So117 Full re pdf
Trang 2Children’s Fun Maths Journal ce) ` NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP: Tổng biên tập: ThS VŨ KIM THỦY
Thư kí tòa soạn:
NGUYEN XUAN MAI Uy viên: NGND VŨ HỮU BÌNH TS GIANG KHẮC BÌNH TS TRẤN ĐÌNH CHÂU TS VŨ ĐÌNH CHUẨN TS NGUYEN MINH DUC ThS NGUYEN ANH DUNG TS NGUYEN MINH HA PGS TS LE QUOC HAN HOANG TRONG HAO PGS TSKH VU DINH HOA TS NGUYEN DUC HOANG ThS NGUYÊN VŨ LOAN NGUYEN ĐỨC TẤN PGS TS TÔN THÂN TRƯƠNG CÔNG THÀNH PHAM VAN TRONG ThS HO QUANG VINH TOA SOAN:
Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,
quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại (Tel): 04.35682701 Điện sao (Fax): 04.35682702 Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn
Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn
DAI DIEN TAI MIEN NAM: TRAN CHi HIEU Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 Trưởng phòng Trị sự: TRỊNH ĐÌNH TÀI
Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH
Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN
Mĩ thuật: TÚ ÂN
CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN
Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam:
NGUT NGO TRAN Al
Tong bién tap kiém Pho Ting Giam dic NXBGD Vidt Nam:
TS NGUYEN QUY THAO TRONG SO NAY @ Hoc ra sao? Về một loại tam giác đặc biệt Lê Phúc Lữ 2 ® Sai ở đâu? Sửa cho đúng Cần gì nữa không? Phạm Liên 4
® Giải tốn thế nào?
Thêm một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dinh Van Dong 6 @ Com pa vui tính Chỉ dùng eke và thước kẻ Phạm Tuấn Khải 15 ® Phá án cùng thám tử Sêlôccôc Bộ cờ biến đi đâu? Nguyễn Thế Hưng 16 ® Đến với tiếng Hán Bài 35 Đây là nhà ga Nguyễn Vũ Loan 18 ® Toán quanh ta Toán học với mã số, mã vạch Mã vạch (Ki 7) Nguyễn Đăng Quang 20 ® Dành cho các nhà toán học nhỏ
Trang 30G H FdIS40:
Ta quy ước gọi một tam giác có độ dài các
cạnh là các số nguyên dương liên tiếp là fam giác nguyên liên và nếu cạnh nhỏ nhất của tam giác
là n (với n c Z) thì đó là tam giác nguyên liên thứ n
Chúng ta cùng tìm hiểu một số tính chất của tam giác đặc biệt này
I) Các tính chất cơ bản
Dưới đây ta xét tam giác ABC là tam giác
nguyên liên có các cạnh thỏa mãn AB < BC < CA
Ta thấy nếu n = 1 thì độ dài các cạnh không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên chỉ xét n > 1
Tính chất 1
- Với n = 2 thì tam giác ABC tù và đây là fam giác nguyên liên tù duy nhất
- Với n = 3 thì tam giác ABC vuông và đây là
tam giác nguyên liên vuông duy nhất
- Với n > 3 thì tam giác ABC nguyên liên nhọn Chứng minh Ta thấy rằng trong tam giác ABC, B là góc lớn nhất A n n+2 B n+1 C Dat t = AB? + BC? - AC2 = n2 + (n + 1)2— (n + 2)ˆ =n^- 2n -3=(n- 1)2- 4
Ta có các kết quả quen thuộc sau: - Tam giác ABC tù tại B khi và chỉ khi t<0œ©(n-1)^<4e©n-1<2en=2 - Tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi t=0œ©(n-1)2=4e©n-1=2en=3 - Tam giác ABC nhọn khi và chỉ khi C| VỀ MỘT LOẠI -
` TAM GIÁC ĐẶC BIỆT
LÊ PHÚC LỮ (SV Đại học FPT TP Hồ Chí Minh)
t>0©(n-1)^>4e©sn-1>2en>3
Các tính chất tiếp theo dưới dây được xét
trong tam giác nguyên liên nhọn
Tính chất 2 Trong fam giác nguyên liên nhọn
ABC, phân giác AD chia đoạn BC thành hai đoạn
lần lượt có độ dài bằng nửa cạnh AB, AC
Chứng minh Theo tính chất đường phân giác
trong tam giác, ta có DB_AB_ D8 _ AB DC AC “DB+DC AB+AC DB AB DB AB AB => ——-= S = => DB =— BC AB+AC n+1 2n+2 2 A B D C Tương tự, ta cũng có CD = = (đpcm)
Tính chất 3 Trong fam giác nguyên liên nhọn
ABC, đoạn thẳng nối trọng tâm G và tâm đường
tròn nội tiếp Ì song song với cạnh BC
Chứng minh Gọi H, E lần lượt là hình chiếu
cua A va l lên đoạn BC
Ta thấy IE chính là bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC
1
Ta có Saac = -AHBC = IE(AB +BC+CA)
© AHfn + 1) = IE(3n + 3) © IE = SẠH (1)
Trang 4A Suy ra ACZ - ABZ = HC? - HB2 © (n + 2)2 - n2 = (HC + HB)(HC - HB) © 4(n + 1) = BC(HC - HB) HC - HB = 4 A B H E C Mặt khác, vì G là trọng tâm tam giác nên
SGAB = SeBc = SecA > abe = s B H C
ABC „
Do đó G cũng cách BC một khoảng bằng Ta co dpem
T1 AH (2) Tính chất 6 Néu goi H, D,M là chân đường
3 cao, phân giác, trung tuyến ứng với đỉnh A của
Từ (1) và (2) suy ra IG // BC (dpcm) tam giác ABC và E là tiếp điểm của đường tròn
Tính chất 4 Độ dài đoạn thẳng IG không đổi nội tiếp với cạnh BC thì khoảng cách giữa các
Chứng minh Kéo dài AI, AG cắt BC tương điểm này không đổi
Chứng minh Ta có
Zno tai inh chat 2 thi BD -2
Ung tai D, M Theo tinh chat 2 thi BD = 2 CA+CB-AB n+3 1 1 1 a: 2 2 Mà BM=-— nên DM=.——-=— 2 2 2 A
Theo tính chất 3, đoạn IG song song với DM
nên theo định lí Talét ta có IG AG 2 Ắ n DM AM 3 32 3 A | O B H EDM C Từ fính chất 5, ta tính được €6 1 n+5 HC = —|(HC -HB) + (HC + HB) ]=—— n+1 AC n+2 B DM C Mà MG=———,C€D=-—=———
Vậy IG có độ dài không đổi nên HE = HC - EC = 1, HM = HC - MC -= 2 và
Tính chất 5 Nếu H là chân đường cao kẻ tỪA HDb =Hc-CD - Š
xuống BC thì HC - HB không đổi ˆ
Chứng minh Vì các tam giác ABH và ACH Vậy khoảng cách giữa các điểm H, D, M, E
đều vuông ở H nên theo định lí Pytago, ta có không đổi (đpcm)
AC? = AH? + HC2, AB2 = AH? + HB2 (Ki sau dang tiép)
Trang 5Ta có: ~ aA ^ aA
oXinay Cain gi wita khong?
Trong một cuốn sách tham khảo có bài toán sau:
Bài toán Cho hàm số y = (m + 4)x — m + 6 (d) Chứng minh rằng khi m thay
đổi thì các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Lời giải Giả sử đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x,; Y,) cố định với mọi m
- Với m= 1 thì y„ = (1+ 4)x, -1+6 ©y, =5x, +5 (1)
- V6i m =-1 thiy, = (-1+ 4)x,+1+6 ey, = 3x, +7 (2)
Tu (1) va (2) suy ra 5x, + 5 = 3x, + 7 @ 2x, =20%, =1
Khi đó từ (1) ta có y„ = 10
Vậy khi m thay đổi các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định M(1; 10)
Bạn thấy lời giải đó thế nào? Có cần thêm gì không?
PHẠM LIÊN (GV THCS Mai Dịch, Cầu Giấy, Hà Nội)
© Két qua CACH GIA BA TUYET VOU CHUA? crite 25.115
Nhận xét Câu hỏi kì này tương đối khó, đa số
chỉ được chỗ sai nhưng không có nhiều bạn sửa
cho đúng
Lời giải trên sai ở chỗ: Đã coi vận tốc của An bằng = vận tốc của Bình trên cả quãng đường
Cụ thể khi Bình đã lên tới đỉnh dốc (lên được 700m) và bắt đầu xuống dốc với vận tốc tăng lên gấp đôi, An mới lên được: 700 < = 600 (m)
Khi đó An còn phải lên dốc tiếp 100 m nữa với vận tốc lúc này chỉ bằng 8 hay 3 vận tốc của ì 14 7 Binh Lời giải đúng Quãng đường An đi được khi Bình lên đến đỉnh đồi là: 700 „ = 600 (mì)
Sau đó Bình quay lại với vận tốc gấp đôi nên
khi An đi nốt 700 — 600 = 100 (m) lên dốc thì
Bình xuống dốc được một đoạn đường là: 6 700 100 :—=— (mì 14 3 Khi An bắt đầu chạy xuống dốc thi Binh còn 700 1400 cach dich la: 700 -—— = ——— (mì 3 3 Vậy khi Bình tới đích thì An mới đi xuống dốc 1400 6 được một đoạn là: Xã = 400 (m) An cách Bình một đoạn là: 700 — 400 = 300 (m) Phần thưởng kì này được trao cho các bạn: Phạm Anh Quân, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Việt Anh, 6A5, THCS
Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Vũ Đức Văn, 6l,
THCS Ba Đình, Ba Đình, Hà Nội; Cao Hữu Dat, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ - „
ANH KINH LUP
Trang 6
` w
e Kin FINA LAP a
Bạn hãy chọn một trong năm hình A, B, C, D, E để điền vào dấu hỏi chấm cho hợp lôgic THU HÀ (sưu tầm) a’, 2 2 2° eo XKét qua BANG SO Nhận xét Hầu hết các bạn chọn bảng B với các lập luận khác nhau và đây cũng là đáp án của chuyên mục
Quy luật Bắt đầu từ góc cuối cùng bên trái,
đi theo kiểu “rắn trườn” từ hàng dưới lên hàng
trên cùng, các số 38219 lặp đi lặp lại Bảng phải chọn là bảng B
Các tập thể và cá nhân sau nhận giải kì này: Nguyễn Văn Cường, 8A1, THCS Sông Lô, Sông Lô; Nguyễn Khả Quang Huy, 8B, THCS Lý Tự Trọng, Hương Canh, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc;
ao wa
DI Aan oms6115)
Hoang Thi Thuy Nga, 8A, THCS Hoang Xuan Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Yến, 8A, THCS Tân Bình, TX Tam Điệp, Ninh Bình; Nguyễn Thị Hồng Ngọc, 9A, THCS Chu Văn An, Nga Sơn, Thanh Hóa
Khen các bạn sau cũng có lời giải tốt: Đào Thị
Thúy Hằng; 9D, Lê Thị Dung 7E1; Đỗ Văn
Quyết, 8C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh
Phúc; Nguyễn Đức Thuận, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ -
NGUYÊN XUÂN MAI
LOW TAM SU CUA BO THI creo tnoo rene 20
kinh tế văn hóa của khu vực và nay là trung tâm
vùng, góp phần hình thành và tỏa sáng nhiều giá
trị nhân văn của dân tộc, thực sự là địa linh nhân kiệt
Kì này ta đố các cháu: Hãy nói về các quốc lộ 21, 10, 1, 38 có nhắc đến trong câu chuyện của
ta Điểm bắt đầu, các đô thị chính nó đi qua, điểm
kết thúc, chiều dài toàn tuyến? Hãy sắp xếp thứ tự
tính từ Hà Nội các địa điểm sau: Ninh Bình, Cầu Giẽ, Pháp Vân, Liêm Tuyền, Cao Bồ, Đại Xuyên
trên tuyến cao tốc mới khánh thành
VŨ THANH THÀNH
DAT MUA TAP CHi CA NAM HOC 2012 - 2013 TAI CAC CO SO BUU BIEN TRONG CA NUUC
Trang 7+ L
qe THEM MOT SO BAI TORN
as” CO CHUA DAU GIA TRI TUYET AO ĐINH VĂN ĐÔNG (GV THCS Thanh An, Thanh Hà, Hải Dương)
Tạp chí TTT2, tháng 3.2011 có bài viết Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt
đối để giải phương trình Trong bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu thêm một số bài toán có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
Bài toán 1 Giải phương trình [x — 12] + [x — 25] + [2x — 30] =—5x? + 150x — 1112 Lời giải Ta có |x — 12] + |x - 25| + |2x - 30| = |x- 12| + |25 - x| + |2x - 30| >|x—- 12+ 25 -x| + |2x - 30| = 13 + 2|x — 15] > 13; —5x2 + 150x — 1112 = — 5(x* — 30x) — 1112 = — B(x - 15)ˆ + 13 < 13
