07. IT201_Bai 5_v1.0011103219

Bài 5: Ứng dụng thuật toán BÀI 5: ỨNG DỤNG CÁC THUẬT TOÁN Nội dung     Mục tiêu      Biết cách thực hành phép toán số học đồng dư Áp dụng định lý Ferma nhỏ, Euler Thao tác thuật tốn Euclid, Euclid mở rộng, bình phương nhân liên tiếp Giải RSA với số nhỏ Biết tạo kiểm tra chữ ký DSA IT201_Bai 5_v1.0011103219 Các thuật toán modulo o Quan hệ đồng dư o Thuật tốn Euclid o Thuật tốn bình phương nhân liên tiếp o Thuật toán Euclid mở rộng o Căn nguyên thủy logarit rời rạc Thuật toán RSA Thủ tục trao đổi khóa Diffie-Hellman Thuật tốn chữ ký điện tử DSA Thời lượng học  tiết 83 Bài 5: Ứng dụng thuật tốn TÌNH HUỐNG DẪN NHẬP Tình Để hiểu thuật tốn mã cơng khai, cần phải tính tốn modulo Tính tốn số lớn cần thuật toán hiệu quả: Euclid, Euclid mở rộng, bình phương nhân liên tiếp Cơ sở định lý số học Ferma, Euler Hiểu thực hành thuật toán RSA chữ ký điện tử DSA     Câu hỏi Làm cộng, trừ, nhân, chia cho số khác số nguyên có độ lớn không vượt phạm vi cho trước Các phép tốn tính tốn nào? Việc sử dụng định lý số học modulo việc tính tốn biểu thức, đặc biệt tính lũy thừa theo modulo thực nào? Nêu việc ứng dụng cặp tốn thuận-dễ, nghịch-khó vào mã cơng khai Trình bày bước tính tốn thuật tốn RSA, thủ tục trao đổi khóa Diffie – Hellman chữ ký điện tử DSA 84 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán 5.1 Các thuật toán MODULO 5.1.1 Số học đồng dư  Giả sử n số nguyên dương, a số nguyên, ta biểu diễn dạng: a = a/n.n + a mod n (*)  Viết công thức (*) cho cặp số (n, a) sau: o (15, 51): 51 = ? o (15, –51): –51 = ?  Tìm đại diện số 215 –157 theo mod 29 o 215 mod 29 = o (–157) mod 29 =  Theo modulo 13: chia tập số từ –26 đến 25 thành lớp tương đương, nêu đại diện chúng?  Biểu thức đúng: o 101 ≡ 36 mod 13? o (–101) ≡ (–36) mod 13? o 165 ≡ 34 mod 65? o (–165) ≡ 30 mod 65?  Viết công thức (*) cho cặp số (n, a) sau: o (15, 51): 51 = 3.15 + 6; Do theo định nghĩa: 51 mod 15 = o (15, –51): –51 = –4.15 + 9; Vậy: (–51) mod 15 =  Tìm đại diện số 215 -157 theo mod 29 o 215 mod 29 = 12; Do theo định nghĩa: 12 đại diện 215 theo modulo 29 o –158 mod 29 = 29 – 158 mod 29 = 29 – 13 = 16  Các lớp tương đương đại diện modulo 13: -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Hàng viết đậm từ đến 12 gồm đại diện modulo 13  Quan hệ tương đương đồng dư: hai số có quan hệ đồng dư theo modulo n, chúng có số dư chia cho n: o 101 ≡ 36 mod 13? – Đúng o -101 ≡ -36 mod 13? – Sai o 165 ≡ 34 mod 65? - Sai o -165 ≡ 30 mod 65? - Đúng Các công thức cộng, trừ, nhân theo modulo: (a b) mod n = [a mod n  b mod n] mod n (a.b) mod n = [a mod n b mod n] mod n IT201_Bai 5_v1.0011103219 (**) (***) 85 Bài 5: Ứng dụng thuật toán  Lập bảng nhân theo modulo 11, nêu cặp nghịch đảo bảng  Bạn thay số số tương đương