Microsoft Word Tap chi DHTT Chuan in 3 doc TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO SỐ 02 – THÁNG 3 NĂM 2016 30 ẢNH HƯỞNG CỦA TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ LÊN RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BẤT BIẾN TRONG CÂY VÀ ĐỒ THỊ PHẲNG Influe[.]
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ẢNH HƯỞNG CỦA TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ LÊN RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BẤT BIẾN TRONG CÂY VÀ ĐỒ THỊ PHẲNG Influences of graph’s quality on the invariables’ relationship in tree and plane graph ThS Khổng Chí Nguyện* ThS Vũ Thị Khánh Trình* ThS Nguyễn Văn Dân* TÓM TẮT Lý thuyết đồ thị ngành Tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng Tin học thực tế Những ý tưởng đề nhà toán học Thuỵ sĩ Leonhar Euler (1707-1783) Ông dùng đồ thị để giải toán tiếng cầu Konigsberg Bằng mơ hình đồ thị, giải nhiều tốn thực tế như: tìm cách để tham quan triển lãm cho hành lang qua lần, tìm số mầu để tơ mầu đồ, biểu diễn ảnh hưởng lẫn cá nhân tổ chức hay cạnh tranh lồi mơi trường tự nhiên Giữa tính chất đồ thị bất biến đồ thị có mối liên hệ ràng buộc chặt chẽ với Bài báo trình bày số kết ảnh hưởng tính chất đồ thị lên ràng buộc bất biến đồ thị phẳng Từ khóa: đồ thị; cây; đồ thị phẳng; cạnh; đỉnh ABSTRACT Graph Theory is a Mathematic field which has many important applications in Informatics and in reality The basic ideas were proposed by the Swiss Mathematician - Leonhar Euler (17071783) He used graphs to solve the famous problem of brigdes in Konigsberg By using graph models, we can solve many factual problems such as looking for a way to visit an exhibition so that each corridor is passed only once, finding the fewest numbers of colours to colour a map, showing an mutual effects among individuals in a group or a competition among species in natural environment… There is a close relationship between graph’s features and the invariables in graph This paper only presents some results of the effects of the former on the relationship among the latter in tree and plane graphs Key word: graph; tree; plane graph; vertex; edge I Đặt vấn đề∗ Mối liên hệ tính chất đồ thị ràng buộc số bất biến đồ thị nghiên cứu với hình thành phát triển lý thuyết đồ thị Các kết trình bày rải rác nhiều tài ∗ Trường Đại học Tân Trào 30 SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 liệu tác giả khác lý thuyết đồ thị, tài liệu có liên quan Bài báo tập hợp kết trình bày chúng theo chủ đề: “Ảnh hưởng tính chất đồ thị lên ràng buộc bất biến đồ thị phẳng” Một số phát tác giả trình bày TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO II Nội dung nghiên cứu Một số khái niệm 1.1 Đồ thị Đồ thị vô hướng cặp G = (V , E ) , V tập hợp đó, cịn E tập tập {(u , v ) | u , v ∈ V , u ≠ v} , v ∈V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị G Cạnh (u , v ) ∈ E ký hiệu đơn giản uv hay vu Như vậy, đồ thị ta xét đồ thị vô hướng, khun