Do đó phải xảy ra dấu bằng ở các bất đẳng thức trên Điều này được thực hiện khi và chỉ khi
x= 15
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 15
Bài toán 2 Giải phương trình |x — 1] + |x — 4] + [3x - 5| + |5x - 27| = 1+ 8x — x2 Lời giải Ta có Ix — {1| + |x- 4| + |3x - 5| + |5x - 27| = |x- †| + |x - 4| + |3x - 5| + |27 - 5x\| >|xX-1+x-Ä+3x-5+ 27 -5x| = 17; 1+ 8x — x2 = 17 - (x— 4)Ê < 17 Bởi vậy các số x — 1, x — 4, 3x - 5, 27 - 5x phải cùng dấu và x - 4 = 0 Thử x = 4: thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4
Bài toán 3 Giải phương trình |x- 1| + |x- 2| + |x- 3| + + |x - 2014| + |5x + 1| = 2016x - 2023066 + 2x - 2011 Lời giải Điều kiện x > 2011 Suy ra x— 1>0,x-2>0, ,x—- 2011>0và 5x+ 1>0 Khi đó |x - 1| = x - 1, |x— 2| =x- 2 , Ix - 2011| = x - 2011, |Bx + 1| = 5x + 1 Phương trình đã cho trở thành 2011x - (1+ 2+ + 2011) + 5x+ 1 = 2016x - 2023066 +vx - 2011 (1+ 2011).2011 Vì 1+2+ +2011= = 2023066 nên /4x—2011= 1x =2012 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x= 2012 Bài toán 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x) = |x — 1] + [2x — 4] + [3x — 9] + [4x — 16] + |ðx — 25] Lời giải Ta có F(x) = |x — 1| + [2x — 4| + |3x - 9| + |4 - xị + |25 — 5x| + 3|x — 4| >|x-1+2x-4+3x-9+4—-x+25-5x| + 3|x - 4| = 15 + 3|x — 4| > 15 Thử F(4) = 15
Vậy MinF(x) = 15 tai x = 4
Bài toán 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=|x- 1|+ |x— 2| + + |x— 2011| + |x— 20121 Lời giải Ta có Ix — 1] + [x — 2012] > |x — 1 + 2012 — x] = 2011 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x — 1)(x - 2012) >0 © 1<x< 2012 Tương tự |x - 2| + |x - 2011| > 2009; Ix — 3] + |x — 2010] > 2007: Ix — 1006] + |x — 1007| > 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được A> 2011 + 2009 + + 1 _ (2011+ 1).1006 - 4042038 A= 1012036 1006 < x < 1007
Vậy MinA = 1012036 khi 1006 < x < 1007
Bài toán 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = |x| + |2x + {1| + |3x + 2| + + |98x + 97| +
[99x + 98]
Trang 8
,PLEASE MAKE OFFERS 93536 — 86753 = 6783 7460 + 7547 = 15007 842 + 2688 + 54 = 3584 74+ 74 + 944 = 1092
Nhận xét Hầu hết các bạn điền đúng số thay
| cht TTT uu tiên hơn những bạn có lí giải Các - bạn sau nhận thưởng kì này: Vũ Đức Văn, 8l, | THCS Ba Dinh, Ba Đình; Vương Tiến Đạt, 7B,
- THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội;
| Dang Thi Ngoc Minh, 7C8, THCS Truong Cong Định, Lê Chân, Hải Phòng; Đỗ Đăng Dương,
KÌ 6G
Bạn hãy thay mỗi chữ cái bởi một chữ số sao cho được phép tính
đúng, biết rằng các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau
,THIS ,NOTICE , WHAT
SIZE NICE THAT
SHORT PRICES HERE
TRƯƠNG CÔNG THÀNH (Hà Nội)
Sưu tâm
®@Ằ@Ằ@6Ằ66Ằ®9666668666 6666666666669 6 6666966666966 eeseee6eeeeeee°®ee®eesee6°e6ee
@ Két qua KI 4 (TTT2 số 115)
9A, THCS Định Công Tráng, Thanh Lưu, Thanh Liêm, Hà Nam; Nguyễn Thị Hồng Ngọc, 9A, THCS Chu Văn An, Nga Sơn, Thanh Hóa NGUYÊN LINH om ol Lời giải Ta có [70x + 69| = 70 xi = 70|x , 89 70 “7o > B0|x + D|= =50|¬x 0|” -z0 x- 69 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = —ng: Suy ra B = |x| + [2x + 1| + [8x + 2] + + |98x + 97| + [99x + 98] = |-x| + |-2x — 1| + |-3x — 2] + + |-69x — 68] + |70x + 69] + [71x + 70] + + [99x + 98] > | -x + (-2x — 1) + (-3x - 2) + + (-69x — 68) + {-80x-3° | + (71x + 70) + (72x + 71) + + (99x + 98)| =|-x(1 + 2 + + 69) — 50x + x(71 + 72 + + 99) —(1+2 + + 68) + (70 + 71 + + 98) = (1+ 69).69 (714+ 99)(99 —71+1) =|-x 2 _ + 68).68 + (70 +98).(98-70+1) 345 | 2 2 7 345 = | -2415x — 50x + 2465x - 2346 + 2436 — 7! —50x +x =| 90-245 „295 285 _ 69 B=— ©X= 7 70° 69 Vay MinB = 285 tai x = -— 7 70
Bai tap tu luyén
Trang 9
Bài 1 (E) Đó là số duy nhất nhỏ hơn 1 Bài 2 (D) Ngoài (D) tất cả các số khác đều nhỏ hơn 20102919, Mà 3Í > 2010 Do đó 20102010 «(a7)3ˆ a8) - a8), Bài 3 (B) Chỉ có mệnh đề thứ ba là đúng: a < b thì a + c< b+ c Với các mệnh đề khác ta có phản ví dụ bằng cách thay a = —1, b= 1;c= 0 và a=0, b =-1 tương ứng Bài 4 (C) Từ (2010 + 1)3 = 20107 + 3 x 20102 + 3x 2010 + 1
Bài 5 (A) Đặt khoảng cách giữa thị trấn A và
thị trấn B là 3s Tổng thời gian lên dốc, nằm
ngang, xuống dốc tương ứng là , - và | 8°12 24 Vận tốc trung bình của anh ấy là 3S _ 42kmih s § — —— + —_ 8 12 24
Bài 6 (D) Để ý rang ABCD = AACE (c.g.c vi
BC =AC, CD = CE va ACE = 609 —ECB = BCD)
Do đó AEC = BDC Ta cé
x° = 360° -AEC -BEC =360° -BDC -BEC = EBD +ECD =62° + 60° =122°
Vay x = 122
Bài 7 (E) Ta không có cách nào để giảm số
lần cắt ít hơn 6 Chỉ xét khối lập phương ở chính
giữa (khối lập phương mà mỗi mặt của nó được hình thành đều cần một nhát cắt) Bài 8 (B) Chữ số tận cùng của 7 là 1,7, 9, 3 tương ứng khi k = 0, 1, 2, 3 (mod 4) Từ 7Í = (—1)/ = 3 (mod 4), chữ số tận cùng của 7) là 3 Bài 9 (C) 252=2x2x3x3x7 Ta có thể có 667, 497, 479, 947, 749
Bài 10 (C) Ta chỉ cần ước lượng để loại trừ kết quả sai 411~3,3 và 5 ~2,2, vì vậy tổng là
Dé thi Olympic Toán Singapore
Singapore Mathematical Olympiad (SMO) 2010
(Junior Section Solutions) = 5,5° + 1,18 = 5,5° = 30,254 = 30* = 810000 Do đó (C) tat nhién la kết quả chính xác có được nhờ máy tính, ví dụ 8 ơ | | Ơ.C5(V11)|(V5)E5 + H.C (11) V5) i=0 =0 8 4 =2 cạ11)(4/5)°” =23C214146)2", i chan j=0 2008x + 2009 2010x —2011 Ta có a > 0 và -a > 0 vì chúng ở trong căn bậc hai Từ đó a = 0 Do đó y = 2010
Bài 12 Từ đề bài ta dễ dàng thấy b = 5,
ab = 25 hoặc b = 6, ab = 36 Thử lại ta được b = 6, a = 3 và có (ba)2 = 632 = 3969 Suy ra c = 9 Từ đó abc = 369 3m? —2m+10 amide m-2 m-2 số nguyên Do đó m - 2 là ước của 18 Hay m—2=1,2,3,6, 9, 18 Do đó m = 3, 4, 5, 8, 11, 20 Tổng cần tìm là 51 Bài 14 Ta sử dụng công thức _ 2AB? +2AC? -BC? _ 4
Bài 15 Chú ý rằng cả tử và mẫu của phân số
đã cho đều là cấp số cộng Bỏ đi ước chung ta 113+115+117+ +333+335 1+3+5+ +109+ 111 112 2x—= (335 +113) Bai 11 Dat a = Bai 13 Vi la ANZ Suy ra AM = 26 cm được 2x = 16 56 —(111+1 2\ ) Bài 16 Số ở hàng thứ r và cột thứ c có giá trị 16(r — 1) + c trong bảng của Esther và 10(c - 1) + r trong bảng của Frida Do đó ta có phương trình
Trang 10Ta có bốn kết quả
(r, c) = {(1, 1), (4, 6), (7, 11), (10, 16)} Bài 17 Có một cách trực tiếp để tìm lời giải
của bài toán là phân tích 14807 trực tiếp Nói
cách khác, ta hi vọng A và B có những ước chung
để rút gọn Đó là chiến lược tốt bởi vì có thực tế
sau: “Ước chung lớn nhất của A và B, bằng ước
chung lớn nhất của A + B và bội chung nhỏ nhất của A và B'
2010 dễ dàng tách thành 2 x 3 x 5 x 67 Thử trực tiếp ta thấy 67 là ước của 14807 Ta có thể kết luận 67 cũng là ước chung của A và B Ta có
thể đơn giản bài toán bằng cách tìm a, b sao cho arb = 2019 _ 39 va ab = 14807 _ 504 67 67 Từ đó 221 có thể dễ dàng tách thành tích các số, a và b phải bằng 13 và 17 Do vậy câu trả lời là 17 x 67 = 1139
Bai 18 a_(1) có thể viết lại thành mối quan hệ
đơn giản f = 2f,_, — f,_., Ía = † và f, = 3 Ta dễ
dàng tìm được f = 2n + 1 Hay a-o+g(1) = Ízn+o = 2(2010) + 1 = 4021
Bài 19 Tam giác ABC phải là tam giác vuông
Dat x = AC va y = BC, theo định lí Pytago ta có x* + y? = 102
s* = (x + y)* =x* + yˆ + 2xy = 100 + 2S,,
Gia tri I6n nhat cla S,,, dat duge khi x = y <> CAB = 45° hay x = y = V50 Vậy giá trị lớn nhất của s2 là 200 Bài 20 Chú ý rằng 2011 = 11 (mod 100) và 112 = 21 (mod 100), 11 = 31 (mod 100) Do đó 1179 = 1 (mod 100) Từ 2010209 là bội của 10, 2011(2010”””) =44f0 x x12 =1 (mod 100) Vậy hai chữ số cần tìm là 01 Bài 21 Ta có C‡, C£, Cổ tương ứng là số cách
chọn một thủ môn, hai tiền đạo, bốn tiền vệ Còn dư ra các tiền vệ và hậu vệ họ đều có thể chơi tốt ở vị trí hậu vệ, từ đó số khả năng là CẬ x C£ x C? x Cả = 2250 Bài 22 Đặt a = 1001x - 2041 và b = 1000x — 2010 Khi đó phương trình trở thành a^ + b2= 2ab Do đó (a - b)2 = 0 Ta có kết quả là x = 31 Bài 23 Đặt x = 2010 và y = 10 thì tử số trở
thành [( + y)ˆ — xy]@^y? — y^y2)[(& — y)^ + xy]
= (x* + xy + y*)y2(x — y)(x + y)( x? — xy + y4)
= y*(x> — y?)(x? + y3) = y2(x® — y) Từ đó câu trả lời là 100 Bai 24 Dat 15 + x = m2 va x — 74 = n2 Ta có m2 - n2 = 89 = 1 x 89 suy ra (m + n)(m — n) = 1 x 89 Suy ra m - n = 1 và m +n=89 Giải ra ta được m = 45 và n = 44 Do đó số x là 452 — 15 = 2010
Bài 25 Từ 0,9y < x < 0,91y, ta có 0,9y + y <x
+ y <0,91y + y Do đó 0,9y + y < 59 và 0,91y + y
Trang 11
Be THI TUYEN SINK LP 0 PHO THONG NANG HHIEU BAIHOC QUOC GIA TP HO CHi MINH
Nam hoc: 2012 = 2013
%x %x * %x x * xxx x*%x *%x *%xk*%x*%x*x*xx*%
Bài 1 Điều kiện x > 0
Đặt y = xxx, với y > 0 Ta được phương trình
y-4y+m+1=0 (2)
a/ Với m = -33 thì (2) © y^ - 4y - 32 = 0
© y = 8 (thỏa mãn); y = —4 (loại)
Từ đó xxx =
b/ Giả sử (2) có hai nghiệm phân biệt không âm
Y¿, y2 Khi đó (1) có hai nghiệm phan biét la x,, x 8 © xỶ = 64 © x =4 (thỏa mãn) Theo định lí Viét ta có y¡ + y- = 4, y¿y„ =m + 1 Ta có Xỹ + xổ =82 © Vy +y2 =82 © (v‡ +y2)? -2yƒy2 = 82 © [(W; + Y;)ˆ — 2yY;|ˆ — 2(y;y„)ˆ = 82 © (16 — 2m — 2)? — 2(m + 1)? = 82 <> m2 - 30m + 56 = 0 © m = 2 hoặc m = 28 Thay m = 2 vào (2) ta được y2 - 4y + 3 = 0 © y, =1, Y, = 3: thỏa mãn
Thay m = 28 vào (2) ta được yˆ - 4y + 29 = 0:
vô nghiệm vì A’ = -25 < 0
Bài 2 a/ Điều kiện 5 <x< -2,
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng ý!2x+7 =^Aj-3x-B5 +1 c© 2x+7=-3x-B+24J-3x—-B5 +† © 2J-3x—5 = 5x + 11 Điều kiện x > Bình phương hai vế rồi rút gọn ta được 25x2 + 122x + 141 = 0 © xX = -3 (loại) hoặc x = " (thỏa mãn) Chú ý Ta có thể đặt u = 42x +7, v =^/—-3x—5 (u, v > 0) để được hệ phương trình u-v=1 3u +2v2 =11 b/ Ta có (2) © 2y ~cy? =2N5 —1 (3)
