâu để kết luận như vậy 2 = | vine ac ĐI Ệ ¬‹ „- li \ 1 Ee & 1 Ln ‘ N i ` | : 4 e %#í „«đ [Ïlất trậm phần mềm máu tính (rrra ss s2) Thanh Nga, 6A, THCS Thanh Thủy, La Phù, Thanh Thủy, Phú Thọ Thám tử Sê-lốc-cốc , TO DI TRANH RET DAY
Trên đời có chuyện lạ thay
Mùa đông chim én liệng bay trên trời !?!
An-be gian dối lộ rồi
Bịa chuyện nhưng lại “giấu đầu hỗ đuôi” Kì này, tất cả các bạn đều có câu trả lời đúng Phần thưởng được trao cho
năm bạn may mắn sau : Nguyễn Thị
Ngọc Ánh, 6A., THCS Mão Điền, Thuận
Thành, Bắc Ninh ; Đặng Hoàng Tiến, 6B, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà
Tĩnh ; Trần Bảo Trung, 6A, THCS Tôn Quang Phiệt, Thanh Chương, Nghệ An ;
Trang 19Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt chẽ và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để giải toán Bài viết này xin giới thiệu một số cách để chứng minh bất đẳng thức này Bất đẳng thức Schur Với các số thực không âm a, b và c ta có a(a — b)(a — c) + b(b — c)(b — a) + + c(c - a)(c -b)>0 (*)
Chứng minh Do vai trò cua a, b vac như nhau nên giả sử a > b > c
Trang 20THACH DAU ! THACH DAU DAY |!
TRAN DAU THU NAM MUOI BAY
e Người thách đấu Hoàng Trọng Hảo, tốn thì ln chọn được trên mỗi hộp một
Hà Nội quả bóng sao cho tích của ba số ghi trên e Bài toán thách đấu Có chín quả ba quả bóng này là lập phương của một
bóng, trên mỗi quả bóng đều ghi một số số tự nhiên
nguyên dương Ta đặt chín quả bóng trên Chứng minh rằng tích của chín số trên vào ba cái hộp sao cho ở mỗi hộp đều có là lập phương của một số tự nhiên
ít nhất một quả bóng Biết rằng với mọi e Xuất xứ Sách tác
cách đặt bóng thỏa mãn điều kiện bài e Thời hạn Trước ngày 15 - 08 - 2008
La 2
Kat Gua (TTT2 sé 63)
Bài toán giải phương trình này không phải là dạng mới lạ, các bài toán tương tự đã có
nhiều trong các sách tham khảo, các tạp chí toán và các đề thi THCS Có 25 võ sĩ tham
gia thi đấu, giải theo một số cách khác nhau và tất cả đều giải đúng Đăng quang trong trận đấu này là võ sĩ trẻ tuổi nhất Lê Thị Mỹ Linh, 7C, THCS Tam Dương, Tam Dương, Vĩnh Phúc với lời giải gọn gàng, sáng sủa và rất tự nhiên Sau đây là lời giải của võ sĩ Linh Điều kiện x > 2007 e Với 2007 < x < 2008 thì Ÿ2016—x -x—2007 > Ÿ2016 -2008 —^/2008 —2007 =1; x2 — 2007x — 2007 = x(x — 2007) — 2007 < 2008(2008 — 2007) — 2007 = 1 e Thử x = 2008 thỏa mãn e Với x > 2008 thì 3/2016 —x —Vx —2007 < 3/2016 — 2008 — 2/2008 — 2007 =1: x2 — 2007x — 2007 = x(x — 2007) — 2007 > 2008(2008 — 2007) - 2007 = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2008 NGUYỄN MINH ĐỨC ⁄ 2 , KE Gua (TTT2 số 63) 1.#fs4 b5 [1 cðe5 2.Z)đ7+ d5 3.2)b4# ; 1 đ?c5 „ ae 2.Wdd+ đob5 3.WỨb4‡#; 1 b6 2.Z)e3+ đ?c5 3.WWc4] Đón đọc TTT1 số Ti es gop đặc biệt 93 + 94
Các bạn được thưởng kì này : Nguyén Viét Bang, đăng tin, bài và ảnh về
9B, THCS Quỳnh Hội, Quỳnh Phụ, Thái Bình ; Thái
Hoàng Sơn, 7A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Olympic Toán Tuổi thơ
Nghệ An ; Hà Trọng Quân, La Khê, Ninh Thành, ~ : :
Ninh Giang, Hải Dương Nguyễn Nhật Linh, 7C, sẽ được phát hành
THCS Vũ Kiệt, Thuận Thành, Bắc Ninh tháng 8 năm 2008
LÊ THANH TÚ
Trang 21= ®, @/Ằ@Ằ@œẰG@œ66ẰG662ẰG960G96096696666666660666666696906066066666666666066666A
iii ong Tei Ji:
The angle of elevation for a pyramid is the angle between the edge of the base and the slant height, the line from the apex of the pyramid to the midpoint of any side of the base It is the maximum possible ascent for anyone trying to climb the pyramid to the top In an article, “Angles of Elevation to the Pyramids of Egypt,” in The Mathematics Teacher (February 1982, pp 124 - 127), author Arthur F Smith notes that the angle of elevation of these pyramids is either
about 44° or 52° Why did the Egyptians
build pyramids using these angles of elevation ?
