NGA luan van TOM TAT doc BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ THANH NGA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 60 46 0113 TÓM TẮT LUẬN VĂ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ THANH NGA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN G-METRIC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 0113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2014 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Phản biện 1: TS Lê Hồng Trí Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động không gian metric đóng vai trị quan trọng tốn học khoa học ứng dụng Trong hai thập kỷ qua, phát triển lý thuyết điểm bất động không gian metric thu hút ý đáng kể nhiều ứng dụng lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính Năm 2006, Mustafa Sims đưa khái niệm không gian metric suy rộng, gọi khơng gian G-metric (xem [4]) Sau đó, Mustafa cộng đưa nhiều định lý điểm bất động không gian G-metric không gian suy rộng khơng gian G-metric (xem [4], [5]) Từ đến nay, tốn điểm bất động khơng gian Gmetric thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý điểm bất động không gian G- metric” Chúng mong muốn tạo tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm lý thuyết điểm bất động mong muốn đưa số ứng dụng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian Gmetric Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động 3.2 Phạm vi nghiên cứu định lý điểm bất động không gian G-metric Phương pháp nghiên cứu 4.1 Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức 4.2 Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động không gian G- metric” 4.3 Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài 4.4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu điểm bất động không gian G-metric Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận gồm có ba chương Chương Giới thiệu kiến thức liên quan đến không gian metric Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian G-metric Chương Trình bày chứng minh chi tiết số định lý điểm bất động không gian G-metric CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian metric nhằm làm tiền đề phục vụ cho việc chứng minh Chương Chương luận văn 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN METRIC 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Ánh xạ d : X ´ X ® ¡ gọi metric X thỏa tiên đề sau (1) d ( x, y) ³ với x, y Ỵ X d ( x, y) = Û x = y (2) d ( x, y) = d ( y, x ) với x, y Ỵ X (3) d ( x, y) £ d ( x, z ) + d ( z, y) với x, y, z Ỵ X Tập X với metric d xác định gọi không gian metric ký hiệu ( X , d ) 1.1.2 Định nghĩa Cho X tập ¡ Số x Î X gọi cận X y £ x với y Ỵ X 1.1.3 Định nghĩa Cho X tập ¡ Số x Ỵ X gọi cận X x £ y với y Ỵ X 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng Khi đó, cận bé X gọi supermum tập X Ký hiệu sup X 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng Khi đó, cận lớn X gọi infimum tập X Ký hiệu inf X 1.1.6 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) khơng gian metric, x Ỵ X A Ì X Ta đặt d ( x, A ) = inf{d ( x, y) : y Î A} Khi đó, d ( x, A ) gọi khoảng cách từ x đến A 1.1.7 Nhận xét Nếu x Ỵ A , d ( x, A ) = 1.1.8 Mệnh đề Giả sử ( X , d ) không gian metric A Ì X Khi đó, với x, x ' Ỵ X , ta có d ( x, A) - d ( x ', A) £ d ( x, x ') 1.1.9 Định nghĩa Giả sử { xn } dãy không gian metric X x0 Ỵ X Khi đó, dãy { xn } gọi hội tụ đến x0 lim d ( xn , x0 ) = n đƠ Ký hiệu lim xn = x0 hay xn ® x0 n đƠ 1.1.10 Nhn xột (1) Gii hn dãy hội tụ (2) Nếu xn ® x0 dãy { xn } hội tụ x0 (3) Nếu xn ® x0 yn ® y0 d ( xn , yn ) ® d ( x0 , y0 ) 1.1.11 Ví dụ 1.1.12 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) khơng gian metric, x0 Ỵ X r > Khi đó, (1) Tập hợp B( x0 , r ) = { x Ỵ X | d ( x, x0 ) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r (2) Tập hợp B [ x0 , r ] = { x Ỵ X | d ( x, x0 ) £ r} gọi hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r Ngồi ra, ta ký hiệu B * ( x0 , r ) = B( x0 , r ) \ {x0} Từ định nghĩa, ta có B * ( x , r ) Ì B ( x0 , r ) Ì B [ x0 , r ] 1.1.13 Định nghĩa Cho ( X , d ) khơng gian metric Tập A Ì X gọi lân cận x tồn r > cho B( x0 , r ) Ì A 1.1.14 Nhận xét (1) Mỗi hình cầu mở B( x, r ) lân cận x (2) Nếu A1 , A2 , , An lân cận x, n IA i =1 i lân cận x 1.1.15 Định nghĩa Giả sử ( X ,d) không gian metric, x Ỵ X A Ì X Khi đó, (1) Điểm x gọi điểm A A lân cận x (2) Điểm x gọi điểm A tồn lân cận V x mà V Ç A = Ỉ (3) Điểm x gọi điểm biên A với lân cận V x ta u cú V ầ A ặ v V ầ ( X \ A) ặ 1.2 TP MỞ, TẬP ĐÓNG 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X khơng gian metric A Ì X Khi đó, A gọi tập hợp mở A lân cận điểm thuộc A 1.2.2 Định nghĩa Giả sử X khơng gian metric A Ì X Khi đó, A gọi tập hợp đóng X \ A tập hợp mở 1.2.3 Định lý Giả sử ( X , d ) khơng gian metric Khi đó, (1) Hợp họ tùy ý tập hợp mở tập hợp mở (2) Giao họ hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở (3) Giao họ tùy ý tập hợp đóng tập hợp đóng (4) Hợp họ hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng 1.2.4 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) không gian metric A tập X Khi đó, tập mở lớn nằm A gọi phần tập A Ký hiệu int ( A ) 1.2.5 Định lý Giả sử ( X , d ) khơng gian metric, A Ì X B Ì X Khi đó, (1) Nếu A Ì B, int ( A ) Ì int ( B ) (2) int éëint ( A ) ùû = int ( A ) (3) int ( A Ç B ) = int ( A ) Ç int ( B ) (4) int ( A ) È int ( B ) Ì int ( A È B ) 1.2.6 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) không gian metric A tập X Khi đó, tập đóng nhỏ chứa A gọi bao đóng tập A Ký hiệu A 1.2.7 Định lý Giả