Thuật toán xác định tính phẳng của đồ thị và ứng dụng

Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị lĩnh vực khoa học có từ lâu có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh đó, sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác xác định mạch vòng vấn đề mạch điện, phân biệt hợp chất hữu khác có cơng thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị… Ngoài ra, đồ thị sử dụng để giải toán thực tế lập lịch, lập thời khóa biểu, phân bố tần số cho trạm phát truyền hình… Cùng với phát triển khoa học kỹ thuật cơng nghệ thơng tin ngành lý thuyết đồ thị ngày có nhiều ứng dụng sống Trên sở học môn Lý thuyết đồ thị, tơi nghiên cứu, muốn tìm hiểu ứng dụng hữu ích, thực tế tốn đồ thị phẳng Do đó, nhóm chọn đề tài: “Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị” Nội dung đề tài gồm chương: Chương 1: Đại cương đồ thị Chương 2: Bài tốn tơ mầu đồ thị Chương 3: Một số tốn ứng dụng Do thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế nên tơi vào nghiên cứu tìm hiểu thuật tốn giới thiệu số ứng dụng tốn xác định tính phẳng đồ thị Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Đồ thị vô hướng đồ thị có hướng Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh Mỗi cạnh e E liên kết với cặp đỉnh v, w (khơng kể thứ tự) v w e Ví dụ 1: (a) (b) Hình (a) đồ thị đỉnh cạnh Hình (b) đồ thị đỉnh cạnh Định nghĩa 2: Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh có hướng gọi cung Mỗi cung e E liên kết với cặp đỉnh v, w (có thứ tự) v w e Ví dụ 2: Đồ thị có hướng gồm đỉnh cung Ghi chú: Đồ thị vơ hướng coi đồ thị có hướng cạnh e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) (w,v) Cho đồ thị (có hướng vơ hướng) G = (V, E) Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên cạnh e đỉnh v kề đỉnh w Nếu có cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w ta viết e = (v,w) Nếu e cung v gọi đỉnh đầu w gọi đỉnh cuối cung e Nếu có nhiều cạnh liên kết với cặp đỉnh ta nói cạnh song song Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng gọi khuyên Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi đỉnh cô lập Số đỉnh đồ thị gọi bậc đồ thị, số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị Đồ thị hữu hạn đồ thị có bậc cỡ hữu hạn Đồ thị đơn đồ thị khơng có khun khơng có cạnh song song Đồ thị vơ hướng đủ đồ thị mà cặp đỉnh kề Đồ thị có hướng đủ đồ thị có đồ thị lót đủ 1.1.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc Định nghĩa 3: (Bậc) Cho đồ thị G = (V, E), giả sử đỉnh v V có p khuyên q cạnh liên thuộc (khơng phải khun) Khi bậc đỉnh v 2p + q ký hiệu degG(v) hay deg(v) Số bậc lớn G ký hiệu (G), số bậc nhỏ G ký hiệu (G) Từ định nghĩa suy đỉnh lập đồ thị đơn đỉnh có bậc Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Định nghĩa 4: Cho G = (V, E) đồ thị có hướng, v V Nửa bậc đỉnh v, ký hiệu degO(v), số cung từ đỉnh v (v đỉnh đầu), nửa bậc vào đỉnh v V, ký hiệu deg1(v), số cung tới đỉnh v (v đỉnh cuối) Định