theo mod n lúc nào? o (74 - 215) mod = ? o (244.315) mod 250 = ? o (144.315 – 265.657 ) mod 51 = ? Bảng nhân modulo 11 × 10 0 0 0 0 0 0 1 10 2 10 3 10 4 8 10 5 10 8 6 10 7 10 8 11 9 10 10 10 Các cặp sau nghịch đảo theo modulo 11, chúng có tích theo modulo 1: (1, 1), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (5, 9), (6, 2), (7, 8), (8, 7), (9, 5), (10, 10) Cộng, nhân modulo  Áp dụng tính chất (**): (74 – 215) mod = – 141 mod = – 141 mod = – 6=3 hay (74 mod – 215 mod 9) mod = (2 – ) mod = – mod =  Áp dụng tính chất (***): (244 315) mod 250 = (244 mod 250 315 mod 250) mod 250 = ((–6) mod 250 65 mod 250) mod 250 = (– 65 ) mod 250 = (– 390) mod 250 = 250 – 390 mod 250 = 250 – 140 =110  (144.315 – 265.657 ) mod 51 = (144.315 mod 51 – 265.657 mod 51) mod 51 = (–9.9 mod 51– (10.(– 6)) mod 51 ) mod 51 = (–81 + 60) mod 51 = –21 mod 51 = 51 – 21 mod 51 = 30 5.1.2 Thuật toán Euclid Áp dụng thuật tốn Euclid: 2110 = × 1945 + 165 gcd(1945, 165) 1945 = 11 × 165 + 130 gcd(165, 130) 165 = × 130 + 35 gcd(130, 35) 130 = × 35 + 25 gcd(35, 25) 35 = × 25 + 10 gcd(25, 10) 86 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán 25 = × 10 + 10 = × + Vậy ta có ước chung cần tìm 5: gcd(10, 5) gcd(5, 0) GCD(2110, 1945) = GCD(5, 0) = Thuật toán Euclid mở rộng -1  Số a gọi nghịch đảo b theo mod m, ký hiệu a = b mod m, (a.b) mod m = -1 Nếu gcd(b, m) = 1, tức hai số nguyên tố nhau, tồn b mod m  Tìm trực tiếp định nghĩa: o 6-1 mod 11 = ? o 5-1 mod 11 = ? o 6-1 mod 13 = ? o 12-1 mod 13 = ?; (n–1)-1 mod n = ? o 13-1 mod 15 = ? o 21-1 mod 25 = ? Giải:  6-1 mod 11 = 2, 6.2 mod 11 =  5-1 mod 11 = 9, 9.5 mod 11 =  6-1 mod 13 =11, (-2).6 mod 13 =  12-1 mod 13 = (-1)-1 mod 13 = –1 mod 13 = 12  (n–1)-1 mod n = n–1  13-1 mod 15 = (–2)-1 mod 15 = –8 mod 15 =  21-1 mod 25 = (–4)-1 mod 15 =  Với số lớn ta dùng thuật tốn để tìm nghịch đảo số b theo modulo n? o IT201_Bai 5_v1.0011103219 845-1 mod 2011 = ? Ta sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghịch đảo Q A1 A2 A3 B1 B2 B3 — 2011 845 845 –2 321 –2 321 –2 203 –2 203 –7 118 -7 118 -5 12 85 -5 12 85 -19 33 -19 33 -21 50 19 -21 50 19 29 -69 14 29 -69 14 -50 119 129 -307 426 -50 119 129 -307 87 Bài 5: Ứng dụng thuật toán o 5.1.3 Vậy 845-1 mod 2011 = 426 mod 2011= 426 Các định lý số học  Định lý Ferma nhỏ: Cho p số nguyên tố a số nguyên dương không bội p, tức GCD(a, p) = Khi ap-1(mod p) = ap(mod p) = a (mod p) hay  Tính giá trị sau: o 512(mod 13) = o 813(mod 13) = o 10100(mod 17) = (1016)6 104(mod 17) = 92mod 17 =13 o 15125(mod 19) = (1518)7.15-1(mod 19)= 14  Hàm Euler Hàm Euler số n số số nguyên tố với n nhỏ n N P n p Φ(n) Điều kiện P-1 p nguyên tố n p nguyên tố p –p n-1 s.t Φ(s).Φ(t) s, t nguyên tố p.q (p-1)(q-1) p, q hai nguyên tố khác  Tính giá trị hàm Euler: o Φ(23) = 22 o Φ(55) = Φ(5.11) = Φ(5).