GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN

Giải tích mạch điện GII TÊCH MẢNG GII TÊCH MẢNG LÅÌI NỌI ÂÁƯU Hãû thäúng âiãûn bao gäưm cạc kháu sn xút, truưn ti v phán phäúi âiãûn nàng Kãút cáúu mäüt hãû thäúng âiãûn cọ thãø ráút phỉïc tảp, mún nghiãn cỉïu âi hi phi cọ mäüt kiãún thỉïc täøng håüp v cọ nhỉỵng phỉång phạp tiïnh toạn ph håüp Gii têch mảng l mäüt män hc cn cọ tãn gi “Cạc phỉång phạp tin hc ỉïng dủng toạn hãû thäúng âiãûn” Trong âọ, âãư cáûp âãún nhỉỵng bi toạn m táút c sinh viãn ngnh hóỷ thọỳng naỡo cuợng cỏửn phaới nừm vổợng Vỗ vỏỷy, õóứ coù mọỹt caùch nhỗn cuỷ thóứ vóử caùc baỡi toaùn naỡy, giaùo trỗnh õi tổỡ kióỳn thổùc cồ sồớ â hc nghiãn cỉïu l thuút cạc bi toạn cng viãûc ỉïng dủng chụng thäng qua cäng củ mạy vi tờnh Phỏửn cuọỳi, bũng ngổợ lỏỷp trỗnh Pascal, cäng viãûc mä phng cạc pháưn mủc ca bi toạn õaợ õổồỹc minh hoaỷ Nọỹi dung giaùo trỗnh gọửm pháưn chênh: I Pháưn l thuút gäưm cọ chỉång Âải säú ma tráûn ỉïng dủng gii têch mảng Phỉång phạp säú dng âãø gii cạc phỉång trỗnh vi phỏn giaới tờch maỷng Mọ hỗnh họa hãû thäúng âiãûn Graph v cạc ma tráûn mảng âiãûn Thût toạn dng âãø ma tráûn mảng Tênh toạn tro lỉu cäng sút Tênh toaùn ngừn maỷch Xeùt quaù trỗnh quaù õọỹ cuớa mạy phạt cọ sỉû cäú mảng II Pháưn lỏỷp trỗnh: gọửm coù bọỳn phỏửn muỷc: Xỏy dổỷng cạc ma tráûn ca mảng củ thãø Tênh toạn ngàõn mảch Tênh toạn tro lỉu cäng sút luùc bỗnh thổồỡng vaỡ sổỷ cọỳ Xeùt quaù trỗnh quaù õọỹ cuớa caùc maùy phaùt coù sổỷ cäú mảng âiãûn GV: Lã Kim Hng Trang GII TÊCH MẢNG CHỈÅNG ÂẢI SÄÚ MA TRÁÛN ỈÏNG DỦNG TRONG GII TÊCH MẢNG Trong chỉång ny ta nhàõc lải mäüt säú kiãún thỉïc vãư âải säú ma tráûn thäng thỉåìng âỉåüc ỉïng dủng gii têch mảng 1.1 ÂËNH NGHÉA V CẠC KHẠI NIÃÛM CÅ BN: 1.1.1 Kê hiãûu ma tráûn: Ma tráûn chỉỵ nháût A kêch thỉåïc m x n l bng gäưm m hng v n cäüt cọ dảng sau: A = a11 a12 a1n a21 a22 a2 n am1 am amn [ ] = j Nóỳu m = vaỡ n >1 thỗ A goỹi l ma tráûn hng hồûc vectå hng Ngỉåüc lải n = vaỡ m > thỗ A goỹi laỡ ma tráûn cäüt hồûc vectå cäüt Vê dủ: A= v A= 1.1.2 Cạc dảng ma tráûn: Ma tráûn vng: L ma tráûn cọ säú hng bàịng säú cäüt (m = n) Vê dủ: a11 a12 a13 A = a21 a31 a22 a32 a23 a33 Ma tráûn tam giạc trãn: L ma tráûn vng m cạc pháưn tỉí dỉåïi âỉåìng chẹo chênh ặ j ca ma tráûn bàòng våïi i > j a11 a12 a13 A = 0 a22 a23 a33 Ma tráûn tam giạc dỉåïi: L ma tráûn vng m cạc pháưn tỉí trãn âỉåìng chẹo chênh ặj ca ma tráûn bàòng våïi i < j a11 0 A = a21 a31 a22 a32 a33 Ma tráûn âỉåìng chẹo: L ma tráûn vng nãúu táút c cạc pháưn tỉí trãn âỉåìng chẹo chênh khạc 0, cn cạc pháưn tỉí khạc ngoi âỉåìng chẹo chênh ca ma tráûn bàịng (aëj = våïi i ≠ j ) Trang GII TÊCH MẢNG a11 0 A = 0 a22 0 a33 Ma tráûn âån vë: Laì ma tráûn vng m táút c cạc pháưn tỉí trãn âỉåìng chẹo chênh ca ma tráûn bàịng cn táút c cạc pháưn tỉí khạc bàịng (aij = våïi i = j v ặj = våïi i ≠ j ) U 0 = 0 0 Ma tráûn khäng: Laì ma tráûn m táút c cạc pháưn tỉí ca ma tráûn bàịng Ma tráûn chuøn vë: L ma tráûn m cạc pháưn tỉí ặj = aji (âäøi hng thnh cäüt v ngỉåüc lải) a11 a12 A = a21 a31 a22 a32 vaì AT = a11 a12 a21 a22 a31 a32 Cho ma trỏỷn A thỗ ma trỏỷn chuyóứn kờ hióỷu l At, AT hồûc A’ Ma tráûn âäúi xỉïng: L ma tráûn vng cọ cạc càûp pháưn tỉí âäúi xỉïng qua âỉåìng chẹo chênh bàịng ặj = aji Vê duû: A = 6 Chuyóứn ma trỏỷn õọỳi xổùng thỗ AT = A, nghéa laì ma tráûn khäng thay âäøi Ma tráûn xiãn - phn âäúi xỉïng: L ma