Mởt số kián thực cỡ bÊn
ành lþ Hahn-Banach
2.1.1 ành nghắa GiÊ sỷ X l khổng gian vectỡ tổpổ trản trữớng Φ (thỹc hay phực) Têp hủp tĐt cÊ cĂc phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản têp X ữủc gồi l khổng gian liản hủp (hay khổng gian ối ngău) cừa X v kỵ hiằu l X ∗ Trản X ∗ ta ữa v o cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn vổ hữợng nhữ sau
(Λ 1 + Λ 2 )x = Λ 1 x+ Λ 2 x, ∀Λ 1 ,Λ 2 ∈ X ∗ , x ∈ X. (αΛ)x = αΛx, ∀Λ∈ X ∗ , α ∈ Φ, x ∈ X vợi cĂc ph²p toĂn n y X ∗ lêp th nh mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ trản tr÷íng Φ.
2.1.2 Bờ ã H m f : X 7−→C l phiám h m tuyán tẵnh trản X khi v ch¿ khi tỗn tÔi mởt phián h m tuyán tẵnh thỹc u 1 : X →R trản X sao cho f(x) = u 1 (x)−iu 1 (ix), ∀x ∈ X.
Bởi vì ta xây dựng không gian tuyến tính phức, f(x) là một hàm số phức xác định trên X Khi đó, f(x) = u1(x) + iu2(x), trong đó u1(x) là phần thực và u2(x) là phần ảo của f(x) Nếu ta giải phương trình bằng cách nhân các phần tử của x với các số thực, thì ta có thể coi X là một không gian tuyến tính thực Do đó, u1(x) và u2(x) trở thành hàm số tuyến tính thực trên không gian tuyến tính thực X.
Tứ (1) suy ra f(ix) =u1(ix) +iu2(ix).
Suy ra u 2 (x) =−u 1 (ix), ∀x ∈ X. thay v o (1) ta ữủc f(x) = u 1 (x)−iu 1 (ix), ∀x ∈ X.
Vêy u 1 l phiám h m tuyán tẵnh thỹc cƯn tẳm.
Ngữủc lÔi, vẳ u 1 (x) l tuyán tẵnh thỹc nản h m f(x) =u 1 (x)−iu 1 (ix) vợi mồi x ∈ X thoÊ mÂn f(x+y) =f(x) +f(y), vợi mồi x, y ∈ E Vợi mồi x ∈ E v λ = α+ iβ ∈ C ta cõ f(λx) = u 1 (λx)−iu 1 (iλx) = u 1 ((α+iβ)x)−iu 1 (i(α+iβ)x)
Vêy u l phiám h m tuyán tẵnh phực.
2.1.3 ành nghắa GiÊ sỷ X l khổng gian vectỡ, p: X → R l h m thüc Khi â,
1 p ữủc gồi l sỡ chuân trản X náu a p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0. b p(x+y) ≤p(x) +p(y), ∀x, y ∈ X.
2 p ữủc gồi l nỷa chuân trản X náu a p(x) ≥0, ∀x ∈ X. b p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ Φ. c p(x+y) ≤p(x) +p(y), ∀x, y ∈ X.
2.1.4 ành lỵ (Hahn-Banach cho khổng gian tuyán tẵnh thỹc). GiÊ sỷ X l khổng gian v²ctỡ thỹc, p l mởt sỡ chuân trản X v M l khổng gian con cừa X Náu f : M →R l phiám h m tuyán tẵnh xĂc ành trản M v thọa mÂn iãu kiằn f(x) ≤p(x), ∀x ∈ M. thẳ tỗn tÔi phiám h m tuyán tẵnh Λ : X →R xĂc ành trản to n bở khổng gian X sao cho i Λ(x) =f(x), ∀x ∈ M. ii Λx ≤ p(x), ∀x ∈ X.
Chựng minh Ta gồi mởt suy rởng cừa f l mởt phiám h m tuyán tẵnh g (tực l f(x) = g(x)) xĂc ành trản mởt khổng gian con tuyán tẵnh
Gồi F l têp tĐt cÊ cĂc suy rởng cừa f Khi õ, F 6= ∅, bði vẳ f ∈ F.
Ta xĂc ành mởt quan hằ thự tỹ bở phên trong F nhữ sau, náu g 1 , g 2 ∈ F, thẳ g 1 ≤g 2 ⇔D g1 ⊂ D g2 v g 1 (x) =g 2 (x), ∀x ∈ D g1
GiÊ sỷ D l mởt têp con sưp th¯ng cừa F Kỵ hiằu
D g Khi õ, D ∗ ⊃ M v D ∗ l mởt khổng gian con tuyán tẵnh cừa X ta cõ
Ta xĂc ành phiám h m g ∗ trản D ∗ bơng cĂch °t: g ∗ (x) = g(x).
Ta ữủc g ∗ l phiám h m tuyán tẵnh xĂc ành trản D ∗ v g ∗ ≥g, ∀g ∈ D.
Nhữ vêy, mồi têp con sưp th¯ng h ng D cừa F ãu cõ mởt lƠn cên trản trong F.
Theo Bờ ã Zorn, tỉ lệ phần trăm cục ôi là F Chúng ta chứng minh rằng phiếm hàm cựu tắm Để làm điều này, chúng ta chỉ cần chứng minh miền xác định D của Λ là toàn bộ không gian X.