khơng có cạnh bội Ta cịn gọi đồ thị đơn đồ thị vô hướng Tập đỉnh tập cạnh đồ thị G thường ký hiệu tương ứng V (G) E (G ) Ta gọi số đỉnh đồ thị G cấp đồ thị G, ký hiệu | V | hay | V ( G ) | ; số cạnh đồ thị G gọi cỡ đồ thị G, ký hiệu | E | hay | E ( G ) | Nếu cạnh V ′ ⊆ V E ′ ⊆ E Nếu G ′ ⊆ G G ' chứa tất cạnh G mà nối hai đỉnh V', G ' gọi đồ thị cảm sinh G lên tập đỉnh V'và ký hiệu G[V'] Nếu G ′ ⊆ G V ′ = V G' gọi đồ thị bao trùm đồ thị G Nếu W ⊆V G − W = G[V − W ] đồ thị nhận từ G cách xoá tất đỉnh W tất cạnh liên thuộc với đỉnh Tương tự, E ′ ⊆ E G − E ′ = G (V , E − E ′) Nếu G′ ⊆ G x , y ∈ V (G ) hai đỉnh không kề G G + xy đồ thị nhận từ G cách thêm cạnh nối x với y 1.2 Liên thông đồ thị Hai đỉnh phân biệt x y đồ thị G = (V , E ) gọi liên thông, có | E |= m = Cn gọi đồ thị đầy đủ cấpn, ký đường từ x đến y G = (V , E ) Đồ thị G gọi liên thông cặp đỉnh phân biệt G liên thông với Đồ thị liên thông cực đại G gọi thành phần liên thơng đồ thị Như đồ thị liên thông thành phần liên thơng Nói cách khác đồ thị đầy đủ Một đỉnh x ∈ V ( G ) gọi đỉnh cắt đồ thị cặp đỉnh kề Đồ thị G = (V , E ) có cấp n≠ cỡ G − x có nhiều thành phần liên thông đồ thị G Tương tự, cạnh e ∈ E ( G ) gọi m= gọi đồ thị rỗng cấp n, ký hiệu E hay O Nói cách khác đồ thị rỗng đồ thị cầu G−e có nhiều thành phần liên thông đồ thị G khơng có cặp đỉnh kề Đồ thị K = E gọi đồ thị Giả sử G = (V , E ) đồ thị liên ta nói u v hai đỉnh kề G, hay cạnh e liên thuộc với hai đỉnh u v Đồ thị G = (V , E ) có cấp | V |= n cỡ e = uv ∈ E ( G ) , hiệu Kn n n tầm thường Giả sử G = (V , E ) x đỉnh tuỳ ý đồ thị Ta gọi tập N ( x ) = {y ∈ V | y ≠ x , xy ∈ E} tập đỉnh kề x (hay gọi tập đỉnh láng giềng x) Số | N(x) | gọi bậc đỉnhx đồ thị G ký hiệu deg( x) Nếu deg ( x ) = x gọi đỉnh lập 1.3 Đồ thị Ta nói đồ thị G ′ = (V ′, E ′ ) gọi đồ thị đồ thị G = (V , E ) ký hiệu thơng, cịn W ⊆V thoả mãn G−W khơng liên thơng, tập đỉnh W gọi tách đượcđồ thị G Nếu hai đỉnh s t G thuộc hai thành phần liên thông khác đồ thị G−W ta nói W tách s với t Tương tự, E ′ ⊆ E thoả mãn G − E′ khơng liên thơng, tập cạnh E' gọi tách đồ thị G, hai đỉnh s t G thuộc hai thành liên thơng khác G − E′ ta nói E' tách s với t Đồ thị G = (V , E ) gọi k- liên thông ( k ≥ 2) G đồ thị đầy đủ K k +1 SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 , 31 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO G có k + đỉnh khơng có tập k −1 đỉnh tách Giá trị cực đại k để đồ thị G k - liên thông gọi độ liên thông G ký hiệu κ (G) Tương tự giá trị cực đại k để đồ thị k- liên thông cạnh gọi độ liên thông cạnh G ký hiệu λ(G) Một số kết ảnh hưởng tính chất đồ thị lên ràng buộc bất biến lớp đồ thị phẳng 2.1 Cây Đồ thị vơ hướng liên thơng, khơng có chu trình gọi cây, ký hiệu T = (V , E ) Một đồ thị khơng có chu trình, khơng thiết liên thơng gọi rừng Như thành phần liên thông rừng Định lý [3] Giả sử T = (V , E ) đồ thị vô hướng có cấp n cỡ đề sau tương đương: m Khi mệnh (iii) T đồ thị liên thông m = n − 1.1 (i) → (ii) Giả