LỜI GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NGUYỄN TĂNG VŨ Ngày 26 tháng 2 năm 2020 Mục lục Chương 1 Đề bài 19 1 1 Năm 1993 19 1 2 Năm 1994 20 1 3 Năm[.]
LỜI GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN CHUN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN TỐN TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU NGUYỄN TĂNG VŨ Ngày 26 tháng năm 2020 Mục lục Chương Đề 19 1.1 Năm 1993 19 1.2 Năm 1994 20 1.3 Năm 1995 21 1.4 Năm 1996 22 1.5 Năm 1997 23 1.6 Năm 1998 24 1.7 Năm 1999 25 1.8 Năm 2000 26 1.9 Năm 2001 28 1.10 Năm 2002 29 1.11 Năm 2003 30 1.12 Năm 2004 31 1.13 Năm 2005 33 1.14 Năm 2006 34 1.15 Năm 2007 35 1.16 Năm 2008 36 1.17 Năm 2009 37 1.18 Năm 2010 38 NGUYỄN TĂNG VŨ 1.19 Năm 2011 39 1.20 Năm 2012 41 1.21 Năm 2013 42 1.22 Năm 2014 43 1.23 Năm 2015 44 1.24 Năm 2016 45 1.25 Năm 2017 46 1.26 Năm 2018 48 1.27 Năm 2019 49 Chương Lời giải 51 2.1 Năm 1993 51 2.2 Năm 1994 54 2.3 Năm 1995 57 2.4 Năm 1996 62 2.5 Năm 1997 66 2.6 Năm 1998 72 2.7 Năm 1999 77 2.8 Năm 2000 82 2.9 Năm 2001 89 2.10 Năm 2002 94 2.11 Năm 2003 99 2.12 Năm 2004 106 2.13 Năm 2005 114 2.14 Năm 2006 120 2.15 Năm 2007 126 2.16 Năm 2008 131 Trang NGUYỄN TĂNG VŨ 2.17 Năm 2009 138 2.18 Năm 2010 143 2.19 Năm 2011 149 2.20 Năm 2012 155 2.21 Năm 2013 161 2.22 Năm 2014 168 2.23 Năm 2015 174 2.24 Năm 2016 181 2.25 Năm 2017 189 2.26 Năm 2018 197 2.27 Năm 2019 206 Chương Bài tập tự luyện 215 3.1 Bài tập đại số 215 3.2 Bài tập hình học 217 3.3 Bài tập số học 220 3.4 Bài tập tổ hợp 221 Tài liệu tham khảo 225 Trang Lời nói đầu Trường Phổ thơng Năng khiếu thức thành lập năm 1996, tiền thân khối chuyên toán tin thuộc Đại học Tổng hợp TPHCM Qua 20 năm hình thành phát triển, mơn tốn đạt nhiều kết tốt đẹp Ngồi cơng tác giảng dạy trường, khâu tuyển chọn quan trọng để tìm em có khiếu tốn thực Và đề thi vào lớp 10 chun tốn ln đón nhận cách hào hứng từ giáo viên học sinh Nay 20 năm thành lập trường, nhìn lại số đề thi, tốn dã mục tiêu phấn đấu nhiều học sinh suốt trình học THCS Những năm đầu thành lập, đề chuyên toán sử dụng cho tuyển sinh đầu vào lớp chun Tốn chun Tin, ngồi để thi vào chun Tốn học sinh phải làm đề thi chung cho bạn thi môn KHTN, gọi đề toán AB Trong vài năm gần đề chun Tốn cịn dùng để tuyển sinh đầu vào cho lớp chuyên Tin, chuyên Lý chun Sinh thay đề tốn AB, tốn CD cịn lại đề tốn chung cho khối lớp chun Ngồi ra, trường Phổ thơng Năng khiếu cịn tuyển sinh khắp miền nam khơng riêng khu vực TPHCM, bạn nơi có điều kiện học tập tốt bạn nơi khó khăn có hội đỗ vào trường nhau, khơng cộng điểm ưu tiên NGUYỄN TĂNG VŨ lí gì, điều ảnh hưởng đến cách đề Trước tiên ta xem lại đề thi vào chuyên toán năm 1996, năm học đầu tiên: Bài Gọi a, b hai nghiệm phương trình x2 + px + = 0; c, d hai nghiệm phương trình y2 + qy + = Chứng minh ( a − c)( a − d)(b − c)(b − d) = ( p − q)2 Bài Cho số x, y, z thỏa x + y + z = 5, x2 + y2 + z2 = Chứng minh ≤ x, y, z ≤ Bài a) Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đường thẳng qua A chia đơi diện tích tứ giác ABCD b) Cho tam giác ABC đường thẳng d|| BC nằm khác phía A BC Lấy điểm M di động d cho ABMC tứ giác lồi Đường thẳng qua A chia đơi diện tích tứ giác cắt BM CM N Tìm quỹ tích điểm N √ √ Bài Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho n − + n + số hữu tỷ Bài a) Chứng minh với N ≥ 3, ln ln có N số phương đơi khác cho tổng chúng số phương b) Chứng minh với số nguyên mn ≥ xây bảng chữ nhật gồm m × n số phương đơi khác cho tổng dịng số phương tổng cột số phương Chưa bàn đến độ khó đề, ta thấy cấu trúc đề thi có đầy đủ phần: Đại số, số học, hình học tổ hợp Đó cấu trúc chung đề thi chuyên toán PTNK, định hình từ ngày thành lập trường đến Đến đây, ta tách riêng phần để nhận xét kĩ Trước tiên ta xem qua phần đại số Trang NGUYỄN TĂNG VŨ Đại số Đại số toán liên quan đến biến đổi biểu thức, đa thức, áp dụng định lý Viete, phương trình, hệ phương trình, tốn lập giải phương trình, Trong phần bất đẳng thức, cực trị ln chiếm vai trị lớn tốn chun, nhiều học sinh giỏi đại số dễ dàng đạt điểm cao phần Mặc dù có độ khó ngày tăng theo năm toán đại số đề tuyển sinh PTNK không mẹo mực, đòi hỏi kĩ thuật nhiều Một số biến đổi biểu thức hay: Bài - 1999 a) Chứng minh đẳng thức x + y + | x − y| = max{ x, y}, ∀ x, y ∈ R b) Chứng minh đẳng thức: a+b a−b a−b a+b + − + + + = max ab ab c ab ab c 1 , , a b c , ∀ a, b, c ̸= max kí hiệu số lớn số kèm Bài 4-2002 Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + 1 = b+ = c+ b c a a) Cho a = 1, tìm b, c b) Chứng minh a, b, c đôi khác a2 b2 c2 = c) Chứng minh a, b, c dương a = b = c Cùng với thời gian phần biến đổi trở nên dễ xuất đề thi, tập trung cho phần khác Ta xem số phương trình, hệ phương trình: Bài 1-2006 2x2 + xy = a) Giải hệ phương trình 2y2 + xy = b) Giải bất phương trình 3x − 5x2 ≤ 5x − Bài 1-2008 a) Cho phương trình x2 − mx + 2m − = (1) Trang NGUYỄN TĂNG VŨ (a) Chứng minh (1) khơng thể có hai nghiệm âm (b) Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (1) Chứng minh biểu thức x12 − 2x1 + x22 − 2x2 + không phụ thuộc vào giá trị m x12 + x22 b) Giải hệ phương trình x = y2 + z2 y = z2 + x z = x + y2 Bài 1-2016 ( x − 2y)( x + my) = m2 − 2m − a) Giải hệ m = −3 tìm m để hệ co (y − 2x )(y + mx ) = m2 − 2m − nghiệm ( xo , yo ) thỏa xo > 0, yo > b) Tìm a ≥ để phương trình ax2 + (1 − 2a) x + − a = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x22 − ax1 = a2 − a − Nhìn chung phương trình, hệ phương trình khác dễ lấy điểm Tuy có năm 2016, hệ phương trình có tham số nên trở thành tốn q phức tạp, học sinh giải trọn vẹn tốn Tiếp theo ta nhìn qua số bất đẳng thức Bất đẳng thức kì thi đầu vào PTNK toán biến đổi tương đương áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số Có thể mục tiêu ban đề nhằm tránh cho bạn sa đà vào kĩ thuật chứng minh bđt mà bỏ quên phần khác Bài 4-1998 Cho x, y, z, p, q, r số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = p + q + r = pqr ≤ x+y a) Chứng minh x ≤ y ≤ z px + qy + rz ≥ b) Chứng minh px + qy + rz ≥ 8xyz Bài 5-2000 a) Cho ab, c số không