phương pháp ghép trục

Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g = f ( u ( x ) ) ( ) D = ( a1 ; a2 )  ( a3 ; a4 )   ( an −1 ; an ) Ở a  −; a  + Bước 2: Xét biến thiên u = u ( x ) hàm y = f ( x) (B2 làm gộp B3 đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan  x; u = u ( x )  u; g = f (u )  Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f u ( x ) , giả sử ta tập xác định n Bảng thường có dịng giả sử sau Cụ thể thành phần BBT sau Dòng 1: Xác định điểm kỳ dị hàm u = u ( x ) , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1  a2   an −1  an (xem ý 1) Dòng 2: Điền giá trị ui = u ( ) với i = 1, , n ( ) Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n − cần bổ xung điểm kỳ dị Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n − cần xếp điểm b1; b2 ; ; bk của hàm y = f ( x) ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui +1 ui  b1  b2   bk  ui +1 (xem ý 2) Dòng 3: ( ) Xét chiều biến thiên hàm g = f u ( x ) dựa vào BBT hàm y = f ( x) cách hốn đổi: u đóng vai trị x ; f ( u ) đóng vai trị f ( x ) ( ) Sau hoàn thiện BBT hàm hợp g = f u ( x ) ta thấy hình dạng đồ thị hàm ( ) Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f u ( x ) giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý 1: Các điểm kỳ dị u = u( x) gồm: Điểm biên tập xác định D , điểm cực trị u = u ( x ) - Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt u ( x ) = (là hoành độ giao điểm u = u( x) với trục Ox ) - Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hồnh độ giao điểm u = u( x) với trục Oy ) Chú ý 2: Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u ( x ) Điểm kỳ dị y = f ( x) gồm: Các điểm f ( x) f ( x) không xác định; điểm cực trị hàm số y = f ( x) - Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt f ( x ) = (là hoành độ giao điểm u = u( x) với trục Ox ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm y = f ( x) với trục Oy ) Câu 45-MH-BGD-L1: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  phương trình f ( sin x ) + = A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t = sin x Do x   − ; 2  nên t   −1;1 Khi ta có phương trình f ( t ) + =  f ( t ) = − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = − t = b  ( 0;1) có nghiệm t = a  ( −1;0 ) Trường hợp 1: t = a  ( −1;0 ) Ứng với giá trị t  ( −1;0 ) phương trình có nghiệm −  x1  x2     x3  x4  2 Trường hợp 2: t = b  ( 0;1) Ứng với giá trị t  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x5  x6   Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  Cách 2: Phương pháp ghép trục   x = −   Đặt t = sinx   −1;1 x   − ; 2  ; t' =  cosx =   x = ;   x = 3  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có f ( sinx ) + =  f ( sinx ) = − Do tổng số nghiệm phương trình cho Câu 46-MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x ) A B C D 11 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Ta có g ( x ) = f ( x3 + 3x )  g  ( x ) = ( 3x + x ) f  ( x3 + 3x ) 3 x + x = Cho g  ( x ) =    f  ( x + 3x ) = Xét hàm số h ( x ) = x + x  x =   x = −2  x + x = a; a    x + 3x = b;  b    x + 3x = c; c  x=0   h ( x ) = 3x + x Cho h ( x ) =    x = −2 Bảng biến thiên Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có đồ thị hàm h ( x ) = x + x sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Như phương trình g  ( x ) = có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x ) có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục  x = −2 Xét hàm số u = x3 + 3x2 ta có u ' = 3x + x =   x = Gọi a, b, c điểm cục trị hàm số y = f ( x ) a   b   c Và ta có f ( a )  f ( c )  ; f ( b )  Suy g ( x ) = f ( x + 3x ) có điểm cực trị Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  5  phương trình f ( sin x ) =   B C Số nghiệm thuộc đoạn  0; A D Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống  5  Đặt t = sin x , x  0;   t   −1;1  2 Khi phương trình f ( sin x ) = trở thành f ( t ) = 1, t   −1;1 Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y = f ( t ) đường thẳng y = t = a  ( −1;0 ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( t ) =    t = b  ( 0;1) Trường hợp 1: t = a  ( −1;0 ) Ứng với giá trị t  ( −1;0 ) phương trình sin x = t