tráûn vng cọ A = - AT Cạc pháưn tỉí ngoi âỉåìng chẹo chênh tỉång ỉïng bàịng giạ trë âäúi ca (ặj = - aji) v cạc pháưn tỉí trãn âỉåìng chẹo chênh bàịng Vê dủ: −3 A = −5 −6 Ma tráûn træûc giao: L ma tráûn cọ ma tráûn chuøn vë chênh l nghëch âo ca (A A = U = A AT våïi A l ma tráûn vng v cạc pháưn tỉí l säú thỉûc) Ma tráûn phỉïc liãn håüp: L ma tráûn nãúu thãú pháưn tỉí a + jb bồới a - jb thỗ ma trỏỷn * mồùi A l ma tráûn phỉïc liãn håüp Cho ma tráûn A thỗ ma trỏỷn phổùc lión hồỹp laỡ A* T A= j3 + j + j1 vaì A∗ = − j3 − j − j1 -Nãúu táút c cạc pháưn tỉí ca A laỡ thổỷc, thỗ A = A* -Nóỳu tỏỳt caớ caùc phỏửn tổớ cuớa A laỡ aớo, thỗ A = - A* Trang GII TÊCH MẢNG Ma tráûn Hermitian (ma tráûn phỉïc âäúi): L ma tráûn vng våïi cạc pháưn tỉí trãn âỉåìng chẹo chênh l säú thỉûc cn cạc càûp pháưn tỉí âäúi xỉïng qua âỉåìng chẹo chênh l nhỉỵng säú phỉïc liãn håüp, nghéa l A = (A*)t A = − j3 + j3 Ma tráûn xiãn - Hermitian (ma tráûn xiãn - phæïc âäúi): L ma tráûn vng våïi cạc pháưn tỉí trãn âỉåìng chẹo chênh bàịng hồûc ton o cn cạc càûp pháưn tỉí âäúi xỉïng qua âỉåìng chẹo chênh l nhỉỵng säú phỉïc, tỉïc A = - (A*)t A = − j3 − − j3 Nãúu ma tráûn vng phỉïc liãn håüp cọ (A*) t A = U = A (A*)t thỗ ma trỏỷn A õổồỹc goüi laì ma tráûn âån vë Nãúu ma tráûn âån vë A våïi cạc pháưn tỉí l säú thỉûc âỉåüc gi l ma tráûn trỉûc giao Bng 1.1: Cạc dảng ma tráûn Kê hiãûu Daûng ma tráûn Kê hiãûu Daûng ma tráûn Khäng A = -A Hermitian A = (A*)t t * t Âäúi xæïng A=A A = - (A ) Xiãn- Hermitian t t A=-A A A=U Xiãn-âäúi xæïng Træûc giao * * t A=A (A ) A = U Thỉûc Âån vë * A=-A Hon ton o 1.2 CẠC ÂËNH THỈÏC: 1.2.1 Âënh nghéa v cạc cháút cuớa õởnh thổùc: Cho hóỷ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh a11x1 + a12x2 = k1 (1) a21x1 + a22x2 = k2 (2) Ruùt x2 tổỡ phổồng trỗnh (2) thóỳ vaỡo phổồng trỗnh (1), giaới õổồỹc: x1 = a22 k1 a12 k a11a22 − a12 a21 x2 = a11k − a21k1 a11a22 − a12 a21 Suy ra: (1.1) Biãøu thỉïc (a11a22 - a12a21) l giạ trë âënh thỉïc ca ma tráûn hãû säú A Trong âọ |A| l âënh thỉïc | A| = a11 a12 a21 a22 Gii phổồng trỗnh (1.1) bũng phổồng phaùp õởnh thổùc ta coù: x1 = k1 a12 k2 a 22 A = a 22 k − a12 k vaì x a11 a 22 − a12 a 21 = a11 k1 a 21 k2 A = a11 k − a 21 k a11 a 22 − a12 a 21 • Tênh cháút ca âënh thỉïc: Trang GII TÊCH MẢNG a Giạ trë ca âënh thỉïc bàịng nãúu: - Táút c cạc pháưn tỉí ca hng hồûc cäüt bàịng - Cạc pháưn tỉí ca hng (cäüt) tỉång ỉïng bàịng - Mäüt hng (cäüt) l tỉång ỉïng tè lãû ca hồûc nhiãưu hng (cäüt) b Nãúu ta âäøi chäø hng ca ma tráûn vng A cho ta âỉåüc ma tráûn vng B v cọ det(B) = - det(A) c Giạ trë ca âënh thỉïc khäng thay âäøi nãúu: - Táút c cạc hng v cäüt tæång æïng âäøi chäø cho - Cäüng thãm k vo hng (cäüt) thỉï tỉû tỉång ỉïng våïi cạc pháưn tỉí ca hng (cäüt) âọ d Nãúu táút c cạc pháưn tỉí ca hng (cäüt) nhán våïi thỉìa säú k, thỗ giaù trở cuớa õởnh thổùc laỡ õổồỹc nhỏn båíi k e Têch ca cạc âënh thỉïc bàịng têch ca tỉìng âënh thỉïc | A.B.C| = |A| |B| |C| f Âënh thỉïc täøng khạc täøng cạc âënh thỉïc |A + B - C| = |A| + |B| -|C| 1.2.2 Âënh thỉïc v cạc pháưn phủ âải säú Xẹt âënh thæïc: a11 a12 a13 A = a21 a31 a22 a32 a23 a33 Chn âënh thỉïc ny k hng, k cäüt báút kyì våïi [ k [ n Cạc pháưn tỉí nàịm phêa trãn kãø tỉì giao ca hng v cäüt â chn tảo thnh mäüt âënh thỉïc cáúp k, gi l âënh thỉïc cáúp k ca A B k hng v k cäüt â chn, cạc pháưn tỉí cn lải tảo thnh âënh thỉïc b ca âënh thỉïc A