EC

ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC I GIỚI THIỆU 1.ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN I GIỚI THIỆU Định nghĩa: Đường cong elliptic trường K tập hợp điểm thỏa phương trình: (E):y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1) Với đểm O gọi điểm vô Phương trình phải thỏa điều kiện khơng kì dị Nghĩa viết dạng F(x,y)=0 điểm (x,y) có đạo hàm riêng khác • Điều kiện khơng kì dị nghĩa xét tập điểm đường cong, dường cong khơng có điểm bội • Hay biểu diễn y2 đa thứ bậc x đa thức khơng có nghiệm bội 1.ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG SỐTHỰC • Trong trường đặc số khác 2,3 phương trình (1) đưa dạng Weierstrass về: (E):y2=4x3+a4x+a6 Biệt thức: Δ=-16(4a43+27a62) Điều kiện không kì dị(khơng có điểm bội): 4a43+27a62≠0 (E):y2+y=x3-x y2=x3+1/4*x+5/4 (E): (E):y^2=x^3+2*x+1 (E):y^2=x^3-3*x+2 ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Các điểmcủa đường cong (E) KH: E(Fq) trường Fq có q phần tử thỏa mãn phương trình Fq: y2=4x3+a4x+a6 Ví dụ: (E): y2=x3+1 (a1=0, a6=1) F5 Các điểm thuộc đường cong: (0,1),(0,-1),(2,2)(2,-2),(4,0) II CÁC PHÉP TỐN • TRƯỜNG HỮU HẠN • PHÉP CỘNG • 3.PHÉP NHÂN 1.TRƯỜNG HỮU HẠN • Trường tập K với hai phép tốn cộng (+) nhân(*) thỏa: • K nhóm aben với phép tốn cộng có phần tử trung hịa (của phép cộng) • K\{O} nhóm aben với phép táon nhân có phần tử đơn vị • Với a,b,c thuộc K ta có:c(a+b)=ca+cb Và (a+b)c=ca+cb (luật phân phối) ... • Với a thuộc F*q: bậc a số k nhỏ khơng âm thỏa a k=1 • Bậc a ln ước q-1 • (Lecture Notes on Computer network Security by Avi Kak) Tính chất: • P+O=O+P=P với P thuộc (E) • Tồn –P cho P+-P=O