tích phân

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: '( ) ( ) = F x f x , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ( ) ( ) = + ∫ f x dx F x C , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất • '( ) ( ) = + ∫ f x dx f x C • ( ) ( ) ( ) ( )   ± = ±   ∫ ∫ ∫ f x g x dx f x dx g x dx • ( ) ( ) ( 0) = ≠ ∫ ∫ kf x dx k f x dx k 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm 1) Phương pháp đổi biến số Nếu ( ) ( ) = + ∫ f u du F u C và ( ) = u u x có đạo hàm liên tục thì: ( ) . '( ) ( )     = +     ∫ f u x u x dx F u x C 2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: = − ∫ ∫ udv uv vdu • 0 = ∫ dx C • = + ∫ dx x C • 1 , ( 1) 1 α α α α + = + ≠ − + ∫ x x dx C • 1 ln = + ∫ dx x C x • = + ∫ x x e dx e C • (0 1) ln = + < ≠ ∫ x x a a dx C a a • cos sin = + ∫ xdx x C • sin cos = − + ∫ xdx x C • 2 1 tan cos = + ∫ dx x C x • 2 1 cot sin = − + ∫ dx x C x • 1 cos( ) sin( ) ( 0) + = + + ≠ ∫ ax b dx ax b C a a • 1 sin( ) cos( ) ( 0) + = − + + ≠ ∫ ax b dx ax b C a a • 1 , ( 0) + + = + ≠ ∫ ax b ax b e dx e C a a • 1 1 ln = + + + ∫ dx ax b C ax b a GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1) 2 1 ( ) – 3 = + f x x x x 2) 4 2 2 3 ( ) + = x f x x 3) 2 1 ( ) − = x f x x 4) 2 2 2 ( 1) ( ) − = x f x x 5) 2 2 1 ( ) sin .cos =f x x x 6) 2 2 cos 2 ( ) sin .cos = x f x x x 7) 2 ( ) 2 sin 2 = x f x 8) 2 ( ) tan = f x x 9) 2 ( ) cos = f x x 10) ( ) 2 sin 3 cos 2 = f x x x 11) ( ) ( ) – 1 = x x f x e e 12) 2 ( ) 2 cos −       = +         x x e f x e x HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 1) 3 ( ) 4 5; (1) 3 = − + = f x x x F 2) ( ) 3 5 cos ; ( ) 2 π = − = f x x F 3) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 − = = x f x F e x 4) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 + = = x f x F x 5) ( )= 3 2 1 ; ( 2) 0 − − = x f x F x 6) 1 ( ) ; (1) 2 = + = − f x x x F x 7) ( ) sin 2 .cos ; ' 0 3 π      = =       f x x x F 8) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; (1) 2 − + = = x x f x F x 9) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) + + − = = + x x x f x F x 10) 2 ( ) sin ; 2 2 4 π π      == =       x f x F VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ( ) ∫ f x dx bằng phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = ( ) . '( )     g u x u x thì ta đặt ( ) '( ) = ⇒ = t u x dt u x dx . Khi đó: ( ) ∫ f x dx = ( ) ∫ g t dt , trong đó ( ) ∫ g t dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ( ) ∫ g t dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): 1) 10 (5 1)− ∫ x dx 2) 5 (3 2 ) − ∫ dx x 3) 5 2− ∫ xdx 4) 2 7 (2 1)+ ∫ x xdx 5) 3 4 2 ( 5)+ ∫ x x dx 6) 2 5 + ∫ x