LỜI GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NGUYỄN TĂNG VŨ Ngày 26 tháng 2 năm 2020 Mục lục Chương 1 Đề bài 19 1 1 Năm 1993 19 1 2 Năm 1994 20 1 3 Năm[.]
Năm 1993
Bài 1 Chia tập hợp cỏc số tự nhiờn{1, 2,ã ã ã , 2n}thành hai tậpAvàBkớ hiệu cỏc số tăng dần A = {a 1 < a 2 < ã ã ã < a n }và B = {b n < b n − 1 < ã ã ã < b 1 }. Chứng minh rằng:
Trong một bảng n×n, nếu có k ô được đánh dấu, thì chắc chắn tồn tại n dòng và n cột sao cho ít nhất k ô được đánh dấu nằm trong các dòng và cột này Điều này có thể được chứng minh thông qua các nguyên lý cơ bản của tổ hợp và lý thuyết đồ thị.
Hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AB và đáy lớn CD có giao điểm M tại AC và BD Hình thang này ngoại tiếp đường tròn bán kính R Để tính diện tích tam giác AMD, ta cần áp dụng các công thức liên quan đến diện tích tam giác và tính chất của hình thang.
Trong một hộp chứa 52 viên bi với 13 viên màu trắng, 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ và 13 viên màu vàng, câu hỏi đặt ra là cần lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi để đảm bảo có 7 viên bi cùng màu Để giải quyết bài toán này, ta có thể áp dụng nguyên tắc tối thiểu, từ đó xác định số lượng viên bi cần lấy ra để đạt được điều kiện trên.
Bài 5 Một dãy số gồm các chữ số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là một xâu Có 3 xâu
Giá trị của một xâu là số số 1 trong xâu đó.
Một máy tính có thể thay đổi các xâu như sau: Phép dịch chuyển các phần tử của Ađikvị trí0≤k ≤32.
Để so sánh hai xâu A và B, ta có thể tạo ra xâu mới C bằng công thức A & B = C, trong đó c i = 1 nếu a i = 1 và b i = 1, hoặc a i = 0 và b i = 0; c i = 0 nếu a i = 0 và b i = 1, hoặc a i = 1 và b i = 0 Nếu xâu A có giá trị 16 và xâu B là bất kỳ, ta có thể chứng minh rằng bằng cách dịch chuyển A đến vị trí thích hợp và so sánh kết quả với B, xâu C sẽ có giá trị không nhỏ hơn 16.
Năm 1994
Bài 1 Giải hệ phương trình:
Bài 2 Cho tam giácABCvuông tạiA, cóO,I lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ĐặtBC =a,CA=b,AB=c.
(a) Tính các độ dài IO,IBtheoa,b,c.
(b) Biết rằng tam giácIOBvuông ởI Chứng minh
Bài 3 Chứng minh rằng không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên không õm:a 1 ,a 2 ,ã ã ã sao cho với mọi số tự nhiờnn,mta cú: a mn =a m +a n
Bài 4 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dươngxvàythỏa mãn các
Nguyễn Tăng Vũ có hai chữ số, ký hiệu là x và y Mối quan hệ giữa chúng được xác định bởi x = 2y Hơn nữa, một chữ số của x bằng tổng hai chữ số của y, trong khi chữ số còn lại của x bằng trị tuyệt đối của hiệu giữa hai chữ số của y.
Trong bài 5, chúng ta xem xét một tam giác đều được chia thành một số lượng hữu hạn các tam giác con Cần chứng minh rằng trong số các tam giác con này, ít nhất có một tam giác mà tất cả các góc đều nhỏ hơn hoặc bằng 120 độ Lưu ý rằng đề bài ban đầu yêu cầu các góc nhỏ hơn 120 độ, nhưng thực tế có thể xảy ra trường hợp đặc biệt mà góc bằng 120 độ vẫn thỏa mãn.
Năm 1995
Bài 1 Cho số tự nhiênn>1 Chứng minh rằng:
(a) Nếunlẻ thỡ ta khụng thể sắpnsố tự nhiờn đầu tiờn{1, 2,ã ã ã ,n}thành một dãy sao cho với mọi k ≤ n thì tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết chon.
Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau:
Bài 3 Choa 1 ,a 2 ,ã ã ã ,a 1995 là cỏc số thực dương GọiAlà cỏc số lớn nhất trong cỏc số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức:
Bài 4 Cho tứ giác lồiABCD.
(a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính ABvàCD tiếp xúc ngoài nhau thì ta luôn có:
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi khi hai đường tròn với đường kính AB và CD tiếp xúc ngoài nhau, đồng thời hai đường tròn với đường kính AD và BC cũng tiếp xúc ngoài nhau.
Bài 5 (a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông Chứng minh rằng luôn có thể tìm được hai đỉnh Avà Bcủa hình vuông sao cho 135 ∘ ≤
(b) GọiOlà một điểm tùy ý nằm trong đa giác đềuncạnh (n ≥ 5) Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnhAvàBcủa đa giác sao cho
Năm 1996
Bài 1 Gọi a,blà hai nghiệm của phương trìnhx 2 +px+1 = 0;c,dlà hai nghiệm của phương trìnhy 2 +qy+1=0 Chứng minh rằng
Bài 2 Cho các số x,y,z thỏa x+y+z = 5,x 2 +y 2 +z 2 = 9 Chứng minh rằng
Bài 3 (a) Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC nằm về phía đối diện A so với BC Chọn điểm M di động trên d sao cho tứ giác ABMC là tứ giác lồi Đường thẳng đi qua A chia diện tích tứ giác, cắt BM hoặc CM tại điểm N Tìm quỹ tích của điểm N.
Bài 4 Chứng minh không tồn tại số tự nhiênnsao cho√ n−1+√ n+1là số hữu
Bài 5 (a) Chứng minh vớiN ≥ 3, luôn luôn có Nsố chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m và n ≥ 3, luôn có thể xây dựng một bảng chữ nhật kích thước m×n chứa các số chính phương khác nhau, sao cho tổng của mỗi hàng và mỗi cột đều là các số chính phương.
Năm 1997
Bài 1 (a) Tìm tất cả các số dươngx,ythỏa:
(b) Tìm tấc cả các số dươngx,y,zthỏa :
Bài 2 (a) Tìm tất cả các số nguyên dươngnsao chon2 n +3 n chia hết cho 5.
(b) Tìm tất cả các số nguyên dươngnsao chon2 n +3 n chia hết cho 25.
Trong một nhóm 21 người du lịch đến Anh, Pháp và Ý, mỗi người đã đi ít nhất một nước và không ai đã đi cả ba nước Số người đã thăm cả Ý và Anh gấp đôi số người đã thăm cả Pháp và Ý, trong khi số người thăm cả Pháp và Ý lại gấp đôi số người thăm cả Anh và Pháp Đặc biệt, số người đi Ý mà không đi Anh hay Pháp nhiều hơn số người đi Anh mà không đi Pháp hay Ý một người, và con số này cũng bằng số người đã đi Pháp.
Trả lời các câu hỏi sau:
(a) Hãy tìm số người đi đúng một nước.
(b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp.
Bài 4 (a) Chứng minh rằng trong hình thang cânABCDvới hai đáy AB//CDta
Trang 23 có AC 2 +BD 2 = AD 2 +BC 2 +2AB.CD.
(b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCDta cóAC 2 +BD 2 ≤ AD 2 +
BC 2 +2AB.CD Tìm điều kiện của tứ giác để xảy ra dấu bằng.
Bài 5 yêu cầu cho dãy số a1, a2, , an, trong đó mỗi số ai chỉ có thể nhận giá trị 0 hoặc 1 Điều kiện đặt ra là bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào trong dãy đều không được trùng nhau.
Nếu thêm một số a n + 1 (0 hoặc 1) vào cuối dãy, tính chất (*) sẽ không còn giữ đúng Do đó, cần chứng minh rằng hai bộ số liên tiếp a 1, a 2, a 3, a 4 và a n − 3, a n − 2, a n − 1, a n là trùng nhau.
Năm 1998
Bài 1 (a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho2 n −1chia hết 7.
(b) Cho số nguyên tố p ≥ 5 Đặt A = 3 p −2 p −1 Chứng minh Achia hết cho42p.
Bài 2 Cho hai số nguyên dươngavàb Biết rằng trong bốn mệnh đềP,Q,R,Sdưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai: P = "a++5"
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xác định mệnh đề sai trong bốn mệnh đề đã cho và giải thích lý do Sau đó, chúng ta sẽ tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(a, b\) sao cho ba mệnh đề còn lại đều đúng Việc phân tích này sẽ giúp làm rõ các mối quan hệ giữa các số nguyên dương và các điều kiện liên quan đến chúng.
Bài 3 (a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng√
Trong hình vuông có cạnh bằng 1, cho 33 điểm bất kỳ Chúng ta cần chứng minh rằng trong số các điểm này, có thể tìm ra 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá 1.
Bài 4 Cho x,y,z,p,q,r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z = p+ q+r =1vàpqr≤ 1
2. (a) Chứng minh rằng nếux≤y ≤zthìpx+qy+rz≥ x+y
2 (b) Chứng minh rằngpx+qy+rz≥8xyz
Bài 5 (a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, , 8 thành một dãy a 1 ,a2, ,a8sao cho 2 sốa i ,a j bất kì(i< j)thì mọi số trong dãy nằm giữa a i vàa j đều khác a i +a j
2 (b) Chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên1, 2, ,N luôn tìm được cách sắp thành dãy a 1 ,a 2 , ,a N sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).