Smith states that (according to Kurt
Mendelssohn, The Riddle of the Pyramids,
THE ORIGINS OF TRIGONOMETRY
(Xem từ số 63)
New York : Praeger Publications, 1974) Egyptians might have measured long horizontal distances by means of a circular drum with some convenient diameter such as one cubit The circumference would then have been x cubits To design a pyramid of
convenient and attractive proportions, the
Egyptians used a 4 : 1 ratio for the rise relative to revolutions of the drum Smith then shows that the angle of elevation of
-14 51,92
TL
If a small angle of elevation was desired (as in the case of the Red Pyramid), a 1:3 ratio might have been used In that case, the angle of elevation of the slant height is
-13 „43.79
TU
TRƯƠNG CÔNG THÀNH (sưu tầm)
the slant height is tan
tan
Singapore Mathematical Olympiad (SMO) 2008
(Tiếp theo trang 3)
29 Let m, n be integers such that 1 < m < n Define f(m, n~[t~m {ts i} m m+ {'- } we XI 7 | m+2 n If S=f(2, 2008) + K3, 2008) + 4, 2008) + + + (2008, 2008), find the value of 2S
30 Let a and b be the roots of
x* + 2000x + 1 = 0 and let c and d be the
roots of x* — 2008x + 1 = 0 Find the value
of (a + c)(b + c)(a — d)(b - 9)
31 4 black balls, 4 white balls and 2 red balls are arranged in a row Find the total number of ways this can be done if all the balls of the same colour do not appear in a
consecutive block
32 Given that n is a ten-digit number in the form 2007x2008y where x and y can be any of the digits 0, 1, 2, , 9 How many
such numbers n are there that are divisible by 33 ?
33 In triangle ABC, AB = (b2 — 1) cm,
BC = a2 cm and AC = 2a cm, where a and
b are positive integers greater than 1 Find the value of a — b 34 How many positive integers n, where 2 10 <n< 100, are there such that —— n? —/ is
a fraction in its lowest terms ?
35 Let n be a positive integer such that nˆ + 19n + 48 is a perfect square Find the
Trang 22Cuộc thi t MUA HE THU VI
Dot Il
Cuộc thi dành cho tất cả các độc giả của TTT2 Đề thi được đăng trên hai số 64 uà 65 của TTT2
Câu 4 Bạn hãy dùng bút chì vẽ tam
giác đều giống hình vẽ dưới đây, rồi dùng
bút mực nối các điểm đánh dấu những số giống nhau trên ba cạnh để được các tam giác đều Sau đó tẩy vết chì đi Bạn sẽ được một mẫu rất đẹp có thể dán tường,
làm gạch men hay hình trang trí khác
Bạn hãy đặt tên cho hình mẫu này nhé !
7 6 5 4 3 2 1
Cau 5 Ba ban Nam, Hai, Minh cting xuất phát tại điểm A trên một đường đua
hình tròn và đi cùng hướng Để đi hết
đúng một vòng đường đua, Nam phải đạp
xe trong 5 phút, Hải phải chạy bộ trong 9
phút, còn Minh phải đi bộ trong 15 phút
Biết vận tốc của ba bạn không đổi Hỏi sau ít nhất bao lâu thì họ sẽ gặp nhau tại điểm xuất phát A ?
Câu 6 Điền các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 vào mỗi hình nhỏ của tam giác sau, mỗi số
xuất hiện đúng một lần sao cho tổng các số dọc theo mỗi cạnh của tam giác lớn
nhất đều bằng 10
Bài dự thi gửi về địa chỉ: Tạp chí Toán Tuổi thơ, nhà 22/16 ngõ 61 Tran Duy Hưng, Q Câu Giấy, Hà Nội Ngoài phong
bì ghi : Dự thi Mùa hè thú vị
Trang 2325 ‘ Danhchocacnha loan hoc nho DINH LI PY-TA-GO NGO QUEN MA LA PGS TS LÊ QUỐC HÁN (Khoa Toán, ĐH Vinh) 41 Vài nét về lịch sử Định lí Py-ta-go được loài người biết đến rất sớm Trên những bức vẽ trong các kim tự tháp ở Ai Cập (xây dựng khoảng 3000 năm trước công nguyên) cho thấy
người Ai Cập cổ đại đã biết rằng nếu một
tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 thì
góc đối diện với cạnh bằng 5 là góc
vuông Vì vậy, tam giác có số đo ba cạnh
là 3, 4, 5 được gọi là fam giác Ai Cap
(chú ý rằng 32 + 42 = 52) Trên các bảng
đất sét đào được ở Ba-bi-lon (khoảng
1000 năm trước công nguyên) có liệt kê
rất nhiều bộ ba số nguyên dương là số đo ba cạnh của một tam giác vuông như
(3 ; 4; 5), (5 ; 12 ; 13), Nhin chung,
người Ai Cập và người sống ở lưu vực
Lưỡng hà cổ đại hay sử dụng định [i
Py-ta-go đảo, trong khi đó người Trung Hoa cổ đại (khoảng 500 năm trước công
nguyên) lại thường sử dụng định lí Py-ta-go
thuận để tính chiều cao của một cái cây,
đường chéo của một đám đất hình chữ nhật Theo truyền thống, người ta cho
