tìm hiểu mật mã lượng tử

An và Bình cùng chia sE nhau m t tr ng thái Bell... Sau khi An mã hóa, An thông báo cho Bình nh>ng tr ng thái Bell ã mang thông i p.

L I C M N

Tr c h t em xin g i l i c m n trân tr ng n TS H V n H ng, cùng

PGS-TS oàn V n Ban, các th y ã t n tình ch b o s a ch a sai sót giúp em hoàn thành khóa lu n này

Em xin trân tr ng c m n các th y cô giáo Tr ng i h c Công ngh - i h c

Qu c gia Hà N i Phong cách gi ng d y, s ch b o nhi t tình c ng v i nh ng kinh nghi m quý báu c a th y cô ã th c s em l i cho em nhi u ki n th c và cái nhìn m i

m Giúp em sau khi ra tr ng s t tin h n trong công vi c, trong ngh nghi p mà mình

M U

Cùng v i s phát tri n l n m nh c a ngành m t mã h c, các nhà m t mã h c ã nghiên c u và a ra m t h m t mã m i mang tên “m t mã l ng t ” M t mã l ng t

là h m t mã d a trên các tính ch t c a c h c l ng t và không ph thu c vào b t c s tính toán nào, do ó nó c cho là gi i pháp ch ng l i s tính toán l n c a máy tính

l ng t M t mã l ng t ã c ch ng minh có kh n ng b o m t vô i u ki n Trên

th gi i, ã có r t nhi u n c ang xây d ng m ng l ng t nh M , Anh,… Vi t Nam

c ng ã có nhi u tài nghiên c u v m t mã l ng t nh ng do tính th i s c a nó, nên tôi v n nghiên c u v m t mã l ng t và ch n nó làm tài cho khóa lu n này

Ch ng 1: M t mã l ng t

Gi i thi u s l c v m t mã l ng t , l ch s hình thành m t mã l ng t Các lý thuy t v c h c l ng t , tính toán l ng t , t ó áp d ng nó vào m t mã l ng t

Ch ng 2: Phân ph i khóa l ng t

Gi i thi u v phân ph i khóa l ng t , tìm hi u các giao th c trong phân ph i khóa

l ng t Ch ng minh kh n ng an toàn vô i u ki n c a các giao th c trong phân ph i khóa l ng t Cách xác nh gi i h n l i, các ph ng pháp “làm m n khóa” và “t ng tính

b o m t”

Ch ng 3: Th c tr ng công ngh m t mã l ng t , xu t và xây d ng

ch ng trình mô ph ng m t mã l ng t

Gi i thi u th c tr ng c a công ngh m t mã l ng t trong th c t , các h ng i,

xu t trong m t mã l ng t Xây d ng ch ng trình mô ph ng phân ph i khóa l ng

t theo giao th c BB84

M C L C

Ch ng 1 M T MÃ L NG T 1

1.1 GI I THI!U V" M#T MÃ L$%NG T& 1

1.2 LÝ THUY'T L$%NG T& 3

1.2.1 Bit l ng t 3

1.2.2 (o l ng l ng t 5

1.2.3 B t nh l ng t 6

1.2.4 Liên k t l ng t 7

1.2.5 (nh lý không th sao chép l ng t 9

1.3 TÍNH TOÁN L$%NG T& 9

1.3.1 M t s ký hi u toán h c 9

1.3.2 Bi n )i bit l ng t 10

1.3.3 Phép nhân tr ng thái l ng t 10

1.3.4 (o l ng l ng t trên c s* toán h c 11

1.3.5 Tr ng thái Bell 12

1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t 15

1.3.7 C)ng l ng t 16

1.4 TRUY"N THÔNG L$%NG T& 18

1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY (+C 20

1.6 K'T CH$,NG 21

Ch ng 2 PHÂN PH I KHÓA L NG T 22

2.1 GI I THI!U V" PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& 22

2.2 CÁC GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& 25

2.2.1 Giao th c BB84 25

2.2.1.1 Quy c trong giao th c BB84 25

2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84 25

2.2.1.3 Các b c th c hi n giao th c BB84 27

2.2.1.4 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c BB84 32

2.2.2 Giao th c B92 38

2.2.2.1 Các b c th c hi n giao th c B92 40

2.2.2.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c B92 44

2.2.3 Giao th c EPR 47

2.2.3.1 Các b c th c hi n giao th c EPR 49

2.2.3.2 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c EPR 50

2.2.4 Xác nh h s gi i h n l i ε 51

2.2.5 Làm m n khóa và t ng tính b o m t 51

2.2.5.1 Làm m n khóa 52

2.2.5.2 T ng tính b o m t 54

2.3 K'T CH$,NG 54

Ch ng 3 TH C TR NG CÔNG NGH M T MÃ L NG T , XÂY D NG CH NG TRÌNH MÔ PH NG M T MÃ L NG T VÀ XU T……… 55

3.1 TH/C TR0NG CÔNG NGH! M#T MÃ L$%NG T& 55

3.2 CH$,NG TRÌNH MÔ PH1NG GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& 57

3.2.1 M c ích mô ph ng 57

3.2.2 Giao th c truy n khóa l ng t 58

3.2.3 Gi i thi u ch ng trình 58

3.2.4 K t Lu n 67

3.3 (" XU2T NG D3NG C4A M#T MÃ L$%NG T& 67

K T LU N 68

A K'T QU5 (0T ($%C 68

B H$ NG PHÁT TRI6N 68

C Ý NGH7A 69

Danh M!c Hình

Hình 1.1 Mô hình trao )i thông tin bí m t

Hình 1.2 Mô hình trao )i thông tin bí m t d a trên c h c l ng t

Hình 1.3 Hai tr ng thái c b n c a qubit

Hình 2.1 Mô hình phân ph i khóa

Hình 2.2 Mô hình phân ph i khóa l ng t

Hình 2.3 B ng chuy n )i bit và qubit trong giao th c BB84

Hình 2.5 B ng giao c trong giao th c B92

Hình 2.6 C:p ôi không tr c chu;n mà An s d ng

Hình 2.7 K t qu phép o l ng c a Bình

Hình 2.8 S 9 tr ng thái c a qubit

Hình 2.9 B ng giao c trong giao th c EPR

Hình 2.10 S 9 tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái −

Hình 2.11 S 9 tr ng thái c a Bình khi An g i qubit có tr ng thái +

Hình 2.12 B ng c s* dùng o l ng h t liên i

Hình 2.13 S 9 th c hi n E91

Ch ng 1 M T MÃ L NG T 1.1 GI"I THI U V M T MÃ L NG T

M t mã l ng t là công ngh cho phép b o m t thông tin truy n i b<ng truy n thông quang, qua quang s i c ng nh qua không gian[1] (FSO - Free Space Optical communications) Nó cho phép thông tin c b o m t "tuy t i", không ph thu c vào