PhÊn chựng D 6= X Khi õ, ∃x 0 ∈ X, x 0 ∈/ D suy ra x 0 6= 0 Kỵ hiằu
[x 0 ] l khổng gian con tuyán tẵnh mởt chiãu cừa X gƠy nản bði x 0
Kỵ hiằu Z := D+ [x0] Mội vectỡ z ∈ Z ãu cõ thº biºu diạn duy nhĐt dữợi dÔng z = x+αx0, x ∈ D (3) L§y z, z 0 ∈ D, ta câ Λ(x)−Λ(x 0 ) = Λ(x−x 0 ) ≤p(x−x 0 )
Suy ra tỗn tÔi hơng số c sao cho
G(z) = Λ(x) + αc. Khi õ, G l mởt phiám h m tuyán tẵnh trản Z, v náu x ∈ D thẳ
Náu z ∈ Z \D, thẳ trong biºu diạn z = x+αx 0 , ta cõ α 6= 0 Ch¿ cõ hai khÊ nông α > 0 ho°c α < 0.
(a) Vợi α >0 Bði vẳ (5) úng vợi mồi x ∈ D, cho nản c ≤ p( α x +x 0 )−Λ( α x ). Suy ra αc≤ αp( α x +x 0 )−αΛ( α x ) =p(x+αx 0 )−Λ(x). Suy ra Λ(x) +αc ≤p(x+αx0).
(b) Vợi α < 0 Bði vẳ (4) úng vợi mồi x ∈ D, cho nản
Vẳ vêy, G ∈ F v G ≥ Λ, G 6= Λ iãu n y mƠu thuân vợi Λ l phƯn tỷ cỹc Ôi cừa F Chựng tọ D = X.
2.1.5 ành lỵ (Hahn-Banach cho khổng gian tuyán tẵnh phực). GiÊ xỷ X l khổng gian vectỡ trản trữớng phực, p l mởt nỳa chuân trản X v M l khổng gian con cừa X Náu f :X →C l phiám h m tuyán tẵnh xĂc ành trản M v tho mÂn iãu kiằn
|f(x)| ≤p(x), ∀x ∈ M thẳ tỗn tÔi phiám h m tuyán tẵnh Λ : X →C xĂc ành trản to n bở khổng gian X sao cho i Λx = f(x), ∀x ∈ M. ii |Λx| ≤ p(x), ∀x ∈ X.
Chựng minh Ta biºu diạn f(x) dữợi dÔng (1) v nhên ữủc phiám h m tuyán tẵnh thỹc f 1 (x) xĂc ành trản khổng gian tuyán tẵnh thỹc M. ỗng thới, f 1 (x) ≤ |f 1 (x)| ≤ |f(x)| ≤p(x), ∀x ∈ M.
Theo ành lỵ 2.1.4, tỗn tÔi phiám h m tuyán tẵnh thỹc Λ 1 (x) xĂc ành trản khổng gian tuyán tẵnh thỹc X sao cho
Do p l mởt nỳa chuân, tứ b suy ra
|Λ 1 (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. °t Λ(x) = Λ 1 (x)−iΛ 2 (ix), ∀x ∈ X (6)Khi õ, Λ l mởt phiám h m tuyán tẵnh phực xĂc ành trản khổng gian tuyán tẵnh phực Tứ (2) suy ra Λ(x) = f(x), ∀x ∈ M. M°t khĂc, náu Λ(x) 6= 0, thẳ Λ(x) Λ(x)e iθ
Vẳ Λ(xe −iθ ) l số thỹc, tứ (6) suy ra Λ(xe −iθ ) = Λ 1 (xe −iθ ). suy ra |Λ(x)| = Λ 1 (xe −iθ ) ≤ p(xe −iθ ) = p(x).
2.1.6 Hằ quÊ GiÊ sỷ X l khổng gian ành chuân v x 0 ∈ X Khi õ, tỗn tÔi mởt phiám h m tuyán tẵnh Λ ∈ X ∗ sao cho Λx 0 = kx 0 k v |Λx| ≤ kxk, ∀x ∈ X.
+) Náu x0 = 0, ta lĐy Λ = 0 l h m tuyán tẵnh thuởc Λ ∈ X ∗ thọa mÂn yảu cƯu biºu thực. Λx0 = kx 0 k v |Λx| ≤ kxk, ∀x ∈ X.
+) Náu x 0 6= 0 thẳ ta lĐy p(x) =kxk v M =< x 0 > v f l h m xĂc ành bði f(αx 0 ) = αkx 0 k Khi â ta câ
• f l phiám h m tuyán tẵnh liản tửc M →C.
Suy ra theo ành lỵ 2.1.5 Hahn - Banach (cho khổng gian tuyán tẵnh phực), tỗn tÔi phiám h m tuyán tẵnh Λ : X →C sao cho
Ró r ng tứ 2) ta suy ra Λ ∈ X ∗ Do vêy,
2.1.7 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ K v C l cĂc têp con cừa X, K l têp compact, C l têp õng v K ∩C = ∅ Khi õ, tỗn tÔi lƠn cên V cừa iºm 0 sao cho
2.1.8 ành lỵ GiÊ sỷ A, B l cĂc têp lỗi khĂc rộng trong khổng gian vectỡ tổpổ X v A∩B = ∅. a Náu A mð, thẳ ∃Λ∈ X ∗ v γ ∈ R sao cho
ReΛx < γ ≤ReΛy, ∀x ∈ A,∀y ∈ B. b Náu A compact, B õng v X l khổng gian lỗi àa phữỡng, thẳ
Chựng minh Trữợc hát ta chựng minh cho trữớng hủp Λ l phiám h m thüc.