Năm 1999
Bài 1 (a) Biết rằngx 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:ax 2 +bx+c=0.
Viết phương trình bậc hai nhậnx 3 1 ,x 3 2 làm hai nghiệm.
Bài 2 (a) Khai triển biểu thứcn 4 + (n+1) 4 thành dạng2k+1và phân tíchkthành nhân tử.
Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp Cần chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp.
Bài 3 Cho tam giácABCcó diện tích S và một điểmPnằm trong tam giác.
(a) GọiS 1 ,S 2 ,S 3 lần lượt là diện tích của tam giácPBC,PCA,PAB Hãy tìm giá trị nhỏ nhất củaS 2 1 +S 2 2 +S 2 3
Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của điểm P qua các cạnh BC, CA và AB Đường thẳng đi qua P1 và song song với BC sẽ cắt các cạnh AB và AC tại các điểm B1 và C1 Tương tự, đường thẳng đi qua P2 và song song với AC sẽ cắt BC và BA tại các điểm C2 và A2.
Để xác định vị trí của điểm P sao cho tổng diện tích ba hình thang BCC1B1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất, cần phân tích mối quan hệ giữa các điểm A, B, C và P Việc tối ưu hóa diện tích này sẽ giúp tìm ra vị trí lý tưởng cho điểm P, từ đó tính toán giá trị diện tích tối thiểu đạt được.
Bài 4 Người ta lát nền nhà hình vuông kích thướcn×nô bằng các viên gạch như hình vẽ dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.
(a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước4×4và8×8. (b) Hãy chứng minh rằng luôn tồn tại một cách lát nền nhà có kích thước
2 k ×2 k (k nguyên dương) với ô trống còn lại nằm ở vị trí(i,j)bất kì.
Bài 5 (a) Chứng minh đẳng thứcx+y+|x−y|=2 max{x,y},∀x,y∈ R.
(b) Chứng minh đẳng thức: a+b ab + a−b ab
,∀a,b,c̸=0 trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.
Năm 2000
Bài 1 (a) Cho số nguyên không âm A Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề
P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai:
Q:" Chữ số tận cùng của A là 1"
Có thể sắp xếp các số 0, 1, 2, , 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu của hai đỉnh kề nhau nhận các giá trị -3, -4, -5, 3, 4 hoặc 5 Điều này mở ra khả năng nghiên cứu các cấu trúc số học thú vị trong hình học đa giác.
Bài 2 Giải các hệ phương trình:
Bài 3 (a) Cho bốn số nguyên dương \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) thỏa mãn \( 1 \leq a_k \leq k \) với \( k = 1, 2, 3, 4 \) và tổng \( S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \) là một số chẵn Cần chứng minh rằng có ít nhất một trong các số dạng \( \pm a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm a_4 \) có giá trị bằng 0 (b) Xét 1000 số nguyên dương \( a_1, a_2, \ldots, a_{1000} \) với điều kiện \( 1 \leq a_k \leq k \) cho \( k = 1, 2, \ldots, 1000 \) và tổng \( S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{1000} \) là một số chẵn Cần xác định xem trong các số có dạng \( \pm a_1 \pm a_2 \ldots \pm a_{1000} \) có số nào bằng 0 hay không và giải thích lý do.
Trong bài toán này, cho góc vuông xAy và đường tròn (C) với tâm O tiếp xúc với Ax và Ay tại các điểm P và Q Đường thẳng d là một tiếp tuyến thay đổi của (C), và a, p, q lần lượt là khoảng cách từ A, P, Q đến d Cần chứng minh rằng khi d thay đổi, thì a² - pq luôn không đổi.
(b) Khẳng định trên còn đúng không nếnxAykhông phải là góc vuông? Vì sao?
Bài 5 (a) Choab,clà 3 số không âm thỏa điều kiệna 2 +b 2 +c 2 ≤2(ab+bc+ac)
Chứng minh rằnga+b+c≤2(√ ab+√ bc+√ ac)(2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao?
(b) Cho a,b,clà 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p,q,r là các số thỏa điều kiệnp+q+r=0 Chứng minhapq+bqr+crp≤0.
Năm 2001
Bài 1 (a) Tìm số nguyên dươnganhỏ nhất sao choachia hết cho 6 và2000alà số chính phương.
(b) Tìm số nguyên dươngbnhỏ nhất sao chob−1không là bội của 9,blà bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và2002blà số chính phương.
Bài 2 Chox,ylà các số thực sao chox+ 1 y vày+ 1 x đều là các số nguyên.
(a) Chứng minhx 2 y 2 + 1 x 2 y 2 là số nguyên.
(b) Tìm tất cả các số nguyênnsao chox n y n + 1 x n y n là số nguyên.
Bài 3 (a) Choa,blà các số dương thỏaab=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= (a+b+1)(a 2 +b 2 ) + 4 a+b. (b) Chom,nlà các số nguyên thỏa 1
3 Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 4 Cho hai đường trònC 1 (O 1 ,R 1 )vàC 2 (O 2 ,R 2 )tiếp xúc ngoài nhau tại điểm A. Hai điểmB,Clần lượt di động trênC 1 ,C2sao cho∠BAC o
(a) Chứng minh trung điểmMcủa BC luôn thuộc một đường tròn cố định. (b) Hạ AH⊥BC Tìm tập hợp điểm H Chứng minh rằng độ dài đoạn AH không lớn hơn 2R 1 R 2
R 1 +R 2 (c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong
Bài 5 Giải hệ phương trình
Năm 2002
Bài 1 Cho phương trìnhx−√ x+1=m(1) trong đómlà tham số.
(b) Tìm tất cả các giá trị củamđể phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2 Cho các sốx,y,zlà các số nguyên thỏa phương trìnhx 2 +y 2 =z 2
(a) Chứng minh rằng trong hai sốx,ycó ít nhất một số chia hết cho 3. (b) Chứng minh rằng tíchxychia hết cho 12.
Cho đường tròn (C) với đường kính BC = 2R và điểm A di chuyển trên (C) (A không trùng với B, C) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt (C) tại điểm K (K ≠ A) Hạ đường thẳng AH vuông góc với BC.
(a) ĐặtAH= x Tính diện tíchScủa tam giácAHKtheoRvàx TìmxđểS đạt giá trị lớn nhất.
(b) Chứng minh rằng khiAthay đổi, tổngAH 2 +HK 2 luôn là một đại lượng không đổi.
(c) Tính góc của tam giác ABC biết rằng AH
Bài 4 Cho các số thựca,b,cthỏa mãn điều kiệna+1 b =b+1 c =c+1 a. (a) Choa=1, tìmb,c.
(b) Chứng minh rằng nếua,b,cđôi một khác nhau thìa 2 b 2 c 2 =1.
(c) Chứng minh rằng nếua,b,cđều dương thìa =b=c.
Trong một giải bóng đá với N đội thi đấu theo thể thức vòng tròn, mỗi đội sẽ gặp nhau một lần duy nhất Sau mỗi trận, đội thắng nhận 3 điểm, trong khi đội thua không có điểm nào Nếu trận đấu kết thúc với tỷ số hòa, cả hai đội sẽ nhận 1 điểm.
Trong giải đấu, mỗi đội nhận 1 điểm cho mỗi trận thắng, và thứ hạng của các đội được xác định dựa trên tổng điểm tích lũy Nếu có đội có tổng điểm bằng nhau, thứ hạng sẽ được phân định theo các chỉ số phụ Kết quả giải cho thấy không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; đội xếp nhất đạt 15 điểm, trong khi hai đội xếp nhì và ba đều có 12 điểm, và tất cả các đội có tổng điểm khác nhau.
(b) TìmNvà tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.
Năm 2003
Bài 1 (a) Chứng minh rằng phương trình(a 2 −b 2 )x 2 +2(a 3 −b 3 )x+a 4 −b 4 =0 luôn có nghiệm với mọia,b.
Bài 2 (a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 2 2n + 1 −2 n + 1 +1,bn = 2 2n + 1 +
2 n + 1 +1 Chứng minh rằng với mọinthìa n b n chia hết cho 5 vàa n +b n không chia hết cho 5.
(b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng.
Bài 3 Cho tam giác ABCvuông tạiAcó đường cao AA 1 HạA 1 H⊥AB,A 1 K⊥AC. Đặt A 1 B=c,A 1 C=y.
(a) Gọi r và r ′ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam giác
AHKtương ứng Hãy tính tỷ sốr ′ r theox,ysuy ra giá trị lớn nhất của tỷ số đó.
(b) Chứng minh rằng tứ giácBHKCnội tiếp đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó theox,y.
Trong hình học, cho tam giác OMN với đường thẳng thay đổi qua điểm A nhưng không đi qua điểm C tại M và N Ta cần chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn (C) với tâm O và một đường thẳng d nằm ngoài đường tròn Khi điểm I di động trên đường thẳng d, đường tròn đường kính IO sẽ cắt (C) tại hai điểm M và N Cần chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Trong bài 5, chúng ta có một bảng vuông 4×4 được điền ngẫu nhiên với 9 số 1 và 7 số 0 Quy tắc biến đổi bảng cho phép chọn một hàng hoặc cột bất kỳ để chuyển đổi đồng thời tất cả các số 0 thành số 1 và các số 1 thành số 0.
