MA TRẬN - MỘT SỐ KHÁI NIỆM

CHƯƠNG 2: MA TRẬN    §1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM    ( Ma trận [A] gọi là đối xứng nếu [A]T = [A]  ( Cho một ma trận vng [A], cấp n. Ta nói ma trận [A] khơng suy biến  (non  singular)  nếu  ma  trận  có  thể  nghịch  đảo  được  hay  nói  cách  khác,  định  thức của ma trận khác khơng.    (  Ma  trận  Hermite  là  một  ma  trận  vng  có  các  phần  tử  là  số  phức  bằng chuyển vị liên hợp của nó, nghĩa là phần tử ở hàng i cột j bằng số phức  T liên  hợp  của  phân  tử  ở  hàng  j  cột  i  ⎡⎣ A∗ ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦   Ví  dụ  ma  trận  + j⎤ ⎡ [A] = ⎢ ⎥  là ma trận Hermite.  j − ⎣ ⎦     ( Ma trận Householder là một ma trận vuông dạng:  [ H] = [E ] − T [ U ][ U ]T   [U] [U] Trong đó v là vec tơ cột khác zero  ( Ma trận [A] gọi là trực giao nếu [A]T[A] = [E]  T ( Ma trận phức [U] gọi là ma trận unita nếu  ⎡⎣ U ⎤⎦ ⎡⎣ U∗ ⎤⎦ = ⎡⎣ E ⎤⎦  Ví dụ ma  ⎡ + j −1 + j ⎤ ⎢ 2 ⎥ trận  [ U ] = ⎢ ⎥  là ma trận unita  + − j j ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ( Một ma trận chỉ có một cột gọi là một vec tơ  ( Chuẩn của một vec tơ X, kí hiệu là  X , là một số thực thoả mãn:        ‐  X  > 0  ‐  cX = c X               ‐  X + Y ≤ X + Y   Giả thiết X = [x1, x2,…,xn]T, ta thường dùng một trong 3 chuẩn sau đây:    ‐  X = max x j   j n     ‐  X = ∑ x j   j=1 58     ‐  X = n ∑ xj   j=1 ( Chuẩn của một ma trận [A], kí hiệu là  A , là một số thực thoả mãn:  ‐  A  > 0      ‐  cA = c A       ‐  A + B ≤ A + B       ‐  AB ≤ A B   Ta thường dùng một trong 3 chuẩn sau đây:    n     ‐  A = max ∑ a i ,j   i j=1 n         ‐  A = max ∑ a i ,j   j ‐  A = i =1 n ∑ a i ,j   i ,j=1     ( Ma trận [A] gọi là xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có:     [ x]T[ A][ x] >       ( Ma trận [A] gọi là nửa xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có:     [ x ]T[ A ][ x] ≥   Ta định nghĩa ma trận xác định âm và nửa xác định âm một cách tương  tự.  ( Hạng của ma trận là cấp của ma trận con của ma trận ấy có định thức  khác  khơng  cịn  mọi  ma  trận  con  cấp  cao  hơn  đều  có  định  thưc  bằng  khơng(ma trận con là ma trận có được bằng cách xố một số hàng và cột của  ma trận ban đầu).    §2. BIẾN ĐỔI HOUSEHOLDER   1.  Ma  trận  Householder:  Ta  biến  đổi  ma  trận  [A]  về  dạng  có  các  phần  tử  thuộc  đường  chéo  chính,  các  phần  tử  phía  trên  và  phía  dưới  đường  chéo  chính  khác  zero,  cịn  các  phần  tử  cịn  lại  bằng  zero(ma  trận  ba  đường  chéo)  bằng cách dùng phép biến đổi Householder.    Phép biến đổi Householder dùng ma trận Householder.  T U ][ U ] [                   (1)  [ H] = [ E] − Q 59 Trong đó:  1 T Q = [ U ] [ U ] = [ U ]              2 Do [H] đối xứng nên:      T T ⎛ U ][ U ] ⎞⎛ U ][ U ] ⎞ [ [ T   [ H] [ H] = [ H][ H] = ⎜ [ E] − ⎟⎜ [ E ] − ⎟ Q Q ⎝ ⎠⎝ ⎠ T T T U ][ U ] [ U ] [ U ][ U ] [ U ] [                          = [ E ] − +   Q Q2 (     (2)       ) T T U ][ U ] [ U ] ( 2Q ) [ U ] [                         = [ E ] − + = [E]   Q Q Từ đây ta thấy [H] cũng là ma trận trực giao.    