sử T = (V , E ) Khi T khơng có chu trình Ta chứng minh m = n − qui nạp theo n Với n = 1, khẳng định hiển nhiên Vì m = =1−1 = n −1 Giả sử khẳng định chứng minh cho có số đỉnh nhỏ n Xét T = (V , E ) với | V |= n e ∈ E (T ) cạnh Khi đồ thị T −e khơng liên thơng, trường hợp ngược lại T có chu trình chứa cạnh e Mâu thuẫn với T Suy T −e có thành phần liên thơng, khơng có chu trình T = (V , E ) T = (V , E ) Thật vậy, T −e 2 có nhiều thành phần liên thơng T 32 T2 có số đỉnh nhỏ n Theo giả thiết qui nạp, ta có | E i |= | V i | − với i = 1, Suy ra: m = | E | + | E | + = (| V1 | − 1) + (| V | − 1) + = n − 1.2 (ii) → (iii) Để chứng minh (iii) ta cần chứng minh T liên thông Ta chứng minh qui nạp theo n Với n = 1, khẳng định Giả sử khẳng định chứng minh cho đồ thị có cấp nhỏ n Nếu T = (V , E ) khơng liên thơng, T có thành ), ≤ i ≤ k k ≥2 T i = (V i , E i Ti , phần liên thông Mỗi thành phần i ∈ 1, 2, , k , đồ thị liên thơng, khơng có chu trình Do m = Ti , ≤ i ≤ k | E i | = | V i | − 1, ≤ i ≤ k ∑|E i =1 cây, Khi ta có: k i |= ∑ (|V i | − 1) = n − k , k ≥ i =1 Mâu thuẫn với giả thiết m = n − Vậy T liên thông 1.3 (iii) → (i) Giả sử T không Khi T có chu trình, chẳng hạn C Lấy e ∈ E ( C ) Chứng minh T1 k (ii) T đồ thị liên thơng khơng có chu trình m = n − ; n = | V1 | + | V | v m = | E | + | E | + (i) T cây; không liên thông Mâu thuẫn với T Khi ta có: SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 cạnh xét đồ thị T −e Ta có T −e đồ thị liên thơng Nếu T −e khơng T −e chứa chu trình C ' đồ thị (T − e ) − e ′ , e ′ ∈ E ( C ′) , đồ thị liên thông Thực trình ta thu T * Theo chứng minh 1.1(i) → (ii), * T có n - cạnh n đỉnh Điều suy khơng có cạnh T bị xoá Vậy T Định lý chứng minh xong.■ Hệ [4] Một cấp n có cỡ n - Một rừng cấp n k thành phần liên thơng có cỡ n - k ■ Trong lớp đồ thị cây, có gốc có nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO quản lý liệu máy tính hay việc mơ hình hố hệ thống cấu tổ chức Để tìm hiểu có gốc, cơng nhận định lý sau Định lý [3] Một đồ thị cặp đỉnh tồn đường ■ Trong T = (V , E ) , xét đỉnh đặc biệt, r ∈ V (T ) , gọi gốc T Khi định rõ gốc ta gán cho cạnh hướng từ gốc Cây T = (V , E ) với gốc r ∈ V (T ) sinh đồ thị có hướng gọi có gốc Như từ ta chuyển thành có gốc cách chọn đỉnh tuỳ ý làm gốc Giả sử T = (V , E ) có gốc r ∈ V (T ) Cha đỉnh v ∈ V (T ), v ≠ r , đỉnh u ∈ V (T ) cho có cạnh từ u đến v, u trùng với r Nếu đỉnh u cha đỉnh v, đỉnh v gọi đỉnh u Các đỉnh có cha gọi anh em Tổ tiên đỉnh x ∈ V (T ), x ≠ r tất đỉnh đường từ gốc r tới x, dòng dõi đỉnh x ∈ V (T ) tất đỉnh coi x tổ tiên Những đỉnh mà gọi đỉnh lá, cịn đỉnh khác gọi đỉnh trong, đỉnh gốc r ∈ V (T ) đỉnh Khi | V (T ) |= V = { r } lúc r gọi đỉnh Nếu a ∈ V (T ) đỉnh cây, gốc a, đồ thị cảm sinh xét tập đỉnh bao gồm a dịng dõi Một có gốc gọi m - phân tất đỉnh có khơng q m Cây m - phân gọi đầy đủ đỉnh có m Cây m phân với m = gọi nhị phân Chú ý x ∈ V (T ) đỉnh deg ( x ) ≤ m Sau ta xét số kết quan trọng m - phân Ta ký