D¢y Fibonacci v d¢y Lucas
ành nghắa 1.1.1 DÂy số Fibonacci, kỵ hiằu (Fn) n∈
N ữủc ành nghắa bði cổng thực truy hỗi
F n+1 = F n +F n−1 , (n ≥1), ð ¥y F n l sè h¤ng thù n cõa d¢y sè Fibonacci.
CĂc số Ưu tiản cừa dÂy Fibonacci:
Tứ hằ thực truy hỗi cừa dÂy Fibonacci ta cõ
Fn+2−Fn+1 −Fn = 0, vợi mồi n ≥ 0 Do õ ta cõ phữỡng trẳnh x 2 −x−1 = 0 hay x 2 = x+ 1. NhƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh vợi x n−1 ta ữủc x n+1 = x n +x n−1 (1.1)
Ró r ng náuϕ l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) thẳ 1−ϕ cụng l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) Do õ ϕ n+1 = ϕ n +ϕ n−1 v (1−ϕ) n+1 = (1−ϕ) n + (1−ϕ) n−1
Vợi mội c°p số thỹc a, b, ta °t Fa,b(n) = aϕ n + b(1−ϕ) n Khi õ tĐt cÊ cĂc h m n y thọa mÂn hằ thực truy hỗi Fibonacci. ành nghắa 1.1.2 CĂc h m F a,b (n) = aϕ +b(1−ϕ) ữủc gồi l h m sinh.
Trong nghiên cứu về dãy Fibonacci, các số hạng của dãy này thường được sử dụng để giải quyết những bài toán khó khăn Mối liên hệ giữa dãy Fibonacci và công thức Binet giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của dãy số này Công thức Binet được áp dụng hiệu quả trong các chứng minh liên quan đến dãy Fibonacci, làm sáng tỏ các khía cạnh toán học của nó.
Mằnh ã 1.1.3 DÂy số Fibonacci ữủc cho bði cổng thực
Dãy số Lucas, được đặt theo tên François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), là một dãy số quan trọng trong toán học, tương tự như dãy Fibonacci Mỗi số trong dãy Lucas được tính bằng tổng của hai số liền trước nó Dãy số này bao gồm các số nguyên dương và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và các lĩnh vực khác Tuy nhiên, khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là 2 và 1.
Dãy Lucas là một chuỗi số tương tự như dãy Fibonacci, với các giá trị khởi đầu khác nhau: L0 = 2 và L1 = 1 Đặc biệt, dãy Lucas được định nghĩa cho hai số nguyên dương r và s, với công thức: u0(r, s) = 0, u1(r, s) = 1, và đối với n ≥ 2, u n(r, s) = ru n−1 + su n−2.
Trong trường hợp (r, s) = (1, 1), chúng ta có thể hiểu số hạng thứ n của dãy Lucas và liên kết nó với dãy Fibonacci Qua quy nạp, ta có thể chứng minh rằng dãy Lucas có thể được biểu diễn bằng các công thức thực tế sau đây.
Mằnh ã 1.1.5 Vợi mồi số nguyản dữỡng n, ta cõ
Hình ảnh 1.1.3 và 1.1.5 cho thấy mối liên hệ giữa các số hạng thường gặp của dãy Fibonacci và dãy Lucas Hình ảnh 1.1.6 chỉ ra rằng với mỗi số nguyên dương n > m, ta có F(n) L(m) = F(n+m) +
Vợi mội số nguyản dữỡng n ta °t F −n = (−1) n Fn v Ln = (−1) n Ln.
B i to¡n 779
Nôm 1995, tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly số 33.1 Â giợi thiằu b i toĂn B.779 cừa Andrew Cusumano Nởi dung cừa b i toĂn õ l :
Tẳm cĂc số nguyản a, b, c v d thọa mÂn 1< a < b < c < d sao cho ỗng nhĐt thực sau l úng vợi mồi số nguyản dữỡng n.
Công thức F n = F n−a + 6F n−b + F n−c + F n−d (1.2) thể hiện mối quan hệ giữa các số trong dãy số Fibonacci Nhiều nhà toán học đã gửi gợi ý giải các bài toán liên quan đến công thức này trong tạp chí Fibonacci Quarterly Cụ thể, các giá trị a = 2, b = 5, c = 6, d = 8 được đưa ra để chứng minh tính đúng đắn của công thức mà không gặp phải bất kỳ vấn đề nào.
Phương trình đệ quy Fn = F n−2 + 6F n−5 + F n−6 + F n−8 thể hiện mối quan hệ giữa các số hạng trong dãy số Bằng cách áp dụng các phương pháp chứng minh quy nạp theo n, chúng ta có thể xác minh tính đúng đắn của phương trình này Các phương pháp như Bruckman và Figghion đã chỉ ra rằng có thể chứng minh các giá trị a, b, c, d một cách chính xác Tuy nhiên, các phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán này thường gặp khó khăn trong việc tìm ra các kết quả cụ thể Chúng ta có thể chứng minh rằng phương trình (1.3) là đúng bằng cách sử dụng các phương pháp quy nạp theo n một cách hợp lý.
Vợi n = 8 thẳ phữỡng trẳnh (1.3) tữỡng ữỡng vợi
F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0, với các giá trị thực hiện là F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = 0 Giả sử rằng có một số tỉ lệ nhiễm 8 ≤ k ≤ n, ta chứng minh rằng đối với k = n + 1, theo nghĩa dây Fibonacci, giá trị thiết quy nạp ta cần.
B i to¡n 804
Nởi dung cừa b i toĂn 804 l : HÂy tẳm tĐt cÊ cĂc số nguyản a, b, c v d (vợi 1 < a < b < c < d) sao cho ỗng nhĐt thực sau Ơy l úng vợi mồi số nguyản dữỡng n
Ngay sau õ, nôm 1997, L.A.G Dersel  ữa ra lới giÊi cừa b i toĂn
804 trong số 35.1 (1997) cừa tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly Lới giÊi cử thº nh÷ sau.
Tứ nhên x²t 9342 = 9349−7 = L 19 −L 4 , ð Ơy L k l số Lucas thự k.
Sỷ dửng cĂc ỗng nhĐt thực giỳa cĂc số Fibonacci v số Lucas ta cõ
Fm+4+ F m−4 = FmL4. Trứ vá vợi vá cừa 2 ¯ng thực trản ta nhên ữủc
F m+19 −F m−19 −F m+4 −F m−4 = F m (L 19 −L 4 ). °t n = m + 19, ta nhên ữủc ¯ng thực sau
F n = F n−15 + 9342F n−19 +F n−23 + F n−38 Nhữ vêy ta cõ cĂc số trản cƯn tẳm l : a = 15, b = 19, c = 23, d = 38 Bốn số trản chẵnh l mởt lới giÊi cừa b i toĂn 804.
Trong thuyết toán học, việc giải các bài toán 779 và 804 chủ yếu liên quan đến việc tìm các số Fibonacci thỏa mãn các điều kiện thực tế Điều này có thể được hiểu là việc giải phương trình tuyến tính với các nghiệm là các số Fibonacci.
Ró r ng ta cõ thº thay ời hằ số cừa hÔng tỷ thự 2 cừa vá phÊi cĂc ỗng nhĐt thực trản v ta s³ nhên lÔi ữủc mởt b i toĂn mợi vợi cĂc lới gi£i kh¡c nhau.
Vẵ dử 1.3.2 Zeitlin  tẳm ra a = 2, b = 20, c = 40, d = 1 l lới giÊi cừa phữỡng trẳnh
F n = F n−2 + 9349F n−20 +F n−40 +F n−41 Trong chữỡng sau (nởi dửng chẵnh cừa luên vôn) chúng ta s³ nghiản cựu cĂch giÊi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi cĂc bở nghiằm l cĂc số Fibonacci.
CĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi cĂc sè Fibonacci
Giợi thiằu b i toĂn tờng quĂt, cĂc khĂi niằm
T÷ìng tü nh÷ B i to¡n 779 v 804 ta x²t b i to¡n têng qu¡t sau.
B i toĂn Cho m l mởt số nguyản thọa mÂn m ≥ 3 Tẳm tĐt cÊ cĂc bở số nguyản {c 6= 0, a(1), a(m)} thọa mÂn iãu kiằn
0 < a(1) < a(2) < < a(m) sao cho vợi mồi số n > 0 cho trữợc ta cõ
F n = F n−a(1) +cF n−a(2) +F n−a(3) +F n−a(4) + +F n−a(m) (2.1) ành nghắa 2.1.1 Phữỡng trẳnh (2.1) ữủc gồi l phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt vợi cĂc số Fibonacci cõ ở d i m.
Trong phữỡng trẳnh (2.1) ữủc gồi bơng cĂch thay n = a(2) = b v °t x(1) = b−a(1), x(i) =a(i)−b, i = 3,4, , m.
Khi õ tứ phữỡng trẳnh (2.1) ta cõ phữỡng trẳnh sau
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện cho các giá trị x trong khoảng 0 < x(1) < b và 0 < x(3) < x(4) < < x(m) Phương trình (2.2) được xác định là phương trình rút gọn từ (2.1) Một nghiệm b của phương trình (2.2) được gọi là 1-tham số, bao gồm các giá trị x(1) + 2j, x(3) + 2j, x(4) + 2j, , x(m) + 2j Hơn nữa, một nghiệm của phương trình (2.2) cũng có thể được gọi là nghiệm 1-tham số.
Nhên x²t: Tập hợp các nghiệm 1-tham số là một lớp vỏ của các nghiệm, mà chúng có khoảng cách đều nhau giữa các chỉ số Do đó, tập hợp các chỉ số của các nghiệm 1-tham số có thể biểu diễn như một hàm tuyến tính của một tham số duy nhất.
Với phương trình (2.2) có một tham số, khoảng cách giữa các chỉ số là rất quan trọng Đối với tham số b, các giá trị x(1), x(3), x(4), , x(m) của phương trình (2.2) sẽ được ký hiệu bằng y-notation, thay cho (m−1) sau y: y(1), y(3), y(4), , y(m) Trong đó, y(i) được xác định bởi công thức y(i) = |b−x(i)| với i = 1, 3, 4, , m.
Vẵ dử 2.1.5 a) ối vợi ỗng nhĐt thực Fb = F b−1 +F b−2 ta cõ y−kẵ hiằu l h1,2i
Với công thức F b = F b−2 + F b−1, chúng ta có thể xác định các giá trị của dãy số Fibonacci, trong đó y(1) = 1 và y(2) = 2 Hai nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãn điều kiện (2.3) và được gọi là hai nghiệm nhị nhau nếu ở điểm giao nhau của chúng là bờng nhau.
Ró r ng quan hằ hai nghiằm nhữ nhau trong lợp cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) ữủc ành nghắa nhữ trản l mởt quan hằ tữỡng ữỡng.
Vẵ dử 2.1.7 ối vợi ỗng nhĐt thực
Số Fibonacci được định nghĩa bằng công thức F_b = F_{b−1} + F_{b−2} Đối với các giá trị x(1) và x(3), ta có y(1) = |b−x(1)| = 1 và y(3) = |b−x(3)| = 2 Nếu z > 2, ta nói rằng số Fibonacci F_z là lớn Một dãy số thực được gọi là lớn khi các phần tử của nó là các số Fibonacci lớn hơn 2 Một nghiệm của phương trình (2.2) được gọi là lớn nếu b > 2 và x(i) > 2 với mọi i = 1, 3, 4, …, m Hơn nữa, một dãy số thực P_j∈J với tổng F_j = F_b được gọi là phân tách khi tồn tại một tập con rộng hơn với các hạng tử khác nhau và không bằng 0 Nếu dãy số thực P_j∈J với tổng F_j = F_b không thể phân tách, ta nói rằng dãy số thực đó là nguyên tố.
Vẵ dử 2.1.10 a) Phữỡng trẳnh F b = F x(1) +F −x(3) +F −x(4) cõ mởt nghiằm l 0< x(1) = x(3) v 0< x(4) = b (vợi x(3) < x(4)), nghắa l
F b = F x(1) +F −x(1) +F −b vợi b l´ v x(1) chđn Ơy l nghiằm phƠn tẵch ữủc cừa phữỡng trẳnh  cho vẳ ta cõ
F x(1) + F −x(3) = 0. b) Phữỡng trẳnhF b = F x(1) +F −x(3) cõ nghiằm x(1) = b−1, x(3) = b−2, vợi b ≥ 3, b l´ Vẳ khi b l´ ta cõ (b−2) l l´, do õ F −(b−2) = F b−2 Vẳ vêy
F b = F b−1 + F −(b−2) là công thức biểu diễn mối quan hệ giữa các nhân tố trong phân tích số nguyên tố Một nhân tố ("factor") của một số nguyên dương thực sự có thể được hiểu là một tập hợp các yếu tố thỏa mãn điều kiện P j∈J Fj = 0 hoặc P j∈J F j = F b, trong đó J là tập hợp con của các chỉ số Số lượng các nhân tố của một số nguyên dương thực sự là số lớn nhất của các tập con khác rời nhau của các chỉ số, sao cho đối với mỗi tập con J, P j∈J F j là một nhân tố của số nguyên dương đó Cuối cùng, ở d i của một nhân tố là số hằng tỷ có trong nhân tố này.
Vẵ dử 2.1.12 a) Vợi m = 6 ta cõ ỗng nhĐt thực
F b = F d +F −1 +F −2 +F −d +F −b vợi d chđn, b l´ v 2 < d < b l mởt nghiằm cừa (2.2), v ỗng nhĐt thực trản cõ 3 nhƠn tố v vẳ vêy nõ l phƠn tẵch ữủc CĂc nhƠn tố õ l :
Vẳ d l chđn, nhƠn tố n y cõ ở d i l 2.
Tữỡng tỹ ta cõ 2 nhƠn tố cỏn lÔi cụng cõ ở d i l 2
F b = F −b vẳ b l l´. b) Vợi m = 7 ta cõ ỗng nhĐt thực
F b = F d +F −1 + F −3 +F −4 + F −d +F −(b+1) +F −(b+2) vợi b l´, d chđn v d < 4 < b+ 1. Ơy l ỗng nhĐt thực phƠn tẵch ữủc vẳ nõ cõ 3 nhƠn tố õ l
Vẳ b l´ nản F −(b+2) = F b+2 , F −(b+1) = −F b+1 nản ta cõ nhƠn tố:
F b = F −(b+1) + F −(b+2) là một biểu thức liên quan đến các giá trị của hàm F Một nghiệm của phương trình (2.2) được gọi là nghiệm chính (hoặc là nghiệm lẻ) nếu b thuộc tập nghiệm lẻ Hơn nữa, một nghiệm của phương trình (2.2) được gọi là nghiệm nguyên tố nếu F b = F x(1) + F −x(3) + F −x(4) + + F −x(m) không thể phân tách được, tức là không có một tập con J nào của tập {b, x(1), −x(3), , −x(m)} sao cho tổng P j∈J F j = 0.
Trữớng hủp m = 3 v m = 4
Mửc ẵch cừa phƯn n y l tẳm lới giÊi cho phữỡng trẳnh (2.2) trong trữớng hủp m = 3 v m = 4 Vợi m = 3, phữỡng trẳnh (2.2) cõ dÔng
Trữợc tiản ta cƯn bờ ã sau.