* a) L§y a 0 ∈ A, b 0 ∈ B °t x 0 = b 0 −a 0 , C = A−B +x 0 Khi â, C l mởt lƠn cên lỗi cừa 0 trong X GiÊ sỷ p l phiám h m Mincopsky cừa C Suy ra p thọa mÂn
Do õ, p thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 2.1.4.
Bði vẳ A∩B = ∅ ⇒ x0 ∈/ C, vẳ náu x0 ∈ C ⇒ x0 = a−b+x0 vợi a ∈ A, b ∈ B ⇒a = b ∈ A∩B (m¥u thu©n) Suy ra p(x 0 ) ≥ 1. ành nghắa f(tx 0 ) =t trản khổng gian con M =< x 0 >
( Náu t≥ 0, thẳ f(tx 0 ) =t ≤ tp(x 0 ) = p(tx 0 ) (do p(x 0 ) ≥ 1)
Náu t < 0, thẳ (tx 0 ) < 0 ≤p(tx 0 ) f ≤ p trản M.
Do õ, theo ành lỵ 2.1.4, tỗn tÔi phiám h m tuyán tẵnh thỹc Λ trản X thọa mÂn Λ≤ p, Λ| M = f.
Trong trữớng hủp °t biằt, Λ≤ 1 trản C suy ra Λ ≥ −1 trản -C Suy ra Λ≤ 1 trản lên cên cừa C ∩(−C) cừa 0 Suy ra Λ bà ch°n trản mởt lƠn cên cừa 0 nản Λ∈ X ∗
Trong không gian A và B, ta có mối quan hệ Λa−Λb+ 1 = Λ(a−b+x 0 ) ≤ p(a−b+ x 0 ) < 1, với Λ(x 0 ) = f(x 0 ) = 1 và a−b+x 0 thuộc C Điều này dẫn đến kết luận rằng Λa < Λb Hơn nữa, Λ(A) và Λ(B) là các tập hợp lỗi rời nhau, trong đó Λ(A) nằm bên trái của Λ(B) trong R Do đó, Λ là ánh xạ từ A vào Λ(A).
* b) Do A compact, B õng, X lỗi àa phữỡng nản tỗn tÔi lƠn cên lỗi cõa 0 sao cho
Theo định lý, nếu A và B là hai tập hợp trong không gian R, tồn tại một ánh xạ Λ ∈ X* sao cho Λ(A+V) và Λ(B) không giao nhau và lỗi trong R, thì Λ(A+V) nằm hoàn toàn bên trái của Λ(B) Nếu Λ(A) là tập compact trong R và nằm trong Λ(A+V), ta có thể suy ra rằng γ1 là điểm bên phải của Λ(A), γ2 là điểm nằm giữa γ1 và một điểm bên trái của Λ(A+V).
2.1.9 Hằ quÊ Náu X l khổng gian lỗi àa phữỡng, thẳ X ∗ tĂch cĂc iºm cõa X.
Chựng minh Náu x 1 , x 2 ∈ X, x 1 6= x 2 X²t A = {x 1 }, B = {x 2 } Khi õ A, B l cĂc têp lỗi rới nhau, A compact, B õng trong khổng gian lỗi àa phữỡng X Do õ, Ăp dửng ành lỵ 2.1.8b suy ra tỗn tÔi Λ ∈ X ∗ sao cho Λ(x 1 ) 6= Λ(x 2 ).
Vêy X ∗ tĂch cĂc iºm cừa X.
2.1.10 ành lỵ GiÊ sỷ M l khổng gian con cừa khổng gian lỗi àa phữỡng X v x 0 ∈ X Náu x 0 ∈/ M, thẳ tỗn tÔi Λ ∈ X ∗ sao cho Λx 0 = 1 v Λx = 0, ∀x ∈ M.
Chựng minh °t A= {x 0 }, B = M Khi õ A, B l cĂc têp lỗi rới nhau trong khổng gian lỗi àa phữỡng, A compact, B õng Do õ, Ăp dửng ành lỵ 2.1.8b, thẳ ∃Λ ∈ X ∗ sao cho Λx 0 v Λ(M) rới nhau Bði vẳ
M l khổng gian con nản Λ(M) l khổng gian con cừa trữớng vổ hữợng Suy ra Λ(M) ={0} v Λx 0 6= 0 Λ ð Ơy ta cõ thº chồn sao cho Λx 0 = 1.
2.1.11 ành lỵ GiÊ sỷ M l khổng gian con cừa khổng gian lỗi àa phữỡng X v f: M → Φ l phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản M Khi õ, phiám h m tuyán tẵnh liản tửc Λ ∈ X ∗ sao cho Λ(x) = f(x), ∀x ∈ M.
+) Náu f = 0 trản M, ta lĐy Λ = 0 trản X nản Λ∈ X ∗ l phiám h m cƯn tẳm.
0 ) ⇒f(x 0 ) = 1 l giĂ trà cƯn tẳm). Bði vẳ f liản tửc nản x 0 ∈/ M 0 M v bði vẳ tổpổ trản M l cÊm sinh tứ tổpổ trản X suy ra x0 ∈/ M0
Theo ành lỵ 2.1.10, tỗn tÔi Λ∈ X ∗ sao cho Λx 0 = 1, Λ| M 0 = 0.
