Chủ đề 7 Cực trị hình học Toán Họa 0986 915 960 – Tổng hợp 1 F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC MỤC LỤC F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC 1 A Phương pháp giải bài toán cực trị hình học 2 1 Dạng chung của bài toán cực trị hình học 2 2 Hướng giải bài toán cực trị hình học 2 3 Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học 2 B Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học 3 1 Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 3 2 Sử dụng quan hệ giữa đường t[.]
Phương pháp giải bài toán cực trị hình học
Dạng chung của bài toán cực trị hình học
Trong tất cả các hình có chung một tính chất, cần tìm những hình mà một đại lượng nào đó như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, hay số đo diện tích có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Bài toán này có thể được thể hiện dưới dạng bài toán về dựng hình.
Trong bài toán này, cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, nhiệm vụ là xác định vị trí của dây đi qua điểm P với độ dài nhỏ nhất Bài toán này liên quan đến việc chứng minh tính chất của đoạn dây trong hình học.
Trong một đường tròn (O), các dây đi qua điểm P chứng minh rằng dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất Bài toán này liên quan đến việc tính toán và phân tích hình học để xác định độ dài của các dây trong mối quan hệ với điểm P.
Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
Hướng giải bài toán cực trị hình học
a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được :
+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ≤ ( m là hằng số )
Để xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho giá trị của biểu thức f m = b, cần chứng minh rằng vị trí này cho giá trị nhỏ nhất của f Việc tìm kiếm này đòi hỏi phân tích kỹ lưỡng để đảm bảo rằng giá trị tối thiểu được đạt được trong miền D.
+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ≥ ( m là hằng số )
+ Xác định vị trí của hình H trên miền D để f m =
Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học
Để giải quyết bài toán tối ưu, bước đầu tiên là chỉ ra một hình có tính chất tương ứng với đề bài Sau đó, cần chứng minh rằng tất cả các hình khác đều có giá trị của đại lượng cần tìm đạt cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) so với giá trị của đại lượng trong hình đã chỉ ra.
Để tìm cực trị của một đại lượng, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi tương đương điều kiện Cụ thể, điều chỉnh đại lượng này cho đến khi nó đạt cực trị, đồng thời theo dõi sự biến đổi của đại lượng khác cũng đạt cực trị Qua đó, ta sẽ trả lời được câu hỏi mà đề bài đặt ra.
Cho đường tròn (O) và điểm P nằm bên trong đường tròn (P không trùng với O), ta cần xác định vị trí của dây cung đi qua điểm P với độ dài tối thiểu.
Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1)
∆OHP vuông tại H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2) Kẻ OH ⊥ AB
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:
AB nhỏ nhất ⇔ OH lớn nhất
Ta lại có OH ≤ OP
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học
Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
K a b h.5 a 1 ) ∆ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC
+ AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB Dấu “=” xảy ra ⇔ B ≡ H
Dấu “=” xảy ra ⇔ A ≡ K và B ≡ H b- Các ví d ụ :
Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó
Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo Kẻ BH ⊥ AC
Ta có : S ABCD = 2S ABC = AC.BH
Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do đó :
S ABCD = 24 cm 2 ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD ⊥AC
Vậy max S ABCD = 24 cm 2 Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm 2
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm
E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất
AHE BEF ⇒AHE AEH 90 + = 0 ⇒ BEF AEH 90 + = 0
Gọi O là giao điểm của AC và EG, tứ giác AECG có AE = CG và AE // CG, do đó AECG là hình bình hành Điều này dẫn đến việc O là trung điểm của AC và EG, từ đó O trở thành tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.
∆HOE vuông cân : HE 2 = 2OE 2 ⇒ HE = OE 2
Chu vi EFGH = 4HE = 4 2OE Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất ⇔ OE nhỏ nhất
Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi )
Do đó min OE = OK
Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của
Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a, vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB ở một phía Qua trung điểm M của AB, vẽ hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau, cắt Ax và By tại các điểm C và D Mục tiêu là xác định vị trí của các điểm C và D để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất, từ đó tính diện tích của tam giác này.
Gọi K là giao điểm của CM và DB
MA = MB ; A B 90 = = 0 , AMC BMK ⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK
S MCD = a 2 ⇔ CD ⊥ Ax khi đó AMC = 45 0 ; BMD E 0
Vậy min S MCD = a 2 Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a
Trong tam giác ABC với góc B là góc tù, khi điểm D di chuyển trên cạnh BC, cần xác định vị trí của D để tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AD đạt giá trị lớn nhất.