Bờ ã 2.2.1 Náu {b, x(1), x(3)} l mởt nghiằm lợn cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi m = 3 thẳ x(1) = b−1, x(3) = b−2, b l´, b ≥5 ho°c x(1) = b−2, x(3) = b−1, b ch®n, b ≥ 5.
Chựng minh Theo iãu kiằn cừa x(1) ta luổn cõ 0 < x(1) < b Do õ ta x²t cĂc trữớng hủp sau.
Trữớng hủp 1: x(1) = b − 1 Vẳ {b, x(1), x(3)} l mởt nghiằm lợn nản b, x(1), x(3) > 2 Khi â F −x(3) = Fb −F x(1) = Fb −F b−1 = F b−2 > 0 Do â x(3) l sè l´ v x(3) = b−2 ≥3 hay b ≥5.
Trữớng hủp 2: x(1) = b−2 Khi õ F −x(3) = F b −F x(1) = F b−1 > 0 Tữỡng tỹ ta cõx(3) l số l´ v x(3) = b−1 nản b chđn M°t khĂc x(1) = b−2 > 2 nản b ≥ 5.
Trữớng hủp 3: x(1) ≤ b −3 Khi õ náu F −x(3) ≤ F b−1 thẳ ta cõ F x(1) +
F −x(3) ≤ F b−3 + F b−1 < F b , iãu n y l mƠu thuăn Náu F −x(3) ≥ F b do x(1) > 0 ta suy ra F x(1) +F −x(3) > F b , iãu n y l mƠu thuăn Vêy khổng xÊy ra trữớng hủp x(1) ≤ b−3 Do õ phữỡng trẳnh dÔng
F b = F x(1) + F −x(3) ,0< x(1)< b,0 < x(3) ch¿ cõ hai hồ nghiằm 1−tham số l F b = F b−1 +F −(b−2) vợi b l´, b ≥ 5 v
F b = F b−2 + F −(b−1) vợi b chđn, b ≥ 6 ành lỵ 2.2.2 Khi m = 3, phữỡng trẳnh (2.2) ch¿ cõ cĂc nghiằm l
Theo Bờ ã 2.2.1, nếu có ít nhất 5 nghiệm của phương trình (2.2), thì nghiệm của phương trình này sẽ nằm trong ba khoảng [1,4] thuộc R³ Để kiểm tra tính hợp lệ, nghiệm x(1) và x(3) phải là 1 hoặc 2 Hơn nữa, phương trình F z −1 = F y chỉ có thể giải được khi y ≥ 5 Do đó, phương trình (2.2) chỉ có 3 nghiệm dương, và các nghiệm này không thể là nghiệm của phương trình (2.2).
Ta cõ iãu phÊi chựng minh
Kát quÊ sau l hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành lỵ 2.2.2.
Hằ quÊ 2.2.3 TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) khi m = 3 ãu thuởc mởt trong cĂc dÔng sau.
Chú ỵ rơng cĂc nghiằm khổng lợn cừa phữỡng trẳnh (2.2) trong(iii),(iv) v (v) l nghiằm ỡn trong khi nghiằm lợn cừa phữỡng trẳnh (2.1) l 1− tham sè.
Tiáp theo ta x²t trữớng hủp m = 4 Khi õ phữỡng trẳnh (2.2) cõ dÔng
Khi m = 3, ta có ảnh lý như sau Đối với m = 4, các giá trị x(1), x(3), x(4) tạo thành một nghiệm của phương trình (2.2) Nếu nghiệm này nằm trong 10 nghiệm khác nhau được trình bày trong bảng 2.1, 2.2 và 2.3, thì nó sẽ có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích.
Hai nhõm giống nhau cừa cĂc nghiằm nguyản tố1−tham số cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi m = 4 ữủc trẳnh b y trong bÊng 2.1 dữợi Ơy. y-kẵ hiằu b, x(1), x(3), x(4) Thay v o phữỡng trẳnh (2.2) iãu kiằn cừa b
BÊng 2.1: Hai nhõm giống nhau cừa nghiằm nguyản tố cừa phữỡng trẳnh (2.2) khi m = 4 b, x(1), x(3), x(4) Thay v o phữỡng trẳnh (2.2)
BÊng 2.2: SĂu nghiằm ỡn cừa phữỡng trẳnh (2.2) khi m = 4
SĂu nghiằm ỡn ữủc trẳnh b y trong bÊng 2.2 Trong 6 nghiằm n y thẳ nghiằm b = 4, x(1) = 3, x(3) = 2, x(4) = 3 l nghiằm phƠn tẵch ữủc, 5 nghiằm cỏn lÔi ãu l cĂc nghiằm nguyản tố.
Khi m = 4, hai hồ nghiằm phƠn tẵch ữủc cừa phữỡng trẳnh (2.2) ữủc cho trong bÊng 2.3 Hồ nghiằm trong h ng 1 l nghiằm 1−tham số, phƠn tẵch ữủc vẳ
Vợi x(1) l chđn Hồ nghiằm trong h ng 2 l nghiằm ỡn v phƠn tẵch ữủc vẳ
F 1 + F −2 = 0. b, x(1), x(3), x(4) Thay v o phữỡng trẳnh (2.1.2) Giợi hÔn tham số b, x(1), x(1), b F b = F x(1) + F −x(1) + F −b b l´; x(1) ch®n x(1) < b b, 1, 2, b F b = F 1 + F −2 + F b b l´; b > 2
BÊng 2.3: Hai nghiằm nhƠn tố cừa phữỡng trẳnh (2.2) khi m = 4
Nhên x²t 2.2.5 Mỗi nhánh nghiằm rời nhau của phương trình (2.2) khi m = 4 tạo ra các điểm cực trị b y ð trản, từ đó cho ta cấu hỏi và việc xác định mét ở cửa các nhánh Ta có thể tính toán hành vi của chúng như sau: Mỗi nhánh của (2.2) thỏa mãn (2.3) là một bờ bốn.
Ta có thể chứng minh một số yếu tố quan trọng liên quan đến bốn số nguyên nằm trong khối siêu lớp phương trình [1, u] 4 Việc kiểm tra các bốn số này là cần thiết để xác định tính chất của phương trình (2.2) và các điều kiện thỏa mãn của phương trình (2.3).
Trong bÊng bốn dữợi Ơy, ta lĐy u = 40 trong hẳnh siảu lêp phữỡng
Trong bài viết này, chúng tôi đã phân tích 4 cặp 131 nghiằm cừa được trình bày trong bảng 2.2, với 6 nghiằm ỡn cử thº được xác định Hình ảnh mô tả cho thấy 125 nghiằm cừa trong 4 hồ nghiằm, chiếm 95% tổng số Các nghiằm cừa này đã được xác nhận trong bảng 2.4 Thay vào phương trình (2.2), chúng tôi cũng đã tính toán các giá trị F cho các trường hợp khác nhau, cho thấy tỷ lệ phần trăm tương ứng với mỗi cặp.
BÊng 2.4: Mêt ở cừa cĂc hồ nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) khi m = 4 , trong 4 têp số trong hẳnh siảu lêp phữỡng [1, 40] 4
Khi u tông thẳ mêt ở các nghiằm s³ thay ời, tác giả Stephens Hall dự đoán sẽ có sự chuyển biến tích cực trong tương lai, và nhấn mạnh rằng các nghiằm này không phải là nguyên nhân gây nguy hiểm.
Trữớng hủp tờng quĂt
Mửc ẵch chẵnh cừa phƯn n y l trẳnh b y lới giÊi trong trữớng hủp tờng quĂt Trữợc khi phĂt biºu kát quÊ chẵnh ta cƯn mởt số quy ữợc sau.