0 Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn các số 0.
Trong vương quốc "Sắc màu kỳ ảo", có tổng cộng 45 hiệp sĩ với 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau, màu tóc của họ sẽ chuyển sang màu tóc thứ ba Câu hỏi đặt ra là liệu sau một số lần gặp gỡ hữu hạn, tất cả các hiệp sĩ có thể trở thành cùng một màu tóc hay không, và lý do cho điều này là gì.
Năm 2004
Bài 1 (a) Giải hệ phương trình
(b) Cho các số x,y thỏa |x| < 1,|y| < 1 Chứng minh rằng |x|+|y| ≥ x+y
(c) Tìm tất cả các số nguyênm≥ 0sao cho phương trìnhx 2 −(m−1) 2 x+ mó các nghiệm đều nguyên.
Bài 2 (a) Tìm tất cảc số nguyên dương n sao cho x 3n + 1 +x 2n +1 chia hết cho x 2 +x+1.
(b) Tìm số dư trong phép chiaA=3 8 +3 6 +3 2004 cho 91.
Trong bài toán này, xét tam giác ABC đều và một điểm P nằm trong tam giác Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên các cạnh BC, AC, AB Mục tiêu là tìm quỹ tích các điểm P sao cho tam giác A1B1C1 trở thành tam giác cân.
Bài 4 Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O).Mlà một điểm thay đổi trên cung nhỏ
BC Gọi Nlà điểm đối xứng củaMqua trung điểmIcủa AB.
(a) Chứng minh trực tâm K của tam giác ABN thuộc một đường tròn cố định.
(b) Giả sử NK cắtBC tại D, hạ KEvuông góc BC Hlà trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằngDEđi qua trung điểmJcủaHK.
Bài 5 (a) Trong một giải bóng đá cókđội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (2 đội bất kì gặp nhau một lần) Đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua
0 điểm Kết thúc giải đấu người ta thấy số trận thắng - thua gấp đôi trận hòa và tổng điểm là 176 Tìmk.
Để tìm số nguyên dương A có 2 chữ số thỏa mãn 2 trong 4 tính chất, chúng ta cần xem xét các điều kiện: A là bội của 5, A là bội của 21, A + 7 là số chính phương, và A - 20 là số chính phương Việc xác định các số thỏa mãn điều kiện này sẽ giúp chúng ta tìm ra các giá trị của A.
Năm 2005
Bài 1 (a) Cho các số a,b > 0,c ̸= 0 Chứng minh rằng 1 a +1 b+ 1 c = 0khi và chỉ khi√ a+b=√ a+c+√ b+c.
Bài 2 (a) Cho p ≥ 5là số nguyên tố sao cho2p+1cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng p+1chia hết cho 6 và2p 2 +1không là số nguyên tố.
(b) Tính tổng các số nguyên từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập phân của chúng không chứa chữ số 4 và số 5.
(c) Cho tam thức bậc hai P(x) = ax 2 +bx+cthỏa mãn điều kiện P(x 2 −
2) =P 2 (x)−2 Chứng minh rằngP(x) =P(−x)với mọi x.
Bài 3 Cho tam giác nhọnABC.Dlà một điểm di động trên cạnhBC GọiO 1 ,O2lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giácABDvàACD.
(a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO 1 O2 đi qua một điểm cố định khác A.
(b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAO 1 O 2 Tìm vị trí điểmDđểOIđạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 (a) Cho hình vuông ABCD có cạnh 1 M là điểm nằm trong hình vuông.
Chứng minh rằngMA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 ≥2.
(b) Chox,y,z,tlà các số thực thuộc đoạn[0; 1] Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thứcx(1−y) +y(1−z) +z(1−t) +t(1−x)≤2.
Bài 5 Xét 81 chữ số trongg đó có 9 chữ số , 9 chữ số 2, , 9 chữ số 9 Hỏi có thể xếp
81 chữ số này thành một dãy số cho với mỗik = 1, 2, , 9thì giữa hai chữ số kliên tiếp có đúngkchữ số.
Năm 2006
Bài 1 (a) Giải hệ phương trình
2x 2 +xy=1 2y 2 +xy=1 (b) Giải bất phương trìnhp
3x−5x 2 ≤5x−2 (c) Chox,ylà các số thực thỏa mãn điều kiệnx+y= 2 Chứng minh rằng xy(x 2 +y 2 )≤2
Bài 2 Cho phương trình(m+3)x 2 −2(m 2 +3m)x+m 3 +12=0(1), trong đómlà tham số:
(a) Tìm số nguyênmnhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
(b) Ký hiệux 1 ,x 2 là nghiệm của (1) Tìm số nguyênmlớn nhất sao chox 1 2 + x 2 2 là một số nguyên.
Bài 3 Cho tam giác đềuABC.Plà một điểm nằm trong tam giác Gọix,y,zlần lượt là kkhoảng cách từPđến các cạnhBC,CA,ABtương ứng.
Để tính diện tích của tam giác ABC với các điểm có tọa độ x=1, y=2, z=3, chúng ta cần áp dụng công thức diện tích tam giác Tiếp theo, để tìm quỹ tích điểm P trong tam giác thỏa mãn điều kiện x+y=z, ta sẽ xác định tập hợp các điểm P nằm trong tam giác sao cho x, y, z tạo thành ba cạnh của tam giác.
Trong bài toán này, cho đường tròn (C) với tâm O và dây cung AB không đi qua O, I là trung điểm của AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C) với tâm O và bán kính OI tại hai điểm P và Q Cần chứng minh rằng tích AP.AQ là không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định B.
Trong giải bóng đá có 4 đội thi đấu theo hình thức vòng tròn một lượt, mỗi trận đấu có kết quả thắng, thua hoặc hòa Đội thắng nhận 3 điểm, đội thua không có điểm, còn đội hòa được 1 điểm Khi giải đấu kết thúc, có 3 đội đạt được tổng số điểm nhất định.
NGUYỄN TĂNG VŨ tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích vì sao?
Cho 13 số thực sao cho tổng của 6 số bất kỳ nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại Điều này chứng minh rằng tất cả các số này đều dương.
Năm 2007
Bài 1 (a) Giải hệ phương trình
2 Chứng minh rằng a,b là hai nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên.
3−10 Chứng tỏ rằng c2, d2 là hai nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên.
Bài 2 Cho tam giácABCnội tiếp đường tròn (C).Plà một điểm trên cungBCkhông chứa điểmA HạAM,ANlần lượt vuông góc vớiPB,PC.
Chứng minh rằng đường trung bình MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm P thay đổi Đồng thời, xác định vị trí của điểm P để biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3 (a) Cho a,b,c,dlà các số thực dương thoả mãn:ab = cd = 1 Chứng minh bất đẳng thức:(a+b) (c+d) +4≥2(a+b+c+d).
(b) Choa,b,c,dlà các số dương thoả mãn điều kiệnabcd= 1 Chứng minh rằng bất đẳng thức:(ac+bd) (ad+bc)≥(a+b) (c+d).
Bài 4 Cho hình thangABCDcó đáyABvàCD Đường tròn đường kínhCDđi qua trung điểm các cạnh bên AD,BCtiếp xúc với AB Hãy tìm số đo các góc của hình thang.
Bài 5 (a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3 Chứng minh
Trang 35 rằng trong 3 phương trình x 2 −2ax+b = 0, x 2 −2bx+c = 0, x 2 − 2cx+a = 0có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.
Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên, với đặc điểm rằng tổng của bất kỳ hai phần tử trong S là một số chính phương Ví dụ, S có thể là {5, 20, 44} Cần chứng minh rằng trong tập hợp S này không thể có quá một số lẻ.
Năm 2008
Bài 1 Xét phương trình x^2 - mx + 2m - 2 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình này không thể có hai nghiệm đều âm b) Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình Chứng minh rằng biểu thức x1^2 - 2x1 + 2 + x2^2 - 2x2 + 2 + x1^2 + x2^2 không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 2 Cho tam giácABCkhông cân Đường tròn nội tiếp tâmItiếp xúc với các cạnh
BC,CA,ABlần lượt tạiD,E,F Đường thẳngEFcắtAItạiJvà cắtBCnối dài tạiK.
(a) Chứng minh các tam giácIDAvàI JDđồng dạng.
(b) Chứng minh rằngKIvuông góc vớiAD.
Bài 3 Cho gócxAyvuông và hai điểmB,Clần lượt trên các tiaAy,Ay Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh
NGUYỄN TĂNG VŨ của tam giácABC.
(b) ChoB,Cthay đổi lần lượt trên các tiaAx,Aysao cho tích AB.AC =k 2 ( kkhông đổi) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuôngMNPQ.
Bài 4 Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phương các chữ số của nó.
(a) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số
(b) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.
Trong một giải vô địch bóng đá với 6 đội tham gia, mỗi đội sẽ thi đấu một trận với tất cả các đội còn lại Theo quy định, đội thắng nhận 3 điểm, đội hòa nhận 1 điểm và đội thua không có điểm Kết thúc giải, điểm số của các đội sẽ được tổng hợp và công bố.