rằng nhà toán học Hy Lạp cổ đại Py-ta-go
(khoảng 580 - 500 trước công nguyên) là người đầu tiên đã chứng minh được định lí :
“Trong một tam giác vuông, bình phương
cạnh huyền bằng tổng bình phương hai
cạnh góc vuông” một cách chặt chẽ (bằng suy luận lôgic), từ đó suy ra sự tồn tại của
các số vô tỉ Để tưởng nhớ công lao to lớn
của ông đối với toán học, người đời sau đã gọi định lí trên là định lí Py-ta-go
Sau Py-ta-go, có rất nhiều người tìm
cách chứng minh định lí đó bằng những
phương pháp khác Theo thống kê chưa đầy đủ thì tính đến nay có khoảng 370
cách chứng minh định lí Py-ta-go khác
nhau, hầu hết đều dựa vào phương pháp
ghép hình để quy về tính diện tích các
hình hình học quen thuộc, hoặc dựa vào tam giác đồng dạng để suy ra các hệ thức
cần thiết Hình vẽ dưới cho ta một cách
chứng minh định lí Py-ta-go khá đơn giản : a* =(b+c)* -4 be hay a@ = b* + c? b C LJ L b3 _] H * 2 Từ định lí Py-ta-go đến phương trình Py-ta-go Từ định lí Py-ta-go nảy sinh bài toán khá tự nhiên sau
Bài toán 1 Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình
Trang 24
x? + y* = 22 (1)
Hơn nữa, trong tất cả các bộ ba nguyên dương ấy, tìm bộ ba (x ; y ; z) sao cho z
nhỏ nhất có thể
Nếu thay điều kiện (x ; y ; z) là bộ ba các số nguyên thì phương trình (1) là một
trong những phương trình Đi-ô-phăng bậc hai được loài người quan tâm nghiên cứu
sớm nhất
Ta gọi (1) là phương trình Py-ta-go
Để giải (1), trước hết ta hãy quan tâm
đến bài toán sau
Bài toán 1a Tìm tất cả các bộ ba số
nguyên không đồng thời bằng 0 thỏa mãn
phương trình x2 + y2 = ZŸ
Để giải bài toán 1a, ta cần đến kết quả
của bài toán sau
Bài toán 1b Tìm bộ ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình
xy = Be (2)
Lời giải Giả sử d là ước chung lớn nhất của x và z, d = (x, z) Khi đó tồn tại các số nguyên dương a, b thỏa mãn điều kiện
xX = da, z = db va (a, b) = 1
Thay vào (2) ta có day = d^b Từ đó ay = db* nén a | db® Vì (a, b) = 1 nên (a, b2) = 1 Do đó a | d, suy ra d = at (te Z?) Thế thì x = ta’, z = tab va y = tb”
Dao lai, néu (x ; y ; z) = (ta? ; tb^ ; tab) với a, b, te Z”, (a, b) = 1 thì x, y, z thỏa mãn (2) Vậy tập hợp tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là
{(ta? ; tbˆ ; tab) |t, a, b e Z’, (a, b) = 1}
Bây giờ, ta xét bài toán 1a Dễ thấy nếu
d = (x, y) thi d cũng là ước của z Do đó trước hết ta xét trường hợp (x, y) = 1
Khi đó vì x2 + y^ = z2 và (x, y) = 1 nên
tính chan lẻ của x, y phải khác nhau (vì
nếu x, y cùng lẻ thì x2 + yˆ =2 (mod 4) nên
z2 =2 (mod 4) là điều không thể xảy ra)
Gia st x chan, y lé Dat x = 2X (X € Z) thi z2 — yˆ = (2X)2 nên <x =XZ
Vì y, z cùng lễ nên theo kết quả bài toán 1b ta có “~Ÿ _ tạ?, <= tb? va X = tab 2 Do đó z = t(a* + b2), y = t(a2 - b'), x = 2tab Vì (x, y) = 1 nên t= 1
Như vậy nếu (x ; y ; z) là bộ ba số nguyên dương thỏa mãn (1) với (x, y) = 1,
x chan thi x = 2ab, y = a* — b*, z=a* +b?
trong đó a, b e Z7”, (a, b) = 1 và a >b Cặp số (a ; b) nhỏ nhất có thể chọn là
(a; b) =(2; 1) và khi đó x = 4, y = 3, z = 5 Trong trường hợp tổng quát, nghiệm
nguyên không đồng thời bằng 0 của
phương trình x^ + yˆ = z2 (bài toán 1a) là X = 2mab, y = m(a2 - b2), z = m(a^ + b2)
hoặc x = m(aˆ — b^), y = 2mab,
z =m(a2 + b2) với me Z,mz+0;a,be Z7,
(a, b) = 1
Trong trường hợp điều kiện của x, y, Z
là các số nguyên dương (bài foán 71) thì phải
bổ sung thêm điều kiện m > 0 và a > b
(Kì sau đăng tiếp)
Trang 25
DAP AN CUOC THI GIAI TOAN TIT VA UTU (Đề đăng trên TTT2 số 61, 62, 63) xXk«****%*%**%***%*%*%***%*% *% ***% % (Tiếp theo kì trước) ĐỢT 4 : BAO NHIÊU CÁCH Bai TV7 Ca vat
Số cà vạt tối đa được chọn không thỏa mãn yêu cầu của bài toán là 37 chiếc Đó là khi ta chọn 9 chiếc màu đỏ, 9 màu xanh, 9 màu vàng, 10 chiếc màu nâu và đen Khi đó nếu ta lấy thêm 1 chiếc cà vạt nữa thì chiếc này sẽ có màu đỏ, xanh hoặc vàng và thỏa mãn yêu cầu của bài toán Vậy ta cần chọn ít nhất 38 chiếc cà vạt
Bài TV8 Xếp hàng
Coi 3 bạn cần đứng liền nhau như một bạn, ta tạm có 8 “người” và số cách xếp cho 8 người này là 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 cách (vì người thứ nhất có 8 cách chọn từ 8 người, sau đó người thứ hai còn 7 cách chọn .)