Gọi S là diện tích ∆ABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có :
Kẻ BE ⊥AD , CF ⊥ AD
Do đó BE + CF lớn nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔hình chiếu HD nhỏ nhất
Do HD ≥ HB ( do ABD >90 0 ) và HD = HB ⇔ D ≡ B
Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất
Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc
Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC CB AB + ≥
AC CB AB + = ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b Các ví d ụ :
Trong bài toán này, cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó, chúng ta cần xác định điểm B trên tia Ox và điểm C trên tia Oy sao cho độ dài OB bằng độ dài OC Mục tiêu là tối thiểu hóa tổng quãng đường AB + AC.
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho yOm xOA = Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA Các điểm D và A cố định
OD =OA, OC = OB ,COD BOA ⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB
Do đó AC +AB = AC +CD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ∈AD
Vậy min(AC+AB) Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC h.11
Cho hình chữ nhật ABCD với điểm E nằm trên cạnh AD, nhiệm vụ là xác định vị trí các điểm F trên cạnh AB, G trên cạnh BC và H trên cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12)
∆AEF vuông tại A có AI là trung tuyến ⇒ 1
∆CGH vuông tại C có CM là trung tuyến ⇒ 1
IK là đường trung bình của ∆EFG ⇒ 1
KM là đường trung bình của ∆EGH ⇒ 1
Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng
Tứ giác EFGH là hình bình hành với các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD, vì EH // AC, FG // AC, và EF // DB, cũng như GH // DB.
Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn
a Ki ế n th ứ c c ầ n nh ớ : a 1 ) Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
AB là đường kính, CD là dây bất kỳ ⇒ CD ≤ AB (h.14) a 2 ) Trong hai dây của đường tròn
Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
Dây nào gần tâm hơn thì dâu đó lớn hơn
OH, OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD :
AB ≥ CD ⇔ OH ≤ OK (h.15) a 3 ) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD ⇔ AOB COD ≥ (h.16) a 4 ) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD ⇔ AB CD ≥ (h.17) b Các ví d ụ :
Trong ví dụ 7, chúng ta có hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Một cát tuyến chung CBD, với B nằm giữa C và D, cắt hai đường tròn tại các điểm C và D Nhiệm vụ là xác định vị trí của cát tuyến CBD để thực hiện điều này.
∆ACD có chu vi lớn nhất
⇒ số đo các góc ∆ACD không đổi (do A, B cố định)
⇒ ∆ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất , chẳng hạn AC là lớn nhất
AC là dây của đường tròn (O) và đạt độ dài tối đa khi AC là đường kính của đường tròn này Khi đó, AD sẽ trở thành đường kính của đường tròn (O’) Cát tuyến CBD tại vị trí C’BD’ vuông góc với dây chung AB.
Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn Xác định dây AB đi qua P sao cho OAB có giá trị lớn nhất
Xét tam giác cân OAB , góc ở đáy OAB lớn nhất nếu góc ở đỉnh AOB nhỏ nhất
Góc AOB nhỏ nhất ⇔ CungAB nhỏ nhất ⇔ dây AB nhỏ nhất ⇔ Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất
OH =OP ⇔ H ≡ P nên max OH = OP ⇔ AB ⊥ OP
Suy ra dây AB phải xác định là dây A’B’ vuông góc với OP tại P
Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai
Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng :
Do đó với m là hằng số , ta có : f =A 2 + m ≥ m ; min f = m với A = 0 f = − A 2 + m ≤ m ; max f = m với A = 0
Cho hình vuông ABCD với cạnh dài 4cm, trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH Cần tính độ dài AE để tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
⇒ HE = EF = FG = GH , HEF = 90 0
⇒ HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi
HE nhỏ nhất Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x
Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 2cm , khi đó AE = 2 cm
Ví dụ 10: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm
M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến
AB và AC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME
ADME là hình chữ nhật Đặt AD = x thì ME = x
ME //AB ⇒ EM CE x CE CE 4x
Ta có : S ADME = AD AE = x ( 8 −4
Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm 2 ,khi đó D là trung điểm của AB ,
M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Bất đẳng thức Cô-si : Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Bất đẳng thức Cô-si thường được sử dụng dưới các dạng sau :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Dạng 3: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
+ Dạng 4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không đổi thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y b Các ví d ụ :
Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng này Khi vẽ các đường tròn có đường kính MA và MB, nhiệm vụ là xác định vị trí của điểm M sao cho tổng diện tích của hai hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB
Ta có bất đẳng thức : 2 2 (x y) 2 x y
≥ π + = AB 2 π 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó min (S+S’) = AB 2 π 8 Khi đó M là trung điểm của AB
Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB Vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB về một phía Qua M, vẽ hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By tại các điểm C và D Mục tiêu là xác định vị trí của các điểm C và D để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
2MC.MD Đặt MA = a , MB = b
Do a,b là hằng số nên S MCD nhỏ nhất ⇔ 2sinα.cosα lớn nhất
Theo bất đẳng thức 2xy ≤ x 2 +y 2 ta có :
2sinα.cosα ≤ sin 2 α +cos 2 α = 1 nên S MCD ≥ ab
S MCD = ab ⇔ sinα = cosα⇔ sinα = sin(90 0 −α) ⇔α = 90 0 −α⇔α = 45 0
⇔ ∆AMC và ∆BMD vuông cân
Vậy min S MCD = ab Khi đó các điểm C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC
Trong tam giác ∆ABC, cho điểm M di động trên cạnh BC Khi kẻ các đường thẳng song song với AC và AB qua M, chúng sẽ cắt các cạnh AB và AC tại các điểm D và E Mục tiêu là xác định vị trí của điểm M để hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Kẻ BK ⊥ AC cắt MD ở H
S = AC BK Đặt MB = x , MC = y ,
MD//AC ta có : MD BM x
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
2S ABC khi đó M là trung điểm của BC
Trong bài toán này, xét tam giác vuông cân ∆ ABC với cạnh huyền BC = a Gọi D là trung điểm của cạnh AB và điểm E di chuyển trên cạnh AC H và K lần lượt là chân các đường vuông góc từ D và E đến cạnh BC Mục tiêu là tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH và xác định hình dạng của hình thang này khi đạt diện tích tối đa.
2S DEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) HK
Mà (BH + KC) +HK = a không đổi
Nên (BH + KC) HK lớn nhất ⇔BH + KC) = HK = a
2 2 2 8Khi đó đường cao HK = a
4 Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.
Sử dụng tỉ số lượng giác
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Ví dụ 15: Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn
Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S Kẻ đường cao AH Đặt BAC = α
∆AHC vuông tại H, ta có :
2 α nhỏ nhất ⇔ α nhỏ nhất ⇔ BAC nhỏ nhất
Cho hình chữ nhật ABCD, trên các cạnh BC và CD, chọn các điểm K và M sao cho tỉ lệ BK : KC = 4 : 1 và CM : MD = 4 : 1 Nhiệm vụ là xác định tỉ số AB : BC để tối đa hóa số đo góc KAM.
( Cho công thức biến đổi tan( x +y )= tan x tan y
Hướng dẫn giải Đặt BAK x = ,DAM y = ( x + y < 90 0 )
KAMlớn nhất ⇔ BAK + DAM nhỏ nhất
⇔ x + y nhỏ nhất ⇔ tan (x + y) nhỏ nhất
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0) tan x = BK BK BC 4m.
AB BC AB= = 5 tan y = DM DM DC 1
AD = DC AD 5m tan( x +y )= tan x tan y
5 +5m nhỏ nhất Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 4m 1
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m =1
Do đó KAM lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1
Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn
Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ
Trong bài toán này, ta có tứ giác ADHE là hình chữ nhật khi chứng minh rằng AH ⊥ BC và nửa đường tròn với đường kính BH cắt AB, AC tại các điểm D và E Để tính độ dài DE, ta sử dụng bán kính R = 25 và BH = 10 Tiếp theo, cần chứng minh rằng tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn Cuối cùng, xác định vị trí điểm A sao cho diện tích tứ giác DEO O1 O2 đạt giá trị lớn nhất và tính toán giá trị diện tích đó.
Hướng dẫn giải a) Ta có BAC = 90 0 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)
Tương tự có BDH CEH 90 = = 0
Xét tứ giác ADHE có A ADH AEH 90 = = = 0 => ADHE là hình chữ nhật
Trong tam giác vuông, có hệ thức lượng cho DE = AH, với AH^2 = BH * CH Tính toán cho AH^2 = 10 * 40 = 400 dẫn đến BH = 10 và CH = 2.25, từ đó suy ra DE = 20 (đơn vị độ dài) Ngoài ra, ta có BAH vuông góc với DAH và ADE.
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => C ADE = do C BDE 18 + = 0 0 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn c) Vì O D 1 = O B 1 =>∆O BD 1 cân tại O 1 => B BDO = 1 (2)
Vậy DEO O 1 2 là hình thang vuông tại D và E
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi DE =O O 1 2
⇔ DEO O 1 2 là hình chữ nhật
⇔ A là điểm chính giữa cung BC Khi đó max S DEO 2 O 1 2
Trong bài tập này, cho đường tròn (O) với đường kính AB Hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua các điểm A và B, đồng thời vuông góc với đường thẳng AB Chọn M và N là các điểm trên d1 và d2 sao cho góc MON bằng 90 độ.
