Tieu luan Ly thuyet wavelet transform

Tiểu luận về biến đổi wavelet và một số ứng dụng thực tế

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC TIỂU LUẬN Đề tài: “Biến đổi wavelet xử lý tín hiệu số ứng dụng thực tế” Giáo viên : TS Nguyễn Ngọc Minh Nhóm học viên : Nguyễn Thị Hồng Phạm Văn Thái Trần Thanh Phong Lớp : M21CQTE01-B Hà Nội – 4/2022 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI WAVELET .4 ĐỊNH NGHĨA WAVELET MỘT SỐ HỌ HÀM WAVELET .6 3.1 HAAR WAVELET .6 3.2 HÀM DAUBECHIES WAVELET .8 3.3 MỘT SỐ HÀM WAVELET KHÁC CHƯƠNG II PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 11 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC 12 BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT) .14 BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL WAVELET TRANSFORM) .18 SO SÁNH STFT VÀ WT .19 CHƯƠNG III CÁC ỨNG DỤNG VÀ THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON 20 I.MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ .20 1.NÉN TÍN HIỆU 20 1.1 NÉN ẢNH (IMAGE COMPRESSION) 20 1.2 NÉN VIDEO (VIDEO COMPRESSION 21 1.3 NÉN THOẠI VÀ NÉN AUDIO (SPEECH AND AUDIO COMPRESSION) 22 KHỬ NHIỄU 23 NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH 24 CHI TIẾT HÓA ẢNH KHỐI U TRONG Y HỌC .24 MÃ HÓA NGUỒN VÀ MÃ HÓA KÊNH 24 II THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON 25 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 LỜI MỞ ĐẦU “Lý thuyết Wavelet” kết nổ lực chung nhà toán học, nhà vật lý nhà kỹ thuật … mang lại Sự liên kết tạo nên luồng ý tưởng vượt khỏi việc xây dựng sở phép biến đổi Stéphane Mallat Giải tích wavelet phương pháp mới, tảng tốn học bắt nguồn từ cơng trình Joseph Fourier kỷ 19 Giải tích Fourier phân tích tín hiệu thành tổ hợp sóng hình sin với nhiều tần số khác Một cách tương tự, giải tích wavelet phân tích tín hiệu thành tổ hợp phiên wavelet gốc (wavelet mẹ) với thang độ (scaling) trễ (shifting) khác Hiểu cách khác biến đổi wavelet lấy tín hiệu khoảng thời gian giới hạn với tần số thay đổi với biến đổi Fourier tín hiệu chuyển sang miền tần số với thời gian vô hạn Nếu so sánh số biến cơng thức biến đổi phân tích Fourier dạng hàm biến biến tần số, hàm biến đổi wavelet hàm hai biến tần số thời gian Năm 1909, Alfred Haar xem người đề cập đến wavelet (các hàm wavelet đầu tiên), ngày người ta gọi Haar Wavelet Các hàm ứng dụng nhiều kỹ thuật xử lý ảnh Biến đổi wavelet xây dựng, phát triển ứng dụng cách nhanh chóng hiệu công nghệ kỹ thuật xử lý ảnh (nén ảnh, nâng cao chất lượng ảnh, khu vực hóa khối u y học…) với đóng ghóp trình bày dạng lý thuyết Jean Morlet đồng nghiệp, đóng góp Y.Meyer Stephane Mallat Ngày nhà khoa học có nhiều cơng trình liên quan đến lý thuyết wavelet kể đến Ingrid Duabechies (chủ tịch Hội toán học giới nay), Ronald Coifman, Victor Wickerhauser Lý thuyết wavelet phát triển nhanh chóng, báo toán học ứng dụng lý thuyết nhiều Đã có toolbox wavelet phần mềm MATLAB, thư viện phong phú PYTHON có Hội wavelet quốc tế Trong nội dung tiểu luận “Biến đổi wavelet xử lý tín hiệu số ứng dụng thực tế” trình bày khái quát sở lý thuyết toán học, nguyên lý phép biến đổi wavelet xử lý tín hiệu số, so sánh giống