Sau đó riêng 3 bạn đó lại có 3 x 2 x 1 cách xếp để họ vẫn đứng cạnh nhau trong
hàng Vậy tổng số cách xếp hàng thỏa mãn yêu cầu là
8x7x6x5x4x3x2x3x2= 241 920 (cách)
ĐỢT 5 : HIỂU BANG BIEU
Bài TV9 Hóa đơn và séc Nam có một số séc (C) va Tổng số Một số séc Số lượng Mệnh đề oa don thanh toan (B) trong tiên có hoặc hóa đơn tiền còn toán
một hộp (đơn vị : triệu đồng) lây ra trong hộp AI ` 24 C:30 -8 24 ~ 30 =~6 r> |Í + lÍ 4a -12 C:15 -27 _12— 15 =~27 so ll + Il + 30 B:10 40 30 — (-10) = 40 5 |Í + lÍ sa -10 B:15 5 -10 — (_—15) = 5 2 |Í + lÍ do 38 C:15 23 38 — 15 = 23 2 b fs -40 B:42 2 -40 - (_42) = 2
Giải thích : số séc (C) là số tiền mà Nam có (số dương) ; hóa đơn thanh toán (B) là
số tiền mà Nam phải trả (số âm)
Trang 26
Bài TV10 Thời gian và giá tiền
a) Quãng đường giữa hai đô thị là Cao Bằng - Đà Nẵng đi mất nhiều thời gian nhất (28 giờ)
b) Nam ổi từ Hà Nội đến Nam Định hết 20 000 đồng Nam và Tùng đi từ Nam Định đến Hải Phòng hết
20 000 x 2 = 40 000 (đồng)
Vậy cả hai bạn đã chi hết cho riêng chuyến đi đó số tiền là
40 000 + 20 000 = 60 000 (đồng)
c) Hà đi từ Hòa Bình đến Huế hết 140 000 đồng và di trong 14 giờ
Vậy mỗi giờ Hà phải trả 10 000 đồng
ĐỢT 6 : LẬP LUẬN
Bài TV11 Có quen nhau không ?
Cứ hai người trong thành phố quen nhau tạo thành một cặp quan hệ nên số quan hệ trong
thành phố phải là một số chắn (vì nếu A quen B thì B cũng quen A) Giả sử mỗi người trong
thành phố quen đúng 9997 người khác thì số quan hệ là 1999997 x 9997 Số này là số lẻ,
mâu thuẫn Vậy không thể có trường hợp mỗi người trong thành phố quen đúng 9997 người
Bài TV12 Vẽ được không ?
a) Cứ 1 điểm cắt thì tạo ra 2 khúc Như vậy số khúc gấp đôi số giao điểm Vậy số khúc phải là số chắn
b) Số khúc không thể là 2 vì đường gấp khúc khép kín Nếu đường khép kín có 4 khúc thì chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau
Ta thấy các hình trên đều không thỏa mãn Vậy đường khép kín phải có ít nhất 6
khúc Hình vẽ Sao 3 cánh dưới đây có 6 khúc thỏa mãn điều kiện bài toán B
Sao 3 cánh LAN | Tên lửa
c) Hình vẽ Tên !ửa có 10 khúc thỏa mãn điều kiện bài toán ~ ;
VU KIM THUY
Trang 27
Publishing House) white shirt ENGLISH THROUGH PROBLEM SOLVI Solution E39
Problem E41 (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education At a restaurant, Mr Red, Mr Blue, and Mr White meet for lunch Under their coats, they are wearing either a red, blue, or Mr Blue says, “Hey, did you notice we are all wearing different colored shirts from our names?” The man wearing the white shirt says, “Wow, Mr Blue, that’s right !”
Can you tell who is wearing what color shirt ?