Ta quy ước rằng một tập hợp các số nguyên được ký hiệu là J, với điều kiện a ≤ j ≤ b cho mọi j ∈ J Tập hợp J được gọi là chẵn nếu tổng các phần tử của nó là chẵn Khi đó, kết quả sẽ là một hệ thức liên quan đến các số nguyên trong J Giả sử {b, x(1), x(3), x(4), , x(m)} là một nghiệm nguyên tố lớn của phương trình với m ≥ 3 Khi m = 3, nghiệm này có dạng (i) và (ii) trong biểu thức đã cho Nếu m > 3, b là số chẵn và nghiệm này thuộc vào một trong các dạng chẵn như đã nêu.
Ngữ cảnh lối mồi sỹ lỹa chồn số nguyển dữỡng b l lợn, chđn v mồi lỹa chồn o, o 0 v o 00 sao cho tĐt cÊ cĂc ch¿ số trong 9 dÔng ð trản ãu lợn thẳ ta nhên ữủc nghiằm 1−tham số, lợn, chđn, nguyển tố cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi m > 3.
Vẵ dử sau Ơy l mởt minh hồa cho cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2).
Vẵ dử 2.3.2 CĂc nghiằm sau Ơy cho phữỡng trẳnh (2.2), vợi cĂc giĂ trà khĂc nhau cừa m minh hồa bði 9 dÔng sau:
Trữợc khi chựng minh ành lỵ ngău nhiản ta cõ nhên x²t vã 9 dÔng nghiằm trong phĂt biºu cừa ành lỵ.
Nhên x²t 2.3.3 Trong 9 dÔng ð trản, duy nhĐt dÔng 1 cõ x(i) < b vợi mồi i, tĐt cÊ cĂc dÔng cỏn lÔi ãu cõ x(i) ≥ b vợi i n o õ.
Trong quĂ trẳnh chựng minh ành lỵ ngău nhiản, chúng ta quy ữợc s³ sỷ dửng mởt số kẵ hiằu sau Ơy:
- Náu tờng F x +F y +ã ã ã+F z cõ trong phữỡng trẳnh thẳ ta hiºu tờng õ bơng ho°c Fx, ho°c bơng
F x +F x+d + F x+2d +ã ã ã+F x+jd , vợi y = x+d, z = x+ jd, d 6= x vợi j l mởt số nguyản dữỡng khĂc khổng n o õ.
- Mởt tờng cõ dÔng F x +F y +ã ã ã+ F z +F u ữủc hiºu l
- Mởt tờng cõ dÔng F x +F y +ã ã ã+F z +F y +F y +ã ã ã+F w ữủc hiºu l
Bờ ã 2.3.4 Vợi số nguyản dữỡng z tũy ỵ ta cõ: a) F z +F z+1 +F z+3 +F z+5 +ã ã ã+F z+o = F z+o+1 b) Fz −F z−1 −F z−3 −F z−5 − ã ã ã −F z−o = F z−o−1 trong õ o l 1 số nguyản dữỡng l´ bĐt kẳ.
Chựng minh Biºu diạn o = 2k + 1 Ta s³ chựng minh phƯn a) bờ ã trản bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo k.
+ Vợi k = 0 suy ra o = 1, ta cõ
Suy ra bờ ã úng vợi k = 0.
+ GiÊ sỷ bờ ã l úng vợi số nguyản dữỡng k, nghắa l ta cõ
Tứ õ suy ra rằng bờ ã l úng ối vợi (k + 1) và tẵnh úng cừa bờ ã ối vợi mồi số nguyản dữỡng k Điều này có thể được diễn đạt rằng ỗng nhĐt thực a) l úng ối vợi mồi số nguyản dữỡng l´ o.
Chựng minh mởt cĂch tữỡng tỹ ta cõ ỗng nhĐt thực b)
Bờ ã 2.3.4 cho ta mởt hằ quÊ quan trồng sau.
Hằ quÊ 2.3.5 Cho b l số chđn °t o, o 0 v o 00 l cĂc số l´, nguyản dữỡng tũy ỵ Khi õ 9 dÔng trong ành lỵ 2.3.1 ð trản ãu l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2).
Chựng minh Ta chựng minh dÔng 9 trong ành lỵ ngău nhiản 2.3.1 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2), cĂc dÔng khĂc s³ ữủc chựng minh tữỡng tü.
Trữợc hát, ta s³ ch¿ ra rơng:
Thêt vêy do b l chđn, v theo bờ ã 2.3.4 ta cõ:
Cự tiáp tửc quĂ trẳnh nhữ vêy ta cõ
QuĂ trẳnh trản l ta  thỹc hiằn lƯn lữủt cởng hai hÔng tỷ cuối cũng cừa vá phÊi, v l°p i l°p lÔi quĂ trẳnh õ, ta ữủc tờng cừa vá phÊi bơng
Tiáp theo ta s³ chựng minh:
Thực vậy, trong văn bản phải trình bày rõ ràng các thông tin ưu tiên có chứa số chính, còn các thông tin phụ có thể được lùi lại Để thể hiện mối quan hệ giữa các thông tin, ta có thể sử dụng công thức F − z = F z với z là số liệu cụ thể Việc sắp xếp nội dung một cách hợp lý sẽ giúp người đọc dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về thông tin được truyền đạt.
Thỹc hiằn liản tiáp viằc lĐy tờng hai hÔng tỷ Ưu tiản cừa vá phÊi, cuối cũng ta nhên ữủc vá phÊi bơng vá trĂi.
= F b−2 Vẳ vêy vá phÊi cừa dÔng 9 ữủc rút gồn th nh
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Bờ ã 2.3.6 (a) Cho J l têp hủp cĂc số nguyản dữỡng sao cho
(b) GiÊ sỷ k l mởt số nguyản dữỡng cụng thọa mÂn 2 < k ≤ z, v k /∈ J, khi â
Chựng minh (a) Náu cĂc số trong J l cĂc số l´, ta cõ
X j∈J F j ≤F 3 +F 5 +ã ã ã+F z < F z+1 Náu cĂc số trong J l cĂc số chđn, ta cõ
Do õ ta cõ iãu cƯn chựng minh.
(b) chùng minh t÷ìng tü nh÷ ph¦n (a)
Bờ ã 2.3.7 Náu v l số l´ v tĐt cÊ cĂc ch¿ số ãu lợn thẳ
Chựng minh Ta s³ chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo số l´ v ¯ng thùc sau:
GiÊ sỷ mằnh ã l úng vợi mồi số l´ k thọa mÂn: 5 ≤ k ≤ v Ta s³ chựng minh mằnh ã úng vợi k = v + 2.
Theo giÊ thiát quy nÔp ta cõ:
Vẳ vêy ỗng nhĐt thực trản l úng vợi mồi số l´ v Tứ kát quÊ trản, v thảm iãu kiằn mồi ch¿ số ãu lợn nản ta cõ:
Trữớng hủp x(i) < b, vợi mồi i
Trong trữớng hủp n y ta giÊ sỷ rơng n, z, u(1), u(3), , u(n) l cĂc số nguyản sao cho
Fz = F u(1) +F −u(3) + F −u(4) + + F −u(n) (2.4) l mởt ỗng nhĐt thực nguyản tố, lợn v chđn vợi
Khi õ ta cõ mởt bờ ã quan trồng sau.
Bờ ã 2.4.1 CĂc phĂt biºu sau l úng.
(a) Tỗn tÔi mởt số j sao cho u(j) =z −1.
(b) Khổng thº ỗng thới xÊy ra u(1) = z−1 v u(n) < z −1.
Chứng minh rằng Giả sử ngữ lôi u(i) ≤ z−2 với mọi i Khi xét các giá trị u(i) trong (2.4) và chọn tràn bì z−3 Sau khi chuyển đổi số hạng ơm từ bên phải của (2.4) sang bên trái, khi đó phương trình sẽ có dạng đồng nhất.
