Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương 3 A Lý thuyết 1 Phương pháp quy nạp toán học 1 1 Định nghĩa Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm nh[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học 1.1 Định nghĩa Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau: * với n - Bước Kiểm tra mệnh đề với n = - Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n = k + Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt phương pháp quy nạp 1.2 Ví dụ áp dụng - Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có: n(n 1) n (*) Lời giải: Bước 1: Với n = ta có: Vế trái = vế phải = Vậy hệ thức với n = Bước 2: Giả sử hệ thức với số tự nhiên n = k ≥ tức là: k(k 1) k (1) Ta cần chứng minh hệ thức với n = k + 1, tức là: (k 1)(k 2) k k 1 (2) Thật vậy: Vế trái = + + 3+ … + k + k + k(k 1) k 1 (Do đẳng thức (1)) = k (k 1).(k 2) (k 1). 1 VP 2 Vậy hệ thức cho với số tự nhiên n ≥ - Ví dụ Chứng minh với n 1, ta có bất đẳng thức 1.3.5 (2n 1) 2.4.6 2n 2n 1 Lời giải: - Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: 1 (đúng) Vậy bất đẳng thức cho với n = - Giả sử bất đẳng thức cho với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức : 1.3.5 (2k 1) (1) 2.4.6 2k 2k 1 -Ta chứng minh bất đẳng thức cho với n = k + 1, tức : 1.3.5 (2k 1)(2k 1) (2) 2.4.6 2k(2k 2) 2k Thật vậy, ta có : VT(2) 1.3.5 (2k 1) 2k 1 2.4.6 2k 2k 2 2k 1 2k 1 (theo (1)) 2k 1 2k 2 2k 2 Ta chứng minh: 2k 2k 2k 1 2k 2k (do hai vế dương) 2k Hay (2k + 1).(2k + 3) < (2k + 2)2 4k2 + 6k + 2k + < 4k2 + 8k + < (luôn đúng) Vậy bất đẳng thức cho với số tự nhiên n ≥ - Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p phải chứng minh với n = k + 3 Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: * u: n * gọi dãy số vô u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển: u1, u2, u3,…,un, , Trong đó, un = u(n) viết tắt (un), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số - Ví dụ: a) Dãy số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u1 = 2, số hạng tổng quát un = 2n b) Dãy số tự nhiên chia hết cho 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u1 = 5, số hạng tổng quát un = 5n Định nghĩa dãy số hữu hạn - Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, , m} với m * gọi dãy số hữu hạn - Dạng khai triển u1, u2, u3,…, um, u1 số hạng đầu, um số hạng cuối - Ví dụ a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 dãy số hữu hạn có u1 = 4; u6 = 19 1 1 1 b) 1, , , , , dãy số hữu hạn có u1 = 4; u6 = 6 Cách cho dãy số 5.1 Dãy số cho công thức số hạng tổng quát - Ví dụ a) Cho dãy số (un) với un = n2 (1) Từ cơng thức (1), ta xác định số hạng dãy số Chẳng hạn, u10 = 102 = 100 Nếu viết dãy số dạng khai triển ta được: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n2,… (1)n b) Dãy số (un) với u n có dạng khai triển là: n 1 1 (1) n 1, , , , , , , , n 5.2 Dãy số cho phương pháp mơ tả Ví dụ Số số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn 1,414213562 Nếu lập dãy số (un) với un giá trị gần thiếu số 10-n thì: với sai số tuyệt đối u1 = 1,4 ; u2 = 1,41; u3 = 1,414; u4 = 1,4142,… Đó dãy số cho phương pháp mơ tả, cách viết số hạng liên tiếp dãy 5.3 Dãy số cho phương pháp truy hồi Cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) b) Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước - Ví dụ Dãy số (un) xác định sau: u1 1;u u 2u 3u (n 3) n n 1 n 2 Dãy số dãy số cho phương pháp truy hồi 6 Biểu