Pháưn phủ âải säú ỉïng våïi pháưn tỉí aij ca âënh thỉïc A l âënh thỉïc b cọ km theo dáúu (-1)i+j A21 = (−1) +1 a12 a 32 a13 a = − 12 a 33 a 32 a13 a 33 Mäúi liãn hãû giỉỵa cạc âënh thỉïc v pháưn phủ: - Täøng cạc têch ca cạc pháưn tỉí theo hng (cäüt) våïi pháưn phủ tỉång ỉïng bàịng âënh thỉïc |A| - Täøng cạc têch ca cạc pháưn tỉí theo hng (cäüt) våïi pháưn phủ tỉång ỉïng hng (cäüt) khạc bàịng 1.3 CẠC PHẸP TÊNH MA TRÁÛN 1.3.1 Cạc ma tráûn bàịng nhau: Hai ma tráûn A v B âỉåüc gi l bàịng nãúu táút c cạc pháưn tỉí ca ma tráûn A bàịng táút c cạc pháưn tỉí ca ma tráûn B (aij = bëj ∀ i, j; i, j = 1, 2, n) 1.3.2 Phẹp cäüng (trỉì) ma tráûn Trang GII TÊCH MẢNG Cäüng (trỉì) cạc ma tráûn phại cọ cng kêch thỉåïc m x n Vê dủ: Cọ hai ma tráûn A[aij ]mn v B[bij ]mn thỗ tọứng vaỡ hióỷu cuớa hai ma trỏỷn naỡy laỡ ma tráûn C[cij ]mn våïi cij = aij6 bij Måí räüng: R = A + B + C + + N våïi rij = aij bij6 cij 6 nij Phẹp cäüng (trỉì) ma tráûn cọ cháút giao hoaïn: A + B = B + A Phẹp cäüng (trỉì) ma tráûn cọ cháút kãút håüp: A + (B + C) = (A + B) + C 1.3.3 Têch vä hỉåïng ca ma tráûn: k.A = B Trong âoï: bij = k aij ∀ i & j Tênh giao hoaïn: k.A = A.k Tênh phán phäúi: k (A + B) = k.A + k B = (A + B) k (våïi A vaì B laì cạc ma tráûn cọ cng kêch thỉåïc, k l hàịng säú ) 1.3.4 Nhán cạc ma tráûn: Phẹp nhán hai ma tráûn A.B = C Nãúu ma tráûn A cọ kêch thỉåïc m x q v ma tráûn B coù kờch thổồùc q x n thỗ ma trỏỷn tờch C cọ kêch thỉåïc m x n Cạc pháưn tỉí cij ca ma tráûn C l täøng cạc têch ca cạc pháưn tỉí tỉång ỉïng våïi i hng ca ma tráûn A v j cäüt ca ma tráûn B l: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + aiq bqj Vê duû: a11 A.B = a 21 a 31 a12 a 22 x a 32 b11 b12 b21 b22 a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 = a 21 b11 + a 22 b21 a 31 b11 + a 32 b21 a11 b12 + a12 b22 a11 b12 + a12 b22 Pheïp nhán ma tráûn khäng cọ cháút hoạn vë: A.B ≠ B.A Phẹp nhán ma tráûn cọ cháút phán phäúi âäúi våïi pheïp cäüng: A (B + C) = A.B + A.C Phẹp nhán ma tráûn cọ cháút kãút håüp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C Têch ma tráûn A.B = A = hoàûc B = Têch C.A = C.B A = B Nóỳu C = A.B thỗ CT = BT.AT 1.3.5 Nghởch õaớo ma trỏỷn: Cho hóỷ phổồng trỗnh: a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 (1.2) a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 Viãút dỉåïi dảng ma tráûn A.X = Y Nãúu nghiãûm cuớa hóỷ trón laỡ nhỏỳt thỗ tọửn taỷi mọỹt ma tráûn B l nghëch âo ca ma tráûn A Do âọ: X = B.Y (1.3) Nãúu âënh thỉïc ca ma trỏỷn A thỗ coù thóứ xaùc õởnh xi sau: Trang GII TÊCH MẢNG x1 = A A11 A y1 + 21 y + 31 y A A A x2 = A A12 A y1 + 22 y + 32 y A A A x3 = A13 A A y1 + 23 y + 33 y A A A Trong âọ: A11, A12, A33 l âënh thỉïc phủ ca a11, a12, a13 v |A| l âënh thỉïc ca ma tráûn A Ta coï: Bi j = A ij i, j = 1, 2, A Nhán ma tráûn A våïi nghëch âo ca ta cọ A.A-1 = A-1.A = U Ruùt X tổỡ phổồng trỗnh (1.3) sau â nhán c hai vãú cho A-1 A.X = Y A-1.A.X = A-1 Y U.X = A-1.Y Suy ra: X = A-1 Y Nãúu âënh thỉïc ca ma tráûn bàịng 0, thỗ ma trỏỷn nghởch õaớo khọng xaùc õởnh (ma tráûn suy biãún) Nãúu âënh thỉïc khạc gi l ma tráûn khäng suy biãún vaì laì ma tráûn nghëch âo nháút Gi sỉí ma tráûn A v B cng cáúp v l kh âo lục âọ: (A.B)-1 = B-1.A-1 Nóỳu AT khaớ õaớo thỗ (AT)-1 cuợng khaớ âaío: (At)-1 = (A-1)t 1.3.6 Ma tráûn phán chia: A = A1 A2 A3 A4 Täøng cạc ma tráûn â phán chia âỉåüc biãøu diãùn båíi ma tráûn