Lương cơ bản của các nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thực hiện được trong tháng và được xác định như sau

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH  BÀI TẬP LỚN Toán cao cấp Giáo v : Ts.Đào Trọng Quyết p 09.04/ Nhóm download by : skknchat@gmail.com THÀNH VIÊN NHÓM Nguyễn Phương Nga Trần Bảo Ngọc Lê Thị Ngọc Phương Nguyễn Thị Thảo Phương Phạm Thị Thanh Phương Vũ Đức Quý Nguyễn Đức Tâm Hoàng Hương Thảo 9.Vũ Thị Thu Thảo 10 Trần Vân Thủy 11 Lê Thu Trang 12 Lê Thu Trang 13 Nguyễn Thu Trang (NHÓM TRƯỞNG) 14 Trần Tuấn Vũ 15 Nguyễn Minh Vương download by : skknchat@gmail.com Bài 1: Lương nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thực tháng xác định sau: Doanh số bán hàng (x triệu x > 15  x 5  x 5 đồng) Lương (triệu đồng) Lập hàm số tính tiền lương tháng nhân viên bán hàng Cho biết tiền lương tính lương cộng thêm 10% doanh số bán hàng vượt mốc khoảng để tính mức lương Giải Gọi y số tiền lương (triệu đồng) nhân viên bán hàng theo doanh số bán hàng x mà họ bán tháng +) Nếu x = y = +) Nếu  x 5 y = + 10% x = + 0,1x +) Nếu  x 15 y = + 10%.(x-5) = 4,5+0,1x +) Nếu x > 15 y = + 10%.(x-15) = 5,5 + 0,1x x 0    0,1x  x 5  y  4,5  0,1x  x 15   0,1x x  15 Vậy Bài 2: Giá nước sinh hoạt hàng tháng phụ thuộc lượng nước sử dụng tính theo phương pháp lũy tiến với mức bảng đây:  x 20 20  x 30 Lượng nước sử dụng x (m3) x > 30 Giá cho m3 (nghìn đồng) a) Một khách hàng sử dụng 25m3 nước tháng phải trả tiền? b) Lập hàm số xác định giá trung bình cho 1m theo lượng nước sử dụng c) Nếu khách hàng phải trả số tiền nước 400 nghìn đồng cho tháng số mét khối nước sử dụng khách hàng tháng bao nhiêu? Giải Gọi y số tiền phải trả (nghìn đồng) sử dủng x (m 3) nước tháng +) Nếu  x 20 y 6 x +) Nếu 20  x 30 y 8 x  40 +) Nếu x  30 y 10 x  100  x 20  6x  y 8 x  40 20  x 30 10 x  100 x  30  Vậy a Số tiền khách hàng phải trả là: y= 8x-40 = 8.25-40 = 160 (nghìn đồng) b Gọi u giá trị trung bình cho m nước download by : skknchat@gmail.com  6  x 20  40  8x  40 20  x 30 8   x x  y  10 x  100 10  100 x  30 u  x x x=  Ta có: c TH1:  x 20 y 6 x 400  x  200  x 66,6 (Không thỏa mãn) TH2: 20  x 30 y 8 x  40 400  x 55 (Không thỏa mãn) TH3: x  30 y 10 x  100 400  x 50 (Thỏa mãn) Vậy khách hàng phải trả số tiền nước 400 nghìn đồng cho tháng số mét khối nước sử dụng khách hàng tháng 50m Bài 3: Một nhà máy đưa quy định tính lương hàng tháng cho cơng nhân sau: giá định mức cho làm việc 40 nghìn đồng, làm việc 200 tháng vượt tính 200% giá định mức, trường hợp cơng nhân khơng có việc làm tháng hưởng trợ cấp 1,5 triệu đồng Biết số làm việc tháng công nhân không vượt 300 a) Lập hàm số tính lương hàng tháng cơng nhân nhà máy b) Nếu lương 12 triệu đồng/tháng người phải đóng thuế thu nhập cánhân 10% số tiền vượt mức 12 triệu đồng Hãy lập hám tính lương hàng tháng cơng nhân có áp dụng tính thuế Giải a Gọi y số lương hàng tháng cơng nhân (nghìn đồng) làm việc x (giờ) +) Nếu