khác với phép biến đổi fourier Đồng thời đề cập đến ứng dụng bật biến đổi thực tế Ngoài ra, tiểu luận giới thiệu thư viện biến đổi wavelet Pywavelets Python Bố cục tiểu luận gồm ba chương sau: Chương 1: Cơ sở toán học phép biến đổi wavelet Chương 2: Phép biến đổi wavelet xử lý tín hiệu số Chương 3: Các ứng dụng thư viện Pywavelets Python CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI WAVELET Chuỗi Fourier lượng giác công cụ cực mạnh sử dụng hai trường hợp rời rạc liên tục có nhược điểm đáng kể, là: Các hàm eikt  cos kt  i sin kt xác định liên tục toàn đoạn [   ;  ] , khơng thích nghi tốt với tín hiệu có tính địa phương hóa cao, giá trị liệu tập trung miền tương đối nhỏ Thật vậy, ta xét ví dụ sau: Ví dụ trường hợp hàm Dirac  (t ) có giá trị tập trung t  Do ta có hệ số Fourier ck  1  (t )e  ikt dt  � 2 2 chuỗi Fourier tương ứng 2 � �e k � ikt  (  e2 it  e  it   eit  e 2it  ) 2 hàm liên tục, hồn tồn làm tính chất địa phương tập trung giá trị x  hàm Dirac Vì cần xây dựng hệ hàm trực giao có đủ tính chất tốt hệ hàm lượng giác Fourier, đồng thời truyền tải tính chất địa phương hóa tín hiệu Hệ hàm cần tìm hàm wavelet Giống hàm lượng giác, hàm wavelet có rời rạc nhận cách lấy mẫu Phép biến đổi wavelet rời rạc tính tốn cách nhanh chóng, thuận lợi xử lý tín hiệu phức tạp chẳng hạn liệu ảnh nhiều chiều ĐỊNH NGHĨA WAVELET Wavelets dạng sóng nhỏ với tần số thay đổi có thời gian trì tới hạn với giá trị trung bình So sánh với sóng hình sin sóng hình sin có thời gian vơ hạn – tức thời gian tồn sóng từ âm vô đến âm vô Hơn thế, sóng hình sin trơn tru dự đốn sóng wavelet lại bất thường bất đối xứng Sóng hình sin Sóng Wavelet Hình1: Sóng hình sin sóng wavelet Phân tích Wavelet chia tách tín hiệu thành phiên dịch vị trí (shifting) tỷ lệ (Scaling) hàm đơn hay gọi hàm wavelet mẹ Vì tín hiệu với thay đổi nhanh phân tích tốt với wavelet bất ổn định với sóng sin trơn Các đặc tính cục miêu tả tốt với wavelet Số chiều Phân tích Wavelet áp dụng cho liệu hai chiều (các hình ảnh) nguyên tắc cho liệu có số chiều cao Các biến đổi wavelet phổ biến chia thành loại: biến đổi wavelet liên tục, biến đổi wavelet rời rạc biến đổi wavelet đa phân giải (wavelet multiresolution-based) Lợi ích sử dụng khai triển Wavelet:  Hệ thống wavelet bao gồm hàm sở, biểu diễn hàm ban đầu theo hệ thống sở mà ta chọn  Khai triển Wavelet biểu diễn hàm mang tính chất địa phương Điều có nghĩa là, lượng ban đầu ảnh biểu diễn với vài hệ số aj,k, dễ dàng phát tính chất địa phương tín hiệu  Việc tính tốn hệ số thực hiệu so với việc tính tốn hệ số biến đổi Fourier, với độ phức tạp khoảng O(N) hay O(Nlog(N)), tương đương với phép biến đổi Fourier nhanh (DFT)  Wavelet nhẵn đặc trưng số moment triệt tiêu Số moment triệt tiêu cao wavelets nhẵn Hơn nữa, ta có thuật tốn nhanh ổn định để tính biến đổi wavelet rời rạc (DWT) phép đảo ngược (Inverse DWT) MỘT SỐ HỌ HÀM WAVELET 3.1 HAAR WAVELET Yêu cầu wavelet hàm trực giao có đủ tính chất tốt hệ hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải tính chất địa phương hóa tín hiệu Bốn hàm Alphre Haar (nhà tốn học Hungary) giới thiệu năm 1910 Hình Bốn hàm Haar wavelet Hàm Haar wavelet