âm thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 ≤ 2( ab + bc + ac) (1) √ √ √ Chứng minh a + b + c ≤ 2( ab + bc + ac) (2) Trang 10 NGUYỄN TĂNG VŨ Tương tự, APCQ hình chữ nhật nên PQ qua trung điểm AC (b) Có: ∠ N MA = ∠ BAM = ∠ MAC nên MN ‖ AC mà theo ý a) ND qua trung điểm AB nên ta thu N M qua trung điểm BC Tương tự, PQ qua trung điểm BC nên MN PQ cắt BC (c) Gọi T giao điểm d1 BC Dễ dàng chứng minh △ ABE ∼ AB BE ACT ( g − g) nên = AC CT AB BT Tương tự, △ ABT ∼ △ ACF ( g − g) nên = AC CF Do đó, ta có: BE · BT AB ) = ( AC CT · CF mà AT phân giác góc A nên BT AB = CT AC Ta thu AB BE = AC CF (d) △ BET có: ∠ BET = ∠EBA + ∠EAB = ∠ ACB + ∠CAT = ∠ BTE nên △ BET cân B Suy M trung điểm ET Có TM ‖ NB nên DM EM TM = = NB DN KN suy △ DME ∼ △ DNK (c − g − c) Ta thu D, E, K thẳng hàng Tương tự, L, D, F thẳng hàng ta có điều phải chứng minh Trang 211 NGUYỄN TĂNG VŨ Trang 212 NGUYỄN TĂNG VŨ Bài Trong buổi gặp gỡ giao lưu học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy 10 học sinh có học sinh đến từ quốc gia (a) Gọi k số quốc gia có học sinh tham dự buổi gặp gỡ k + 10 Chứng minh n < (b) Biết số học sinh tham dự buổi gặp gỡ 60 Chứng minh tìm 15 học sinh đến quốc gia k + 10 2n − k ≥ 10 Gọi A tập hợp quốc gia có học sinh tham gia B tập hợp Lời giải (a) Giả sử ngược lại n ≥ quốc gia lại Khi đó, quốc gia B có học sinh Ta chọn tất học sinh A quốc gia B, chọn học sinh có k + 2(n − k ) = 2n − k học sinh Các học sinh có đặc điểm là: khơng có học sinh đến từ quốc gia Do 2n − k ≥ 10 nên chọn 10 học sinh khơng thỏa mãn đề (b) Theo câu a, ta có 2n − k < 10 nên 2n − k ≤ ⇔ n ≤ k+9 Do số học sinh tổng cộng 60, để có 15 học sinh đến từ quốc gia theo nguyên lý Dirichlet, ta cần 60 − k ≥ 15 ⇔ 15n − 14k ≤ 60 n−k Ta chứng minh đánh giá với (n, k ) Vì ta có n ≤ k+9 k+9 15 nên ta đưa chứng minh 15 − 14k ≤ 60 ⇔ k ≥ 2 13 Do đó, với k ≥ khẳng định Tiếp theo, ta xét hai trường hợp Trang 213 NGUYỄN TĂNG VŨ ∙ Nếu k = theo (*), ta phải có n ≤ nên 15n − 14k = 15n ≤ 60, ∙ Nếu k = theo (*), loại trừ học sinh nước cịn lại 59 học sinh, đến từ quốc gia Theo nguyên lý Dirichlet, tồn 15 học sinh đến từ quốc gia Trang 214 Chương Bài tập tự luyện 3.1 Bài tập đại số BÀI 1.1 Đặt an = √ 2+ √ n 4, n = 2, Chứng minh √ 1 1 + + = + a5 a6 a12 a20 BÀI 1.2 a) Tìm tất số nguyên dương a thỏa 1 1 < + + < a+1 a+2 a+3 b) Chứng minh với số nguyên n ≥ tồn n số nguyên dương a1 , a2 , · · · , an thỏa: 1 1 < + +···+ < n+1 a1 a2 an n 215 NGUYỄN TĂNG VŨ BÀI 1.3 Giải hệ phương trình y= x3 + 12x y3 + 12y z3 + 12z , z = , x = 3x2 + 3y2 + 3z2 + BÀI 1.4 Cho a, b, c, d > thỏa abcd = Chứng minh 1 1 + + + ≤1 a+b+2 b+c+2 c+d+2 d+a+2 BÀI 1.5 Cho a, b, c số nguyên dương thỏa a > b > c 12b > 13c > 11a Chứng minh a + b + c ≥ 56 BÀI 1.6 Cho số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + 1 = b+ = c+ b c a a) Cho a = Tìm b, c b) Chứng minh a, b, c đơi khác a2 b2 c2 = c) Chứng minh a, b, c dương a = b = c BÀI 1.7 Giải phương trình sau: √ √ a) 3(2 + x − 2) = 2x + x + √ √ b) ( x + − − x )(1 + + 3x − x2 ) = ( x − 2y)( x − 4z) = 55 BÀI 1.8 Giải hệ phương trình sau: (y − 2z)(y − 4x ) = −39 (z − 2x )(z − 4y) = −16 BÀI 1.9 Cho tam giác ABC Có độ dài cạnh a, b, c a cạnh có độ dài lớn Chứng minh tam giác ABC vuông khi: √ √ √ √ √ ( a + b + a − b)( a + c + a − c) = ( a + b + c) Trang 216 NGUYỄN TĂNG VŨ BÀI 1.10 Cho số a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 thỏa a1 + a2 = 2a3 b1 + b2 = 2b3 Chứng minh hai phương trình x2 + a1 x + b1 = 0; x2 + a2 x + b2 = vơ nghiệm phương trình x2 + a3 x + b3 = vô nghiệm BÀI 1.11 a) Tìm tất số nguyên dương n để tồn số nguyên dương x thỏa: √ n+ √ n−1 < √ x< √ 3n + b) Cho số nguyên dương n Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y thỏa: √ n+ √ n+1 < √ x+ √ y< √ 4n + BÀI 1.12 Cho phương trình ẩn x: x2 + a1 x + b1 = 0(1), x2 + a2 x + b2 = 0(2), x2 + a3 x + b3 = 0(3) Với điều kiện a1 + a3 = 2a2 , b1 + b3 = 2b2 Chứng minh phương trình (1) (3) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm BÀI 1.13 Cho số x, y, z Đặt a = x (y − z)2 , b = y( x − z)2 , c = z( x − y)2 a) Tìm x, z, y biết a = 9, b = −1, c = b) Chứng minh x, y, z không âm a4 + b4 + c4 ≥ 2( a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ) Trang 217 NGUYỄN TĂNG VŨ 3.2 Bài tập hình học BÀI 2.1 Cho △ ABC nhọn nội tiếp (O) với đường cao AD, BE, CF cắt H AH cắt (O) giao điểm thứ hai M Gọi K, L điểm thuộc cạnh AC, AB cho HK ‖ DE, HL ‖ DF a) Chứng minh BLKC nội tiếp b) P giao điểm thứ hai BE (O) Chứng minh P, K, L thẳng hàng c) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt KL T Qua M vẽ đường thẳng vng góc với KL cắt AT S Chứng minh HS⊥ HT BÀI 2.2 Cho △ ABC nhọn ( AB < AC ) với điểm D điểm di động cạnh BC Gọi O1 , O2 tâm ( ABD ), ( ACD ) a) Chứng minh giao điểm O1 O2 AD thuộc đường thẳng cố định b) Chứng minh đường tròn ( AO1 O2 ) qua điểm cố định c) Gọi K tâm đường tròn ( AO1 O2 ) Tìm vị trí điểm D để AK nhỏ BÀI 2.3 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn, từ A vẽ tiếp tuyến AB AC với B, C tiếp điểm Vẽ đường kính CD (O), AD cắt (O) E( E ̸= D ) Gọi H giao điểm AO BC Đường tròn ngoại tiếp ( BEH ) cắt AD F a) Chứng minh EB · EC = EH · ED b) Tính ∠ BFH c) Chứng minh OA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ( ABE) BÀI 2.4 Cho hai đường tròn (O) ( I ) cắt A B, đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) ( I ) C D với A nằm C D a) Chứng minh giao điểm CO DI thuộc đường tròn cố định b) Chứng minh C, D cách điểm cố định c) Chứng minh trung điểm CD thuộc đường tròn cố định Trang 218 NGUYỄN TĂNG VŨ BÀI 2.5 Cho △ ABC nhọn ( AB < AC ), đường tròn tâm ( I ) nội tiếp △ ABC tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB D, E, F Gọi K hình chiếu vng góc với D EF a) Chứng minh ∠ BKD = ∠CKD b) Đường tròn ngoại tiếp ( ABC ) ( AEF ) cắt P Chứng minh P, K, I thẳng hàng c) DK cắt AB H Tính ∠ FPH BÀI 2.6 Cho △ ABC nhọn ( AB > AC ), P điểm nằm tam giác cho ∠ ABP = ∠ ACP Gọi D điểm đối xứng P qua trung điểm M BC AP cắt CD E, CP cắt AD F Chứng minh bốn điểm D, E, F, P thuộc đường tròn BÀI 2.7 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn, dựng tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O; R), ( B, C ) tiếp điểm Cát tuyến ADE không qua tâm O thay đổi thỏa mãn D nằm A E Tiếp tuyến D E cắt F a) Chứng minh F thuộc đường thẳng cố định b) Tâm I đường tròn nội tiếp △ DEF thuộc đường cố định c) Tâm T đường tròn ngoại tiếp △ DEF thuộc đường cố định d) Trọng tâm G △ EBC thuộc đường cố định BÀI 2.8 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) dựng tiếp tuyến AB, AC (với B, C tiếp điểm) Dựng đường kính BD (O) Gọi E giao điểm BC tiếp tuyến D đường tròn F trung điểm CD OE cắt CD P EF cắt BD Q Chứng minh AD, OF PQ đồng quy BÀI 2.9 Cho △ ABC Gọi M điểm di động cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp ( ACM) cắt AB D, gọi giao điểm CD BE N Đường tròn ngoại tiếp ( ABM) cắt AC E BE CD cắt N Hai đường tròn ( NBC ) ( NDE) Trang 219 NGUYỄN TĂNG VŨ cắt P Tìm vị trí điểm M để PB + PC + PM đạt giá trị nhỏ BÀI 2.10 Cho △ ABC nhọn nội tiếp (O) P điểm di động cạnh BC Gọi H K điểm đối xứng P qua AB, AC T điểm thuộc ( AHK ) cho AT ‖ BC Chứng minh P, O, T thẳng hàng BÀI 2.11 Cho △ ABC nhọn nội tiếp (O) D điểm cung lớn BC Gọi E, F chân đường vng góc dựng từ D đến phân giác ∠ B ∠C △ ABC Chứng minh trung điểm H EF cách B C BÀI 2.12 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E giao điểm AC BD Đường thẳng vng góc với OE cắt (O) M N, đường thẳng MN cắt AD BC P Q Gọi S, T trung điểm AB CD Chứng minh rằng: ES AB a) = ET CD b) E trung điểm HK PQ (định lí bướm) BÀI 2.13 Cho △ ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O), H trực tâm △ ABC AH cắt BC K Đường thẳng vng góc với OK K cắt AB, AC M N Các đường thẳng MH, NH cắt AC, AB S, T Chứng minh tứ giác ASHT nội tiếp Trang 220 NGUYỄN TĂNG VŨ 3.3 Bài tập số học BÀI 3.1 Chứng minh phương trình y2 + y = x + x2 + x3 khơng có nghiệm ngun dương BÀI 3.2 Tìm tất ba số nguyên dương thỏa phương trình: ( x + y)2 + 3x + y + = z2 BÀI 3.3 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau xy + yz + zx − xyz = BÀI 3.4 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa: 5x = y4 + 4y + BÀI 3.5 Giải phương trình nghiệm tự nhiên x − y4 = với x số nguyên tố BÀI 3.6 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x2 − y2 = + 16y BÀI 3.7 Tìm số nguyên tố p để p2 + p số nguyên tố BÀI 3.8 Cho p, q số nguyên tố phương trình x2 − px + q = có nghiệm ngun dương Tìm p q BÀI 3.9 Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước dương p4 số phương BÀI 3.10 Tìm tất số nguyên tố p cho tồn số nguyên dương x, y thỏa phương trình x (y2 − p) + y( x2 − p) = 5p BÀI 3.11 Tìm tất số nguyên tố p cho hệ phương trình p + = 2x2 , p2 + = 2y2 có nghiệm nguyên Trang 221 NGUYỄN TĂNG VŨ BÀI 3.12 Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa 21x + 4y = z2 BÀI 3.13 Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa ab = cd Chứng minh a + b + c + d hợp số Trang 222 NGUYỄN TĂNG VŨ 3.4 Bài tập tổ hợp BÀI 4.1 Cho a1 , a2 , · · · , a2n có tổng