0 = Λ(x−f(x)x 0 ) = Λx−f(x)Λx 0 = Λx−f(x) Suy ra Λ = f trản M Nản ta suy ra Λ(x) = f(x), ∀x ∈ M.
2.1.12 ành lỵ GiÊ sỷ B l têp lỗi, cƠn v õng trong khổng gian lỗi àa phữỡng X v x 0 ∈ X những x 0 ∈/ B Khi õ, tỗn tÔi phiám h m Λ∈ X ∗ sao cho |Λ(x)| ≤ 1, ∀x ∈ B Khi â Λ ∈ X ∗ sao cho
Chứng minh rằng tập A = {x₀} là compact và có lỗi nản A, B là các tập thỏa mãn điều kiện 2.1.8b Do đó, tồn tại Λ₁ ∈ X* sao cho Λ₁(x₀) = re iθ nằm trong khoảng K = Λ₁(B) Bởi vì B còn nản K cụng cơn, điều này dẫn đến kết luận cần thiết.
Khi â Λ = S −1 e −iθ Λ 1 cõ tẵnh chĐt thọa mÂn yảu cƯu b i toĂn.
TổPổ Yáu
2.2.1 Bờ ã GiÊ sỷ F = {f : X → Y f ; Y f l khổng gian Hausdosff }. Náu hồ F tĂch cĂc iºm trản X, thẳ tổpổ Ưu trản X l Hausdosff.
Chúng ta xem xét hai điểm khác nhau trong không gian X, được ký hiệu là p và q, với điều kiện rằng hàm f lấy giá trị khác nhau tại hai điểm này, tức là f(p) không bằng f(q) Để chứng minh điều này, chúng ta cần tìm hai tập mở U1 và U2 trong không gian Hausdorff, sao cho U1 chứa f(p) và U2 chứa f(q).
U 1 ∩ U 2 = ∅ trong Y f M°t khĂc, do f liản tửc nản f −1 (U1)∩f −1 (U2) = ∅.
2.2.2 Bờ ã Náu (X, τ 1 ) l mởt T 2 −khổng gian, cỏn (X, τ 2 ) l khổng gian compact v τ 1 ⊂ τ 2 thẳ τ 1 = τ 2
Chứng minh rằng một tập hợp F là tập compact trong không gian (X, τ2) khi F là tập compact trong không gian (X, τ1) Do τ1 thuộc τ2, suy ra F cũng là tập compact trong τ1 Giả sử U = {Uα}α∈I là một phủ mở của F trong τ1, từ đó suy ra U là một phủ mở của F trong (X, τ2).
Do (X,τ 1 ) l T 2 −khổng gian nản F õng trong (X, τ 1 ).
2.2.3 Bờ ã Náu X l khổng gian tổpổ compact v {f n } l mởt dÂy cĂc h m thỹc liản tửc tĂch cĂc iºm trản X, thẳ X l khổng gian khÊ metric.
Chựng minh GiÊ sỷ τ l tổpổ trản X Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ rơng |fn| ≤ 1, vợi mồi n °t d(p, q) ∞
Nản f n (p) =f n (q) Suy ra p= q Vẳ giÊ sỷ ngữủc lÔi p 6= q, do {f n } tĂch cĂc iºm cừa X nản ∃n 0 ∈ N ∗ sao cho f n 0 (p) 6= f n 0 (q) ⇒ d(p, q) > 0 iãu n y dăn án mƠu thuăn. ii) Hiºn nhiản d(p, q) =d(q, p) Ta cõ
Suy ra d(p, q) = d(q, p). iii) GiÊ sỷ p, q, r bĐt ký thuởc X Khi õ, d(p, q) ∞
Tứ i), ii) v iii) suy ra d l mởt metric trản X.
Gồi τ d l tổpổ sinh bði metric d trản X Bði vẳ X ìX l compact nản chuội (∗) hởi tử ãu trản X Do õ, d l Ănh xÔ liản tửc theo tổpổ τ. Suy ra hẳnh cƯu
Vẳ (X, τ d ) l T 2 − khổng gian v (X, τ) l khổng gian compact nản Bờ ã 2.2.2 ta suy ra τ d = τ.
2.2.4 Bờ ã GiÊ sỷ Λ 1 ,Λ 2 , ,Λ n v Λ l cĂc phiám h m tuyán tẵnh trản khổng gian vectỡ X °t
Khi õ ba tẵnh chĐt sau l tữỡng ữỡng a Tỗn tÔi cĂc vổ hữợng α 1 , α 2 , , α n sao cho Λ = α1Λ1 + +αnΛn. b Tỗn tÔi γ < ∞ sao cho
* (a)⇒(b) GiÊ sỷ tỗn tÔi α 1 , , α n sao cho Λ = α 1 Λ 1 + +α n Λ n
*(b)⇒(c) GiÊ sỷ tỗn tÔi 0< γ < ∞ sao cho
* ( ) ⇒ Gồi l trữớng vổ hữợng cừa XĂc ành Ănh xÔ π: X →Φ n x 7→(Λ 1 x, ,Λ n x).