thứ gọi hàm scaling (scaling function), hàm thứ hai wavelet mẹ (mother wavelet), hàm wavelet thứ ba hàm Haar wavelet thứ tư dạng nén hàm wavelet mẹ, gọi hàm wavelet (daughter wavelet) Theo chứng minh tốn học hàm wavelet có tính chất địa phương hóa cao hàm mẹ Sự nén - giãn (scaling) Sự nén giãn hàm wavelet biểu diễn cách đơn giản kéo dài nén lại Hình Đồ thị hàm x(t)=sin t ứng với hệ số phân bậc a=1, a=1/2, a=1/4 x t   (t ) Hình Đồ thị hàm   ứng với hệ số phân bậc a=1, a=1/2, a=1/4 Từ hình ta thấy hệ số phân bậc nhỏ hàm nén nhiều Sự tịnh tiến theo thời gian (shifting) Tính chất tịnh tiến theo thời gian hàm wavelet hiểu trễ đến sớm tín hiệu Đây phương pháp để biểu diễn tín hiệu có tính chất tập trung địa phương Nh hàm Haar wavelet đầy đủ hình nhận từ hàm Haar mẹ phương pháp tịnh tiến phân bậc giá 3.2 HÀM DAUBECHIES WAVELET Hệ hàm Haar wavelet hàm đoạn, sử dụng chúng để biểu diễ tín hiệu liên tục gặp trở ngại lớn, yếu điểm phương pháp Ví dụ với hàm tuyến tính đơn giản x  at  b đòi hỏi cần nhiều giá trị mẫu, cần số lượng lớn hàm Haar wavelet để biểu diễn Đặc biệt với thuật toán nén khử nhiễu sở hàm Haar wavelet thiếu xá hiệu quả, lĩnh vực sử dụng thực tế Trong thời gian dài chưa thể tìm họ hàm thỏa mãn lúc ba tính chất: địa phương hóa cao, tính trực giao biểu diễn xác tín hiệu hàm đơn giản Tuy nhiên luận án nhà tốn học Bỉ, Ingrid Daubechies, năm 1988, giới thiệu ví dụ thứ sở gồm hàm wavelet thỏa mãn đồng thời ba tiêu chuẩn hình Trong năm sau đó, hàm wavelet phát triển áp dụng ngành công nghiệp công nghệ cao Hình Hàm “hat” sở Hình Đồ thị hàm scaling Daubecchies từ hàm hat sở Hình Đồ thị hàm Daubechies scaling  (t ) wavelet mẹ  (t ) Một số ứng dụng có ý nghĩa hàm wavelet sử dụng hàm Daubechies nén liệu vân tay FBI, format ảnh kiểm chuẩn JPEG2000 không giống với chuẩn JPEG sử dụng phương pháp Fourier Công nghệ wavelet kết hợp chặt chẽ với kỹ thuật nén khôi phục ảnh 3.3 MỘT SỐ HÀM WAVELET KHÁC Yves Meyer nhà khoa học đặt móng cho phép biến đổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer phép biến đổi thông dụng, hàm mức xác định theo miền tần số Biến đổi có khả phân tích tín hiệu tốt nhiều so với biến đổi Haar Dạng hàm với biến đổi Meyer cho hình vẽ: Hình 8: Hàm y (t) biến đổi Meyer Một số hàm wavelet khác phát triển ứng dụng thực tế Morlet, Mexican Hat… Wavelet (nguyên tiếng Pháp Ondelet) Đó sóng nhỏ có điểm bắt đầu điểm kết thúc Những sóng nhỏ xuất phát từ Wavelet mẹ w(t) - mức tín hiệu chuẩn thời điểm t Theo phương pháp tín hiệu dài chia nhỏ thành sở tín hiệu - Wavelet Các Wavelet xuất phát từ hàm đơn w(t) nhờ tăng tốc độ lấy mẫu (tăng tần số lên gấp đôi) thời gian trễ Các biên độ gửi đến bên thu, khơi phục lại tín hiệu ban đầu Cũng tương tự biến đổi Fourier thời gian ngắn, biến đổi Wavelet ánh xạ hàm thời gian thành hàm hai chiều a x (thay w T STFT) Tham số a gọi tỷ lệ Nó chia tỷ lệ hàm việc nén dãn nó, T tịnh tiến hàm Wavelet dọc theo trục thời gian BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC Định nghĩa: Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform) hàm f(t) L2(R) định nghĩa sau: Trong gọi wavelet mẹ Và: (2 1) Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) hàm