1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất
1) Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng MN Xét tứ giác OAMH
A H 180 (do A H 90 )+ = = => OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn
Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp được
=> A M , B N 1 = 1 1 = 1 (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)
⇒ + = + = => AHB = 90 0 Hay H thuộc (O) lại có OH MN ⊥
=> MN là tiếp tuyến của (O)
2) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng trong tam vuông, ta có:
AM BN MH N= H =OH = AB (đpcm)
1 OH AB (Vì AMNB là hình thang vuông) Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB
⇔M, N song song với AB ⇔AM = BN = AB.
2 Vậy S ∆ MON nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN = AB.
Trong bài tập 3, cho tam giác nhọn ∆ ABC với trực tâm H và đường tròn nội tiếp (O), ta vẽ đường kính AK a) Cần chứng minh rằng tứ giác BHCK là hình thang b) Vẽ OM vuông góc với BC tại M, từ đó chứng minh rằng H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao từ các đỉnh đến các cạnh của tam giác Khi BC cố định, xác định vị trí của điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải a) Ta có ACK 90 = 0 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên CK ⊥ AC mà BH ⊥ AC (vì H trực tâm)
=> CK // BH tương tự có CH // BK
=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm) b) OM ⊥BC => M trung điểm của BC
Định lý đường kính và dây cung cho biết M là trung điểm của HK, do BHCK là hình bình hành Trong tam giác AHK, OM là đường trung bình, dẫn đến AH = 2.OM Ta có AC C BB C' = 90 độ, chứng tỏ tứ giác BC'B'C nội tiếp đường tròn Do đó, AC B' = ACB, và ACB BAx = (Ax là tiếp tuyến tại A), suy ra Ax // B'C'.
OA ⊥Ax => OA ⊥ B’C’ Do đó SAB’OC’ 2
⇒ A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng
⇔ A là điểm chính giữa cung lớn BC
Bài tập 4 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
2) Chứng minh hệ thức: AM 2 = AE AC
3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất
1 Theo giả thiết MN ⊥AB tại I
⇒ mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết MN ⊥ AB, điểm A là điểm chính giữa của MN, dẫn đến AMN = ACM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) và AME = ACM Do đó, góc CAM là góc chung, từ đó suy ra tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM, kết luận rằng AM = AE.
C2: AM 2 = AI AB AE AC =
3 Theo trên AMN = ACM ⇒ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM Nối
MB ta có AMB 90= 0 , do đó tâm O 1 của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM phải nằm trên BM
Ta nhận thấy rằng NO 1 đạt giá trị nhỏ nhất khi NO 1 là khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng BM, tức là NO 1 vuông góc với BM Gọi O 1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM, ta có thể xác định O 1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM với bán kính là O 1M.
Để đảm bảo khoảng cách từ điểm N đến tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM là nhỏ nhất, điểm C cần phải là giao điểm giữa đường tròn (O1) có bán kính O1M và đường tròn (O), trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên đoạn thẳng BM.
Bài tập 5 yêu cầu chứng minh các tính chất hình học liên quan đến đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA = 2R Đầu tiên, từ A, vẽ các tiếp tuyến AB và AC, với B và C là các tiếp điểm Tiếp theo, chọn D trên AB và E trên AC sao cho chu vi tam giác ADE bằng 2R Câu a) yêu cầu chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông Câu b) yêu cầu chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) Cuối cùng, câu c) yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ADE.
Hướng dẫn giải a) Ta có: ABO ACO 90 = = 0 (tính chất tiếp tuyến) (1)
AB = AC = OA OB 2 − 2 = R = OB = OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hình vuông b) Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3)
Suy ra: DE = BD + CE (4)
Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c)
⇒OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)
⇒OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6)
Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) c) Đặt: AD = x; AE = y S ADE 1 xy
Ta có: DE= AD AE 2 + 2 = x + y 2 2 (định lí Pitago)
Vì AD + DE + AE = 2R⇒ x + y + x 2 + y 2 = 2R (6) Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y 2 xy và x + y ≥ 2 2 ≥ 2xy (7) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Từ (6) và (7) suy ra: 2 xy+ 2xy 2R≤ ⇔ xy 2 ( + 2 ) ≤ 2R
Vậy max SADE = ( 3 2 2 R − ) 2 ⇔ x = y ⇔∆ADE cân tại A
Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm A và B Lấy điểm M trên tia đối của tia BA, sau đó kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn, trong đó C và D là các tiếp điểm Gọi H là trung điểm của đoạn AB.