Cộng theo vế của (1) với (3) suy ra y2 = 5x2,
Trang 12
Kết qud cuộc thi
VIET BAI On TAP DANH CHO Che THAY CO GIAD
Sau hai năm phát động, cuộc thi Viết bài ôn tập dành cho các thầy cô giáo, do tạp chí Toán Tuổi
thơ tổ chức đã nhận được khá nhiều bài dự thi của các thầy cô giáo từ mọi miền đất nước Các tỉnh
thành có nhiều thầy cô tham dự thi là: Hà Nội, thành phố Hồ Chí Minh, Khánh Hòa, Có những tác
giả đã gửi cả chùm bài cho nhiều khối lớp Đến nay, TTT mới chọn đăng được 17 bài trong các bài
viết đó Trong các số tới, chúng tôi sẽ tiếp tục giới thiệu một số bài viết khác Tất cả các bài gửi đến
tòa soạn từ ngày 01 11.2010 đến ngày 31 10.2012 bằng mọi hình thức như viết tay, đánh máy, gửi file qua mạng, đã đăng trên TTT hay chưa đăng đều bình đẳng khi xét trao giải Chúc mừng các tập thể và cá nhân đoạt giải Tạp chí trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo đã gửi bài góp phần làm nên
thành công của cuộc thi Sau đây là danh sách tập thể và các thầy cô đoạt giải I TIỂU HỌC ® GIẢI CÁ NHÂN ® Giải Nhất: Đỗ Ngọc Thiện, trường TH Nguyễn Du, Hoàn Kiếm, Hà Nội với bài viết Ôn tập về tỉ số phần trăm (TTT1 số 129) ® Giải Nhì: Tran Thi Quế Thu, trường TH Nga Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh với bài viết Các cách so sánh phân số (TTT1 số 132) ® Giải Ba: 1 Pham Huy Hoàng, trường TH Minh Khai, Hưng Hà, Thái Bình với bài viết Các phép tính trên số thập phân (TTT1 số 134)
2 Nguyễn Thị Minh Hồng, trường TH Dịch Vọng B, Cầu Giấy, Hà Nội với bài viết Tính diện tích hình tam giác, hình thang (TTT1 số 138) > II TRUNG HỌC CƠ SỞ ® GIẢI TẬP THỂ Tổ toán, trường THCS Lam Sơn, Quận 6, TP Hồ Chí Minh với chùm bài viết Ôn tập chương từ lớp 6 đến lớp 9 ® GIẢI CÁ NHÂN ® Giải Nhất:
Nhà giáo Bùi Văn Tuyên, 330 B, đường Ngọc Lâm, Long Biên, Hà Nội với chùm bài viết Bài đã
đăng Ôn tập chương I Hình học 7: Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song (TTT2
số 102+103) và Ôn tập chương II Hình học 7 (TTT2 số 107) ® Giải Nhì:
1 Đặng Văn Biểu, trường THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội với chùm bài viết Bài đã đăng Ôn tập chương | Đại số 9 (TTT2 số 99+100)
2 Chu Tuấn, trường THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội với chùm bài viết Bài đã đăng
Ôn tập chương I Đại số 8: Phép nhân và phép chia đa thức (TTT2 số 101) và Chương II Hình
học 8: Đa giác - Diện tích Đa giác (TTT2 số 108, 109)
® Giải Ba:
4 Thái Nhật Phượng, trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa với
chùm bài viết Bài đã đăng Ôn tập chương II Số học lớp 6: Số nguyên (TTT2 số 105)
2 Nguyễn Văn Cần, trường THPT Định Thành, Đông Hải, Bạc Liêu với bài viết Ôn tập chương
II, Đại số lớp 9: Hàm số bậc nhất
3 Võ Xuân Minh, trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa với bài viết
Toán Tuổi thơ
Trang 13
Bài 1(115) Tồn tại hay không số nguyên x thỏa mãn số 20”* + 12”* + 2012^* là một số chính phương? (Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên)
Lời giải Ta xét các khả năng sau:
Khả năng †1 x < 0 Khi đó vì x là số nguyên nên xX <-1 Ta c6 0 < 20% + 122% + 20122% 1 + 1 + 207k 12% 20127 Tur do suy ra 202% + 122% + 20122* khéng la s6 chính phương Khả năng 2 x = 0 Khi do 202% + 122% + 20122% = 3 (không là số chính phương)
Khả năng 3 x > 0 Khi đó x > 1 Vì 20 = 2 (mod 3)
nén 202 = 1 (mod 3); 12 = 0 (mod 3) nên 122X = 0
(mod 3); 2012 = 2 (mod 3) nên 20122 = 1 (mod 3)
Suy ra 202% + 122% + 20122% = 2 (mod 3) Do đó 202* + 12 + 20122?* không là số chính phương,
bởi vì ta biết rằng: Một số chính phương chia 3 được số dư là 0 hoặc số dư là 1
Tóm lại không tồn tại số nguyên x để số
202% + 122% + 20122 là một số chính phương
Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về tòa soạn đều đúng Sau đây là danh sách các bạn có lời giải gọn hơn cả: Chu Mai Anh, 8A1, THCS Yên
Lạc, Yên Lạc; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh
Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Tạ Phương Thủy,
7A3; Nguyễn Đức Thuận, Nguyễn Thị Ngoc
Huyền, Tạ Phương Mai, 8A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Viên, 7A; Nguyễn
Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Thị Huân, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn
Duy Hưng, 8A4, THCS Lương Thế Vinh, TP Thái
Bình, Thái Bình; Nguyễn Mạnh Khang, 8A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Lương Kim Tiến, 7C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An HỒ QUANG VINH Bài 2(115) Giải phương trình 4+ 4x—x2 + xa|x(6—x?) +3x =12 + V2—x (1) <1(Với k =—x >1) Lời giải Điều kiện: peo >0 iu >0 x<2 x<2 So x(J6+x)>0 _ |x<-v6 x<2 0<x<2 Ta lần lượt xét hai trường hợp: Trường hợp 1 x < —8 Khi đó x-|x(6—x2) <0 và 3x < 0 Suy ra 4+ 4x S— x2 + X4|X(6 — x^) + 3X < 44 4x—x2 = 38 -(x-2)2 < Ÿ8 <12+ J2—x Do đó (1) vô nghiệm Trường hợp 2 0 < x < 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có x + (6— x2) > 24|x(6 - x2) Chú ý 0 <x<2, suy ra xa|x(6 —x?) < 2a|x(6—x?) < x + 6— x2 (2) và Ÿ4+4x—x2 = Ÿ8 —(x— 2)? < 3/8 = 2.(3) Do đó vế trái của (1) không lớn hơn 2+x+(6—-x2) + 3x=8 + 4x - x2 = 12 — (x — 2)? < 12 (4) Ma 12+/2-x >12 (5) nên từ (1) suy ra xảy ra đẳng thức ở các bất đẳng thức (2), (3), (4) và (5) Để có các đẳng thức, điều kiện cần và đủ là x = 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Nhận xét Có ít bạn tham gia giải bài này Một
số bạn chỉ xét điều kiện 0 < x < 2, tuy tìm ra đáp
số đúng nhưng bỏ sót trường hợp x <-V6 Cac
bạn sau đây có lời giải tương đối tốt: Tạ Phương
Mai, 8A3: Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
NGUYEN XUAN BINH
Bài 3(115) Giải phương trình với x, y > 0:
1 1 2
—— + —— - /1-xy = ——— (1)
V1+x ity 1+ Jxy
Trang 14Lời giải Điều kiện 0 < xy < 1 (2) Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc
(a + b)? < 2(a? + b2)
A
ta có | < tay} (3)
Vi+x Jt+y 1+x 1+y
Ta chứng minh với điều kiện (2) thi
1 1 2
14x 1+y Š 1+.jxy é)
Thật vậy, ta có
(4) = (1+ xxy)2 +X +Yy) -2(1 +x)(1 +y) <0 c© x+y-2-/xy jxy(x +y ~2,}xy) >0 © (vx -Jy)?(1-xy) 20 Bất đẳng thức nay đúng, suy ra (3) đúng Từ (3) và (4) suy ra 1 1 2 + < 4i+x J1+y 1+ Ixy 1 1 2 Do đó ———+———- 1- xy < _— Vi+x ity 1+.Jxy Từđ 0e | Š #?x — y -#l Vậy phương trình đã cho có nhiệm duy nhất X=y=l
Nhận xét Điều mấu chốt của lời giải là chứng
minh rằng với các điều kiện của bài toán, có bất
đẳng thức (4) Đây là bài toán tương đối khó về
phương trình không mẫu mực
Các bạn sau đây có bài giải tốt: Nguyễn Kiều
Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;
Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
NGUYỄN ANH DŨNG
Bai 4(115) Cho x, y va z la các số thực dương
thỏa mãn xyz = 1 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 thức A = _ X+Y+Z xy+yz+zx Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 1 1 1 > 1 1 1 A a rr X y Z Xy YZ Zx 2 Suy ra lš'y*z aed x y Z Xy yZ ZX hay (xy + yz + zx)? > 3(x + y + 2) (vi xyz = 1) Do d6 xy+yz+zx > /3(x+y+2Z) Suy ra M= 1 — 2 X+Y+Z XY+YZ+ZX , 1 2 _X+Y+Z J3(x+y+z) 2 mã mm JX+Yy+Z 43 3 3 M= '©œx=y=z=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là Ta:
Nhận xét 1) Đây là một bài toán hay và khó
Các lời giải gửi về đều giải đúng ý tưởng của bài
toán
2) Bài giải trên dựa vào lời giải hay và gọn của
bạn Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ Đặc biệt là sự tham gia giải bài của các bạn trường THCS Yên Phong, Bắc
Ninh
3) Ngoài bạn Linh, các bạn sau cũng có lời giải
tốt: Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Hữu Nghĩa, Nguyễn Văn Huy, Nguyễn Chí Trung,
Nguyễn Quang Minh, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phan Dang Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường; Chu Mai Anh, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Đức Thuận, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Nguyễn Đức Thọ, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh CAO VĂN DŨNG Bài 5(115) Cho n là một số nguyên dương và n số nguyên dương 8, 82, , 8n có tổng bằng 2n — 1 Chứng minh rằng tồn tại một số số trong n số đã cho có tổng bằng n Lời giải Đặt b, =a,,b,=a, + a5, b, =a, +a, +82 b,, =a,t+a,t +a, Vi a,, a5, , a, la cac số nguyên dương nên †1<b,<b;<bạ< <bn= 2n - 1
+ Nếu n số b,, b , b, khi chia cho n đều có số dư khác nhau thì tồn tại một số chia hết cho n Giả sử số đó là b, (với k e {1; 2; ; n})
Vì 1 < b„ < 2n - 1 nên b_ = n hay
a;+ 8, + + a.=n,
+ Nếu n số bạ, b , b, khi chia cho n có hai số có số dư bằng nhau Giả sử hai số đó là bạ, bạ
(với c, d c {1; 2; ; n} và c > d)
Khi d6 b, — b, chia hết cho n
Trang 15Mặt khác b, - bạ = 8u ¡ † 8 „ ¿ † + 4 và 0<b,-b,<b, <2n-1
néna,,,+ ay ,o+ +a, =n
Vậy luôn tồn tại một số số trong n số đã cho có
tổng bằng n
Nhận xét Tòa soạn nhận được nhiều lời giải
của các bạn Đa phần đều làm đúng và giải theo
cách trên Các bạn sau đây có lời giải tốt nhất:
Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Tạ Phương Thủy, 7A3; Phạm
Anh Quân, 8A1; Vũ Thùy Linh, 8A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Mừng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh
HOÀNG TRỌNG HẢO
Bài 6(115) Cho tam giác ABC nhọn O là giao
điểm của ba đường trung trực AO, BO tương ứng
cắt CB, CA tại N, M Chứng minh rằng nếu CM = CN
thì CA = CB
Lời giải Trước hết xin giới thiệu không chứng
minh một bổ đề quen thuộc
Bổ để Giả sử hai tam giác ABC và XYZ có AB = XY, AC = XZ