f(t) hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet) hàm số thực phức liên tục Nếu hàm f(t) có biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) hàm khơi phục lại theo cơng thức sau: (2.2) đó: Tổng qt hố cơng thức phân tích / tổng hợp cho hai wavelet khác nhau: cho phân tích cho tổng hợp Nếu hai wavelet thoả mãn: cơng thức khơi phục là: (2.3) đó: Trong (2 3) cho thất a tham số tỷ lệ Hệ số tỷ lệ nhỏ, Wavelet nén mạnh Hình 1: Các thành phần Wavelet tương ứng với tỷ lệ vị trí khác Khi a > 1: Hàm Wavelet trải rộng Khi < a < 1: Thì hàm co lại Các tính chất CWT: Tuyến tính: tính chất tuyến tính CWT nhận từ tuyến tính tích vơ hướng Tính chất trễ: Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) f’(t) = f(t-b’) có biến đổi sau: CWTr(a, b) = CWTr(a, b-b’) Tính chất tỷ lệ:Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục CWTr(a, b) có biến đổi sau: CWTr(a, b) = CWTr(a/s, b/s) Tính bảo tồn lượng: CWT có tính chất bảo tồn lượng tương tự cơng thưc Parseval biến đổi Fourier Nếu f(t) L2(R) có biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) ta có: Tổng qt hố cơng thức bảo tồn lượng gồm tích vơ hướng hai hàm theo thời gian theo miền wavelet Khi trở thành: Tính chất định vị thời gian: xét xung Dirac thời điểm t0, (t-t0), wavelet (t) Biến đổi wavelet liên tục xung Dirac là: với tỷ lệ a0 cho trước, nghĩa đường ngang miền wavelet, biến đổi wavelet tỷ lệ (và chuẩn hoá) nghịch đảo miền thời gian tập trung định vị Dirac BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT) Người ta chứng minh biến đổi wavelet liên tục có nhiều ứng dụng hiệu Tuy nhiên, số ứng dụng biến đổi wavelet rời rạc lại tỏ phù hợp Có nhiều nguyên nhân:  Ngược lại vối biến đổi Fourier, biến đổi wavelet liên tục không đưa biểu diễn ngắn gọn tín hiệu x(t) thay đổi tín hiệu chiều thành hàm hai chiều Do đó, sử dụng biến đổi wavelet liên tục hướng đến việc xử lý tín hiệu mà gồm nhiều phép tính so với xử lý tín hiệu chiều  Đối với nhiều chuỗi thời gian, biến đổi wavelet liên tục dư thừa theo thời gian tỷ lệ, nghĩa chênh lệch W(, t) W(t) nhỏ so với W(, t) W(, t’) nhỏ so với  Với tiến dần máy tính số đại, hầu hết tín hiệu chọn lọc giả thiết chuyển đổi “tương tự sang số” lần Số liệu mà nhà khoa học sử lý rời rạc hoá cần phải rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục  Như thảo luận trước đó, biến đổi wavelet rời rạc có ưu điểm lớn thực trạng nó, ngược lại với biến đổi wavelet liên tục, biến đổi trực chuẩn mà giải tương quan lớp quan trọng trình stochastic Định nghĩa: Phân tích wavelet phân tích tín hiệu thành ảnh tỷ lệ trễ wavelet gốc (wavelet mẹ) Wavelet (t) có giá trị trung bình khơng cho: Biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) hàm f(t) với wavelet mẹ định nghĩa sau: Từ phương trình CWT(a, b) ta thấy hệ số CWT biểu diễn hàm tỷ lệ a vị trí b Tỷ lệ thấp tương ứng với tín hiệu nén tỷ lệ nhỏ chi tiết thay đổi nhanh cịn tỷ lệ lớn thay đổi chậm Khi biến đổi wavelet rời rạc thu cách lấy mẫu biến đổi wavelet liên tục tỷ lệ vị trí luỹ thừa hai: a = 2j, b = ka, j, k Z Biến đổi Wavelet trực giao rời rạc dùng để phân tích tín hiệu thành số mức