Khi õ, π l Ănh xÔ tuyán tẵnh vẳ Λ i l Ănh xÔ tuyán tẵnh, ∀i = 1, n trản X X²t tữỡng ựng f: π(x) → Φ π(x) 7→ f(π(x)) = Λx.
Khi õ, f l Ănh xÔ vẳ náu π(x) = π(y) ⇔Λi(x) = Λi(y), ∀i ∈ N.
Suy ra f l phiám h m tuyán tẵnh (do Λ, π tuyán tẵnh) trản khổng gian con π(x) cừa Φ n theo ành lỵ 2.1.5, tỗn tÔi phiám h m tuyán tẵnh z trản Φ n , sao cho z/π(x) =f, (z : Φ n → Φ).
Khi õ, ∀(x 1 , , x n ) ∈ Φ n luổn ∃α 1 , α 2 , , α n ∈ Φ sao cho z(u1, , un) =α1u1 + + αnun. Nản Λx = f(πx) = z(πx) = z(Λ 1 x, ,Λ n x) = α 1 Λ 1 x+ +α n Λ n x. Vêy Λ =f(π) = z(π) = z(Λ 1 , ,Λ n ) = α 1 Λ 1 + +α n Λ n
2.2.5 ành lỵ GiÊ sỷ X l khổng gian vectỡ, cỏn X 0 l khổng gian vectỡ cĂc phiám h m tuyán tẵnh trản X tĂch cĂc iºm cừa X Khi õ, tổpổ Ưu τ 0 trản X sinh bði X 0 bián X th nh khổng gian lỗi àa phữỡng m èi ng¨u cõa nâ l X 0
Vẳ R v C ãu l T2−khổng gian nản theo Bờ ã 2.2.1 ta cõ (X, τ 0 ) l
Vợi Λ1, ,Λn bĐt ký thuởc X 0 , r1, , rn > 0 °t
Khi õ, hồ tĐt cÊ cĂc têp cõ dÔng (1) lêp th nh cỡ sð àa phữỡng cừa (X, τ 0 ) v ta cõ V lỗi, cƠn.
Thêt vêy, do cĂc phƯn tỷ cừa X 0 tuyán tẵnh nản V cƠn, lỗi v αV + βV = (α+ β)V; α, β ∈ ΦR + +) V C¥n L§y x ∈ V, α ∈ Φ, |α| ≤1 Khi â
+) Ph²p cởng liản tửc vẳ V = 1 2 V + 1 2 V.
+) Ph²p nhƠn vổ hữợng liản tửc.
Vợi x bĐt ký thuởc X, α bĐt ký thuởc Φ v αx+V l lƠn cên mð cừa αx Khi õ, tỗn tÔi s > 0 sao cho x ∈ sV LĐy r > 0 sao cho r(s+r) + |α|r < 1 (Dòng tam thùc r 2 + (|α|+s)r −1< 0, do a.c < 0), khi â ∀β ∈ Φ thọa mÂn v , ta cõ βy −αx= (β −α)y +α(y −x).
Do õ, tỗn tÔi w = x+ rV l lƠn cên cừa y v ∀β ∈ B(α, r), ta cõ βw ⊂ αx+V.
Suy ra ph²p nhƠn vổ hữợng liản tửc.
Gồi X ∗ ={f: phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trản X} Chựng minh
BƠy giớ lĐy Λ bĐt ký thuởc X ∗ Khi õ, tỗn tÔi V cõ dÔng (1) sao cho
Nghắa l tỗn tÔi Λ 1 , ,Λ n ∈ X 0 v cĂc số dữỡng r 1 , , r n sao cho
|Λ i x| < γ 1 = max{r i : i = 1, n} suy ra γ|Λ i x| < 1, ∀i = 1, n suy ra γmax{|Λ i x| :i = 1, n}< 1 suy ra
Suy ra Λ thọa mÂn Bờ ã 2.2.4 (b) nản theo Bờ ã 2.2.4a suy ra tỗn tÔi α 1 , , α n ∈ Φ, sao cho Λ = α1Λ1 +α2Λ2 + +αnΛn.
Vẳ X 0 l khổng gian vectỡ Λi ∈ X 0 suy ra Λ∈ X 0 Do õ, X ∗ ⊂ X 0 (iv)
Tứ (iii) v (iv ) suy ra X ∗ = X 0
2.2.6 ành nghắa GiÊ sỷ X l khổng gian vectỡ tổpổ vợi tổpổ τ sao cho ối ngău X ∗ cừa nõ tĂch ữủc cĂc iºm trản X Tổpổ Ưu trản X sinh bði hồ X ∗ ữủc gồi l tổpổ yáu cừa X v kỵ hiằu l τw.
* Khổng gian vợi tổpổ yáu τw ữủc kẵ hiằu Xw.
1 Tứ ành lỵ 2.2.5 ta suy ra rơng X w l mởt khổng gian lỗi àa phữỡng m ối ngău cừa nõ chẵnh l X ∗
2 Vẳ τw l tổpổ yáu nhĐt trản X sao cho tĐt cÊ cĂc phiám h m tuyán tẵnh Λ ∈ X ∗ liản tửc v vẳ ∀Λ ∈ X ∗ liản tửc theo tổpổ xuĐt phĂt τ (tổpổ cho trữợc) nản τw ⊂ τ v τ gồi l tổpổ xuĐt phĂt.