sử ( X , d ) không gian metric, A Ì X B Ì X Khi đó, (1) Nếu A Ì B, A Ì B (2) A Ç B Ì A Ç B (3) A È B = A È B 1.2.8 Định lý Giả sử X khơng gian metric, F Ì X Khi đó, F tập hợp đóng X với dãy {xn} Ì F, xn ® x ta có x Ỵ F 1.3 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC 1.3.1 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) khơng gian metric Khi đó, dãy {x n} Ì X gọi dãy Côsi (hay dãy bản) lim d ( xn , xm ) = n , m đƠ 1.3.2 Nhn xột Mi dóy hi tụ không gian metric dãy Côsi 1.3.3 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) khơng gian metric Khi đó, X gọi khơng gian metric đầy đủ dãy Côsi X hội tụ 1.3.4 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) không gian metric, Y tập khác rỗng X r : Y ´ Y ® ¡ ánh xạ xác định r ( x, y ) = d ( x, y ) với x, y Ỵ Y Khi đó, r metric Y không gian metric ( Y , r ) gọi không gian ( X , d ) 1.3.5 Định lý Giả sử ( X , d ) không gian metric Y không gian X Khi đó, (1) Nếu Y khơng gian đầy đủ, Y tập đóng X (2) Giả sử X khơng gian đầy đủ Y tập hợp đóng X Khi đó, Y khơng gian đầy đủ 1.3.6 Định lý Giả sử ( X , d ) khơng gian metric đầy đủ Khi đó, dãy gồm hình cầu đóng, lồng thắt có chung điểm 1.3.7 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) ( Y , r ) hai không gian metric Ta nói ánh xạ f : X ® Y liên tục x0 Ỵ X với e > tồn d > cho với x Ỵ X mà d ( x, x0 ) < d , ta có r ( f ( x ), f ( x0 ) ) < e 1.3.8 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) ( Y , r ) hai không gian metric f : X ® Y ánh xạ Khi đó, f gọi liên tục X f liên tục x Ỵ X 1.3.9 Định lý Giả sử f : X ® Y ánh xạ x0 Ỵ X Khi đó, ánh xạ f liên tục x0 với dãy {x n} Ì X mà xn ® x0 ta có f ( xn ) ® f ( x0 ) 1.3.10 Định nghĩa Giả sử ( X , d ) ( Y , r ) hai không gian metric f : X ® Y ánh xạ Khi đó, f gọi liên tục X với e > 0, tồn d > cho với x1 , x2 Ỵ X mà d ( x1 , x2 ) < d ta có r ( f ( x1 ), f ( x2 ) ) < e 1.3.11 Định lý Giả sử X Y hai không gian metric f : X ® Y ánh xạ Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) Ánh xạ f liên tục (2) f -1 ( G ) mở X với tập G mở Y (3) f -1 ( F ) đóng X với tập F đóng Y 10 1.4.10 Định lý Giả sử ( X , d ) không gian metric đầy đủ f : X ® X ánh xạ co Khi đó, f có điểm bất động 11 CHƯƠNG KHÔNG GIAN G-METRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian G-metric 2.1 KHƠNG GIAN G-METRIC 2.1.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X tập hợp khác rỗng G : X ´ X ´ X ® ¡ + ánh xạ Khi đó, G gọi Gmetric X thỏa tiên đề sau ( G1 ) G ( x, y, z ) = x = y = z ( G2 ) < G ( x, x, y) với x, y Ỵ X mà x ¹ y ( G3 ) G ( x, x, y) £ G ( x, y, z ) với x, y, z ẻ X m z y ( G4 ) G ( x, y, z ) = G ( p{x, y, z}), p hốn vị x, y, z (tính chất đối xứng) ( G5 ) G ( x, y, z ) £ G ( x, a, a) + G ( a, y, z ) với x, y, z, a Ỵ X (bất đẳng thức