Assign to a pupil a number i if he has i acquaintances Suppose there are no pupils that have the same number We have n pupil and n possible numbers to be
assigned : 0, 1, 2, ,n— 1
However, numbers 0 and n — 1 cannot be assigned at
the same time, because it is impossible to have both a
pupil who knows everybody and a pupil who knows nobody Thus we have at most n — 1 different numbers assigned to n pupil By the Pigeonhole Principle there exist two pupils with the same assigned numbers This means that two pupils have the same number of
acquaintances
TS NGO ANH TUYET (NXBGD)
Trang 28NGOT LANH CAY TRAL
Thơ tủ cây trái ngọt lành
Nhung ma lam lén dia danh hết rồi Mong các bạn ở khắp nơi
Ai sua được đúng, xin mời
xung phong
Hà Tây có bưởi Đoan Hùng
Long Khánh nổi tiếng nhãn lồng cực ngon
Hồng Bến Tre ngọt lại giòn
Thanh Long Nam Định ngon hơn các miền
Chuối ngự Hòa Lộc vua khen Về Lái Thiêu bạn đừng quên vải thiều
Hồng mọng Ninh Thuận đáng yêu Qua xứ Huế nhớ mua nhiều 6i Bo
Hưng Yên xứ sở của nho
Chôm chôm Đà Lạt nên mua làm quà
Ninh Thuận có mận Bắc Hà
Về Lạng Sơn thấy thanh trà muốn ăn Đất Bắc Giang dừa bạt ngàn
Dứa Hồng Ngự của Nghệ An tuyệt vời
Măng cụt Thái Bình chào mời
Cam Xã Đoài nhớ đến người Long An Đến Lào Cai có mơ vàng
Xoài cát Phú Thọ thuộc hàng quả ngon MAI ĐÌNH PHẨM (45 Tân Lâm, Ý Yên, Nam Định) @ Két qua (TTT2 số 63) CON MẮT biét nhing gi 7
Bài ra kì trước đã được đông đảo các bạn
“suy xét ngữ nghĩa” để sửa lại cho đúng Một
số bạn vẫn nhầm lẫn : Bạn ĐPTH (Quảng Ngãi) viết “Trố mắt khi muốn răn đe người nào” là không đúng Trố mắt có nghĩa là giương to mắt to ra để nhìn, biểu lộ sự ngạc nhiên hoặc sợ hãi nên không thể “răn đe”
người khác được Ở câu thơ này phải dùng
“Trừng mắt” mới đúng vì trừng mắt là mở to mắt, nhìn xoáy vào có ý hăm dọa Bài thơ có thể sửa như sau :
Ra mắt đại biểu cử tri
Trừng mắt khi muốn răn đe người nào Nháy mắt ra hiệu cho nhau
Hoa mắt, chóng mặt phải mau vào nhà Chói mắt bởi ánh đèn pha
Tỉnh mắt cháu biết giúp bà xâu kim Căng mắt nhìn lúc tối đen
Bắt mắt hàng đẹp khách liền mua ngay Liếc mắt quay cóp chẳng hay
Ngước mắt nhìn chiếc máy bay quay vòng
Quắc mắt giận dữ trong lòng
Để mắt học mẹ làm công việc nhà Đảo mắt quanh - kẻ gian tà
Chướng mắt là việc người ta bất bình Trợn mắt tức giận bực mình
Trố mắt so hãi vô tình ngạc nhiên Nhắm mắt giấc ngủ đến liền
Ánh mắt thể hiện nỗi niềm tâm tư
Những bạn được thưởng kì này là : Dinh
Hùng Cường, 8A, THCS Thu Cúc, Tân Sơn,
Phú Thọ ; Nguyễn Thị Hoài Thương, xóm 8,
Trung Sơn, Đô Lương, Nghệ An ; Hoàng
Ngọc Mai, 7A., THCS Hồng Bàng, Hải
Trang 29“ `- TRẦN ĐĂNG KHOA :
Thể loại chân dung văn học xuất hiện từ
rất lâu rồi cháu ạ Nhiều nhà văn lớn trên
thế giới đã rất thành công ở thể loại này
Pautôpxki với Bông hồng vàng Zweig với
Những gid ruc sáng của nhân loại
Gamgiatôp với Đaghextan của tôi Gorki với L.N Tônxtôi, A Tsêkhôp, X Exenhin Tất cả những cuốn sách này đều có trong các hiệu
sách Nhà xuất bản Kim Đồng da in Đaghextan của tôi và bán với giá rất rẻ để
nhiều em có thể mua được
Ở ta cũng đã có rất nhiều nhà văn viết
chân dung và viết rất hay như Nguyễn
Cơng Hoan, Tơ Hồi, Hồ Anh Thái, Nguyễn
Quang Thiều, Trung Trung Đỉnh, Nguyễn
Đăng Mạnh Có lẽ do quan niệm lòe nhòe
về thể loại, nên đã có tập sách được gọi
đích danh chân dung văn học, nhưng thực
chất chỉ là tập hợp những bài báo phỏng vấn nhà văn về những chuyện bếp núc trong công việc sáng tác Còn phần nhiều là kí ức - một dạng hồi kí ghi lại những kỉ niệm của tác giả với các nhà văn, nhà thơ mà mình quen biết hoặc đã từng chung sống Nhiều tập sách sinh động, chứa
nhiều tư liệu rất quý, nhưng vẫn không phải
chân dung văn học
Vậy chân dung văn học là gì 2 Một tác
phẩm như thế nào thì được gọi là chân dung
van hoc ?
Chú Khoa ơi ! Cháu rất yêu
những câu chuyện kể về các nhà văn mà nhiều người vẫn
gọi là chân dung văn học
Chân dung văn học có phải là
một thể loại văn học không a ?
Chú quan niệm như thế nào về
loại hình văn học này 2
(hoahuongduong@gmail.com)
>
THUY VAN SJ
Trả lời được câu hỏi này cũng không phải
dễ, bởi trong lí luận, các nhà phê bình
nghiên cứu cũng chưa đúc kết được một cách thấu đáo Tuy nhiên, qua hoạt động
thực tiễn, bằng những tác phẩm thành công
của nhiều tác giả ở trong nước cũng như trên thế giới, chúng ta nhận thấy rằng, chân
dung văn học là một thể loại văn chương
tổng hợp Đặc biệt là sự kết hợp nhào trộn
giữa văn xuôi và phê bình nghiên cứu Nó
như một bút kí, bởi tác giả đề cập đến
những con người có thật, những sự việc có
thật Và nhìn ở một góc độ nào đó, nó lại
như một truyện ngắn, vì tác giả có dựng
người, dựng cảnh, dựng nhân vật với cả giọng điệu, ngôn ngữ, rồi cả số phận của nhà văn cùng với những đóng góp của anh
ta trong lĩnh vực sáng tạo Để đánh giá
được một con người, một tác giả, người viết
phải lật đi lật lại, phân tích, so sánh, với
nhiều góc độ và phải rất tỉnh táo, khách quan thì mới có sức thuyết phục Đây lại là
công việc cẩn trọng nghiêm túc của một
nhà phê bình nghiên cứu rồi Bởi thế, chân
dung văn học là một thể loại đặc biệt,
không phải ai cũng viết được Và viết hay là điều rất khó Chú rất thích chân dung của
L Tônxtôi và X Exenhin do M Gorki viết Ở ta tập chân dung của bác Nguyễn Đăng
Mạnh cũng rất thú vị Cháu tìm đọc sẽ thấy
Trang 30
eXiniy H(EN TU NAO ?