1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn
2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
Để tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất, ta xem xét đường thẳng đi qua O, vuông góc với OM, cắt các tia MC và MD tại các điểm P và Q.
Vì H là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên OH vuông góc với AB Theo tính chất của tiếp tuyến, OD cũng vuông góc với DM Do đó, các điểm M, D, O và H đều nằm trên cùng một đường tròn.
2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ⇒ ∆MCD cân tại M ⇒ MI là một đường phân giác của CMD
Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ CD nên 1
⇒ CI là phân giác của MCD Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD d
3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính:
S = S = OD QM R MD DQ = +, từ đó S nhỏ nhất khi MD + DQ nhỏ nhất Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ, ta có DM DQ OD = 2 = R^2 không đổi.
MD + DQ nhỏ nhất ⇔ DM = DQ = R Khi đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính R 2
Bài tập 7 yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Đầu tiên, cần chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng Tiếp theo, vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn, sau đó chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F (với E và F là các điểm cắt của đường thẳng AC và AD với đường tròn (O') và (O) tương ứng) cùng nằm trên một đường tròn Cuối cùng, xác định vị trí của đường thẳng d đi qua A sao cho tổng độ dài CM + DN đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải a) Ta có ABC và ABD lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và (O’)
Suy ra C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có:
CFD CFA 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
CED AED 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)
⇒ = = suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp c) Ta có CMA DNA 90 = = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy ra CM // DN hay CMND là hình thang
Trong hình thang CMND, I và K là trung điểm của đoạn MN và CD, tương ứng Do đó, IK được xác định là đường trung bình của hình thang này Từ đó, ta có mối quan hệ IK // CM // DN (1) và tổng chiều dài hai cạnh CM và DN bằng hai lần chiều dài đường trung bình IK (2).
Từ (1) suy ra IK ⊥ MN ⇒ IK ≤ KA (3) (KA là hằng số do A và K cố định) d
Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN≤ 2KA
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi IK = AK⇔d ⊥ AK tại A
Vậy khi đường thẳng d vuông góc AK tại A thì (CM + DN) đạt giá trị lớn nhất bằng 2KA
Bài tập tự luyện
Bài tập 1 yêu cầu vẽ một nửa đường tròn với đường kính AB, trong đó C là điểm nằm giữa A và B Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn Tại tia Ax, chọn điểm I khác A; đường thẳng vuông góc với CI tại C sẽ cắt tia By tại K Cuối cùng, đường tròn có đường kính IC sẽ cắt tia IK tại điểm E.
1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn
2 Chứng minh AI BK AC CB =
3 Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB
4 Cho các điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất
Trong bài tập 2, chúng ta xem xét tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A Trên cạnh BC, ta chọn điểm M Đường tròn (O1) có tâm O1 đi qua điểm M và tiếp xúc với cạnh AB tại điểm B Đồng thời, đường tròn (O2) có tâm O2 cũng được xác định trong bài toán này.
M và tiếp xúc với AC tại C Đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại D (D không trùng với A)
1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông
2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2)
3) BO 1 cắt CO 2 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn
4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất
Trong bài tập 3, cho tam giác đều ABC, ta đặt điểm E trên cạnh BC Từ điểm E, vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường thẳng này sẽ cắt AC tại điểm P và cắt AB tại điểm Q.
2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất
3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB 2 = HA 2 + HC 2 Tính góc AHC
Bài tập 4 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD
2) Chứng minh CM vuông góc với HK
3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 5 yêu cầu bạn làm việc với nửa đường tròn có đường kính MN Hãy chọn một điểm P tùy ý trên nửa đường tròn, với điều kiện P không trùng với M hoặc N Tiếp theo, dựng hình bình hành MNQP Từ điểm P, vẽ đường thẳng PI vuông góc với MQ tại điểm I, và từ điểm N, vẽ đường thẳng NK vuông góc với MQ tại điểm K.
1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh: MP PK = NK PQ
3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất
Bài tập 6 yêu cầu cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O Từ điểm A, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn, trong đó B và C là các tiếp điểm Chọn điểm M trên cung nhỏ BC (với M khác B và C) Các hình chiếu vuông góc của M lần lượt trên các đường thẳng AB, AC và BC được ký hiệu là D, E và F Điểm H là giao điểm của đoạn thẳng MB và DF, trong khi điểm K là giao điểm của MC và EF.