nh bàịng täøng cạc ma tráûn nh tỉång ỉïng A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 = A16B1 A26B3 A36B3 A46B3 C1 C2 C3 C4 Phẹp nhán âỉåüc biãøu diãùn nhæ sau: A1 A2 B1 B2 A3 A4 B3 B4 = Trong âoï: C1 = A1.B1 + A2.B3 C2 = A1.B2 + A2.B4 Trang GII TÊCH MẢNG C3 = A3.B1 + A4.B3 C4 = A3.B2 + A4.B4 Taïch ma tráûn chuyãøn vë nhæ sau: A = A1 A2 A3 A4 A T = AT1 AT2 AT3 AT4 Taïch ma tráûn nghëch âo sau: A = A1 A2 A3 A4 A-1 = B1 B2 B3 B4 Trong âoï: B1 = (A1 - A2.A4-1.A3)-1 B2 = -B1.A2.A4-1 B3 = -A4-1.A3.B1 B4 = A4-1 - A4-1.A3.B2 (våïi A1 v A4 phi l cạc ma tráûn vng) 1.4 SỈÛ PHỦ THÜC TUÚN TÊNH V HẢNG CA MA TRÁÛN: 1.4.1 Sỉû phủ thüc tuyãún tênh: Säú cäüt cuía ma tráûn A(m x n) cọ thãø viãút theo n vectå cäüt hồûc m vectå haỡng {c1}{c1} {c1} {r1}{r1} {r1} Phổồng trỗnh vectồ cäüt thuáön nháút (1.4) p1{c1} + p2{c2} + + pn{cn} = Khi táút caí Pk = (k = 1, 2, , n) Tỉång tỉû vectå hng l khäng phuû thuäüc tuyãún nãúu qr = (r = 1, 2, , n) (1.5) q1{r1} + q2{r2} + + qn{rn} = Nãúu pk ≠ tha mn phổồng trỗnh (1.4), thỗ vectồ cọỹt laỡ tuyóỳn tờnh Nóỳu qr thoớa maợn phổồng trỗnh (1.5), thỗ vectồ hng l tuún Nãúu vectå cäüt (hng) ca ma trỏỷn A laỡ tuyóỳn tờnh, thỗ õởnh thổùc cuớa A = 1.4.2 Hảng ca ma tráûn: Hảng ca ma tráûn l cáúp cao nháút m táút c cạc âënh thỉïc khạc 0 [ r(A) [ min(m, n) våïi A l ma tráûn kêch thỉåïc m x n 1.5 H PHặNG TRầNH TUYN TấNH: Hóỷ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh cuớa m phổồng trỗnh n hóỷ sọỳ õổồỹc viãút: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym Trong âọ: (1.6) Trang GII TÊCH MẢNG j: L hãû säú thỉûc hồûc phỉïc ; xj: L biãún säú ; yj: L hàịng säú ca hãû Hãû phỉång trỗnh õổồỹc bióứu dióựn ồớ daỷng ma trỏỷn nhổ sau: A X = Y (1.7) Ma tráûn måí räüng: a11 a12 a1n y1 a Aˆ = 21 am1 a22 a2 n y2 am amn ym Nóỳu yi = thỗ hóỷ phổồng trỗnh goỹi l hãû thưn nháút, nghéa l: A.X = Nãúu mäüt hồûc nhiãưu pháưn tỉí ca vectå yi ≠ thỗ hóỷ goỹi laỡ hóỷ khọng thuỏửn nhỏỳt ởnh lyù: ióửu kióỷn cỏửn vaỡ õuớ õóứ hóỷ phổồng trỗnh tuyóỳn cọ nghiãûm l hảng ca ma tráûn hãû säú bũng haỷng cuớa ma trỏỷn mồớ rọỹng Hóỷ phổồng trỗnh tuún vä nghiãûm v chè hảng ca ma tráûn hãû säú nh hån hảng ca ma tráûn måí räüng Nãúu hảng ca ma tráûn r(A) = r(Á) = r = n (sọỳ ỏứn) cuớa hóỷ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh (1.6) thỗ hóỷ coù nghióỷm nhỏỳt (hóỷ xaïc âënh) Nãúu r(A) = r(Á) = r < n thỗ hóỷ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh coù vọ sọỳ nghióỷm v cạc thnh pháưn ca nghiãûm phủ thüc (n - r) tham säú ty Trang GII TÊCH MẢNG CHặNG GIAI PHặNG TRầNH VI PHN BềNG PHặNG PHAẽP SÄÚ 2.1 GIÅÏI THIÃÛU Nhiãưu hãû thäúng váût l phỉïc taỷp õổồỹc bióứu dióựn bồới phổồng trỗnh vi phỏn noù khäng cọ thãø gii chênh xạc bàịng gii têch Trong k thût, ngỉåìi ta thỉåìng sỉí dủng cạc giạ trë thu âỉåüc bàịng viãûc gii gáưn âụng ca cạc hãû phổồng trỗnh vi phỏn bồới phổồng phaùp sọỳ hoùa Theo caùch õoù, lồỡi giaới cuớa phổồng trỗnh vi phỏn õuùng l mäüt giai âoản quan trng gii têch säú Trong trỉåìng håüp täøng quạt, thỉï tỉû ca viãûc lm tờch phỏn sọỳ laỡ quaù trỗnh tổỡng bổồùc chờnh xaùc chøi giạ trë cho mäùi biãún phủ thüc tỉång ỉïng våïi mäüt giạ trë ca biãún âäüc láûp Thỉåìng th tủc l chn giạ trë ca biãún âäüc láûp mäüt khong cäú âënh Âäü chênh xạc cho låìi gii båíi têch phán säú phủ thüc c hai phỉång phạp chn v kêch thỉåïc ca khong giạ trë Mäüt säú phổồng phaùp thổồỡng