diễn hình học dãy số Vì dãy số hàm số * nên ta biểu diễn dãy số đồ thị Khi mặt phẳng tọa độ, dãy số biểu diễn điểm có tọa độ (n ; un) Ví dụ: Dãy số (un) với u n n 1 có biểu diễn hình học sau: n Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn 7.1 Dãy số tăng, dãy số giảm - Định nghĩa 1: Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un +1 > un với n * Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un +1 < un với n * - Ví dụ Dãy số (un) với un = – 2n dãy số giảm Thật vậy, với n * xét hiệu un +1 – un Ta có: un +1 – un = – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – < Do un +1 – un < nên un +1 < un với n Vậy dãy số cho dãy số giảm - Chú ý: * Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn dãy số (un) với un = (– 1)n tức dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng không giảm 7.2 Dãy số bị chặn - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho: u n M, n * - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho: u n m, n * - Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m; M cho: m u n M, n - Ví dụ Dãy số (un) với u n * bị chặn < un ≤ n Định nghĩa cấp số cộng - Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ sai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng - Nếu (un) cấp số cộng với cơng sai d, ta có cơng thức truy hồi: un+1 = un + d với n * (1) - Đặc biệt, d = cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) - Ví dụ Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = Số hạng tổng quát cấp số cộng - Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un xác định công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ - Ví dụ Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 1; d = a) Tìm u10 b) Số 106 số hạng thứ bao nhiêu? Lời giải: a) Số hạng thứ 10 u10 = u1 + (10 – 1)d = + 9.5 = 46 b) Ta có: un = u1 + (n – 1)d Vì un =106 nên: 106 = + (n – 1).5 105 = (n – 1).5 21 = n – nên n = 22 Vậy 106 số hạng thứ 22 10 Tính chất số hạng cấp số cộng - Định lí 2: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu số cuối) trung bình cộng hai số đứng kề với nó, nghĩa là: uk u k 1 u k 1 ; k 11 Tổng n số hạng đầu cấp số cộng - Định lí: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un Khi đó: Sn n(u1 u n ) - Chú ý: un = u1 + (n – 1)d nên ta có: Sn nu1 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + a) Tìm u1 d b) Tính tổng 40 số hạng n(n 1) d c) Biết Sn = 187, tìm n Lời giải: a) Ta có: u1 = 2.1 + = 7; u2 = 2.2 + = Suy ra, d = u2 – u1 = b) Tổng 40 số hạng là: S40 40.7 40(40 1) 1840 c) Ta có: Sn nu1 n(n 1) d nên: n(n 1) 2 187 7n n n 187 7n n2 + 6n – 187 = n 11 n 17 Vì n nguyên dương nên n = 11 12 Định nghĩa cấp số nhân - Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân - Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un + = un q với n * - Đặc biệt Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, …., 0,… Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1, …., u1,… Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, - Ví dụ Dãy số hữu hạn sau cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u1 = công bội q = 13 Số hạng tổng quát cấp số nhân - Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1.qn - với n ≥ - Ví dụ Cho cấp số nhân (un) với u1 = – 1; q = – a) Tính u6; b) Hỏi 128 số hạng thứ Lời giải: a) Ta có: u6 = u1 q5 = –1 (– 2)5 = 32 b) Ta có: un = u1.qn - nên 128 = – (– 2)n - (– 2)n - = – 128 = (– 2)7 n – = nên n = Vậy 