D 1 ,D 2 ,D 3 ,D 4 ,D 5 ,D 6 (D 1 ≥ D 2 ≥D 3 ≥ D 4 ≥ D 5 ≥D 6 ) Biết rằng đội bóng với số điểm D1 thua đúng một trận và D 1 = D 2 +D 3 = D 4 +D 5 +D 6 Hãy tìmD 1 vàD 6
Năm 2009
Bài 1 (a) Choa,b,c,dlà các số thực thỏa mãn điều kiện a b = c d = a+c
(b) Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình:
Bài 2 (a) Giải bất phương trình:2x+1≤√
8x+9 (b) Cho a,b,c là các số thuộc [−1; 2] thỏa mãn điều kiện a 2 +b 2 +c 2 6.Chứng minh rằng:a+b+c≥0
Bài 3 (a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiênasao choa 2 +a 10 2009
(b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho a+a 2 +a 3 2009 2010
Bài 4 Cho đường tròn(O)tâmO, đường kính AB = 2R.C là một điểm thay đổi
Trên đường tròn (O), tam giác ABC không cân tại điểm C, với H là chân đường cao từ C Đường cao HE hạ từ C vuông góc với AC, và đường cao HF vuông góc với BC Hai đường thẳng EF và AB cắt nhau tại điểm K.
(a) Tính theo R diện tích tam giác CEFvà độ dài các đoạn KA,KB trong trường hợpBAC[ ` 0
(b) HạEP,FQvuông góc vớiAB Chứng minh rằng đường tròn đường kính
PQtiếp xúc với đường thẳngEF.
(c) Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đường kính CH,D ̸= C. Chứng minh rằngKA.KB= KH 2 và giao điểmMcủa các đường thẳng
CDvàEFluôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 5 Trên một đường tròn, người ta xếp các số1, 2, 3, , 10(mỗi số xuất hiện đúng một lần).
(a) Chứng minh không tồn tại một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn 10.
(b) Tồn tại hay không một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10?
Năm 2010
Bài 1 (a) Cho các số a,b,c thỏaa+b+c = a 3 +b 3 +c 3 = 0 Chứng minh rằng trong 3 sốa,b,ccó ít nhất một số bằng 0.
Bài 2 (a) Giải phương trình(2x−1) 2 p x 2 −x−2+1(b) Cho tam giác ABCvuông tại A có diện tích bằng 1 Chứng minh rằng
Bài 3 (a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng bộ ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
(b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên phân biệt mà tổng 3 số bầt kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
Bài 4 Cho đường tròn tâmO, bán kínhR, dây cungBCcố định có độ dàiR√
3.Alà một điểm thay đổi trên cung lớnBC GọiElà điểm đối xứng củaCquaAB;F là điểm đối xứng củaBquaAC Các đường tròn ngoại tiếp các tam giácABE vàACFcắt nhau tạiK(K̸= A).
(a) Chứng minhKluôn thuộc một đường tròn cố định.
(b) Xác định vị trí củaKđể tam giácKBCcó diện tích lớn nhất và tính diện tích đó theoR.
(c) GọiHlà giao điểm củaBEvàCF Chứng minh rằng tam giácABHđổng dạng với tam giácACKvàAKđi qua điểm cố định.
Bài 5 Trong một giải bóng đá có 12 đấu vòng tròn một lượt (2 đội bất kỳ đấu với nhau một trận).
(a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội đấu 4 trận) luôn tìm được 3 đội bóng đôi một chưa đấu với nhau.
(b) Khẳng định còn đúng không khi mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận.
Năm 2011
Bài 1 Cho phương trình bậc haix 2 −(m+3)x+m 2 =0trong đómlà tham số sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệtx 1 ,x 2
(a) Khim=1 Chứng minh rằng ta có hệ thức√ 8 x 1 +√ 8 x2 r
2+√ 6 (b) Tìm tất cả các giá trị củamsao cho√ x 1 +√ x 2 =√
5 (c) Xét đa thứcP(x) = x 3 +ax 2 +bx Tìm tất cả các cặp số(a,b)sao cho ta có hệ thứcP(x 1 ) = P(x 2 )với mọi giá trị của tham sốm.
Bài 2 (a) Choa,blà các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1+ab (b) Cho các sốx,y,zthỏa|x| ≤1,|y| ≤1,|z| ≤1 Chứng minh rằng: p1−x 2 + q
Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn có AB = b,AC = c M là một điểm thay đổi trên cạnh AB Đường tròn ngoại tiếp tam giácBCMcắtACtạiN.
(a) Chứng minh rằng tam giácAMN đồng dạng với tam giácACB Tính tỉ số MA
MB để diện tích tam giácAMNbằng 1
2 diện tích tam giác ACB. (b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAMN Chứng minh rằngI luôn thuộc một đường cố định.
(c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC Chứng minh rằng đoạn thẳngI Jcó độ dài không đổi.
Bài 4 Cho các số nguyên a,b,c sao cho 2a+b, 2b+c, 2c+a đều là các số chính phương (*).
(a) Biết rằng có ít nhất một trong 3 số chính phương trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng(a−b)(b−c)(c−a)chia hết cho 27.
(b) Tồn tại hay không các sốa,b,cthỏa điều kiện (*) mà(a−b)(b−c)(c−a) không chia hết cho 27?
Bài 5 Cho hình chữ nhật ABCDcóAB=3,AD=4.
(a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kì trong hình chữ nhậtABCDluôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn√
5(b) Chứng minh khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhậtABCD.
Năm 2012
Bài 1 (a) Giải hệ phương trình
(x−y) 2 =2z−z 2 (y−z) 2 =2x−x 2 (z−x) 2 =2y−y 2 (b) Cho hình vuông ABCD cạnh a M và Nlà hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh ABvàBCsao cho AM
CB = xvới0 < x < 1 Các đường thẳng qua M,N song song với BD lần lượt cắt AD tại Qvà CDtại P. Tính diện tích tứ giácMNPQtheoavàxvà tìmxsao cho diện tích này lớn nhất.
Bài 2 Số nguyên dươngnđược gọi là số điều hòa nếu như tổng các bình phương của các ước của nó ( kể cả 1 và n ) đúng bằng(n+3) 2
(a) Chứng minh rằng số 287 là số điều hòa.
Để chứng minh rằng số n = p^3 (với p là số nguyên tố) không phải là số điều hòa, ta cần chỉ ra rằng tổng các ước số của n không lớn hơn n Ngoài ra, nếu n = pq (với p và q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa, thì ta cũng cần chứng minh rằng n + 2 là số chính phương.
Bài 3 (a) Tìm tất cả các số thựcxthỏax 2 −5x+4+2√ x−1≥0.
(b) Chứng minh rằng với các số không âma,b,cthỏaa+b+C=3thì ta có bất đẳng thức√ a+√ b+√ c≥ ab+bc+ac.
Bài 4 Cho tam giác ABCvuông tạiA Trên đường thẳng vuông góc với ABtạiBta lấy điểmDdi động nằm cùng phía vớiCđối với đường thẳng AB.
(a) Chứng minh rằng nếuAC+BD0,y o >0.
(b) Tìma ≥ 1để phương trình ax 2 + (1−2a)x+1−a = 0có hai nghiệm phân biệtx 1 ,x 2 thỏax 2 2 −ax 1 =a 2 −a−1.
Bài 2 Chox,ylà hai số nguyên dương màx 2 +y 2 +10chia hết choxy.
(a) Chứng minh rằngx,ylà hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
2+y 2 +10 xy chia hết cho 4 vàk≥12.
(b) Tìm giá trị lớn nhất củaP=|(x−y)(y−z)(z−x)|.
Bài 4 Tam giác ABCnhọn có∠BAC > 45 o Dựng các hình vuông ABMN,ACPQ (Mvà Ckhác phía đối với AB; Bvà Qkhác phía đối với AC).AQ cắt đoạn
(a) Chứng minh∆ABE ∼∆ACF và tứ giácEFQNnội tiếp.
(b) Chứng minh trung điểmIcủaEFlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong bài toán, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMQ và DNQ cắt nhau tại điểm K (khác D), trong khi các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm J Cần chứng minh rằng các điểm D, A, K, J thẳng hàng.
Bài 5 đề cập đến việc với mỗi số nguyên dương m lớn hơn 1, ký hiệu s(m) là ước nguyên dương lớn nhất của m và khác m Đối với số tự nhiên n > 1, đặt n₀ = n và lần lượt tính các số n₁ = n₀ - s(n₀), n₂ = n₁ - s(n₁), , nᵢ₊₁ = nᵢ - s(nᵢ) Cần chứng minh sự tồn tại của số nguyên dương k với k = 1 và tính k khi n = 2^16 * 14^17.
Năm 2017
Bài 1 Cho phương trìnhx 2 −2(m+1)x+2m 2 +4m+1=0(1)vớimlà tham số.
(a) Tìmmđể phương trình(1)có hai nghiệm phân biệtx 1 , x2 Chứng minh rằng x 1 +x 2 2
(b) Giả sử các nghiệm x 1 , x2 khác 0, chứng minh rằng 1 p|x |+ p 1
Bài 2 Chox, ylà hai số nguyên vớix>y>0.
(a) Chứng minh rằng nếux 3 −y 3 chia hết cho3thìx 3 −y 3 chia hết cho9. (b) Chứng minh rằng nếu x 3 −y 3 chia hết cho x+ythì x+y không là số nguyên tố.
(c) Tìm tất cả những giá trịknguyên dương sao cho x k −y k chia hết cho9 với mọix, ymàxykhông chia hết cho3.
Bài 3 (a) Cho ba số a,b,c ≥ −2 thỏa mãn a 2 +b 2 +c 2 +abc = 0 Chứng minh rằnga=b=c=0.
(b) Trên mặt phẳngOxy, cho ba điểm A, B, Cphân biệt vớiOA = OB OC=1 Biết rằngx 2 A +x 2 B +x 2 C +6x A x B x C =0.
3 (kí hiệu x M là hoành độ của điểmM).
Trong tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm D nằm trên cạnh BC (khác B và C) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ACD lần lượt cắt AC và AB tại các điểm E và F (E, F khác A) Điểm K là giao điểm của các đoạn thẳng BE và CF.
(a) Chứng minh rằng tứ giácAEKFnội tiếp.
(b) GọiHlà trực tâm tamABC Chứng minh rằng nếuA, O, Dthẳng hàng thìHKsong song vớiBC.
(c) Ký hiệuSlà diện tích tam giác KBC Chứng minh rằng khi Dthay đổi trên cạnhBCta luôn cóS≤
2 (d) Gọi Ilà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAEF.
Chứng minh rằngBF.BA−CE.CA = BD 2 −CD 2 và IDvuông góc với BC.
Lớp 9A có 6 học sinh tham gia kỳ thi toán và nhận được 6 điểm số khác nhau, là các số nguyên trong khoảng từ 0 đến 20 Trung bình cộng các điểm số này sẽ được tính để đánh giá kết quả học tập của lớp.
6học sinh trên Ta nói rằng hai học sinh (trong6hoc sinh trên) lập thành một
Không thể chia 6 học sinh thành 3 cặp "hoàn hảo" nếu trung bình cộng điểm số của mỗi cặp lớn hơn m Điều này chứng minh rằng việc tạo ra 3 cặp hoàn hảo là không khả thi.
(b) Có thể có được nhiều nhất là bao nhiêu cặp "hoàn hảo"?
Năm 2018
Bài 1 Cho các phương trìnhx 2 −x+m=0 (1)vàmx 2 −x+1=0 (2)vớimlà tham số.
(a) Tìmmđể các phương trình(1)và(2)đều có2nghiệm dương phân biệt. (b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn gọix 1 ; x 2 là nghiệm của (1) và x 3 ; x 4 là nghiệm của (2).
Bài 2 Choa,blà hai số nguyên thỏa mãna 3 +b 3 >0.
(c) Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t nguyên sao cho x 3 +y 3 = z 2 +t 2 và z 3 +t 3 = x 2 +y 2
Bài 3 ChoAn 18 n +2032 n −1964 n −1984 n vớinlà số tự nhiên.
(a) Chứng minh với mọi số tự nhiênnthìA n chia hết cho51.
(b) Tìm tất cả những số tự nhiênnsao choAnchia hết cho45.
Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn quaB,Ccắt các cạnh AB,AC lần lượt tạiEvàF;BFcắtCEtạiD Lấy điểmKsao cho từ giácDBKClà hình bình hành.
(a) Chứng minh rằng△KBCđồng dạng với△DFE,△AKCđồng dạng với
(c) GọiIlà trung điểm AD, Jlà trung điểmMN Chứng minh rằng đường thẳngI Jđi qua trung điểm của cạnhBC.
(d) Đường thẳng I Jcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác I MNtại T(T ̸= I). Chứng minh rằngADtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácDT J.
Đội văn nghệ của trường THCS gồm 8 học sinh, với mục tiêu thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm có 3 thành viên Mỗi học sinh có thể tham gia nhiều nhóm khác nhau, nhưng hai nhóm tốp ca bất kỳ chỉ được chia sẻ tối đa một học sinh.
(a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên.
(b) Có thể thành lập nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
Lời giải 51
Năm 1993
Bài 1 Chia tập hợp cỏc số tự nhiờn{1, 2,ã ã ã , 2n}thành hai tậpAvàBkớ hiệu cỏc số tăng dần A = {a 1 < a 2 < ã ã ã < a n }và B = {b n < b n − 1 < ã ã ã 1)ta cúa n > a n − 1 > ã ã ã > a k = n,n < b k < b k − 1 a2, khi đúan cnênd=a+bvàc=|a−b|.
∙ Nếuc= a−b,d = a+bta có10a+b = 2(10c+d) =2(10a−10b+ a+b)⇔19ba(vô nghiệm).
∙ Nếuc= b−a,d = a+bta có10a+b = 2(10c+d) =2(10b−10a+ a+b) ⇔28a = 21b ⇔4a ;, suy raa = 3,b= 4c= 1,d = 7 Vậy có duy nhất cặp số thỏa là34và17.
Bài 5 Một tam giác đều được chia hữu hạn các tam giác con, chứng minh rằng có một tam giác con mà các góc đều nhỏ hơn hoặc bằng120 ∘
Trong bài toán này, giả sử có m điểm trong tam giác và n điểm thuộc cạnh, tổng số góc trong các tam giác được tính là: 360m + 180n + 1800(2m + n + 1) Số lượng tam giác được xác định là 2m + n + 1.
Tại một đỉnh của tam giác, chỉ có tối đa một tam giác có góc lớn hơn 120 độ Trong khi đó, một điểm nằm trong tam giác chỉ có thể tạo ra tối đa hai góc lớn hơn 120 độ Do đó, số lượng tam giác có góc lớn hơn 120 độ tối đa là 2m + n.
∙ Do đó sẽ tồn tại ít nhất một tam giác có các góc nhỏ hơn hoặc bằng
Năm 1995
Bài 1 Cho số tự nhiênn>1 Chứng minh rằng:
Nếu không thể sắp xếp số tự nhiên đầu tiên {1, 2, , n} thành một dãy sao cho tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n với mọi k ≤ n, điều này cho thấy sự hạn chế trong việc phân bố các số tự nhiên Việc tìm kiếm một cấu trúc dãy phù hợp là điều cần thiết để đảm bảo tính chất này được thỏa mãn.
Nếu n là số chẵn, ta có thể sắp xếp n số tự nhiên đầu tiên {1, 2, , n} thành một dãy sao cho tổng của k số đầu tiên trong dãy không chia hết cho n, với mọi k ≤ n.
Lời giải (a) Khik = n, ta cú1+2+ã ã ã+n = n(n+1)/2luụn chia hết chonvớinlẻ.
(b) Đặtn=2m Xếp dóy như sau1, 2m, 2, 2m−1,ã ã ã ,m,m+1.
∙ Nếu tổng của một số số chẵn số hạng đầu tiên, ta cók(1+2m) k+nkkhông chia hết chon, trong đóklà số cặp(1, 2m),(2, 2m−
∙ Nếu tổng của một số số lẻ số hạng đầu tiên, ta cók(1+2m) +p kn+k+pkhông chia hết chondok+p< n.
Bài 2 Giải và biện luận hệ phương trình sau:
Lời giải Đặta= xy,b=yz,c= xzta tính được:
3 hoặcm≥2thì hệ vô nghiệm.
Bài 3 Choa 1 ,a 2 ,ã ã ã ,a 1995 là cỏc số thực dương GọiAlà cỏc số lớn nhất trong các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức:
2(a 1 +ã ã ã+a 1995 ) 2 >VP (Điều cần chứng minh)
Bài 4 Cho tứ giác lồiABCD.
(a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kínhABvàCDtiếp xúc ngoài nhau thì ta luôn có: AB+CD≤ AD+BC.
(b) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính ABvàCDtiếp xúc ngoài nhau và hai đường tròn đường kính ADvàBCcũng tiếp xúc ngoài nhau thì tứ giácABCDlà hình thoi.
Lời giải (a) Gọi M,Nlần lượt là trung điểmAB,CD,Klà tiếp điểm của đường tròn đường kính ABvà đường tròn đường kínhCD Gọi Plà trung điểmBD.
Ta cóM,K,Nthẳng hàng suy raMN = 1
(b) Tương tự ý a ta có AD+BC ≥ AB+CD, suy ra AD+BC = AB+
CD Đẳng thức xảy ra khi M,I,N thẳng hàng, suy ra BC//AD và
Tứ giácABCDlà hình bình hành, hơn nữaAD+BC= AB+CD, suy raAD = AB, do đó ABCDlà hình thoi.
Bài 5 (a) GọiOlà một điểm tùy ý nằm trong hình vuông Chứng minh rằng luôn có thể tìm được hai đỉnhAvàBcủa hình vuông sao cho
(b) Gọi Olà một điểm tùy ý nằm trong đa giác đều n cạnh (n ≥ 5). Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao cho
Lời giải (a) Nếu Othuộc cạnh hoặc đường chéo của hình vuông thì ta có điều cần chứng minh.
Giả sử điểm O nằm trong tam giác ABC với điều kiện OA ≤ OB và OA ≤ OC Từ đó, ta có ∠ABO ≤ ∠BAO và ∠ACO ≤ ∠CAO, dẫn đến ∠ABO + ∠ACO ≤ 45° Điều này cho thấy ∠OBC + ∠OCB > 90°, từ đó suy ra ∠BOC < 90°.
∠AOC≥270 ∘ Ta có điều cần chứng minh.
(b) Tương tự, xột đa giỏcA 1 A 2 ã ã ãA n Nếu điểmOthuộc cạnh hoặc đường chéo của đa giác thì ta có điều cần chứng minh.
Nếu ngược lại, giả sử A 1 là đỉnh gần O nhất và O thuộc tam giác
Ta có∠OA 1≤OA i ,OA i + 1 , suy ra∠A 1A i O+A 1 A i + 1 O≤∠A iA 1 A i + 1 Khi đó∠A 1OA i +∠A 1OA i + 1
Từ đó ta có điều cần chứng minh.
Năm 1996
Bài 1 Gọia,blà hai nghiệm của phương trìnhx 2 +px+1=0;c,dlà hai nghiệm của phương trìnhy 2 +qy+1=0 Chứng minh rằng
Lời giải Theo định lý Viete ta cóa+b=−p,ab=1vàc+d= −q,cd=1. Khi đó(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)
=a 2 b 2 +abq 2 +ab 2 q+a 2 bq+a 2 +b 2 +aq+bq+1
Bài 2 Cho các sốx,y,zthỏax+y+z=5(1),x 2 +y 2 +z 2 =9(2).
Lời giải Từ (1) ta cóz=5−x−y, thế vào (2) ta có: x 2 +y 2 + (5−x−y) 2 =9
Chứng minh tương tự ta có1≤x,z≤ 7
Bài 3 (a) Cho tứ giác lồiABCD Hãy dựng đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Cho tam giác ABC và đường thẳng d song song với BC, nằm về phía khác của A Gọi M là điểm di động trên đường thẳng sao cho tứ giác ABMC luôn lồi Đường thẳng đi qua A chia tứ giác thành hai phần, cắt BM hoặc CM tại điểm N Mục tiêu là xác định quỹ tích của điểm N.
Lời giải (a) Giả sửS ABC ≤ S ACD Khi đó đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác cắt cạnhCDtại điểmE Ta cóS ADE = 1
2S ABCD Gọi M là trung điểm đoạn BD Suy ra S ADM +S CDM = 1
2S ABCD =S ADE Suy raS AME =S CME Suy raME//AC.
Từ đó ta suy ra cách dựng điểmE.
Bài toán có một nghiệm hình.
GọiM 1 ,M 2 ,M 3 là giao điểm củaAD,AB,ACvớid.Suy raM 1 là trung điểmM 2 M 3
Trường hợp 1:S ABM < S ACM Khi đóMthuộc đoạnM 1 M 2
Theo câu a thìNcần tìm làND//AM.
GọiOlà giao điểm củaAM,BC Ta có MN
M 1 M 3 Suy raM 1 N//CM 3 hayM 1 N//AC, suy raN thuộc đường thẳng quaM 1 song song AC GọiElà trung điểmAM 2 Khi đóNthuộc đoạnM 1 EkhácE.
Tương tự nếu M thuộc đoạn MM 3 thì N thuộc đoạn M 1 F với F là trung điểm củaAM3.
Bài 4 Chứng minh không tồn tại số tự nhiênnsao cho√ n−1+√ n+1 là số hữu tỷ.
Lời giải ∙ Giả sử√ n−1+√ n+1=mlà số hữu tỷ.
∙ Do đóp n 2 −1= p q và(p,q) =1 Suy ran 2 −1= p
2 q 2 , suy raq=1và n 2 −1= p 2 (vô nghiệm).
∙ Vậy không tồn tạinđể√ n−1+√ n+1là số hữu tỷ.
Bài 5 (a) Chứng minh vớiN≥ 3, luôn luôn cóNsố chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương. (b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên mn ≥ 3 bao giờ cũng xây được một bảng chữ nhật gồmm×nsố chính phương đôi một khác nhau cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương.
Lời giải (a) Ta chỉ cần chọn các sốa 1 ,a 2 , ,a N thỏa a 1 = x 2 vớix lẻ, các sốa 2 = x 2 2 , ,a N − 1 =x 2 N − 1 là các số chính phương chẵn tăng dần. Khi đóa 1 +a 2 + +a N − 1 lẻ và bằng2M+1.
Chọn a N = M 2 , khi đó ta có a 1 , ,a N phân biệt và a 1 + +a N 2M+1+M 2 = (M+1) 2 là số chính phương.
(b) ∙ Ta xétnsố thỏa tương tự câu a.a 1 = x 2 1 là số chính phương chẵn, a 2 = x 2 2 < < a m − 1 = x 2 n − 1 là các số chính phương chẵn lớn hơn a 1 và nếu tổnga 1 + +a n − 1=2k+1ta chọnam =x 2 n =k 2
∙ Ta chọn dãyb 1 =là số chính phương lẻ vàb 1 ≥3 2
∙ Chọn b 2 = y 2 2 ,b 3 = y 2 3 , b n − 1 = y 2 n − 1 là số chính phương chẵn thỏa,y2 > x m y 1 ,y 3 > x m y 2 , ,y n − 1 > x m y n − 2, nếub 1 +b 2 + +
Trang 65 b n − 1 = 2h+1, chọnb n = y 2 n = h 2 Khi đób 1 + +b n là số chính phương.
∙ Xét bảngm×ntrong đó số ở ô(i,j)làx 2 i y 2 j Ta chứng minh bảng được xây dựng như vậy là thỏa đề bài.
∙ Xét dòng thứi, tổng các số ở dòngilàx 2 i y 2 1 + +x 2 i y 2 n = x 2 2 (y 2 1 + +y 2 m )là số chính phương.
∙ Tương tự tổng các số ở cộtjlàx 2 1 y 2 j + +x 2 m y 2 j = y 2 i (x 2 1 + +x 2 m ) là một số chính phương.
∙ Hơn nữa theo cách chọn y 1 ,y 2 , ,yn thì x 1 y 1 < x 2 y 1 < < x m y 1 < x 1 y 2 < < x m y 2 < x 1 y 3 < < x m y n nên các số trong bảng là phân biệt Từ đó ta có điều cần chứng minh.
Năm 1997
Bài 1 (a) Tìm tất cả các số dươngx,ythỏa:
(b) Tìm tấc cả các số dươngx,y,zthỏa :
Lời giải (a) Từ (2) ta cóy =3−x, thế vào (1) ta được 1 x + 4
22 ≤ 0 ⇔ (y−2x) 2 xy + (z−3x) 2 xz + (3y−2z) 2 yz ≤ 0 ⇔ y = 2x,z 2x, 3y=2zTừ đó ta cóx =2,y=4,z =6.
Bài 2 (a) Tìm tất cả các số nguyên dương nsao chon2 n +3 n chia hết cho 5.
(b) Tìm tất cả các số nguyên dươngnsao chon2 n +3 n chia hết cho 25.
Lời giải (a) Nếunta có2 n +3 n chia hết cho 5.
∙ Xétn= 2k+1ta cón.2 n +3 n = (n−1)2 n +2 n +3 n chia hết cho
5 khi và chỉ khi n−1 chia hết cho 5, hayk chia hết cho 5,suy ra k=5q Vậyn= 10q+1.
∙ Xétn = 2k ta cón.2 n +3 n = 2k.4 k +9 k = 2k.4 k +4 k +9 k −4 k (2k+1).4 k +9 k −4 k chia hết cho 5 khi2k+1chia hết cho 5 Khi đók=5q+2, suy ranq+4.
Vậy vớinq+1, 10q+4thìn.2 n +3 n chia hết cho 5.
(b) Theo câu a đểA=n.2 n +3 n chia hết cho 5 thìn q+1, 10q+4 Ta tìmqđển.2 n +3 n chia hết cho 25.
2).1024 q +3.3 10q Ta có1024≡ −1( mod 25), 3 1 0≡ −1( mod 25). Suy raA≡ (20q+2)(−1) q +3.(−1) q ( mod 25)hayA= (−) q (20q+
Suy raAchia hết cho 25 khi và chỉ khi20q+5chia hết cho 25 hay 4q+1chia hết cho 5 Suy raq=5k+1 Vậyn(5k+1) +1 50k+11.
Do đóAchia hết cho 25 khi và chỉ khi10q+20chia hết cho 25 hay q+2chia hết cho 5, suy raq=5k+3 Suy ran(5k+3) +4 50k+34.
Bài 3 Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp, Ý, trong đó mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước Biết rằng i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý Còn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp. ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh Pháp) hơn số người đi Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng số người đã đi Pháp. a) Hãy tìm số người đi đúng một nước. b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp.
Số người đi hai nước Anh và Pháp được ký hiệu là a, từ đó suy ra số người đi hai nước Pháp và Ý là 2a, và số người đi hai nước Anh và Ý là 4a Gọi số người chỉ đi nước Anh là b, dẫn đến số người chỉ đi Ý và Pháp là b + 1 Do đó, số người chỉ đi Pháp được tính là b + 1 - 3a ≥ 0 Từ công thức tổng hợp: a + 2a + 4a + b + b + 1 + b + 1 - 3a = 21, ta có 4a + 3b = 19 Qua đó, a chia 3 dư 1 và a ≤ 5, cuối cùng cho ra kết quả a = 1 và a = 4.
NGUYỄN TĂNG VŨ Suy ra số người chỉ đi một nước là3b+2−3a=14.
(b) Số người chỉ đi Ý là 6 Suy ra số người đi Anh hoặc Pháp là 21 - 6 = 15 người.