xuyón duỡng õổồỹc trỗnh baỡy caùc muỷc sau õỏy 2.2 GIAI PHặNG TRầNH VI PHN BềNG PHặNG PHAẽP S 2.2.1 Phổồng phaùp Euler: Cho phổồng trỗnh vi phán báûc nháút dy = f ( x, y ) dx (2.1) y y = g(x,c) Hỗnh 2.1: ọử thở cuớa haỡm sọỳ tổỡ baỡi giaới phổồng trỗnh vi phán ∆y y0 ∆x x x0 Khi x laì biãún âäüc láûp v y l biãún phủ thüc, nghiãûm phổồng trỗnh (2.1) seợ coù daỷng: y = g(x,c) (2.2) Våïi c l hàịng säú â âỉåüc xạc âënh tỉì l thuút âiãưu kiãûn ban âáưu Âỉåìng cong miãu taớ phổồng trỗnh (2.2) õổồỹc trỗnh baỡy hỗnh (2.1) Tỉì chäù tiãúp xục våïi âỉåìng cong, âoản ngàõn cọ thãø gi sỉí l mäüt âoản thàóng Theo cạch âọ, tải mäùi âiãøm riãng biãût (x0,y0) trãn âỉåìng cong, ta cọ: ∆y ≈ dy ∆x dx Trang 12 GII TÊCH MẢNG dy l âäü däúc ca âỉåìng cong tải õióứm (x0,y0) Vỗ thóỳ, ổùng vồùi giaù trở ban dx Våïi âáưu x0 v y0, giạ trë måïi ca y cọ thãø thu âỉåüc tỉì l thuút l ∆x: y1 = y + ∆y y1 = y + hay dy h (âàût h = ∆x) dx Khi ∆y l säú gia ca y tỉång ỉïng våïi mäüt säú gia ca x Tỉång tỉû, giạ trë thỉï hai ca y cọ thãø xạc âënh sau y = y1 + dy h dx y y= g(x,c) y3 y2 y1 y0 Hỗnh 2.2 : ọử thở cuớa lồỡi giaới xỏỳp xố cho phổồng trỗnh vi phỏn bàịng phỉång phạp Euler h Khi x0 h h x1 x2 x3 x dy = f ( x1 , y1 ) dx Quaù trỗnh coù thóứ tờnh tióỳp tủc, ta âỉåüc: y3 = y + dy h dx y = y3 + dy h dx Bng giạ trë x v y cung cỏỳp cho toaỡn bọỹ baỡi giaới phổồng trỗnh (2.1) Minh hoỹa phổồng phaùp nhổ hỗnh 2.2 2.2.2 Phổồng phạp biãún âäøi Euler Trong ỉïng dủng phỉång phạp Euler, giạ trë dy/dx ca khong gi thiãút toạn bàõt âáưu vỉåüt ngoi khong cho phẹp Sỉû thay thãú âọ cọ thãø thu âỉåüc bàịng cạch toạn giạ trë måïi ca y cho x1 trỉåïc x1 = x0 + h y1( ) = y + dy h dx Trang 13 GII TÊCH MẢNG (0) Dng giạ trë måïi x1 v y1 thay vo phổồng trỗnh (2.1) õóứ tờnh toaùn gỏửn õuùng giaù trở ca dy tải cúi khong dx (0) dy = f ( x1 , y1( 0) ) dx ( 0) Sau âọ táûn dủng giạ trë y1 (1) dy dy coù thóứ tỗm thỏỳy bồới duỡng trung bỗnh cuớa v dx dx sau: y1(1) ( 0) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ Dng x1 v y1(1), giạ trë xáúp xè thỉï ba y1(2) cọ thãø thu âỉåüc bồới quaù trỗnh tổồng tổỷ nhổ sau: y1( ) (1) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ ( 2) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h Ta õổồỹc: y1( 3) Quaù trỗnh coù thãø tiãúp tủc cho âãún hai säú liãưn ỉåïc lỉåüng cho y l ngang bàịng nàịm phaỷm vi mong muọỳn Quaù trỗnh hoaỡn toaỡn lỷp laỷi thu âỉåüc giạ trë y2 Kãút qu thu âỉåüc cọ sỉû chênh xạc cao hån tỉì sỉû biãún âäøi ca phổồng phaùp Euler õổồỹc minh hoỹa hỗnh 2.3 y = g(x,c) y dy (0) dx y2 y1 y0 h x0 ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ dy dx (0) Hỗnh 2.3 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè cho phổồng trỗnh vi phỏn bũng phổồng phaùp bióỳn õọứi Euler x x1 Phỉång phạp Euler cọ thãø ỉïng dủng âãø giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn cuỡng luùc Cho hai phổồng trỗnh: Trang 14 GIAI TấCH MANG dy = f1 ( x, y, z) dx dz = f ( x, y, z) dx Våïi giạ trë ban âáưu x0, y0 v z0 giạ trë måïi y1 s l: y1 = y + Våïi: dy dx dz h dx = f1 ( x0 , y , z ) Tæång tæû z1 = z + Våïi: dz h dx dz = f ( x0 , y , z ) dx Cho säú gia tiãúp theo, giaï trë x1 = x0 + h, y1 v z1 dng âãø xạc âënh y2 v z2 Trong phỉång phạp biãún âäøi Euler y1 v z1 dng âãø xạc âënh giạ trë âảo hm tải x1 cho âạnh giạ gáưn âụng cáúp hai y1(1) v z1(1) 2.2.3 Phỉång phạp Picard våïi sỉû xáúp xè liãn