F z +X i∈K≤z−2F i = F u(1) +X i∈J ≤z−3F i trong õ K l têp hủp tĐt cÊ cĂc ch¿ số chđn v J l têp tĐt cÊ cĂc ch¿ số l´ trong (2.4) p dửng Bờ ã 2.3.6 ta cõ
Fz ≤Fz +X i∈K≤z−2Fi = F u(1) +X i∈J ≤z−3Fi ≤ F z−2 +F z−2 iãu n y l vổ lỵ bði ð vá trĂi ta cõ
Do õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
(b) Chùng minh t÷ìng tü ph¦n (a).
Bờ ã 2.4.2 (a) Cho số nguyản dữỡng p≥ 3 thọa mÂn
(b) Cho số nguyản dữỡng p ≥ 3 thọa mÂn
Chựng minh (a) Trong ỗng nhĐt thực:0 = F −u(3) +ã ã ã+F u(p) +F z−o (∗) Kẵ hiằu
Khi õ ỗng nhĐt thực (*) cõ thº viát l
Khi chuyºn vá tĐt cÊ cĂc hÔng tỷ cõ dĐu Ơm trong (*) sang vá trĂi ta cõ
GiÊ sỷ ∀i ∈ K, ta luổn cõ u(i) 6 z−o−1.
Khi õ theo bờ ã 2.3.6 ta cõ: X i∈K
Tứ (**) suy ra F z−o < F z−o vổ lỵ. iãu õ chựng tọ tỗn tÔi i ∈ k º u(i) = z−o+ 1.
(Vẳz l số chđn,o l số l´, nản số chđn tiáp theo cừaz−o−1l z−o+1).
Do u(i) l lợn nhĐt khi i = p, nản ta cõ u(p) = z−o+ 1.
(b) Chùng minh t÷ìng tü ph¦n (a).
Bờ ã 2.4.3 Khổng thº xÊy ra ỗng thới u(1) = z−1 v u(n) =z −1.
Chựng minh GiÊ sỷ ngữủc lÔi, thay thá, u(1) = z−1 v u(n) = z−1 v o phữỡng trẳnh (2.4), ta cõ
0 = F −u(3) +F −u(4) + +F −u(n−1) +F z−3 (2.5) Vợi 3≤ i ≤ n−1, ta cõ u(i) ≤ z−2 vẳ u(i) ≤u(n−1) < u(n) =z−1. p dửng Bờ ã 2.4.2 (a) ta cõ u(n−1) = z −2 Do õ, tứ tẵnh chđn cừa z suy ra
Do õ phữỡng trẳnh (2.5) th nh
Náu n−2≥ 3 Ăp dửng Bờ ã 2.3.6 ta cõ u(n−2) = z−3.
Trứ hai vá cừa phữỡng trẳnh cho F z−4 ta ữủc
0 = F −u(3) + +F −u(n−3) +F z−5 , vợiu(i) ≤ z−4 Náun−3 ≥3 Ăp dửng Bờ ã 2.3.6 ta cõu(n−3) = z−4.
Do F z−5 +F −(z−4) = −F z−6 , náu n−4 ≥ 3 ta cõ thº chuyºn F z−6 sang bản trĂi v tiáp tửc Ăp dửng Bờ ã 2.3.6 ta cõ u(n−4) = z −5.
Tiáp tửc quy nÔp cho u(j) = z − (n+ 1−j), vợi j = 3,4, , n Thay cĂc giĂ trà n y v o phữỡng trẳnh (2.5) v sỷ dửng giÊ thiát u(1) = z−1 ta câ
F z = F z−1 + (F z−1 −F z−2 + F z−3 ). Theo Bờ ã 2.3.7 vá bản phÊi cừa phữỡng trẳnh n y bà ch°n trản ch°t bði
F z−1 + F z−2 = F z , iãu n y dăn án mƠu thuăn Do õ cÊ u(1) v u(n) bơng z −1 l sai.
Hằ quÊ 2.4.4 Phữỡng trẳnh (2.4) khổng thº suy ra phữỡng trẳnh (2.5).
Bờ ã 2.4.5 Náu (2.4) xÊy ra thẳ cĂc phĂt biºu sau l úng.
Chựng minh (a) Theo Bờ ã 2.4.1 ta cõ u(j) = z −1 vợi j n o õ Theo
Bờ ã 2.4.1 trong phữỡng trẳnh (2.4) ho°c j = 1 ho°c j = n Theo cĂc Bờ ã 2.4.1(b) v 2.4.3, j 6= 1 Do õ j = n Vêy ta cõ u(n) =z −1
(b) Theo cĂc Bờ ã 2.4.5(a) v 2.4.3, u(1) 6= z −1 GiÊ sỷ u(1) = z −2, theo Bờ ã 2.4.5(a) v 2.4.1 , ta cõ Fz = F u(1) + F −u(n) = F z−2 +F z−1 l mởt nhƠn tố thỹc sỹ cừa (2.4), mƠu thuăn vợi giÊ thiát, vẳ n > 3 Do õ u(1)< z −2.
(c) GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơngu(n−1) = z−2 Theo (a), (b), ta cõ u(n) = z−1 v u(1) ≤ z−3 p dửng Bờ ã 2.3.6 cho phữỡng trẳnh (2.4), ta cõ
Ta có mô hình thuần Để thỏa mãn yêu cầu, cần có 3 ≤ i ≤ n−1 sao cho u(i) ≤ u(n−1) < z−2 Hình ảnh sau khi kết quả chính ưu tiên của tiết n Cho số nguyên dương m ≥ 3 và tập hợp {b, x(1), x(3), , x(m)} là một nghiệm nguyên tố, lớn, và chẵn của phương trình (2.2) Giả sử rằng x(i) < b, với mọi i Khi x(i) thuộc về một số nguyên dương l, ta có: {x(1), x(3), x(4), , x(m)} = {b−o−1, b−o, b−o+2, , b−1}.
Chựng minh p dửng Bờ ã 2.4.5 (a) vợi n = m, z = b, u(i) = x(i) ta th§y x(m) = z−1.
F x(1) = F b −F −x(3) = F b −F b−1 = F b−2 suy ra iãu phÊi chựng minh Náum > 3 v trứ cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh (2.2) cho F z−1 = F b−1 ta câ
Theo Bờ ã 2.4.5, x(i) < b−2 vợi mồi i Do õ vẳ m−1 ≥3 Ăp dửng mởt lƯn nỳa Bờ ã 2.4.5 (a) vợi n = m −1, z = b−2, u(i) =x(i) cho ta x(m−1) = z−1 = b−3.
Náu m−2 ≥ 3 chúng ta cõ thº trứ cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh cho F b−3 v Ăp dửng Bờ ã 2.4.5 ta cõx(i) < b−4 p dửng Bờ ã 2.4.5 (a) vợi z = b−
4, u(i) =x(i), n = m−2 Khi õ x(m−2) = b−5 Tiáp tửc quĂ trẳnh n y, bơng quy nÔp ta cõF b = F x(1) +F −(b−o) +F −(b−o+2) + +F −(b−3) +F −(b−1)
Trữớng hủp tỗn tÔi i º x(i) ≥ b
Trong phƯn n y ta s³ ch¿ ra rơng náu trong phữỡng trẳnh (2.2), x(i) ≥ b vợi i n o õ, thẳ têp {x(i) : x(i) > b} ho°c bơng têp {b+ 1}ho°c bơng têp{b+ 2, b+ 4, , b+o 00 + 1, b+o 00 + 2}.