phân giải Sự phân tích đa phân giải thực nhờ việc chiếu tín hiệu lên khơng gian xấp xỉ không gian chi tiết trực giao Một cách hiệu thực DWT sử dụng bank lọc Phương pháp Mallat phát triển năm 1988 Sự thực bank lọc DWT dựa tính chất đa phân giải Phân tích đa phân giải việc thực DWT QMF Như tên gọi, phân tích MRA đề cập tới việc phân tích tín hiệu số độ phân giải khác Một phân tích đa phân giải L2(R) chuỗi tăng dần khơng gian kín Mỗi khơng gian Vj gọi không gian xấp xỉ, xác định công thức: {} →tạo thành sở trực giao Vj Độ phân giải giảm từ 2j xuống 2j+1 Vj khơng gian Vj-1 tồn phần bù trực giao Wj Vj Vj-1sao cho: Cũng tồn hàm wavelet mẹ tạo thành sở trực giao Wj Sau ta xét đến việc thực bank lọc Mallat với biến đổi wavelet rời rạc Gọi Vj xấp xỉ đa phân giải, (t) hàm tỷ lệ tương ứng f(t) thuộc V0, f(t) thuộc V0 biểu diễn hệ số xấp xỉ tỷ lệ 20 là: Định nghĩa S0={Sk0=} chuỗi hệ số xấp xỉ f tỷ lệ 20 Hình chiếu trực giao f Vj-1 phân tích thành tổng hình chiếu trực giao Vj Wj Khi có: f=.f+.f Trong P tốn tử chiếu trực giao : Là xấp xỉ thô f tỷ lệ 21 Là thành phần tính f tỷ lệ 20 Và Mỗi đặc trưng chuỗi hệ số xấp xỉ: Sj= {Skj=} Và đặc trưng chuỗi hệ số chi tiết: Dj={DkJ=} Gọi h lọc rời rạc cho: Tương tự gọi g lọc rời rạc cho: Với: g(n)=(-l)n h(-n+l) h(m-2k)= g(m-2k)= với Vj, k thuộc Z Vì Vj-1là hợp Vj Wj nên ta có Việc khơi phục thực theo cơng thức: Trong h(n) = h(- n) g(n) = g(-n) h(n), g(n), (n), (n) xác định lọc QMF Gọi H() = tương ứng hàm truyền g(n) h(n) H() lọc thông thấp G() lọc thông cao Cả H() G() có đáp ứng xung hữu hạn khơi phục hồn hảo Các tính chất Wavelet rời rạc Biến đổi Wavelet cung cấp phép phân tích đa phân giải hàm Bản ảnh dịch tỉ lệ hàm sở cho phép định vị tần số - thời gian số liệu phân tích DWT tạo phân giải tần số tốt cho tần số cao phân giải thời gian tốt cho tần số thấp Biến đổi Wavelet tương quan x(t) (t’ a) Do biến đổi wavelet phù hợp với ứng dụng cục nhờ lọc Match Biến đổi wavelet tập trung hầu hết lượng hệ số tần số thấp sử dụng hai bank lọc kênh cho phép thực nhanh phép biến đổi wavelet Hàm wavelet thiết kế cho có điểm triệt tiêu BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL WAVELET TRANSFORM) Phân tích đa phân giải tín hiệu hai chiều tạo n tích tensor Các sở trực chuẩn khơng gian tích tensor thu từ tích riêng hai sở trực giao Khi Vj phân tích đa phân giải j = Vj Vj phân tích đa phân giải với sở trực giao: đối với Trong Wj thành phần trực giao j j+1 đặc trưng ba không gian trường hợp hai chiều Ba chuỗi chi tiết này: Theo hướng ngang, dọc, chéo f tỷ lệ 2j Khi thực bank lọc biến đổi wavelet hai chiều coi tầng phép toán biến đổi wavelet chiều Biến đổi wavelet tính theo hướng ngang, biến đổi thứ hai tính theo hướng dọc Sau giai đoạn phân tích wavelet hai chiều số liệu đầu vào hai chiều chiếu lên bốn khơng gian có tần số low-low, high-low, low-high, high-high Các phân tích lại áp dụng cho băng có tần số low-low SO SÁNH STFT VÀ WT WT • Ở tần số mang độ rộng cửa sổ thay đổi nghĩa dãn nén, tần số mang trở thành 0/a với độ rộng cửa sổ thay đổi từ T đến aT, cịn số chu kỳ cửa số khơng đổi STFT • Ở tần số phân tích 0, việc thay đổi độ rộng cửa sổ tăng giảm