Các bạn hãy doc ki Idi chi dẫn để biết cần phải điền từ nào vào ô chữ 2 1 Điền từ nào The letter U is on the leftofM {J M RK N is next to U @ R is two letters after M \ © E And E is before after B
2
T is exactly in the middle
W is one letter before T A is between W and T R is at the end E is between T and R TRAN PHUONG DONG (si) aw > Ci e?e dé !
@ Két qua UNE Stal GO ` (TTT2 số s3)
Vào thăm Vườn Anh của Chủ Vườn : Vương Thế Anh, 8B., THCS
Muốn giành phần thưởng Dư Hàng Kênh, Lê Chân ; Nguyễn Thanh Mình cứ tưởng tượng Tâm, 8A, THCS Kiến Quốc, Kiến Thụy, Hải
Câu đố dễ cơ Phòng ; Phạm Thị Kiều Như, 8C, THCS
Thế mà bất ngờ Hưng Đông, TP Vinh, Nghệ An ; Trần Thị Đề ra khá khó Ngọc Diệu, 270/29 Vĩnh Hung |, Vinh
May sao lúc đó Thành, Chợ Lách, Bến Tre
Tưởng tay sắp “bó” Chủ Vườn Thì dau lai “16” : Đường mà không có ˆ Một chiếc ô tô = Rung tim chang ra Lấy một cây nhỏ Thành phố đâu có Lấy một ngôi nhà Mình “Ơ rê ca !” Đó chính là map
Trên đây là câu trả lời bằng thơ của bạn
Nguyễn Văn Thanh, 8A, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh Ngoài bạn Thanh, những bạn có tên sau cũng nhận được quà
Trang 31
>›RÙTNO sa
Lưu gì trôi dạt khắp nơi ?
Lưu gì tên tuổi muôn đời còn ghi ?
Lưu gì bịn rịn người đi ?
Lưu gì giữ lại sau khi phát hành ?
Lưu gì thay đổi địa bàn ?
Lưu gì còn mãi đến ngàn đời sau ?
Lưu gì tích lại quá lâu ?
Lưu gì điệu hát lắng sâu nhẹ nhàng ? Lưu gì đọc viết, nói năng ?
Lưu gì nhắc nhỏ để cùng nhớ ghi ? Bạn nào giỏi trả lời đi !
Làm nhanh, làm đúng được chi ngay quà ! ĐOÀN NGỌC NGHĨA (Bình Phú, Thăng Bình, Quảng Nam) AC LY ^ ` e Xin BAO NAIEU Lé L YL 5
Nước hoa tỏa ngát hương thơm Nước mắm chế biến cá cơm mà thành
Nước khoáng tinh khiết trong lành Nước biển làm muối nấu ăn đậm đà
Nước lũ tàn phá cửa nhà
Nước suối trong vắt, chảy ra từ nguồn
Nước mắt ướt đỏ mi buồn
Nước mưa hạt hạt vẫn tuôn rơi đều
Nước muối ngăn chặn răng sâu
Nước thải độc hại, đổ vào rãnh trôi
Thần dân vui với Rừng Cười
Ban thưởng : Lưu Thị Hương, 6A,,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Dương Cẩm Tú, 8A, THCS Hồ Xuân
Bài hay giải đúng Trẫm thời thưởng ngay !