Φ(11) = 4.10 = 40 2 2 o Φ(180) = Φ(4.5.9) = Φ(4).Φ(5).Φ(9) = Φ(2 ).Φ(5).Φ(3 ) = (2 -2).4.(3 -3) = 48 3 2 o Φ(200) = Φ(8.25) = Φ(2 ).Φ(5 ) = (2 -2 ).(5 -5) = 80 2 o Φ(900) = Φ(4.9.25) = Φ(4).Φ(9).Φ(25) = Φ(2 ).Φ(3 ).Φ(5 ) = (22 -2).(32-3).(52-5) = 2.6.20 = 240 o Φ(6300) = Φ(7.900) = Φ(7).Φ(900) = 6.240 = 1440 Định lý Euler  Cho a, n hai số tự nhiên nguyên tố nhau, tức gcd(a,n) = Khi aΦ(n)(mod n) =  Tính: o mod 15= 1, Φ(15) = 8, gcd(4, 15) = o 119 mod 20= 10, Φ(20) = 8, gcd(11, 20) = o 12402 mod 25= 19, Φ(25) = 20, gcd(12, 25) = 1, 402 = 20.20 + 2, o 88 12402 mod 25= 12400.122mod 25= 144 mod 25 = 19 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán o o o 5.1.4 135162 mod 64= (135 mod 64)32.5+2 mod 64 = 72mod 64=49, Φ(64) = Φ(26) = 64 – 32 = 32 335453 mod 23= (335 mod 23)22.20+13 mod 23 = 513mod 23 =58.54.5mod 23 = 16.4.5 mod 23 = 21, Φ(23) = 22 (3/7)8 mod 10=(3.7-1)8mod 10 = (3.3)8 mod 10 = (–1)8 mod 10 = Lũy thừa theo modulo  Dựa vào định lý Euler đơn giản toán  Theo thuật toán lũy thừa dựa biểu diễn nhị phân số mũ n o 1123 mod 187 23 = 16 + + + 1; 232 = 10111 1123 mod 187 = (((((11)2)2.11)2.11)2.11) mod 187  Trên thực tế tính tốn tay dựa phép lặp bình phương nhân với số o 1123 mod 187 = 1116.114.112.11 mod 187 o 112 mod 187 = 121 o 114 mod 187 =1212 mod 187 = 55 o 118 mod 187 =552 mod 187 = 3025 mod 187 = 33 o 1116 mod 187 =332 mod 187 = 1089 mod 187 = 154 1123 mod 187 = 1116.114.112.11mod 187 = (154.55.121.11) mod 187 = (–33.( –66).5.11.11) mod 187 = 3.6.5.114 mod 187 = 3.6.5.55 mod 187 = 265 mod 187 = 88 Căn nguyên thủy o  Xét m để am mod n = Nếu giá trị m = Φ(n) số dương nhỏ thoả mãn cơng thức thì, a gọi nguyên thủy n  a = có phải ngun thủy khơng? Φ(7)= mod = ; mod = ; mod = ; < = Φ(7), không nguyên thủy  a = có phải nguyên thủy 11 không? Φ(11)= 10 mod 11 = ; 22 mod 11 = ; 23 mod 11 = 8; 24 mod 11 = ; 25 mod 11 = 10 ; 26 mod 11 = 9, 27 mod 11 = ; 28 mod 11 = ; 29 mod 11 = 6, 210 mod 11 = Vậy nguyên thủy 11  a = có phải nguyên thủy 11 không? Φ(11)= 10 mod 11 = ; 32 mod 11 = 9; 33 mod 11 = 5; 34 mod 11 = 4; 35 mod 11 = 1; < 10 = Φ(11), không nguyên thủy 11 IT201_Bai 5_v1.0011103219 89 Bài 5: Ứng dụng thuật toán  Ta lấy ví dụ số cặp (số nguyên tố, nguyên thủy) sau: (3, 2); (5, 2); (7, 3), (11, 2); (13, 6); (17, 10); (19, 10); (23, 10) Logarit rời rạc  Cho a, b, p số tự nhiên, với gcd(a,p)=1 = gcd(b,p)  Tìm x cho ax = b mod p hay x = logab mod p  Dễ dàng thấy, a ngun thủy p ln ln tồn tại: o x = log25 mod 11 = 20 mod 11 = ; 21 mod 11 = ; 22 mod 11 = ; 23 mod 11 = ; 24 mod 11 = 5; o x = log mod 13 = 20 mod 13 = ; 21 mod 13 = ; 22 mod 13 = ; 23 mod 13 = ; 24 mod 13 = ; 25 mod 13 = 6; 26 mod 13 = 12 ; 27 mod 13 = 11 ; 28 mod 13 = 9; 29 mod 13 = 5; o x = log37 mod 13 = ? 