GiÊ sỷ n, z, u(k), k = 1,3,4, , l cĂc số nguyản sao cho
F z = F u(1) +F −u(3) + F −u(4) + + F −u(n) (2.6) l mởt ỗng nhĐt thực lợn, nguyản tố, chđn vợi u(1) < z, u(3) < u(4) z vợi j n o õ.
Bði phữỡng trẳnh (2.6) được xác định theo số lợn nhĐt xÊy ra và trẵn Giá trị u(n) = z + o + 1, trong đó l u(n) - z là số chđn Khi đó, số lợn nhĐt sẽ phẵa bản phÊi là z + o Do đó, sau khi chuyển các số Ơm sang, chúng ta có thể xác định kết quả một cách chính xác.
RST = F u(1) +S(z+ o) < F z +F z+o+1 ≤ LST mƠu thuăn Vẳ vêy u(n)−z phÊi l số l´.
Cho u(n) = z + o và u(n−1) = z + o−1 Từ phương trình (2.6), ta có u(j) < z + o−1 với mọi j ≤ n−1 Với z là số chẵn, đây là số chẵn lớn nhất của giá trị phải l z + o−3 Do đó, sau khi chuyển các số âm sang bên trái và giữ giá trị thiết lập o ≥ 3, ta có
LST = F z +S(z +o−3)< F z + F z+o+2 ≤ F z+o ≤ RST, iãu n y l mƠu thuăn Do õ u(n−1) = z+ o−1.
(d) Cho u(n) =z+o, u(n−1) = z+o−1 v giÊ sỷ ngữủc lÔi u(n−2) z+o−2 Tứ phữỡng trẳnh (2.6), ch¿ số chđn lợn nhĐt cừa vá bản phÊi cho j ≤ n−3 l z +o−3 Vẳ u(i) ≥z nản ối vợi i ≥ 3 n o õ
Do õ sau khi chuyºn cĂc số Ơm sang bản phÊi ta cõ
LST = Fz + S(z + o - 3) < Fz + Fz + o - 2 < 2Fz + o - 2 ≤ RST, với điều kiện n - 2 < z + o - 2 Giả sử b, x(1), x(3), x(4), , x(m) với m ≥ 4 là một nghiệm nguyên tố, và các giá trị x(i) ≥ b với i ≠ 2 Khi x(m) = b + 1 hoặc x(m) = b + o00 + 2, thì x(m - 1) = b + o00 + 1, x(m - 2) = b + o00 - 1, , x(m - j) = b + 2, với j là một số nguyên dương.
Chựng minh p dửng Bờ ã 2.5.1 (b), vợi z = b, u(j) = x(j), n = m, ta cõ x(m) = b+ o Náu o = 1 thẳ (2.7) l úng.
Náu o > 1 thẳ vẳ o l số l´ nản o ≥ 3 p dửng Bờ ã 2.5.1 (c), vợi z = b, u(j) = x(j), n = m, ta câ x(m−1) = b+ o−1.
Tữỡng tỹ Ăp dửng Bờ ã 2.5.1 (d) ta cõ x(m−2) < b+ o−2 Vẳ b l số chđn v o l số l´ nản ta cõ
Do õ phữỡng trẳnh (2.2) ữủc rút gồn th nh
Náu o = 3 thẳ x(m) = b+o = b+ 3, x(m−1) = b+o−1 = b+ 2 Do õ (2.8) l thọa mÂn vợi o 00 = 1 v j = 1.
Náu o ≥ 5 thẳ vẳ o < x(1) < b v x(3) < x(4) < < x(m−2)< b+ o−2 nản Ăp dửng Bờ ã 2.5.1, vợi z = b, u(i) =x(i), i = 1,3,4, , m−2, u(m−1) = b+o−2, n = m−1, ta ữủc x(m−2) = b+o−3 v x(m−3)< b+ o−4.
Tiáp tửc quĂ trẳnh v Ăp dửng Bờ ã 2.5.1 cho án khi x(m−j) = b+ 2 vợi mởt số j n o õ, ta cõ x(m) = b+o, x(m−1) = b+o−1, x(m−2) = b+o−3, , x(m−j) = b+2. °t o 00 = o−2 ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Sỷ dửng Bờ ã 2.5.1 ta cõ mởt hằ quÊ quan trồng sau.
Hằ quÊ 2.5.3 GiÊ sỷ trong phữỡng trẳnh (2.2) x(i) ≥ b vợi mởt số i n o õ Khi õ vợi số nguyản j 0 n o õ, ta cõ
(ii) Náu k khổng thuởc tƠp J thẳ x(k) ≤ b.
Chựng minh (i) p dửng Bờ ã 2.3.7 cho (2.8) ta cõ (i).
Theo giả thiết cừa ảnh lý 2.5.2, nếu (2.7) đúng, theo phương trình (2.2) ta có x(k) ≤ b với k ≤ m−1 Nếu (2.7) đúng theo phương trình (2.2), x(k) ≤ b + 1 với k ≤ j0 Do đó, từ việc chứng minh x(k) < x(j0) ≤ b với k ≤ j0, ta suy ra x(j0) = b + 1 Theo đó, ta có thể viết lại phương trình (2.2) như sau.
F b = F x(1) +F −x(3) +F −x(4) + +F −x(j 0 +1) + F −x(j 0 ) + F b+1 (2.9) p dửng Bờ ã 2.3.6 cho (2.9), ta cõ
F b +F b+1 > F b +X k∈K≤bF i = X k∈LF k +F b+1 +F b+1 > 2F b+1 , iãu n y l mƠu thuăn Do õ x(k) ≤ b.
(iii) GiÊ sỷ ngữủc lÔi x(k) 6= b vợi mồi k °t J v j nhữ trong (i) p dửng Bờ ã 2.3.6 cho (2.9) ta ữủc
F b+1 = F b +F b−1 > F b +X k∈K≤b−2F i = F x(1) +X k∈KF i +F b+1 > F b+1 , iãu n y l mƠu thuăn Do õ tỗn tÔi j 0 sao cho x(j 0 ) = b.
(iv) ôt j 0 nhữ trong (iii) ành nghắa cĂc têp con S 1 v S 2 theo cĂc bĐt phữỡng trẳnh, j < j 0 , j 6= 1 v j > j 0 tữỡng ựng Theo (i), P j∈S 2 F −x(j) Fb+1 v theo (iii) F −x(j o ) = F −b Do õ phữỡng trẳnh (2.2) ữủc viát lÔi nhữ sau:
Mởt số kát quÊ vã tẵnh chĐt cừa têp S 1
Mửc ẵch cừa phƯn n y l mổ tÊ Ưy ừ cĐu trúc cừa têp S 1 ữủc xĂc ành trong Hằ quÊ 2.5.3 Trong Hằ quÊ 2.5.3(iv) ta cõ ỗng nhĐt thực
F −x(j) = Fb−2 (2.10) °t k = inf{i : S1 ≤ x(i)} Theo Hằ quÊ 2.5.3 (iv), ta cõ náu k = 1 thẳ x(1) = b − 2 Do â trong ph¦n cán l¤i chóng ta gi£ sû k ≥ 3 Khi â k = j 0 −1.
(2.11)Chựng minh p dửng ành lỵ 2.4.6 bơng cĂch thay b bði b−2 v m ữủc thay bði k Khi õ cĂc giÊ thiát cừa bờ ã 2.6.1 ữủc thọa mÂn vẳ:
(i) GiÊ thiát cừa ành lỵ 2.4.6 vợi m ≥3 ữủc thọa mÂn vẳ k ≥ 3. (ii) b−2 l số chđn vẳ b l số chđn.
(iv) B§t ¯ng thùc 2 ≤ x(i) ≤ b−3 suy ra 5≤ b ho°c b−2 > 2.
(v) Náu ỗng nhĐt thực (2.10) khổng xÊy ra, thẳ ỗng nhĐt thực (2.2) cụng khổng xÊy ra Do õ theo ành lẵ 2.4.6 thay b bði b−2 ta cõ (2.11).
Bờ ã 2.6.2 GiÊ sỷ x(i) ≥b−2 vợi mởt số i,1 ≤i ≤ k n o õ (2.12)
Ta câ c¡c ph¡t biºu sau l óng.
(iii) Khổng thº cõ x(1) = b−1 v x(j) ≤ b−2, vợi 3 ≤ j ≤ k.
Chứng minh rằng với điều kiện GiÊ sỷ ngữ̉c lÔi x(i) ≤ b−2 vợi mồi i, ta có x(i) = b − 2 vợi một số i n o õ Không thể có i = 1 và phương trình F x(1) = F b−2 kết hợp với k ≥ 3 mẫu thuẫn với x(1) ≤ b−3 = (b−2)−1 trong Bờ ã 2.6.1 Do đó, x(i) = b − 2 vợi i ≥ 3 n o õ Từ phương trình (2.2), ta có i = k và x(j) ≤ b−3 với j < k.
Sỷ dửng Bờ ã 2.3.6 cho (2.10) ta cõ
F b−2 +F b−2 +X i∈J F i = F x(1) +X i∈K≤b−3F i < F b−3 +F b−2 ≤F b−2 +F b−2 , iãu n y l mƠu thuăn Vẳ vêy tỗn tÔi i n o õ º x(i) =b−1.
(ii) GiÊ sỷ ngữủc lÔi, thẳ F b−2 = F b−1 +F −x(3) + .+ F −x(k−1) +F b−1 Sỷ dửng Bờ ã 2.3.6 ta ữủc
F b−1 +F b−1 +X i∈J F i = F b−2 +X i∈K≤b−2F i < F b−2 +F b−1 , iãu n y mƠu thuăn Vẳ vêy khổng thº xÊy ra x(1) = b−1 = x(k).
(iii) GiÊ sỷ ngữủc lÔi x(1) = b−1 v x(i) = b−1 vợi j ≥ 3 Trứ F b−2 tứ cÊ hai phẵa cừa (2.10) ta cõ
0 = F b−3 + F −x(3) +F −x(4) + +F −x(k) , mƠu thuăn vợi Hằ quÊ 2.4.4.
(iv) Theo ành nghắa náu i ∈ S 1 thẳ x(i) < b Theo phữỡng trẳnh (2.2), x(i) l lợn nhĐt xÊy ra khi i = k ho°c i = 1 Do õ tứ (i), (ii) v (iii) ta cõ x(k) = b−1.
Theo Bờ ã 2.6.2 (iv) cõ mởt số nguyản lợn nhĐt p, vợi 1 ≤ p ≤ k−2 sao cho
Ta thĐy, náu k − (p−1) > 3, thẳ tứ tẵnh chĐt lợn nhĐt cừa p, ta cõ x(k −p) ≤ b−p−2 Tữỡng tỹ, náu k −(p−1) = 3 thẳ x(1) ≤b−p−2. Thêt vêy, cho k −(p−1) = 3 v giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng x(1) = b− p−2. Thay (2.13) v o (2.10) ta ữủc
F b−2 = F b−1 −F b−2 +F b−3 −F b−4 , iãu n y l mƠu thuăn vợi Bờ ã 2.3.4 Tiáp theo chúng ta s³ nghiản cựu vã cĐu trúc cừa S 1 bơng cĂch x²t ba trữớng hủp cừa p v kẵch thữợc cừa k−(p−1).
Bờ ã 2.6.3 GiÊ sỷ phữỡng trẳnh (2.13) l cố ành Khi õ cĂc phĂt biºu sau l óng
(ii) Náu p l chđn v k−(p−1)> 3 thẳ vợi mởt số nguyản dữỡng j n o â,
Chựng minh (i) Theo giÊ thiát ta cõ
= F b−(p+2) (theo Bờ ã 2.3.4), ð Ơy dĐu ¯ng thực thự hai l do (2.13) °t o = p+ 1 thẳ ta cõ (2.14). (ii) T÷ìng tü nh÷ trong chùng minh ph¦n (i) ta câ
Trước tiên, ta có điều kiện x(j) ≤ b − (p + 3) với 3 ≤ j ≤ k − p Do tính tối ưu của p trong (2.13), ta cũng có x(j) ≤ b − (p + 2) cho 3 ≤ j ≤ k − p Hơn nữa, nếu x(k − p) = b − (p + 2), thì điều này dẫn đến việc thực hiện (2.16) không còn đúng nữa, và do đó, (2.10) cũng không thể đạt được Như vậy, ta kết luận rằng x(j) ≤ b − (p + 3).
Tiáp theo ta ch¿ ra rơng x(1) ≤ b−(p+ 3) Náu x(1) = b−(p+ 2) thẳ (2.16) s³ khổng úng M°t khĂc náu x(1) ≥ b−(p+ 1) thẳ Bờ ã 2.3.6 cho (2.16) ta câ
F x(1) +X i∈J Fi = X i∈K≤b−(p+2)Fi < F b−(p+1) ≤F x(1) , iãu n y l mƠu thuăn Vêy x(1) ≤ b−(p+ 3).
Vẳ x(1) ≤ b−(p+ 3) vợi mồi i nản Ăp dửng ành lỵ 2.5.2 cho (2.16) vợi b−(p+ 2) thay thá cho b, suy ra vợi mởt số chđn q ta cõ x(1) = (b−p−2)−q, x(3) = (b−p−2)−q + 1, x(4) = (b−p−2)−q + 3, ã ã ã , x(k −p) = (b−p−2)−1.
XĂc inh o v o 0 tứ cĂc phữỡng trẳnh
(b−p−2)−q = b−o−4−o 0 v b−o−4 = b−q −3 Vẳ b, q, v p chđn ngay cÊ khi o v o 0 l l´ Kát hủp nhỳng kát quÊ n y vợi (2.13) ta cõ ỗng nhĐt thực (2.16).
(iii) GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng (2.13) l úng vợi p≥ 1, p l´ º thuên tiằn cho trẳnh b y, trữợc tiản ta giÊ sỷ p≥ 3 Khi õ
Do tẵnh tối Ôi cừa p trong (2.13) ta cõ x(j) : j ≤k −p, x(j) ch®n ≤b−p−3, vợi 3 ≤ j ≤ p Do õ Ăp dửng Bờ ã 2.3.6 cho phữỡng trẳnh cuối trong (2.17) ta ữủc
F b−p−2 +X i∈J Fi = X i∈K≤b−p−3Fi < F b−p−2 Náu p= 1 chựng minh tữỡng tỹ ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Tứ cĂc kát quÊ trản ta cõ ành lỵ sau Cho m ≥ 3 và p, x(1), x(3), x(4), , x(m) là một nghiệm nguyên tố lớn, chọn cừa phưỡng trẳnh (2.2) Giả sử rơng với một số x(i) ≥ b thỏa mãn duy nhất j0, với x(j0) = b Tập S1 = {x(i) : i < j0} và k sup S1 thỏa hoặc k = 1 và x(k) = b−2 hoặc một trong (2.11), (2.14), (2.15) phải đúng.
Trữớng hủp b l´
Trong các phần trước, chúng ta đã mổ tách ý nghĩa của các nghiệm nguyên tố lợn, đặc biệt là phương trình (2.2) Chúng ta đã chỉ ra rõ các nghiệm này liên quan đến mổ tách bời 9 dòng trong ngành lý ngẫu nhiên Tuy nhiên, với trường hợp b là thẩm văn chữa rõ ràng Trong phần này, chúng ta chứng minh một số bờ ã không ảnh hưởng rõ ràng đến nghiệm tồn tại trong trường hợp b là số lẻ.