x = y = 1500 +) Nếu  x 200 y 40 x +) Nếu 200  x 300 y = 80x -8000 x 0  1500  y  40 x  x 200 8 x  8000 200  x 300  Vậy hàm b Gọi y số lương hàng tháng công nhân áp dụng thuế (nghìn đồng) x có lương Lương 12 triệu: TH1:  x 200 => 40 x = 12000  x =300 (h) (Không thỏa mãn) download by : skknchat@gmail.com TH2: 200  x 300 => 12000 = 80 x – 800  x =250(h) (Thỏa mãn)  Số làm việc tối thiếu 250h để lương 12 triệu Hàm lương hàng tháng cơng nhân tính thuế +) Nếu x = y = 1500 +) Nếu  x 200 y = 40 x +) Nếu 200  x 250 y = 80 x -8000 +) Nếu x > 250 y = 0,1 x + 10000 x 0  1500  40 x  x 200  y  80 x  8000 200  x 250 72 x  7200 x  250 Vậy Bài 4: Giá loại rau cửa hàng đại lý tính theo phương pháp lũy thoái với mức bảng đ}y: 200  x 500  x 200 Lượng rau (x) (kg) x > 500 Giá cho kg (nghìn đồng) a) Một khách hàng mua 400kg rau phải trả tiền? b) Lập hàm số xác định giá trung bình cho 1kg rau theo lượng rau mua Giải a Số tiền phải trả mua 400 kg 200.5 + 200.4 = 1800 (nghìn đồng) b Gọi y số tiền (nghìn đồng) phải trả mua x (kg) rau +) Nếu  x 200 y = 5x +) Nếu 200  x 500 y = 5.200 + 4.(x-200) +) Nếu x  500 y = 5.200 + 4.300 + 3.(x-500) 5x  x  200  y 4 x  200 200  x 500 3x  700 x  500  Vậy Gọi u giá trung bình cho kg rau mua x (kg) (x>0)  5x  x 5  x  200  200  4x  200 200  x 500 4   x x   x  700 700 3  x  500  x x Ta có: u = =  Bài 5: Một cửa hàng có chương trình khuyến mại sau: Nếu mua khơng 50 sản phẩm giá sản phẩm 15 nghìn đồng Nếu mua nhiều 50 sản phẩm khơng q 100 sản phẩm giá sản phẩm 14 nghìn đồng Nếu mua nhiều 100 sản phẩm giá sản phẩm 13,5 nghìn đồng a) Nếu khách hàng mua 70 sản phẩm khách hàng phải trả tiền? b) Lập hàm số tính số tiền phải trả theo số sản phẩm mà khách hàng mua Giải download by : skknchat@gmail.com a Nếu khách hàng mua 70 sản phẩm khách hàng phải trả: 70.14= 980 (nghìn đồng) b Gọi y số tiền (nghìn đồng) phải trả mua x (sản phẩm) 15 x  x 50  y 14 x 50  x 100  13, 5x x  100  Bài 6: Trong cửa h|ng đại lý, giá đơn vị sản phẩm (đvsp) lô hàng phụ thuộc vào số đvsp lô hàng Với lơ hàng, 100 đvsp giá 20000 đồng/1 đvsp, từ 100 đến 500 đvsp giá 18000 đồng/1đvsp từ 500 đvsp giá 10000 đồng/1đvsp Lập hàm số tính số tiền phải trả theo số đvsp lô hàng mua Giải Gọi y số tiền (đồng) phải trả mua x (đvsp) 20000 x  x  100  y 18000 x 100  x 500 10000 x x  500  Bài Sử dụng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng: 1 x lim  lim  x  (x  1)2 b, x 1 a, Giải lim  x  (x  1)2 a,  ε > 0, ta phải số δ >0 cho nếu:  x    ( x  1)2   ( x  1)   0 x1  Do   chọn lim x 1 x thỏa mãn 0 x  có đpcm   b, x 1 Theo định nghĩa   ta phải số   cho: Nếu  x    Thì x  download by : skknchat@gmail.com   x  1 log5  log  ta đpcm Do , chọn Bài Khảo sát tính liên tục hàm số sau miền xác định nó: x1  4 x  2  x  x  x   (x  2)  x  f ( x)  x  ln(x  2) x 3 x 2  6x  x b,  a, Giải  x2  x  x  f ( x)  x 2  6x  x a, f ( x) hàm số phi sơ cấp có TXĐ: D   ;      ; 2 Trên khoảng  , ta có f ( x) x  x  6là hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục   ; 2 2;   Trên khoảng  , ta có f ( x) 6 x  x hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục  2;   f ( x) liên tục   ;   Xét điểm x 2 ta có: f (2) 8  2 lim f ( x)  lim ( x3  x  6) 8 x  2 x 2 lim f ( x )  lim (6x  x ) 8 x  2 x 2  f (2)  lim f ( x )  lim f ( x ) x 2 x 2  ;   ` Vậy f ( x) liên tục đoạn  b, 4 x x 1    ( x  2)   x   x  ln(x  2) x3  f ( x) hàm số phi sơ cấp có TXĐ: D   ;    3  ;1 Trong khoảng  ta có f ( x) 4  x hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục   ;1 1; Trong khoảng   ta có f ( x) ( x  2)  hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục  1;3 3;  Trong khoảng  ta có f ( x) x  ln( x  2) hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục  3;   Xét điểm x 1 ta có: download by : skknchat@gmail.com f (1) 3  x) 3 lim f ( x) lim(4  x 1 x 1 lim f ( x) lim( x  2)  3  x 1 x 1  f (1) lim f ( x) lim f ( x) x 1 x 1   ;   3 Vậy f ( x) liên tục đoạn Bài Tìm tham số a, b để hàm số sau liên tục miền xác định:  x2  a  f ( x)   b 2 x  ln(2 x 3)   x2  a x    f (x )  b x   x  ln(2 x  3) x    Giải x   x  x   TXD D   ;   Trên khoảng  ta có f ( x) hàm số sơ cấp  f ( x ) liên tục   ;  1  1;   Trên khoảng  ta có f ( x) hàm số sơ cấp  f ( x ) liên tục   1;    f ( x ) liên tục   1  f ( x) liên tục   f ( x) liên tục x 1  f (1) lim f ( x) lim f ( x) x1 x  Ta có f (  1) b lim f ( x )  lim (x  a ) 1 a (*)  lim f (x )  lim (2 x  ln(2 x  3))  x 1 x1  Thay    vào (*)  b 1 a    b    a    1 a  ,b  2 f ( x) tồn  Vậy với Bài 10 Sử dụng định lý Bolzano-Cauchy chứng minh phương trình:   8    ( x 1) ( x 1) x có nghiệm dương a, x  1 x  1 download by : skknchat@gmail.com   9   1;     ( x 2) ( x 2) x b, có nhât nghiệm  Giải 8   x 1  có nghiệm dương a, ( x  1) ( x  1) TXĐ: D   1    8    ( x 1) ( x 1) x     8 f ( x)  x x x    ( 1) ( 1) Đặt : f ( x)  9  21 5   0 10 ( x 1) ( x 1) ( x  1)  f ( x) nghịch biến D  f ( x) có nghiệm (*) f ( x) hàm số sơ cấp xác định  f (0) 1    2803   0 f (1)   512 Lại có  f (0) f (1)  Xét x   0;1 0;1 0;1 nên f ( x) liên tục   Theo định lý Bolzano-Caucchy phương trình  có nghiệm Từ (*) (**) đpcm   0;1  (**)   9    1;     ( x 2) ( x 2) x b,  có nhât nghiệm D    2 TXĐ    0 x  ( x  2) ( x  2)   9 f ( x)  x ( x  2) ( x  2) Đặt    ( x   1) ( x   1) x  1 Đặt t x    9 f (t )  (t 1) (t 1) t 1  t   0;    0;   nên f ( x) liên tục Xét f (t ) hàm số sơ cấp xác định  0;   f (0) 1  t   0;    t  1 1;    download by : skknchat@gmail.com   t  1     0 (t  1) t   (t  1)    9 f (t )  (t 1) (t 1) t 1   f (0) f ( )   0;  Theo định lí Bolzano-Cauchy  f (t ) có nghiệm   f ( x) có nghiệm   1;  (*)  14  15 5    0 x  f ( x)  ( x  2) ( x  2) ( x  2)2 Có  f ( x) nghịch biến D  f ( x) có nghiệm Từ (*) (**)  đpcm (**) Bài 11 Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, chứng minh rằng: lim f ( x) 2 lim g( x) 3 lim  f ( x )  g ( x)  5 x    x    a, Nếu x    f (x ) 0 lim  lim