30 mod 13 = 1; 31 mod 13 = 3; 32 mod 13 = 9; 33 mod 13 = 1, Vô nghiệm (3 nguyên thủy 13)  Trong lũy thừa tốn dễ dàng, tốn logarit rời rạc tốn khó 5.2 Mã cơng khai RSA  Chọn ngẫu nhiên số nguyên tố p q  Tính: N = p.q; Φ(N) = (p – 1).(q – 1)  Người dùng A chọn ngẫu nhiên khố cơng khai (hoặc riêng ) e: < e < Φ(N), gcd(e, Φ(N)) =  Tìm khóa riêng (hoặc cơng khai) d A: (e.d) mod Φ(N) = 1, < d < Φ(N)  Để mã hoá mẩu tin gửi cho A, người gửi B: e o Tính C = M mod n, ≤ M < n o Để giải mã, người sở hữu khóa riêng: d o Tính M = C mod n  Để ký mẩu tin M gửi cho B, người gửi A mã khóa riêng mình: d o Tính C = M mod n, ≤ M < n  Để kiểm tra chữ ký, người nhận giải mã khóa cơng khai người gửi: e o Tính M = C mod n  Cho p = 3; q = 11; khóa cơng khai e = 7; thông điệp M = o N = 3.11 = 33; Φ(N) = 2.10 = 20; o d = e-1 mod Φ(N) = 7-1mod 20 = 3, khóa riêng d = 3; Mã: C = Me mod n = 57mod 33 = (–8)( –2).5 mod33 = 14; o Giải mã: M = C mod n =143mod 33 = (–2).14 mod 33 = o d 90 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán  Cho p = 5; q = 11; khố riêng e = 3; thơng điệp M = o N = 5.11 = 55 ; Φ(N) = 4.10 = 40; o o o o d = e-1 mod Φ(N) = 3-1 mod 40 = 27, khóa cơng khai d = 27; Ký: C = Me mod n = 93 mod 55 = 26.9 mod 55 = 14; Kiểm tra chữ ký: M = Cd mod n = 1427 mod55 = (1416 148.142.14) mod 55 = (36.16.31.14) mod 55 = (26(-6)) mod 55 = 9; 14 mod55=31, 14 mod55=26, 148mod55=16, 1416mod55 = 36  Cho p = 7; q = 11; khố cơng khai e = 13; thông điệp M = o N = 7.11 = 77; Φ(N) = 6.10 = 60; o Khóa riêng d = e-1 mod Φ(N) = 13-1 mod 60 = 37; o Mã: C = M mod n = 313 mod77 = (38343) mod77 = (42.4.3) mod77 = 38; o Giải mã: M = Cd mod n = 3837 mod 77 = e  Có thể dùng định lý phần dư Trung Hoa để giải mã cho nhanh: d 37 37 36 o Tính C mod = 38 mod = mod = 3 mod7 = 3; d 37 37 30 o Tính C mod 11 = 38 mod11 = mod 11 = 5 mod11 = 3; -1 -1 o Tính a1 = 11 mod = mod = 2; -1 o Tính a2 =7 mod 11 = 8; -1 o c1 = 11.(11 mod 7) = 11.2 = 22; -1 o c2 = 7(7 mod 11) =7.8 = 56;  Vậy 5.3 M = (a1c1 +a2c2) mod 77 = (3.22 + 3.56) mod 77 = Trao đổi khóa DIFFIE - HELLMAN  Mọi người dùng thỏa thuận dùng tham số chung: o Lấy số nguyên tố lớn q; o Chọn α nguyên thủy q  Mỗi người dùng (A chẳng hạn) tạo khố mình: o Chọn khố mật (số) xA < q; o o Tính khố cơng khai yA =  x A mod q Mỗi người dùng thông báo cơng khai khóa yA  Khóa phận dùng chung cho hai người sử dụng A, B KAB o KAB = α xA.xB xB = yA mod q mod q (mà B tính) x = yB A mod q (mà A tính)  Hai người dùng A B muốn trao đổi khoá phiên: o Đồng ý chọn số nguyên tố q = 11 α = 2; o A chọn khoá riêng x = 9; B chọn khóa riêng xB = 3; A o IT201_Bai 5_v1.0011103219 Tính khố cơng khai: 91 Bài 5: Ứng dụng thuật toán yA = αxA mod q = 29 mod 11 = yB = αxB mod q = 23 mod 11 =  Tính khố phiên chung: xA KAB = yB xB KAB = yA mod q = 89 mod 11 = (A) mod q = 63 mod 11 = (B)  Hai người sử dụng A B muốn trao đổi khoá phiên: o Đồng ý chọn số nguyên tố q = 13 α = o A chọn khố riêng xA= 5; B chọn khóa riêng xB=7 o Tính khố cơng khai: yA = αxA mod q = 65 mod 13 = yB = αxB mod q = 67 mod 13 =  Tính khố phiên chung: xA mod q = 75 mod 13 = 11 (A) mod q = 27 mod 13 = 11 (B) KAB = yB xB KAB = yA 5.4 Chữ ký điện tử DSA Bài tập:  Chọn p = 23, q = 11, h = 7, chọn g = h(p-1)/q (mod p), h < p-1; h(p-1)/q (mod p) >  g = h2 mod 23 =  Chọn x = 4, y = 34 mod 23 = 12 Tạo chữ ký điện tử o k = 5, H(M) = o r = (gk(mod p))(mod q) r = (35 mod 23) mod 11 = (12.3mod 23) mod 11=2 o s = (k-1(H(M)+ x.r))(mod q) s = (5-1.(8 + 4.r)) mod 11 = (5-1.(8 + 4.2)) mod 11=1  92 Chữ ký điện tử (r,s) = (2,1) IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán Kiểm tra chữ ký điện tử w = s-1(mod q) u1 = (H(M).w)(mod q) u2 = (r.w)(mod q) v = ( g u1 y u2 (mod p)) (mod q)  w = 1-1 mod 11 =  u1 = 8.1 mod 11 =  u2 = 2.1 mod 11 =  v = (38.122 mod 23) mod 11 =  v = r, chữ ký điện tử IT201_Bai 5_v1.0011103219 93 Bài 5: Ứng dụng thuật tốn TĨM LƯỢC CUỐI BÀI Với ứng dụng thuật toán rèn luyện cho anh/chị kỹ về:  Các thuật toán số học: o Số học đồng dư; o Thuật toán Euclid Euclid mở rộng; o Thuật tốn bình phương nhân liên tiếp; o Căn nguyên thủy logarit rời rạc; o Hàm Euler định lý số học;  Mã cơng khai RSA  Trao đổi khóa Diffie-Hellman  Chữ ký điện tử DSA 94 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán CÂU HỎI TỰ LUẬN Tại cần tập số hữu hạn, cộng, trừ, nhân, chia cho số khác 0, để áp dụng vào mã công khai? Khi thực phép tốn đồng dư, có thiết phải thực đại diện khơng? Nêu cách tính lũy thừa theo modulo thuật tốn bình phương nhân liên tiếp Mơ tả thuật tốn Euclid mở rộng tìm số nghịch đảo theo modulo Tại gọi Euclid mở rộng? Khi có số nguyên lớn có độ dài cỡ 500 bit, bạn dùng thuật toán để kiểm tra với xác suất tương đối lớn xem có phải số ngun tố khơng? Muốn thực nhanh phép tính theo modulo số lớn mà tích số ngun tố nhau, ta tính nào? Muốn kiểm tra số có nguyên thủy số khác không bạn làm gì? Muốn tính logarit rời rạc số a số b theo modulo p, bạn cần phải làm gì? Mơ tả ý tưởng dùng cặp tốn thuận-dễ, nghịch-khó tốn mã cơng khai 10 Hay người sử dụng trao đổi khoá dùng thủ tục Diffie-Hellman có cần đến bên thứ khơng? Hai người tính khóa mật dùng chung,1 người tìm khóa riêng người khơng? 