1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK
2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MDME lớn nhất
Bài tập 7 yêu cầu chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp trong đường tròn có tâm O và đường kính AB = 2R, với C là trung điểm của OA Dây cung MN được kẻ vuông góc với OA tại C, và điểm K được chọn tùy ý trên cung BM nhỏ Cần xác định giao điểm H của AK và MN, sau đó tính AH và AK theo R Cuối cùng, bài tập yêu cầu tìm vị trí của điểm K để tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài tập 8 yêu cầu nghiên cứu tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) M là điểm di động trên cạnh AB, trong khi N di động trên tia đối của tia CA với điều kiện BM = CN a) Chứng minh rằng điểm D, nơi đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại A và D, là điểm cố định b) Tính góc MDN c) Chứng minh rằng đường thẳng MN cắt BC tại K và DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x và tính giá trị x để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 9 đề cập đến hai đường tròn tâm O và I cắt nhau tại hai điểm A và B, với đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn tại P và Q C cần chứng minh rằng các tứ giác BCQP và OBCI là tứ giác nội tiếp Tiếp theo, E và F là trung điểm của AP và AQ, K là trung điểm của EF Cần xác định đường đi của K khi đường thẳng d quay quanh A Cuối cùng, bài tập yêu cầu tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất.
Trong bài tập 10, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) với H là trực tâm Ta cần xác định vị trí của điểm M trên cung BC không chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành Ngoài ra, gọi N và E là các điểm đối xứng của M qua các cạnh AB và AC, ta phải chứng minh rằng ba điểm B, H và N nằm trên một đường thẳng.
N H, E thẳng hàng c Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất
Bài tập 11 yêu cầu cho (O) và điểm A nằm ngoài (O), từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O), trong đó B, C, M, N đều thuộc (O) và AM < AN Gọi E là trung điểm của dây MN và I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O) Cần chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm trên một đường tròn; chứng minh rằng góc AOC bằng góc BIC; chứng minh BI song song với MN; và xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 12 yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn (O) có đường kính AB=2R và điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N cắt các đoạn thẳng MA và MB tại các điểm thứ hai C và D Cần chứng minh rằng CD song song với AB và MN là tia phân giác của góc AMB, đồng thời MN đi qua một điểm nhất định.
Để chứng minh tích KM.KN cố định, ta gọi giao điểm của các tia CN và DN với các đoạn thẳng KB và KA lần lượt là C' và D' Mục tiêu là xác định vị trí của điểm M sao cho chu vi của tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể.
Bài tập 13 Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn.Từ A vẽ 2 tiếp tuyến
AB,AC với đường tròn (O)
2 Vẽ cát tuyến AMN của (O).Gọi E là trung điểm MN.C/m A,O,E,C cùng thuộc 1 đương tròn và xác định tâm K
3 Tia CE cắt (O) tại I.C/m BI//MN
4 Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất
Trong bài tập này, chúng ta sẽ chứng minh các mệnh đề liên quan đến đường tròn (O; R) và các điểm CAIM, BDMI Đầu tiên, cần chứng minh rằng tứ giác CAIM và BDMI là tứ giác nội tiếp Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng tam giác CID là tam giác vuông Một điều quan trọng khác là chứng minh EF song song với AB Cuối cùng, khi M cố định và I thay đổi trên AO, chúng ta sẽ tìm vị trí của I để diện tích ACBD đạt giá trị lớn nhất, đồng thời xác định điều kiện khi OI lớn hơn 3.
R và AM = R Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam giác CID theo R
Bài tập 15 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Từ A vẽ tiếp tuyến
AB và cát tuyến ACD (nằm giũa A và D )
2) Gọi H là trung điểm CD Chứng minh tứ giác ABOE có bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
3) Vẽ tia Bx // CD cắt (O) tại I, IE cắt (O) tại K.Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O)
4) Đường thẳng BH cắt (O) tại F.Chứng minh KF // CD
5) Tím vị trí của cát tuyến ACD đề diện tích tam giác AID lớn nhất
Bài tập 16 yêu cầu xét đường tròn (O, R) và đường thẳng d không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm A và B Từ điểm C nằm trên đường thẳng d và ngoài đường tròn, tiến hành vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến đường tròn.