hiệu n, t l tương ứng số đỉnh, số đỉnh số đỉnh m - phân Định lý [3] Giả sử T = (V , E ) mphân đầy đủ cấp n với t đỉnh Khi n = mt + Chứng minh Với x ∈V , x ≠ r , x đỉnh đỉnh Trong t đỉnh này, đỉnh có m Do có mt đỉnh khác gốc r Suy m- phân đầy đủ có n = mt + đỉnh ■ Định lý [3] Giả sử m - phân đầy đủ T = (V , E ) có cấp n, t đỉnh n đỉnh Khi biết đại lượng đại lượng xác định Cụ thể là: (i) t = n +1 m Nếu l = T có ( m − 1) n + m cấp n ; (ii) Nếu T có t đỉnh n = mt +1 l = ( m − 1)t + 1; (iii) n= ml − m −1 Nếu t = l − T có m −1 l đỉnh Chứng minh Giả sử T = (V , E ) có cấp n Ta giả sử t số đỉnh trong, l số đỉnh T Vì có gốc có hai loại đỉnh, đỉnh đỉnh Do ta ln có đẳng thức n = t + l Bây ta chứng minh khẳng định (i), (ii) (iii) định lý (i) Theo định lý ta có n = mt +1 Suy ra: t= n −1 m l = n − t = n − n −1 m = n ( m − 1) + m (ii) Giả sử m- phân đầy đủ có t đỉnh Khi theo định lý đẳng thức SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 33 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO n = t + l , ta suy t + l = mt + Do đó: l = ( m − 1)t + Hiển nhiên n = mt +1 (định lý 4) (iii) Giả sử m - phân đầy đủ T = (V , E ) có l đỉnh Khi theo định lý đẳng thức n = t + l , ta suy ra: l = n−t = n− n −1 m ⇔ m l = nm − n + ⇔ n = Do ta có: = nm − n + m −1 t = n−l = h phân hồn tồn deg (u ) = m với đỉnh ml − m −1 −l = l −1 m −1 ■ Chiều cao có gốc T, ký hiệu x∈V Cây m - phân có chiều cao h gọi cân đối mức h h Cây m - phân hoàn toàn m - phân đầy đủ mức Định lý sau nêu lên mối quan hệ số chiều cao Định lý [3] Giả sử T = (V , E ) m - phân có chiều cao h, số l Khi l≤m h Chứng minh Ta chứng minh khẳng định qui nạp theo h Trước hết ta xét m - phân có chiều cao h = Những dạng gồm đỉnh gốc đỉnh Do đỉnh Vì có khơng q m = m m - phân chiều cao h = 1 Giả sử khẳng định chứng minh cho m - phân có chiều cao h Ta xét m - phân T = (V , E ) có chiều cao nhỏ h Xoá tất cạnh nối từ gốc đến đỉnh mức Ta thu không m m - phân gốc có chiều cao h = Theo giả SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 u với đỉnh v ∈ V , µ (v ) = h = h(T ) Khi đó, số đỉnh T l = m Từ ta xác định cấp T số đỉnh T nhờ định lý 5(iii) h h = h(T ) = max µ (v) 34 h −1 Nhận xét [3] Nếu T = (V , E ) m - Ta xét tham số khác chiều cao có gốc Ta định nghĩa mức đỉnh v ∈V làđộ dài đường từ gốc r ∈V tới v ký hiệu µ (v) Như µ ( v ) = d ( r , v ) với v ∈ V (T ) h h m ml − thiết qui nạp số đỉnh không m − đỉnh Do tổng số đỉnh không m.m = m Mặt khác rõ ràng đỉnh m - phân T có chiều cao h đỉnh m - phân chiều cao h = nói T Vì vậy, số đỉnh T l ≤ m ■ 2.2 Đồ thị phẳng Đồ thị G = (V , E ) gọi đồ thị phẳng, ta biểu diễn mặt phẳng cho cạnh G không giao giao đỉnh chung chúng Ta đồng đồ thị phẳng G với biểu diễn phẳng mặt phẳng Trong đồ thị phẳng G = (V , E ) , miền phần mặt phẳng giới hạn cạnh G không bị chia thành phần nhỏ cạnh khác Ký hiệu F tập miền đồ thị phẳng, số | F |= f số miền đồ thị phẳng, f ≥ Ảnh hưởng tính chất đồ thị lên ràng buộc bất biến thể tương đối rõ nét qua