Khi đó BC > YZ khi va chi khi BAC > YXZ
Giả sử CA + CB Có hai trường hợp cần xét
Trường hợp 1 CA < CB
C
—”®
Xét hai tam giác COA và COB có: OC chung,
OA = OB (vì O là giao điểm của ba đường trung
trực) và CA < CB nên theo bổ đề trên ta có
COA < COB (1)
Mà các tam giác COA và COB cân tại O nên
2OCA = 180° - COA, 2OCB = 180° — COB
Suy ra OCA > OCB
Xét hai tam giác CON và COM có: CO chung,
CN = CM và OCN < ÔCM nên theo bổ đề trên ta
có ON < OM
Suy ra OMN < ONM
Mà tam giác CMN cân tại C nên CMN = CNM Do đó OMN + CMN <ONM + CNM
hay OMC < ONC
Suy ra OMA > ONB => OAM <OBN
Lai vì các tam giác COA và COB cân tại O nên
COA > COB : mâu thuẫn với (1)
Trường hợp 2 CA > CB Tương tự trường hợp 1
Vậy CA = CB, ta có điều phải chứng minh
Nhận xét Đây là bài toán so sánh cạnh và góc
của tam giác tương đối khó Hai bạn sau có lời giải
đúng: Nguyễn Kiểu Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Cao Hữu Đại, 8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An -
NGUYÊN MINH HÀ
Thi giữi toán qua thu
Tạ Phương Thủy, 7A3; Nguyễn Đức Thuận,
8A3, Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong,
Bắc Ninh
MICROSOFT VIET NAM cling BAN CHI DAO PHONG TRAO THI DUA “XAY DUNG TRUONG
HỌC THÂN THIỆN, HỌC SINH TÍCH CỤC” của Bộ Giáo dục & Đào tạo và tạp chí
Trang 16BMC =BNG = 90°
Giả sử trong các đoạn thẳng nối 2 trong 2012
điểm đã cho, đoạn A,A.„ lớn nhất bằng x (có thể có nhiều đoạn thẳng đều bằng x)
Xét các đường tròn (C,) và (C.) đồng tâm A,;
có bán kính lần lượt là x va x45
Ta thấy A, e (C¿) Vì A„A, <x, với k = 3, 4,
2012 nên các điểm A, Ab - A2012 đều không
nằm ngoài đường tròn (C;)
Xét 2011 đường tròn (S,), (S.), , (S„o;;) có tâm
A., A2, Ä›oxs và có bán kính bằng nhau là >
Ta thấy các đường tròn cH) déu nam trong Ké qua THE CO (Ki 44)
(TTT2 số 115)
1 Rg2 2 Xg1 (~) g5#
Danh sách các em giải đúng thế cờ kì 44: Lê Huy
Cường, 9A2, THCS Từ Sơn, TX Từ Sơn, Bắc Ninh; 1 Ngô Hải Anh, 7A, THCS Cổ Am, Vĩnh Bảo, Hải Phòng
LÊ THANH TÚ
e4: z¿„ 0HÍ DŨNG EKE YÀ THƯỚC KẺ
Cho hình thang vuông ABCD với A =Õ = 909 và AB + CD = BC
| Chỉ dùng eke và thước kẻ, hãy dựng hai điểm M và N trên cạnh AD sao cho
PHAM TUẤN KHẢI (Hà Nội)
@ Két qua NHAM VA THIN (TTT2 số 115)
(C.), với k = 1, 2, , 2011
Hơn nữa, vì AmnÂn > y, với m, n = 2, 3, , 2012
và m z n nên các đường tròn (S,), (S;) , (S2ox4)
đôi một ngoài nhau hoặc tiếp xúc ngoài
Do đó diện tích hình tròn (C.) lớn hơn diện tích
tổng cộng của 2011 hình tròn (S,), (Sq) + (Sa944)
hay (x + 2 > 201 nf 5)? ax +5 YS 2071 > Vậy <> —— > 21 nên Nhâm đoán đúng
y
Nhận xét Bài toán liên quan đến kiến thức về
vị trí tương đối giữa hai đường tròn Ta có thể thay số 2012 bởi một số tự nhiên n khác để có một kết quả mới Bạn đọc hãy tìm cách đánh giá tốt hơn
ven rig
kết quả ——————
Trang 17BO CO BIEN DI Diu? NGUYEN THE HUNG (Khu phé Sau Huyén, thị trấn Hương Canh, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc) ia đình thám tử Sêlôccôc đang có
chuyến du lịch ở đất nước “Mặt trời mọc” Hôm nay, cả nhà đi chơi trên du thuyền Đây là du thuyền của một
công ty du lịch Nhật Bản Đồng hành cùng họ là thuyền trưởng Kadic, anh thợ máy Hasin, bác đầu bếp già Nikota, chàng phụ
bếp trẻ tuổi Kimi và cô y tá xinh đẹp Lisa
Ngoài ra, trên tàu còn có một người bạn cũ
của thuyền trưởng, tên là San Ông ta từ tỉnh khác tới để thăm gia đình thuyền trưởng
Kadic Nhân có chuyến tham quan bằng du
thuyền, San đi cùng luôn
Được những người trên thuyền giới thiệu
chàng phụ bếp Kimi chơi cờ rất siêu nên
thám tử Sêlôccôc rủ anh ta đánh vài ván Lúc đó khoảng 9 giờ sáng Kimi vui vẻ đồng
ý và lấy ngay bộ cờ quý của mình ra Chài
Quả là một bộ cờ đắt giá! Kimi cho biết: vì
giành giải thưởng cao tại một cuộc thi nên
anh đã được một nhà tỷ phú tặng bộ cờ này Hai người đang chuẩn bị chơi thì Kimi bị
bác đầu bếp già Nikota gọi vào bếp để
chuẩn bị nấu nướng Chàng trai đành hẹn
thám tử sau bữa trưa
Khoảng gần 3 giờ chiều, Kimi tới chỗ
Sêlôccôc Chàng hăm hở:
- Thưa ngài! Bây giờ tôi có thể chơi vài
ván Ý ngài thé nao a?
- Tuyệt quá! Tôi chỉ chờ anh rảnh để
chúng ta đọ sức cho vui thôi
- Vâng Ngài chờ chút xíu, tôi sẽ mang bộ
cờ ra ngay đây
Kimi vừa quay đi được vài phút thì mọi người bỗng nghe tiếng cậu ta kêu lên hoảng hốt:
- Thôi chết! Bộ cờ đâu mất rồi?
Rồi chàng phụ bếp nhớn nhác đi tìm Mọi
ngóc ngách của con tàu đều được Kimi lục
lọi Tiếc thay! Tất cả đều vô hiệu! Kimi phân trần:
- Tôi thường để bộ cờ trong chiếc hòm cá
nhân của mình Sáng nay tôi lấy ra để chơi với thám tử nhưng chưa kịp chơi thì bận việc
trong bếp Tôi cất vội vào hòm và quên không khóa lại Ai ngờ
Mọi người trên tàu hết sức ái ngại và bất bình Riêng thám tử Sêlôccôc thì trầm tư
quan sát thái độ của từng người
Một lúc sau, ông gặp riêng cô y tá Lisa
Cô là người thường đi đi lại lại trên tàu để hỏi
han sức khỏe mọi người, do đó, có khả năng
Trang 18cô đã tới chỗ chiếc hòm của Kimi Thám tử hỏi: - Cô đã làm gì trong khoảng thời gian từ 9
giờ sáng tới 3 giờ chiều?
- Thưa ông, tôi ở trong phòng của mình
Tôi tranh thủ sắp xếp lại tủ thuốc vì tối hôm
qua mới mua thêm một vài loại Ông có thể
hỏi thuyền trưởng Tôi mua thuốc theo yêu
cầu của ông ấy Tối qua mới mua nên sáng nay tôi mới mang lên tàu
Tiếp theo, thám tử Sêlôccôc tìm gặp San
- Chắc ông đã biết việc Kimi vừa bị mất
bộ cờ quý Ông có thể cho tôi biết: trong khoảng thời gian từ 9 giờ sáng tới lúc Kimi phát hiện sự việc, ông đã ở đâu và làm gì
không?
- Có lẽ tôi là người sau cùng biết chuyện bộ cờ bị mất Buổi sáng tôi ở trên boong, tắm nắng Ăn trưa xong tôi lại lên boong ln
- Ơng lên ngay như thế để tắm nắng buổi
trưa ư?
- Ổ không! Nắng buổi trưa chói chang thế
ai mà tắm được Tôi lên boong ngay để treo quốc kì Lúc xuống ăn trưa, tôi chợt phát hiện tàu chưa treo cờ nên đỉnh bụng ăn
xong sẽ lên treo Tôi phải loay hoay một lúc
lâu mới treo được vì mấy lần đều treo bị ngược
Sau cuộc trò chuyện với Lisa và San,
thám tử Sêlôccôc đã đến gặp thuyền trưởng Kadic Thám tử nói chuyện riêng với ông về mối nghỉ ngờ của mình và bàn với thuyền
trưởng cách thuyết phục sao cho tế nhị để
kẻ gian trả lại bộ cờ cho chàng phụ bếp Kimi
Theo các bạn, thám tử đã nghi ngờ ai và dựa vào đâu mà ông lại nghi ngờ như thế?
e x2 „4 GHUYỆN CÚA BẠN ANE «<2
Các thám tử nhí đã tìm ra lí do vì sao bà Mạnh, 7B; Lê Thị Tuyết Hoa, 7C, THCS của Ane phát hiện cô cháu gái nói dối: Khi
kiểm tra hóa đơn mua hàng tại siêu thị, bà
thấy giờ mà Ane mua hàng là sáng sớm như thường lệ Trên hóa đơn thanh toán tại siêu
thị luôn hiển thị ngày giờ
Phần thưởng được trao cho: Nhóm bạn
Phùng Thị Mai Linh, Nguyễn Huyền Thanh và Nguyễn Thu Thảo, 7E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Vũ Thành Đạt, Nguyễn Minh Trang, 6A1, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Đức
Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
Thám tử Sêlôccôc
Trang 19
Pen vi tigng Han
ThS NGUYEN VU LOAN
Bai 35 XE k#jt — Đây là nhà ga
Từ mới
k# huðchẽ: [hỏa xa] tàu hỏa, xe lửa #3 ?ˆhuðchẽzhàn: [hỏa xa trạm] nhà ga "K\ &i: [phi cơ] máy bay ?#)È fandiàn: [phạn điểm] khách sạn
"K L3 feijichang: [phi cơ trường] sân bay HH, 2B dianyingyuan: [điện ảnh viện] rạp chiếu phim
®% 3T ]7'ˆ3tiãnãnmén guăngchăng: [thiên an môn quảng trường] Quảng trường Thiên An Môn
Mẫu câu và hội thoại
L ARAB, BEC, MEL?
(Zhé shi hudchézhan, na shi feijichang, ni qu nar?) Đây là nhà ga, kia là sân bay, bạn đi đầu?
B:#Èk #3 (Wư qùhchẽzhàn.) Tơi đi nhà ga
2 A:ƒRTEffJL? (Nizàinăr?) Bạn đang 6 dau?
B:4#X<3Ï]J 3ý (W6zaitian'anmén guăngchăng.) Mình ở quảng trường Thiên An Môn Đọc và nỗi
)3x#R#, ABER a) Bồ mẹ tôi đi Bắc Kinh
2)®%8®\ig1Sf£ t5 b) Tơi ở Thượng Hải
3) XH BEE, Tom EH BR c) Đây là rạp chiếu phim, kia là khách sạn
QXAABE, MESH, MAM IL? d)Bốmeởsân bay
5) FFE _E VE e) Kia là nhà ga, Tom đi đến nhà ga
6) ABE Kew, Tome Kew f) Day 1a thu vién, kia 1a sân vận động, bạn đi đâu?
Trang 20THACH DAU! THACH Dd DAY!
TRAN DAU THU MOT TRAM LINH MOT
Ngudi thach dau Cao Minh Quang, GV THPT chuyén Nguyén Binh Khiém, Vinh Long Bài toan thach dau Cho a, b, c la chiéu dai ba canh của một tam giác vuông Tìm giá trị nhỏ 4 n4, “4 nhất của biểu thức P = arb te abc(a +b+c) Xuất xứ Sáng tác Thời hạn Trước ngày 15.1.2013 theo dấu bưu điện Ret qua
Lời giải Trước hết xin giới thiệu không chứng
minh một bổ đề quen thuộc
Bổ đề Cho tam giác ABC, các đường cao AX, BY, CZ đồng quy tại H Nếu T là trung điểm của HA thì X, Y, Z, T cùng thuộc một đường tròn
Trỏ lại giải bài toán thách đấu
Trong lời giải này, kí hiệu (XYZ) chỉ đường tròn
đi qua các điểm X, Y, Z
Gọi P là giao điểm của EH và AB; Q là trung
điểm của EH C B M P H Q E K L N D A Theo bổ đề trên M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn (1)
Vì ADE = AME =APE = 90° =BCE =BNE =BPE
nên các ngũ giác ADEMP, BCENP nội tiếp (2)
Do đó MKN = 180° -KMN—KNM = 180° —(EMN —-ÉMK) -(ENM -EÉNK) = (180° —EMN -ENM) +EMK +ENK
- NEM+EMD +ENC
= AEB +EAD +EBC (theo(2))
19
(TTT2 số 115)
= AEB +(909 —DEA) +(90° —CEB) (viADE -BCE =90 9 = AEB +(180° -DEA -CEB) =AEB +BEA
=ÑEB+MEA = APN +BPM (theo(2)) =180° -MPN
Suy ra K thuộc đường tròn (MNP') (3)
Từ (1) và (3) suy ra K thuộc đường tròn (MP) (4)
Vậy EDM = EPM (theo(2)) = QPM= QKM (theo(4)) Do đó DE // KQ Kết hợp với QH = QE suy ra KH = KL Chú ý Có thể chứng minh L thuộc đường tròn (ABE)
Nhận xét Bài tốn này khơng quá khó nhưng
không có võ sĩ nào tham gia giải Phải chăng kĩ thuật tính góc của các võ sĩ chưa được tốt?