CN ( M và N thuộc (O) ) Goi H là trung điểm AB,đường thẳng OH cắt tia CN tại K Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I Chứng minh:
1) C,O,H,N cùng thuộc một đường tròn
3) I cách đều CM, CN, MN
4) Một đường thẳng qua O song song MN cắt tia CM và CN tại E và F.Xác định vị trí
C trên d để diện tích tam giác CEF nhỏ nhất
Trong tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của đoạn BC Tại điểm M, hai đường thẳng vuông góc với nhau cắt các đoạn AB và AC tại các điểm lần lượt là D và E.
E Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 18 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C thuộc đoạn AB,
M là một điểm trên nửa đường tròn Đường thẳng qua M vuông góc MC cắt các tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F
1) Khi M cố định,C di động.Tìm vị trí của C để AE.BF lớn nhất
2) Khi C cố định,M di động Tìm vị trí của M để S CEF lớn nhất
Rèn luyện tổng hợp
Trong bài toán cho hình vuông ABCD, cần xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông Để tìm đường thẳng này, ta cần tính tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng Mục tiêu là tìm đường thẳng sao cho tổng khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất.
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Suy ra rằng m = 4MN cho thấy rằng giá trị m lớn nhất tương ứng với MN lớn nhất, và giá trị m nhỏ nhất tương ứng với MN nhỏ nhất Cụ thể, nếu MN ≤ MO thì m đạt giá trị lớn nhất khi M trùng với O, đồng nghĩa với việc d song song với AB Ngoài ra, khi kẻ MH vuông góc với OB, ta có thể chứng minh rằng MN ≥ MH, từ đó suy ra MN nhỏ nhất xảy ra khi N trùng với H, dẫn đến d tương đương với BD hoặc d tương đương với AC.
Bài 2 : Cho ∆ABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB
, AC sao cho BD = AE Xác định vị trí các điểm D,E sao cho : a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất
Hướ ng d ẫ n: (h.30) a)Gọi M là trung điểm của BC
∆BDM = ∆AEM ⇒BMD AME ⇒DME DMA AME DMA BMD BMA = + = + = 0
Gọi I là trung điểm của DE
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM h.29
Min DE = AM ⇔ I là trung điểm của AM
⇔ D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC b)Đặt AE = x, AB =a thì AD = a − x , S ADE = ( )
S BDEC nhỏ nhất ⇔ S ADE lớn nhất ⇔ x(a − x) lớn nhất
Do x +( a− x) = a không đổi nên x( a − x) lớn nhất ⇔ x = a − x ⇔ x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Trong bài toán này, cho tam giác vuông ∆ ABC tại A với cạnh BC = a và diện tích S Gọi m là trung điểm của cạnh BC Hai đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB và AC tại các điểm D và E Cần tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE và diện tích nhỏ nhất của tam giác MDE.
Hướ ng d ẫ n: a) (h.31)Gọi O là trung điểm của DE
Ta có OA = OD =OE = OM
2 minDE = a/2 ⇔ O là trung điểm của AM
⇔ D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC b) (h.32)Kẻ MH ⊥ AB , MK ⊥ AC
2S MDE = MD.ME ≥ MH.MK = AC
Bài 4: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Vẽ hai tam giác đều AMC và BMD cùng nằm về một phía của AB Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai tam giác đều này đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi K là giao điểm của AC và BD
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với ∆AKB Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
+ = + ≥ + = Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
2 ⇔ M là trung điểm của AB
Trong bài 5, chúng ta xem xét tam giác nhọn ABC với các cạnh a, b, c và đường cao AH = H Nhiệm vụ là dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC để đạt được diện tích lớn nhất, với M nằm trên cạnh AB, N trên cạnh AC, và P, Q trên cạnh BC.
Gọi I là giao điểm của AH và MN Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h − x
⇒ S MNPQ lớn nhất ⇔ x(h − x)lớn nhất h.33
I h-x x +(h − x) = h không đổi nên x(h − x) lớn nhất ⇔ x = h − x ⇔ x = h/2
Khi đó MN là đường trung bình của ∆ABC
Bài 6 : Cho ∆ ABC vuông tại A Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ⊥ BC, IN
⊥ AC , IK ⊥AB Tìm vị trí của I sao cho tổng IM 2 +IN 2 +IK 2 nhỏ nhất
Kẻ AH ⊥BC , IE ⊥AH
ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật
IK 2 + IN 2 = IK 2 +AK 2 = AI 2 ≥ AE 2
IM = EH nên IK 2 + IN 2 + IM 2 = AI 2 +EH 2 ≥ AE 2 +EH 2 Đặt AE = x , EH =y ta có :x 2 y 2 ( x y ) 2 AH 2
2 Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH
Bài 7 : Cho tam giác nhọn ABC Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ⊥ BC, IN
⊥ AC , IK ⊥AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z
Tìm vị trí của I sao cho tổng x 2 +y 2 +z 2 nhỏ nhất
Hướ ng d ẫ n: (h.36) Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,
=(IA 2 − IK 2 ) + (IB 2 − IM 2 ) + (IC 2 − IN 2 )
= (IA 2 − IN 2 ) + (IB 2 − IK 2 ) + (IC 2 − IM 2 ) = n 2 + k 2 + m 2
⇔ I là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC
Bài 8: Cho nửa đường tròn với đường kính AB = 10 cm Một dây CD dài 6 cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A và B trên dây CD.