số chu kỳ cửa sổ • Ổn định độ dài thời gian đoạn, độ dài tần số WT khơng cố định mà thay đổi Nghĩa f tăng t giảm • Khác với STFT, biến đổi wavelet có số lượng dao động cố định chu kỳ thời •gian-tần Waveletsố có ưu điểm lớn so với STFT wavelet tự giới hạn thời gian, tín hiệu động khơng cần chia thành đoạn tĩnh trước áp dụng biến đổi • Ở tỷ lệ tần số cao, biến đổi wavelet tạo phân giải thời gian tốt so với STFT Khi tần số trung tâm wavelet giảm độ phân giải tần số tăng độ phân giải thời gian giảm • Ổn định độ dài thời gian tần số • Số lượng dao động chu kỳ thời gian tần số khơng cố định • Tín hiệu động trước áp dụng STFT thành đoạn nhỏ có tính chất tĩnh CHƯƠNG III CÁC ỨNG DỤNG VÀ THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON I.MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ Lý thuyết công nghệ wavelet giai đoạn phát triển quan trọng có nhiều ưu điểm so với phương pháp truyền thống tồn Wavelet phép biến đổi wavelet ứng dụng nhiều lĩnh vực, xử lý tín hiệu, nén tín hiệu ứng dụng xử lý ảnh âm thanh, cơng cụ phân tích hệ thống động Các phương pháp xử lý tín hiệu lọc gương cầu phương (Quadrature Mirror Filter-QMF) kết hợp với kỹ thuật wavelet nghiên cứu nhiều ứng dụng viễn thông Các lĩnh vực ứng dụng khác lý thuyết wavelet vật lý lý thuyết, thăm dị dầu khí, ứng dụng y học, dự đoán, việc xây dựng giải thuật nhanh, tốn tử tích phân đều, 1.NÉN TÍN HIỆU 1.1 NÉN ẢNH (IMAGE COMPRESSION) Trong thời đại thông tin đa phương tiện Khối lượng số liệu vô to lớn việc nén làm tăng khả thơng mạng dung lượng nhớ Một ảnh màu 24 bit với 256 x 256 điểm ảnh cần 0,2 MByte để lưu Một đĩa dung lượng 1, Mbyte chứa ảnh Nhưng ảnh nén lại với tỷ lệ 50:1 lúc với đĩa lại chứa 350 ảnh Có nhiều kỹ thuật mã hoá ảnh, ngày mã hoá băng (subband coding) phương pháp thành công Mã hoá băng sử dụng wavelet (nghĩa bank lọc cấu trúc cây) tránh hiệu ứng blocking tốc độ bit trung bình, hàm sở có chiều dài thay đổi Các hàm sở dài biểu diễn tín hiệu tần số thấp, cịn hàm sở ngắn biểu diễn tín hiệu tần số cao Hình Bộ mã hóa biến đổi ảnh Một tính chất hấp dẫn wavelet khả điều chỉnh chiều dài hàm sở Một phân tích bốn mức dãy lọc tương đương minh hoạ hình Hàm sở tần số thấp chuỗi ảnh nội suy lọc thơng thấp H0 Chiều dài lớn Các tần số cao lặp hơn, hàm sở trở nên ngắn Tín hiệu xấp xỉ số hàm sở, hầu hết lượng tập trung băng thấp Hình 10 Chất lượng ảnh sử dụng biến đổi wavelet fourier 1.2 NÉN VIDEO (VIDEO COMPRESSION Các tín hiệu video chuỗi ảnh 2D khoảng 30 khung giây, chiều thời gian, mở rộng việc xử lý trừ 2D —> 3D Khi hệ thống nén video nên sử dụng bank lọc riêng 3D trước kết thúc Các chuỗi biến đổi lượng tử hoá mã hoá entropy sử dụng giải thuật định vị bit dựa lý thuyết méo nhịp để tìm phân bố tối ưu Một phương pháp khác để tiếp cận với nén video dựa dự đoán chuyển động Ở tốc độ 30 khung giây, thông tin khung m m ±1 tương quan cao Giả thiết dự đốn vectơ chuyển động (motion vector) cho tất điểm ảnh để nơi mà phần ảnh di chuyển khung Khi đủ điều kiện để gửi khung (đã nén) véc tơ chuyển động Ở dãy lọc tổng hợp (synthesis bank) khung khôi phục khung hình thành nhờ sử dụng véc tơ chuyển động (cộng thêm liên hệ với