DE KIEM TRA TU LUAN TOÁN CAO CẤP 2

Toán cao cấp 2 bài kiểm tra tự luận BF10 1 ĐỀ 01 Câu 1 a, Tính giới hạn b, Khảo sát tính liên tục của hàm số sau Bài giải a, Theo quy tắc L’hospital ta có b, Ta có Tập xác định của hàm số Với thì Đây là hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng và Với , ta có Để hàm số liên tục tại khi và chỉ khi Kết luận với thì hàm số liên tục trên Câu 2 a, Tính đạo hàm của hàm số sau b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần đúng của biểu thức Bài giải a, Ta có b, Ta có Đổi độ về.

Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 ĐỀ 01 Câu 1:   lim x   arctan x  x  2  a, Tính giới hạn b, Khảo sát tính liên tục hàm số sau:  x2  , x   f  x   x   a, x   Bài giải a, Theo quy tắc L’hospital ta có:   arctan x  x  lim  x lim  lim   x  x  x   x 1 lim x   arctan x   x  2  x x2  x2 1  lim  lim  1 x   x  x 2 x 1    x  b, Ta có: Tập xác định hàm số: D  ¡ x2  f  x  x2 Với x  D  ¡ \  2 Đây hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là:  ;   2;   Do hàm số liên tục khoảng Với x  , ta có f  2  a   x    x    lim x   x2  lim f  x   lim  lim   x 2 x  x 2 x 2 x2  x 2 lim f  x   f    a  Để hàm số liên tục x  x 2 a  ¡ Kết luận: với hàm số liên tục Câu 2: a, Tính đạo hàm hàm số sau: y  ln  x   arctan x  x  b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần biểu thức: A  cos 61  26,8 Bài giải  x   ln  3x  2 6x y  arctan x  x   3x  2 x  x   x2  x   a, Ta có: b, Ta có:  61  cos 61  cos    180  Đổi độ radian:  Ta xét hàm  Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 f  x   cos x  Khi ta có f x   sin x 60 f  60   f   60    x      180  180 :  180  ; Tại f  x   f  x0    x  x0  f x  x0  Ta có:  61   60   61 60    60  f   f     f x    180   180 180   180  Suy  180    3 3         180   360 g x  3 g  x  x x2 Tương tự: ,  x0  27 g  27   g x  27   27 Tại : ; x0  Ta có: g  x   g  x0    x  x0  g x  x0  Suy g  26,8   g  27    26,8  27  g x  27  (1) 1 404  3  3  27 135 135 Từ (1) (2) suy A  cos 61  26,8 Câu 3: Tính  (2) 3 404    2,51 360 135  3x  dx  a, x  x  ; b, x sin x dx x  cos  Bài giải 3x  dx  I x  x   t  dt   x   dx  2x  ; Đặt 3 4 2x  2   2x     2 3 dx  dt  I  dx   dx 2   x  2x  x  2x  t x  2x  Khi  ln x  x   2 dx 2  x  1  2  a, x   b, x sin x dx  I x  cos  3  x 1   x 1  ln x  x    arc tan   C  ln x  x   arc tan   C 2     Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 u  x du  dx     sin x dv  cos x dx v  cos x Đặt Khi   x 4 I  dx  J cos x   cos x 3 J Tính  cos x   sin  x dx  (1)     1  1     sin x    sin x  d  sin x      sin x +  sin x  d  sin x   1  sin x  ln  ln 97  56  sin x  4 4   (2)   I J   ln 97  56  1,555 3 Từ (1) (2) suy Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho phương trình tham số sau:  x   t  sin t    y    cos t  với  t  2 Bài giải Ta có:  x  t    cos t   y  t   2sin t Suy x  t   y   t     cos t    2sin t    8cos t  t t t  4sin sin 0 2 (Vì t   0; 2  ) 2 2 t t yds     cos t  4sin  dt  16  sin  dt  16 2 2 0    cos t   16sin S 2  Ta cần tính: Vậy diện tích cần tìm là: 16 (đvdt) Câu 5: Tìm cực trị hàm hai biến sau: z  x  3xy  30 x  18 y Bài giải x Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến y Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1  z   x  y  30   x   z y  xy  18   1  2  x  1 3 3 x     30    y x  x  3 x vào (1) ta được: Từ (2): Với x  1  y  