tủc Cå såí ca phỉång phạp Picard l gii chênh xạc, båíi sỉû thay thãú giạ trë y hm ca x phảm vi giạ trë x â cho y ⎟ g(x) Âáy l biãøu thỉïc ỉåïc lỉåüng båíi sỉû thay thãú trỉûc tiãúp giạ trë ca x âãø thu âỉåüc giạ trë tỉång ỉïng ca y Cho phỉång trỗnh vi phỏn (2.1) dy = f(x,y)dx Vaỡ tờch phỏn giỉỵa khong giåïi hản cho x v y ∫ y1 y0 x1 dy = ∫ f ( x, y )dx x0 x1 Thỗ y1 y = f ( x, y )dx Hay y1 = y + ∫ f ( x, y )dx x0 x1 x0 (2.3) Sọỳ haỷng tờch phỏn trỗnh baỡy sổỷ thay õọứi kãút qu ca y våïi sỉû thay âäøi ca x tỉì x0 âãún x1 Låìi gii cọ thãø thu âỉåüc båíi sỉû âạnh giạ têch phán bàịng phỉång phạp xáúp xè liãn tủc Ta cọ thãø xem giạ trë ca y hm ca x cọ thãø â thu âỉåüc båíi sỉû thay thãú y dỉåïi dảng têch phán våïi y0, cho giạ trë ban âáưu sau: x1 y1(1) = y + ∫ f ( x, y )dx x0 Thỉûc hiãûn biãøu thỉïc têch phán våïi giạ trë måïi ca y báy giåì âỉåüc thay thãú vo phổồng trỗnh (2.3) thu õổồỹc lỏửn xỏỳp xố thổù hai cho y nhæ sau: x1 y1( ) = y + ∫ f ( x, y1(1) ) dx x0 Trang 15 GIAI TấCH MANG Quaù trỗnh naỡy coù thóứ làûp lải thåìi gian cáưn thiãút âãø thu âỉåüc âäü chênh xạc mong mún Tháût váûy, ỉåïc lỉåüng têch phán ln ln phỉïc tảp thãú nhỉng phi gi thiãút cho biãún cäú âënh Khọ khàn v cáưn thỉûc hiãûn nhiãưu láưn têch phán, nãn âáy l màût hản chãú sỉû ạp dủng ca phỉång phạp ny Phỉång phạp Picard cọ thãø ạp dủng âãø gii âäưng thåìi nhiãưu phỉång trỗnh nhổ sau: dy = f ( x, y , z ) dx dz = f ( x, y, z ) dx Theo cäng thỉïc, ta cọ: x1 y1 = y + ∫ f ( x, y , z ) dx x0 x1 z1 = z + ∫ f ( x, y , z ) dx x0 2.2.4 Phỉång phạp Runge- Kutta Trong phỉång phạp Runge- Kutta sỉû thay âäøi giạ trë ca biãún phủ thüc l toạn tỉì cạc cäng thỉïc â cho, biãøu diãùn âiãưu kiãûn ỉåïc lỉåüng âảo hm tải nhỉỵng âiãøm âënh trỉåïc Tỉì mäùi giạ trë nháút chênh xạc ca y cho båíi cäng thỉïc, phỉång phạp ny khäng âi hi thay thãú làûp lải phỉång phạp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp phỉång phạp ca Picard Cäng thỉïc rụt gn gáưn âụng xút phạt båíi sỉû thay thãú khai triãøn chuäøi Taylor RungeKutta xáúp xè báûc hai cọ thãø viãút cäng thỉïc (2.4) y1 = y0 + a1k1 + a2k2 Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Caïc hãû säú a1, a2, b1 v b2 l chênh xạc Âáưu tiãn khai triãøn f(x0+ b1h, y0+ b2k1) chuäøi Taylor taûi (x0,y0), ta âæåüc: ⎫ ⎧ ∂f ∂f k = ⎨ f ( x , y ) + b1 h + b2 k1 + .⎬ h ∂x ∂y ⎭ ⎩ Thay thãú hai âiãưu kiãûn k1 v k2 vaỡo phổồng trỗnh (2.4), thu õổồỹc: y1 = y + (a1 + a ) f ( x0 , y )h + a b1 ∂f ∂f h + a b2 f ( x , y ) h2 ∂x ∂y (2.5) Khai triãøn chøi Taylor ca y tải giạ trë (x0,y0) l: y1 = y + Tỉì dy dx dy dx h+ = f ( x0 , y ) d2y h2 dx 2 vaì 0 d2y dx + = (2.6) ∂f ∂f + f ( x0 , y ) ∂x ∂y Phổồng trỗnh (2.6) trồớ thaỡnh Trang 16 GIAI TấCH MAÛNG y = y + f ( x , y )h + ∂f ∂x h 2 + ∂f ∂y f (x , y ) h 2 (2.7) Cán bàòng caùc hóỷ sọỳ cuớa phổồng trỗnh (2.5) vaỡ (2.7), ta âæåüc: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2 Chn giạ trë ty cho a1 a1 = 1/2 Thỗ a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = Thay thóỳ giaù trở naỡy vaỡo phổồng trỗnh (2.4), cäng thỉïc gáưn âụng báûc hai Runge-Kutta l: y1 = y + k + k 2 Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vỗ thóỳ y = (k1 + k ) Ạp dủng ca phỉång phạp Runge-Kutta cho viãûc xáúp xè báûc hai âi hi sỉû toạn ca k1 v k2 Sai säú láưn xỏỳp xố laỡ bỏỷc h3 bồới vỗ chuọứi õaợ cừt sau âiãưu kiãûn báûc hai Täíng quạt cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta laì: y1 = y + a1 k + a k + a k + a k (2.8) k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiãúp theo th tủc giäúng dng cho láưn xáúp xè báûc hai, hãû sọỳ phổồng trỗnh (2.8) thu õổồỹc laỡ: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6 Vaì b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = Thay thóỳ caùc giaù trở vaỡo phổồng trỗnh (2.8), phổồng trỗnh xỏỳp xố bỏỷc bọỳn Runge-Kutta trồớ thaỡnh Vồùi y1 = y + (k1 + 2k + 2k + k ) Våïi k1 = f(x0,y0)h k h k = f ( x0 + , y + )h 2 k h k = f ( x0 + , y + )h 2 k = f ( x0 + h, y + k )h Nhæ váûy, sỉû toạn ca ∆y theo cäng thỉïc âi hi sỉû toạn cạc giạ trë ca k1, k2, k3 vaì k4 : ∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai säú sỉû xáúp xè l báûc h5 Trang 17 GII TÊCH MẢNG Cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta cho phẹp giaới õọửng thồỡi nhióửu phổồng trỗnh vi phỏn dy = f ( x, y , z ) dx dz = g ( x, y , z ) dx Ta co:ï y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Våïi: k1= f(x0,y0,z0)h k l h k = f ( x0 + , y + z + )h 2 k l h k = f ( x0 + , y + z + )h 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h k l h l = g ( x0 + , y + z + )h 2 k l h l3 = g ( x0 + , y + z + )h 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h 2.2.5 Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi Phỉång phạp dỉûa trãn cå såí suy, hay têch phán vỉåüt trỉåïc, v làûp lải nhiãưu láưn vióỷc giaới phổồng trỗnh vi phỏn dy = f ( x, y ) dx (2.9) Âỉåüc gi l phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi Th tủc cå bn phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi l xút phạt tỉì âiãøm (xn,yn) õóỳn õióứm (xn+1, yn+1) Thỗ thu õổồỹc phổồng trỗnh vi phán v sỉía âäøi giạ trë yn+1 xáúp xè cäng thỉïc chênh xạc Loải âån gin ca cäng thỉïc dỉû âoạn phỉång phạp ca Euler l: yn+1 = yn + yn’h Våïi: y n' = dy dx dy dx tỉì n +1 (2.10) n Cäng thỉïc chênh xạc khäng dng phỉång phạp Euler Màûc d, phỉång phạp biãún âäøi Euler giạ trë gáưn âụng ca yn+1 thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc dỉû âoạn (2.10) v giạ trë thay thóỳ phổồng trỗnh vi phỏn (2.9) chờnh laỡ yn+1 Thỗ giaù trở chờnh xaùc cho yn+1 thu õổồỹc tỉì cäng thỉïc biãún âäøi ca phỉång phạp l: y n +1 = y n + ( y ' n +1 + y ' n ) h (2.11) Giaï trở thay thóỳ phổồng trỗnh vi phỏn (2.9) thu âỉåüc cọ sỉû âạnh giạ chênh xạc hån cho y’n+1, noù luọn luọn thay thóỳ phổồng trỗnh (2.11) laỡm cho yn+1 chênh xạc hån Trang 18 GII TÊCH MẢNG Quaù trỗnh tióỳp tuỷc lỷp laỷi cho õóỳn hai giạ trë toạn liãn tiãúp ca yn+1 tỉì phỉång trỗnh (2.11) truỡng vồùi giaù trở mong muọỳn chỏỳp nhỏỷn âỉåüc Phỉång phạp dỉû âoạn biãún âäøi kinh âiãøn ca Milne Dỉû âoạn ca Milne v cäng thỉïc biãún âäøi, theo äng laì: 4h (2 y ' n − − y ' n −1 +2 y ' n ) h y n +1 = y n −1 + ( y ' n −1 +4 y ' n + y ' n +1 ) y ' n +1 = f ( x n +1 , y n( 0+)1 ) y n( 0+)1 = y n −3 + Vaì Våïi: Bàõt âáưu ca sỉû toạn âi hi biãút bäún giạ trë ca y Cọ thãø â toạn båíi RungeKutta hay mäüt säú phỉång phạp säú trỉåïc sỉí dủng cäng thỉïc dỉû âoạn sỉía âäøi ca Milne Sai säú phỉång phạp l báûc h5 Trong trỉåìng håüp täøng quạt, phỉång phạp mong mún chn h â nh nãn chè vi láưn làûp l âi hi thu âỉåüc yn+1 hon ton chênh xạc mong mún Phỉång phạp cọ thãø måí räüng cho phẹp gii mäüt säú phổồng trỗnh vi phỏn õọửng thồỡi Phổồng phaùp dổỷ õoaùn sỉía âäøi l ạp dủng âäüc láûp âäúi våïi mäùi