ảnh) Chất lượng ảnh khôi phục phụ thuộc vào độ xác véc tơ chuyển động dự đoán Xét mã hoá ảnh dựa theo khối 8x8 biến đổi DCT Khung lượng tử hoá, mã hoá Entropy phát Khung thứ hai biến đổi theo khối Đối với khối xác định (K, L), cần tìm giả thuật liên quan đến khối lân cận (K ± l, L ± l) để dự đoán véc tơ chuyển động, mã hoá phát Tuy nhiên, dự đốn khơng xác làm giảm chất lượng khung thứ hai khôi phục lại Chuẩn MPEG [MPEG 2] sử dụng dự đốn ngược xi để dự đốn véc tơ chuyển động Các giải thuật tương tự dựa biến đổi wavelet phát triển Những nơi MPEG xử lý khối giải thuật wavelet có khối với kích thước khác độ phân giải khác Việc dự đoán chuyển động phức tạp có nhiều tỷ lệ hơn: dự đoán chuyển động theo tỷ lệ thơ sau theo tỷ lệ tinh dần Các vùng giá (support regions) phụ thuộc vào chiều dài lọc 1.3 NÉN THOẠI VÀ NÉN AUDIO (SPEECH AND AUDIO COMPRESSION) Trong hệ thống nén thoại / audio, tín hiệu biến đổi dãy lọc cấu trúc Sự định vị tần số xấp xỉ băng tới hạn tai người Các tần số fm với cơng suất đáng dể tìm tính tốn T(fm, f) Nén thoại Nén thoại có tầm quan trọng lớn để giảm thời gian truyền thông tin di động Thoại phân chia thành hai loại có (voiced) khơng (unvoiced) Thoại có chủ yếu tần số thấp Trong CELP (Code Excitation Linear Predictor) thoại có mơ đầu lọc HR all-pole với đầu vào nhiễu trắng Các hệ số lọc tìm nhờ việc dự đốn tuyến tính Bộ lọc biểu diễn hàm truyền vùng âm (vocal tract) Thoại khơng có thành phần tất dải tần số tương đồng với nhiễu trắng Nén audio: Xét tín hiệu âm CD lấy mẫu tốc độ 44,1 kHz với độ phân giải 16 bit Tốc độ bít tổng cộng 705,6 kbit/s Đối với ứng dụng đa phương tiện cần phải nén lại phạm vi từ 64 đến 192 kbit/s (11:1 đến 4:1) Từ việc nén audio cho thấy khơng có tượng suy hao tín hiệu khơi phục Điều đóng vai trò định quảng bá audio số truyền hình vệ tinh chất lượng âm đặc tính quan trọng nhất, ứng dụng hệ thống nén audio là: Quảng bá audio số Truyền hình vệ tinh, HDTV Các đường liên kết phân phối tập trung Các thiết bị lưu trữ Các ứng dụng đa phương tiện KHỬ NHIỄU Tính chất biến đổi Wavelet mà xét tới phần ứng dụng cho nén tín hiệu mở rộng Iain Johnstone David Donohos ứng dụng khử nhiễu cho tín hiệu Phương pháp khử nhiễu gọi Wavelet Shrinkage Denoising (WSD) Ý tưởng WSD dựa việc tín hiệu nhiễu lộ rõ phân tích biến đổi Wavelet hệ số biến đổi bậc cao Việc áp dụng ngưỡng loại bỏ tương ứng với bậc cao hệ số Wavelet dễ dàng loại bỏ nhiễu tín hiệu NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH Hình 10 Nâng cao chất lượng ảnh sử dụng biến đổi wavelet chụp xquang khối u y học CHI TIẾT HÓA ẢNH KHỐI U TRONG Y HỌC MÃ HÓA NGUỒN VÀ MÃ HÓA KÊNH Sở dĩ Wavelet ứng dụng mã hố nguồn mã hố kênh mã hố nguồn cần khả nén với tỷ lệ nén cao cịn mã hố kênh cần khả chống nhiễu tốt Biến đổi Wavelet kết hợp với số phương pháp mã hoá mã hố Huffman hay mã hố số học thực hai điều Vì sử dụng biến đổi Wavelet mã hoá nguồn mã hố kênh thích hợp II THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON Python ngơn ngữ lập trình đa đời năm 1991 Guido van Rossum sáng tạo Đây ngơn ngữ lập trình với điểm mạnh dễ đọc, dễ nhớ, dễ học Với cấu trúc rõ ràng, thuận tiện nên thu hút nhiều