nghĩa 5: Đồ thị Kn đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh có cạnh liên kết) Định nghĩa 6: Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) đồ thị mà tập đỉnh phân làm tập rời V1, V2 cho cạnh liên kết với đỉnh thuộc V1 đỉnh thuộc V2 , kí hiệu G = ({V1, V2 }, E) 1.1.3 Đường đi, chu trình, tính liên thơng Định nghĩa 7: Cho đồ thị G = (V, E) Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w tập hợp đỉnh cạnh nối tiếp đỉnh v kết thúc đỉnh w Số cạnh dây µ gọi độ dài dây µ Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w, độ dài k biểu diễn sau: µ = (v, e v , e , v , …, v , e , w ), vi (i=1, , k-1) đỉnh đường ei (i=1, , k-1) cạnh dây liên thuộc đỉnh kề trước sau Các đỉnh cạnh dây lặp lại Đường từ đỉnh v đến đỉnh w dây từ đỉnh v đến đỉnh w, cạnh không lặp lại Đường sơ cấp đường khơng qua đỉnh q lần Vịng dây có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng khơng q lần Chu trình sơ cấp chu trình khơng qua đỉnh lần Dây có hướng đồ thị có hướng dãy đỉnh cung nối tiếp ( ) thoả mãn đỉnh cuối cung ei đỉnh đầu cung ei+1, i=1, , k1 Đường có hướng đồ thị có hướng dây có hướng cung khơng lặp lại Đường có hướng sơ cấp: đường có hướng khơng qua đỉnh q lần Vịng có hướng dây có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình có hướng đường có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình có hướng sơ cấp chu trình có hướng khơng qua đỉnh lần Đồ thị vô hướng liên thông đồ thị mà cặp đỉnh có đường nối chúng với Đồ thị có hướng liên thơng mạnh đồ thị mà cặp đỉnh có đường có hướng nối chúng với Đồ thị có hướng liên thơng yếu đồ thị có đồ thị lót (vơ hướng) liên thơng Đồ thị có hướng bán liên thông đồ thị mà với cặp đỉnh (u, v) tồn đường có hướng từ u đến v từ v đến u Định nghĩa 8: Trọng đồ (có hướng) đồ thị (có hướng) mà cạnh (cung) gán số Trọng đồ biểu diễn G=(V, E, w) V tập đỉnh, E tập cạnh w: E → R hàm số E, w(e) trọng số cạnh e với e Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng E Trong trọng đồ độ dài trọng số đường µ tổng trọng số đường Định nghĩa 9: (Đồ thị con) Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G' = (V', E') gọi đồ thị G V' V E' E Nếu V’ = V, G’ gọi đồ thị phủ G Nếu F E, ký hiệu G-F đồ thị (V, E-F) G gồm tập đỉnh V tập cạnh (cung) E - F Nếu U V, ký hiệu G-U đồ thị G thu từ G sau loại bỏ đỉnh U cạnh liên thuộc chúng Cho U V Đồ thị G sinh U, ký hiệu , đồ thị (U, EU) với EU = {e E | e liên thuộc đỉnh U} 1.2 Đồ thị đẳng cấu Định nghĩa 10: (Đồ thị đẳng cấu) Hai đồ thị G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) gọi đẳng cấu với tồn song ánh f: V1 mãn e E1: e = (v, w) V2 g: E1 E2 thoả g(e) = (f(v), f(w)) Cặp ánh xạ (f; g) gọi đẳng cấu từ G1 đến G2 Mệnh đề: Hai đơn đồ thị G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) đẳng cấu với tồn song ánh f: V1 V2 thoả mãn v, w V1: v kề w f(v) kề f(w) Trong trường hợp này, hàm f gọi đẳng cấu từ G1 đến G2 Định lý 1: Cho