việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự để giải một số bài toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BẢNG TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC …F.G… Tên đề tài: VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP . SV thực hiện: Dư Quang Anh Huy. Lớp DH2A2. Giáo viên HD: Th.s Vương Vĩnh Phát. Lí do chọn đề tài: Giải toán là một hoạt động quan trọng. Chúng ta biết rằng không phải bài toán nào cũng giải được một cách dễ dàng. Đối với một số bài toán việc giải trực tiếp đôi khi gặp khó khăn, trong trường hợp này chúng ta có thể xét các trường hợp đặc biệt, trường hợp tương tự, trường hợp tổ ng quát của bài toán vì nhiều bài toán xét các trường hợp này lại dễ giải hơn nhiều, từ các trường hợp này đôi khi giúp chúng ta tìm ra lời giải cho bài toán ban đầu. Đối tượng nghiên cứu của đê tài: Việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự để giải một số bài toán sơ cấp. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài: Tìm hiểu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong việ c giải toán. Nghiên cứu việc vận dụng các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong việc giải toán và mở rộng bài toán. Phương pháp nghiên cứu của đề tài: Phươngg pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu các sách báo có đề cập đến khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, các tạp chí khoa học giáo dục, tạp chí toán học & tuổi trẻ. Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh Phổ thông được trang bị các phương pháp khái quát hoá, đặc bi ệt hoá, tương tự thì các em sẽ vận dụng tốt hơn trong việc giải toán, ngoài ra các em còn có thể mở rộng bài toán và có những sáng tạo toán học. Những kết quả chính của đề tài: CHƯƠNG I: VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ. Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm về khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, bên cạnh đó là các ví dụ minh hoạ làm làm cơ sở cho việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự vào giải toán ở chương sau. CHƯƠNG II: VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ VÀO GIẢI VÀ MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP. Chương II đề cập đến việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự vào giải một số bài toán hình học, lượng giác, bất đẳng thức,…ngoài ra còn vận dụng vào bài toán tích phân, bài toán tính tổng,…Tóm lại, qua khảo sát việc vận dụng các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự bản thân đã rèn luyện được một số kinh nghiệm giải toán như sau: • Khi gặp một bài toán “đơn giản” (chẳng hạn bài toán áp dụng cho hai số hoặc chỉ áp dụng cho tam giác,…). Nếu việc giải bài toán này gặp khó khăn hãy nghĩ đến trường hợp đặc biiệt của bài toán hoặc một bài toán tương tự hoặc nghĩ tới một bài toán tổng quát hơn một chút mà vi ệc giải nó đơn giản hơn. • Khi gặp một bài toán phức tạp hay tổng quát (chẳng hạn áp dụng cho n số, cho đa giác,…) thì hãy nghĩ ngay đến những trường hợp đặc biệt của nó hay chúng ta nghĩ tới bài toán tương tự. Với cách suy nghĩ trên sẽ giúp chúng ta dự đoán, mò mẫm được kết quả hoặc cách giải của bài toán đã cho. Ngoài ra, trong đề tài tôi còn trình bày cách vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự để mở rộng một số bài toán, khai thác các khía cạnh của bài toán từ đó phát hiện và giải quyết bài toán tổng quát hơn và tìm ra lời giải tổng quát của một số bài toán. TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM o0o DƯ QUANG ANH HUY LỚP: DH2A2 Ư VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, T ƠNG TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Giáo viên hướng dẫn : Th.s VƯƠNG VĨNH PHÁT. AN GIANG – 2004 Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhà trường đã tạo điều kiện cho em được làm nghiên cứu khoa học và đến thầy Vương Vĩnh Phát đã tận tâm giúp đỡ để bài nghiên cứu khoa học hoàn thành đúng thời hạn. Đây là lần đầu em làm bài nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, sai lầm mong quý thầy cô bỏ qua . Dư Quang Anh Huy 1 PHẦN MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Trang I. Lý do chọn đề tài …………………………………………… 3 II. Đối tượng nghiên cứu của đề tài…………………………. 3 III. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài……………. 3 IV. Phương pháp nghiên cứu của đề tài….………………… 3 V. Giả thuyết khoa học của đề tài……………………………. 4 PHẦN NỘI DUNG Chương I: VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ. 