người mong muốn học ngôn ngữ Hiện Python phát triển nhanh, với cộng đồng người dùng đông đảo đặc biệt với thư viện chuẩn rộng lớn cung cấp công cụ phù hợp cho nhiều ứng dụng, ngành nghề khác Thư viện xây dựng cho biến đổi wavelet ngơn ngữ lập trình Pywavelets Bộ thư viện cung cấp đầy đủ dạng biến đổi wavelet cụ thể là: Các hàm wavelet tỷ lệ gần đúng, Trình duyệt Wavelet, biến đổi Wavelet rời rạc, chế độ mở rộng tín hiệu, biến đổi wavelet rời rạc -D, n-D biến đổi wavelet rời rạc, biến đổi wavelet tĩnh, CWT… Để sử dụng thư viện dùng lệnh pip install pywavelet KẾT LUẬN Nội dung tiểu luận trình bày lý thuyết biến đổi wavelet số ứng dụng phép biến đổi kỹ thuật công nghệ sử dụng rộng rãi thực tế ngày Trong chương trình bày tổng quan sở toán học phép biến đổi tín hiệu wavelet nêu lên số họ hàm wavelet phổ biến Nội dung chi tiết phép biến đổi wavelet giải thích ngun nhân cần sử dụng phép biến đổi tồn phép biến đổi khác Fourier…được nêu chương hai Đồng thời chương cuối trình bày ứng dụng thực tế phép biến đổi nén tín hiệu, khử nhiễu… Ngồi nêu lên thư viện ứng dụng Python sở để xây dựng chương trình xử lý tín hiệu số dựa phép biến đổi wavelet với thư viện Pywavelet Wavelet phép biến đổi wavelet có nhiều ưu điểm khắc phục hạn chế phương pháp biến đổi trước Phép biến đổi trải qua q trình đóng góp cơng sức nhiều nhà tốn học, kỹ thuật, cơng nghệ ứng dụng nhiều thực tế Trong nội dung nghiên cứu nhóm tập trung làm rõ ứng dụng phép biến đổi wavelet nâng cao chất lượng ảnh Trên toàn nội dung tiểu luận “Biến đổi wavelet xử lý tín hiệu số ứng dụng thực tế”.Do hạn chế kiến thức thời gian tiểu luận nhóm cịn thiếu sót, mong thầy bạn bè xem xét đóng góp ý kiến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình tốn học ứng dụng điện tử viễn thơng, PGS.TS.Lê Bá Long, Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng, xuất 2009 [2] Wavelet and Operators, Cambridge University Press 1992 [3] Wavelet Basic, Jonathan Allen, Kluwer Academic Publishers 1995 [4] Wavelets and Their Applications, J.S Byrnes-Jennifer L.Byrnes-Kathryn A.Hargreaves-Karl Berry, Kluwer Academic Publishes 1992 [5] Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Ingrid Daubechies, 1988 [6] Wavelets and Filter Banks, Gilbert Strang and Truong Nguyen, WellesleyCambridge Press, 1996 [7] Approximation Theory, Wavelets and Applications, S.P.Singh, Kluwer Academic Publishers 1994 [8] Wavelet in ConvolutionType Orthogonality Conditions, Koichi Niijima and Koichi Kuzume, IEEE ... BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 11 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC 12 BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT) .14 BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL WAVELET TRANSFORM) ... năm 19 10 Hình Bốn hàm Haar wavelet Hàm Haar wavelet thứ gọi hàm scaling (scaling function), hàm thứ hai wavelet mẹ (mother wavelet) , hàm wavelet thứ ba hàm Haar wavelet thứ tư dạng nén hàm wavelet. .. đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform) hàm f(t) L2(R) định nghĩa sau: Trong gọi wavelet mẹ Và: (2 1) Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) hàm f(t) hàm Wavelet