Chứng minh cặp số ( , a j ), i < j với i, j ∈ {1, 2, · · · , 2n} tồn 2n − cặp cho + a j ≥ BÀI 4.2 Chứng minh n + số từ tập tập {1, 2, · · · , 2n} chọn hai số mà số chia hết cho số BÀI 4.3 Cho n số nguyên dương a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ 2n, biết bội số chung nhỏ 2n hai số lớn 2n Chứng minh a1 > BÀI 4.4 Chứng minh từ 52 số nguyên dương, ta chọn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Khẳng định có cịn ta có 51 số ngun dương hay khơng? BÀI 4.5 Cho hình thang cân, người ta tô màu cạnh đường chéo hình hai màu đỏ xanh, màu tơ đoạn Chứng minh có đoạn thẳng tơ màu lập tam giác BÀI 4.6 Có tập A tập {1, 2, 3, , 2014} thỏa mãn điều kiện: A có phần tử x, y ∈ A, x > y y2 ∈A x−y BÀI 4.7 Một đa giác 1430 đỉnh có chu vi 2017 Chứng minh tồn đỉnh đa giác cho tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 1cm2 BÀI 4.8 Cho tập X = {1, 2, · · · , n} Xét k tập hợp A1 , A2 , · · · , Ak X tập có r phần tử cho giao r + tập k tập ln khác rỗng Chứng minh giao k tập A1 , A2 , · · · , Ak khác rỗng Trang 223 NGUYỄN TĂNG VŨ BÀI 4.9 Một rồng có 100 đầu Mỗi nhát chém, dao chặt đứt 15, 17, 20, hay đầu Mỗi lần thế, bả vai lại mọc 24, 2, 14 hay 17 đầu Nếu chặt đứt hết đầu, rồng chết Hỏi giết chết rồng hay không? BÀI 4.10 (Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán trường PTNK 2019) Đội văn nghệ trường THCS có học sinh Nhà trường muốn thành lập nhóm tốp ca, nhóm gồm học sinh, (mỗi học sinh tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết hai nhóm tốp ca có chung nhiều học sinh a) Chứng minh khơng có học sinh tham gia từ nhóm tốp ca trở lên b) Có thể thành lập nhiều nhóm tốp ca vậy? BÀI 4.11 (Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán trường PTNK 1996) a) Chứng minh với N ≥ 3, luôn có N số phương đơi khác cho tổng chúng số phương b) Chứng minh với số nguyên mn ≥ xây bảng chữ nhật gồm m × n số phương đơi khác cho tổng dịng số phương tổng cột số phương BÀI 4.12 Cho X = {1, 2, · · · , 168, 169} A tập có 84 phần tử X cho khơng có hai phần tử có tổng 169 Chứng minh A chứa số phương BÀI 4.13 Cho x1 , x2 , x3 , dãy số nguyên thỏa mãn = x1 < x2 < x3 < xn+1 ≤ 2n, với n = 1, 2, Chứng minh số nguyên dương k biểu diễn dạng xi − x j , với i, j ∈ N Trang 224 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đức Tấn - Lê Quang Nẫm, 2015, Lời giải đề thi toán vào lớp 10 NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM [2] Hồng Chúng, 1996, Hình học tam giác NXB Giáo dục [3] Trần Văn Tấn (chủ biên), 2005, Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học cở sở NXB Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn, 2010, Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXB Giáo dục [5] Roger A.Johnson, 1964, Advanced Euclidean Geometry Dover Publications [6] Titu Adreescu Cosmin Pohoata, 2016, Lemmas in Olympiad Geometry XYZ press [7] Evan Chen, 2015, Euclidean Geometry mathematical Olympiads MAA press, 2015 [8] TẠP CHÍ TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017 225