1.1 Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự………… 5 1.1.1 Khái quát hóa…………………………. 5 1.1.2 Đặc biệt hóa………………………… 6 1.1.3 Tương tự……………………………… 7 1.2 Vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trong việc giải một số bài toán sơ cấp…………………….… 8 Chương II: VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ VÀO GIẢI VÀ MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP. 2.1 Một số bài toán hình học……………….…………. 12 2.2 Một số bài toán l ượng giác……………………… 20 2.3 Một số bài toán bất đẳng thức…………………… 31 2.4 Một số bài toán dạng khác……………………… 37 KẾT LUẬN …………………………………………………………… 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………. 44 2 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Giải toán là một hoạt động quan trọng vì học toán chủ yếu là học giải toán. Bài tập toán có vai trò rất quan trọng thông qua việc giải chúng người học có thể hình thành, củng cố tri thức, rèn luyện kĩ năng, kỉ xão chẳng hạn kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn, rèn luyện những năng lực trí tuệ, những thao tác tư duy Chúng ta biết rằng không phải bài toán nào cũng giải đượ c một cách dễ dàng. Do đó đòi hỏi chúng ta ngoài hệ thống kiến thức đã có làm cơ sở cho việc giải bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp khác nhau. Đối với một số bài toán việc giải trực tiếp đôi khi gặp khó khăn, trong trường hợp này chúng ta có thể xét các trường hợp đặc biệt, trường hợp tương tự, trường hợp tổng quát của bài toán vì nhiều bài toán xét các trườ ng hợp này lại dễ giải hơn nhiều, từ việc giải các trường hợp này đôi khi giúp chúng ta tìm ra lời giải cho bài toán ban đầu. Ngoài ra từ việc vận dụng các phương pháp trên chúng ta có thể mở rộng bài toán, tìm ra phương pháp giải tổng quát của một số dạng bài toán . Ở một số trường Phổ thông, các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự chưa được chú ý đúng mức. Mặt khác học sinh ít vận dụ ng các phương pháp này để giải toán. Đôi khi giải bài toán xong rồi học sinh thường không xét đến bài toán tổng quát, bài toán tương tự… Chính điều này làm cho khả năng giải toán của học sinh còn nhiều hạn chế. Để góp phần nâng cao năng lực giải toán của học sinh chúng tôi chọn đề tài: “Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để giải một số bài toán sơ cấp”. II. ĐỐI TƯƠNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: Việc vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để giải một số bài toán sơ cấp. III. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: Tìm hiểu vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trong việc giải toán. Nghiên cứu việc vận dụng các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trong việc giái toán, mở rộng bài toán . IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu các sách đề cập đến khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự; các tạp chí khoa học giáo dục, tạp chí toán học và tuổi trẻ. 3 V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: Nếu học sinh Phổ thông được trang bị các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự thì các em sẽ vận dụng tốt hơn trong việc giải toán, ngoài ra các em còn có thể mở rộng bài toán và có những sáng tạo trong toán học. 4 CHƯƠNG I: VAI TRÒ CỦA KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ. 1.1. Khái niệm khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự: 1.1.1 Khái quát hóa Theo G. Polya: “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” ([8], tr.21). Trong “Phương pháp dạy học môn toán” của Nguyễn Bá Kim có nêu rõ hơn như sau: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một s ố đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” ([4], tr.51). “Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang việc nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất kì với số cạnh bất kì, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường. Chúng ta có thể chuyển từ việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thứ c cho n số tùy ý…Trong các ví dụ này cho thấy chúng ta thường khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng, sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó” ([8], tr.22). Chúng ta hãy xét ví dụ cụ thể sau: Thí dụ: Ở lớp 9, đối với định lí: “Trong hình tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung”. Chúng ta có 3 trường h ợp sau: A C B O A C O B B C O A D D Hình 1a Hình 1b Hình1c Tâm O nằm trên một cạnh của góc (hình 1a). Tâm O nằm bên trong góc nội tiếp (hình 1b). Tâm O nằm bên ngoài góc nội tiếp (hình 1c). Trong ba trường hợp trên chúng ta đều chứng minh được góc nội tiếp bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Từ đó bằng khái quát hóa chúng ta đi đến qui luật phổ biến đối với mọi góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung nói chung. Định lí được rút ra nhờ khái quát hóa trên cơ 5 sở phân tích ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp đó mà thôi). 