(LUẬN văn THẠC sĩ) thứ tự sắp được của dãy các đại lượng trung bình tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ ĐỨC HIỆP THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ ĐỨC HIỆP THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số dạng bất đẳng thức đại lượng trung bình 1.1 Các giá trị trung bình 1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển Chương Sắp thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng quát 16 2.1 Sắp thứ tự trung bình số với trọng 16 2.2 Sắp thứ tự tổng số theo bậc chúng 21 Chương Các dạng toán liên quan 24 3.1 Sắp thứ tự số đại lượng sinh lớp hàm đơn điệu 24 3.2 Điều chỉnh số theo thứ tự gần 35 3.3 Một số mở rộng định lý Jensen 44 3.4 Một số toán đề thi Olympic quốc gia quốc tế 55 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 download by : skknchat@gmail.com Bảng ký hiệu N∗ I(a, b) AG APMO IMO MO tập số tự nhiên dương tập số thực khoảng (a, b) bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Olympic tốn học châu Á Thái Bình Dương Olympic tốn học quốc tế Ủy ban Olympic toán học quốc tế tổ chức Olympic toán học quốc tế download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến bất đẳng thức hay đề cập thường thuộc loại khó khó Các tốn ước lượng tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) tổng, tích tốn xác định giới hạn số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến tính tốn, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng Trong bất đẳng thức, thứ tự xếp đại lượng trung bình số thực dương đóng vai trị quan trọng việc so sánh giá trị đại lượng trung bình Ngồi thứ tự xếp số đại lượng trung bình thơng thường trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa người ta quan tâm đến thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng qt Mục đích luận văn nhằm khảo sát tính chất dãy đại lượng trung bình tổng quát số dạng toán liên quan Nội dung đề tài luận văn trình bày chương Chương "Một số dạng bất đẳng thức đại lượng trung bình bản": giới thiệu số dạng bất đẳng thức đại lượng trung bình số dạng bất đẳng thức cổ điển download by : skknchat@gmail.com Chương "Sắp thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng quát": trình bày tốn thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng qt khơng có trọng có trọng Chương "Các dạng toán liên quan": xét số dạng toán liên quan bất đẳng thức toán cực trị từ đề thi học sinh giỏi thi Olympic Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy khoa Tốn-Tin thầy trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn Bình, Đơng Triều, Quảng Ninh anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đỗ Đức Hiệp download by : skknchat@gmail.com Chương Một số dạng bất đẳng thức đại lượng trung bình Chương giới thiệu số dạng bất đẳng thức đại lượng trung bình số dạng bất đẳng thức cổ điển Nội dung chương viết sở tài liệu [1]–[4] 1.1 Các giá