© Két qua HA MGI SAU NUGC cre se6a)
Shanh chi
Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Nguyễn
Trường Sơn, 8B, THCS Nhữ Bá Sỹ,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa ; Lê Thu Hà, xóm
Lẻ, Nguyễn Xá, Phương Tú, Ứng Hòa, Hà
Tây
VUA TẾU
Trang 32
Hỏi : Muội có mấy đứa bạn rất thân từ hồi ở Tiểu học Nhưng từ khi mấy đứa bọn
muội lên lớp 6, muội được vào lớp 6A„ (lớp
cao nhất trong bọn) thì dường như bạn muội cảm thấy ghen mà sinh ra ghét, rồi xa lánh muội, không chơi với muội nữa Muội buồn
lắm Muội phải làm thế nào bây gid ? Huynh
cho muội một lời khuyên nhé ! LÊ THỊ SƠN (6A, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc) Đáp : Mình nghĩ bạn ghét mình Thì mình không vui vẻ Bạn nghĩ mình ghét bạn Thế là càng thêm xa Đừng nghĩ bạn ghét mình Sẽ gắn thêm tình bạn Cứ chan hòa cùng bạn Muội sẽ thấy thật vui e®6096Ằ66Ằ69666666 6669066669696 669666
Hỏi : Hơm trước em xem thông báo ở TTT2 số 61 bảo rằng các bạn dự thi giải
toán qua thư phải gửi cả phiếu tham gia và
mỗi bài phải gửi riêng Thế nhưng có những
bạn giải được hai bài mà muốn gửi thì phải làm sao hả anh 2
DƯƠNG CẨM TÚ (8A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu,
Nghệ An) Đáp : Mỗi bài thì phải riêng trang
Các bài đều được bỏ chung phong bì Bên ngoài dán phiếu dự thi
Năm bài còn được huống gì là hai
e®06/66666666066 6666666696666
Hỏi : Anh ơi, nếu như em gửi bài rồi nhưng thấy vẫn chưa đúng nên gửi lại bài
khác thì bài đó có được chấp nhận không
anh 2 -
NGUYÊN DIỆU LINH
(8B, THCS Hoàng Xuân Han, Đức Thọ,
Hà Tĩnh)
Đáp : Hàng nghìn bài gửi hai lần
Thì anh đến ngạt trong ngần ấy thư
Chấm rồi lại tưởng vẫn chưa
Chấm ởi chấm lại ngồi thừ người ra
09/0966 666666 66666666666 6 66
Hỏi : Anh Phó ơi ! Nếu anh đang học tốt
ở nông thôn mà gia đình có điều kiện cho
anh chuyển ra thành phố học thì anh sẽ làm
thé nao ?
Trang 33
Bài 1(65) Cho hai số thực a, b (a z b) thỏa mãn aP - bP là một số
hữu tỉ với mọi p e {2; 3; 5 ; 7 ; 11 ; 13} Chứng minh rằng a và b là những số hữu tỉ
NGUYEN MANH DUNG (HS 11A, Toán, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội) Bài 2(65) Ở giữa mỗi mặt của một hình lập phương ta viết một số nguyên dương và trên mỗi đỉnh ta viết số là tích của ba số trên ba
mặt chứa đỉnh đó Biết tổng các số viết trên các đỉnh là 101, hãy tính
tổng các số viết trên các mặt của hình lập phương TRẦN BÁ DUY LINH (HS 12T,, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long)
Bài 3(65) Giải phương trình 2004xf + 2001xỔ + 2008x2 + 2004x + 2004 = 0
MINH TRAN (Phòng Giáo dục Hương Thủy, Thừa Thiên - Huế)
Bài 4(65) Cho a, b và c là những số thực dương Chứng minh rằng ab cy a+2008 + b+2008 + c+2008
b c a b+2008 c+2008 a+2008
LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Bài 5(65) Trên các cạnh AB, BC, CA của AABC lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AMNP đều Biết các tam giác AMP, BMN và CNP có diện tích bằng nhau Chứng minh
răng AABC đều
NGUYEN XUAN HÙNG (GV THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam)
Bài 6(65) Cho AABC có các đường phân giác BB' và CC' cắt nhau ở I Biét AIBC’ va
AIB'C có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau Chứng minh rằng AB = AC
NGUYỄN MINH HÀ (Hà Nội)
CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION
English version translated by Pham Van Thuan
1(65) Let a, b (a 4 b) be real numbers such that a? — b? is a rational number for all pe {2;3;5;7,; 11; 13} Prove that a and b are rational numbers
2(65) On each face of a cube we write a positive integer and on each vertex of the cube we write the product of three numbers written on the faces having that vertex as a common point The sum of the numbers written on the vertices is 101 Calculate the sum of the numbers written on the faces of the cube
3(65) Solve the equation 2004x* + 2001x? + 2008x2 + 2004x + 2004 = 0
4(65) Let a, b and c be positive real numbers
a b c_ a+2008 _P + 2008 | c +2008 Prove that —+—+-—2
b ca bt 2008 ` c+ 2008 ` a+2008°
5(65) On the sides AB, BC, CA of AABC, points M, N, P are chosen such that AMNP 1! I is equilateral Given then triangles AMP, BMN and CNP have the same area, prove !