G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) hai đơn đồ thị Các mệnh đề sau tương đương: (i) G1 đẳng cấu với G2 (ii) Hai ma trận kề tương ứng sau thay đổi thứ tự hàng cột cần thiết Định nghĩa 11: (Tính chất bất biến) Một tính chất P gọi bất biến với cặp đồ thị đẳng cấu G1 G2 thỏa mãn G1 có tính chất P G2 có tính chất P Do để chứng minh hai đồ thị khơng đẳng cấu ta phải tìm tính chất bất biến mà đồ thị có, cịn đồ thị khơng có Định lý 2: Cho G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) đồ thị đẳng cấu Khi (i) G1 G2 có số cạnh số đỉnh Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng (ii) Với số k tự nhiên, số đỉnh bậc k G1 G2 (iii) Với số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k G1 G2 (iv) Các cặp đồ thị tương ứng đẳng cấu 1.3 Đồ thị phẳng 1.3.1 Đồ thị phẳng Định nghĩa 12: Một đồ thị gọi đồ thị hình học phẳng biểu diễn mặt phẳng cho cạnh không cắt Một đồ thị gọi đồ thị phẳng đẳng cấu với đồ thị hình học phẳng Với đồ thị hình học phẳng liên thơng, mặt phẳng chia làm miền gọi mặt Mỗi mặt giới hạn chu trình gọi biên mặt Số cạnh biên mặt f gọi bậc mặt, kí hiệu deg(f) Bậc nhỏ gọi đai đồ thị Mệnh đề: Mọi chu trình đồ thị phẳng có độ dài chẵn mặt đồ thị có bậc chẵn Định nghĩa 13: Đồ thị G gọi đồ thị tuyến tính phẳng G đồ thị hình học phẳng có tất cạnh đoạn thẳng Định lý 3: Mỗi đơn đồ thị phẳng đẳng cấu với đồ thị tuyến tính phẳng 1.3.2 Cơng thức Euler Định lý 4: (Công thức Euler) Cho G đồ thị liên thơng phẳng có e cạnh, v đỉnh f mặt Khi ta có cơng thức Euler: f = e – v +2 Định lý : (Bất đẳng thức cạnh – đỉnh) Cho G đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh, v đỉnh đai g (g 3), khơng có đỉnh treo Khi ta có : Hệ : Cho G đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh v đỉnh (v 3), khơng có đỉnh treo Khi ta có: Hệ : Cho G đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh v đỉnh (v đỉnh treo khơng có chu trình độ dài Khi ta có : 3), khơng có Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Chương 2: BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ 2.1 Tơ màu đỉnh Định nghĩa 14: (Tơ màu đồ) Những tốn liên quan đến tô màu đồ dẫn đến nhiều kết lý thuyết đồ thị Khi tô màu đồ, hai miền có chung biên giới phải tô hai màu khác Để đảm bảo việc tô màu đồ cho hai miền có chung biên giới phải tơ khác màu, ta sử dụng màu sắc riêng cho miền Tuy nhiên đồ có nhiều miền, khó phân biệt miền có màu sắc gần giống Do ta nên sử dụng số màu Từ đó, tốn đặt xác định số màu tối thiểu để tô đồ cho miền kề không tô màu B2 C3 D4 E2 A1 F3 G1 Ví dụ 3: B A C E D a) b) Bản đồ a cần màu Bản đồ b cần màu (2 màu không đủ) (3 màu không đủ) Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Định nghĩa 15: (Đồ thị đối ngẫu) Mỗi đồ mặt phẳng biểu diễn đồ thị Để lập tương ứng đó, miền đồ biểu diễn đỉnh Hai đỉnh kề miền tương ứng có biên giới chung Hai miền chung điểm không coi kề Đồ thị nhận cách gọi đồ thị đối ngẫu đồ Rõ ràng đồ mặt phẳng có đồ thị đối ngẫu phẳng