UBND HUYEN HOAI NHON KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán 8 -
———— ———— Thờigian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ chính thức Khóa thi: Ngày 23/04/2016
Bai 1 (4.0 điểm: — - | -
+) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và nŠ là như nhau b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: x? + x = p = 0; với p là số nguyên tố Bài 2 (3.0 điểm): | a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn; a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức: eta b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biêu thức sau: ~2x+2016 —2x`+3x)~4x+2015; Bài 3 (3.0 điểm); Cho biêu thức: 4) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P ©) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn: x* x'+2=0 Bài 4 (4.0 điểm): 4) Cho a, b, e là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh ring: ab + be + ca < a2 + bể + c? < 2(ab + be + ca) b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y? + 42xy + 14x - 6y + 57< 0 Bài 5 (4.0 điểm): Cho M là một điểm bắt kỳ nằm trong hình vuông ABCD có cạnh a) Chứng minh : MA?+ MB?+ MC? + MD” > 2
b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kế MN L AB tại N, gọi O là trung điểm của AM Chứng minh ring: CN? = 2.0B*
Bai 6 (2.0 diém):
Cho tam giác ABC có 4 > 8 Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAC = ABC Duéng phân giác của góc_B3z cắt BH ở E Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thắng AH
tại F Chứng minh rằng: CF || AE
Trang 2
HUONG DAN CHAM MON TOAN 8 KY THỊ HSG CÁP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016
Bài Nội dung Điểm
3) Với n=0; n= ], rõ rằng n và nŠ có chữ số tận cùng giống nhau 0.254 +) Với n > 2 Ta xét hiệu: P=m=m=n(n"=1)=n{(n=1)(n+1)(n° +1) 075đ (n=1) (1+ 1)(n? =4 45) = Sn(n=1)(n+1)+(n=2)(n=1) n(n +1)(n +2) a | Ta có: Trong k số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại số chia hết cho k (4) | Do đó: (ï—D)nGr+1)?2 => Sa —1)(ï+ D‡5.2=10 05đ 1 (n=2)(n=1)n(n+1)(n+2):2.5 =10 4đ) Ầ lu Suy ra #=n`—w110 => nỄ—n có chữ số tận cùng là 0 oa = Chữ số tận cùng của hai số n và nỄ là như nhau (đpcm) = Tacd: x7 +x—p=0 & p=x' +x & p=xx+t1) 05 b_ | Với xeZ, ta có x và (x + l) là hai số nguyên liên tiếp p=x(x+l):2 | 0.5đ (24) | Mặt khác p là số nguyên tố => p = 2 0,5đ =x@&+l)=2 œ (x-lJ&‡2)=0 œ x= 054 Từ a+b+e=0 = đ+ osa a Tương tự: ø°+c” €9 [ peạg P= o đó: -2ab ` -2bc ` ~2cø = „ == ! 0,54 , +) Ta có: 4= +2x)~2x)~4x+x)+2+2013 = +2)~2x(x°+2)+(x`+2)+2013 0,5¢ =(x° +2)(x7-2x-4+1) +2013 = (x? +2)(x—1)' +2013 3 ta.06: (x7+2)(x-1) 20 = A=(x° +2)(x-1)' +2013 2 2013 025
Đăng thức A = 2013 xảy ra khi và chỉ khi: x~1=0_œ x=1
Trang 30,5đ 0,5đ ©) Lập luận được: x'=x°+2=0 e (x+1)(x”=2x+2)=0 2 0,5đ e 9 (x41)[(x-1) +1] =0 9 x+1=0 69 x==1 thỏa ĐK) (104) 5 5
Tính đúng gid tri, P= tah ding gi wis P= —_ => = 5 o.sd
Ta cé: (a—b) 20 <> a?—2ab+b? 20 <> a? +b" 2 2ab ae Tuong ty: B40? >2be; ec +a? B2ca °
Do đó, suy ra:
a [2a +be+c!) 2 2(abtberea) o> at +b +e? 2ab-+be+oa () 0,54
(2,04) | Vì a, b, e là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta
0<a<b+e =d°<ab+ca; 0<b<e+a =b)<be+ab 0,5đ
0<e<a+b = c` <ca+be
Do do, suy ra: a? +5? +c? <2(ab+be+ca) (2) 054
Tir (1) va (2) = ab + bet ca < a? +b* +c? < 2(ab + be + ca) x
đã Ta co: 10x? +50y? +42xy + 14x—6y +57 <0
Trang 4Chứng minh tương tự: MB? +MD? 21
Do đó, suy raz MA? +MB?+MC?+MD? > 1+1=2 — (dpem) Diing thite xy ra <> _M la giao điểm của hai đường chéo AC vi BD KẽMH 1 BC will (H2) = MH=NB Ộ AANM vuông cân ở N có O là trung điểm của cạnh huyền AM = Mn?=20N? = ON 1 MN? 2 AMHC vuông cân ở H = MC? = 2MH? => ON _ NB Từ (1) và (2 È ==
nỗ HOMO) sur Tay ye C9 2,04
(2,04) | Hai tam giác ONB và NMC có:
“ “ š ON _ NB
OÑB = NC (vì cùng (vi cling bang bằng 135°) va 2 135°) va MN MC (theo (3)) theo @
Suy ta AONB A ANMC (c-g-c) = 28 - ON, OBF _ ON” (yy NC) MN ~~ NC? MN? Từ (1) và (4) suy ra: 2 =! xã NG 2 NCP = 20B? (đpem) ` ip
6 = HAC+ EAH =CAE 0,54 oa) oC = CA=CE (1) Œ Qua H kè đường thăng song song với AB cất MF ở K Ta có; GD, MÁP CÚP EA duy 054 KH KH AE là phân giác của AABH = 2É - để ạ) EH — AH 0,254 2 AB _ CA _ CE
CAH vi ACBA déng d AA theo (ty) 4
A vi A long dang > CH CH (theo (I) (4) 0,254 FA_CE, AH _ EH Từ (2),(3),(4) ừ(@,(),) ST >= CH Fa cH hay ==" = AEICF (đ 7° (dpem) 0,5đ
- Mọi cách giải khác (nếu hop li và đúng) đều ghi diém t
~ Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất