VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official Chủ đề 5 Tứ giác nội tiếp Dạng 2 Ứng dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh thẳng hàng, song song[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Chủ đề 5: Tứ giác nội tiếp Dạng 2: Ứng dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh thẳng hàng, song song, vng góc, đồng quy A Phương pháp giải + Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng - Ba điểm tạo thành góc bẹt - MN//d, MP//d Theo tiên đề Ơ – clit MN MP M, N, P thẳng hàng - MN d, MP d Qua điểm đường thẳng kẻ đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho MN MP M, N, P thẳng hàng + Chứng minh song song - Sử dụng cặp góc so le trong, đồng vị, phía - Các định lý từ vng góc đến song song, đường trung bình, định lý Thalet,… + Chứng minh vng góc - Chứng minh góc tạo hai đường thẳng 90 - Các đường trung trực, đường cao, … + Chứng minh đồng quy - Chứng minh điểm đồng thời thuộc ba đường thẳng - Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nằm đường thẳng thứ ba - Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thứ thứ hai trùng với giao điểm hai đường thẳng thứ hai thứ b - Sử dụng tính chất đồng quy ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực tam giác - Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt Nhận xét B Ví dụ minh họa Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có ABC ADC 180 Chứng minh đường trung trực AC, BD, AB qua điểm Hướng dẫn giải Tứ giác ABCD có ABC ADC 180 ABCD tứ giác nội tiếp Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD OA = OB = OC = OD = R Do OA = OC nên ΔOAC cân O Suy ra, O thuộc đường trung trực AC Do OB = OD nên ΔOBD cân O Suy ra, O thuộc đường trung trực BD Do OA = OB nên ΔOAB cân O Suy ra, O thuộc đường trung trực AB O thuộc đường trung trực AC, BD, AB Vậy đường trung trực AC, BD, AB qua O Ví dụ 2: Cho ba đường tròn qua điểm P Gọi giao điểm khác P hai ba đường trịn A, B, C Từ điểm D (khác điểm P) đường tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đường tròn (PAB) ,(PAC) M, N Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng Hướng dẫn giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Gọi I, J, K tâm ba đường trịn Ta có: (I) cắt (J) A, (I) cắt (K) C , (J) cắt (K) B Suy ra: D điểm nằm (K) DB cắt (I) M, DC cắt (J) N Nối MA, NA, PA, PB, PC ta có tứ giác nội tiếp AMBP, BDCP APCN + Tứ giác APBM nội tiếp đường tròn (I) nên ta có: MAP MBP 180 (tính chất tứ giác nội tiếp) Mà PBD MBP 180 (hai góc kề bù) MAP PBD (1) + Tứ giác APCN nội tiếp đường tròn (J) nên ta có: NAP NCP 180 (tính chất tứ giác nội tiếp) Mà PCD NCP 180 (hai góc kề bù) NAP PCD (2) Từ (1) (2) MAP NAP PBD PCD Mặt khác, PBDC tứ giác nội tiếp (K) PBD PCD 180 ( tính chất tứ giác nội tiếp) MAP NAP 180 hay MAN 180 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Vậy A, M, N thẳng hàng Ví dụ 3: Cho đường trịn tâm O bán kính R hai dây AB, CD Gọi M điểm cung nhỏ AB Gọi E F tương ứng giao điểm MC, MD với dây AB Gọi I J tương ứng giao điểm DE, CF với đường tròn (O) Chứng minh IJ song song với AB Hướng dẫn giải: M điểm cung nhỏ AB MA MB sñ AC sñ MB (góc có đỉnh nằm đường trịn chắn cung AC cung MB) Ta có: AEC AEC 1 sñ AC sñ MA sñ MC 2 1 Ta lại có: CDM sđ MC ( góc nội tiếp chắn cung MC) hay CDF sñ MC 2 CDF AEC Mà AEC CEF 180 (hai góc kề bù) CDF CEF 180 Suy tứ giác DCEF nội tiếp đường tròn CDE EFC ( hai góc nội tiếp chắn cung CE) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Xét đường trịn (O) ta có: IJC CDE (hai góc nội tiếp chắn cung CI) IJC EFC Mà hai góc vị trí đồng vị IJ AB Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, đường cao BB’ CC’ nội tiếp đường trịn (O) Chứng minh OA vng góc với B’C’ Hướng dẫn giải Ta có: BB ' C BC ' C 90 ( Do BB’, CC’ đường cao) Hai đỉnh liên tiếp C’, B’ nhìn cạnh BC góc 90 Tứ giác BCB’C’ nội tiếp đường trịn đường kính BC Do đó: ABC CB ' C ' 180 ( hai góc đối nhau) Mà C ' B ' A CB ' C ' 180 (hai góc kề bù) ABC C ' B ' A Kẻ tia tiếp tuyến At (O) Khi đó: ABC CAt (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung chắn cung AC) C ' B ' A CAt Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Mà hai góc vị trí so le B’C’//At Mà At OA B’C’ OA Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông A Một điểm D nằm A B, đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh: a Hai tam giác ABC EBD đồng dạng với b Tứ giác ADEC tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn c AC // FG d Các đường thẳng AC, DE BF đồng quy Hướng dẫn giải a Xét đường trịn đường kính BD Ta có: BED 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét ABC EBD , ta có: BAC BED 90 ABC chung ABC EBD (g – g) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack b Xét tứ giác ADEC, có: DAC DEC 90 90 180 Suy tứ giác ADEC nội tiếp đường trịn Ta có: F O BFD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BFC 90 BFC BAC 90 A, F nhìn BC góc 90 Tứ giác AFBC nội tiếp đường trịn c) Tứ giác BEGF nội tiếp đường tròn FBE FGA (1) Tứ giác BFDE nội tiếp đường tròn FBE CDE (2) Tứ giác ADEC nội tiếp đương trịn EDC EAC ( hai góc nội tiếp chắn cung EC)(3) Từ (1), (2) (3) suy ra: FGA EAC Mà hai góc vị trí so le FG//AC d) Gọi giao điểm AC, BF H Xét tam giác HBC, có: CF, AB đường cao CF AB D D trực tâm tam giác HBC HD BC (1) Ta lại có DEB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BD) DE BC (2) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Từ (1) (2) suy H, D, E thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy H Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official