dx x 7) 2 1. + ∫ x xdx 8) 2 3 3 5 2 + ∫ x dx x 9) 2 (1 ) + ∫ dx x x f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2 − a x sin , 2 2 π π = − ≤ ≤ x a t t hoặc cos , 0 π = ≤ ≤ x a t t 2 2 + a x tan , 2 2 π π = − < < x a t t hoặc cot , 0 π = < < x a t t GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3 10) 4 sin cos ∫ x xdx 11) 5 sin cos ∫ x dx x 12) 2 tan cos ∫ xdx x 13) 3 − ∫ x x e dx e 14) 2 1 . + ∫ x x e dx 15) ∫ x e dx x 16) 3 ln ∫ x dx x 17) 1 + ∫ x dx e 18) tan 2 cos ∫ x e dx x HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): 1) 2 3 (1 ) − ∫ dx x 2) 2 3 (1 ) + ∫ dx x 3) 2 1 . − ∫ x dx 4) 2 4 − ∫ dx x 5) 2 2 1 . − ∫ x x dx 6) 2 1 + ∫ dx x 7) 2 2 1 − ∫ x dx x 8) 2 1 + + ∫ dx x x 9) 3 2 1. + ∫ x x dx VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: HT 5: Tính các nguyên hàm sau: 1) .sin ∫ x xdx 2) cos ∫ x xdx 3) 2 ( 5)sin+ ∫ x xdx 4) 2 ( 2 3)cos+ + ∫ x x xdx 5) sin 2 ∫ x xdx 6) cos2 ∫ x xdx 7) . ∫ x x e dx 8) 2 3 ∫ x x e dx 9) ln ∫ xdx 10) ln ∫ x xdx 11) 2 ln ∫ xdx 12) 2 ln( 1) + ∫ x dx HT 6: Tính các nguyên hàm sau: 1) ∫ x e dx 2) ln ∫ xdx x 3) sin ∫ x dx 4) cos ∫ x dx 5) .sin ∫ x x dx 6) 3 sin ∫ xdx 7) ln(ln ) ∫ x dx x 8) sin(ln ) ∫ x dx 9) cos(ln ) ∫ x dx HT 7: Tính các nguyên hàm sau: 1) .cos ∫ x e xdx 2) 2 (1 tan tan ) + + ∫ x e x x dx 3) .sin 2 ∫ x e xdx 4) 2 ln(cos ) cos ∫ x dx x 5) 2 ln(1 ) + ∫ x dx x 6) 2 cos ∫ x dx x 7) ( ) 2 2 ln 1 1 + + + ∫ x x x dx x 8) 3 2 1 + ∫ x dx x 9) 2 ln            ∫ x dx x ( ). ∫ x P x e dx ( ).cos ∫ P x xdx ( ).sin ∫ P x xdx ( ).ln ∫ P x xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( ) ( ) = P x f x Q x – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8). Chẳng hạn: 1 ( )( ) = + − − − − A B x a x b x a x b 2 2 1 , ( )( ) + = + − − + + + + A Bx C x m x m ax bx c ax bx c 2 4 0 ∆ = − < vôùi b ac 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + − − − − − − A B C D x a x b x a x b x a x b 2. f(x) là hàm vô tỉ + f(x) = ,    +           + m ax b R x cx d → đặt + = + m ax b t cx d + f(x) = 1 ( )( )             + +   R x a x b → đặt = + + + t x a x b • •• • f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: + sin ( ) ( ) 1 1 . sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )   + − +   = + + − + + x a x b x a x b a b x a x b , sin( ) 1 sin( )   −    =      −   a b söû duïng a b + sin ( ) ( ) 1 1 . cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )   + − +   = + + − + + x a x b x a x b a b x a x b , sin( ) 1 sin( )   −    =      −   a b söû duïng a b + cos ( ) ( ) 1 1 . sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )   + − +   = + + − + + x a x b x a x b a b x a x b , cos( ) 1 cos( )   −    =      −   a b söû duïng a b + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos ) − = − R x x R x x thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin , cos ) − = − R x x R x x thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos ) − − = − R x x R x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ): 1) ( 1) + ∫ dx x x 2) ( 1)(2 3) + − ∫ dx x x 3) 2 2 1 1 + − ∫ x dx x 4) 2 7 10 − + ∫ dx x x 5) 2 6 9 − + ∫ dx x x 6) 2 4 − ∫ dx x 7) ( 1)(2 1) + + ∫ x dx x x 8) 2 2 3 2 − − ∫ x dx x x 9) 3 2 3 2 − + ∫ x dx x x 10) 2 ( 1) + ∫ dx x x 11) 3 1 + ∫ dx x 12) 3 1 − ∫ x dx x HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ): 1) 1 1 1 + + ∫ dx x 2) 1 2 + − ∫ x dx x x 3) 3 1 1 1 + + ∫ dx x 4) 4 1 + ∫ dx x x 5) 3 − ∫ x dx x x 6) ( 1) + ∫ x dx x x GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5 7) 3 4 2 + + ∫ dx x x x 8) 1 1 − + ∫ x dx x x 9) 3 1 1 − + ∫ x dx x x 10) 2 3 (2 1) 2 1 + − + ∫ dx x x 11) 2 5 6 − + ∫ dx x x 12) 2 6 8 + + ∫ dx x x HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác): 1) sin 2 sin 5 ∫ x xdx 2) cos sin 3 ∫ x xdx 3) 2 4 (tan tan ) + ∫ x x dx 4) cos 2 1 sin cos + ∫ x dx x x 5) 2 sin 1 + ∫ dx x 6) cos ∫ dx x 7) 1 sin cos − ∫ x dx x 8) 3 sin cos ∫ x dx x 9) cos cos 4 dx x x   +     ∫ π 10) cos cos2 cos 3 ∫ x x xdx 11) 3 cos ∫ xdx 12) 4 sin ∫ xdx GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6 BÀI 2: TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( ) ∫ b a f x dx . ( ) ( ) ( ) = − ∫ b a f x dx F b F a • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = − ∫ ∫ ∫ b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: ( ) = ∫ b a S f x dx 2. Tính chất của tích phân • 0 0 ( ) 0 = ∫ f x dx • ( ) ( ) = − ∫ ∫ b a a b f x dx f x dx • ( ) ( ) = ∫ ∫ b b a a kf x dx k f x dx (k: const) • ( ) ( ) ( ) ( )   ± = ±   ∫ ∫ ∫ b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx • ( ) ( ) ( ) = + ∫ ∫ ∫ b c b a a c f x dx f x dx f x dx • Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ( ) 0 ≥ ∫ b a f x dx • Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( ) ≥ ∫ ∫ b b a a f x dx g x dx 3. Phương pháp tính tích phân 1) Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( ) . '( ) ( )   =   ∫ ∫ u b b a u a f u x u x dx f u du trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. 2) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: = − ∫ ∫ b b b a a a udv uv vdu Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫ b a vdu dễ tính hơn ∫ b a udv . GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 11: Tính các tích phân sau: 1) 2 3 1 ( 2 1) + + ∫ x x dx 2) 2 2 3 1 1 3 ( ) + + + ∫ x x e dx x 3) 2 2 1 1 − ∫ x dx x 4) 2 1 2 2 − + ∫ x dx x 5) ( ) 2 4 1 2 2 4 − − + ∫ x dx x 6) 2 2 1 1 1 ( ) + + + ∫ e x x dx x x 7) 2 1 ( 1)( 1) + − + ∫ x x x dx 8) 2 3 2 1 ( ) + + ∫ x x x x dx 9) ( ) 4 3 4 1 2 4+ − ∫ x x x dx 10) 2 2 3 1 2− ∫ x x dx x 11) 2 1 2 5 7+ − ∫ e x x dx x 12) 8 3 2 1 1 4 3        −         ∫ x dx x HT 12: Tính các tích phân sau: 1) 2 1 1 + ∫ x dx 2) 5 2 2 2 + + − ∫ dx x x 3) 2 3 2 1 ( ) + + ∫ x x x x dx 4) 1 2 0 2 1 − ∫ xdx dx x 5) 2 2 3 0 3 3 1 + ∫ x dx x 6) 4 2 0 9 + ∫ x x dx HT 13: Tính các tích phân sau: 1) 0 sin(2 ) 6 π π + ∫ x dx 2) 2 3 (2 sin 3 ) π π + + ∫ x cosx x dx 3) ( ) 6 0 sin 3 cos2 π + ∫ x x dx 4) 4 2 0 tan . cos π ∫ x dx x 5) 3 2 4 3 tan π π ∫ x dx 6) 4 2 6 (2 cot 5) π π + ∫ x dx 7) 2 0 1 sin π + ∫ dx x 8) 2 0 1 cos 1 cos π − + ∫ x dx x 9) 2 2 2 0 sin .cos π ∫ x xdx HT 14: Tính các tích phân sau: 1) dx 1 0 − − − + ∫ x x x x e e e e 2) 2 2 1 ( 1). ln + + ∫ x dx x x x 3) 2 1 0 4 2 − + ∫ x x e dx e 4) ln 2 0 1 + ∫ x x e dx e 5) 2 1 (1 ) − − ∫ x x e e dx x 6) 1 0 2 ∫ x x e dx 7) cos 2 0 sin π ∫ x e xdx 8) 4 1 ∫ x e dx x 9) 1 1 ln+ ∫ e x dx x 10) 1 ln ∫ e x dx x 11) 2 1 0 ∫ x xe dx 12) 1 0 1 1 + ∫ x dx e GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8 VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( ) ∫ b a g x dx . Nếu viết được g(x) dưới dạng: ( ) ( ) . '( )   =   g x f u x u x thì ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ u b b a u a g x dx f u du Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( ) β α ∫ f x dx . Đặt x = x(t) (t ∈ 10) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(1), β = x(2) thì ( ) ( ) '( ) ( ) β α   = =   ∫ ∫ ∫ b b a a f x dx f x t x t dt g t dt ( ) ( ) ( ) . '( )   =   g t f x t x t Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1) 1 19 0 (1 )− ∫ x x dx 2) 1 3 2 3 0 (1 )+ ∫ x dx x 3) 1 5 2 0 1 + ∫ x dx x 4) 1 0 2 1 + ∫ xdx x 5) 1 2 0 1− ∫ x x dx 6) 1 3 2 0 1− ∫ x x dx 7) 2 3 2 5 4 + ∫ dx x x 8) 3 5 3 2 0 2 1 + + ∫ x x dx x 9) ln 2 0 1 + ∫ x x e dx e 10) ( ) ln 3 3 0 1 + ∫ x x e dx e 11) 1 2 ln 2 + ∫ e xdx x 12) 1 1 3 ln ln+ ∫ e x x dx x 13) 2 2 2 0 sin 2 cos 4 sin π + ∫ x dx x x 14) 2 3 2 0 cos .sin 1 sin π + ∫ x x dx x 15) 6 2 2 0 sin 2 2 sin cos π + ∫ x dx x x HT 16: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 1) 1 2 2 0 1− ∫ dx x 2) 1 2 2 0 4 − ∫ x dx x 3) 2 2 2 1 4 − ∫ x x dx f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2 − a x sin , 2 2 π π = − ≤ ≤ x a t t ho ặ c cos , 0 π = ≤ ≤ x a t t 2 2 + a x tan , 2 2 π π = − < < x a t t ho ặ c cot , 0 π = < < x a t t 2 2 − x a { } , ; \ 0 sin 2 2 π π     = ∈ −     a x t t ho ặ c , 0; \ cos 2 π π           = ∈         a x t t GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9 4) 3 2 0 3 + ∫ dx x 5) 1 2 2 0 ( 1)( 2) + + ∫ dx x x 6) 1 4 2 0 1 + + ∫ xdx x x 7) 0 2 1 2 2 − + + ∫ dx x x 8) 2 2 3 1 1 − ∫ x dx x 9) ( ) 1 5 2 0 1 + ∫ dx x 10) 2 3 2 2 1 − ∫ dx x x 11) 2 2 2 2 0 1 − ∫ x dx x 12) 2 2 0 2 − ∫ x x x dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: HT 17: Tính các tích phân sau: 1) 4 0 sin 2 π ∫ x xdx 2) 2 2 0 ( sin )cos π + ∫ x x xdx 3) 2 2 0 cos π ∫ x xdx 4) 2 4 0 cos π ∫ x xdx 5) 3 2 4 tan π π ∫ x xdx 6) 1 2 0 ( 2)− ∫ x x e dx 7) ln 2 0 ∫ x xe dx 8) 1 ln ∫ e x xdx 9) 3 2 2 ln( ) − ∫ x x dx 10) 2 3 0 sin 5 π ∫ x e xdx 11) 2 cos 0 sin 2 π ∫ x e xdx 12) 3 1 ln ∫ e xdx 13) 3 2 1 ln ∫ e x xdx 14) 2 1 ln ∫ e e x dx x 15) 0 2 3 1 ( 1) − + + ∫ x x e x dx VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối HT 18: Tính các tích phân sau: 1) 2 0 2− ∫ x dx 2) 2 2 0 − ∫ x x dx 3) 2 2 0 2 3 + − ∫ x x dx 4) 3 2 3 1 − − ∫ x dx 5) 5 2 ( 2 2 ) − + − − ∫ x x dx 6) 3 0 2 4− ∫ x dx ( ). ∫ b x a P x e dx ( ).cos ∫ b a P x xdx ( ).sin ∫ b a P x xdx ( ). n ∫ b a P x l xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) [...]... ∫ 1 − sin xdx 5) −π ∫ sin x dx π 2 π − 2π π 1 + cos xdx 6) ∫ 0 1 + cos 2xdx 0 π 3 7) ∫ Tính các tích phân sau: 2π 4) 9) 0 HT 19: 1) 1 x 3 − 4x 2 + 4xdx π 3 ∫ tan2 x + cot2 x − 2dx 8) π 6 2π ∫ − cos x cos x − cos3 xdx ∫ 9) 1 + sin xdx 0 π 2 VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ HT 20: Tính các tích phân sau: 3 1) 1 dx ∫ x + x3 2) 1 1 4) (1 + 2x ) 4 7) 2 0 ∫ ∫ 2 x 2dx (1 − x ) (4x + 11)dx 1 ∫ 9)... + 1 0 1 10) dx ∫ x 2 (1 + x ) ∫ x 2 + 5x + 6 0 7) ∫ x 2 + 2x + 1 1 Tính các tích phân sau: 2 4) 6) 9 8) x 3dx 0 4 1 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 −1 HT 21: 1) 5) dx dx x (x − 1) ∫ 10) 3 3 0 ∫ x 2 − 5x + 6 3) 0 x ∫ 3 dx x4 ∫ (x 2 − 1)2 dx 2 1 12) dx 1 2 −x4 ∫ 1 + x 2 dx 0 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ HT 22: Tính các tích phân sau: 2 2 1) ∫ 0 1 2 x x + 1dx 2) ∫ x+ 0 x3 1 dx x2 + 1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN... x cos(x + ) 4 ∫ 0 π 2 6) 1 (1 + sin x ) 4 dx (1 − sin x ) cos x ∫ (1 + sin x )(2 − cos2 x ) dx 0 Tính các tích phân sau: π 2 1) 4 0 ∫ sin x dx π 3 π 2 4) 0 π 3 Tính các tích phân sau: π 2 1) sin 2x cos x dx 1 + cos x ∫ 12) cos3 x dx 1 + cos x π 4 0 HT 28: ∫ π 6 π 2 7) x cos5 xdx Tính các tích phân sau: π 2 4) ∫ sin 0 π 2 π 4 π 2 1) 9) π 3 0 HT 27: x cos3 xdx cos3 x dx cos x + 1 π 4 16) 2 0 π 2 13)... 