128 số hạng thứ 14 Tính chất số hạng cấp số nhân - Định lí: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: u 2k u k 1.u k 1 ; k ( hay u k u k 1.u k 1 ) 15 Tổng n số hạng đầu cấp số nhân - Định lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ Đặt Sn = u1 + u2 + …+ un u1 (1 q n ) Khi đó: Sn 1 q - Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1, u1, u1,….u1,….Khi đó, Sn = n.u1 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3; u2 = Tính tổng số hạng đầu tiên? Lời giải: Ta có: u2 = u1.q nên = 3q Suy ra, công bội q = Khi đó, tổng số hạng là: u1 (1 q8 ) 3.(1 38 ) S8 9840 1 q 3 B Bài tập tự luyện Bài Với số nguyên dương n, chứng minh: n(n 1).(2n 1) 12 22 32 n Lời giải: 1(1 1)(2.1 1) - Với n = vế trái = 12 = vế phải = Vậy đẳng thức với n = - Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 1, tức là: k(k 1).(2k 1) 12 22 32 k - Ta chứng minh đẳng thức với n = k + 1, tức chứng minh 12 22 32 k (k 1) (k 1) (k 1) 1 2(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3) 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k(k 1).(2k 1) 12 22 32 k k(k 1).(2k 1) 12 22 32 k (k 1) (k 1) (1) Mà k(k 1)(2k 1) k(k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 (k 1) 6 k 1 k 2k 1 k 1 k 1 2k 7k k 1 2k 4k 3k k 1 2k k k (k 1)(k 2)(2k 3) (2) (k 1)(k 2)(2k 3) Do đẳng thức với n = k + Suy có điều phải chứng minh Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 4, ta có: 2n + > n2 + 3n Lời giải: Bước 1: Với n = vế trái 24 + = 32 vế phải 42 + 3.4 = 28 Do 32 > 28 nên bất đẳng thức với n = Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 4, nghĩa 2k + > k2 + 3k Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức phải chứng minh 2(k + 1) + > (k + 1)2 + 3(k + 1) hay 2k + > k2 + 5k + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k + > k2 + 3k Suy ra, 2.2k + > 2.(k2 + 3k) hay 2k + > 2k2 + 6k Mặt khác: 2k2 + 6k – (k2 + 5k + 4) = k2 + k – ≥ 42 + – = 16 với k ≥ Do đó, 2k + > 2k2 + 6k > k2 + 5k + hay bất đẳng thức với n = k + Suy bất đẳng thức chứng minh Bài Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh 7n + chia hết cho với n ≥ Lời giải: Thật vậy: Với n = 71 + = 12 ⁝ Giả sử mệnh đề với n = k ≥ 1, nghĩa 7k + chia hết cho Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa phaỉ chứng minh k + + chia hết cho Ta có: 7k + + = 7(7k + 5) – 30 Từ (1); (2) suy 12 22 32 k (k 1) Theo giả thiết quy nạp (7k + 5) ⁝ nên 7(7k + 5) ⁝ Lại có: 30 ⁝ nên (7k + + 5) ⁝ Vậy 7n + chia hết cho với n ≥ Bài Viết năm số hạng đầu dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức: a) u n n 1 ; 2n b) un = – 2n; c) u n n1 Lời giải: a) Ta có: u1 1 1 3 1 1; u ; u 2 2 u4 1 5 1 ; u 16 16 24 25 b) Ta có: u1 = – 2.1 = 2; u2 = – 2.2 = 0; u3 = – 2.3 = – 2; u4 = – 2.4 = – 4; u5 = – 2.5 = – 1 1 c) Ta có: u1 ; u ; u ; u ; u u1 Bài Cho dãy số (un) với 2n u u n n 1 a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp Lời giải: n a) Ta có: (1)2n (1)2 1n Do đó; un + = un + (– 1)2n = un + Suy ra: u2 = u1 + = 2; u3 = u2 + = u4 = u3 + = 4; u5 = u4 + = b) Từ đó, ta dự đoán un = n Thật vậy, ta chứng minh un = n (1) phương pháp quy nạp sau: + Với n = u1 = Vậy (1) với n = + Giả sử (1) với n = k ≥ 1, ta có: uk = k Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức là: uk + = k + + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có: uk+ = uk + (– 1)2k = k + Vậy (1) với số tự nhiên n ≥ Bài Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un) sau : 2n 13 a) u n ; 3n n 3n b) u n n 1 Lời giải: a) Xét hiệu 2n 11 2n 13 u n 1 u n 3n 3n (2n 11).