3 x  3  y  1  1;3 ,  1; 3 ,  3;1 ,  3; 1 điểm cực trị cần xét Các điểm    A  z xx  z x  x B  z xy  z x  y C  z yy  z y  x y y x Đặt ; , Xét điểm  1;3 : A  6, B  18, C  +tại  B  AC    1;3  A  Suy  cực trị  1; 3 : A  6, B  18, C  6 +tại  B  AC    1; 3  A0  Suy cực trị  3;1 : A  18, B  6, C  18 +tại  B  AC    3;1  z  z  3;1  72 A  Suy  điểm cực tiểu Suy CT  3; 1 : A  18, B  6, C  18 +tại  B  AC    3; 1  z  z  3; 1  72 A0  Suy điểm cực đại Suy CĐ       Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 ĐỀ 02 Câu 1: lim  sin x.cot x  a, Tính giới hạn x b, Khảo sát tính liên tục hàm số sau:  x2  , x   f  x   x  b, x   Bài giải cos x 2sin x cos x  lim cos x 2 cos  2 lim  sin x.cot x   lim x  x  x   sin x a, Ta có: b, Ta có Tập xác định hàm số: D  ¡ x2  f  x  x 3 Với x  D  ¡ \  3 Đây hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là:  ;3  3;   Do hàm số liên tục khoảng Với x  , ta có f  3  b   x  3  x  3  lim x   x2  lim f  x   lim  lim   x 3 x  x 3 x 3 x3  x 3 lim f  x   f  3  b  Để hàm số liên tục x  x 3 b  Kết luận: với hàm số liên tục ¡ Câu 2: a, Tính đạo hàm hàm số sau: y  ln  x   arcsin x  x  b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần biểu thức: B  cos 61  27,1 Bài giải  y  ln x  arcsin x  3x  a, Ta có     ln  x    x   2x  arcsin x 3x 2  x 2 x  3x    x  x   b, Ta có  61  cos 61  cos    180  Đổi độ radian: Ta xét hàm f  x   cos x Tại x0   Khi ta có f x   sin x 60 f  60   f   60 x     180 180 :  180  ;     Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 Ta có: f  x   f  x0    x  x0  f x  x0   61   60   61 60    60  f   f     f x   180 180 180 180        180  Suy   3 3         180   360 Tương tự: g  x  x , g x  (1) 3 x2  x0  27 g  27   g x  27   27 Tại : ; g  x   g  x0    x  x0  g x  x0  Ta có: Suy g  27,1  g  27    27,1  27  g x  27   3 1 811  3  10 27 270 270 Từ (1) (2) suy A  cos 61  27,1 Câu 3: Tính  (2) 3 811    2, 5188 360 270 2 4x  dx  a, x  x  12 ; b,   cos x dx Lời giải 4x  dx  I  a, x  x  12  2x  2  2x  I  dx   dx   dx x  x  12 x  x  12 x  x  12 Khi 1  2 d  x  x  12    dx x  x  12 x  x  12  ln x  x  12  J  C1  dx 11 2 J  dx  dx  dt x  1  11  x  x  12 cos t Tính Đặt x   11 tan t  Suy  11 11 cos t 11 J   dt  dt  t C2  11 cos t 11 11 tan t  1 cos t 11  x 1   x 1  t  arctan  J arctan   C2  11  11   11  , x   11 tan t Suy Suy 11  x 1  I  ln x  x  12  arctan   C 11  11  Vậy I b, 2   cos x dx Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 2  a  b cos x dx  Ta thừa nhận công thức chứng minh: Đồng thức vế ta được: a  2, b  I Do đó, 2   cos x dx  2 22  12  2 a2  b2 2 3  Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho phương trình tham số sau:  x  12 cos t  5sin t   y  5cos t  12sin t với  t  2 Lời giải Ta có:  x   12 cos t  5sin t   144 cos t  120sin t cos t  25sin t x  12 cos t  5sin t    2  y   5cos t  12sin t   25cos t  120sin t cos t  144sin t  y  5cos t  12sin t Suy x  y  169  cos t  sin t   169 S Ta cần tính 2  x2  t   y 2  t  ds ds  x '  t   y   t   13dt 2 2 Vậy S   169 dt  169.2  338 , (đvdt) Câu 5: Tìm cực trị hàm hai biến sau: z  x  3xy  30 x  18 y Bài giải Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x y  z   x  y  30   1  x   z y  xy  18   2  x  1 3 3 x     30    y x  x  3 x vào (1) ta được: Từ (2): Với x  1  y  3 x  3  y  1  1;3 ,  1; 3 ,  3;1 ,  3; 1 điểm cực trị cần xét Các điểm    