m nh c a máy tính, t i tân c a d ng c hay s x o quy t c a hacker S b o m t

c a m t mã l ng t b=t ngu9n t nh>ng quy lu t không th phá b c a t nhiên mà * ây

là các tính ch t c a c h c l ng t , do ó nó c xem nh là m t s b o v m nh m?

nh t có th cho d> li u

Ngu9n g c c a m t mã l ng t c a ra b*i Stephen Weisner[11], g i là

"Conjugate Coding" t 8u nh>ng n m 70 Sau ó, c công b vào n m 1983 trên t p chí Sigact News b*i Bennett và Brassard, nh>ng ng i ã nghiên c u nh>ng ý t *ng c a Weisner và phát tri n chúng theo cách riêng c a mình H cho ra "BB84", giao th c m t

mã l ng t 8u tiên vào n m 1984, nh ng mãi n t n n m 1991, thí nghi m 8u tiên v

th th c này m i c th c hi n thành công qua m t ng truy n 32 cm Nh>ng giao

th ng ngày nay ã c th nghi m thành công trên quang s i * dài hàng tr m km Hình d i ây mô t m t giao th c c a m t mã, thông tin nh y c m có th c làm

r i lo n b*i ng i g i (An) thành m t d ng thông tin mà ng i ngoài không th nh n

bi t (i u này c th c hi n b*i m t công th c toán h c, g i là thu t toán mã hóa

Ng i nh n c (Bình) s? có thu t toán gi i mã tìm l i d> li u ban 8u

Hình 1.1: Mô hình trao i thông tin bí m t

( g i thông tin m t cách bí m t, khóa gi i mã ph i c truy n i m t cách bí m t

th t và nó c gi> bí m t? Tr c ây, i u này là không th M t mã l ng t gi i quy t

v n này! Nó cho phép ng i g i và ng i nh n xác minh tính b o m t c a t ng khóa .ng d ng tr c ti p nh t c a m t mã l ng t là quá trình truy n khóa bí m t T i sao không dùng ng truy n l ng t này truy n tr c ti p thông tin c8n truy n i? B*i vì l ng thông tin trong m t ng truy n l ng t không nhi u và t c không cao

Nh vào quá trình mã hóa mà s truy n thông tin này có th a n s b o m t cao cho

ng truy n khác có t c trao )i thông tin cao h n r t nhi u

Nguyên lí c a s trao )i thông tin l ng t này d a vào s quan sát các tr ng thái

l ng t ; nh>ng photon c truy n i c :t trong m t tr ng thái riêng bi t b*i ng i

g i và sau ó c quan sát b*i ng i nh n B*i theo thuy t t ng i, nh>ng tr ng thái

l ng t liên h p không th c quan sát cùng m t lúc Tùy theo cách quan sát, giá tr

c a h o c s? khác nhau, nh ng trong m t h các tr ng thái liên h p duy nh t; ví d

nh phân c c c a photon c mô t b*i m t trong ba h khác nhau: phân c c ph@ng, phân c c c8u hay phân c c elip Nh v y, n u ng i g i và ng i nh n không th a thu n

tr c v h quan sát c s d ng, ng i nh n có th tình c h y thông tin c a ng i

nh n mà không nh n c gì có ích

Nh v y, s ti p c n n gi n nh t v ng truy n l ng t là: ng i g i mã hóa thông tin b*i các tr ng thái l ng t , ng i nh n quan sát các tr ng thái ó, sau ó nh vào th a thu n t tr c v h quan sát, ng i g i và ng i nh n trao )i thông tin m t cách úng =n

Ta xét tr ng h p m t kênh truy n b o m t thông th ng và có "ng i t n công * gi>a" (man-in-the-middle attack) Trong tr ng h p này, ng i nghe lén (Nhân) c cho

là có kh n ng i u khi n kênh truy n, có th a thông tin vào và l y thông tin ra không

có thi u sót nào hay trA nào Khi An c g=ng thi t l p khóa bí m t cùng Bình, Nhân tham gia vào và tr l i tin theo c hai h ng, làm cho An và Bình t *ng r<ng h ang nói chuy n v i nhau Khi khóa bí m t c thi t l p, Nhân nh n, sao chép và g i l i thông tin

m b o An và Bình nói chuy n v i nhau bình th ng Gi s r<ng th i gian x lí tín

hi u là nhanh, Nhân có th nh n c toàn b khóa bí m t và do ó nh n c t t c thông tin c truy n i gi>a An và Bình v i không m t phát hi n nào Nh ng khi m t

mã l ng t c áp d ng trong các quy lu t l ng t ; tr ng thái l ng t c a photon không th c sao chép Nh v y, m t cách t nhiên, khi Nhân c g=ng l y thông tin mã hóa b*i m t photon, s nghe lén này s? gây l i * phía Bình (i u này s? cho phép An và

Bình nh n bi t c khi nào ng truy n c a h b tác ng b*i ng i nghe lén th ba, khi ó h có th chuy n qua kênh truy n khác, hay n gi n h n là làm trA ng truy n

l i v i các khóa c thay )i liên t c

Hình 1.2: Mô hình trao i thông tin bí m t d a trên c h c l ng t

Ngoài kh n ng trao )i khóa nh các h m t mã thông th ng, m t mã l ng t còn có kh n ng phát hi n s xu t hi n c a bên th ba tham gia vào phiên truy n khóa (ây là tính ch t n)i tr i so v i các h m t mã khác, c ng vì có tính ch t này hai bên trao )i khóa dA dàng bi t c khóa sau khi trao )i có th c s an toàn không