(3n 2) (2n 13).(3n 1) (3n 1).(3n 2) 6n 4n 33n 22 6n 2n 39n 13 (3n 1).(3n 2) 35 0; n 1 (3n 1)(3n 2) Suy ra, un + > un n Do đó, dãy (un) dãy tăng Mặt khác: u n 35 11 u n n 3(3n 2) (vì 3n – ≥ với n ≥ nên : 35 35 35 35 11 ) 3(3n 2) 3 3(3n 2) 3 Vậy dãy (un) dãy bị chặn (n 1)2 3(n 1) n 3n b) Xét hiệu: u n 1 u n n2 n 1 2 n 5n n 3n n2 n 1 (n 5n 5)(n 1) (n 3n 1)(n 2) (n 1)(n 2) n 3n n (n 1)(n 2) u n1 u n n dãy (un) dãy số tăng n 2n 1 Lại có : u n n nên dãy (un) bị chặn n 1 Bài Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: a) u n ; n n2 2n n! Lời giải: a) Ta có: un > với n ≥ Xét thương : u n 1 1 : 2 un n 1 n 1 n n b) u n n2 n n2 n n * n 3n (n 1) (n 1) Suy ra: un +1 < un với n ≥ nên dãy (un) dãy số giảm - Lại có: n n n * n n2 Vậy < un < nên dãy (un) dãy số bị chặn b) Ta có: un > với n ≥ Xét thương : u n 1 2n 1 2n 2n 1 n! : n n u n (n 1)! n! (n 1)! n 1 Suy ra: un +1 < un với n ≥ nên dãy (un) dãy số giảm Vì u n u1 n nên dãy (un) dãy số bị chặn Bài Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1 = 12; u6 = – 18 Tìm u8 Lời giải: Theo đề ta có; u1 12 u1 12 u 12 u 18 u1 5d 18 d Suy ra: u8 = u1 + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30 Bài 9.Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng sau biết: u u 21 a) ; u u 30 u u 14 b) u u 21 Lời giải: u u 21 a) u u 30 u 2d u1 5d 21 u1 3d u1 8d 30 21 u 2u 7d 21 2u1 11d 30 d Vậy số hạng đầu u1 21 công sai d u u 14 u 2d u1 4d 14 b) u u 21 (u1 d).(u1 3d) 21 2u1 6d 14 (1) (u1 d).(u1 3d) 21 (2) Từ (1) suy ra: u1 = – 3d thay vào (2) ta được: (7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21 (7 – 2d) = 21 – 2d = nên d = Suy ra: u1 = – 3.2 = Vậy u1 = công sai d = Bài 10 Cho cấp số cộng (un) với un = 3n + a) Tìm u1 d b) Tính tổng 20 số hạng c) Biết Sn = 209, tìm n Lời giải: a) Ta có: u1 = 3.1 + = 4; u2 = 3.2 + = Suy ra, d = u2 – u1 = b) Tổng 20 số hạng là: S20 20.4 20(20 1) 650 c) Ta có: Sn nu1 209 4n n(n 1) d nên: n(n 1) 418 = 8n + 3n2 – 3n 3n2 + 5n – 418 = n 11 38 n Vì n nguyên dương nên n = 11 Bài 11 Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 u2 = Viết số hạng tổng quát cấp số nhân; biết q > ? Lời giải: Theo đầu ta có: u 108 u1.q3 108 (1) u u 1.q (2) Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: u1 q 108 hay q2 = 36 u1q Suy ra; q = (vì q > 0) Thay vào (2) ta được: u1 = nên u1 Do đó, số hạng tổng quát cấp số nhân cho là: u n n Bài 12 Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân Tìm bốn số đó? Lời giải: Khi chèn thêm số vào số 160 5, ta cấp số nhân với: u1 = 160 u6 = Vì u6 = u1.q5 nên = 160.q5 1 q5 q 32 Khi đó: 1 u 160 80; u 160. 40; 2 1 1 u 160. 20;u 160. 10 2 2 u 6 Bài 13 Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Tính u1? S 43 Lời giải: u 6 Ta có: S3 43 u1q u1q u1 (1 q ) u1 (1 q q ) 43 q 43 u1 (1) u1q q u1 u1 q u1q 43 u u q u q 43 (2) 1 Thế (1) vào (2) ta được: 6 q q 43 q q q Suy ra: + 6q + 6q2 = 43q 6q2 – 37q + = q q + Với q = u1 6 + Với q u1 36 6 Vậy u1 = u1 = 36 u u 120 Bài 14 Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn Tính S7? u u 60 Lời giải: u u 120 Ta có: u u 60 u1q u1q 120 u1q 3(1 q ) 120 (1) 2 u1q u1q 60 u1q (1 q ) 60 (2) Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: q = Thay q = vào (1) ta được: u1 23 (1 + 22) = 120 nên u1 = u1 (1 q ) 3.(1 27 ) Khi đó: S7 381 1 q 12 Vậy S7 = 381