phổồng trỗnh vi phỏn nhổ mọỹt phổồng trỗnh vi phỏn õồn giaớn Vỗ vỏỷy, thay thóỳ giaù trở cho tỏỳt caớ caùc bióỳn phuỷ thuọỹc vaỡo mọựi phổồng trỗnh vi phán l âi hi sỉû âạnh giạ âảo hm taỷi (xn+1, yn+1) 2.3 GIAI PHặNG TRầNH VI PHN BC CAO Trong k thût trỉåïc âáy mä t cho viãûc giaới phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc nhỏỳt cuợng coù thóứ aùp duỷng cho vióỷc giaới phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc cao bàịng sỉû âỉa vo ca biãún phủ Vê dủ, cho phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc hai a d2y dy + b + cy = dx dx Våïi õióửu kióỷn ban õỏửu x0, y0, vaỡ dy thỗ phổồng trỗnh coù thóứ õổồỹc vióỳt laỷi nhổ hai dx phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc nhỏỳt dy = y' dx d y dy ' by '+ cy = =− dx a dx Mäüt nhỉỵng phỉång phạp mä taớ trổồùc õỏy coù thóứ laỡ vióỷc laỡm õi tỗm lồỡi giaới cho hai phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc nhỏỳt õọửng thồỡi Theo caùch tổồng tổỷ, mọỹt vaỡi phổồng trỗnh hay hóỷ phổồng trỗnh bỏỷc cao coù thóứ quy vóử hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc nhỏỳt 2.4 Vấ DU Vệ GIAI PHặNG TRầNH VI PHN BềNG PHặNG PHAẽP S Giaới phổồng trỗnh vi phỏn seợ minh hoỹa bũng sổỷ toạn dng âiãûn cho mảch RL näúi tiãúp Trang 19 GIAI TấCH MANG t=0 R Hỗnh 2.4: Sổỷ bióứu diãùn ca mảch âiãûn RL i(t) e(t) L Cho mảch õióỷn RL hỗnh 2.4 sổùc õióỷn õọỹng hióỷu duỷng âọng khọa l: e(t) = 5t [ t [ 0,2 e(t) = t > 0,2 Âiãûn tråí cho theo âån vë ohms laì R = 1+3i2 Vaì õióỷn caớm theo õồn henrys laỡ L=1 Tỗm doỡng âiãûn mảch âiãûn theo cạc phỉång phạp sau: a Euler’s b Biãún âäøi Euler c Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta d Milnes e Picards Baỡi giaới: Phổồng trỗnh vi phán ca mảch âiãûn l L di + Ri = e(t ) dt Thay thãú cho R vaì L ta coï: di + (1 + 3i )i = e(t ) dt Âiãưu kiãûn ban âáưu tải t = thỗ e0 = vaỡ i0 = Khoaớng choỹn cho biãún âäüc láûp l: ∆t = 0,025 a Phỉång trỗnh theo phổồng phaùp Euler laỡ in = di t dt n in+1 = in +∆in Våïi di dt = en − (1 + 3in2 )in n Thay thãú giaï trở ban õỏửu vaỡo phổồng trỗnh vi phỏn, doỡng âiãûn i1 = Taûi t1 = 0,025; e1 = 0,125 vaỡ dy dt = vaỡ i0 Vỗ thóỳ, di = 0,125 − {1 + 3(0) }0 = 0,125 dt i1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thỗ i2 = + 0,00313 = 0,00313 Láûp baíng kã kãút qu låìi gii âỉa vo bng 2.1 Trang 20 GII TÊCH MẢNG n Bng 2.1: Gii bàịng phỉång phạp Euler Thåìi gian Sỉïc âiãûn âäüng Dng di en tn i n = i n −1 + ∆t dt 10 11 12 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,000 0,125 0,250 0,250 0,375 0,500 0.625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 n −1 0,00000 0,00000 0,00313 0,00930 0,01844 0,03048 0,4534 0,06295 0,08323 0,10611 0,12837 0,15000 0,17100 di dt = e n − (1 + 3i n2 )i n n 0,00000 0,12500 0,24687 0,36570 0,48154 0,59444 0,70438 0,81130 0,91504 0,89031 0,86528 0,83988 b Phổồng trỗnh cuớa phổồng phaùp bióỳn õọứi Euler laỡ in( ) = di ∆t dt n in( 0+)1 = in + ∆in( 0) ⎛ di di ⎜ + ⎜ dt dt ∆in(1) = ⎜ n ⎜ ⎜ ⎝ (1) in +1 = in + ∆in(1) Våïi di dt ⎞ ⎟ n +1 ⎟ ⎟∆t ⎟ ⎟ ⎠ ( 0) (0) = en +1 − {1 + 3(in( 0+)1 ) }in( 0+)1 n +1 Thay thãú giaï trë ban âáưu e0 = v i0 = vo phổồng trỗnh vi phỏn di dx =0 Do âoï: ∆i0( ) = ; i1( 0) = Thay thóỳ vaỡo phổồng trỗnh vi phỏn i1( 0) = vaì e1 = 0,125 (0) Vaì di = 0,125 − {1 + 3(0) }0 = 0,125 dt 0,125 + ∆i0(1) = ( )0,025 = 0,00156 Nãn i1(1) = + 0,00156 = 0,00156 Trang 21