1.2 LÝ THUY T L NG T

1.2.1 Bit l ng t

M t qubit (vi t t=t c a quantum bit[7]) hay bit l ng t là m t n v thông tin

l ng t Trong ó miêu t m t h c h c l ng t có hai tr ng thái c b n th ng c

ký hi u là 1 và 0 ( c là két 0 và két 1) ho:c 0 và 1 ( c là bra 0 và bra 1) t ng

ng v i hai tr ng thái phân c c th@ng d c và phân c c th@ng ngang c a photon

Hình 1.3: Hai tr ng thái c b n c a qubit

Khác v i m t bit c) i n thông th ng chB nh n m t trong hai giá tr 1 ho:c 0, m t

tr ng thái qubit thu8n túy là ch9ng ch p l ng t tuy n tính c a hai tr ng thái c b n trên

Trong ó α và β c g i là biên xác su t và giá tr chúng có th nh n là s

ph c ( n gi n ng i ta th ng bi u diAn tr ng thái c a qubit d i dang vector:

[α β]

βα

β

αβ

2 +β =

αKhông gian tr ng thái c a b nh qubit có th miêu ta trên hình h c b<ng hình c8u Bloch Nó là không gian hai chi u, nghCa là tr ng thái l ng t c a m t qubit có hai b c

t do M t b nh ch a n qubit s? có 2n + 1−2 b c t do

Hình 1.4: Hinh c u Bloch

Trong kh i c8u Bloch, t t c các tr ng thái c a qubit có th vi t d i d ng liên h p ch9ng ch p c a 1 và 0 Nh v y ψ c bi u diAn:

1)2sin(

)sin(cos

0)2cos(

1)2sin(

0)2

ϕθ

cos

sinsin

cossin

Trong m t mã l ng t , ngoài hai tr ng thái c b n là 1 =( )0 , 1 và 0 = ( 1 , 0 ) c

s d ng chúng ta còn quan tâm n hai tr ng thái c b n khác c a l ng t là:

)1,1(2

1)10(2

1

=+

=

2

1)10(2

Nh v y c:p 1 , 0 c g i là c:p ôi tr c chu;n, c:p ôi này t o lên c s* ⊕ g i là c s* ngang T ng t t + , − c ng là c:p ôi tr c chu;n t o lên c s* chéo ⊗

Hình 1.5: Hai c s quan tr ng c a qubit

Khi o l ng l ng t , m t photon phân c c c sinh ra trong c s* nào s? c

là 0 (ho:c 1 ) thì sau khi ta o l ng nó ta c ng c tr ng thái phân c c là 0 (ho:c

1 ) C ng nh v y, photon sinh ra trong c s* ⊗ và tr ng thái phân c c c a nó là −

(ho:c + ) thì sau khi ta o l ng nó ta c ng c tr ng thái phân c c là − (ho:c + )

1.2.3 B t nh l ng t

( nh lý b t nh l ng t phát bi u r<ng k t qu c a phép o l ng m t photon phân c c chB úng khi và chB khi t p h p các tr ng thái c a c s* o l ng ch a tr ng thái

c a nó[7]

( nh lý này c ng nói r<ng, n u m t photon c t o ra trong m t c s* và c o

l ng * c s* khác thì k t qu là photon b phân c c trong c s* m i và k t qu c a phép

o l ng là ng u nhiên

Hình 1.6: Minh h a nh lý b t nh l ng t

Ví d : N u ta sinh ra 1 photon 0 (ho:c 1 ) và o l ng nó trong c s* ⊗ thì k t

qu s? thu c là + ho:c − v i xác su t 50/50

Nh v y, n u ai ó mu n bi t thông tin v m t qubit nào ó thì h ph i bi t c s*

mà nó c sinh ra (ây là m t trong nh>ng tính ch t quan tr ng trong c h c l ng t

c ng có nghCa là n u ta bu c photon này có tr ng thái nào ó thì l p t c photon kia c ng

có tr ng thái t ng ng

S liên h gi>a hai photon ch ng t r<ng gi>a chúng có m t m i quan h t ng tác nào ó M i quan h t ng tác này là m t h qu c a các nh lu t trong c h c l ng t Xét hai h th ng l ng t H A và H B H th ng g9m hai h th ng H A và H Blà tích tensor c a các tr ng thái trong h th ng HAΘ HB Nh v y n u h th ng HA có tr ng thái ψ A và h th ng H B có tr ng thái ψ B thì tr ng thái c a h th ng h p thành là:

B j

B j

Tr ng thái ψ AB c g i là có th tách r i c n u B

j A i

ij c c

c = , và không th tách

j A i

)0110(21

)1100(21

)1100(21

B A B A

B A B A

B A B A

B A B A

− +

ψψφφ

Ta s? xem xét ý nghCa c a các tr ng thái Bell trên Xét tr ng thái +

ta nh n c ph# thu c vào tr ng thái c a h th ng lúc ó:

1.2.5 ( nh lý không th sao chép l ng t

( nh lý không th sao chép l ng t là m t k t qu c a c h c l ng t ( nh lý phát bi u r<ng, không th t o b n sao c a m t qubit khi ch a bi t c s* mà qubit c8n sao chép c t o ra[7]

β

αβαω

n

a a

a a

A

1

1 11

là ma tr n vuông c p n trên tr ng s ph c, và có

ij ij

a =α + β (1 ≤ , i j ≤ n)

=

nn n

n

aa

aa

A

1

1 11

là ma tr n liên h p c a A aij =αij −iβij

=

T nn T

n

T n T

T

aa

aa

A

1

1 11

là ma tr n chuy n c a ma tr n A T ji

ij a

+ +

+

nn n

n

aa

aa

A

1

1 11

là ma tr n liên h p Hermitian T

A

A+ = hay

ji ji

α

01

10U

1.3.3 Phép nhân tr ng thái l ng t

Tr ng thái c a m t h th ng liên h p các qubit là tích tensor c a các tr ng thái qubit

có trong h th ng liên h p ó N u h th ng có n qubit v i tr ng thái riêng lE là

nϕϕ

1100

02

bdbcadac

d

cb

a

++

+

=

=Θ

=

ϕ

1 0

1 0 0

1

1 0

αβ

ϕ

αβα

ββ

αϕ

1.3.4 (o l ng l ng t trên c s* toán h c

(o l ng l ng t c mô t b*i t p h p {Mm} (Mm = am Θ am , am là tr ng thái

c a qubit sau khi th c hi n phép o l ng) c a toán t o l ng ChB s m là 8u ra có th

s y ra trong thí nghi m N u tr ng thái c a qubit tr c khi o l ng là ϕ thì:

Xác su t s y ra m sau thí nghi m là p ( m ) = ϕ Mm+Mm ϕ

Tr ng thái c a qubit sau phép o l ng là:

ϕϕ

ϕ

m m

mMM

Ví d : N u ta th c hi n phép o l ng ϕ =α 0 +β1 trong c s* ⊕, t p h p c a toán t o l ng s? là {Mm}=(M0,M1) v i:

=Θ

=

00

010

10100

0

10

001

010111M

IM

MMMMM

m

m

10

011 1 0 0

0

01)

0

b

ab

aM

1

β

αβ

αϕ

MMp

=+

=+

=m

ppm

p( ) (0) (1) α2 β2 1 Th a mãn t)ng xác su t b<ng 1

Tr ng thái c a qubit sau o l ng:

1 0

0

0 1

2 0

0

0

α

αα

αα

βα

ϕϕ

ϕ

=

=

= M M M

t

• N u k t qu là 1 là 1 1

0 1

0

0 0

2 0

0

0

β

ββ

ββ

βα

ϕϕ

ϕ

=

=

= M M

ab a b

a b a v

−

=

′ Θ

2

a ab

ab b

a

b a b v

Iv

vv

10

01

Nh v y:

v a b v b a

v v v

v v v

v v v

v v

v v

v

v v v v v

v v v I

′

− + +

=

′

′ +

′ + +

=

′ Θ

′ + Θ +

′ Θ

′ + Θ

=

+

′ Θ

′ + Θ

=

′ Θ

′ + Θ

=

=

) (

) (

) 1 0

( ) 1 0

(

) 1 1

( ) 0 0

(

) 1 0 )(

( ) (

βαβ

α

βε

βα

βα

βαϕ

Tr ng thái Bell là nh>ng tr ng thái c a liên k t l ng t :t theo tên c a nhà khoa

h c J S Bell, c ng d ng vào trong m t mã l ng t [8]

( t o ra liên k t l ng t theo tr ng thái Bell c a hai photon phân c c trong phòng thí nghi m ng i ta dùng hai qubit ϕ = 0 và ω = 0

12

10

111

112

′

=

01012

101

012

1011

12

1

ωϕδ

Bi n )i δ thành δ′ qua = =

0100

1000

0010

0001

2 CnotU

2

10

=+

2

110

2

10

2

111

Nh v y các c:p tr ng thái Bell c a hai qubit có th c t o ra theo s 9:

Hình 1.7: S t o c"p tr ng thái bell

=+

1000

0010

0001not

C

( ch ng minh s liên h l ng t c a các tr ng thái Bell ta l8n l t th c hi n phép

o l ng σ và φ+ trên t p h p {Mm}=(M0,M1) c a toán t o l ng

0000

0100

0000

00010

1000

0000

0010

00001M

(o l ng σ :

• Xác su t s y ra 0 sau o l ng là:

0101210000

0100

0000

000101012

1)

0101210101210000

0100

0000

0001

1 0

0MMM

(o l ng σ trong c:p toán t o l ng {Mm}=(M0,M1) không làm thay )i

tr ng thái c a h th ng, nghCa là phép o l ng m t qubit trong c:p không làm nh h *ng

0100

0000

000110012

1)

0

p

• K t qu s y ra 0 sau o l ng là:

000001

21

1001210000

0100

0000

0001

0 0

• T ng t ta có: K t qu c a phép o l ng s y ra 1 là 12 và k t qu sau phép o l ng là 1 1

(o l ng σ trong {Mm}=(M0,M1) làm thay )i tr ng thái c a h th ng, 8u

ra là 1 1 v i xác su t 12 và 0 0 v i xác su t 12 (i u này có nghCa là phép o l ng

m t qubit trong c:p làm nh h *ng n qubit còn l i trong c:p ó φ+ là tr ng thái

c a photon phân c c trong hi n t ng liên k t l ng t

1.3.6 Ch ng minh không th sao chép l ng t

Gi s có th sao chép c tr ng thái c a qubit σ mà ta ch a bi t thông tin b<ng cách bi n )i t tr ng thái ϕ khác v tr ng thái c a σ thông qua m t ma tr n n v

bi n )i U Nh v y ta có:

B A B

A

T ng t ta c ng có:

A B A

T (1) và (2):

B A A B B

A A

A

ω và σ ph i cùng c s*, t c là ω = σ ho:c ω và σ cùng là hai tr ng thái tr c giao Nh v y ta chB có th o l ng c tr ng thái c a qubit khi bi t c c s* c a nó, ó chính là n i dung nh lý không th sao chép l ng t

1.3.7 C)ng l ng t [7]

C)ng l ng t là các ma tr n bi n )i Nó th c hi n phép bi n )i t tr ng thái

l ng t này sang tr ng thái l ng t khác C)ng l ng t th ng c bi u diAn b<ng các ma tr n unitary, là ma tr n th a mãn i u ki n UUT =I

C#ng Hadamard: là c)ng th c hi n trên m t qubit Nó bi n )i tr ng thái l ng t

t 0 → + và 1 → − C)ng Hadamard c bi u diAn b*i ma tr n H:

−

=

11

112

1H

10X

C#ng Pauli-Y: là c)ng th c hi n trên m t qubit Nó c bi u diAn b*i ma tr n Y:

−

=

0

0i

iY

C#ng Pauli-Z: là c)ng th c hi n trên m t qubit Nó th c hi n phép bi n )i

01Y

C#ng d$ch chuy%n pha: là c)ng th c hi n trên m t qubit Nó c bi u diAn b*i ma

Trong ó θ là d ch chuy n pha Nó có th% nh n các giá tr khác nhau nh π8,π4,π2,

C#ng hoán v$ th c hi n trên hai qubit Nó th c hi n vi c hoán v tr ng thái c a hai qubit C)ng d ch chuy n pha c bi u diAn b*i ma tr n SWAP:

=

1000

0010

0100

0001SWAP

C#ng i u khi%n th c hi n trên hai qubit C)ng i u khi n n gi n nh t là controlled-Not (CNot) C)ng CNot th c hi n toán t not lên qubit th hai n u qubit th

nh t là 1:

=

0100

1000

0010

0001Cnot

Hình 1.9: C ng l ng t Cnot

C#ng Toffoli th c hi n trên 3 qubit C)ng Toffoli th c hi n Pauli-X trên qubit th

ba khi hai qubit 8u là 1 1 Phép toán trên 3 qubit σ , ϕ , ω khi qua c)ng Toffoli

ϕσω

ϕσω

ϕσ

,,

1,

,,

C#ng l ng t ph# quát: T p h p các c)ng l ng t ph) quát là t p h p các c)ng

mà b t kD các ho t ng có th có trên máy tính l ng t có th gi m b t, có nghCa là,

m i ho t ng khác n nh t có th diAn t nh là chu i h>u h n các b này V m:t k thu t, i u này là không th , vì s l ng các c)ng l ng t là không m c, trong khi

s l ng các dãy h>u h n t m t t p h>u h n là m c ( gi i quy t v n n này

chúng ta chB yêu c8u b t kD ho t ng c h c l ng t có th x p xB b*i m t t p h p các c)ng h>u h n

M t t p h p n gi n c a 2 c)ng l ng t ph) quát là c)ng Hadamard (H), c)ng d ch chuy n pha R( )π4 và c)ng CNot

M t c)ng l ng t ph) quát có th th c hi n trên ba qubit là c)ng Deutsch

→

cba

baneucbac

bai

cba

,,

11

,,)(sin,

,)(cos,

• Chú ý r$ng c ng toffili là m t tr ng h p c a c ng Deutsch v i θ =π2

1.4 TRUY N THÔNG L NG T

Truy n thông l ng t là công ngh s d ng truy n thông tin l ng t t h

th ng này n h th ng khác thông qua tr ng thái Bell

Gi s ϕ c =α1c +β 0 c là qubit mà An mu n truy n n Bình An và Bình cùng chia sE nhau m t tr ng thái Bell Tr ng thái Bell ó có th là:

)0110(21

)0110(21

)1100(21

)1100(21

B A B A

B A B A

B A B A

B A B A

− +

ψψφφ

Trong ó ch s A vi t d i là photon c n m gi b i An và B là photon n m gi b i Bình

Gi s tr ng thái Bell mà An và Bình chia sE là +

B A B A C

AB

1110

111

000

002

1

10

)1100(21

βα

βα

βα

ϕφ

++

+

=

++

=Θ

+

Ta c ng ý th y r<ng:

2

111

)(

2

101

)(

2

110

)(

2

100

− +

− +

− +

− +

ψψ

ψψ

φφ

AC B

B AC

B AC AC

B AC AC

B AC AC

B AC AC

C AB

10

2

11

02

1

10

2

110

2

1

11

00

2

1

βα

ψβ

αψ

βα

φβ

αφ

φφ

βψ

ψα

ψψ

βφ

φα

ϕφ

+

−Θ+

+Θ

+

−Θ

++

Θ

=

−+

−+

++

+

=

=Θ

+ +

− +

− +

− +

− +

− +

K t qu c a phép o l ng c a An s? c g i cho Bình qua ng truy n khác T

k t qu ó, Bình th c hi n phép bi n )i l ng t phù h p c tr ng thái

B B

ψ thì Bình th c hi n cho qubit qua c)ng Pauli-X

N u k t qu c a An là ψ− thì Bình th c hi n cho qubit l8n l t qua c)ng Pauli-X và Pauli-Z

N u công ngh truy n thông này thành hi n th c chúng ta có th chuy n m t v t t

n i này t i n i khác trong nháy m=t b<ng các thi t b l ng t , mà không c8n dùng t i các

ph ng ti n v n t i

1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY &C

Mã hóa siêu dày :c là công ngh s d ng tính ch t c a tr ng thái Bell c a c:p qubit nh<m m c ích g i hai bit c) i n

An và Bình cùng chia sE m t trong b n tr ng thái Bell Gi s tr ng thái mà An và Bình cùng chia sE là:

V i m i c:p tr ng thái Bell, An th c hi n mã hóa hai bit c) i n vào tr ng thái Bell Cách mã hóa r t n gi n, An th c hi n cho qubit mà anh ta n=m gi> qua các c)ng thích

h p a t tr ng thái Bell ban 8u qua các tr ng thái Bell khác Công th c mã hóa

c s d ng nh sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) + ) −

+ +

− +

+ +

= Θ

Θ

→

= Θ

→

= Θ

→

= Θ

→

ψψ

ψψ

φψ

φψ

X I Z I

X I

Z I

I I

11 10 01 00

) 1 1 0 0 ( 2

1

B A B

=

+φ

Sau khi An mã hóa, An thông báo cho Bình nh>ng tr ng thái Bell ã mang thông

i p Bình th c hi n o l ng qubit mà mình n=m gi> trong c s* Bell K t qu c a phép

o s? c chuy n ng c l i bit c) i n:

11 10 01 00

− +

ψψφφ

Mã hóa siêu dày :c là m t công ngh r t áng giá 8u t ti n c a và công s c phát tri n Trong t ng lai, n u phát tri n c, nó s? tr* thành h ng i chính c a ngành

Ch ng 2 PHÂN PH I KHÓA L NG T 2.1 GI"I THI U V PHÂN PH I KHÓA L NG T

Nh chúng ta ã bi t, các thu t toán hi n i , nh Chu;n mã hóa tiên ti n (AES) r t khó b phá vF n u nh không có khóa, nh ng h th ng này có m t nh c i m hi n nhiên: ó là khóa ph i c bi t v i c hai phía Nh v y, bài toán truy n thông kín quy

v bài toán làm sao phân ph i nh>ng khóa này m t cách an toàn – tin nh=n mã hóa khi ó chính nó có th c an toàn g i i theo m t kênh công khai M t ph ng pháp ph) bi n

là s d ng m t i t ng mang an toàn v n chuy n khóa t n i g*i n n i nh n

Hình 2.1: Mô hình phân ph i khóa

Gi s , An mu n g i cho Bình m t tin nh=n bí m t, nh m t b n giao d ch ngân hàng, thông tin chính tr … trên m t kênh viAn thông có kh n ng không an toàn ( làm

vi c này, An và Bình ph i chia sE m t khóa bí m t – ó là m t s nh phân dài Sau ó,