trị trung bình 1.1.1 Trung bình thơng thường Giả sử n ∈ N∗ Xét tập dãy số dương (a) := a1 , a2 , , , , an ; (b) := b1 , b2 , , bi , , bn Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) tồn hai số λ µ khơng đồng thời cho λai = µbi (i = 1, 2, , n) Chú ý dãy khơng (0), tức dãy gồm tồn số không, tỷ lệ với dãy (b) Nhận xét tính tỷ lệ, định nghĩa, quan hệ đối xứng dãy quan hệ bắc cầu; quan hệ bắc cầu khảo sát ta bỏ dãy không Nếu hai dãy (a) (b) tỷ lệ hai khác dãy khơng bi = = 0, giá trị khác số i, tỷ số /bi không phụ thuộc vào i download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.1.2 Xét số thực r = Khi tổng Mr (a) xác định theo công thức n Mr (a) := n ari 1/r (1.1) i=1 gọi trung bình bậc r Các đại lượng Mr (a) khảo sát chi tiết Chương Đặt A = A(a) = M1 (a) (1.2) H = H(a) = M−1 (a) (1.3) G = G(a) = √ n a1 a2 an (1.4) Ta thấy, A(a) trung bình cộng thơng thường, H(a) trung bình điều hịa G(a) trung bình nhân 1.1.2 Trung bình có trọng Ta xét hệ giá trị trung bình tổng quát Đó dạng trung bình có trọng Giả sử pi > (i = 1, , n) (1.5) đặt n Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = i=1 n pi ari 1/r , (1.6) pi i=1 Mr = (r < số số a = 0), (1.7) n G = G(a) = G(a, p) = ap11 ap22 apnn 1/ pi i=1 download by : skknchat@gmail.com (1.8) n Vì trung bình hàm bậc khơng p, nên ta giả sử pi = Khi ta viết q thay cho p, chẳng hạn i=1 n qi ari Mr (a) = Mr (a, p) = n 1/r qi = i=1 (1.9) i=1 n G(a) = G(a, p) = aq11 aq22 aqnn qi = (1.10) i=1 Định nghĩa 1.1.3 Xét số thực r khác Khi tổng Mr (a, p) xác định theo cơng thức (1.9) gọi trung bình bậc r theo trọng (q) Nhận xét rằng, ứng với r = −1, r = r = ta nhận trung bình điều hịa, trung bình cộng trung bình bình phương Ta thấy trung bình có trọng trở thành trung bình thơng thường pi = với i Thông thường, ta không rõ trọng công thức, hiểu giá trị trung bình đem so sánh với phải thành lập tự hệ trọng Trung bình thơng thường trường hợp riêng trung bình có trọng Mặt khác, trung bình có trọng với trọng thơng ước trường hợp riêng trung bình thơng thường (đối với hệ số a khác) Thật vậy, tính nhất, ta giả sử trọng ngun, cịn trung bình có trọng ngun thu từ trung bình thơng thường cách thay số hệ số giống tương ứng Trung bình với trọng khơng thơng ước coi trường hợp giới hạn trung bình thơng thường Ta thường xun sử dụng công thức hiển nhiên sau: Mr (a) = A(ar ) 1/r G(a) = eA(log a) , M−r (a) = , Mr (1/a) download by : skknchat@gmail.com (1.11) (1.12) (1.13) 1/r r Mrs (a) = Ms (a ) (1.14) Trong (1.12) ta giả sử a > 0, giả thiết cịn dùng cơng thức khác số âm Thêm A(a + b) = A(a) + A(b), (1.15) G(a, b) = G(a).G(b), (1.16) Mr (b) = kMr (a) (b) = k(a) (1.17) (tức bi = kai k khơng phụ thuộc i) 1.2 G(b) = kG(a) (b) = k(a), (1.18) Mr (a) ≤ Mr (b) aν ≤ bν với ν (1.19) Một số dạng bất đẳng thức cổ điển 1.2.1 Định lý trung bình cộng trung bình nhân Định lý 1.2.1 Ta ln có G(a) ≤ A(a) Chứng minh Bất đẳng thức phải chứng minh viết hai dạng sau: p1 a1 + · · · + pn an p1 + · · · + p n ap11 apnn ≤ hay p1 +···+pn (1.20) n aq11 aqnn ≤ qi (1.21) i=1 n qi = 1) Ta có (ở đây, i=1 a1 + a2 a1 a2 = 2 a1 − a2 − 2 a1 + a2 ≤ 2 Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 Và a1 a2 a3 a4 ≤ a1 + a2 2 a3 + a4 2 ≤ a1 + a2 + a3 + a4 download by : skknchat@gmail.com 49 n−1 (n − 1)f (x) + + an f i=1 Từ bất đẳng thức Jensen, ta có f (a1 ) + f (a2 ) + · · · + f (an−1 ) (n − 1)f (x) Vậy nên n−1 (n − 2)f (an ) + nf (a) f i=1 + an , n−1 (n − 2)an + na = i=1 + an , ta sử dụng bất đẳng thức Karamata cho hai trường hợp min{a1 , a2 , , an } + max{a1 , a2 , , an } a1 + an Không tổng quát, coi a1 a2 · · · an Vậy a Theo bất đẳng thức Karamata, ta cần chứng minh Trường hợp Khi 2a an min{ a max{ a1 + an a2 + an an−1 + an , ,··· , } 2 an−1 + an a1 + an a2 + an , ,··· , } 2 a1 + an Trường hợp Khi 2a < min{a1 , a2 , , an } + max{a1 , a2 , , an } a1 + an Theo Không giảm tổng quát coi a1 a2 · · · an Khi a bất đẳng thức Karamata, ta cần chứng minh Điều kiện thứ hiển nhiên, điều kiện thứ hai suy từ a a a1 + an a2 + an an−1 + an , ,··· , 2 an max a1 + an a2 + an an−1 + an , ,··· , 2 Điều kiện thứ hai hiển nhiên điều kiện thứ suy từ a Sau đây, ta mô tả số áp dụng trực tiếp download by : skknchat@gmail.com a1 + an 50 Bài toán 3.3.1 Xét số n dương a1 , a2 , , an thỏa mãn điều kiện a1 + a2 + · · · + an = n Khi đó, ta ln có (n − 1)n (a1 a2 · · · an ) n−1 (n − a1 )(n − a2 ) · · · (n − an ) Lời giải Chỉ cần áp dụng Định lý 3.3.4 với hàm lồi f (x) = −ln x ứng với x > 0, ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.3.1 Với a1 + a2 + · · · + an = n kéo theo a1 a2 an 1, ta thấy bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân "sắc" bất đẳng thức (n − a1 )(n − a2 ) · · · (n − an ) (n − 1)n a1 a2 · · · an Thật vậy, từ bất đẳng thức n − a1 = a2 + a3 + · · · + an (n − 1)(a2 a3 · · · an ) n−1 , n − a2 = a1 + a3 + · · · + an (n − 1)(a1 a3 · · · an ) n−1 , 1 n − an = a1 + a2 + · · · + an−1 (n − 1)(a1 a2 · · · an−1 ) n−1 , ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.3.2 Xét n số dương a1 , a2 , , an đặt bi = n−1 aj ứng với j=i i Chứng minh b2 bn b1 + + ··· + a1 a2 an a1 a2 an + + ··· + b1 b2 bn (3.31) Lời giải Giả sử a = (a1 + a2 + · · · + an )/n Sử dụng hệ thức (n − 1)bi na = − ai na = −n+1 bi bi với i = 1, 2, , n, ta thấy (3.31) tương đương với bất đẳng thức 1 n(n − 2) + + ··· + + a1 a2 an a (n − 1) 1 + + ··· + b1 b2 bn Bất đẳng thức dễ dàng nhận từ Định lý 3.3.4 ứng dụng cho hàm lồi f (x) = , x > x download by : skknchat@gmail.com 51 Bài toán 3.3.3 Xét n số dương x1 , x2 , , xn thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + · · · + xn = 1 + + ··· + x1 x2 xn (3.32) Chứng minh 1 + + ··· + + (n − 1)x1 + (n − 1)x2 + (n − 1)xn (3.33) Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh suy từ (3.31) theo