3 Ta nõi rơng dÂy {x n } ⊂ X hởi tử yáu án 0, kỵ hiằu l xn
→ω 0 náu vợi mồi lƠn cên cừa 0 theo tổpổ yáu ãu chựa cĂc xn, vợi n ừ lợn.
4 Têp con E cừa X l bà ch°n yáu ⇔ ∀Λ∈ X ∗ , ãu ∃ γ(Λ) < ∞. Sao cho
5 Náu X l khổng gian vectỡ tổpổ vổ hÔn chiãu thẳ mồi lƠn cên yáu cừa 0 ãu chựa mởt khổng gian vổ hÔn chiãu.
6 Tứ ành lỵ 2.2.5 suy ra rơng (X w ) w = X w
2.2.8 ành lỵ Náu E l mởt têp con lỗi cừa khổng gian lỗi àa phữỡng X Khi õ, bao õng yáu E w cừa E trũng vợi bao õng E cừa nõ theo tổpổ xuĐt phĂt.
Ta cõ E w l mởt têp õng theo tổpổ yáu nản X\E l mởt têp mð trong τ w , suy ra
X\E w ∈ τ suy ra E w õng theo tổpổ xuĐt phĂt Do õ, E ⊂ Ew (1).
LĐy x0 ∈ X sao cho x0 ∈/ E Ta chựng minh x0 ∈/ Ew Thêt vêy, {x 0 } -compact E l mởt têp õng, {x 0 } ∩E = ∅ Trong khổng gian lỗi àa phữỡng X, Ăp dửng ành lỵ 2.1.8(b) Suy ra
U = {x ∈ X : ReΛx < γ} l mởt lƠn cên mð cừa x 0 theo tổpổ yáu, U ∩ E = ∅ Suy ra x 0 ∈/ E w Suy ra E w ⊂E (2)
2.2.9 ành lỵ GiÊ sỷ X l khổng gian lỗi àa phữỡng khÊ metric Náu dÂy {x n } trong X hởi tử yáu tợi phƯn tỷ x n o õ thuởc X, thẳ trong X câ d¢y {y i } sao cho a Mội y n l tờ hủp lỗi cừa hỳu hÔn cĂc x n b y i i→∞ → x theo tổpổ xuĐt phĂt.
* (a) Ta gồi H l bao lỗi cừa {x n : n = 1,2 }
P n=1 α in = 1, ch¿ câ húu h¤n α in 6= 0o
Gồi K l bao õng yáu cừa H Khi õ, vẳ {x n } ⊂ H v x n → ω x nản x ∈ K Vẳ H lỗi nản theo ành lỵ 2.2.8 ta cõ H = K Do õ x ∈ H.
* (b) Vẳ X vợi tổpổ xuĐt phĂt l khÊ metric nản tỗn tÔi dÂy {y i } ⊂ H sao cho y i i→∞ → x (theo tổpổ xuĐt phĂt).
2.2.10 Mằnh ã GiÊ xỷ X l khổng gian vectỡ tổpổ, X ∗ l khổng gian liản hủp cừa nõ Vợi mội x ∈ X, ta xĂc ành Ănh xÔ f x : X ∗ →Φ cho bði f x (Λ) = Λx, ∀Λ ∈ X ∗ Khi õ, {f x :x ∈ X} l hồ phiám h m tuyán tẵnh tĂch ữủc cĂc iºm cừa X ∗
Chùng minh. f x tuyán tẵnh, ∀x ∈ X Vợi Λ, Λ 0 bĐt ký thuởc X ∗ ; ∀α, β ∈ Φ ta cõ f x (αΛ +βΛ 0 ) = (αΛ +βΛ 0 )(x)
LĐy Λ, Λ 0 bĐt ký thuởc X ∗ v Λ6= Λ 0 , khi õ, ∃x ∈ X : Λx 6= Λ 0 x suy ra f x (Λ) = Λx 6= Λ 0 x = f x (Λ 0 ).
Vêy hồ {f x } x∈X tĂch ữủc cĂc iºm cừa X ∗
2.2.11 ành nghắa Tổpổ Ưu trản X ∗ sinh bði hồ {f x : x ∈ X} ữủc gồi l tổpổ yáu ∗ trản X ∗
1 Theo ành lỵ 2.2.5 thẳ tổpổ yáu ∗ l mởt tổpổ lỗi àa phữỡng trản khổng gian
2 Mội phiám h m tuyán tẵnh liản tửc yáu ∗ trản X ∗ cõ dÔng Λ 7→ Λx vợi mội x n o õ thuởc X.
Chựng minh Theo ành lỵ 2.2.5 ta suy ra ối ngău cừa X ∗ theo tổpổ yáu l X, nghắa l mội phián h m tuyán tẵnh liản tửc yáu ∗ ãu cõ dÔng f x
CĂc têp Lỗi compact
2.3.1 ành lỵ Tikhổrốp ([4] Trang 90) a Náu tẵch ãcĂc Q x∈X
D x cừa hồ khổng gian tổpổ khĂc rộng D x l mởt khổng gian compact thẳ Dx l compact vợi mồi x ∈ X. b Tẵch cừa mởt hồ khổng gian compact l mởt khổng gian compact.
2.3.2 ành lỵ (Banach - Alaoglu) Náu V l lƠn cên cừa 0 trong khổng gian vectỡ tổpổ X, thẳ têp hủp
(K ữủc gồi l pổla cừa V v kỵ hiằu l V 0 ).