4) e 2x 1 ∫ ex + 4 dx 0 ln 2 ∫ ex + 1 11) π 3 1) ln 8 ∫ln 3 1 dx x (ln2 x + 1) 1 Tính các tích phân sau: HT 31: 3) 0 ln x ∫ ∫ ex + 5 2 ∫ 1 − e−x 1 dx 0 ex ∫ ln 3 2 7) ln 2 e x dx 9) ∫ e2 1 + ln2 x dx x ln(ln x ) dx x Page 13 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ a • Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a]... [-a; a] thì −a 0 Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:   a 0 a 0 a     J = Bước 1: Phân tích I = f (x )dx = f (x ) + f (x )dx dx f (x ) ; K = dx f (x )dx           ∫ ∫ −a ∫ ∫ −a ∫ −a 0 0 0 Bước 2: Tính tích phân J = ∫ f (x )dx bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x −a – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J... các tích phân sau (dạng 5): π 2 π 2 sin x ∫ sin x − cos xdx 2) cos x dx sin x + cos x 5) 0 π 2 ∫ 0 π 2 7) x + cos x dx 2 x +1 0 π 2 0 4) x 1+2 π 2 sin2009 x π 1) 1− x2 ∫ − 0 7) 4 − sin x π − −3 π 4 ∫ sin2009 x + cos2009 x HT 35: 4) ∫ x2 + 1 Tính các tích phân sau (dạng 3): π 2 1) 9) 2 −1 3 2 ∫ 3x + 1dx − 4) ∫ x 4 + sin x −1 π 2 xdx ∫ 1 x4 −π π 2 1) ∫ x4 − x2 + 1 6) 2 π 7) 8) dx 1 x dx Tính các tích phân. .. các tích phân sau: π 2 π 2 ∫ π 2 cos xdx ∫ 2) 7 + cos 2x 0 6 ∫ sin x π 2 cos x − cos2 xdx π 2 1 − cos3 x sin x cos5 xdx 5) sin 2x + sin x ∫ π 2 1 + 3 cos x π 3 0 HT 25: cos xdx ∫ 0 0 ∫ 3) 0 0 8) 2 1 + cos x ∫ cos x π 4 π 3 6) dx ∫ 0 cos xdx 2 + cos2 x cos xdx 2 + cos 2x π 2 tan x 9) dx 2 1 + cos x ∫ sin 2x + sin x 0 1 + 3 cos x dx Tính các tích phân sau: ln 3 ∫ 0 ln 3 ∫ ln 2 ln 3 7) 3x + 1 Tính các tích. .. −1 e 1 x ∫ ex + e−x dx 14) −1 e e−x ∫ ex − e−x dx −1 −x ∫ ex + e−x dx −1 BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] – Trục hoành b S= – Hai đường thẳng x = a, x = b là: ∫ (1) f (x )dx a • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên... 1 0 ∫ (ex + 1) ex − 1 dx 0 3) ex + 1 0 ln2 x ex ∫ e e 2x dx −x dx BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN 9) ∫ e x − 1dx 0 Page 11 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác HT 26: Tính các tích phân sau: π 4 1) ∫ sin 2x.cos xdx π 4 2) ∫ tan xdx 0 3) 0 sin x ∫ 1 + 3 cos x dx 0 π 2 4) π 2 π ∫ sin 3 5) xdx π ∫ sin 2 6) xdx ∫ cos 2 0 π 2 2 x cos4 xdx 8) ∫ sin 0 ∫ π 2 (sin... 2 xdx 0 6 π x tan2 xdx 12) 0 π 4 2 2x +1 π 2 π 4 0 π 2 13) cos xdx 0 ∫ π π 10) 2 0 2 7) π 2 ∫ x sin x cos 2 0 π 4 ∫ ln(1 + tan x )dx 15) 0 xdx dx ∫ cos4 x 0 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit HT 30: Tính các tích phân sau: 1 1) ∫ 1 + ex 0 ln 8 4) 2) dx 5) ex + 1 1 dx 8) 1 e 10) ln(sin x ) dx cos2 x π ∫ ∫ e x + 1.e 2x dx 6) 0 1 9) dx ∫ e−x + 1 1 2) ∫ 0 1 x (e + cos x ) cos xdx e −2x 1 . ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: HT 17: Tính các tích phân sau:. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(2) – F(1) được gọi là tích