Ví dụ 4: Hai đồ có đồ thị đối ngẫu tương ứng sau: B B A E A C D F G C E D G1 G2 * Bài tốn tơ màu miền đồ tương đương với toán tô màu đỉnh đồ thị đối ngẫu cho đỉnh kề có màu khác Định nghĩa 16: (Tô màu đỉnh) Tô màu đỉnh đơn đồ thị gán màu cho đỉnh cho khồn có hai đỉnh kề gán màu Một đồ thị tơ màu màu khác cho đỉnh Tuy nhiên, phần lớn đồ thị, ta tơ số màu số đỉnh Vậy số màu tối thiểu cần sử dụng bao nhiêu? Định nghĩa 17: (Sắc số đồ thị) Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Sắc số đồ thị G, ký hiệu đỉnh đồ thị Ví dụ 5: Sắc số đồ thị G1 G2 Ví dụ 6: Tìm sắc số đồ thị sau: C D Đồ thị chứa K3 , sắc số đồ thị Đồ thị chứa chu trình độ dài lẻ (A, B, C, D, E, A) nên ta phải dùng màu để tô đỉnh A, B, C, D, E Đỉnh F kề đỉnh nên ta cần thêm màu để tô F Suy (G) = Ví dụ 7: Tìm sắc số đồ thị G sau: B C A G D C F Đồ thị có chu trình lẻ nên theo định lý (G) Ta dùng màu 1, 2, để tô sau: Tô A, D, G màu 1, B, F màu E, C màu Như (G) = Ví dụ 8: Tìm sắc số đồ thị G sau: B A D C E F G Trang 10 Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Nếu k = (G) + 1, ta tơ màu đỉnh v k màu (vì số đỉnh kề v G không vượt (G)) Nếu k < (G) + 1, ta tơ màu đỉnh v màu số màu tô G k+1 (G) + Từ suy (G) (G) + Định lý 9: (Brook): Cho G đơn đồ thị n đỉnh liên thông khác Kn chu trình độ dài lẻ Khi (G) (G) 2.2 Thuật toán ưu tiên đỉnh bậc lớn Cho đồ thị G = (V, E) Thuật toán sau tô màu đỉnh đồ thị với số màu k gần với sắc số (G) (i) Lập danh sách đỉnh đồ thị E' := [v1, v2, , vn] theo thứ tự bậc giảm dần: deg(v1) deg(v2) deg(vn) Đặt i = (ii) Tô màu i cho đỉnh danh sách Duyệt đỉnh tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh tô màu i (iii) Nếu tất đỉnh tơ màu kết thúc: Đồ thị tơ màu i màu Ngược lại sang bước (iv) (iv) Loại khỏi E' đỉnh tô màu, đặt i = i+1 ,và quay lại bước (ii) Ghi chú: (i) Mỗi đỉnh v G tơ màu có số hiệu thấp chưa tô cho đỉnh kề v, số đỉnh kề v không vượt (G), số màu dùng để tơ màu thuật tốn khơng vượt qua (G)+1 (ii) Có thể hiệu chỉnh E' bước (iv) sau: Loại khỏi E' đỉnh tô màu Sắp xếp lại đỉnh E' theo thứ tự giảm dần bậc đỉnh đồ thị G, có cách loại bỏ đỉnh tô màu cạnh liên thuộc chúng * Số màu dùng sắc số đồ thị Ví dụ 9: Tơ màu đồ thị sau Ta có : d(a) = 4, d(b) = 4, d(c) = 4, d(d) = 2, d(e) = Trang 12 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng d(f) = 4, d(g) = 2, d(h) = 4, d(i) = 4, d(j) = Ta xếp đỉnh theo thứ tự bậc giảm dần: E' = [e, a, b, c, f, h, i, d, g, j] Tô màu cho đỉnh e, f, d a d(1) e(1) b c h i f (1) g j Các đỉnh lại là: E' = [a, b, c, h, i, g, j] Tô màu cho đỉnh a, c, i, g a(2) d(1) g(2) Các đỉnh cịn lại là: E' = [b, Tơ màu cho đỉnh b, h, j, ta nhận đồ thị: a(2) d(1) g(2) 2.3 Tô màu đồ thị phẳng Định lý 10: Mọi đồ thị tạo đường thẳng mặt phẳng tơ hai màu Chứng minh: Quy nạp theo số đường thẳng n Nếu n=1 cần hai màu để tơ đồ có hai nước Giả sử đồ tạo n-1 đường thẳng tô hai màu Trang 13 download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Ta