Chựng minh GiÊ sỷ X l khổng gian vectỡ tổpổ, V l lƠn cên cừa iºm
0 ∈ X Bði vẳ mội lƠn cên cừa 0 l têp hút, nản mội x ∈ X, tỗn tÔi γ(x) ch¿ phử thuởc x, γ(x) < ∞ sao cho x ∈ γ(x)V Khi õ, vợi mồi x ∈ X, Λ∈ K Ta câ
Vẳ Dx compact trong Φ, ∀x ∈ X nản theo ành lỵ Tikhổrốp ta cõ P compact vợi tổpổ tẵch τ, v ta cõ
Suy ra trản K cõ hai tổpổ ữủc cÊm sinh tứ X ∗ (tổpổ yáu ∗ ) v tứ P (tổ pổ τ).
Do vêy, º chựng minh K - compact yáu ∗ ta chựng minh hai iãu sau a Trản K, tổpổ yáu ∗ v tổpổ tẵch trũng nhau. b K âng trong (P, τ).
(GiÊi thẵch Vẳ K õng trong (P, τ) - compact nản K l têp compact theo τ Trản K, τ trũng vợi tổpổ yáu ∗ Do õ, K têp compact yáu ∗ ).
∗ Chựng minh (a) GiÊ sỷ Λ0 bĐt ký trong K Vợi x1, x2, , xn ∈ X v δ >0 Ta °t
• Do ối ngău cừa X ∗ l X ((X ∗ ) ∗ = X) nản ta cõ thº ỗng nhĐt f x vợi x,∀x ∈ X, tực l f x = x Khi õ, ta cõ
Suy ra theo ành nghắa tổpổ Ưu thẳ W 1 l mởt lƠn cên cừa Λ 0 v hồ cĂc têp cõ dÔng (1) tÔo th nh mởt cỡ sð lƠn cên yáu ∗ tÔi Λ 0 trong X ∗
B(Λ 0 x i, δ) nản hồ cĂc têp cõ dÔng (2) tÔo th nh mởt cỡ sð lƠn cên cừa τ tÔi Λ 0 trong P.
• Bði vẳ W1 ∩K = W2 ∩K iãu õ chựng tọ (a) ữủc thọa mÂn.
∗ Chùng minh (b) º chùng minh K âng trong (P, τ) ta chùng minh
K τ = K Thêt vêy, giÊ sỷ f0∈K τ Khi õ, ∀ε > 0; x, y ∈ X; α, β ∈ Φ, ta cõ têp hủp
U = {f ∈ P : |f(z i )−f 0 (z i )| < ε, i = 1,2,3} trong â z1 = x, z2 = y, z3 = αx+ βy l mởt lƠn cên cừa f 0 trong (P, τ) Do f 0 ∈ K τ nản U ∩K 6= ∅ Suy ra f˜∈ U ∩K.
Bði vẳ f liản tửc nản ta cõ f0(αx+βy)−αf0(x)−βf0(y)
Do õ f 0 tuyán tẵnh Ta lÔi cõ f˜(x)−f(x 0 )
Vêy f 0 tuyán tẵnh v |f 0 (x)| ≤ 1, ∀x ∈ V suy ra f 0 ∈ K ⇒ K τ = K. Suy ra (b) thọa mÂn.
2.3.3 ành lỵ Náu X l khổng gian vectỡ tổpổ khÊ ly, náu K ⊂ X ∗ v
K l têp compact yáu ∗ thẳ K khÊ metric theo tổpổ yáu ∗
Chựng minh Vẳ X khÊ ly nản tỗn tÔi têp con ám ữủc trũ mêt
Tứ ành nghắa tổpổ yáu ∗ ta cõ f n liản tửc, ∀n = 1,2,
M°t khĂc {f n } tĂch cĂc iºm cừa X ∗ Thêt vêy, vợi mồi Λ,Λ 0 ∈ X ∗ sao cho Λ6= Λ 0 GiÊ thiát phÊn chựng f n (Λ) = f n (Λ 0 ),∀n = 1,2, , tực l Λ(x n ) = Λ 0 (x n ), vợi mồi n = 1,2,
Bði vẳ Λ 6= Λ 0 nản tỗn tÔi x ∈ X sao cho Λ(x) 6= Λ 0 (x n ) Suy ra tỗn tÔi
U, V lƯn lữủt l cĂc lƠn cên cừa Λx,Λ 0 x, sao cho U ∩V = ∅ Khi õ, x ∈ Λ −1 (U)∩Λ 0−1 (V) = W.
Suy ra W l lƠn cên cừa x, vẳ {x n , n ∈ N ∗ }= X nản W chựa mởt x n n o õ Suy ra Λx n ∈ U, Λ 0 x n ∈ V, U ∩V = ∅ iãu õ dăn án mƠu thuăn nản Λx n = Λ 0 x n p dửng Bờ ã 2.2.3 (K = X) suy ra K khÊ metric theo tổpổ yáu ∗
2.3.4 Hằ quÊ Náu V l lƠn cên cừa 0 trong khổng gian vectỡ tổpổ khÊ ly X v náu {Λ n } l dÂy trong X ∗ sao cho |Λ n x| ≤ 1, ∀x ∈ V thẳ tỗn t¤i d¢y con {Λ n i } ⊂ {Λ n } v Λ ∈ X ∗ sao cho Λx = lim n i →∞Λn i x, ∀x ∈ X. Chựng minh Gồi
Theo hình 2.3.2, ta có K là tập compact theo yêu cầu ∗ Dựa vào hình 2.3.3, ta thấy K là tập metric Từ đó, ta suy ra rằng {Λ n} ⊂ K là tập metric compact, tồn tại một tập con {Λ n i} ⊂ {Λ n} sao cho Λ n i → Λ ∈ K, với K = Λ −1 [B(0,1)] suy ra K là tập compact.