A  z xx  z x  x B  z xy  z x  y C  z yy  z y  x y y x Đặt ; , Xét điểm  1;3 : A  6, B  18, C  +tại  B  AC    1;3  A0  Suy cực trị  1; 3 : A  6, B  18, C  6 +tại       Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1  B  AC    1; 3  A  Suy cực trị  3;1 : A  18, B  6, C  18 +tại  B  AC    3;1  z  z  3;1  72 A0  Suy điểm cực tiểu Suy CT  3; 1 : A  18, B  6, C  18 +tại  B  AC    3; 1  z  z  3; 1  72 A0  Suy điểm cực đại Suy CĐ Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 ĐỀ 03 Câu 1: a, Tính giới hạn lim x cot x x 0  x2 1 , x   f  x   x 1  c, x   b, Khảo sát tính liên tục hàm số sau: Bài giải cos x cos x x cos x x x lim x   lim  x   lim x cot x  lim x 0 sin x x0 sin x x x0 x sin x a, x 0 sin x lim 1 lim x cot x  x 0 x  x (Vì ta biết, ) Do đó, b, Ta có Tập xác định hàm số: D  ¡ cos x x0 lim  x2  f  x  x 1 Với x  D  ¡ \  1 Đây hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là:  ;1  1;   Do hàm số liên tục khoảng Với x  , ta có f  1  c   x  1  x  1  lim x   x2 1 lim f  x   lim  lim   x 1 x  x 1 x 1 x 1  x 1 lim f  x   f  1  c  Để hàm số liên tục x  x 1 Kết luận: với c  hàm số liên tục ¡ Câu 2: a, Tính đạo hàm hàm số sau: y  ln  x  1 arcsin x  x  b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần biểu thức: C  tan 31  26,9 Bài giải  y  ln x  arcsin x  x  a, Ta có     ln  x  1  x  3 8x  arcsin 3x 3x 1  4x 1 x  x  1   x  x  1 b, Ta có  31  tan 31  tan    180  Đổi độ radian: Ta xét hàm f  x   tan x Khi ta có f x  cos x  Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 30 f  30   f   30   x      180  180 :  180  ; Tại f  x   f  x0    x  x0  f x  x0  Ta có:  31   30   31 30    30  f   f     f x   180 180 180 180        180  Suy x0   4 4     180   540 g x  g  x  x 3 x2 Tương tự: ,  x0  27 g  27   g x  27   27 Tại : ; g  x   g  x0    x  x0  g x  x0  Ta có: g  26,9   g  27    26,9  27  g x  27  Suy 1 809  3  3  10 27 270 270  Từ (1) (2) suy A  tan 31  26,9 Câu 3: Tính 3x  dx  a, x  x  12 ;  (1) (2) 4 801    3,5387 360 270 2 b,  x.arctan x  x2 dx Bài giải 3x  dx  a, x  x  12  I  2x  4  3 2x  I 22 dx   dx  3 dx x  x  12 x  x  12 x  x  12 Khi 1   d  x  x  12   3 dx x  x  12 x  x  12  ln x  x  12  J  C1 Tính J  3 Suy 1  3 dx d x  d x  dt x     x  x  12 cos t Đặt x   tan t 3 cos t 3 J  3  dt  dt  t C2  cos t 8  tan t  1 cos t 3  x2  x2 t  arctan  J arctan    C2 8 x   tan t     Suy , Suy 3  x2 I  ln x  x  12  arctan   C   Vậy Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 2 b,  x.arctan x  x2 dx I  u  arctan x  du   x dx  x dv  d x  v   x  x2  Đặt  2 2  x I  arctan x  x   dx  0  x Khi đó, J Với Đặt J 2   x2 dx   x2 x  tan t  dx  2   tan t  tan t 2  1  x2 dx dt cos t dt  2   tan t dt  2  cos  arctan x  d  arctan x   2,537 , (Với t  arctan x ) Vậy I  8,9896  2,537  6, 452 Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho phương trình tham số sau:  x  a cos t   y  b sin t với  t  2 Lời giải x  a  cos t  x   y         cos t  sin t   2 y x  0 y  0   a b   sin t   1 a2 b2 Ta có:  b dx   a sin t  dx  a sin tdt Ta có: dt a a 0 0   S   ydx   b sin t  a sin t  dt  4ab  sin tdt  2ab    cos 2t  dt Do đó,  sin 2t   2ab t    ab   , (đvdt) Câu 5: Tìm cực trị hàm hai biến sau: z  xy  50 20  x y , biết x  0, y  Bài giải x Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến y Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 50    