An có th mã hóa tin nh=n c a anh ta thành “m t mã” b<ng m t khóa chung v i thu t toán

mã hóa, ví d nh AES M t mã sau ó có th c truy n i b<ng m t kênh d> li u bình

th ng, khi ó kE nghe tr m s? không th hi u c, và Bình có th s d ng khóa ó

gi i mã tin nh=n Trái v i ph ng pháp truy n th ng c a s phân ph i khóa, ví d m t i

t ng mang c tin c y, m t mã l ng t m b o s an toàn c a khóa ó Khóa c ng

có th th ng xuyên thay )i, do ó làm gi m nguy c b ánh c=p ho:c b suy ra b*i m t phép phân tích th ng kê gi i mã c a m t mã

Tuy nhiên, b t c ph ng pháp phân ph i nào d a trên con ng i c ng làm t)n h i các khóa do t ý ho:c b ép bu c ti t l Trái l i, m t mã l ng t , hay s phân ph i khóa

l ng t chính xác h n, mang l i m t ph ng pháp t ng phân ph i các khóa bí m t b<ng s i quang truy n thông chu;n[1] (:c tr ng mang tính cách m ng c a phân ph i khóa l ng t là nó v n dC an toàn: gi s r<ng các nh lu t c a thuy t l ng t là úng,

thì chúng ta có th ch ng minh khóa ó không th b kE nghe tr m thu c mà không có

s hi u bi t c a ng i g i và ng i nh n H n n>a, phân ph i khóa l ng t cho phép khóa thay )i th ng xuyên, làm gi m nguy c m t tr m khóa, ho:c “gi i mã”, trong ó

kE nghe tr m phân tích các ki u trong tin nh=n mã hóa suy lu n ra khóa bí m t

Phân ph i khóa l ng t s d ng các tính ch t c a c h c l ng t , dùng phân

ph i khóa h m t mã i x ng Trong phân ph i khóa l ng t , chúng ta s d ng hai kênh truy n là kênh truy n l ng t và kênh truy n thông th ng Kênh truy n l ng t

là kênh truy n s d ng k thu t l ng t truy n i các qubit thông qua cáp quang ho:c không gian Kênh truy n thông th ng là kênh truy n công khai d ng k thu t TCP/IP…

Mô hình phân ph i khóa l ng t gi>a An (ng i g i) và Bình (ng i nh n), tùy theo giao th c c th mà ng i ta chia ra làm các b c c th , nh ng nhìn chung g9m b n giai

o n:

Giai o n th' nh t: An th c hi n mã hóa các bit c) i n vào các photon phân c c (qubit), r9i chuy n các qubit này cho Bình Bình th c hi n o

l ng các qubit này, thi t l p khóa ban 8u

Giai o n th' hai: An và Bình lo i ra các bit mà An và Bình không s

d ng cùng c s*, là các qubit c An t o ra trong m t c s*, nh ng Bình

o l ng trong c s* khác

Giai o n th' ba: An và Bình ánh giá tB l l i N u tB lên l i l n quá gi i

h n l i, h s? h y phiên truy n khóa, và th c hi n l i phiên truy n khóa khác

Giai o n th' t : An và Bình s d ng k thu t “làm m n khóa” (Reconciliation infomation) 9ng nh t khóa gi>a An và Bình, h thu

c khóa ã làm m n khóa, và “t ng tính b o m t” (Privacy Amplification) làm gi m hi u bi t c a Nhân v khóa, h thu c khóa cu i cùng

Hình 2.2: Mô hình phân ph i khóa l ng t

Ph ng pháp 8u tiên cho s phân ph i các khóa bí m t mã hóa trong nh>ng tr ng thái l ng t c xu t vào n m 1984 b*i các nhà v t lí lí thuy t Charles Bennett t i IBM và Gilles Brassard t i tr ng i h c Montreal c bi t n là giao th c BB84 Trong giao th c, ng i g i (An) truy n m t chu i n photon phân c c n ng i nh n (Bình) và b<ng cách ti n hành m t lo t phép o l ng t và truy n thông công khai, h có

th thi t l p m t khóa chia sE và ki m tra xem kE nghe lén (Nhân) có ch:n c b t c bit nào thu c khóa này trên ng i hay không

Giao th c BB84[3] không nh>ng cho phép chúng ta ki m tra vi c nghe tr m, mà còn m b o An và Bình có th thi t l p m t khóa bí m t d u cho Nhân ã xác nh c

m t s bit trong chu i nh phân chia sE c a h , b<ng m t kC thu t g i là “t ng tính b o

m t” Ch@ng h n, gi s nh Nhân ã bi t c 10% bit c a khóa mà An và Bình chia sE

Nh n th c c i u này, An và Bình khi ó có th cùng 9ng ý c ng thêm vào m i c:p bit k nhau t o thành m t chu i m i có chi u dài phân n a Nhân c ng có th làm vi c này, nh ng vì anh ta s? c8n ph i bi t c bit trong c:p xác nh chính xác t)ng c a

chúng, nên anh ta s? nh n th y r<ng b y gi anh ta chia sE m t ph8n th p h n nhi u c a chu i bit m i cùng v i An và Bình

2.2 CÁC GIAO TH(C PHÂN PH I KHÓA L NG T

2.2.1 Giao th'c BB84

Giao th c BB84 c Bennett và Brassard xu t n m 1984, tên c a giao th c

c l y theo 2 ch> cái 8u c a tên hai tác gi và n m phát minh BB84 là giao th c m t

mã 8u tiên thi t gi i quy t v n phân ph i khóa ch ng l i máy tính l ng t

Trong giao th c BB84, An mã hóa các bit vào các bit trong hai c s* ⊗ và ⊕ NghCa là khi nào An mu n g i cho Bình m t qubit, cô s? ch n m t trong b n tr ng thái

c a qubit 0 , 1 , + và − Sau ó cô g i các tr ng thái này cho Bình thông qua kênh truy n l ng t