1.1.2 Đặc biệt hóa Theo G. Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ vịêc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” ([8], tr.22). Chúng ta có thể hiểu đây là một quá trình ngược lại của khái quát hóa. Chẳng h ạn ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt, có số cạnh là ba), ta tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là tam giác đặc biệt, có các cạnh bằng nhau). Trong hai bước đặc biệt hóa trên đã tiến hành theo các hướng khác nhau. Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng (cụ thể là thay n-giác) bởi 3 (3-giác); trong lần thứ hai (từ tam giác sang tam giác đều) chúng ta đã qui định những điều hạn chế (tam giác phải có các cạnh bằng nhau). Ta dùng đặc biệt hóa để minh họa, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quĩ tích, phương pháp này giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán quĩ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh cho toàn bộ bài toán. Để minh họa cho vấn đề này ta xét ví dụ cụ thể sau: “ Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn”. Ta chỉ xét hai đường tròn không cắt nhau có bán kính R 2 >R 1 . Nếu giải trực tiếp bài này rất khó khăn. Ta xét trường hợp đường tròn (O 1 ,R 1 ) là đường tròn điểm. Ta dễ dàng dựng được tiếp tuyến đến đường tròn tâm O 2 . Cách dựng như sau: Ta dựng đường tròn tâm O’ là trung điểm của đoạn O 1 O 2 đường kính O 1 O 2 , cắt O 2 tại hai điểm A và B, nối O 1 với hai giao điểm này ta được hai tiếp tuyến của đường tròn O 2 đi qua O 1 (hình 2a). B A O’ . O 2 O 1 Hình 2a Quay lại bài toán ban đầu. Ta hãy vận dụng bài toán trên bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm O 1 đến đường tròn tâm O 2 bán kính (R 2 -R 1 ). Sau đó ta dựng hai đường thẳng lần lượt song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta được tiếp tuyến ngoài chung của hai đường tròn (hình 2b).Tương tự ta dựng 6 7 R 2 O 1 R 1 R 2 -R 1 O 1 R 1 O 2 R 2 +R 1 O 2 R 2 được hai tiếp tuyến trong bằng cách dựng tiếp tuyến từ tâm O 1 đến đường tròn tâm O 2 bán kính (R 1 +R 2 ). Sau đó ta cũng dựng hai đường thẳng lần lượt song song hai đường đó, ta được hai tiếp tuyến trong của hai đường tròn (hình 2c). Hình 2b Hình2c 1.1.3 Tương tự Theo G. Polya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng” ([8], tr.23). Theo PGs. Hoàng Chúng: “Tương tự thường có nghĩa giống nhau. Người ta thường xét vấn đề tương tự trong toán học trong các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh giống nhau. -Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó hoặc nếu giữa các phần tử tương ứng của chúng giống nhau” ([2], tr.8-9). Chẳng hạn đường thẳng, tam giác, đường tròn trong hình học phẳng tương tự với mặt phẳng, tứ diện, mặt cầu trong hình học không gian. Chẳng hạn, trong hình học phẳng ta có bài toán sau “Cho tam giác ABC có O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm,trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng”. Ta có bài toán tương tự trong không gian “Cho tứ diện trực tâm ABCD có O, G, H lần lượt là tâm hình cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng”. Người ta cũng thường xem những trường hợp đặc biệt của cùng một v ấn đề là tương tự nhau, chẳng hạn tam giác và tứ giác là tương tự nhau - cùng là trường hợp đặc biệt của đa giác. Tóm lại cùng một yếu tố hay một đối tượng có thể xác lập được những tương tự khác nhau tùy thuộc vào vấn đề chúng ta nghiên cứu. Như vậy ta chú ý rằng một hình có thể tương tự với nhiều hình khác, tùy theo ta xét tính chất của hình, mối quan hệ giữa các phần tử của nó về phương diện nào, có khi trong vấn đề này thì ta xem hai hình đó là tương tự, nhưng ở chỗ khác phải biết xem hình này là trường hợp đặc biệt của hình kia. [...]