Bờ ã 2.7.1 Khổng cõ nghiằm nguyản tố lợn trong phữỡng trẳnh (2.2) vợi b l´, m > 3 v x(i) < b, vợi mồi i.
Chựng minh GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng cõ mởt nghiằm nguyản tố lợn trong phữỡng trẳnh (2.2) vợi b l´, m > 3 v x(i) < b, vợi mồi i Theo phữỡng trẳnh (2.2) x(1) ≤b−1 v x(i) : x(i) l´ ≤ b−2.
Ta x²t ba trữớng hủp sau:
Náu x(1) = b−1 v x(i) = b −2 vợi mởt số i n o õ Khi õ phữỡng trẳnh con Fb = F x(1) +F −x(i) vi phÔm nguyản tưc khi m > 3.
Náu x(1) = b−1 v cĂc ch¿ số x(i) l l´ vợi i ≥ 3 ữủc ch°n trản bði b−4 Sỷ dửng Bờ ã 2.3.6, ta cõ
RST = F x(1) + S(b−2)< F b−2 +F b−1 = Fb ≤LST, iãu n y l mƠu thuăn.
Náu x(1) ≤ b−2 v cĂc ch¿ số x(i) l l´ vợi i ≥ 3 ữủc ch°n trản bði b−2 Sỷ dửng Bờ ã 2.3.6 ta cõ
RST = F x(1) + S(b−2)< F b−2 +F b−1 = F b ≤LST, iãu n y l mƠu thuăn Do õ ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Bờ ã 2.7.2 Khổng cõ nghiằm nguyản tố lợn cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi b l´, m > 3 v x(i) = b vợi i n o õ.
Chựng minh Ró r ng náu b l´ thẳ phữỡng trẳnh F b = F b vi phÔm tẵnh nguyản tố Do õ ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Bờ ã 2.7.3 Khổng cõ nghiằm nguyản tố lợn cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi b l´, m > 3 v x(m) = b+o.
Chứng minh rằng với các điều kiện cho trước, phương trình (2.2) có nghiệm x(m) = b + o, trong đó b là số lẻ và m > 3 Để đảm bảo rằng các giá trị x(i) không bằng b với mọi i, ta áp dụng Bờ ã 2.7.2 Hơn nữa, theo Bờ ã 2.3.6, ta có thể xác định rằng số lượng nghiệm của phương trình (2.2) phải thỏa mãn điều kiện b + o - 1.
Trữợc khi x²t trữớng hủp cuối cũng ta cƯn bờ ã sau.
F b = F x(1) +F −x(3) +F −x(4) + +F −x(n) , vợi 2 < x(1) < n,2 < x(3) < x(4) < < x(n) GiÊ sỷ thảm x(n), p l cĂc số l´ thọa mÂn x(n) > p, n ≥ 4 Khi õ x(n−1) = x(n) − 1 v x(n−2) < x(n)−2.
Chựng minh Trữợc tiản chúng ta chựng minh rơng x(n−1) = x(n) −1.
GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơngx(n−1)< x(n)−1 p dửng Bờ ã 2.3.6 cho phữỡng trẳnh trong phĂt biºu cừa bờ ã ta cõ
Tiếp theo, ta chứng minh rằng \( x(n-2) < x(n) - 2 \) Giả sử \( x(n-2) \) và \( x(n) - 2 \) là hai giá trị khác nhau, và theo định nghĩa, \( x(n) - 3 \) phải lớn hơn \( x(n-2) \) Hơn nữa, ta có công thức \( F(-x(n)) + F(-x(n-1)) + F(-x(n-2)) = 2F(x(n) - 2) \) Do đó, áp dụng Sự Duy Trì và Bờ, ta có thể kết luận rằng mối quan hệ này là đúng.
Bờ ã 2.7.5 Khổng cõ nghiằm nguyản tố lợn cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi b l´, m > 3 v x(m) = b+o+ 1.
Chựng minh GiÊ sỷ x(m) = b+o+ 1 Trữợc tiản, Ăp dửng Bờ ã 2.7.4 vợi b = p, n = m, ta cõ x(m−1) = b+o v x(m−2) < b+ o−1 Thay thá
Náu (o−1) ≥ 2, Ăp dửng Bờ ã 2.7.4 vợi b = p, n = m − 1, ta cõ x(m −2) = b+o−2 v x(m−3) < b+o−3 Do â
Tiáp tửc quĂ trẳnh án khi Ôt ữủc mởt số r sao cho x(m) = b+o+ 1, x(m−1) = b+ o x(m−2) = b+o−2,ã ã ã , x(m−r) =b+ 1.
Vẳx(1) < b nản giÊ thiát ban Ưu x(m) = b+o+ 1 l khổng chẵnh xĂc.
Tứ cĂc Bờ ã trản ta cõ ành lỵ sau. ành lỵ 2.7.6 Vợi m > 3, khổng cõ nghiằm nguyản tố lợn, l´ cừa phữỡng trẳnh (2.2).
Chựng minh ành lỵ 2.3.1 ( ành lỵ ngău nhiản)
Chựng minh a) Vợi m = 3, Ăp dửng Bờ ã 2.2.1 ta cõ {b, x(1), x(3)} l nghiằm lợn cừa phữỡng trẳnh (2.2) vợi x(1) = b−1, x(3) = b−2, ho°c x(1) = b−2, x(3) = b−1.
Ta cõ iãu phÊi chựng minh. b) Vợi m > 3
- Hằ quÊ 2.3.5 Â kh¯ng ành vợi b l số chđn bĐt kẳ, v vợi o, o 0 , o 00 l cĂc số nguyản dữỡng, l´ thẳ 9 dÔng trong ành lỵ 2.3.1 ãu l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2).
- Náu x(i) < b, vợi mồi i, thẳ dÔng (1) s³ l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) theo ành lþ 2.4.6.
- Náu tỗn tÔi i, sao cho x(i) ≥ b, theo ành lỵ 2.5.2 ta cõ ho°c x(m) b+ 1, ho°cx(m) =b+o 00 + 2, x(m−1) = b+o 00 + 1, x(m−2) = b+o 00 −1, , x(m−j) =b+ 2, vợi j l mởt số nguyản dữỡng n o õ.
- p dửng hằ quÊ 2.3.5, ta thĐy tỗn tÔi j0 sao cho x(j0) =b, v vợi têp {x(i) : i > j 0 }, ho°c têp {x(m) = b+ 1}, ho°c l têp
Vẳ vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) s³ cõ cĂc dÔng tứ (3) án (9).
- Náu tỗn tÔi j 0 º x(j 0 ) = b, vợi têp {x(i) : i > j 0 }, p dửng Bờ ã 2.6.1, Bờ ã 2.6.3, v ành lỵ 2.6.4 ta thĐy nghiằm cừa (2.2) cõ dÔng (2.11), (2.14) ho°c (2.15).
Ta s³ cõ ho°c l têp {x(1) = {b−1}}, ho°c l
Vẳ vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) s³ l mởt trong cĂc dÔng tứ (2) án (9).
- Trong trữớng hủp b l số l´, Ăp dửng ành lỵ 2.7.6 ta thĐy phữỡng trẳnh (2.2) khổng cõ nghiằm nguyản tố lợn.
Luên vôn  trẳnh b y nhỳng nởi dung chẵnh nhữ sau:
1 Cổng thực Binet cho dÂy Fibonacci v dÂy Lucas.
3 Mởt số khĂi niằm v kát quÊ liản quan án phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt vợi dÂy Fibonacci.
4 Trẳnh b y lới giÊi trong trữớng hủp m = 3,4.
5 Trẳnh b y lới giÊi trong trữớng hủp tờng quĂt.