qua định lý sau đồ thị phẳng Định lý [1] Giả sử G = (V , E ) đồ thị phẳng, liên thơng có n đỉnh, miền Khi đó: n − m + f = m cạnh f Chứng minh Ta chứng minh khẳng định qui nạp theo số miền f Với f = 1, G khơng có chu trình Vì đồ thị G liên thông, nên G Theo hệ m = n − Do vậy, ta có TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO n − m + f = n − ( n − 1) + = Khẳng định cho trường hợp f = Giả sử khẳng định chứng minh cho đồ thị phẳng có số miền nhỏ f , f ≥ Ta xét đồ thị phẳng liên thông G Chu vi lớn G, ký hiệu c(G) hay c, độ dài chu trình lớn G Nếu đồ thị khơng có chu trình, ta qui ước g = c = +∞ Như với đồ thị G = (V , E ) ta có ≤ g (G ) ≤ c (G ) ≤ +∞ Định lý 10 [4], [1].Giả sử đồ thị phẳng, liên thông G = (V , E ) có n đỉnh, m cạnh, f miền có f ≥ miền Khi đó, G có chu trình, chẳng hạn C Nếu xy cạnh thuộc tập E(C) , xy liên thuộc chu vi nhỏ g thoả mãn ≤ g < +∞ Khi với hai miền G Suy G − xy đồ thị G = (V , E ) phẳng có m−1 cạnh, f − miền n đỉnh Theo giả thiết qui nạp ta có: n − ( m − 1) + ( f − 1) = ⇔ n − m + f = ■ Định lý 9.12 [4] Giả sử G = (V , E ) đồ thị phẳng có n đỉnh, m cạnh, f miền k thành phần liên thơng Khi n − m + f = k + với G i = (Vi , E i ) ≤ i ≤ k thành phần liên thông đồ thị G Mỗi thành phần G , ≤ i ≤ k , đồ thị i phẳng, liên thông Ký hiệu f i = | Fi |, ≤ i ≤ k ni − m i + fi = , n i = | V i |, m i = | E i | Theo định lý 1, ta có ≤ i ≤ k Vì i ≠ j,1 ≤ i, j ≤ k,Vi ∩Vj = ∅ , nên với k ∑ ni = n i =1 k ∑ mi = m i =1 Ta nhận xét thấy đồ thị phẳng, liên thông G , ≤ i ≤ k có chung miền ngồi i cùng, tức miền có biên khơng giới hạn Vì k miền đếm k lần ∑ f i i =1 Do đó: k f = ∑ Suy ra: f i − k + k ∑ (n i − mi + fi ) − k + i =1 k = g −2 (n − 2) (Bất đẳng thức cạnh - (ii) f ≤ 2m (Bất đẳng thức cạnh - miền) Chứng minh Giả sử ∑ − k + = k − k + = k + ■ i =1 Giả sử đồ thị G = (V , E ) có chu trình Chu vi nhỏ đồ thịG, ký hiệu g(G) hay g, độ dài chu trình ngắn E = { e1 , e , , e m } , F = {R1 , R2 , , Rf } Ta thành lập ma trận cạnh - miền X = ( xij )mf , đó: xij = e cạnh biên R j ; i xij = ei không cạnh biên R j ; cho i = 1,2, , m j = 1, 2, , f Vì cạnh biên nhiều miền, nên hàng có nhiều chữ số Mặt khác có cạnh biên miền tạo thành chu trình, nên số chữ số cột g ≥ Gọi N số chữ số ma trận X Khi ta có gf ≤ N ≤ m Vì g ≥ nên f ≤ gf ta có bất đẳng thức cạnh - miền f ≤ m Mặt khác, theo công thức Euler cho đồ thị phẳng ta có: f = m − n + Suy ra: g ( m − n + 2) ≤ m ⇔ ( g − 2) m ≤ g ( n − 2) i =1 n−m+ f = g đỉnh), Định lý gọi công thức Euler cho đồ thị phẳng Chứng minh Giả sử (i) m ≤ ⇔m≤ g g −2 (n − 2) ■ Từ công thức Euler cho đồ thị phẳng bất đẳng thức cạnh - miền, cạnh - đỉnh ta có hệ sau quan hệ cạnh - đỉnh số lớp đồ thị phẳng cụ thể SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 35 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO Hệ 11 [3] Giả sử G = (V , E ) đồ thị phẳng, liên thơng có miền Khi đó: n đỉnh, m cạnh f (i) Nếu n≥ m ≤ 3( n − 2) ; (ii) Nếu n≥ khơng có chu trình độ dài 3, m ≤ 