f ( x) 2 lim g ( x)   x   ( ) g x x x     b, c, lim f ( x) 3 x 1 lim g (x )  x 1 lim f ( x) g( x)  x 1 Giải lim g (x ) 3 x    lim x  Với dãy  x n cho n   n   lim f ( x n) 2 lim g( xn ) 3 n   n   lim ( f  g )( xn )  lim  f ( xn )  g( xn )  n  Khi đó: n   lim f ( xn )  lim g ( xn ) 2  5 a, lim f ( x) 2 x   n   n    lim  f ( xn )  g ( xn )  5 x   b, lim f ( x) 2 x   (đpcm) lim g ( x)   x   lim x  Với dãy  x n cho n   n  thì: lim f ( x n) 2 lim g( xn )   n   n  f f ( x n) 0 lim ( xn )  lim n   g n   g ( x ) n Khi đó: f ( x)  lim  0 x  g ( x) (đpcm) c, download by : skknchat@gmail.com 8  F (8)  (4t  9)e 0,055t  e 0,055 dt  0,055 0, 055 8  (4t  9) e 0,055 t  e ,055 t 0,055 0, 055 0 ) e  0,055 t (4t    0,055 0, 055 154, 23 Vậy giá trị dòng tiền xấp xỉ 154,23 triệu đồng Áp dụng cơng thức tính giá trị tương lai dòng tiền F (8)  (4t  9).e 0,055(8  t ) dt u 4dt  u 4 t    e0,44 0,055t  0,44  ,055t   v t e v ( )    0,055  Đặt 0,44  0,055t 8e  e 0,44  0,055 t   F (8)  (4t  9)    4 0,055  0, 055  e0 e 0,44 e 0,44 0,055t ( 41  )  0,055 0,055 (0,055) 239, 47 Vậy giá trị tương lai dòng tiền xấp xỉ 239,47 triệu đồng 2 Bài 27: Cho hàm số biến số f ( x, y ) x  x y  xy  y Tính đạo hàm riêng f ( x, y ) điểm thuộc miền xác định điểm (  1; 2) Giải f x( x, y) 3 x  xy  y Ta có: f y( x, y)  x  x  y  x  xy  y  f ( x, y)   , ( x, y )  R   x  3x  y  Vậy ∀(x,y) ∈ Df , ta có +Tại điểm (-1;2) f x( 1; 2) 3.( 1)  2.( 1).2  3.2  f y(  1; 2) ( 1)  3.( 1)  2.2 8  7 f '(  1; 2)   8  Vậy điểm (-1;2), ta có Bài 28: Xác định ma trận đạo hàm riêng cấp (ma trận Hessian) hàm số f ( x, y )  x y  x y Giải download by : skknchat@gmail.com f x( x; y) 2 x  f y( x; y)  x2  a) y x y f yy  f xx  x f xy  y y f yx  x  Vậy có loại đạo hàm nâng cấp f ( x; y )  x y  x y  f ( x2 y  x y )x.( x y  x y ) x (2x  y ).(x y  x y )  f ( x2 y  x y )y.( x2 y  x y ) y (x   x y ).(x y  x y ) 2 f  f  ( )  (2x  y )(x2 y  x y )  x x x x 2( x y  x y )  (2x  y )(x 2y  x y ) 2( x y  x y )  (2x  y )(2xy  y )   2 f  f  ( ) xy y x  (2 x  y )( x y  x y) y ( y )( x y  x y )  (2x  y )(x  x y )  x 2 f  f  ( )  (x2  )(x2 y  x y )  y y y y y ( x x x )(x y  x y )  (x  )(x  ) y y y  x 2 f  f  )(x y  x y )  ( )  (x  xy x y x y (2x  y )(x y  x y )  (x  Ma trận Hessian  2 f   x  2 f   yx x y )(2xy  y ) 2 f   xy  2 f   y  download by : skknchat@gmail.com y ... Lương nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thực tháng xác định sau: Doanh số bán hàng (x triệu x > 15  x 5  x 5 đồng) Lương (triệu đồng) Lập hàm số tính tiền lương tháng nhân. .. nhân viên bán hàng Cho biết tiền lương tính lương cộng thêm 10% doanh số bán hàng vượt mốc khoảng để tính mức lương Giải Gọi y số tiền lương (triệu đồng) nhân viên bán hàng theo doanh số bán hàng. .. Vậy khách hàng phải trả số tiền nước 400 nghìn đồng cho tháng số mét khối nước sử dụng khách hàng tháng 50m Bài 3: Một nhà máy đưa quy định tính lương hàng tháng cho cơng nhân sau: giá định mức