I that AABC is equilateral i
I 6(65) In AABC the bisectors BB’ and CC’ meet at / Given that A/BC’ and A/B’C have Ï I congruent inradius, prove that AB = AC
Trang 34GIAO LƯU OLYMPIC TOAN TUỔI I Tad 2008
Bộ trưởng Chủ nhiệm Văn phòng Chính phủ Nguyễn Xuân Phúc cùng vui niềm vui của các đoàn
Trang 35
DIEU LE CUOC THI GIAI TOAN QUA THU NAM HOC 2008 - 2009
(Cudc thi ton lân thi hai)
e¢ DOi tudng tham du: Trén TTT1 là các bạn học sinh từ lớp 3 đến lớp 5, trên TTT2 là các bạn học sinh từ lớp 6 đến lớp 9
s Thời hạn tham dự : Các bạn tham dự sẽ được tính điểm khi được
nêu tên trong lời giải của mỗi bài toán ở chuyên mục THỊ GIẢI TOÁN
QUA THƯ trong suốt năm học, bắt đầu từ số tháng 9.2008 đến tháng
6.2009
s‹ Cách thức tham dự : Các bài giải trên mỗi số tạp chí phải được bỏ chung một phong bì, ngoài có dán Phiếu đăng kí tham dự Cuộc thi GTQT nam học 2008 - 2009 được cắt ra từ tạp chí TTT Bài giải của mỗi
bài toán dự thi được viết riêng trên một mặt giấy Phía trên mỗi bài giải
ghi đầy đủ các thông tin : Họ và tên, ngày sinh, lớp, trường, quận (huyện), tỉnh (thành phổ), địa chỉ gia đình, điện thoại (nếu có)
s‹ Giải thưởng : Tháng 8.2009, Tạp chí TTT sẽ công bố danh sách
các cá nhân và tập thể đoạt giải Giải thưởng gồm Giải Vàng, Giải Bạc, Giải Đồng
Các bạn tham dự giải cá nhân có cùng số điểm sẽ căn cứ thêm chỉ
số phụ : độ tuổi, chất lượng bài giải
Toán Tuổi thơ rất mong các bạn tham gia tích cực Mong các Sở Giáo dục - Đào tạo, các Phòng Giáo dục, các nhà trường, các thầy cô
giáo và các bậc phụ huynh động viên các em học sinh hưởng ứng cuộc
| gÓP quản đẩy mạnh phong trào dạy và học toán trong, cả nước
Trang 36Kiến thức qua những con số
e Cứ 100 con mèo thì có 4 con thuận cả hai chân trước
e So với trọng lượng cơ thể, chuột ăn nhiều gấp 20 lần voi e Cá Mặt Trăng mỗi lần đề tới 300 triệu trứng
e Lưỡi của cá voi xanh nặng hơn một con voi cỡ trung bình
e Mỗi năm, mối phá hủy nhà cửa nhiều gấp 5 lần so với hỏa hoạn
e Hoa súng vùng Amadôn nhanh tàn nhất - chỉ 30 phút sau khi nở
cid te
e Hoa phong lan là hoa lâu tàn nhất - một số loại có thể nở trong suốt 80 ngày
e Để có được 100 g mật, có khi ong phải bay 46.000 km, bằng đường xích đạo
e Trong cả đời mình, một con bò sữa có thể cho số sữa nặng gấp 4 lần cơ thể nó Trò chơi MƯỜI LĂM
⁄ Chỗ chơi : Ở đâu cũng được
⁄ Số người chơi : Từ 2 đến 4 người
⁄ Cách chơi : Đặt lên mặt đất (hay
mặt bàn, mặt ghế v.v ) 15 viên sỏi
(hoặc 15 đồng xu) Lần lượt mỗi người nhặt lấy không quá 3 viên Người thua cuộc là người khi đến lượt thì không
còn gì để nhặt nữa
Trò chơi này tưởng như rất đơn giản
và chẳng có gì thú vị nhưng thực ra nó rất có tác dụng trong việc giúp các bạn
rèn luyện tư duy lôgic và đầu óc mưu
lược Nếu không tin, các bạn hãy thứ chơi xem |
MINH HÀ (sưu tầm)
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP TẠP CHÍ TỐN TUỔI THƠ Tổng biên tập : PGS TS Phan Doãn Thoại
Phó Tổng biên tập : ThS Vũ Kim Thủy
Ủy viên Hội đồng biên tập Toán Tuổi thơ 2 :
PGS TS Vũ Dương Thụy, GS Nguyễn Khắc Phi, PGS TS
Trần Kiều, PGS TS NGND Tôn Thân, TS Nguyễn Văn
Trang, PGS TS Vũ Nho, TS Trịnh Thị Hải Yến, Th§
Nguyễn Khắc Minh, Ông Phạm Đình Hiến, PGS TS Ngô
Hữu Dũng, TS Trần Đình Châu, NGND Vũ Hữu Bình, TS
Nguyễn Minh Hà, TSKH Vũ Đình Hòa, TS Nguyễn Minh
Đức, PGS TS Lê Quốc Hán, Ông Đào Ngọc Nam, Ông Nguyễn Đức Tấn, TS Nguyễn Đăng Quang, TS Trần Phương Dung, TS Ngơ Ánh Tuyết, Ơng Trương Công Thành * Biên tập : Hoàng Trọng Hảo, Phan Hương
* Trị sự - Phát hành : Trịnh Đình Tài, Trịnh Thị Tuyết
Trang, Mạc Thanh Huyền, Nguyễn Huyền Thanh * Kĩ thuật vỉ tính : Đồ Trung Kiên * Mĩ thuật : Lê Duy NGUYEN ĐỨC (Dịch từ Kinder.ru) 2777⁄
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc : NGÔ TRẦN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập : NGUYEN QUY THAO
* ĐỊA CHỈ TÒA SOẠN : NHÀ 22/16 NGÕ 61 TRẦN DUY HƯNG, Q CẦU GIẤY, HÀ NỘI * BT : 04.5567125, 04.2914981
* Đại diện tại miền Trung : ThS Nguyễn Văn Nho, Ban Biên tập Toán Tin, NXBGD tại TP Đà Nẵng, 15 Nguyễn
Chi Thanh, TP Đà Nẵng * ĐT : 0511.3887548
* Đại diện tại miền Nam : Ông Trần Chí Hiếu, Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương * ĐT : 0650.858330 * Fax : 04.5567124 * Đường dây nóng : 04.2914981
* Website : http:/www.toantuoitho.vn * E-mail : toantt@fpt.vn
* Giấy phép xuất bản : số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin * Mã số : 8BTT65M8 * In tại : Công ti cổ phần in Sách giáo khoa tại TP Hà Nội
In xong và nộp lưu chiểu tháng 7 năm 2008
Giá : 5000đ