... AC'' AB'' BC Vậy bài toán được chứng minh Vậy ta đã vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để mở rộng bài toán: đầu tiên từ hệ thức (*) đối với đường phân giác chúng ta xét trường hợp tương tự là đường trung tuyến, đường cao từ đó bằng khái quát hóa đề ra bài toán tổng quát 11 CHƯƠNG II: VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ, TƯƠNG TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Một số bài toán hình học:... Từ bài toán này ta cũng được một bài toán tương tự sau: “Nếu ∆ABC nhọn thì tg A.tg B > 1 ( hay tg B.tg C > 1 hay tg C.tg A > 1)” µ Do xét trường hợp đặc biệt là C = 900 cho ta bài toán tương tự, gợi cho ta phải kẻ đường cao AH trong ∆ABC Sau đó dựa trên bài toán tương tự để tìm ra lời giải bài toán đã cho Sau đây ta xét tiếp bài toán 2 mà việc vận dụng các phương pháp khái quát hoá, đặt biệt hoá, tương. .. biết vận dụng linh hoạt sáng tạo các phương pháp giải toán (khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự) 1.2 Vai trò của khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trong việc giải bài toán sơ cấp: Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự có vai trò rất quan trọng trong toán học, nó trở thành phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh Nó giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán, tìm phương pháp giải toán, ... đào sâu kiến thức Khi giải một bài toán thì phương pháp chung là tìm cách đưa bài toán phải giải về một bài toán đơn giản hơn sao cho khi giải bài toán này thì ta có thể giải được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải của bài toán đơn giản đó ) Khi đó các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự sẽ có nhiều tác dụng Trong lịch sử toán, có nhiều bài toán mà suốt hàng chục... lớp 11 Các em chưa có điều kiện đi sâu vào từng bài toán Việc vận dụng các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự vào giải toán là chưa nhiều Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về vận dụng các phương pháp này để giải toán lượng giác Bài toán 1: ”Tìm tổng Sn = sinx + sin2x + …+ sinnx ” Cách 1: Để tính tổng Sn ta sẽ xét các trường hợp đặc biệt để mò mẫm, dự đoán tổng Sn • V ới n=2 thì ta có:... giác vừa nói đến) Trong hai bài toán trên, việc xét các trường hợp tổng quát, đặc biệt tương tự là dễ dàng có thể nhận thấy được Nhưng nhiều khi, điều đó không dễ dàng mà phải biết linh hoạt biến đổi bài toán để tìm ra những bài toán có tính khái quát cao hơn Một bài toán sau (bài toán 3) đây sẽ minh họa cho điều đó “Cho tam giác ABC, có các cạnh a, b, c và các trung tuyến tương ứng là ma, mb, mc Chứng... số học sinh đều rất sợ bài tập của môn này vì nó đòi hỏi trí tưởng tượng phong phú nhất là đối với hình học không gian Học sinh một mặt phải biết những kiến thức đã học bao gồm những định lý, tính chất của các hình không gian Mặt khác phải biết vận dụng linh họat các phương pháp giải toán, đặc biệt là đối với những bài toán quỹ tích, dựng hình từ các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hoá, tương tự. .. (n ≥ 2) , n ∈ N* Từ bài toán này ta có bài toán tương tự sau; Tính tổng Sn = - sinx + sin2x - sin3x +…+ (-1)n sinnx Ta cũng dựa vào tổng tương tự sau; S’n = - cosx + cos2x - cos3x +…+ (-1)n cosnx Làm tương tự như cách hai của bài toán trên: Sn= nx (n+1)x ⎡ ⎢ sin 2 cos 2 ⎢ x ⎢ cos 2 ⎢ ⎢ nx (n+1)x ⎢ −cos sin 2 2 ⎢ x ⎢ cos ⎢ 2 ⎣ (n chẵn) (n lẻ) 26 Từ bài toán này ta có bài toán tổng quát như sau: Sn=qsinx+q2sin2x+q3sin3x+…+qnsinnx... sinh Vận dụng tốt các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự sẽ giúp chúng ta có thêm một cách chứng minh bất đẳng thức nhất là đối với những bất đẳng thức phức tạp và lạ Trước hết ta sẽ vận dụng các phương pháp này để chứng minh một bất đẳng thức cơ bản ở Phổ thông Đó là bất đẳng thức CauChy Đây là một bất đẳng thức có nhiều cách chứng minh khác nhau Sau đây tôi chỉ xin trình bày một cách... quĩ tích của nó là đường tròn hoặc cung tròn Nếu một điểm trên quĩ tích chạy xa ra mãi mãi thì quĩ tích phải là đường thẳng Từ những kiến thức đã có, từ bài toán ban đầu chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, và tương tự để mở rộng bài toán đó, tìm ra những qui luật của các sự kiện toán học Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu, hiểu kĩ các khái niệm, định lí góp phần mở rộng vốn kiến thức . hóa, tương tự để giải một số bài toán sơ cấp . II. ĐỐI TƯƠNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: Việc vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để giải một số. của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong việ c giải toán. Nghiên cứu việc vận dụng các phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong việc