z x  y  x    z y  x  202  y   1  2  y  ( L) 20 50 y  400 y    y vào (1) ta được: y  Từ (2): Với y   x  5, x  5( L) , x Các điểm  5;  điểm cực trị cần xét       20  50 A  z xx  z x  B  z xy  z x  C  z yy  z y  y y y x x ; Đặt , 5;  A  25 , B  1, C   Xét điểm :    B  AC    5;   z  z  5;   30 A0  Suy điểm cực tiểu Suy CT Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 ĐỀ 04 Câu 1:   lim x   arctan x  x  2  a, Tính giới hạn b, Khảo sát tính liên tục hàm số sau:  x  25 , x   f  x   x   a, x   Bài giải a, Theo quy tắc L’hospital ta có:   arctan x  x  lim  x lim  lim   x  x  x   x 1 lim x   arctan x   x  2  x x2  x2 1  lim  lim  1 x   x  x 2 x 1    x  b, Ta có: Tập xác định hàm số: D  ¡ x  25 f  x  x 5 Với x  D  ¡ \  5 Đây hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là:  ;5   5;   Do hàm số liên tục khoảng Với x  , ta có f  5  a   x    x    lim x   10 x  25 lim f  x   lim  lim   x 5 x  x 5 x 5 x 5  x 5 lim f  x   f    a  10 Để hàm số liên tục x  x5 a  10 ¡ Kết luận: với hàm số liên tục Câu 2: a, Tính đạo hàm hàm số sau: y  ln  x   arccos x  x  b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần biểu thức: A  cos 29  26,8 Bài giải  x   ln  x   2x y  arccos x  x   x 2 2 x  x  1   x  x  1 a, b, Ta có:  29  cos 29  cos    180  Đổi độ radian:   Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 Ta xét hàm f  x   cos x  Khi ta có f x   sin x 30 f  30   f   30    x      180  180 :  180  ; Tại f  x   f  x0    x  x0  f x  x0  Ta có:  29   30   29 30    30  f   f     f x   180 180 180 180        180  Suy x0    1       180   360 g x  g  x  x x Tương tự: ,  x0  27 g  27   g x  27   27 Tại : ; g  x   g  x0    x  x0  g x  x0  Ta có: g  26,8   g  27    26,8  27  g x  27  Suy 1 404  3  3  27 135 135  Từ (1) (2) suy A  cos 29  26,8  (1) (2)  404    2,1178 360 135 Câu 3: Tính  3x  dx  a, x  x  ; b,  x  ln x dx Bài giải  a, x 3x  dx  I x  x   t  dt   x   dx  5x  ; Đặt 17 17 2x  5   x  5   dx  dx  dt  17 I  2 dx 2    x  5x  x  5x  t x  5x  Khi 17  ln x  x    dx 2 2    5  x   2    Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1  5 x   17 2  C  ln x  x    arc tan  2        5 x   17  C  ln x  x   arc tan         b,  x  ln x dx  I  d u  dx  u  ln x x   d v  x d x  v  x  Đặt    3 x 1  1  2 3    I  ln x   x dx  ln   x  ln      ln    81 3   81 243 81  3     3 Ta có Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho phương trình tham số sau:  x   t  sin t    y    cos t  với  t  2 Bài giải Ta có:  x  t    cos t   y  t   2sin t Suy x  t   y   t     cos t    2sin t    8cos t  t t t  4sin sin  t  0;    2 (Vì ) 2 2 t t yds     cos t  4sin  dt  16  sin  dt  16 2 2 0    cos t   16sin S 2  Ta cần tính: Vậy diện tích cần tìm là: 16 (đvdt) Câu 5: Tìm cực trị hàm hai biến sau: z  x  xy  30 x  18 y Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 Bài giải Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến x y  z   x  y  30   1  x   z y  xy  18   2  x  1 3 3 x     30    y x  x  3 x vào (1) ta được: Từ (2): Với x  1  y  3 x  3  y  1  1;3 ,  1; 3 ,  3;1 ,  3; 1 điểm cực trị cần xét Các điểm    A  z xx  z x  x B  z xy  z x  y C  z yy  z y  x y y x Đặt ; , Xét điểm  1;3 : A  6, B  18, C  +tại  B  AC    1;3  A  Suy  cực trị  1; 3 : A  6, B  18, C  6 +tại  B  AC    1; 3  A0  Suy cực trị  3;1 : A  18, B  6, C  18 +tại  B  AC    3;1  z  z  3;1  72 A0  Suy