chứng minh đồ tạo n đường thẳng tô hai màu Thậy vậy, gọi G đồ tạo n đường thẳng G’ đồ thu từ đồ G cách bỏ đường thẳng d Ta tơ màu G’ hai màu Sau thêm đường thẳng d vào đồ G’ để nhận đồ G Hoán chuyển màu thành màu ngược lại nước phía đường thẳng d Lúc đồ G tô hai màu Định lý 11: Điều kiện cần đủ để đồ tơ hai màu đỉnh đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn Chứng minh: Các mặt đồ thị phẳng tô hai màu đỉnh đồ thị đối ngẫu tô hai màu Suy chu trình đồ thị đối ngẫu có độ dài chẵn Do đỉnh đồ thị ban đầu có bậc chẵn lớn Định lý 12: (Kemper-Heawood): Mọi đồ thị phẳng có sắc số Chứng minh: Quy nạp theo số đỉnh n đồ thị n=1: mệnh đề Giả sử đồ thị phẳng n đỉnh tô màu Xét đồ thị G có n+1 đỉnh Khơng tính tổng qt giả sử G đơn đồ thị Vì G phẳng nên tồn đỉnh X có bậc nhỏ Loại đỉnh cạnh liên thuộc khỏi G ta nhận đơn đồ thị phẳng H có n đỉnh Suy H tơ màu Do xảy hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Các đỉnh kề X tô màu Khi ta tơ X màu thứ Trường hợp 2: Các đỉnh kề X tô màu Khi X kề đỉnh A, B, C, D, E tơ màu hình vẽ Trang 14 download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng E(5) D(4) A(1) C(3) B(2) Xét tất đường G A qua đỉnh tơ màu Nếu khơng có đường qua C hốn đổi màu đỉnh đường sau: đỉnh màu tô màu 3, đỉnh màu tô màu Sau tơ đỉnh X màu Ngược lại giả sử tồn đường sơ cấp từ A đến C gồm toàn đỉnh màu màu Nối thêm cạnh CX AX ta chu trình sơ cấp Hai đỉnh B D gồm đỉnh màu màu Lập luận tương tự ta hốn đổi đỉnh đường xuất phát từ B gồm đỉnh màu màu sau: đỉnh màu tô màu 4, đỉnh màu tơ màu Sau tơ đỉnh X màu Cuối ta tô G màu Vậy đồ thị phẳng có sắc số nhỏ Định lý 13: (Định lý màu Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng có sắc số nhỏ 2.4 Tơ màu cạnh Định nghĩa 17: Tô màu cạnh đơn đồ thị gán màu cho cạnh cho khơng có hai cạnh kề gán màu Sắc số cạnh đồ thị G, ký hiệu ’(G), số màu tối thiểu cần thiết để tô màu cạnh đồ thị (Với đồ thị G ta có: ’(G) (G)) Định lý 14: ’(G) = (L(G)) ( L(G) đồ thị đường) Trang 15 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Định lý 15: Nếu G đồ thị lưỡng phân ’(G) = (G) Đặc biệt sắc số cạnh đồ thị lưỡng phân đủ Km.n max{m,n} Định lý 16: (i) Nếu n chẵn ’(Kn) = (Kn) = n - (ii) Nếu n lẻ ’(Kn) = (Kn) + = n Định lý 17: (Định lý Vizing): Với đơn đồ thị G, (G) ’(G) (G) + Định lý 18: Tô màu cách cạnh đồ thị Kn màu xanh đỏ Gọi b số tam giác xanh, r số tam giác đỏ Khi đó: Tồn cách tô màu để bất đẳng thức trở thành đẳng thức Trang 16 download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 3.1 Ứng dụng tốn tơ màu đỉnh 3.1.1 Bài tốn điều khiển đèn hiệu nút giao thơng Bài tốn: Giả sử ta cần thiết lập quy trình điều khiển đèn hiệu nút giao thông phức tạp, nhiều giao lộ, cho khoảng thời gian ấn định số tuyến thông qua, số tuyến khác bị cấm để tránh xảy đụng độ Vấn đề đặt phân hoạch tuyến đường thành số nhóm cho tuyến nhóm khơng đụng độ Khi thời gian chờ đợi tối đa để thơng đường Giả sử nút giao thơng có n