cách sau Giả thiết ngược lại 1 + + ··· + < 1 + (n − 1)x1 + (n − 1)x2 + (n − 1)xn (3.34) Ta chứng minh (3.32) không thỏa mãn Giả sử = , i = 1, 2, , n + (n − 1)xi Nhận xét > xi = − , ∀i = 1, 2, , n (n − 1)ai n Theo (3.34) < Vậy nên i=1 − > aj = (n − 1)bi (3.35) j=i ứng với i = 1, 2, , n Do theo (3.34) ta có n x1 + · · · + xn = i=1 n i=1 > bi n i=1 − > (n − 1)ai n i=1 bi (n − 1)ai 1 = + + ··· + − x1 x2 xn Vậy nên, ta thu điều phải chứng minh Tiếp theo, ta nêu kết luận tính so sánh số biểu thức sinh số (có trọng khơng trọng) theo thứ tự cho trước Các ràng buộc tương tự giả thiết bất đẳng thức Karamata download by : skknchat@gmail.com 52 Bài toán 3.3.4 Giả thiết cho ba cặp số dương (α1 , α2 ), (u1 , u2 ) (x1 , x2 ) thỏa mãn điều kiện sau   u1 u2 , α1 x1 α1 u1 ,  α1 x1 + α2 x2 = α1 u1 + α2 u2 Chứng minh xα1 xα2 uα1 uα2 Dấu đẳng thức xảy x1 = u1 x2 = u2 Chứng minh Xét hàm số x α1 y= Ta có x α1 y = α1 −1 Vậy nên y =0⇔ x s < α1 α1 + α2 Do với α1 s−x α2 s−x α2 α2 −1 α2 s−x x − α2 α1 x s−x s = = , α1 α2 α1 + α2 y > ta có Đặt x α1 α1 x α1 s−x α2 u α1 α2 s , α1 + α2 u α1 α1 s−u α2 α2 s−x u s−u x = x1 , = x2 , = u1 , = u2 α1 α2 α1 α2 Suy ra, x1 u1 u2 , α1 x1 + α2 x2 = α1 u1 + α2 u2 , ta thu xα1 xα2 uα1 uα2 Nhận thấy dấu đẳng thức xảy xi = ui với i = 1, download by : skknchat@gmail.com 53 Bài toán 3.3.5 Giả thiết cho ba ba số dương (α1 , α2 , α3 ), (u1 , u2 , u3 ) (x1 , x2 , x3 ), thỏa mãn điều kiện sau  u1 u2 u3 ,    α1 x1 α1 u1 , α1 x1 + α2 x2 α1 u1 + α2 u2 ,    α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 Khi xα1 xα2 xα3 uα1 uα2 uα3 Dấu đẳng thức xảy xi = ui với i = 1, 2, Chứng minh Theo giả thiết  u1 u2 u3 ,    α1 x1 α1 u1 , α1 x1 + α2 x2 α1 u1 + α2 u2 ,    α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 , nên ta cần xét hai trường hợp Trường hợp Khi x1 = u1 − d1 , x2 = u2 − d2 , x3 = u3 + d3 với d1 , d2 , d3 Khi α1 d1 + α2 d2 = α3 d3 từ đó, ta thu xα1 xα2 xα3 = (u1 − d1 )α1 (u2 − d2 )α2 (u3 + d3 )α3 α1 d1 α3 uα1 (u2 − d2 )α2 u3 + d3 − uα1 uα2 uα3 α3 Dấu đẳng thức xảy xi = ui với i = 1, 2, Trường hợp Khi x1 = u1 −d1 , x2 = u2 +d2 , x3 = u3 +d3 với d1 , d2 , d3 Khi α1 d1 = α2 d2 + α3 d3 từ đó, ta thu xα1 xα2 x3α3 = (u1 − d1 )α1 (u2 + d2 )α2 (u3 + d3 )α3 α2 d2 α1 α2 u1 − d1 + u2 (u3 + d3 )α3 uα1 uα2 uα3 α1 Dấu đẳng thức xảy xi = ui với i = 1, 2, Bây giờ, ta chứng minh định lý sau download by : skknchat@gmail.com 54 Định lý 3.3.5 Giả thiết cho ba số dương (αi ), (ui ) (xi ) thỏa mãn điều kiện sau  u1 u2 · · · un ,     α1 x1 α1 u1 ,    α1 x1 + α2 x2 α1 u1 + α2 u2 , ···············     α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn−1 xn−1 α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn−1 un−1 ,    α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un Khi đó, ta có xα1 xα2 · · · xαnn uα1 uα2 · · · uαnn Dấu đẳng thức xảy xi = ui với i = 1, 2, , n Chứng minh Sử dụng phương pháp quy