Bài 4 (a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy
AB//CDta cóAC 2 +BD 2 = AD 2 +BC 2 +2AB.CD.
(b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD ta có AC 2 +BD 2 ≤
AD 2 +BC 2 +2AB.CD Tìm điều kiện của tứ giác để xảy ra dấu bằng.
Giả sử AB ≤ CD, ta gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Từ đó, ta có công thức AC² + BD² = AH² + HC² + BK² + DK² Khi phân tích, ta nhận thấy rằng AH² + (CK + KH)² + (DH + KH)² + BK² = BD² + AH² + CK² + BK² + 2KH² + 2(DH + KH).
CK)ãHK= AD 2 +BC 2 +2KH(KH+DH+CK) = AD 2 +BC 2 +2ã
(b) GọiK,Hlà hình chiếu củaB,CtrênAD TH1:K,Hthuộc đoạnAD.
Ta cóAC 2 −CD 2 +BD 2 −AB 2 = AH 2 −DH 2 +DK 2 −AK 2 = (AH+
DH)(AH−DH) + (AD+AK)(DK− AK) = ADã(AH−DH) +
ADã(KD−AK) = AD(AH+ DK−DH−AK) = ADã2KH ≤
TH2: K nằm ngoài AD, H thuộc AD AC 2 −CD 2 +BD 2 −AB 2 (AH+DH)(AH−DH) + (DK−AK)(AD+AK) (AH−DH+
AD+AK) = AD.(AH+KH+AK)≤2ãADãBC
TH3:K,Hđều nằm ngoài đoạnAD Chứng minh tương tự VậyAC 2 +
BD 2 ≤ AB 2 +AD 2 +2ãADãBC Đẳng thức xảy ra khiABCDlà hỡnh thang.
Bài 5 Cho dãynsốa 1 ,a 2 , ,a n (trong đó các sốa i chỉ có thể nhận giá trị
0 hoặc 1 thỏa: (*) Bất kì hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau.
(b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một sốa n + 1tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếpa 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 vàa n − 3,a n − 2,a n − 1 ,a n trùng nhau.
Lời giải (a) Ta có2 5 2dãy nhị phân khác nhau có 5 chữ số.
Giả sử n ≥ 37, ta có ít nhất 33 bộ 5 chữ số liên tiếp Theo nguyên lý Đirichlet, sẽ có ít nhất 2 bộ trùng nhau, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, kết luận rằng n ≤ 36.
(b) Nếua n + 1=0thì tồn tạiisao choa i a i + 1a i + 2a i + 3a i + 4≡ a n − 3a n − 2a n − 1a n 0. Nếua n + 1=1thì tồn tạijsao chojthỏaa j a j + 1a j + 2a j + 3a j + 4≡ an − 3an − 2a n − 1an1. Nếui,j>1thìa i − 1 ̸= a j − 1.Suy raa i − 1= a n − 4hoặca j − 1= a n − 4.
Suy ra bộa n − 4an − 3an − 2a n − 1ansẽ trùng một trong hai bộ: a j − 1a j a j + 1a j + 2a j + 3,a i − 1a i a i + 1a i + 2a i + 3(mâu thuẫn).
Vậyi=1hoặcj=1, ta có điều cần chứng minh.
Năm 1998
Bài 1 (a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho2 n −1chia hết 7. (b) Cho số nguyên tố p≥ 5 ĐặtA=3 p −2 p −1 Chứng minhAchia hết cho42p.
Lời giải (a) TH1:n=3kta có2 n −1=2 3k −1=8 k −1chia hết cho 7. TH2:n=3k+1ta có2 n −1=2.8 k −1chia 7 dư 1.
TH3:n=3k+2ta có2 n −1=4.8 k −1chia 7 dư 3.
Vậy2 n −1chia hết cho 7 khi và chỉ khinchia hết cho 3.
(b) 42p=2.3.7.p TH1:p=7ta có3 7 −2 7 −1chia hết cho42.7.
TH2:p>7khi đó các số2, 3, 7,pđôi một nguyên tố cùng nhau.
Ta có3 p −1−2 p chia hết cho 2.
2 p +1chia hết cho 3 vìplẻ, suy ra3 p −2 p −1chia hết cho 3.
∙ p nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5, suy ra p = 6k+1 hoặc p 6k+5 Nếu p = 6k+1ta có 3 p −2 p −1 = 3 6k + 1 −2 6k + 1 −1 3.3 6k −2.2 6k −1.
∙ Ta có 3 6 ≡ 1( mod 7), suy ra 3 6k ≡ 1( mod 7), tương tự thì
∙ Do đó3 p −2 p −1chia hết cho 7.
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có3 p ≡3( mod p), 2 p ≡2( mod 7) Suy ra3 p −2 p −1chia hết cho p.
Bài 2 Cho hai số nguyên dương a và b Biết rằng trong bốn mệnh đề
P,Q,R,Sdưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai:
Trong bốn mệnh đề đã cho, cần chỉ ra mệnh đề sai và cung cấp giải thích cho sự sai sót đó Sau khi xác định mệnh đề sai, nhiệm vụ tiếp theo là tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\) sao cho ba mệnh đề còn lại đều đúng.
Lời giải (a) Ta thấy R và S không thể cùng đúng Vì nếu cả hai cùng đúng thìa+7bchia hết cho 3, không thể là số nguyên tố.
Mặt khácPvàRkhông thể cùng đúng Vì nếu cùng đúng thìa+b 3b+5không chia hết cho 3.
Từ đó nếuRđúng thìP,Ssai vô lý vì có đúng một mệnh đề sai Do đó
(b) Ta cóa++5, suy raa+1++6chia hết chob, suy rab|6suy ra b=1, 2, 3, 6 Kiểm tra các giá trị đểa+7b= 9b+5là số nguyên tố ta có:b=2, 6.
Do đób=2,a=9 vàb=6,a =17thỏa đề bài.
Bài 3 (a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn
Trong một hình vuông có cạnh bằng 1, nếu có 33 điểm bất kỳ, có thể chứng minh rằng trong số các điểm đó tồn tại 3 điểm có thể tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá 1.
Lời giải (a) Chia hình vuông thành 4 hình vuông bằng nhau, có độ dài cạnh là 1
2 Khi đó theo nguyên lý Đirichlet thì có 2 điểm cùng thuộc một hình vuông Do đó khoảng cách của chúng không lớn hơn độ dài đường chéo hay không lớn hơn
(b) Chia hình vuông thành 16 hình vuông nhỏ có diện tích 1
16 Khi đó tổn tại 3 điểm cùng thuộc một hình vuông Ta chứng minh rằng diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm đó không lớn hơn nửa diện tích hình vuông. Giả sử tam giácA,B,Ccó đỉnh thuộc hình vuông.
NếuB,Ccùng thuộc cạnh hình vuông.
Nếu không có hai đỉnh nào nằm trên cạnh hình vuông, từ một đỉnh của tam giác (giả sử là A), ta vẽ một đường thẳng song song với cạnh hình vuông Đường thẳng này cắt cạnh BC của tam giác tại điểm D, từ đó chia hình vuông thành hai hình chữ nhật với diện tích lần lượt là S1 và S2.
Do đó tam giác có 3 đỉnh thuộc hình vuông có diện tích không quá 1
Do đó 3 đỉnh tạo thành tam giác có diện tích không quá 1
Bài 4 Chox,y,z,p,q,rlà các số thực dương thỏa mãn điều kiệnx+y+ z = p+q+r =1vàp,q,r ≤ 1
2. (a) Chứng minh rằng nếux≤y≤ zthìpx+qy+rz≥ x+y
2 (b) Chứng minh rằngpx+qy+rz≥8xyz
Lời giải (a) Ta có px+qy+rz≥(p−1
(b) Vai trò củax,y,znhư nhau, ta có thể giả sửx ≤y≤z. Áp dụng câu a, ta cần chứng minhx+y≥16xyz.
Ta có4xy ≤ (x+y) 2 , suy ra16xyz ≤ 4z(x+y) 2 = 4z(1−z)(x+y).
Do đó16xyz≤x+y(điều cần chứng minh).
Bài 5 (a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, , 8 thành một dãya 1 ,a 2 , ,a 8 sao cho 2 sốa i ,a j bất kì(i< j)thì mọi số trong dãy nằm giữaa i vàa j đều khác a i +a j
2 (b) Chứng minh rằng với Nsố nguyên dương đầu tiên1, 2, ,Nluôn tìm được cách sắp thành dãya 1 ,a 2 , ,a N sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).
Lời giải (a) Một cách xếp thỏa đề bài là 26481537.
(b) Ta chứng minh bằng quy nạp vớin= 2 k thì luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài.
Giả sử luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài vớin=2 k , cách xếp đó là a1,a2, ,an.
Ta chứng minh tồn tại một cách xếp vớin=2 k + 1 Thật vậy xét hoán vị (2a 1 , 2a 2 , , 2a n , 2a 1 −1, 2a 2 −1, , 2a n −1)là một hoán vị của1, 2, , 2 k + 1
Ta chứng minh hoán vị trên thỏa đề bài.