điểm cực tiểu Suy CT  3; 1 : A  18, B  6, C  18 +tại  B  AC    3; 1  z  z  3; 1  72 A0  Suy điểm cực đại Suy CĐ       ĐỀ 05 Câu 1: lim  sin x.cot x  a, Tính giới hạn x b, Khảo sát tính liên tục hàm số sau:  x2  , x   f  x   x  b, x   Bài giải cos x 2sin x cos x  lim cos x 2 cos  2 lim  sin x.cot x   lim x   sin x x a, Ta có: x  b, Ta có: Tập xác định hàm số: D  ¡ Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 Với x  x2  x2 f  x  D  ¡ \  2 Đây hàm phân thức hữ tỉ có tập xác định là:  ;   2;   Do hàm số liên tục khoảng Với x  , ta có f  2  b   x    x    lim x   x2  lim f  x   lim  lim   x 2 x 2 x  x 3 x 2 x2  lim f  x   f    b  Để hàm số liên tục x  x 2 b  ¡ Kết luận: với hàm số liên tục Câu 2: a, Tính đạo hàm hàm số sau: y  ln  x   arcsin x  x  b, Áp dụng vi phân tính giá trị gần biểu thức: B  sin 31  27,11 Bài giải  x   ln  x   4x y  arctan x  x   2x  x  x    x  x  1  a, b, B  sin 31  27,11    31  sin 31  sin    180  Đổi độ radian: Ta xét hàm f  x   sin x  Khi ta có f x  cos x  30   f x     2;  180  Tại f  x   f  x0    x  x0  f x  x0  Ta có:  31   30   31 30    30  f   f     f x   180 180 180 180        180  Suy x0  30 f  30  180 :  180      180 2 360 g x  3 g  x  x x2 Tương tự: ,   27   g x g 27  x  27   27 Tại : ;  Ta có: g  x   g  x0    x  x0  g x  x0  (1) Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 Suy g  27,11  g  27    27,11  27  g x  27   3 11 8111  100 27 2700 Từ (1) (2) suy B  sin 31  27,11 (2)   8111    2,5 360 2700 Câu 3: Tính 2 2x  dx  a, x  x  12 ; b,   cos x dx Bài giải  a, x 2x  dx  I  x  12  x    dx  2x  dx   dx x  x  12  x  12 x  x  12 Khi 1  d  x  x  12    dx x  x  12 x  x  12  ln x  x  12  J  C1 1 11 J  dx    x  1  11 dx  dx  dt x  x  12 cos t Tính Đặt x   11 tan t 11 11 cos t 11 J   d t  d t  t C2 2  11 cos t 11 11 tan t  1 cos t Suy 11  x 1   x 1  t  arctan  J arctan   C2  11 11 11     x   11 tan t Suy , Suy I  I  ln x  x  12  Vậy x 11  x 1  arctan   C 11  11  b, Ta có I 2  2 dx  cos x Ta thừa nhận công thức chứng minh: Đồng thức vế ta được: a  2, b  2 2 a  b2 2 3  2  Do đó, Câu 4: Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay miền giới hạn phương trình sau:  x  x2  x  y  quanh trục Ox Bài giải 32 V     x  x  dx  Ta có: x  x   x  0, x  Suy , (đvtt) I   cos x dx  2  a  b cos x dx   Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 Câu 5: Tìm cực trị hàm hai biến sau: z  xy  50 20  x y , biết x  0, y  Bài giải x Ta có: Giải hệ theo đạo hàm riêng biến y 50    1  z x  y  x    z y  x  202   2 y   y  ( L) 20 50 y  400 y    y vào (1) ta được: y  Từ (2): Với y   x  5, x  5( L) , x Các điểm  5;  điểm cực trị cần xét      20   50 A  z xx  z x  B  z xy  z x  C  z yy  z y  y y y x x ; Đặt , 5;  A  25 , B  1, C   Xét điểm :    B  AC    5;   z  z  5;   30 A0  Suy điểm cực tiểu Suy CT ... g  27 ,11  g  27    27 ,11  27  g x  27   3 11 8111  100 27 27 00 Từ (1) (2) suy B  sin 31  27 ,11 (2)   8111    ? ?2, 5 360 27 00 Câu 3: Tính 2? ?? 2x  dx  a, x  x  12 ;... b, 2? ??   cos x dx Toán cao cấp 2- kiểm tra tự luận-BF10.1 2? ??  a  b cos x dx  Ta thừa nhận công thức chứng minh: Đồng thức vế ta được: a  2, b  I Do đó, 2? ??   cos x dx  2? ?? 22  12  2? ??... (1) 3 x2  x0  27 g  27   g x  27   27 Tại : ; g  x   g  x0    x  x0  g x  x0  Ta có: Suy g  27 ,1  g  27    27 ,1  27  g x  27   3 1 811  3  10 27 27 0 27 0