2.2.1.1 Quy c trong giao th c BB84

Các bit c mã hóa và gi i mã theo b ng d i ây:

Hình 2.3: B ng chuy%n i bit và qubit trong giao th c BB84

Nh>ng qubit có tr ng thái 0 ho:c + mang thông tin v bit 0 Ng c l i nh>ng qubit có tr ng thái 1 ho:c − mang thông tin v bit 1

2.2.1.2 Phép o l ng trong giao th c BB84

Vì An không cung c p thông tin v c s* c a qubit c g i i, nên Bình s? o

l ng qubit này trong c s* ng u nhiên trong {⊗, ⊕} V y chúng ta s? xem xét m t vài kh

n ng có th s y khi khi Bình th c hi n phép o l ng

Xét qubit có tr ng thái ψ =α 0 +β 0 Ta s? th c hi n phép l ng nó trên c s* ⊕

ho:c ⊗ K t qu phép o l ng là 0 ho:c + s? cho ta giá tr c a bit 1, ng c l i n u

k t qu c a phép o l ng là 1 ho:c − s? cho ta giá tr c a bit c) i n là 0

G i xác su t s y giá tr c a bit b ∈{ }0 , 1 khi o l ng ψ trong c s* ∗ là P∗ψ ( )b

( )

20

2

βα

βα

+ +

βα

+

=

−

−+++

=+

=

22

2

1022

1021

d ng cùng c s* thì sau phép o l ng c a Bình , ψ không b bi n )i; nghCa là giá tr

c a bit c mã hóa trong ψ tr c và sau o l ng là nh nhau Ng c l i, n u Bình và

P

2 1 1

P

211

Nh v y, n u An và Bình s d ng cùng c s*, thì giá tr c a bit sau o l ng c a Bình gi ng nh giá tr bit c a An v i xác su t 100% Ng c l i, n u Bình và An s d ng khác c s* thì sau phép o l ng c a Bình, thì giá tr c a bit sau o l ng c a Bình gi ng

nh giá tr bit c a An v i xác su t12

(o l ng ψ trong c hai c s* ta c ng không th bi t thêm thông tin v tr ng thái

c a nó B*i vì tr ng thái sau cùng c a nó sau o l ng là ng u nhiên Ta s? ch ng minh

tr c a bit c8n o là ng u nhiên (giá tr có th là 0 ho:c 1 v i xác su t nh nhau)

Gi s l8n 8u chúng ta o không úng c s*, và l8n th hai o úng c s*

so v i c s* ban 8u c g i t An Nh v y, c hai l8n o u sai c s*

so v i tr ng thái c a qubit c8n o lúc ó giá tr c a bit c8n o ph thu c vào l8n o th hai, mà l8n o th hai l i sai c s*, do ó, giá tr c a bit o

c sau hai l8n o c ng là ng u nhiên

2.2.1.3 Các b c th c hi n giao th c BB84

Trong ph8n này chúng ta s? tìm hi u chi n l c và cách th c mà An và Bình s

d ng trao )i khóa Tr c khi tìm hi u sâu v giao th c chúng ta diAn t ng=n g n v giao th c Gi s An và Bình th c hi n trao )i khóa có dài t i thi u là n

An ch n ng u nhiên m i chu i bit X ′′ có dài (4 +σ)n, v i σ > 0 và n ∈ N T i

m i v trí c a chu i bit X ′′, An ch n ng u nhiên m t c ⊕ ho:c ⊗ mã hóa bit ó vào

m t qubit trong c s* ó theo b ng chuy n )i bit và qubit Sau khi mã hóa chu i X ′′ ó,

An g i cho Bình các qubit dùng mã hóa X ′′ Bình th c hi n o l ng tr ng thái c a các qubit trong c s* ⊕ ho:c ⊗ m t cách ng u nhiên và Bình có c chu i bit Y ′′ có dài (4 +σ)n

Lý do mà An ch n chu&i bit có dài là (4 +σ)n v i σ > 0 và n ∈ N là % ch c ch n sau khi cô và Bình s d#ng cùng c s l n h n 2 n Nh v y chúng ta ph i ch n σ nh th nào? Chúng ta s ch n σ trong m i quan h v i n N u n > 1000 thì ch c n ch n σ < 1 chúng ta c'ng s có An và Bình s d#ng cùng c s ít nh t là 2 n l n v i xác su t r t cao

Sau khi Bình có c chu i bit Y ′′, An và Bình có th thông báo cho nhau v nh>ng

c s* mà h ã s d ng thông qua kênh truy n công khai An và Bình th c hi n vi c này sau khi Bình ã hoàn thành o l ng h t nh>ng qubit mà An ã g i n, i u này s? tránh

c s tham gia c a Nhân trong phiên trao )i khóa Th t v y, theo nh lý không th sao chép tr ng thái c a l ng t , Nhân s? không th sao chép c tr ng thái c a qubit

mà An g i n; và do ó Nhân không th có c nh>ng thông tin v qubit mà Bình ã

nh n c (i u ó có nghCa là sau khi Bình nh n c nh>ng qubit ó, An và Bình là hoàn toàn an toàn khi thông báo c s* mà h s d ng Theo ch ng minh * ph8n trên n u không có s tham gia c a bên th ba (Nhân) vào phiên trao )i khóa, nh>ng v trí trong chu i An và Bình s d ng cùng c s*, giá tr c a m t bit s? c chuy n chính xác t An

n Bình; trên nh>ng v trí mà h không dùng cùng c giá tr c a bit là ng u nhiên Nh

v y, h s? lo i b v trí c a nh>ng bit mà h không s d ng cùng c s* mà không làm m t thông tin h có th ph i s d ng t o lên khóa

N u s bit thu c sau khi so sánh l n h n 2 n, An ch n t bit chu i ó n bit ki m tra (X ′) và n bit khóa t m th i (X ) An thông báo nh>ng v trí và th t các bit trong X ′′

t o thành X ′ và X cho Bình, t ó Bình t o cho mình n bit ki m tra (Y ′) và n bit khóa (Y) t ng ng Ti p ó An và Bình thông báo cho nhau v chu i bit ki m tra X ′ và Y ′,

t ó h có th ánh giá v tB l l i e Các bit l i s y ra có th do ng truy n l ng t không hoàn h o, ho:c do có s tham gia c a Nhân vào phiên trao )i khóa