Trang 21
Toán học với mã số, mã vạch
TS NGUYỄN ĐĂNG QUANG ~
MA VACH
Số trước ta đã nghiên cứu mã vạch EAN 5 Ta thấy, để mã hóa 5 con số, trước tiên người ta phải mã hóa dãy 5 con số hệ thập phân này thành một dãy số nhị
phân theo một quy luật riêng Thoạt tiên, mỗi con số có thể lấy 1 trong 2 bộ giá
trị (G - L) Việc lấy giá trị nào trong 2 bộ đó tùy thuộc giá trị của số kiểm tra Từ
dãy số nhị phân này mới chuyển thành các vạch
5 con số 11111 ở hệ thập phân sẽ được mã hóa thành:
010110011001010110011010011001010110011010011001 Số này ta tiếp tục nghiên cứu về một loại mã số mã vạch phức tạp hơn một chút, là EAN 8
1) Cấu trúc của mã EAN 8
1234"5670 Mã này thể hiện 8 con số: 12345670
Dưới đây là hình ảnh một mã EAN 8:
Mã EAN 8 có 8 con số bao gồm: 2 hoặc 3 số đầu là mã quốc gia, 5 hoặc 4 số tiếp theo là mã sản
phẩm, số cuối cùng là số kiểm tra (check digit)
Mã quốc gia của Việt Nam là 893, trùng với mã quốc gia trong mã vạch EAN-13 mà ta sẽ nghiên cứu
sau Như vậy, chỉ còn 4 con số dành cho mã sản phẩm
Cơ quan GS1 Việt Nam quản lí và cung cấp các mã EAN 8
EAN 8 được gán trực tiếp bởi cơ quan có chức năng gán mã số cho sản phẩm Bất kì công ti nào
cũng có quyền yêu cầu cấp cho 1 mã số EAN 8 mà không cần quan tâm tới mã doanh nghiệp hay mã
sản phẩm trong EAN 13 Cơ quan có thẩm quyền cấp mã số EAN 8 phải lưu trữ mã số này trong một
cơ sở dữ liệu biệt lập Khi cần tra cứu mã số EAN, cơ quan có trách nhiệm sẽ truy xuất từ CSDL này từ
đó biết được nguồn gốc của sản phẩm
Thực ra, trong 8 con số này, chỉ có 7 con số đầu là 7 con số cần được mã hóa Con số cuối cùng là
số kiểm tra
Người ta tính số kiểm tra như sau:
- Lấy các số ở vị trí lẻ trong chuỗi số nhân với 3 - Lấy các số ở vị trí chắn trong chuỗi số nhân với 1
- Lấy tổng
- Chia tổng cho 10, tìm số dư
Trang 22Giả sử người ta cần mã hóa chuỗi số có 7 chữ số 4234567 Số cần mã hóa 4 2 3 4 5 6 7 Vi tri lẻ chan lẻ chan lẻ chan lẻ Số nhân 3 1 3 1 3 1 3
Téng bang4x3+2x1+3x34+4x1+5x3+6x1+7x3=69 Chia 69 cho 10, số dư là 9 Lấy 10 trừ 9 được 1 là số kiểm tra Vậy chuỗi 8 số của EAN 8 sẽ là 42345671
Như vậy ta thấy rằng trong mã số EAN 8 không cần đến mã công ti, cũng không cần đến mã sản
phẩm của EAN 13
2) Sự khác biệt cơ bản giữa EAN 13 và EAN 8
EAN 13: Tinh chất pháp lí nằm ở mã công ti, mã quốc gia;
EAN 8: Tính chất pháp lí nằm ở mã quốc gia và mã số sản phẩm (mã số sản phẩm này đã được lưu
trữ thành CSDL)
3) Cấu trúc mã vạch EAN 8
- Các vạch bảo vệ trái, có giá trị nhị phân là 101
- Bốn số đầu được mã hóa theo quy tắc lẻ của mã hóa trong EAN 13 Xem thêm EAN 13 Mã hóa
chắn lẻ
- Các vạch bảo vệ trung tâm, có giá trị nhị phân 01010
- Ba số cuối và số kiểm tra được mã hóa như là chuỗi ngược trong mã hóa chẵn của EAN-13
- Các vạch bảo vệ phải, có giá trị nhị phân 101
Các vạch bảo vệ và số lượng in tương tự như EAN 13 (không có số nào ở ngoài phần có vạch) eeeoeoeoeeoeoeoẴẢoeoeoeẢoeoẴẢoeoeoooẴeoeoeoeooeoeoeooooeoeoooeoeoeoooeoeoeoeoeee # x 2 Hfứnt GaN QhA criss eneo rang 10) Vậy số học sinh giỏi học kì 2 của trường N là _ _DB 240 học sinh Vav De =) Cau 5 N Ta có ADB = ADC -BDC =45° = AOB =2ADB = 909
F Vậy AAOB vuông cân tại O nên AB = R42
A E B b/ AAOD cân tại O có AOD = 2ACD = 60° nên
là tam giác đều
M Vì OB L OA (vì AOB = 909) và OB L MN (do MN
là tiếp tuyến tại B của (O)) nên OA // MN
O
D C Do đó ADMN đều nên — =1
c/ AADE = AODE (c.c.c) > ADE = ODE
Do đó DE là phân giác của góc NDM
Mà ADMN đều nên DE L MN
Kết hợp với EBF = ADB =45° suy ra ABEF
a/ Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên là hình thang cân
Xét AACD có ADC =180° - DAB = 759,
ACD =30°9 —ÕAC =759° =ÃDc vuông cân tại F
Từ đó ADBO cũng cân tại Ð Vay BF a oo ao?
Trang 23V3 + Danhchocacnha OP TULIIEC
VỀ MỘT PHƯƠNG PHAP CHUNG MINH CHIA HET TRONG TAP HOP CAC DA THUC VOI HE SỐ NGUYEN
PGS TS LE QUOC HAN (Khoa Toan, Dai hoc Vinh)
Tất cả các đa thức sau đây đều là những đa thức với hệ số nguyên
4) Ta nói rằng đa thức f(x) chia hết cho đa thức
g(x) nếu có đa thức q(x) sao cho f(x) = g(x)q(x)
2) Kết quả sau đây đã biết:
Kết quả 1 Cho hai đa thức f(x) và g(x), trong đó g(x) khác đa thức 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp đa thức q(x), r(x) sao cho
f(x) = g(x)q(x) + rx)
trong đó hoặc r(x) = 0 hoặc r(x) # 0 và bậc của r(x) bé hơn bậc của g(x)
Từ đó suy ra: Với mọi đa thức f(x) bậc dương và mọi số nguyên a, tồn tại duy nhất đa thức q(x)
và số nguyên a sao cho f(x) = (x - a)q(X) + r
Thay x bởi a, nhận được f(a) = r Do đó f(x) chia hết cho x - a khi và chỉ khi f(a) = r = 0 Nhu vay ta đã chứng minh được:
Kết quả 2 (Định lí Bezout) Đa thức f(x) chia
hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi x = a là nghiệm của f(x)
3) Ta hãy mở rộng kết quả này
Bài toán 1 Giả sử đa thức f(x) nhận hai số nguyên phân biệt a, b làm nghiệm Chứng minh f(x) chia hét cho (x — a)(x — b)
Lời giải Vì f(x) nhận a làm nghiệm nên có đa
thức g(x) sao cho f(x) = (x — a)g(x) Khi đó f(b) = (b - a)g(b) Vì f(b) = 0 nên (b - a)g(b) = Tu dé g(b) = 0 (via #b) Nhu vay g(x) nhan b lam nghiém nén co da thc q(x) sao cho g(x) = (x — b)q(x) Thé thi f(x) = (x - a)(x — b)q(x) và tir d6 f(x) chia hét cho (x — a)(x — b) Bằng phương pháp quy nạp, ta giải được bài toán sau
Bài toán 1 Giả sử đa thức f(x) nhận n số
nguyên đôi một khác nhau 8;, 8„, , a làm
nghiệm Khi đó f(x) chia hết cho đa thức
Œ&- a¡)(X - a.) — a,)
Ta hãy áp dụng kết quả trên để giải một số bài toán về tính chia hết của các đa thức với hệ số
nguyên
Bài toán 2 Chứng minh rằng với mọi số
nguyên dương n, đa thức f(x) = (x— 2)" + (x— 1)" — 1 chia hết cho đa thức g(x) = x2 - 3x + 2 Lời giải Ta có g(x) = (x - 1)(x - 2) Vi f(1) = 0 va f(2) = 0 nén f(x) chia hét cho Q(x) = (x — 1)(x - 2) Bài toán 3 Tim a va b để cho đa thức f(x) = ax"~ Í + px" + 4
chia hết cho đa thức (x - 1)2, với n là số nguyên
dương cho trước
Lời giải Trước hết, để f(x) chia hết cho x - † thì phải có f(1) = 0, nghĩa là a + b + 1 =0 Từ đó b = - (a + 1) Khi đó f(x‹) trở thành f(x) = ax"- 1 ~ (a + 1)x" + 4 = — ax" — I(x — 1) — (x9 — 1) = (x - 1)g(x), với g(x) = -ax" ~† ~ (xn~1 + xn~2+ +x+ ) Muốn cho f(x) chia hết cho (x — 1)2 thì cần và đủ là g(x) nhận 1 làm nghiệm, nghĩa là g(1) = 0 hay - a —- n = 0 Do đó a =—n
Thay vào b = - (a + 1), nhận được b = n - 1
4) Bây giờ ta chuyển sang xét các đa thức
nhiều ẩn Trước hết, ta chú ý đến kết quả sau:
Kết quả 3 Cho đa thức f(x, y, z)
Nếu f(y, y, z) = 0 thì f(x, y, z) chia hết cho x - y, nghĩa là tồn tại đa thức g(x, y, z) sao cho
f(x, y, z) = (x - Y)g(%, y, 2)
Bài toán 4 Giả sử n là số nguyên dương cho
Trang 24
trước, n > 1 a) Chứng minh đa thức f(x, y, Z) = X”(y - z) + y"Œ - x) + Z"( - y) chia hết cho đa thức Q(x, y, Z) = (x — y){y - Z)Œ - X\)
b) Tìm thương của phép chia đa thức f(x, y, Z)
cho đa thức g(x, y, z) khi n = 3 Lời giải a) Vì f(y, y, Z) =y”(W- Z) +y"Œ- y) =0, f(x, z, Zz) = Z"{ - Xx) + z”(x - Z) = 0, f(x, y, X) = X(y - x) + x”(& - y) =0 nên f(x, y, z) chia hết cho (x — y)(y — Z)(Z — X) = 9, y, Z) b) Do đó tồn tại đa thức q(x, y, z) sao cho f(x, y, Z) = (x — Y)\W — Z) - x)q(x, y, 2)
Với n = 3 thì f(x, y, z) là đa thức đối xứng đẳng
cấp bậc 4 và (x - y)(y - Z)(z - x) là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc 3 nên q(x, y, z) là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc nhất Nghia là q(x, y, Z) = K(x + y + 2) Tu dé x3y — z) + y3(z — x) + 23(x -y) = kŒ + y + Z) - Y)(y - Z) - X) So sánh hệ số của xỔ ta được k = -1 Vay q(x, y, Z)=-X-y-Z
Kết quả 4 Cho đa thức f(x, y, Z)
Nếu f(-y, y, z) = 0 thì f(x, y, z) chia hết cho x + y,
nghĩa là tồn tại đa thức g(x, y, z) sao cho f(x, y, Z) = (x + y)g( Y, 2) Bài toán 5 Giả sử n là số nguyên lẻ lớn hơn 1 a) Chứng minh đa thức f(%x, y, Z) = (x+ y + Z)" - x chia hết cho đa thức g(X, Y, Z) = % + Y)( + Z)(Z + X)
b) Tìm thương của phép chia đa thức f(x, y, Z)
cho đa thức g(x, y, z) khi n = 5
Lời giải a) Vì n lẻ nên
f-y, y, Z) = Cy +y + Z)”- (Cy)"-y"-z"=0,
Do đó f(x, y, z) chia hết cho x + y
Tương tự, f(x, y, z) chia hết cho y + Z và Z + x
Vậy f(x, y, z) chia hết cho
(x + y){y + Z)(Z + X) = 9X, y, Z) b) Do đó tồn tại đa thức q(x, y, z) sao cho
I(x, y, Z) = (X + y)(y + Z)(Z + x)q(x, y, Z)
Lập luận như bai toan 4, ta thay a(x, y, z) la da
thức đối xứng đẳng cấp bậc hai nên có dạng — yn —z" q(x, y, Z) = a(x2 + y2 + z2) + b(xy + yZ + ZX) Do đó (x + y + z)® - x? - y° - z9 =(X+Y)(y+Z)(Z+ x)[a(x2 + y2 + z2 + b(xy + yZ + )] đ) Trong (1), cho x = y = z = 1 ta được 3° - 3= 8(3a + 3b) © a + b = 10 (2) Trong (1), cho x = 0, y = z = 1 ta được 23”—2= 2(2a + b) © 2a + b = 15 (3) Giải hệ hai phương trình (2), (3) ta được a=b=5 Vay q(x, y, Z) = 5(x2 + y2 + z2) + 5(xy + yZ + ZX) Bai tap Bài 1 Với n là số dương cho trước lớn hơn 1, chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)2" — x2" ~ 2x — 4 chia hết cho x + 1
Bài 2 Gia sử n là số nguyên dương lớn hơn 1
cho trước Chứng minh đa thức f(x, y, z)
=(X-y)( + y)” + (y 2) + Z)” + (Z- x)(Z + x)”
chia hết cho đa thức (x - y)(y - z)( - x)
Tìm thương khi n = 3
Bài 3 Chứng minh đa thức
f&, y, z) = &- y)Ÿ + (y— z)” + ø- xẺ
chia hết cho đa thức 5(x - y)(y — z)(z — x) Tìm thương của phép chia đó
Tổng quát hóa
Bai 4 Giả sử n là số nguyên dương lớn hơn 1 cho trước Chứng minh đa thức
f(x, y) = y( + 1)” - X + 1)"+x—y