Tứ ành nghắa tổpổ yáu ta cõ Λn i →Λ theo tổpổ yáu ∗
2.3.5 ành lỵ GiÊ sỷ X l khổng gian vectỡ tổpổ sao cho khổng gian liản hủp X ∗ l tĂch cĂc iºm cừa X v giÊ sỷ A, B l cĂc têp lỗi compact khĂc rộng rới nhau cừa X Khi õ, tỗn tÔi mởt phiám h m Λ∈ X ∗ sao cho sup x∈A
Chựng minh GiÊ sỷ X w l khổng gian vectỡ tổpổ vợi tổpổ yáu Khi õ,
A, B l cĂc têp compact trong X w (τ w ⊂ τ; A, B compact theo τ) Vẳ
X w l T 2 −khổng gian (tổpổ yáu sinh bði hồ tĂch cĂc iºm thẳ nõ l
Trong không gian T2, các tập con A và B là các tập con trong không gian Xw Không gian Xw được xác định theo định nghĩa trong chương II, khi thay thế X bằng Xw, ta có thể suy ra tồn tại phiám h m tuyán tẵnh Λ thuộc Xw* Đặc biệt, khi xét (Xw)* = X*, ta có thể kết luận rằng Λ thuộc X* sao cho sup x∈A ReΛx < inf y∈B Reλy.
2.3.6 Bờ ã GiÊ sỷ W l mởt lƠn cên cừa 0 trong X Khi õ, tỗn tÔi mởt lƠn cên ối xựng U cừa 0 sao cho U + U ⊂ W.
Chựng minh Nhớ tẵnh liản tửc cừa ph²p cởng tÔi iºm (0, 0) nản vợi lƠn cên W cừa iºm 0 trong X, tỗn tÔi cĂc lƠn cên V 1 , V 2 cừa 0 ð trong
Khi õ, U l lƠn cên cƯn tẳm.
2.3.7 ành lỵ Náu X l khổng gian lỗi àa phữỡng v H l bao lỗi cừa têp ho n to n bà ch°n , thẳ l têp ho n to n bà ch°n.
Chựng minh GiÊ sỷ U l lƠn cên cừa 0 ∈ X Khi õ, tỗn tÔi mởt lƠn cên lỗi cừa 0 ∈ X sao cho V +V ⊂U (do X lỗi àa phữỡng v Bờ ã 2.1.13).
Vẳ E ho n to n bà ch°n nản tỗn tÔi têp hỳu hÔn F ⊂ X sao cho
E ⊂F +V. GiÊ sỷ F = {x 1 , , x n } Gồi S l ỡn hẳnh chựa R m
P i=1 tixi l Ănh xÔ liản tửc tứ têp compact
S lản convF Suy ra convF l têp compact.
Ta s³ chùng minh H = convE ⊂ convF +V.
Vẳ convF l têp compact, suy ra convF l têp ho n to n bà ch°n, suy ra tỗn tÔi F 0 hỳu hÔn convF ⊂ F 0 + V suy ra
Suy ra iãu phÊi chựng minh.
2.3.8 ành lỵ GiÊ sỷ H = conv(K), K compact khổng gian vectỡ tổpổ Khi õ, a Náu X l khổng gian Fr²chet, thẳ H l têp compact. b Náu X = R n thẳ H l têp compact.
+ Bao õng cừa mởt têp ho n to n bà ch°n l têp ho n to n bà ch°n trong khổng gian metric.
+ trong khổng gian metric Ưy ừ thẳ têp ho n to n bà ch°n ⇔ compact t÷ìng èi.
Với tập K compact trong không gian X− Fr²chet, ta suy ra rằng K là một tập hoàn toàn Theo hình 2.1.14, tập conv(K) cũng là một tập hoàn toàn, do đó H = conv(K) là một tập compact trong không gian này.
P i=1 t i = 1} ⊂ R n+1 , K l têp compact chùa R n Suy ra x ∈ conv(K) ⇔x n+1
(t;x 1 , x 2 , , x n+1 ) 7→ t 1 x 1 +t 2 x 2 + +t n+1 x n+1 Suy ra conv(K) compact hay H l têp compact.
Sau mởt thới gian tẳm hiºu v nghiản cựu ã t i n y, tĂc giÊ Â thu ữủc nhỳng kát quÊ nhữ sau:
(1) Nhưc lÔi nhỳng kián thực cỡ bÊn cừa GiÊi tẵch h m, ữa ra mởt trong nhỳng ành lỵ quan trồng cừa GiÊi tẵch h m l ành lỵ
(2) Nhớ ành lỵ Hahn-Banach tĂc giÊ Â chựng minh chi tiát mởt số bờ ã, ành lỵ cỡ bÊn cừa Tổpổ yáu, Têp lỗi compact.
(3) Tẳm hiºu v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ trong t i liằu [1],
[2] v [3] vã khổng gian vectỡ tổpổ l m cỡ sð cho ã t i nghiản cựu.