hình chữ nhật) Tập hợp X với G-metric G xác định gọi không gian G-metric 2.1.2 Bổ đề ([4]) Giả sử ( X , G ) không gian G-metric Khi đó, với x, y, z Ỵ X , khẳng định sau (1) G ( x, y, z ) £ G ( x, x, y) + G ( x, x, z ) (2) G ( x, y, y) £ G ( y, x, x ) 2.1.3 Định nghĩa ([4]) Không gian G-metric ( X , G ) gọi không gian G-metric đối xứng G ( x, y, y) = G ( y, x, x ) với x, y Ỵ X 2.1.4 Mệnh đề ([5]) Giả sử Đặt ( X ,G) không gian G-metric 12 dG ( x, y) = G ( x, y, y) + G ( y, x, x ) với x, y Ỵ X Khi đó, (1) dG metric X (2) Với x, y Ỵ X , ta có G ( x, y, y) £ dG ( x, y) £ G ( x, y, y) (3) Nếu ( X , G ) không gian G-metric đối xứng, dG ( x, y) = G ( x, y, y) với x, y Ỵ X Chứng minh (1) Ta có (1.1) Theo tiên đề (G1), (G2) Định nghĩa 2.1.1 ta suy dG ( x, y) = G ( x, y, y) + G ( y, x, x ) ³ với x, y Ỵ X (1.2) Với x, y Ỵ X , ta có dG ( x, y) = G ( x, y, y) + G ( y, x, x ) = G ( y, x, x ) + G ( x, y, y) = dG ( y, x ) (1.3) Áp dụng tiên đề (G5) Định nghĩa 2.1.1 cho trường hợp a = z, ta G ( x, y, y) £ G ( x, z, z) + G ( z, y, y), G ( y, x, x ) £ G ( y, z, z ) + G ( z, x, x ) Suy dG ( x, y) = G ( x, y, y) + G ( y, x, x ) £ [ G ( x, z, z ) + G ( z, x, x )] + [ G ( z, y, y) + G ( y, z, z )] £ dG ( x, z ) + dG ( z, y) (2) Theo Bổ đề 2.1.2, ta có G ( x, y, y) £ G ( y, x, x ) £ G ( x, y, y) với x, y Ỵ X 13 Suy G ( x, y, y) £ [ G ( y, x, x ) + G ( x, y, y)] £ G ( x, y, y) với x, y Ỵ X Do đó, G ( x, y, y) £ dG ( x, y) £ G ( x, y, y) với x, y Ỵ X Bởi vậy, G ( x, y, y) £ dG ( x, y) £ G ( x, y, y) với x, y Ỵ X (3) Nếu ( X , G ) khơng gian G-metric đối xứng, từ Định nghĩa 2.1.3, ta suy dG ( x, y) = G ( x, y, y) □ 2.2 TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN G-METRIC 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử ( X , G ), ( X *, G * ) không gian G-metric f : ( X , G ) ® ( X *, G * ) ánh xạ Khi đó, (1) f gọi G-liên tục điểm a Ỵ X với e > tồn d > cho G [ f (a), f ( x ), f ( y)] < e với x, y Ỵ X mà G (a, x, y) < d (2) f gọi G-liên tục X f G-liên tục điểm a Ỵ X 2.2.2 Định nghĩa ([5]) Giả sử ( X , G ) không gian G-metric {xn} dãy điểm X Ta nói dãy {xn} G-hội tụ tới x Ỵ X lim G ( x, xn , xm ) = 0, n , m đƠ ngha với e > cho trước, tồn n0 ẻ Ơ cho G ( x, xn , xm ) < e với n, m ³ n0 14 Lúc đó, điểm x gọi điểm giới hạn dãy {xn} Ta viết G xn ¾¾ ® x 2.2.3 Mệnh đề ([5]) Giả sử ( X , G ) khơng gian G-metric Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) {xn} dãy G-hội tụ tới x (2) G ( xn , xn , x ) đ n đ Ơ (3) G ( x n , x, x ) ® n đ Ơ Chng minh (1) ị (2) Hiển nhiên (2) Þ (3) Giả sử G ( x, xn , xn ) ® Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2 (2), ta có £ G ( xn , x, x ) £ G ( x, xn , xn ) Suy G ( xn , x, x ) đ (3) ị (1) Gi s G ( xn , x, x ) ® Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2 (1), ta có £ G ( x, xn , x m ) £ G ( x, x, xn ) + G ( x, x, xm ) Mặt khác, theo tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1, ta suy £ G ( x, x n , xm ) £ £ G ( x n , x, x ) + G ( xm , x, x ) Bởi G ( xn , x, x ) ® nên ta suy lim G ( x, xn , xm ) = m , n đƠ 15 Do vy, {xn} l dóy G-hi t tới x □ 2.2.4 Định lý ([4]) Giả sử ( X , G ), ( X *, G * ) khơng gian G-metric Khi đó, ánh xạ f : ( X , G ) ® ( X *, G * ) G-liên tục điểm x0 Ỵ X G-liên tục theo dãy x0 , nghĩa với dãy {xn} G-hội tụ tới x0 ( X , G ) ta có {f ( xn )} dãy G-hội tụ tới f ( x0 ) ( X *, G * ) 2.2.5 Định lý ([4]) Giả sử ( X , G ) không gian G-metric, G G G {x k},{ym},{zn} Ì X cho xk ¾¾ ® x, ym ¾¾ ® y, zn ¾¾ ® z Khi đó, G ( x k , ym , zn ) ® G ( x, y, z ) 2.2.6 Định nghĩa ([7]) Giả sử ( X ,G) khơng gian G- metric Khi đó, (1) Dãy {xn} Ì X gọi G-Côsi ( X ,G) vi mi e > 0, tn ti n0 ẻ Ơ cho G ( xm , xn , xl ) < e với n, m, l ³ n0 , nghĩa G ( xm , xn , xl ) ® n, m, l ® ¥ (2) Không gian G-metric ( X ,G) gọi không gian G- metric đầy đủ dãy G-Côsi ( X , G ) G-hội tụ ( X , G ) 2.2.7 Mệnh đề ([7]) Giả sử ( X , G ) không gian G-metric Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) Dãy {xn} G-Côsi ( X , G ) (2) Với e > tồn n0 Ỵ ¥ cho 16 G ( xn , xm , x m ) < e với n, m ³ n0 Chứng minh (1) Þ (2) Giả sử dãy {xn} G-Côsi ( X , G ) Khi đó, theo Định nghĩa 2.2.6, ta suy với mi e > 0, tn ti n0 ẻ Ơ cho G ( xm , xn , xl ) < e với n, m, l ³ n0 Mặt khác, theo tiên đề (G3), (G4) Định nghĩa 2.1.1, ta suy G ( xn , xm , xm ) £ G ( xm , xn , xl ) < e Do đó, với e > 0, tn ti n0 ẻ Ơ cho G ( xn , xm , x m ) < e với n, m ³ n0 (2) Þ (1) Giả sử khẳng định (2) thỏa mãn Khi đó, với e > 0, tn ti n0 ẻ Ơ cho G ( xn , xm , xm ) < e với m, n ³ n0 Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.2 (1) ta có G ( xm , xn , xl ) £ G ( x m , x m , xn ) + G ( xm , xm , xl ) Hơn nữa, theo tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1, ta có G ( xm , xm , xn ) = G ( xn , xm , x m ), G ( xm , xm , xl ) = G ( xl , x m , x m ) Suy G ( xm , xn , xl ) £ G ( x n , xm , xm ) + G ( xl , xm , x m ) < e với n, m, l ³ n0 Do vậy, {xn} dãy G-Côsi ( X , G ) □ 2.2.8 Định nghĩa ([3]) Giả sử T ánh xạ không gian metric X A tập khác rỗng X Ký hiệu 17 d ( A ) = sup {d ( a, b ) : a, b Ỵ A} , O( x, n) = {x, Tx, T x, L, T n x} với n Î ¥* , O( x, ¥) = {x, Tx, T x,L} với x Ỵ X Khi đó, X gọi đầy đủ T-quỹ đạo dãy Cơsi {xn} Ì O( x, ¥ ) hội tụ ( X , d ) 2.2.9 Định nghĩa ([3]) Giả sử ( X , d ) khơng gian metric Ánh xạ T:X ® X gọi tự ánh xạ tồn số k Î[0,1) cho d ( Tx, Ty ) £ k max {d ( x, y ) ; d ( x, Tx ) ; d ( y, Ty ) ; d ( x, Ty ) ; d ( y, Tx )} với x, y Ỵ X 2.2.10 Định lý ([3]) Giả sử T tự ánh xạ không gian metric ( X , d ) n số nguyên dương Khi đó, với x Ỵ X i, j Ỵ{1,2, K , n}, ta có d ( T i x, T j x ) £ k d éëO ( x, n ) ựỷ vi mi i, j ẻ Ơ* 2.2.11 Chỳ ý ([3]) Từ Định lý 2.2.10 ta thấy rằng, T tự ánh xạ không gian metric ( X , d ) , với n Î ¥* , tồn k £ n cho d ( x, T k x ) = d éëO ( x, n ) ùû 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số định lý điểm bất động không gian G-metric tài liệu [2], [3], [7] 3.1 MỘT MỞ RỘNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH Mục dành cho việc trình bày chứng minh chi tiết định lý điểm bất động tự ánh xạ không gian metric đầy đủ Tquỹ đạo 3.1.1 Định lý ([3]) Nếu T tự ánh xạ không gian metric ( X , d ) , d éëO ( x, ¥ ) ùû £ d ( x, Tx ) với x Ỵ X 1- k 3.1.2 Định lý ([3]) Cho T tự ánh xạ không gian metric đầy đủ T-quỹ đạo ( X , d ) Khi đó, (1) T có điểm bất động u Ỵ X ; (2) lim T n x = u vi mi x ẻ X ; n đƠ kn d ( x, Tx ) với k Ỵ [0,1) 1- k 3.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ TRÊN KHÔNG GIAN G-METRIC ĐẦY ĐỦ 3.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử F tập hợp tất hàm không giảm (3) d ( T n x, u) £ f : [0, +Ơ ) đ [0, +Ơ ) tha iu kin lim f n (t ) = với t ẻ(0, +Ơ) Khi ú, mi n đƠ hm f ẻ F gọi F -ánh xạ 19 3.2.2 Bổ đề ([7]) Giả sử f F -ánh xạ Khi đó, (1) f (t ) < t vi mi t ẻ (0, +Ơ); (2) f (0) = Chứng minh (1) Giả sử ngược lại khẳng định (1) khơng Khi đó, tồn t Ỵ (0, +¥) cho f (t ) ³ t Mặt khác, f hàm khơng giảm nên f (t ) = f [f (t )] ³ f (t ) ³ t, f (t ) = f ëéf (t )ùû ³ f (t ) ³ t Bằng quy nạp, ta suy f n (t ) t vi mi n ẻ Ơ* Suy lim f n (t ) ³ t > n ®¥ Điều mâu thuẫn với định nghĩa f (2) Giả sử ngược lại khẳng định (2) khơng Khi đó, f (0) > Mặt khác, f hàm khơng giảm nên f (t ) ³ f (0) > với t Ỵ (0, +¥), f (t ) = f [f (t )] ³ f [f (0)] ³ f (0) > vi mi t ẻ (0, +Ơ) Bng quy np ta thu f n (t ) > f (0) > vi mi t ẻ (0, +Ơ) Suy lim f n (t ) ³ f (0) > với mi t ẻ (0, +Ơ) n đƠ iu ny mõu thuẫn với định nghĩa f □ 20 3.2.3 Định lý ([7]) Giả sử T : X ® X ánh xạ không gian G-metric đầy đủ ( X ,G) f F -ánh xạ thỏa mãn G ( T ( x ), T ( y), T ( z ) ) £ f ( G ( x, y, z) ) với x, y, z Î X (3.2) Khi đó, (1) T có điểm bất động u Ỵ X ; (2) T G-liên tục u Chứng minh (1) Giả sử x0 Ỵ X , ta đặt xn = T ( x n -1 ) vi mi n ẻ Ơ Khi đó, ta giả thiết xn ¹ x n -1 vi mi n ẻ Ơ Bõy gi, ta chứng minh {xn} dãy G-Côsi X Tht vy, vi mi n ẻ Ơ, ta cú G ( xn , xn +1 , xn +1 ) = G ( T ( xn -1 ), T ( xn ), T ( xn ) ) £ f ( G ( xn -1 , xn , xn ) ) £ f ( G ( xn - , x n -1 , x n -1 ) ) (3.3) M £ f n ( G ( x0 , x1 , x1 ) ) Giả sử e > Khi đó, nhờ Bổ đề 3.2.2 ta suy lim f n ( G ( x0 , x1 , x1 ) ) = f ( e ) < e n đ+Ơ Bi th, tn ti n0 ẻ Ơ cho f n ( G ( x0 , x1 , x1 ) ) < e - f ( e ) với n ³ n0 (3.4) G ( xn , xn +1 , xn +1 ) < e - f ( e ) với n ³ n0 (3.5) Do đó, 21 Bây giờ, ta chứng minh khẳng định sau quy nạp theo m G ( xn , xm , xm ) < e với m ³ n ³ n0 (3.6) (1.1) Giả sử m = n + Khi đó, từ (3.5) ta có G ( xn , xm , x m ) = G ( xn , xn +1 , xn +1 ) < e - f ( e ) < e với n ³ n0 Do vậy, (3.6) m = n + (1.2) Giả sử (3.6) m = k > n + 1, nghĩa G ( xn , xk , xk ) < e với m ³ n ³ n0 Ta phải chứng minh (3.6) với m = k + Thật vậy, theo tiên đề (G5) Định nghĩa 2.1.1, tính chất F sử dụng (3.5) ta suy G ( xn , xk +1 , xk +1 ) £ G ( xn , x n +1 , xn +1 ) + G ( xn +1 , xk +1 , x k +1 ) < e - f ( e ) + f ( G ( xn , xk , xk ) ) (3.7) < e - f ( e ) + f (e ) = e Từ (3.6) ta suy {xn} dãy G-Côsi X Do vậy, tồn u Ỵ X cho {xn} G-hội tụ tới u Với n ẻ Ơ, theo tiờn (G4), (G5) ca nh nghĩa 2.1.1, sử dụng (3.2) Bổ đề 3.2.2 ta suy £ G ( u, u, T (u) ) = G ( T (u), u, u ) £ G ( T (u), x n +1 , xn +1 ) + G ( xn +1 , u, u ) (3.8) = G ( u, u, xn +1 ) + G ( xn +1 , xn +1 , T (u) ) £ G ( u, u, xn +1 ) + f ( G ( xn , xn , u) ) < G ( u, u, xn +1 ) + G ( xn , x n , u) Mặt khác, {xn} G-hội tụ tới u nên theo tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1 Mệnh đề 2.2.3 ta suy G ( u, u, xn +1 ) ® 0, G ( xn , x n , u) ® 22 Do đó, từ (3.8) ta thu G ( u, u, T (u) ) = 0, kéo theo T (u) = u Như vậy, u điểm bất động T Cuối cùng, ta chứng minh u điểm bất động T Thật vậy, giả sử v điểm bất động T với v ¹ u Khi đó, theo (3.2) Bổ đề 3.2.2 ta suy G ( u, u, v ) = G ( T (u), T (u), T (v) ) £ f ( G (u, u, v) ) (3.9) < G (u, u, v) Điều dẫn đến mâu thuẫn Như vậy, u điểm bất động T (2) Giả sử dãy {yn} Ì X , {yn} G-hội tụ tới u Khi đó, vi mi n ẻ Ơ, theo (3.2) ta cú £ G ( u, u, T ( yn ) ) = G ( T (u), T (u), T ( yn ) ) £ £ f ( G (u, u, yn ) ) < G ( u, u, yn ) (3.10) Mặt khác, {yn} G-hội tụ tới u nên theo Mệnh đề 2.2.3 tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1 ta suy G ( u, u, yn ) ® Do đó, từ (3.10) ta thu lim G (u, u, T ( yn )) = n đ+Ơ Hn na, li theo Mnh 2.2.3 tiên đề (G4) Định nghĩa 2.1.1 ta suy {T ( yn )} dãy G-hội tụ tới u = T (u) Do vậy, áp dụng Định lý 2.2.4, T G-liên tục u □ 23 3.2.4 Định lý ([2]) Giả sử ( X , G ) không gian G-metric đầy đủ T : X ® X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với x, y Ỵ X G ( Tx, Ty, Ty) £ k max {G ( x, y, y), G ( x, Ty, Ty), G ( y, Ty, Ty), G ( y, Tx, Tx )} , G ( Tx, Ty, Ty) £ k max {G ( x, y, y), G ( x, x, Ty), G ( y, y, Ty), G ( y, y, Tx )} với k Ỵ[0,1) Khi đó, (1) T có điển bất động u Ỵ X ; (2) T G-liên tục u 24 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: (1) Hệ thống số kiến thức không gian metric (2) Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Gmetric Tìm hiểu khái niệm G-liên tục, G-hội tụ, G-Côsi không gian metric suy rộng (3) Chứng minh chi tiết số kết định lý điểm bất động không gian G-metric Do hạn chế mặt lực thời gian nghiên cứu luận văn nên chưa chứng minh nhiều kết điểm bất động không gian suy rộng G-metric