chia hết cho đa thức g(x, y) = xy(x - y)
Tìm thương của phép chia f(x, y) cho g(x, y)
Trang 25
ừ cổ xưa con người đã biết quan sát Vũ trụ
ic cách nhìn lên bầu trời trên đầu mình Sau những nhầm tưởng ban đầu rằng Trái
đất là trung tâm Vũ trụ, con người nhận thức được
vai trò của Mặt trời và sau đó phát hiện ra dải
Ngân Hà Nhưng một thời gian dài, người ta vẫn nhầm tưởng là toàn bộ Vũ trụ chỉ là một dải Ngân Hà của chúng ta
Cho đến thế kỷ 18, con người vẫn luôn tin rằng
Vũ trụ bất biến Aristote đã ghi lại: “Theo những ghi chép được truyền từ thế hệ này sang thế hệ
khác trong quá khứ, chúng ta không tìm được vết
tích nào có liên hệ đến những sự thay đổi trên
vòm trời cũng như bất cứ phần nào của vòm trời Người ta cũng tin rằng Vũ trụ vô cùng, vô tận
vì nếu có giới hạn, Vũ trụ phải có trung tâm và có
bờ rìa, như thế thì lực hấp dẫn giữa các phần tử
trong Vũ trụ phải co rút vào trọng tâm và bắt Vũ
trụ phải biến đổi Chính Newton, trong lần xuất
bản thứ hai quyển sách Những nguyên lí triết học trong khoa học tự nhiên, đã nêu ra như
sau: “Những vì sao cố định phân bố đồng đều
trên vòm trời sẽ triệt tiêu lực hút hỗ tương giữa chúng, bởi các lực tác dụng ngược chiều nhau"
Tới thế kỷ 19, các nhà khoa học bắt đầu nhìn được ra xa hơn hệ Ngân Hà và ghi nhận sự tồn tại của các tinh vân (các cụm sao), và bắt đầu
nghi ngờ Vũ trụ không phải là luôn bất biến và
không phải vô cùng vô tận Vào năm 1823, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers, một bác sĩ và nhà thiên văn học người Đức cho rằng nếu vũ trụ
vô tận trong không - thời gian thì nó phải có nhiều
sao đến mức khi nhìn lên bầu trời, tia mắt ta bao giờ cũng gặp một ngôi sao, và ta phải thấy bầu trời luôn sáng rực như mặt trời, ngay cả vào ban
đêm Nghịch lí này được gọi là nghịch lí Olbers
Thật thú vị, năm 1848, đại văn hào Edgar Poe LICH SU VU TRU THUYET BIG BANG PGS TSKH VU DINH HOA (Đại học Sư phạm Hà Nội) Georges Lemaitre (1894 - 1966) đã viết trong bài tho “Eureka“ rằng ông không tin là các ngôi sao bất tử và ngay cả các ngôi sao
cũng không có đủ thời gian để chiếu sáng toàn bộ Vũ trụ Vậy bầu trời đêm tối đen chứng tỏ các vì sao nói riêng và Vũ trụ nói chung không tổn tại
mãi mãi Không chỉ đứng vững trước thử thách
của thời gian mà nhận định này còn đóng vai trò quyết định về tâm lí cho việc hình thành lí thuyết
Big Bang
Ý tưởng điên rồ cho rằng thời gian và Vũ trụ có thể có khởi đầu và kết thúc là một ý tưởng mà ban
Trang 26những năm 1910, Albert Einstein nhận ra rằng từ
lí thuyết tương đối của mình có thể suy ra một Vũ
tru khéng tinh tai Nhung ban than Einstein lai cho rằng một Vũ trụ như thế là sai và ông đã bổ sung một hằng số Vũ trụ có tác dụng như một lực
hút để có thể giữ cho Vũ trụ tĩnh tại
Năm 1925, Georges Lemaitre, một nhà vật lí
Bỉ, phát hiện ra rằng thuyết tương đối tổng quát
của Albert Einstein dẫn đến hệ quả: Vũ trụ đang
giãn nở một cách không đổi Suy ngược lại thời
gian, ông suy ra Vũ trụ có một khởi đầu từ một
điểm vô cùng nhỏ và vô cùng nóng Ngày nay,
người ta vẫn chính thức coi ông là cha đẻ của thuyết Big Bang Big Bang là tên do Fred Hoyle
dùng để chế giễu thuyết giãn nở Vũ trụ của
Lemaitre Bản thân Fred Hoyle xây dựng một
thuyết chống lại thuyết Big Bang, trong đó Vũ trụ luôn bất biến và không đổi theo thời gian
Lẽ ra thuyết Big Bang có thể ra đời sớm hơn Năm 1912, nhà khoa học Vesto Slipher và sau
này là Carl Wilhelm Wirtz đã xác định rằng hầu
hết các tinh vân hình xoáy ốc đang rời xa Trái đất,
nhưng họ không nhận ra ý nghĩa của việc này vi
họ không nhận ra được là các tỉnh vân đó là
các thiên hà ở ngoài Ngân Hà của chúng ta Mãi đến năm 1929, Edwin Hubble mới xác định bằng thực nghiệm lí thuyết của Lemaitre Hubble chứng minh rằng, các tỉnh vân hình xoáy ốc là các thiên hà và ông đo khoảng cách giữa chúng bằng các ngôi sao Cepheid Ông phát hiện ra rằng các thiên hà đang rời ra xa chúng ta
theo tất cả các hướng với vận tốc tỉ lệ với khoảng cách giữa chúng Sự giãn nở này được gọi là định
luật Hubble
Sự ra đời của thuyết Big Bang đã làm cho các
nhà Vật lí thiên văn nỗ lực suy nghĩ để tìm hiểu
xem từ khởi đầu của Big Bang cho tới nay Vũ trụ
đã biến đổi ra sao Khởi đầu với con số 0, vật chất được sinh ra như thế nào và sau đó Vũ trụ ngày nay với các vì sao, các thiên thể đã hình
thành ra sao?
Theo các nhà khoa học, ban đầu chỉ có năng
lượng thuần túy Năng lượng đã chuyển biến
thành các hạt cơ bản, từ các hạt cơ bản tạo thành
các nguyên tử Họ suy luận ra rằng trong Vũ trụ
ban đầu chỉ có các hạt khí hydro và helium là
những nguyên tố nhẹ nhất Sau đó các hạt khí
hút nhau tạo thành các khối khí khổng lồ Dưới
sức ép của lực hấp dẫn, các nguyên tử hydro nổ tung tạo ra phản ứng nhiệt hạch và khối khí
khổng lồ chính là các ngôi sao phát sáng Sau khi
hydro cháy hết, đến lượt khi helium tham gia phản ứng nhiệt hạch Cuối cùng, khi đã hết khí
helium, các ngôi sao tắt, nguội đi Dưới áp lực chèn ép lên nhau, các nguyên tố nặng như vàng bạc, châu báu, sắt, kim loại được tạo ra Rồi
nhiều ngôi sao đã tắt nổ tung, hất các nguyên tố
nặng này vào Vũ trụ Khi đó các hành tinh là tàn
tích của các khối vật chất này được hình thành
Một số ngôi sao đã tắt không nổ tung thì co cụm
lại thành các điểm nhỏ có khối lượng vật chất vô cùng lớn Chúng là các hố đen Với lực hấp dẫn
lớn như vậy, chúng nuốt chứng các vật chất ở
gần Các hố đen này bắt giữ các ngôi sao và các hành tinh gần chúng xoay quanh chúng và tạo ra các thiên hà Vũ trụ của chúng ta có diện mạo như ngày nay là nhờ một lịch sử phát triển dài lâu như vậy Người ta tính ra tuổi của Vũ trụ khoảng
13 tỉ năm
Thuyết Big Bang giải thích được nhiều về Vũ
trụ, và nhiều tính toán đo đạc đã xác nhận các hệ quả của nó Có ba bằng chứng rõ nhất ủng hộ
thuyết Big bang Đó là quan sát của Hubble về sự
giãn nở của Vũ trụ mà ta đã nói ở trên; là thực
nghiệm năm 1964 của Arno Penzias và Robert
Wilson đã đo được các proton nguyên thủy (các
hạt truyền tải ánh sáng sinh ra sau Big Bang) có
nhiệt độ gần đúng như tính toán lí thuyết của
nhóm nghiên cứu Gamow năm 1948 Cuối cùng, bằng thuyết Big Bang, người ta có thể tính được
mật độ các nguyên tố nhẹ trong Vũ trụ Tất cả các giá trị tính được đều rất phù hợp với kết quả đo đạc Đây cũng được coi là một trong những
bằng chứng rõ ràng nhất về vụ nổ lớn và là giải
thích duy nhất cho sự thống trị của các nguyên tố
nhẹ trong Vũ trụ
Tất nhiên, tuy Big Bang giải thích được nhiều
về Vũ trụ, nhưng vẫn tồn tại nhiều vấn đề cho nó phải giải quyết nốt Chẳng hạn các vấn đề về
tương lai của Vũ trụ, các hiện tượng năng lượng
tối cũng như vật chất tối là các vấn đề mà
chúng ta đang chờ đợi câu trả lời từ tương lai
(Tổng hợp từ nhiều nguồn)
Trang 27
hwong dan id ee» (Tiép theo trang 9)
Bài 30 Rõ ràng 11 là ước của số đó và 2, 3, 5 thì không Chúng ta cần loại trừ 7 Do có
402011 + 1 = 4 (mod 7) vì 103 =—1 (mod 7)
Bài 31 Gọi k là số nguyên dương chắn
Dat f(x) = PL(x) — Pux — 1) thì f(n) = nỀ với mọi số nguyên n > 2 Chú ý f là một đa thức Chúng ta cần có f(x) = xk Trong trường hợp số nguyên n>2thì P.(-n + 1) — P,(-n) = f(-n + 1) = (n - 4)X, P.(-n + 2) -— P,(-n + 1) = f(-n + 2) =(n- 2)X, P„(0) — P„(—1) = f(0) = 0%, P.(1) — P,(0) = f(1) = 1K Cộng các đẳng thức trên ta được P„(1) — PuCn) = 1X+ 0X+ 1*+ + n—2)X+ (n— 1) Điều đó có nghĩa là P,(—n) + P¿ún - 1) = 0 Dat g%) = P,(-x) + P,x - 1) thì gín) = 0 với mọi số nguyên n > 2 Từ g là một đa thức, g(x) = 0 Trong trường hợp riêng P,(~5) + P.(~5) = 0 1 Do d6 Payig(—5) = 0 Bài 32 Nối BD va CG va chu y rằng 7 =2 A B E G D F C
Giả sử độ dài của AB là 1 Đặt diện tích của
ABGE và AFGC tương ứng là x và y Khi đó diện tích AEGC và ADGF là 2x và 2y Từ diện tích của ABFC là + ta có x+y 6 6 Tương tự 3y + 2x = s Giải ra ta được x và y= 42 21 Vi vay SABGD - 4-3(x +y) = 1-2 = = ABCD 2 14 Hay m = 9 và n = 14 Bài 33 Từ a > 1, 2010 = a7 + bˆ + 8ab > 12 + b2 + 8b Do đó b2 + 8b — 2009 < 0 Tuy nhiên b2 + 8b - 2009 = 0 có một nghiệm là 41 Hay a = 1 và b = 41 Vậy a + b = 42 Bài 34 Gọi X và Y tương ứng là tổng của các chữ số ở vị trí chẵn và vị trí lẻ Chú ý rằng 1 + 2 + 3 + + 9= 45 Ta có X + Y = 45 và 11 chia hết |X - YỊ Từ đó dễ dàng thấy X = 17 và Y = 28; hoặc X= 28 và Y = 17 Do đó ta chia các chữ số vào hai tập hợp có tổng tương ứng là 17 và 28 Ta có 9 cách chọn ra bốn chữ số có tổng bằng 17: {9, 5, 2, 1}, {9, 4, 3, 1}, {8, 6, 2, 1}, {8, 5, 3, 1}, {8, 4, 3, 23, {7, 6, 3, 1}, {7, 5, 4, 1}, {7, 5, 3, 2}, {6, 5, 4, 2} Ta có 2 cách chọn ra bốn chữ số có tổng bằng 28: {9, 8, 7, 4}, {9, 8, 6, 5} Do đó tổng số các cách là 11 x 4! x 5! = 31680 Bài 35 Đặt ba cạnh của tam giác tương ứng là a, b, c Khi đó ^/s(s —a)(s —b)(s —c) =a +b +c =2s a+b+c trong đó s = Chú ý rằng s là một số nguyên, nếu không thì s(s - a)(s - b)(s - c) không là số nguyên Đặt x = s - a, y = s - b và Z=s— c Khi đó x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn xyz = 4(x + y + Z) Giả str x > y > z Thi xyz < 12x suy ra yz < 12, và do đó z < 3 Nếu z = 1, xy = 4(x + y + 1) biến đổi thành (x - 4)(y - 4) = 20 = 20-1 = 10-2 = 5-4 Hay (x, y) = (24, 5), (14, 6), (9, 8) Nếu z = 2, 2xy = 4(x + y + 2) biến đổi thành (x — 2)(y — 2) = 8 = 8-1 = 4.2 Hay (x, y) = (10, 3), (6, 4)
Nếu z = 3, 3xy = 4(x + y + 3) biến đổi thành
Trang 28
G/F Mat cong qua!