Có nhi u ph ng pháp % ánh giá gi i h n l&i ε v i các kênh truy n l ng t hi n nay

Ng i ta ã ch ng minh c ng (ng ch p nh n c c a gi i h n l&i ε = 0 11 i v i BB84, thì kênh truy n khóa v n c coi là oan toàn

Mô hình bên d i th hi n An và Bình th c hi n trao )i khóa s d ng giao th c BB84, trong ó chu i bit X ′′ bí m t và chB c bi t b*i An Chu i bit Y ′′ là bí m t và chB c bi t b*i Bình Khóa K và K ′ c ng là bí m t nh ng c bi t b*i c hai Hai chu i bit ki m tra là X' và Y' và nh>ng c s* mà An và Bình s d ng là công khai

Hình 2.4: Mô hình giao th c BB84

Phân ph i, o l )ng và bi*n #i bit

1 An ch n ng u nhiên m i chu i bit X ′′ có dài 4(n +σ), v i

0

>

σ và n ∈ N T i m i v trí c a chu i bit X ′′, An ch n ng u nhiên m t c s* ⊕ ho:c ⊗ mã hóa bit ó vào m t tr ng thái

c a qubit trong c s* ó

Ti p theo, An g i các qubit này cho Bình

2 Sau khi nh n c chu i (4 +σ)n qubit t An, Bình th c hi n o

l ng chúng trong c s* ⊕ ho:c ⊗ m t cách ng u nhiên N u k t

qu c a phép o l ng là 0 ho:c + , chúng ta thu c giá tr

c a bit là 0 Ng c l i, n u k t qu c a phép o l ng là 0 ho:c

+ , chúng ta thu c giá tr c a bit là 1 Nh v y Bình c ng thu

c m t chu i bit Y ′′ có dài (4 +σ)n

So sánh c s+, thi*t l p chu,i bit ki%m tra và chu,i bit khóa

3 An và Bình s d ng kênh truy n công khai trao )i thông tin Bình ch ng th c ã nh n c nh>ng qubit An và Bình thông báo cho nhau v nh>ng c s* ã s d ng

4 An và Bình lo i b nh>ng bit * v trí mà h không cùng c s*

N u chu i bit còn l i nh h n 2 n bit, h h y phiên truy n khóa

N u chu i bit còn l i l n h n 2 n, An và Bình th c hi n ch n 2 n

bit theo m t quy c nào ó s d ng cho giao th c Ti p ó,

An thi t l p chu i bit ki m tra X ′ b<ng cách ch n ng u nhiên n

bit trong s 2 n, chu i bit ki m tra này s? c s d ng ki m tra s có m:t c a Nhân n bit còn l i s? c dùng làm khóa ban 8u X Ti p ó, An thông báo cho Bình cách t o chu i bit ki m tra và chu i bit khóa Bình th c hi n thi t l p chu i bit ki m tra

Y ′ và chu i bit khóa Y Xác $nh t- l l,i

5 An và Bình trao )i v i nhau v chu i bit ki m tra X ′ và Y ′ c a

h T hai chu i bit ó h so sánh giá tr c a bit * t ng v trí N u

tB l l i e l n gi i h n l i ε, h s? h y phiên truy n khóa Ng c

l i, h ti p t c phiên truy n khóa mà không quan tâm có s tham gia c a Nhân vào giao th c hay không

Khu*ch i riêng, và làm m$n khóa

6 Lúc này hai chu i khóa X và Y còn l i c a An và Bình là g8n

nh nhau Chúng ta có th 9ng nh t chúng b<ng k thu t làm m n khóa

7 Sau khi làm m n khóa, hai chu i bit c a An và Bình là hoàn toàn 9ng nh t nh ng chính quá trình làm m n khóa l i làm l m t s thông tin v chu i bit con c a khóa nh n c Do v y làm

gi m thông tin v khóa ã truy n trên kênh truy n công khai chúng ta s d ng k thu t t ng tính b o m t

Trong b c th 5 c a giao th c, n u t l l&ie l n h n ng (ng gi i h n, An và Bình không

c n quan tâm n s xu t hi n c a Nhân, vì n u Nhân có tham vào giao th c thì s hi%u bi t c a Nhân c'ng là không áng k% và có th% b) qua Hai b c t ng tính b o m t và làm m n khóa s

c trình bày ph n sau

Gi s không có l i trên ng truy n, giao th c BB84 c th hi n d i d ng mã

gi i:

(8u vào: n là dài chu i bit X ′′

(8u ra: khóa ban 8u key=k1k2 kc trong ó c ≥ 2 n

An g i btm cho Bình;

Bình o l ng btm trong c s* t′m c b′m; m++;

done;

c = 0;

while m < h do:

if(bm =bm′ ) then Kc =bm; m++; c++;

done;

Nh v y khóa thu c s? là key=k1k2 kc

Chúng ta l y m t ví d nh * các b c này: v i n = 2 và σ = 1, nh v y chu i bit mà

1 − + − , o ó chu i bit nh n c sau khi so sánh c s* là:

Trao )i thông qua kênh

truy n công khai

2.2.1.4 Kh n ng t n công c a Nhân trong giao th c BB84

B*i vì Nhân không th sao chép các qubit mà An g i cho Bình, nên cách duy nh t

có thông tin v khóa mà An g i cho Bình là ch:n nh>ng qubit ó và o l ng chúng trong m t c s* nào ó và g i m t tr ng thái l ng t khác cho Bình Theo cách này, Nhân mu n Bình nghC r<ng anh ta nh n c tr ng thái l ng t này tr c ti p t Bình ( tránh b phát hi n s có m:t c a mình trong phiên trao )i khóa, Nhân ph i g i cho Bình nh>ng tr ng thái, sao cho tB l l i mà An và Bình tìm c là nh nh t Trong ph8n này

ch ng ta s? nguyên c u m t vài kh k ch b n có th x y ra khi Nhân c g=ng l y thông tin

v khóa:

Nhân o l )ng trong c s+ ⊕ ho.c ⊗