nạp thông thường Bài toán 3.3.6 Cho hàm số f (x) xác định có f (x) > [α, β] cho hai cặp số x1 , x2 ; u1 , u2 ∈ [α, β] Khi với cặp số dương (γ1 , γ2 ) (u1 , u2 ) thỏa mãn điều kiện   u1 u2 , γ1 x1 γ1 u1 ,  γ1 x1 + γ2 x2 = γ1 u1 + γ2 u2 , ta có γ1 f (x1 ) + γ2 f (x2 ) γ1 f (u1 ) + γ2 f (u2 ) Dấu đẳng thức xảy x1 = u1 x2 = u2 Bài toán 3.3.7 Cho hàm số f (x) xác định có f (x) > [α, β] cho số (x1 , x2 , x3 ), (u1 , u2 , u3 ) nằm [α, β] Khi với số dương (γ1 , γ2 , γ3 ) (u1 , u2 , u3 ), thỏa mãn điều kiện  u1 u2 u3 ,    γ1 x1 γ1 u1 , γ1 x1 + γ2 x2 γ1 u1 + γ2 u2 ,    γ1 x1 + γ2 x2 + γ3 x3 = γ1 u1 + γ2 u2 + γ3 u3 , ta có γ1 f (x1 ) + γ2 f (x2 ) + γ3 f (x3 ) γ1 f (u1 ) + γ2 f (u2 ) + γ3 f (u3 ) download by : skknchat@gmail.com 55 Dấu đẳng thức xảy xi = ui với i = 1, 2, 3.4 Một số toán đề thi Olympic quốc gia quốc tế Bài tốn 3.4.1 (Vơ địch Liên Xô 1986) Chứng minh với số dương tùy ý a1 , a2 , , an , ta có bất đẳng thức n 1 + + ··· + 0, a + b + c = Chứng minh b c a 1+a 1+b 1+c + + ≤2 + + 1−a 1−b 1−c a b c (3.36) Lời giải Ta viết (3.36) dạng 1+a 1+b 1+c + + 1−a 1−b 1−c 2a 2b 2c b c a + + ≤2 + + =3 + 1−a 1−b 1−c a b c 1 1 1 ⇔2a − + 2b − + 2c − ≥3 c 1−a a 1−b b 1−c 1 1 1 ⇔a − +b − +c − ≥ c 1−a a 1−b b 1−c ab bc ca + + ≥ ⇔ c(b + c) a(c + a) b(a + b) ab bc ca + + ≥ c(b + c) a(c + a) b(a + b) download by : skknchat@gmail.com (3.37) 58 Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức (3.37) với a, b, c > 0, a + b + c = Ký hiệu M := ab bc ca + + c(b + c) a(c + a) b(a + b) Theo bất đẳng Cauchy, ta có ab + c bc ca + a b √ b+c+ = ab bc √ ca √ c+a+ a+b c(b + c) a(c + a) b(a + b) ab bc ca ≤ + + [2(a + b + c)] = M [2(a + b + c)] c(b + c) a(c + a) b(a + b) = Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca), nên ab + c bc + a ca b ≥ 3(b + c + a) Suy M ≥ , hay ab bc ca + + ≥ c(b + c) a(c + a) b(a + b) Bài toán 3.4.6 (MO Romannian 2004) Chứng minh rằng, với a, b, c > 0, ta có a b c 27 + + ≥ bc(c + a) ca(a + b) ab(b + c) 2(a + b + c)2 Lời giải Đặt a b c + + = M bc(c + a) ca(a + b) ab(b + c) download by : skknchat@gmail.com (3.38) 59 Ta có a + bc b + ca c ab = √ √ √ a b c c+a+ a+b+ b+c bc(c + a) ca(a + b) ab(b + c) b c a ≤ + + [2(a + b + c)] = M [2(a + b + c)] bc(c + a) ca(a + b) ab(b + c) = Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, a + bc b + ca c ab 1 + + a b c ≥3 hay a + bc b + ca c ab ≥ 27 , (a + b + c) nên suy (3.38): M≥ 27 2(a + b + c)2 Bài toán 3.4.7 (USA MO) Xét số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + + c) b (c + a) c (a + b) a2 (b Lời giải Ta có 1 + + = a b c √ √ √ 1 = √ b+c+ √ c+a+ √ a+b b c+a a b+c c a+b ≤P [2(a + b + c)] Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, 1 + + a b c ≥3 1 + + ab bc ca hay 1 + + a b c ≥ 3(a + b + c) = 3(a + b + c) abc download by : skknchat@gmail.com 60 Từ suy P ≥ 3 Pmin = a = b = c = 2 Bài toán 3.4.8 (Được suy từ toán đề thi IMO 