arene Ông chủ trang trại nọ có
1O người làm công Người
nào cũng “lười chảy thây” khiến ông rất khó chịu Một hôm, ông quyết tìm cách
trừng trị thói này
Ông gọi tất cả tới và bảo:
- Này các anh ! Tôi có một việc rất nhẹ
nhàng dành cho ai lười biếng nhất trang trại này Mời người nào lười nhất bước
lên phía trước!
Ngay tức khắc, 9 người trong bọn họ cùng bước lên Lấy làm lạ, ông chủ hỏi người vẫn đứng yên: - Tại sao anh không bước lên phía trước củng những người khác?
Nguoi nay dap:
- Bước thế mất công qua a
ee
Ba cau bé
Ba cậu bề đang nằm chơi trên bãi cỏ
Một cụ giả đi qua, nói:
- Ta sẽ thưởng 1 đồng cho ai lười nhất A ` iy Ấn
Vui cƯời lười
trong ba cháu Nảo, ai lười nhất đây?
Một cậu bề nói:
- Cháu rất khát Trong túi áo cháu đang có một quả táo nhưng cháu ngại lấy
no ra qua
Cậu bé thứ hai nói:
- Chắc là cháu lười hơn, ông ạ Mặt
trời chiếu vào mắt cháu, chói quá, nhưng
cháu lười tới mức không muốn nghiêng đầu đi chỗ khác nữa
Cậu bé thứ ba nói: - Ông ơi, cháu còn
lười hơn thế cơ Cháu rất buôn ngủ nhưng lười quá không muốn nhắm mắt ạ!
Nghe đến đây, ông già bảo:
- Cháu quả là cậu bề lười nhất đấy Đây, 1 đồng cho cháu đây
- Xin ông hãy bỏ hộ vào túi cháu ạ - Cậu bề nồi
- Cháu xứng đáng được thưởng nhưng sao cháu không cảm ơn ta một câu nhỉ?
- Ông già hỏi
- Ông ơi, cháu biết là phải cảm ơn ông
nhưng cháu lười quá, chẳng muốn nói
nữa
PHƯƠNG MAI (Dịch)
- Câu “Lúa nếp cho gạo để nấu cơm hàng ngày Lúa tẻ thì cho gạo để đồ xôi, nấu bánh chưng” phải sửa thành “Lúa nếp cho gạo nếp để đồ xôi và nấu bánh chưng Lúa tẻ cho gạo
tẻ để nấu cơm hàng ngày”
- Câu “Một sợi rơm vàng là hai sợi vàng rơm là câu hát trong bài hát “Bé quét nhà” chứ không phải đồng dao Câu “Chổi to bà quét sân to” phải sửa thành “sân kho”
- Câu “Ơng hướng dẫn tơi bóc từng lớp áo
của của cọng rơm để lõi rơm vàng óng lộ ra.”
thừa một từ “của”
© Xét aa Bong bong thi chim
€u\ốn ROM (TTT2 số 115)
Rất nhiều bạn gửi bài và hầu hết đều phát
hiện đúng những điểm cần sửa Tuy nhiên, một
số bạn có lẽ do chưa đọc kĩ nên vẫn để sót lỗi
TTT sẽ gửi quà tới: Đào Thị Thu Hoài, 6A9, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Bửi Thị Mỹ Duyên, 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Đức Hùng, 7E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Võ Ngọc Tân, 7B; Hoàng Thị Khánh Huyền và Dang Xuan Huy, 8C, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh
PHAN HƯƠNG
Trang 29
la vườn xưa
ùa thu là mùa quả chín Muôn loại trái cây như chỉ chờ gió se và nắng
hanh để đọng hương, đọng mật Vào
chợ mua hoa quả bày cỗ Trung Thu, lòng chợt
bồi hồi Khu vườn xưa của bà hiện về, đầy ắp kỷ niệm trẻ thơ
Thuở ấy lũ trẻ chúng tôi chỉ biết làm bạn với
bao loài cây ăn quả và những chú chim chào
mào Vườn nhà bà rất rộng Cả khu vườn xanh rợp toàn na, ổi, hồng, táo, khế, roi Đặc biệt, có một cây sấu cổ thụ, gốc sấu mấy người ôm không hết Thu về, sấu chín rụng lộp bộp Nhặt quả sấu vàng ửng đưa lên miệng Chao ôi là
ngon, là ngọt, là thơm!
Nhiều buổi trưa, đang nằm võng thiu thiu ngủ,
chợt nghe tiếng “bộp” ngoài vườn Biết là na bở
chín quá tụt nõ, chị em tôi tranh nhau chạy ra Na dai bán được tiền hơn nên bà dành để bán Chỉ na bở là chúng tôi được chén thỏa thuê Cho
đến tận bây giờ, na bở vẫn là thứ quả tôi thích
nhất So với na dai, na bở không ngọt sắc và không không thơm bằng Na bở thanh thanh và
dìu dịu hơn Phải chăng vì thế mà khó quên hơn? Giờ na bở hiếm lắm, để cho tôi mùa nào cũng mê mài kiếm tìm
Vườn nhà bà có mấy cây hồng Thu về, lá hồng rụng gần hết, quả thì ửng vàng, nhìn như hàng trăm chiếc đèn lồng xinh xắn ai đó treo lên
cây Khi trời hơi se se là lúc hồng đã được hái Bà nhờ người hái xuống, dùng gai bưởi châm châm rồi ngâm vào nước vôi mấy hôm Sau đó
bà vớt hồng ra rổ thưa, lót lá chuối khô, hong
gió Hồng chín dần, vỏ màu vàng cốm Bổ ra,
một màu vàng óng như mật, nhìn đã thấy thèm
Hồi đó, bà hay lầm rầm đọc một câu Còn bé,
tôi chẳng hiểu gì nhưng vẫn nhớ đến tận bây
giờ: “Vôi vàng ăn nhãn tháng năm/ Ung dung
ngồi đợi hồng ngâm tháng mười”
Ở góc vườn có một cây chay rất to Thỉnh
thoảng bà lấy ít vỏ cây vào ăn trầu Vừa cắt
miếng vỏ, bà vừa khe khẽ hát “Này trầu, này vỏ, này cau/ Làm sao cho thắm môi nhau thì làm”
Quả chay xanh để nấu canh chua hoặc cho vào
nước rau muống luộc Tôi thì đặc biệt thích ăn
quả chay chín Bên trong lớp vỏ màu vàng nhạt
là phần ruột thắm hồng, chua chua ngòn ngọt,
rất thơm „
Trong vườn còn có răng ổi Ôi đào, ổi mỡ, cây
nào cây nấy sai tríu Lũ chào mào chí chóe suốt
ngày Sau con mua, ổi rụng đầy gốc, vàng ươm,
thơm ngào ngạt Cạnh hàng ổi là mấy gốc roi Có cây quả màu hồng, có cây quả màu trắng, lại có cả cây quả màu xanh nhạt Roi cũng rụng
rất nhiều sau mưa Cái vị thơm mát của roi sao
mà đặc biệt thế?
Cứ gần đến Trung thu, bà lại cho phép chị em
tôi ra vườn chọn những quả đẹp nhất, to nhất để bày cỗ Ngày thường thì những quả to đẹp phải
dành để bán Chúng tôi chỉ được ăn quả bé, quả
vẹo hay đã bị chim mổ thôi Hồi đó chị em tôi tức lắm, có lúc còn ghét bà Sau nghĩ lại, thấy mình thật vô tâm Bà có bao giờ chọn miếng ngon
cho mình đâu? Bổ quả gì ra bà cũng chỉ ăn đầu
thừa đuôi theo Mía bà ăn đầu mẩu, mít thì chọn
xO
Đã mấy chục năm trôi qua Bà cũng da di xa
lâu lắm rồi Vậy mà cứ mỗi mùa thu về, khi
mn lồi quả ngọt đua nhau dâng hương, dâng mật, tôi lại thấy mình như bé lại, trở về khu vườn xưa Cứ mỗi dịp Trung Thu, mua sắm đủ loại trái chín cho mâm cỗ, lòng lại xốn xang nhớ từng gốc cây trong vườn bà “Cho tôi xin một vé di tuổi thơ/ Quê hương ngọt lành ước mơ kết trái/
Để khi xa rồi vẫn còn nhớ mãi/ Năm tháng êm đềm tôi đã đi qua”
Trang 30` ` ` »s Tử ngo2
Bạn hãy tìm một từ tiếng Anh có 3 chữ cái, biết rằng:
- Từ LEG không có chữ cái nào nằm trong từ cần tìm
- Từ ERG có một chữ cái nằm trong từ cần tìm nhưng vị trí của chữ cái đó thì khác - Từ SIR có một chữ cái nằm trong từ cần tìm và vị trí của chữ cái đó cũng giống - Từ SIC có một chữ cái nằm trong từ cần tìm nhưng vị trí của chữ cái đó thì khác - Từ AIL có một chữ cái nằm trong từ cần tìm nhưng vị trí của chữ cái đó thì khác MINH HA (sé) @ Két qua 0 chứ Trường học (TTT2 số 115)
Có lẽ niềm vui năm học mới đã khiến rất nhiều bạn vào thăm Vườn Anh kì này Một số cách điền từ đã được đưa ra và cách nào
cũng đúng
Sau đây là một cách (các hàng từ trên
xu6ng): EXPERIMENT; LIBRARY; SUBJECT; EXERCISE; TEACHER; UNIFORM; BOOK; CLASSROOM
Chủ Vườn chúc mừng những bạn sau được
nhận phần thưởng: Chu Dương Phương Nam, fE1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh
Phúc, Lương Thị Xuân, 6A3, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Dương Ngân
Hà, 6D, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Nhóm bạn Trần Quốc Bảo, Thái
Xuân Bền, Nguyễn Thị Kim Thanh, 8C, THCS
Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Trần
Minh Hiển, 7G, THCS Lương Thế Vinh,
TP Tuy Hòa, Phú Yên
Trang 31@ Ki nay hé là ta đã 750 tuổi rồi, trở thành đô thị có tuổi đời chỉ kém
Thăng Long - Hà Nội Thật
là tự hào vì ngay từ thuở còn mang tên Vị Hoàng, ta đã có 7 phố: Hàng Tiện, Hàng Giày, Hàng Đồng, Bến Ngự, Hàng Sũ, Hàng Nồi, Hàng Lọng nằm bên sông Vị Thủy
cách nay mấy trăm năm
Đến năm 1894 khi Pháp phá thành của ta quy
hoạch phố phường thì ta đã có 10 phố và 40 đường Tên tuổi các phố đều còn ghi lại nhưng ta
mà kể các cháu lại bảo thôi, thôi nhiều quá Năm
nay ta rất vui vì con cháu đã biết mở mang phát
triển làm cho ta xứng với vị thế 3 phần tư thiên
niên kỉ Đó là tuổi đời của Mạc Tư Khoa và Bắc Kinh đấy các cháu ạ Thành phố của ta giờ đã có 207 phố đường và nhiều phố mới chưa kịp đặt tên
Chỉ riêng năm nay mà các con cháu ta làm được cơ man nào là việc Này nhé, ta kể các cháu nghe: Thông xe Quốc lộ 21 Nam Định - Thịnh Long, tỉnh lộ 490 (đường 55 cũ) cũng nối Nam Định với Thịnh Long Thịnh Long là thị trấn nghỉ mát phía nam tỉnh đang nâng cấp thành thị xã
Khởi công đường cao tốc song song Quốc lộ 21 đoạn Nam Định - Phủ Lý Tuyến đường bộ mới đoạn Nam Định - Mỹ Lộc là cửa ngõ mới vào
thành phố rộng 48 m đã hoàn thành
Xây dựng nhà máy kéo sợi PVTEX với 30 000 cọc sợi
Khánh thành Trung tâm thương mại Micom
Plaza 6 tầng với 42 000 m2 sàn, tổng giá trị đầu
tư 500 tỉ đồng Cùng với Trung tâm thương mại Big C làm cho ta tiếp tục trở thành trung tâm thương mại lớn vùng nam đồng bằng sông Hồng
Đưa vào vận hành bến xe Lộc Hòa, rộng
32 000 m2, mỗi ngày xuất bến 150 chuyến gồm 40 tuyến liên tỉnh và 10 tuyến nội tỉnh
Tặng quân dân đảo Song Tử Tây, quần đảo
Trường Sa tượng đức thánh Trần Hưng Đạo cao
11 m bằng đá hoa cương theo nguyên mẫu tượng
tại công viên Vị Xuyên, Nam Định
Công ty cổ phần lâm sản Nam Định khánh
thành xưởng máy số 1, nhà máy sản xuất đồ gỗ
Quy mô xuất khẩu 20 triệu đôla một năm
Thông xe tuyến Liêm Tuyền - Cao Bồ nối liền
Hà Nam với Nam Định là tuyến cao tốc nằm trong tuyến Pháp Vân - Ninh Bình, cũng là tuyến mới
song song Quốc lộ 1 đi qua tỉnh Nam Định Cùng
LÌ If °Iƒ 0i TH CO KinH TRUNG TAM VUNG
với việc công nhận trở lại đường 38 B là quốc lộ
(Hưng Yên - Hà Nam - Nam Định - Ninh Bình -
Hòa Bình), từ 2012 Nam Định có 4 quốc lộ đi qua: 21, 10, 1, 38
Hoàn thành trạm bơm Quán Chuột và hệ thống kênh bao, kênh xả, thoát nước cho vùng
bắc thành phố, tổng mức đầu tư 287 tỉ đồng
Khánh thành khu liên hợp dệt, công ty TNHH Yougone của Hàn Quốc tại khu công nghiệp Hòa
Xá Tổng mức đầu tư cả nhà máy là 50 triệu đôla
Khánh thành trường Trần Đăng Ninh xây mới
tại Đông Mạc, phường Thống Nhất Đây là trường chất lượng cao của thành phố
Khởi công xây dựng tổ hợp nhà, khách sạn văn
phòng gồm 3 tòa nhà từ 15 đến 25 tầng của công
ty Thuận Thắng
Chỉ nghe kể các cháu đã sốt ruột huống chỉ là làm Lần đầu tiên ta có nhà cao hơn 20 tầng, có
đường phố rộng 50 m, có siêu thị 6 tầng Diện tích nội thành và dân số của ta đã bằng Hà Nội ngày
mới giải phóng rồi cơ đấy Gấp ba hồi bố mẹ các cháu còn nhỏ rồi còn gì Ta mừng lắm! Nhìn nét mặt rạng rỡ của con trẻ trong đêm pháo hoa ta vui lắm!
