Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án

ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) +x x2 −x x −3 x − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = A =( a b c x y z x2 y z + + = + + = Cho x y z Chứng minh : + + = a b c a b c b) Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠ x ≠    x − x3 ≠ A=( + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) − − ):( ) = = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x) x ( x − 3) x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 1,0 0,25 4x x −3 0,25 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x−3> ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x −3 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔   x − = −4  x = 11(TMDKXD ) ⇔  x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 ⇔ x2 y2 z cxy + bxz + ayz + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: ·ABC = ·ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) − 24 b Giải phương trình: x4 − 30x2 + 31x − 30 = c Cho a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: + + =0 b + c c + a a+ b b + c c + a a+ b   10 − x2   x A = + + Câu2 Cho biểu thức: ÷:  x − + x + ÷  x − 2− x x + 2   a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết | x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 1 a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: + + ≥ a b c 2000 2000 2001 2001 2002 2002 b Cho a, b dơng a + b = a + b = a + b Tinh: a2011 + b2011 Câu Câu (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x4 − 30x2 + 31x − 30 = (x ) − x + ( x − 5) ( x + 6) = ) + > ∀x  (*) (x - 5)(x + 6) = Vì x2 - x + = (x - (*) Điểm (2 điểm) (2 điểm) Câu (6 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP x − = x = ⇔   x + = x = − a b c + + =1 c Nhân vế của: b + c c + a a+ b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm   10 − x2   x + + Biểu thức: A =  ÷:  x − + x + ÷  x − 2− x x + 2   −1 a Rút gọn kq: A = x− 1 −1 b x = ⇒ x = x = 2 4 A = A < ⇔ x > c −1 ∈ Z ⇒ x ∈ { 1;3} d A ∈ Z ⇔ x− ⇒A= HV + GT + KL Câu (6 điểm) a Dễ thấy AEMFlà hình chữ nhật ⇒⇒ AE=FM Dễ thấy ΔDFM vuông cân F ⇒FM=DF ⇒AE=DF⇒tam giác vuông ADE tam giác vuông DCF ( AE=DF;AD=DC⇒ DE=CF tg vuông ADE = tg vuông DCF => ^ADE = ^DCF => DE vng góc CF (1) ( có AD vng góc DC) b) Tương tự câu a) dễ thấy AF = BE => tg vuông ABF = tg vuông BCE => ^ABF = ^BCE => BF vng góc CE ( có AB vng góc BC) (2) Gọi H giao điểm BF DE Từ (1) câu a) (2) => H trực tâm tg CEF (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Mặt khác gọi N giao điểm BC MF dễ thấy CN = DF = AE: MN = EM = A F => tg vuông AEF = tg vng CMN => ^AEF = ^MCN => CM vng góc EF ( có CN vng góc AE) => CM đường cao thuộc đỉnh C tg CE F => CM phải qua trực tâm H => đường thẳng DE;BF,CM đồng quy H c) Dễ thấy AE + EM = AE + EB = AB = không đổi (AE - EM)^2 >=0 AE^2 + EM^2 >= 2AE.EM (AE + EM)^2 >=4AE.EM [(AE + EM)/2]^2 >= AE.EM AB^2/4 >=S(AEM F) Vậy S(AEM F ) max AE = EM => M trùng tâm O hình vng ABCD Câu 4: (2 điểm) a Chứng minh: AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ SAEMF = ME.MF lớn ⇔ ME = MF (AEMF hình vng) ⇒ M trung điểm BD b c 1  a = 1+ a + a  a c 1 a Từ: a + b + c = ⇒  = 1+ + b b b a b 1  c = 1+ c + c  (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) 1  a b  a c  b c  + + = 3+ + ÷+  + ÷+  + ÷ a b c  b a   c a  c b  ≥ 3+ 2+ + 2= ⇒ Dấu xảy ⇔ a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) (1 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Víi b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = Đề thi S Câu : (2 ®iÓm) Cho P= a − 4a − a + a − a + 14a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c lµ cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iĨm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : BC a) BD.CE= b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ 0,25 a +1 a−2 a−2+3 = 1+ b) (0,5®) P= ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, a2 a2 Rút gọn P= 0,25 mà Ư(3)= { 1;1;3;3} Từ tìm đợc a { 1;3;5} Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a + 2ab + b ) − 3ab] = =(a+b) [(a + b) − 3ab] V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) [(a + b) − 3ab] chia hÕt cho b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 nên P=(x2+5x)2-36 ≥ -36 Do ®ã Min P=-36 (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 Câu : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x ≠ −4; x 5; x 6; x Phơng trình trë thµnh : 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 − x+4 − x+4 1 1 1 + − + − = x + x + x + x + x + 18 1 = x + 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Tõ ®ã suy a= 0,25 y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 Thay vµo ta đợc A= 0,5 y+z x+z x+ y y x x z y z  + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  2x 2y 2z 2 x y z x z y  Tõ ®ã suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ 0,25 Câu : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta cã : Dˆ = 120 − M Vì M =600 nên ta có Suy Dˆ = Mˆ 0,25 y A : Mˆ = 120 − Mˆ x E D B 2 M C Chøng minh ∆ BMD ∾ ∆CEM (1) 0,5 BD CM = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE BC BC Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= BD MD = b) (1đ) Từ (1) suy mà BM=CM nªn ta cã CM EM BD MD = BM EM Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED Tõ ®ã suy Dˆ = D , DM tia phân giác cña gãc BDE Suy 0,5 0,5 Chøng minh tơng tự ta có EM tia phân giác cđa gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 2 Tõ (2) suy z = (x+y) -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 Caâu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a ) ( x − 10 ) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Caâu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P= 1 1 + + + +