tuyến: Những tuyến giao dẫn đến đụng độ gọi tuyến xung khắc Như đèn hiệu phải báo cho tuyến xung khắc không đồng thời lưu thông cho phép lưu thông tuyến không xung khắc Ta mơ hình hóa tốn đồ thị đưa tốn tơ màu đồ thị sau: Các đỉnh đồ thị tuyến đường hai tuyến kề chúng xung khắc Ta tô màu cho đỉnh đồ thị cho đỉnh kề không màu Và ta coi màu đại diện cho pha điều khiển đèn báo tuyến màu lưu thơng Như tốn ban đầu đưa tốn tơ màu đỉnh đồ thị với số màu Ví dụ 9: Xét nút giao thơng: Giải Ở C E đường chiều đường khác đường hai chiều Như có 13 tuyến thực qua nút giao thơng là: AB, AC, AD, BA, BC, Trang 17 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng BD, DC, DB, DA, EC, ED, EB, EA Những tuyến AB EC lưu thơng đồng thời tuyến AD EB khơng thể lưu thơng đồng thời chúng giao dẫn tới đụng độ, tuyến xung khắc Mơ hình đồ thị có dạng sau: Vì đỉnh BA, DC, ED đỉnh cô lập không kề với đỉnh đồ thị nên ta tuyến BA, DC, ED lúc lưu thơng Dùng thuật tốn tơ màu cho đỉnh lại đồ thị kết sau: Đỉn h AC Bậc Màu Như ta cần pha để điều khiển: Pha 1: Cho phép lưu thông tuyến AC, AB, EC Pha 2: Cho phép lưu thông tuyến BD, BC, AD, EA Pha 3: Cho phép lưu thông tuyến DA, DB Pha 4: Cho phép lưu thơng tuyến EB 3.1.2 Bài tốn lập lịch thi Bài toán: Giả sử sinh viên phải thi số môn n môn thi Bài toán đặt xếp lịch thi cho khơng có sinh viên có mơn thi lúc số đợt thi Để giải tốn ta lập đồ thị có đỉnh môn thi hai đỉnh kề có sinh viên thi hai mơn Thời gian thi môn biểu thị màu khác dùng để tô cho đỉnh đồ thị Như toán xếp lịch thi đưa tốn tơ màu đồ thị Trang 18 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Ví dụ 10: Có mơn thi cần xếp lịch Các mơn học đánh số từ đến Các cặp môn thi sau có chung sinh viên: (1,2), (1,3), (1,4), (1,7), (2,3), (2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (5,6), (5,7), (6,7) Hãy xếp lịch thi cho số đợt thi Giải Ta xây dựng đồ thị với đỉnh bảy môn thi, hai đỉnh kề có sinh viên thi hai mơn thi Như ta có đồ thị sau: Dùng thuật tốn tơ màu cho đỉnh đồ thị nhận kết sau: Đỉnh Bậc Màu Vậy ta có lịch thi gồm đợt: Đợt I: thi môn 2, Đợt III: thi môn 4, 3.1.3 Bài tốn phân chia tần số Bài tốn: Có n đài phát Hãy phân chia kênh truyền hình cho đài phát cho hai đài cách không k km không trùng kênh số kênh dùng Để giải tốn ta lập đồ thị có đỉnh đài phát hai đài phát kề khoảng cách chúng khơng q k km Kênh truyền hình đài biểu thị màu khác Như toán phân chia tần số trở thành tốn tơ màu đồ thị Trang 19 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Ví dụ 11: đài truyền hình cách cho bảng Mỗi đài cấp kênh để phát sóng Hãy tìm số kênh cần phát, biết đài cách không 150 km không cấp phát chung kênh 1 85 175 200 20 100 Giải Ta xây dựng đồ thị G với đỉnh đài truyền hình Hai đỉnh kề hai đài truyền hình đặt cách khơng q 150 km Đồ thị thu có dạng sau: Dùng thuật tốn tơ màu cho đồ thị G ta thu kết sau: Đỉnh Bậc Màu Vậy ta cần kênh để chia cho đài 3.1.4 Bài toán ghi dịch Bài toán: Trong dịch hiệu cao việc thực vòng lặp tăng tốc biến dùng thường xuyên lưu tạm thời ghi số Trang 20 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng CPU mà nhớ thơng thường Bài tốn đặt với vịng lặp cho trước cần ghi số? Bài tốn giải mơ hình tơ màu đỉnh đồ thị Ta xây dựng đồ thị sau, coi đỉnh đồ thị biến vịng lặp Giữa hai đỉnh có cạnh biến biểu thị đỉnh phải lưu ghi số thời điểm thực vòng lặp Như số màu đồ thị số ghi cần có ghi khác phân cho biến đỉnh biểu biến liền kề đồ thị Ví dụ 12: Có bảy biến xuất vịng lập chương trình Các biến bước cần phải lưu ý là: t: bước từ đến 6; u: bước 2; v: bước 2, 4; w: bước 1, 3, 5; x: bước 1, 6; y: bước từ đến 6; z: bước 4, Vậy cần ghi khác để lưu biến thực vòng lặp Giải Ta xây dựng đồ thị sau: coi đỉnh đồ thị biến vòng lặp Hai đỉnh kề biến biểu thị đỉnh lưu ghi số thời điểm thực vịng lặp Khi ta có đồ thị sau: Dùng thuật tốn tơ màu cho đỉnh đồ thị nhận kết sau: Đỉnh Bậc Màu t Vậy ta cần ghi để lưu biến 3.1.5 Bài toán nữ sinh Kirkman Bài toán: Trong ký túc xá có 15 nữ sinh Mỗi sáng họ nhóm người đến trường Có thể xếp nhiều lần cho khơng có nữ sinh lần Trang 21 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Giải: Theo giả thiết ta lập nhóm nữ sinh gồm nữ sinh chọn từ 15 nữ sinh ký túc xá Ta xây dựng đồ thị G với 455 đỉnh mà đỉnh nhóm gồm nữ sinh Hai đỉnh gọi kề hai đỉnh chung hai nữ sinh Ta gọi tập S tập ổn định tối đại có lực lượng lớn đồ thị G Ta có Thật vậy: Ta gọi A tập có 15 phần tử bao gồm a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o Tập tập A gồm phần tử cho: : x thuộc vào (k Z+) tập hợp số Với phần tử Giả sử mà nên Khi đó, số phần tử khác k tập hợp B1, B2, …, Bk 2k + Vậy x thuộc vào nhiều tập số tập Vậy Mặt khác, ta lại có tập S gồm 35 phần tử sau: abe, aci, afk, alm, ahj, agn, ado, bho, bgl, bcf, bmn, bdj, bik, cno, chm, cdg, cek, clj, dfl, dkm, din, deh, eln, ejo, efi, egm, fgj, fmo, fhn, ghk, gio, hil, ijm, jkn, klo Ta tiếp tục xây dựng đồ thị G’ với tập đỉnh tập S hai đỉnh gọi kề chúng chung nữ sinh Tô màu cho đỉnh đồ thị G’ màu đặc trưng cho lần đến trường nữ sinh Ta có nên xếp nhiều lần đến trường cho 15 nữ sinh mà khơng có hai nữ sinh lần 3.2 Ứng dụng tốn tơ màu cạnh 3.2.1 Bài tốn nữ sinh Lucas Trang 22 download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Bài tốn: Trong ký túc xá có 2n nữ sinh Mỗi sáng họ cặp đến trường Có thể xếp nhiều lần cho khơng có hai nữ sinh lần? Giải Ta xây dựng đồ thị gồm 2n đỉnh, đỉnh đại diện cho nữ sinh Vì nữ sinh ghép cặp với 2n-1 nữ sinh cịn lại nên ta có đồ thị đủ Tô màu cho cạnh đồ thị đủ ta có Mỗi cạnh đồ thị đủ ghép cặp nữ sinh Trong màu tô cho cạnh đồ thị hai cạnh chung đỉnh nghĩa khơng có hai cặp nữ sinh chung nữ sinh Đồ thị đủ đủ có n.