có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 Trường hợp 2: t = b  ( 0;1) Ứng với giá trị t  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x3  x4   ; 2  x5  x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5 ; Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác  5    Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  0; Cách 2: Phương pháp ghép trục  5  Đặt t = sin x , x  0;   t   −1;1  2 Khi phương trình f ( sin x ) = trở thành f ( t ) = 1, t   −1;1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Do tổng số nghiệm phương trình cho PHÁT TRIỂN CÂU 45 - 46 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình f ( x3 − 3x + 1) − = có tất nghiệm thực phân biệt? A B C Lời giải D 11 Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống - Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) , ta có: f f ( x − 3x + 1) − =   f  Dựa vào đồ thị hàm số   x3 − 3x + = b ( b  −1) ( )  ( x3 − 3x + 1) =   x3 − 3x + = c ( −1  c  3) (3)   ( x3 − 3x + 1) =   x3 − 3x + = d ( d  3) ( )   x − 3x + = a ( a  d ) (1) y = x3 − 3x + (hình vẽ đây) Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) phương trình có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm nghiệm phân biệt Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x3 − 3x + Ta có u  ( x ) = x − ; u  ( x ) =  x = 1 BBT hàm số u ( x ) : x u'  + u 1 + + +   f (u ) = 3 Phương trình f x − 3x + − = trở thành: f ( u ) − =    f ( u ) = ( ) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ bảng biến thiên hàm số u ( x ) = x − 3x + ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f ( x − x + 1) = f (u ) sau: Từ bảng ta thấy phương trình f ( u ) = có nghiệm phương trình f ( u ) = có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục Số giá trị nguyên tham số có bảng biến thiên hình bên m để phương trình f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 =      có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = t = Đặt t = f ( cos x ) ta phương trình t + ( − m ) t + 2m − 10 =   t = m −       x= cos x =   +) Với t =  f ( cos x ) =  x   − ;   2     cos x = x = +) Với t = m −  f ( cos x ) = m − (1)      Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   phương trình (1) có      nghiệm đoạn  − ;   khác − ; 0; 3      ;   u = cos x   −1;1   Với x   − Nhận xét:    ;   1  2  Nếu u   ;1 có nghiệm x   −   1 2    ;   Nếu u = u   −1;  có nghiệm x   − Do u cầu tốn xảy phương trình (1) thỏa  1 f ( cos x ) = m −  f ( u ) = m − có nghiệm u   −1;   2 Từ bảng biến thiên suy −4  m −    m  Vì m nên m  1; 2;3; 4;5;6 Cách 2: Phương pháp ghép trục    ;   Đặt t = cos x   −1;1 x   − x = t ' =  sin x =   x =  Khi phương trình f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = thành  f (t ) = 2 f ( t ) + ( − m ) f ( t ) + 2m − 10 =    f ( t ) = m − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Do phương trình f ( t ) = có nghiệm nên yêu cầu tốn tương đương với phương trình f ( t ) = m − có nghiệm −4  m −    m  Vì m Câu 3: nên m  1; 2;3; 4;5;6 [CHUYÊN VINH LẦN 1-2020].Cho hàm số () y = f x liên tục có bảng biến thiên hình bên ( Xác định số nghiệm phương trình f x − 3x A B ) = 23 ,biết f ( −4 ) = C 10 Lời giải D 11 Chọn C Theo Bài ta có Bảng biến thiên tổng hợp: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( Đồ thị hàm số y = f x − 3x Câu 4: Cho hàm số bậc ba y m ) phần nét liền f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số để phương trình f x A PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC m có nghiệm phân biệt 3x B D C Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f x Câu 5: m 3 m m m có nghiệm phân biệt 3x m 4, 5, 6, 7, ( ) Cho hàm số y = f ( x ) = x − x Số điểm cực trị hàm số g ( x) = f f ( x ) − A B C Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! D 11 Trang 10 ... Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x3 − 3x + Ta có u  ( x ) = x − ; u  (... tốn! D 11 Trang 10 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Lời giải Chọn B Phương pháp ghép trục y = f ( x ) = x2 − 2x BBT Đặt u = f ( x ) − Ta có u  ( x ) = f... GV-SV toán! Trang 13 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép trục Ta có f ( sin x + cos x ) + =  f ( sin x + cos x ) = −2 Đặt u = sin