1995) Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh b2 c2 a2 + + ≥ b+c c+a a+b Lời giải Đặt bc = x, ca = y ab = z Theo giả thiết, ta thu 1 = x, = y, = z, a b c x + y + z ≥ Ta đưa bất đẳng thức cho dạng x2 y2 z2 + + ≥ y+z z+x x+y Do vai trò a, b, c x, y, z bình đẳng, khơng tổng quát ta giả thiết a ≥ b ≥ c hay < x ≤ y ≤ z Khi  x2 ≤ y ≤ z 1 ≤ ≤  y+z y+z y+z Suy x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + ≥ + + y+z z+x x+y y+x z+y x+z x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + ≥ + + y+z z+x x+y x+z y+x z+y Từ đây, cộng vế tương ứng, ta nhận y2 z2 x2 + z y + x2 z + y x2 + + ≥ + + y+z z+x x+y x+z y+x z+y Theo bất đẳng thức Cauchy, (x + z)2 (y + z)2 (z + y)2 2 x +z ≥ ,y + x ≥ ,z + y ≥ , 2 2 download by : skknchat@gmail.com 61 x2 + z y + x2 z + y + + ≥ (x + y + z) ≥ x+z y+x z+y 2 Từ đây, ta thu điều cần chứng minh download by : skknchat@gmail.com 62 Kết luận Đề tài luận văn giới thiệu số dạng bất đẳng thức đại lượng trung bình bản, số dạng bất đẳng thức cổ điển số dạng bất đẳng thức thức sinh hàm số; trình bày tốn thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng qt khơng có trọng có trọng xét số dạng tốn liên quan bất đẳng thức toán cực trị từ đề thi học sinh giỏi thi Olympic Nội dung luận văn bất đẳng thức giá trị trung bình, nội dung quan trọng toán sơ cấp Tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu, đọc hiểu, tổng hợp, phân dạng cấu trúc cách có hệ thống, từ đơn giản đến phức tập thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng quát dạng tốn có liên quan download by : skknchat@gmail.com 63 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phan Đức Chính (1993), Bất đẳng thức, NXB Giáo dục [2] G.H Hardy, J.E Littlewood, G Polya (1999), Bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (bản dịch) [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo dục [4] Các thi Olympic Tốn trung học phổ thơng Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo dục Tiếng Anh [5] De Sausa, Paulo Ney, Silva, Jorge-Nuno (2004), Berkeley Problems in Mathematics, Springer [6] Radulescu, Teodora-Liliana, Radulescu, Vicentiu D., Andreescu, Titu (2009), Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer download by : skknchat@gmail.com ... đại lượng trung bình số dạng bất đẳng thức cổ điển download by : skknchat@gmail.com Chương "Sắp thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng quát" : trình bày tốn thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng qt... đẳng thức đại lượng trung bình 1.1 Các giá trị trung bình 1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển Chương Sắp thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng quát 16 2.1 Sắp. .. lượng trung bình thơng thường trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa người ta quan tâm đến thứ tự dãy đại lượng trung bình tổng qt Mục đích luận văn nhằm khảo sát tính chất dãy đại