2 C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c sè Fibonacci
2.8 Chùng minh ành lþ 2.3 1( ành lþ ng¨u nhi¶n)
nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi
x(1) = b−1, x(3) = b−2, ho°c x(1) = b−2, x(3) = b−1. Ta câ i·u ph£i chùng minh.
b) Vîi m > 3
- H» qu£ 2.3.5 ¢ kh¯ng ành vîi b l sè ch®n b§t k¼, v vîi o, o0, o00 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, l´ th¼ 9 d¤ng trong ành lþ 2.3.1 ·u l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2).
- N¸u x(i) < b, vîi måi i, th¼ d¤ng (1) s³ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) theo ành lþ 2.4.6.
- N¸u tçn t¤i i, sao cho x(i) ≥ b, theo ành lþ 2.5.2 ta câ ho°c x(m) = b+ 1, ho°cx(m) =b+o00+ 2, x(m−1) = b+o00+ 1, x(m−2) = b+o00−1, ...,
x(m−j) =b+ 2, vîi j l mët sè nguy¶n d÷ìng n o â.
- p döng h» qu£ 2.3.5, ta th§y tçn t¤i j0 sao cho x(j0) =b, v vîi tªp
{x(i) : i > j0}, ho°c tªp {x(m) = b+ 1}, ho°c l tªp
= {b+ 2, b+ 4, ..., b+o + 1, b+o + 2}
V¼ vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) s³ câ c¡c d¤ng tø (3) ¸n (9). - N¸u tçn t¤i j0 º x(j0) = b, vîi tªp {x(i) : i > j0}, p döng Bê · 2.6.1, Bê · 2.6.3, v ành lþ 2.6.4 ta th§y nghi»m cõa (2.2) câ d¤ng (2.11), (2.14) ho°c (2.15).
Ta s³ câ ho°c l tªp {x(1) = {b−1}}, ho°c l
{x(1), x(3), ..., x(j0 −1)} = {b−o−3, b−o−1, b−o, ..., b−1}, ho°c l
{x(1), x(3), ..., x(j0 −1)} = {b−o−3, b−o−1, b−o, ..., b−3}, ho°c l
{x(1), x(3), ..., x(j0 −1)} ={b−o−4−o0, b−o−3−o0, b−o−1−o0,}
∪ {, ..., b−o−4, b−o−1, b −o, ..., b−1}
V¼ vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) s³ l mët trong c¡c d¤ng tø (2) ¸n (9).
- Trong tr÷íng hñp b l sè l´, ¡p döng ành lþ 2.7.6 ta th§y ph÷ìng tr¼nh (2.2) khæng câ nghi»m nguy¶n tè lîn.
K¸t luªn
Luªn v«n ¢ tr¼nh b y nhúng nëi dung ch½nh nh÷ sau: 1. Cæng thùc Binet cho d¢y Fibonacci v d¢y Lucas. 2. B i to¡n 779 v 804.
3. Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t vîi d¢y Fibonacci.
4. Tr¼nh b y líi gi£i trong tr÷íng hñp m = 3,4. 5. Tr¼nh b y líi gi£i trong tr÷íng hñp têng qu¡t.
T i li»u tham kh£o
[1] Andrew Cusumano. Problem B-779. The Fibonacci Quarterly 33.1 (1995) 85.
[2] L. A. G Dresel. Problem B-804. The Fibonacci Quarterly 35.1 (1997) 88.
[3] The Problem Editor. Problem B-779. The Fibonacci Quarterly 34.1 (1996) 84.
[4] Ruawrll Jay Hendel. Linear equalities in Fibonacci numbers.(esented on the Occasjon of Harold Stark's 65th Birthday). Submitted August 2004-Final Revision February 2005.