Cho [X] là vec tơ bất kỳ và khảo sát phép biến đổi [H][X]. Chọn:    [U] = [X] + k[I1]                  (3)  Trong đó:    k = ± [X]     [I1 ] = ⎡⎣1 T L ⎤⎦             Ta có:    T T ⎧⎪ ⎛ [ U] ([ X ] + k [ I1 ]) ⎫⎪ U ][ U ] ⎞ [ [ H][ X ] = ⎜ [E] − ⎬[ X ]   ⎟ [ X ] = ⎨[ E ] − Q Q ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎪⎭ [ U ] ([ X ]T[ X ] + k [ I1 ] [ X ]) T = [X] −   Q Nhưng:    = [X] − ( [ U ] ( k + k[ X1 ]) Q )   2Q = ([ X ] + k [ I1 ]) ([ X ] + k [ I1 ]) = [ X ] + k [ X ] [ I1 ] + [ I1 ] [ X ] + k [ I1 ] [ I1 ]   T T T T = k + 2kx1 + k = 2(k + kx1 )   Như vậy:    [ H][ X ] = [ X ] − [ U ] = −k [ I1 ] = ⎡⎣−k 0 L 0⎤⎦   T     (4)  nghĩa là phép biến đổi loại trừ tất cả các phần tử của [X] trừ phần tử đầu tiên.  2.  Biến  đổi  Householder  một  ma  trận  đối  xứng:  Bây  giờ  ta  áp  dụng  phép  biến đổi cho ma trận [A] đối xứng:  ⎡ [ ]T ⎤ ⎡ a11 [ X ]T ⎤ ⎡ a11 [ X ]T ⎤     (5)  ⎡⎣P1 ⎤⎦[ A ] = ⎢ ⎥=⎢ ⎥    ⎥⎢ ′ ′ X A H X H A H [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 60 Trong đó [X] là cột đầu tiên của [A] với phần tử đầu tiên bị bỏ đi. [A’] có được  từ [A] bằng cách bỏ đi cột và hàng đầu tiên. Ma trận [H] cấp (n ‐1) được xây  dựng  theo  các  cơng  thức  (1)  ÷  (3).  Do  (4)  ta  thấy  phép  biến  đổi  này  làm  cột  đầu tiên của [A] trở thành:  ⎡a11 ⎤ ⎢ −k ⎥ ⎡ a11 ⎤ ⎢ ⎥   ⎢ H H ⎥ = ⎢ ⎥    ⎣[ ][ ]⎦ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Phép biến đổi:    ⎡ a   ⎡⎣P1 ⎤⎦[ A ]⎡⎣P1 ⎤⎦ = ⎢ 11 ⎣⎢[ H ][ X ] ([H][ X ]) ⎤ → [ A]   ⎥ [ H ][ A′][ H ]⎦⎥ T       (6)  sẽ đường chéo hố hàng đầu tiên và cột đầu tiên của ma trận [A]. Sơ đồ biến  đổi của ma trận 4×4 là:              1  0  0  0  a11  a12  a13  a14  0 a11  ‐k  0    0  ‐k  a21    [Q][A’]  ×   ×   =   [Q]  [Q] 0  0  a31  [A’]   [Q]    0  0  a41    Hàng và cột thứ 2 của ma trận [A] được biến đổi tiếp bằng cách dùng phép  biến đổi đối với phần bên phải, phía dưới của ma trận. Phép biến đổi này có  thể biểu diễn bằng  [ P2 ][ A ][ P2 ] → [ A ] , trong đó:  ⎡[ E ] [ ]T ⎤                 (7)  [P2 ] = ⎢ ⎥  H [ ] [ ] ⎣ ⎦ với [E2] là ma trận đơn vị 2×2 và [H] là ma trận (n ‐ 2)×(n ‐ 2) có được bằng  cách chọn [X] từ (n ‐ 2) phần tử phía dưới của cột thứ 2 của ma trận [A]. Thực  hiện (n ‐ 2) phép biến đổi:  ⎡[ Ei ] [ ]T ⎤   [Pi ] = ⎢ ⎥       i = 1, 2, , n ‐ 2  H [ ] [ ] ⎣ ⎦ để có được ma trận ba đường chéo(tridiagonal). Ta có:  61 T ⎛ U ][ U ] ⎞ [ A′][ U] U T = A′ − V U T   [   [ ] [ ] [ ][ ] [ A′][H] = [ A′]⎜ [E] − ⎟ = [ A′] − Q Q ⎝ ⎠ Trong đó:  [ A′][ U]                     (8)  [V] = Q Do vậy:  T ⎛ U ][ U ] ⎞ [ T ′   [ H ][ A ][ H ] = ⎜ [ E ] − ⎟ [ A′] − [ V ][ U ]   Q ⎝ ⎠ T U ][ U ] [ T ′                        = [ A ] − [ V ][ U ] − [ A′] − [ V ][ U ]T   Q ( ) (                = [ A′] − [ V ][ U ] − T ) [ U ] ([ U ]T [ A′]) [ U ]([ U]T [ V ])[ U]T + Q Q              = [ A′] − [ V ][ U ] − [ U ][ V ] + 2g [ U ][ U ]   T T T Trong đó:  T U] [ V] [ g=           2Q Đặt: [W] = [V] ‐ g[U]          Ta thấy ngay phép biến đổi có dạng:    [ H][ A′][ H] = [ A′] − [ W ][ U ]T − [ U ][ W ]T             (9)          (10)          (11)  Thuật tốn có thể tóm lại như sau:    ‐ Cho [A’] là ma trận vng cấp (n ‐ i) có được từ phần dưới bên phải  của ma trận [A]  ‐ Đặt  ⎡⎣ X ⎤⎦ = ⎡⎣a i+1,i T   a i+ ,i L a n ,i ⎤⎦   ‐ Tính  [ X ]  Cho k =  [ X ]  nếu x1 > 0 và k = ‐ [ X ]  nếu x1