(2n-1) cạnh Do đó, màu tô cho n cạnh đồ thị Như màu đặc trưng cho lần đến trường 2n nữ sinh Vì cạnh tô màu nên hai nữ sinh lần Vậy ta xếp tối đa 2n-1 lần đến trường 2n nữ sinh cho khơng có hai nữ sinh q lần 3.2.2 Bài tốn chia thời khóa biểu Bài toán: Cho danh sách số giáo viên danh sách lớp học dạy giáo viên Giả sử có đủ phịng học giáo viên thực tiết giảng lớp thời điểm giáo viên dạy lớp lúc lớp khơng thể có nhiều giáo viên dạy Xác định thời gian tối thiểu cần thiết để bố trí cho giáo viên thực tiết giảng lớp Biết tiết dạy có thời gian 45 phút Giải Ta xây dựng đồ thị lưỡng phân G = (X, Y, E) với X tập giáo viên, Y tập lớp học Một đỉnh x tập X nối với đỉnh y tập Y giáo viên x có tiết giảng lớp y Trang 23 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Như việc xác định thời gian tối thiểu cần thiết để bố trí cho tất giáo viên thực tiết giảng lớp trở thành xác định tích số 45 phút số màu tối thiểu cần thiết để tô màu cho cạnh đồ thị G Mỗi màu đại diện cho tiết mà giáo viên thực tiết giảng lớp Theo định lý 4.2 – Chương II sắc số đồ thị G: ’(G) = (G) Như thời gian tối thiểu cần thiết để bố trí cho tất giáo viên thực tiết giảng lớp phút Trang 24 download by : skknchat@gmail.com Thuật toán xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu lý thuyết đồ thị, đề tài trình bày tương đối đầy đủ lý thuyết tốn tơ màu đồ thị ứng dụng quan trọng đời sống Đề tài đưa số toán giải toán dựa cách xây dựng đồ thị mơ tả quan hệ, sau dựa vào định lý, tính chất tốn đồ thị, lý thuyết đồ thị để đưa lời giải Đề tài mở rộng nghiên cứu ứng dụng khác tô màu đỉnh, tô màu cạnh Bên cạnh nhờ vào cơng nghệ thơng tin đề tài mở rộng lập trình thành chương trình, phần mềm máy tính có tính nhiều lợi ích thuận tiện nhiều lĩnh vực đời sống khoa học, kỹ thuật, kinh tế, xã hội Do thời gian giới hạn đề tài mơn học, nhóm cố gắng chọn lọc để đưa toán tiêu biểu dạng Tuy nhiên, q trình làm khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận thơng cảm đóng góp ý kiến thầy bạn Chúng xin chân thành cảm ơn! Trang 25 download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Quốc Chiến, Giáo trình lý thuyết đồ thị ứng dụng, Đại học Đà Nẵng, 2007 [2] Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa, Giáo trình Tốn rời rạc NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [3] Nguyễn Xuân Quỳnh, Cở sở toán rời rạc ứng dụng, NXB Giáo dục Hà Nội 1995 [4] Đặng Huy Ruận, Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB Khoa học tự nhiên, 2004 Trang 26 download by : skknchat@gmail.com ... tìm hiểu thuật tốn giới thiệu số ứng dụng toán xác định tính phẳng đồ thị Trang download by : skknchat@gmail.com Thuật tốn xác định tính phẳng đồ thị ứng dụng Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1... Các cặp đồ thị tương ứng đẳng cấu 1.3 Đồ thị phẳng 1.3.1 Đồ thị phẳng Định nghĩa 12: Một đồ thị gọi đồ thị hình học phẳng biểu diễn mặt phẳng cho cạnh không cắt Một đồ thị gọi đồ thị phẳng đẳng... Số đỉnh đồ thị gọi bậc đồ thị, số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị Đồ thị hữu hạn đồ thị có bậc cỡ hữu hạn Đồ thị đơn đồ thị khơng có khun khơng có cạnh song song Đồ thị vơ hướng đủ đồ thị mà