2( n − 2); (iii) Nếu n≥ chu trình độ dài 4, m ≤ ( n − 2) Chứng minh (i) Nếu G khơng có chu trình, G liên thông nên G Do f = Theo định lý 11 ta có n − m + f = 2, nên m = n + f − = n + − ≤ ( n − 2) + ( n − 2) = 2( n − 2) Suy m < 3( n − 2) Khẳng định G khơng có chu trình Giả sử G có chu trình ≤ g < +∞ Theo định lý 13 ta có: m≤ g g −2 Hệ 12 [3] Nếu G = (V , E ) đồ thị phẳng - phần, liên thông với n≥ đỉnh m cạnh m ≤ 2( n − 2) Chứng minh Vì G đồ thị 2- phần, nên G khơng có chu trình độ dài lẻ Nói riêng G khơng có chu trình độ dài Sử dụng hệ 4(ii), ta có điều phải chứng minh ■ Hệ 12 trường hợp riêng định lý 16 Kết nghiên cứu Tập I ⊆ V đồ thị G = (V , E ) gọi tập độc lập đồ thị cảm sinh G[I] đồ thị rỗng Tập độc lập với số đỉnh nhiều G, gọi tập độc lập đỉnh củaG Ký hiệu α (G) số đỉnh tập độc lập đỉnh lớn gọi số độc lập đỉnh đồ thị G Định lý 13 Giả sử T = (V , E ) m phân có chiều cao h α (T ) số độc lập đỉnh T Khi đó: (n − 2) ⇔ g(m − n + 2) ≤ 2m Suy 3( m − n + 2) ≤ 2m ⇔ m ≤ 3( n − 2) (ii) Nếu G khơng có chu trình, G liên thơng, nên G f = Theo định ta suy ra: m = n +1− = n −1 = n − n − ≤ n − − = 2( n − 2) Vậy khẳng định G khơng có chu trình (i) α ( T ) ≤ + m Nếu h chẵn h + m + + m ; (ii) Nếu h lẻ α (T ) ≤ h m + m + m + + m Chứng minh (i) Ta ký hiệu r đỉnh gốc I tập độc lập đỉnh lớn T Ký hiệu: I = { x ∈ V ( T ) | µ ( x ) = k , k = , , ., h } k Giả sử G có chu trình Khi ≤ g < +∞ Theo chứng minh định lý 10 công thức Euler cho đồ thị phẳng, ta có: gf ≤ m ⇔ 4( m − n + 2) ≤ m ⇔ m ≤ 2( n − 2) Rõ đồ thị cảm sinh đồ thị rỗng Mặt khác, ràng T [ I k ], k = 0, 2, 4, , h theo định lý 3, ta suy đỉnh I k (iii) Nếu G khơng có chu trình, G liên thơng Suy G Do f = Theo định không kề với đỉnh lý sinh 1, ta có m = n + f − = n −1 đồ thị rỗng Hơn T [ I ∪ I ∪ ∪ I h ] , nên I ∩ I ∩ ∩ I k = ∅ Vì khẳng định đúng, G khơng có chu trình | I | = | I | + | I | + + | I h | 5( m − n + 2) ≤ m ⇔ 3m ≤ 5( n − 2) ■ 36 SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 với k ≠ k ′ k , k ′ = 0, 2, 4, , h Do đồ thị cảm 3m = 3n − = 5n − 2n − ≤ 5n − 2.4 − < 5n −10 Giả sử G có chu trình Khi ≤ g < +∞ Theo định lý ta có gf ≤ 2m hay: I k′ Bây ta tính Ký hiệu Tk | Ik | ta có: với k = 0, 2, 4, , h đồ thị cảm sinh m - phân T = (V , E ) lên tập đỉnh mức k TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO tổ tiên chúng Như phân có chiều cao k, Khi đó, Ik m- tập đỉnh định theo Tk lý ta lý sau có: Định lý 14 [3] Giả sử k | I k |≤ m , k = 0, 2, 4, , h Suy ra: h α ( T ) = | I |≤ m + m + m + + m (ii) Giả sử h lẻ r gốc T = (V , E ) Xét T' gốc r Khi h (T ′) = h − số chẵn Theo chứng minh (i), ta có: n đỉnh Khi l (Tn ) = l n , h = m + m + m + + m ■ h Cây Fibonacci T định nghĩa n số l (Tn ) ln n ≥ ■ Ký hiệu α ( T ) ≤ m α ( T ′ ) ≤ m (1 + m + m + + m − 1) Ký hiệu số Fibonacci thứ n cho hệ thức truy hồi sau: với l1 = 1, l = 1, l n = l n − + l n − h Mặt khác, có không m kiểu T' Suy T n = (V n , E n ), n ≥ Fibonacci thứ α ( T ′ ) ≤ + m + m + + m − số Fibonacci thứ n Ta có định Tn Fibonacci chiều cao h n = h ( Tn ) Tn , n ≥ Định lý 15 [3] h n = h (Tn ) = n − , n ≥ Chứng minh Ta chứng minh khẳng định qui nạp theo n Với n=3 ta có h = 1, n − = − = Khẳng định cho n=3 cách đệ qui sau: (i) T1 T có gốc gồm đỉnh; Giả sử khẳng định chứng minh cho Fibonacci T với ≤ k < n (ii) Với n = 3, 4, Khi Tn xây dựng từ Fibonacci Tn − k với Tn − có gốc r Tn bên trái Tn − bên phải tuỳ ý Như Fibonacci nhị phân Theo định lý 5(iii), biết số T n ln = l (Tn ) số đỉnh cịn cấp t (Tn ) = l n − | V (Tn ) |= l n −1 Vì ta cần xác định số Tn , n ≥ có số Để xác định số T1 T3 T1 T2 ta tính T Ta có: l ( Tn ) = l ( Tn −1 ) + l (Tn − ) Như dãy số kiện ban đầu hay: nghĩa có: h ( T gốc rn − n Tn − rn với gốc Theo ra: h n rn − Rõ ràng theo định Fibonacci, ta ) = h (Tn − ) + giả thiết = h ( T n ) = ( n − 3) + = n − qui nạp Suy Vậy khẳng định cho T n ■ Định lý 16.Giả sử G = (V , E ) đồ thị {ln } Chứng minh Giả sử đồ thị phẳng, liên thông, k - phần G = (V ∪ V ∪ ∪ V , E ) l n = l n −1 + l n − thoả mãn hệ thức , với n≥ với điều l = 1, l Tn − nối phẳng k - phần, liên thông với k ≥ 2, n ≥ đỉnh m cạnh Khi đó: m ≤ 2(k − 1)(n − k ) Tiếp tục, Fibonacci thứ n có số lá: l n = l n −1 + l n − rn ∉ V ( T n − ) ∪ V ( T n − ) l ( T3 ) = l = l1 + l = + = truy hồi: cách lấy đỉnh h ( T n − ) = ( n − 1) − = n − Theo định nghĩa Fibonacci, tổng số hai Tn − k k ≥ 2,Vi ∩Vj = ∅ cho i ≠ j ,1 ≤ i , j ≤ k | V i |= n i , ≤ i ≤ k Với cặp Vi và Vj , ≤ i , j ≤ k , i ≠ j , đồ thị cảm sinh SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016 37 = Vậy số đỉnh TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO G[Vi ∪Vj ] đồ thị - phần, ta ký hiệu Suy ra: ∑ là: mij ≤ 1≤i < j ≤ k ∑ [2(n + n ) − 4] i j 1≤ i < j ≤ k Gij = (Vi ∪Vj , Eij ), | Eij |= mij =2 ∑ [(n + n ) − 2] i j 1≤i < j ≤ k Gij đồ thị phẳng - phần, liên thông Sử dụng hệ 12, ta có: mij ≤ 2(ni + nj ) − Tổng có Ck đồ thị - phần Gij , i ≠ j ,1 ≤ i , j ≤ k ) , rõ ràng tập cạnh chúng rời ∑ Ta có: mij = m, 1≤ i < j ≤ k ∑ (n + n ) = (k − 1)n + (k − 1)n i j 1≤ i < j ≤ k = ( k − 1)( n + n + + n k ) = ( k − 1) n + + (k − 1)nk hay m ≤ 2[( k − 1) n − k ( k − 1)] = 2( k − 1)( n − k ) ■ III Kết luận Bài báo trình bày số kết tài liệu khác ảnh hưởng cuả tính chất đồ thị lên ràng buộc bất biến lớp đồ thị phẳng Phần lớn kết liên quan đến số cạnh số đỉnh đồ thị Định lý 13 Định lý 16 kết TÀI LIỆU THAM KHẢO B Bollobas, Graph Theory an Introductory Course, New York - Heidelberg Berlin, 1979; R J McElice, R.B Ash, C Ash, Introduction to Discrete Mathematics, McGraw Hall Book Company, 1989; K H Rosen, Dicrete Mathematics and Its Application, 2, McGraw - Hill Book Company, 1991; R Wilson, Introduction to Graph Theory, Longman,1975 B Bollobas et all (Editors), Proceeding of Symposia in Applied Mathematics, 14, Probability Combinators and Its Applications, American Mathematical Society, 1991; O Ore, Theory of Graphs, American Mathemetican Society, Province, XXXVIII, 1962 38 SỐ 02 – THÁNG NĂM 2016