B trên CD Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE
Kẻ OH ⊥CD , ta tính được OH = 4cm
= OH.EF ≤ OH AB = 4.10 @ max S ABEF @ cm 2
⇔ EF // AB , khi đó OH ⊥ AB
Trong bài toán này, cho hình vuông ABCD có cạnh a Chúng ta vẽ cung BD với tâm A và bán kính a nằm trong hình vuông Một tiếp tuyến bất kỳ với cung này sẽ cắt các cạnh BC và CD tại điểm M và N Nhiệm vụ là tính độ dài nhỏ nhất của đoạn MN.
Hướ ng d ẫ n:(h.38) Đặt CM = m , CN = n , MN = x m + n + x = 2CD = 2a và m 2 +n 2 = x 2
+ min MN * ( 2 1 − ) ⇔ m = n Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của BAC
, AN là phân giác của DAC
Bài 10 yêu cầu tìm vị trí của hai tia vuông góc vẽ qua điểm A, nơi hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài Hai tia này sẽ cắt các đường tròn tại các điểm B và C Mục tiêu là xác định vị trí sao cho diện tích của tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Kẻ OD ⊥ AB ; O’E ⊥ AC ta có:
2.2AD.2AE= 2.AD.AE Đặt OA =R ; O’A = r ; AOD O AE= ' = α
Do đó : max S ABC = Rr ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin( 90 0 −α ) ⇔ α = 90 0 −α ⇔ α = 45 0
Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc
OAB O AC 45= = thì ∆ ABC có diện tích lớn nhất
Bài 11 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn
Vẽ tam giác đều ABM với A và M nằm cùng phía so với BC Đặt H là chân đường vuông góc từ C xuống MB Các điểm D, E, F, G lần lượt được xác định là trung điểm của các đoạn OC, CM.
MH, OH Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất
DEFG là hình bình hành
Kẻ OI ⊥FH , ta có OI là đường trung bình của ∆ BHC nờn OI = ẵ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên IMO 30 = 0 ⇒
Mà ED = ẵ OM ⇒ EG = GD
HFG HMO 30= = ⇒EFG 60 = 0 ⇒∆EFG đều
Trong bài 12, cho tam giác ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), với D là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A và không trùng với B, C Đặt H, I, K lần lượt là chân các đường vuông góc từ D đến các đường thẳng BC, AC, AB Gọi BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y.
DK = z a) Chứng minh rằng : b c a y z x+ b) Tìm vị trí của điểm D để tổng a b c x y z+ + nhỏ nhất
Hướ ng d ẫ n: (h.41) a) Lấy E trên BC sao cho CDE ADB ∆CDE đồng dạng với ∆ ADB
Tương tự ∆BDE đồng dạng với ∆ ADC
+ = + b) a b c x y z+ + =a a x x+ * x Do đó S nhỏ nhất ⇔ a x nhỏ nhất ⇔ x lớn nhất ⇔ D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)
Bài 13 : Cho ∆ABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh
BC Gọi P ,Q là hình chiếu của M trên AB , AC Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ
Kẻ OH ⊥ PQ Đặt BAC =α thì POH = α h.41
PQ = 2 PH = 2.OP sinα = AM sinα
PQ nhỏ nhất ⇔ AM nhỏ nhất ⇔ AM ⊥BC
Bài 14 yêu cầu xác định vị trí điểm C trên đoạn thẳng AB để tối đa hóa diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn có đường kính AB, AC và BC, vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB.
Gọi (O 1; r 1 );(O 2; r 2 );(O 3; r 3 ) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC Đặt AB = 2a , AC =2x thì r 1 = a , r 2 = x Suy ra BC * − 2x và r 3 = a − x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
Mặt khác x + (a − x) = a không đổi nên x( a −x) lớn nhất ⇔ x = a − x ⇔ x = a
Bài 15 yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài hai hình tròn (O1) và (O2), trong đó (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) Đặc biệt, bán kính của (O2) gấp đôi bán kính của (O1).