∙ Ta có nếu a i ,a j ∈ {2a 1 , 2a 2 , , 2a n }theo giả thiết quy nạp không có số nào nằm giữaa i ,a j bằng 1
∙ Nếu a i ,a j ∈ {2a 1 −1, 2a 2 −1, , 2a n −1}theo giả thiết quy nạp thì cũng có số nào nằm giữaa i ,a j bằng 1
2(a i +a j ). Vậy bài toán đúng vớin=2 k (1)
Nếu bài toán đúng vớin, ta chứng minh bài toán đúng vớin−1 Xét các sốa 1 ,a 2 , ,a n là một hoán vị thỏa đề bài của1, 2, ,n Khi đó nếu
NGUYỄN TĂNG VŨ xóa bất kì số nào trong các sốa 1 , ,a n thì dãy còn lại vẫn thỏa điều kiện (2)
Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.
Năm 1999
Bài 1 (a) Biết rằngx 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:ax 2 + bx+c=0 Viết phương trình bậc hai nhậnx 3 1 ,x 2 3 làm hai nghiệm. (b) Giải bất phương trình(x 2 +4x+10) 2 −7(x 2 +4x+11) +70, suy rab> c, suy ra 1 a− 1 c b−c>0 Suy rac> a Ta cóa> b> c>avô lý Tương tự choa< b thìa> c>b>a(vô lý).
Bài 5 Trong một giải bóng đá có Nđội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần) Sau mỗi trận đấu, thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội được 1 điểm Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ số phụ Kết thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp nhau có tổng điểm đôi một khác nhau.
(b) TìmNvà tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.
Lời giải (a) Ta có tổng số trận làT = N(N−1)
2 Suy tổng số điểm của các đội làS= 3N(N−1)
Để giải bất phương trình 2 Ta có S > 15 + 12 + 12 ⇔ N^2 - N - 26 > 0, suy ra N ≥ 6 Nếu N = 6, đội hạng nhất sẽ thắng 5 trận, đồng nghĩa với việc họ thắng hai đội hạng nhì Hai đội hạng nhì này sẽ thắng 4 trận còn lại và đánh bại đội hạng 3.
Do đó đội hạng 3 không thể thắng 4 trận Do đó không có 12 điểm. Mâu thuẫn VậyN≥7.
(b) Do không có kết quả hòa nên số điểm là một số chia hết cho 3 Các đội còn lại có số điểm khác nhau.
Suy ra số điểm thuộc{0, 3, 6, 9, 12} Suy ra N≤8.
NếuN=8thì các điểm đó là0, 3, 6, 9, 12 Suy raS9+12+9+6+
Do đóN = 7 Số đội còn lại là 4, tổng số điểm của các đội còn lại là
63−39$điểm Suy ra số điểm các đội còn lại là0, 3, 9, 12.
Năm 2003
Bài 1 (a) Chứng minh rằng phương trình (a 2 −b 2 )x 2 +2(a 3 −b 3 )x+ a 4 −b 4 =0luôn có nghiệm với mọia,b.
Lời giải (a) ∙ Nếu a 2 = b 2 ⇔ a = bhoặc a = −b TH1: a = bta có phương trình0x=0có nghiệm với mọix.
TH2:b=−a, ta có phương trình4a 3 x ó nghiệm với mọia.
Do đó phương trình luôn có nghiệm.
(b) Đặt a = x+1,b = y+1, ta có hệab = 6(1),a 3 +b 3 = 35(2) Từ (1) và (2) ta có(a+b) 3 −3ab(a+b) 5 ⇔ (a+b) 3 −18(a+b)−35 0⇔a+b=5(3).
Từ (2) và (3) ta cóa=3,b=2hoặca=2,b=3.
Từ đó giải được nghiệm(x,y)là(2, 1),(1, 2).
Bài 2 (a) Với mỗi số nguyên dươngn, đặta n = 2 2n + 1 −2 n + 1 +1,b n 2 2n + 1 +2 n + 1 +1 Chứng minh rằng với mọinthìa n b n chia hết cho
5 vàa n +b n không chia hết cho 5.
(b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng.
Ta có 4 ≡ −1( mod 5), suy ra 4 2n + 1 ≡ −1( mod 5) Suy ra
Vậya n b n chia hết cho 5 với mọin.
∙ Ta có a n +b n = 2.2 2n + 1 +2 = 4 n + 1 +2 Ta có 4 n + 1 ≡ −1, 1( mod 5).
Vậyan+bnkhông chia hết cho 5 với mọin.
(b) Gọix,y,zlà ba số cần tìm Ta cóx+y+z= xyz⇔ 1 xy+ 1 yz+ 1 xz =1. Không mất tính tổng quát giả sửz =min{x,y,z}.
Ta có1= 1 xy + 1 yz+ 1 xz ≤ 3 z 2 , suy raz 2 ≤3.
Suy raz=1 Khi đóx+y+1=xy⇔(x−1)(y−1) =2.
Vậy bộ ba số cần tìm là (1, 2, 3).
Bài 3 Cho tam giác ABCvuông tạiAcó đường cao AA 1 Hạ A 1 H⊥AB vàA 1 K⊥AC ĐặtA 1 B= x,A 1 C=y.
Gọi r và r' lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và tam giác AHK Cần tính tỷ số r' trên r theo biến x, y để xác định giá trị lớn nhất của tỷ số này.
(b) Chứng minh rằng tứ giácBHKCnội tiếp đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó theox,y.
(a) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuôngABCta cóAA 2 1 = A 1 B.A 1 C xy, suy raAA 1 =√ xy.
Ta có∆AHK∼∆ACB, suy rar ′ r = HK
Tứ giácAH A 1 Klà hình chữ nhật, suy raHK= AA 1 = pA 1 B.A 1 C√xy.
2 Đẳng thức xảy ra khix =y.
Vậy giá trị lớn nhất của r ′ r bằng 1
2 khix= yhay tam giác ABCvuông cân.
(b) Ta có∠AHK =∠BAA 1=∠ACB, suy ra tứ giácBHKCnội tiếp GọiI là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.
GọiE,Dlần lượt là trung điểmHK,BC Ta cóIE⊥HK,ID⊥BC.
Mặt khác AD⊥HK,AE⊥BC Suy ra ADIElà hình bình hành Suy ra
Bài 4 (a) Cho đường tròn(C)tâmOvà một điểm AkhácOnằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi quaAnhưng không đi qua
Ocắt (C) tại M,N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giácOMNluôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn (C) với tâm O và một đường thẳng d nằm ngoài đường tròn Điểm I di động trên đường thẳng d Đường tròn có đường kính IO cắt (C) tại hai điểm M và N Cần chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải (a) GọiDlà giao điểm của(BOC)và AO.
Vẽ tiếp tuyếnAPđến(O) Ta cóAB.AC = AP 2 = OA 2 −OP 2 không đổi.
MàAD.AO= AB.AC, suy ra AD.AOkhông đổi,A,Ocố định nênD cố định.
(b) Đường thẳng quaOvuông góc vớidcắtdtạiHvà cắt MNtại E Gọi
Ta có∆ODE ∼ ∆OH I, suy raOE.OH = OD.OA Hơn nữaOD.OI OM 2 Suy raOE.OH =OM 2 không đổi, màO,Hcố định, suy raEcố định.
Bài 5 (a) Cho một bảng vuông 4×4 Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0 Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn các số 0.
Trong vương quốc "Sắc màu kỳ ảo", có tổng cộng 45 hiệp sĩ với 3 màu tóc: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau, màu tóc của họ sẽ tự động chuyển sang màu tóc thứ ba Ví dụ, hiệp sĩ tóc đỏ và hiệp sĩ tóc vàng sẽ đổi sang tóc xanh Câu hỏi đặt ra là liệu có thể xảy ra trường hợp nào sau một số hữu hạn lần gặp gỡ giữa các hiệp sĩ này.
NGUYỄN TĂNG VŨ nhau như vậy ở "Sắc màu kỳ ảo" tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc không? Vì sao?
Lời giải (a) Giả sử trong một dòng cóxsố 1 và4−xsố 0 Sau một phép biến đổi bảng thì có 4−x số 0 và x số 1 Khi đó số số 1 thay đổi
Lúc đầu có 9 số 1 thì sau một số phép biến đổi bảng thì số số 1 cũng là một số lẻ, nên bảng không thể chỉ còn toàn số 0.
Gọix, y, z là số hiệp sĩ tóc đỏ, tóc vàng và tóc xanh tại một thời điểm nhất định Khi hai hiệp sĩ gặp nhau, màu tóc của họ sẽ thay đổi Cụ thể, nếu hiệp sĩ tóc đỏ và vàng gặp nhau, số lượng hiệp sĩ sau đó sẽ lần lượt là x−1, y−1 và z+2 Ngoài ra, chúng ta cũng nhận thấy rằng, sau mỗi lần gặp gỡ, số dư của x−y, x−z và y−z khi chia cho 3 vẫn không thay đổi.
Do đó lúc đầux−zchia 3 dư 1,x−ychia 3 dư 1,y−zchia cho 3 dư 2(2).
Giả sử sau khi gặp nhau tất cả hiệp sĩ có cùng màu tóc thìx−y,y− z,x−zchia hết cho 3 Điều này không xảy ra theo (1) và (2).
Vậy sau hữu hạn lần gặp nhau thì tất cả các hiệp sĩ không thể có cùng màu tóc.
Năm 2004
Bài 1 (a) Giải hệ phương trình
x+py+5=1(1) y+√ x+5=1(2) (b) Cho các sốx,ythỏa|x|