Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên lê quý đôn năm học 2008 2009

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn năm học 2008 2009 1 SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 6 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2008 2009 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 1862008 Câu 1 (1,5 điểm) Chứng minh bất đẳng thức với a > 0 a aa 2 1 1  Câu 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau a) b) 9 611 3 2 2 2     x xx x x 1223122  xx Câu 3 (1,5 điểm) Cho x ≥ 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x xy 2 1 3 .

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 18/6/2008 Câu 1: (1,5 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: a 1  a  Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: 2x x  11x  a)  x3 x2  a b) với a > x  2x    2  Câu 3: (1,5 điểm) Cho x ≥ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: y  x  2x Câu 4: (2,5 điểm) Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) D, (D khác C) Trên tia Ax lấy điểm M Đường thẳng qua O vng góc với BM cắt CD E Tia AE cắt BM F Chứng minh điểm F nằm tia cố định M (M khác A) di động tia Ax Câu 5: (1,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > cho x  chia hết cho y đồng thời 3y  chia hết cho x Hết Họ tên thí sinh: DeThiMau.vn SBD : HƯỚNG DẪN CHẤM THI Mơn thi: TỐN (dành cho lớp chun Tốn) -Nội dung Câu 1: (1,5 điểm) Với a > ta có: a 1  a  Điểm a 1  a 1  < a a a 1,0 (đpcm) 0,5 Câu 2: (3,0 điểm) a) Điều kiện x ≠ ± Khi ta có: 2x x  11x   2x(x + 3) = x2 + 11x –  x3 x2   x2 – 5x + = (*) Phương trình (*) có ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = >   1 Do phương trình (*) có hai nghiệm  (5)   (5)  x1   , x2   2.1 2.1 Đối chiếu với điều kiện ban đầu x1 = khơng thỏa mãn nên phương trình cho có nghiệm x = b) Ta có x  2x    2   x  12    0,25 0,5 0,5 0,25 2 1   x 1  1   x 1   0,25 0,25 0,25 x      x   2  x     x  1  0,25 0,25 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   , x  1  Câu 3: (1,5 điểm) x 5x  Ta có y  x  =  2x 2x x x 1 5x Mà  2    (do x ≥ 1) 2x 2x 2 Do y    2 Dấu “=” xảy x = Vậy GTNN y , giá trị đạt x = Câu 4: (2,5 điểm) Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax AB theo thứ tự G H Ta có GH  EO (1) Suy DOEG, EOHC tứ giác nội tiếp Từ ฀ DOG  ฀ DEG  ฀ CEH  ฀ COH Ta lại có DO = CO Do ∆DOG = ∆COH DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Suy OG = OH Kết hợp với (1) suy GE = EH Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF Vì I trung điểm AB FI // Ax Mà Ax cố định I cố định nên suy F luôn nằm tia Iy cố định song song với Ax (đpcm) Câu 5: (1,5 điểm) Dễ thấy x ≠ y x > 1, y > Khơng giảm tính tổng quát ta giả sử x > y Đặt 3y + = px Vì x > y suy 3x > 3y + = px  p <  p  {1, 2}  Nếu p = x = 3y +  3x + = 9y +  y   y  y  {2, 4} + Nếu y =  x = + Nếu y =  x = 13  Nếu p =  2x = 3y +  2(3x + 1) = 6x + = 3(3y + 1) + = 9y + Vì 3x +  y  9y +  y  y =  x = Vậy ta có nghiệm (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4) DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI Mơn thi: TỐN (dành cho lớp chuyên Toán) -Nội dung Câu 1: (1,5 điểm) Với a > ta có: a 1  a... DOEG, EOHC tứ giác nội tiếp Từ ฀ DOG  ฀ DEG  ฀ CEH  ฀ COH Ta lại có DO = CO Do ∆DOG = ∆COH DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Suy OG = OH Kết hợp với (1) suy GE = EH Lại...  y  9y +  y  y =  x = Vậy ta có nghiệm (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4) DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25