Xưa nhờ có sông Hồng, sông Vị mà ta ra đời và có nhà ga Năng Tĩnh, quốc lộ di qua, bén cang Do
Quan, Đò Chè, tàu Ngô Khách, nhà băng, cột cờ
và thành cổ, két nước, nhà thờ Lớn, chùa Vọng
Cung cho sĩ tử vào hướng về kinh đô mỗi kì thi cử,
nhà Kèn nơi có vũ hội, chợ Rồng, Giàn Leo tổ
chức ca nhạc, quảng trường, vườn hoa, quán hoa
Cửa Đông, nhà máy điện, nhà máy nước và nhiều nhà máy khác với tiếng còi tầm đã vào thơ ca Nay ta có thêm siêu thị, khách sạn 5 sao, nhà cao
20, 25 tầng, nhiều cầu vượt, nhiều đài phun nước,
nhiều vườn hoa mới nhìn thật đẹp và cao rộng so với ngày xưa Vậy là ta vừa cổ kính vừa hiện đại
và đang được quan tâm tiếp, thêm cao rộng
nhiều 750 năm qua đã nhiều lần thay đổi địa giới
nhưng Nam Định vẫn giữ vai trò đô thị trung tâm
Trang 32
Hỏi: Nếu anh học giỏi, không mất trật tự
mà các thầy cô giáo cứ mắng, cứ cho điểm kém thì anh nghĩ sao?
NGUYỄN THỊ HỒNG PHẤN
(8B, THCS Phúc Hòa, Tân Yên, Bắc Giang) Đáp:
Yêu cho roi cho vọt Ghét cho ngọt cho bùi
Thầy cô mắng xong rồi Bạn lớn lên nhiều đấy
Như bố mẹ mình vậy
Công như núi Thái Sơn Nghĩa như nước trong nguồn
Sau này em sẽ hiểu
Hỏi: Anh Phó ơi! Vì em viết thư cho anh mà
bị bố mẹ mắng là “phí giấy” đấy Em viết xấu thì anh có nhận không a?
LÊ TRUNG NAM
(7C, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Ha Tinh) Dap:
Giấy làm ra để viết
Ghi lại những nghĩ suy Ghi phát minh và tùy Ghi những gì mình thích
Giấy mà để nguyên vậy Đầu mình cũng trắng trơn
Viết xấu cũng còn hơn
Là cả ngày không viết
se@œ6Ằ9Ằ@96Ằ696666966666 6906666 66
Hỏi: Anh Phó ơi! Nếu viết bài cho chuyên mục
thám tử Sêlôccôc thì có cần phải viết cả câu trả lời không hay chỉ viết phần truyện thôi ạ?
NGUYEN THI TRA GIANG
(7C, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ,
Ha Tinh)
Dap:
Cái áo còn may được
Tốn bao nhiêu công rồi Mất bao nhiêu vải nữa
Còn chả tiếc nữa là Sao lại chợt đắn đo
Khi may thêm cái dải
ANH PHÓ
Trang 33Bài 1(117) Tìm chữ số tận cùng của A=1+2°+3°+ + 20123 - 5(1 + 23 + 3 + + 20123)
CAO NGOC TOAN (GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)
Bài 2(117) Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn a3+b3+c?=(a+b- c)3+ (a—-b+ c)3 + (a + b + c)Š Chứng minh rằng a = b = c - « NGUYEN BE (Hải Phòng) Bài 3(117) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất š —2(m +3)x +m? +6m+5=0 x4 — 10x? +9<0
CAO QUỐC CƯỜNG (GV THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc)
Bài 4(117) Cho a, b và c là các số thực dương Chứng minh rằng
| | = + + = (a+b+c)2
a+b Vb+c Veta a2+b2+c2
DUONG BUC LAM (SV K59 CLC Toán Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội)
Bài 5(117) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác Gọi H, K, L theo thứ tự là hình chiếu
vuông góc của M trên BC, CA, AB Các đường thẳng h, k, | theo thứ tự qua A, B, C và vuông góc với KL, LH, HK Chtfng minh rang h, k, | đồng quy
NGUYEN MINH HA (Trường THPT chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội) Bai 6(117) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường phân giác trong BE Chứng minh rằng CE = 2r, với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
VŨ ĐÌNH HÒA (Đại học Sư phạm Hà Nội)
90LUE UlA NAIL G0MPETITIDN UESTIDNS Translated by Nam Vũ Thành Prove that a = b = c I ¡ ĐĂNG KÍ ¡ THAM DỰ 1 CUOC THI | GTQT ! NAM HOC ¡ 2012-2013
1(117) Find the last digit of the number A = 1 + 29 + 3° + + 2012° - B(1 + 23 + 3 + + 20123)
2(117) Let a, b, and c be positive real numbers such that
a3 + b+ cẰ=(a+ b-~ eœ))+ (a— b+ c)) + (—a + b + c)Ÿ
3(117) Find m such that the following equations have exactly one solution x? -2(m + 3)x + m? +6m+5=0 x?~10x^ +9 <0 4(117) Let a, b, and c be positive real numbers Prove that \ 2a + \ 2b \ 2c _ (a+b+c)2 + > a+b Vb+c Veta q^2+b^+c?
5(117) Given the triangle ABC and let M be a point inside the triangle Let H, K, and L be the projection of the point M on BC, CA, and AB, respectively Let h, k and / be the lines that pass through A, B, and C, and are perpendicular to the lines KL, LH and HK respectively
Prove that h, k, and / are concurrent
6(117) Let ABC be an isosceles right-angle triangle with the vertex at A, and BE the internal angle bisector Prove that CE = 2r, where r is the radius of the incircle of the triangle
Trang 34
Đôi lúc bạn thấy thật khó chịu vì một thói quen hay một hành vỉ nào
đó của người khác Còn bạn thì
sao, chắc cũng có lúc bạn khiến
người xung quanh phải khó chịu
Nếu mỗi người đều biết hạn chế
hết mức những thói quen không
đẹp trong sinh hoạt hàng ngày thì
hẳn cuộc sống sẽ dễ chịu hơn nhiều
Đó là những thói quen gì thế
nhỉ? Chẳng khó để chúng ta có thể kể ra: Khạc nhổ bừa bãi; Vứt rác
lung tung; Nói chuyện quá to, khi
nói hay bắn nước bọt, hay hoa
chân múa tay; Ngồi ngả ngớn trên
ghế khi nói chuyện; Nói điện thoại
quá to hoặc quá lâu; Dùng móng
tay xỉa răng, dùng ngón tay ngoáy
mũi trước mặt người khác; Quần áo
đứt cúc hoặc tuột chỉ mà vẫn mặc;
Đóng cửa đánh sâm một cái; Khi
ăn hay làm rơi cơm và rơi thức ăn
V.V
Nếu ai đó có một vài hoặc tất cả
những thói quen trên thì rất có thể
mọi người xung quanh sẽ nhận xét:
"Ôi, người đâu mà khó chịu thết"
Hãy sửa ngay để mình không bị ai kêu ca, bạn nhé! Việc này chẳng
hề khó đâu, chỉ can chú ý một
chút thôi mà
Bạn có thể kể thêm những thói
quert nào mà các "teen” chtiing minh
hau khó chịu? Bạn đã từng sửa
chữa những thói quen không đẹp
bằng cách nào? Hãu gửi uê Kết nối 3T để bạn bè gần xa cùng chia sẽ!
Trang 35
Mục tiêu của chúng Eồôi là 1am ra nhting san Pham
Trang 36Cổng làng? Không Vậy thì là cổng tỉnh Cổng tỉnh, nghe buôn cười Lễ nào tỉnh cũng có cổng Nhưng cửa ô thì chắc là đúng rồi Bạn hãy viết
một bài viết về danh lam thắng tích này nhé! VŨ MORIT iF Am get i} pK: Ảnh: Vũ Thành Nam
@ Két qua Cầu Ngói Hải Ảnh (TTT2 số 115)
Thoạt nhìn ai cũng ngỡ đây là cầu Chùa ở
Hội Ăn, Quảng Nam Người biết Thừa Thiên -
Huế lại tưởng cầu ngói Thanh Tồn ở đất cố đơ Đây lại là cầu ngói Hải Anh, Hai Hau,
Nam Định, xưa gọi là đất Quản Anh, một
trong 5 cây cầu ngói cổ nhất Việt Nam, dep nhất miền Bắc và gắn với chùa Lương cách đó chi 100 m
Cau dung từ thời Lê cách nay 400 nam
Điều này chứng tỏ thêm một sự that la tu 4,
5 tram năm trước nơi đây đã là đất liền không còn là biển Dẫu cái tên Hải Hậu nói
với ta rằng đây vốn là đất sau cùng, mới tiến
ra biển thôi nhưng câu Ngói cho ta mốc thời
gian mới ấy cũng đã gân nửa thiên niên kỉ
rồi Cầu bắc ngang sông Trung Giang Giang
thì cũng là sông thôi nhưng người Việt mình
cứ goi thé Song Chau Giang qué Nam Cao
cũng vậy Có thể qọi là sông Châu Rồi sông
Hồng Hà nữa Hà cũng là sông
Câu nằm trên đường dẫn vào chùa Cầu
cong cong, chạm khắc đơn giản nhưng rất hài
hòa và đậm nét cổ truyền, rất Việt Như một
mái đình Như một con thuyền Dưới chan là
những cột đá đẫm mau thời gian Bên trên là
9 gian gỗ lim bắc vững chãi trên hai hàng cột
đá Ñam Định vốn nồi tiếng với đồ mộc La
Xuyên, Ý Yên, phố Hàng Tiện, Nam Định thì
với mái cầu, khung cầu uốn lugn mém mai,
phú ngói nam như những vảy réng cia mot con rồng sà xuống sông uống nước chuẩn bị bay vẻ trời này càng chứng tỏ sự tài hoa của người Quản Anh Chắc ngày xưa biển gan
đây lắm Sóng biển cùng với sóng sông xanh
bên bờ bạt ngàn xanh cây lá của vùng châu
thé dau tiên của ông cha Các con đường
quốc lộ 21, tỉnh lộ 55, 56 vừa nâng cấp sẽ
giúp nhiều du khách đến để được chiêm ngưỡng cây cầu nên thơ này
Phản thưởng trao cho hai bạn: Nguyễn Việt
Anh, 6A5, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Lẻ Thị
Phương, 7E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc
QUAN TRỰC ĐỊNH