11 Bạn mô tả cách dùng băm để xác thực thông điệp 12 Nêu thao tác vòng SHA1 13 Mô tả cách dùng kiểm tra chữ ký điện tử RSA 14 Mô tả cách dùng kiểm tra chữ ký điện tử DSA 15 Nêu bối cảnh, người sử dụng dùng chữ ký điện tử BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho P = (15 – 23) mod 52 Hỏi (A) P = 43; (C) P = 44; (B) P = 42; (D) P = 46 Cho Q = 23-1 mod 206 Hỏi (A)Q = 8; (C) Q = 9; (B) Q = 11; (D) Q = 13 Cho Q = 25-1 mod 274 Hỏi (A) Q = 10; (C) Q = 11; (B) Q = 12; (D) Q = 13 Cho Q = 310 mod 16 Hỏi (A) Q = 8; (B) Q = 11; (C) Q = 7; (D) Q = Cho X mod 25 = X mod 23 = 15 Khi (A) X mod 25.23= 80; (B) X mod 25.23 = 130; (C) X mod 25.23 = 105; (D) X mod 25.23 = 155 IT201_Bai 5_v1.0011103219 95 Bài 5: Ứng dụng thuật toán Tìm kết luận hàm Euler (A) Ф(9) = 7, Ф(17) = 16, Ф(33) = 18; (C) Ф(9) = 7, Ф(17) = 15, Ф(33) = 18; (B) Ф(9) = 6, Ф(17) = 15, Ф(33) = 20; (D) Ф(9) = 6, Ф(17) = 16, Ф(33) = 20 Tìm kết luận hàm Euler: (A) Ф(10) = 4, Ф(23) = 20, Ф(39) = 22; (C) Ф(10) = 4, Ф(23) = 22, Ф(39) = 24; (B) Ф(10) = 5, Ф(23) = 22, Ф(39) = 23; (D) Ф(10) = 6, Ф(23) = 21, Ф(39) = 25 Tìm kết luận sai: (A) 26 mod 12 = 1; (B) 412 mod 21 = 1; (C) 812 mod 21 = 1; (D) 54 mod 12 = Tìm kết luận sai: (A) mod = 1; (B) mod = 1; 10 (C) mod 11 = 1; (D) mod 11 = 10 Tìm kết luận sai: (A) nguyên 3; (C) nguyên 5; (B) nguyên 4; (D) nguyên 11 Tìm kết luận đúng: (A) nguyên 6; (C) nguyên 5; (B) nguyên 4; (D) nguyên 12 Tìm kết luận đúng: (A) Log2 mod = 2; (B) Log2 mod = 3; (C) Log2 mod = 4; (D) Log2 mod = 13 Cho p = 11; q = 13; A chọn khố cơng khai 7, tính khóa riêng A Giả sử B sử dụng khố cơng khai A mã hố tin M = Tính mã giải mã (A) PRA = 23; C = 37; (B) PRA = 103; C = 47; (C) PRA = 53; C = 27; (D) PRA = 73; C = 57 14 Trao đổi khóa Diffie-Hellman: cho q = 17, α = 10, xA = 7, xB = Tính yA ; yB khố chung KAB (A) yA = 5; yB = 4; KAB = 11; (B) yA = 2; yB = 7; KAB = 9; (D) yA = 5; yB = 6; KAB = 15 (C) yA = 5; yB = 11; KAB = 14; 15 Cho p = 47 q = 23 h = Tính g Bạn chọn khố riêng x = 13, tính khố cơng khai y Bạn gửi thư có băm H(M) = 11 chọn số ngẫu nhiên k = 5, ký Nêu cách người nhận kiểm tra chữ ký Sinh chữ ký (A) g = 3, y = 15, r = 7, s = 13; (B) g = 2, y = 20, r = 10, s = 11; (C) g = 2, y = 20, r = 9, s = 15; (D) g = 2, y = 20, r = 10, s = 19 16 Kiểm tra chữ ký câu 15 (A) w = 17, u1 = 3, u2 = 7, v = 10; (C) w = 17, u1 = 3, u2 = 9, v = 10; 96 (B) w = 15, u1 = 4, u2 = 9, v = 11; (D) w = 17, u1 = 3, u2 = 8, v = 10 IT201_Bai 5_v1.0011103219 ... bước tính tốn thuật tốn RSA, thủ tục trao đổi khóa Diffie – Hellman chữ ký điện tử DSA 84 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật toán 5.1 Các thuật toán MODULO 5.1.1 Số học đồng dư ... theo modulo: (a b) mod n = [a mod n  b mod n] mod n (a.b) mod n = [a mod n b mod n] mod n IT201_Bai 5_v1.0011103219 (**) (***) 85 Bài 5: Ứng dụng thuật toán  Lập bảng nhân theo modulo 11, nêu... 130) 165 = × 130 + 35 gcd(130, 35) 130 = × 35 + 25 gcd(35, 25) 35 = × 25 + 10 gcd(25, 10) 86 IT201_Bai 5_v1.0011103219 Bài 5: Ứng dụng thuật tốn 25 = × 10 + 10 = × + Vậy ta có ước chung cần tìm