toc3a1n-tc3a0i-chc3adnh-21-11-17

CHƯƠNG TỐN CHO TÀI CHÍNH Lãi suất 1.1 Dãy số, chuỗi số 1.1.1 Dãy số Khái niệm Một dãy số danh sách số viết theo trật tự định a1 , a2 , a3 , a , an , Ta gọi: a1 số hạng thứ nhất, a2 số hạng thứ hai, …, an số hạng thứ n dãy số Với số nguyên dương n, có mối quan hệ hàm số n an, Do đó, dãy số định nghĩa hàm số với tập xác định số nguyên dương Khi ta có: an  f  n  Người ta gọi an số hạng tổng quát dãy số, dãy số hoàn toàn xác định biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát an Ta thường ký hiệu dãy số a1 , a2 , a3 , a , an , sau: an  hay an n1  Ví dụ 1.1 Dãy số xác định theo cơng thức số hạng tổng qt an Ví dụ sau định nghĩa dãy số theo cách:   n  a)    n  n1 an  n n 1    1n  n  1  b)   3n  n1 c)   n3  n 3  n 1  ,   , , , , , n 1  2  1  n  1  n an 3n an  n  3, n  n  n  d) cos  an  cos , n  n   0,1, n  2 4 1  n  1   ,   , , , , , 27 81 n    2, 3, , n  3,  n    , ,0, ,cos ,  1,    2  Chú ý n khơng thiết phải Ví dụ 1.2 Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số sau: 1|Page  4 6  , , , ,   ,  25 125 625 3125  Giải 4 6 Ta có: a1  , a2  , a3  , a4  , a5  25 125 625 3125 Nhận xét Tử số tăng dần, lần tăng đơn vị Số hạng 3, số hạng thứ … nên tổng quát  n   Mẫu số lũy thừa nên có dạng tổng quát 5n Dấu phân số đan xen nên ta cần nhân với lũy thừa (-1) Do số hạng mang dấu dương nên ta nhân với  1 n1 Như vậy, số hạng tổng quát có dạng sau: an   1 n 1  n  2 5n Ví dụ 1.3 Một số dãy số khơng có cơng thức số hạng tổng qt đơn giản a) Dãy số  pn  pn dân số giới vào ngày 1/1 năm thứ n b) Gọi bn số thập phân thứ n số e Khi ta có dãy sau: 7,1,8, 2,8,1,8, 2,8, 4,5,  c) Dãy Fibonacci xác định công thức truy hồi, số hạng xác định hai số hạng trước f1  1, f  1, f n  f n 1  f n 2  n  3 Một vài số hạng ban đầu dãy là: 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,  Ví dụ 1.4 Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: a)3,6,9,12, b)1,  2,4,  8, 1.1.2 Chuỗi số Khái niệm Cho dãy số thực u1, u2, u 3, , un , Biểu thức u1 u2 u3 un gọi chuỗi số Các số u1, u2, u 3, , un , gọi số hạng chuỗi số 2|Page Số un gọi số hạng tổng quát chuỗi Nếu dãy số hữu hạn ta có chuỗi số hữu hạn, ngược lại, dãy số vơ hạn ta có chuỗi số vô hạn Chuỗi số thường biểu diễn dạng ngắn gọn dạng tổng sigma sau : k2 a) 02 12 22 32 42 b) k 4k 13 17 21 25 k Các số hạng bên phải chuỗi thu từ biểu diễn bên trái thay số k tổng số nguyên, bắt đầu với số hạng ký hiệu tổng ∑ kết thúc với số phía ký hiệu ∑ Chỉ số đại diện biểu diễn ký tự khác thay k bắt đầu bắt số nguyên kết thúc với số nguyên lớn số bắt đầu Nếu ta có dãy số vơ hạn sau: 1 1 , , , , n 2 Thì chuối số tương ứng là: n 2n j 1 2j Trong trường hợp ta dùng ký tự j để thể số tổng Ví dụ 1.5 Hãy viết chuỗi k k Ta có : k Hay k k2 k k 12 k k 2 thành dạng tổng số hạng Không cần tính tổng 22 10 17 32 42 52 26 Nếu số hạng chuỗi số đan dấu với nhau, ta gọi chuỗi số chuỗi đan dấu Ví dụ 1.6 Hãy viết chuỗi đan dấu sau dạng tổng sigma với : 10 12 a) Chỉ số tổng k b) Chỉ số j 3|Page Giải a) Ta có : b) Ta có : 2 4 10 12 10 12 k k 2k j j j 1.1.3 Cấp số cộng cấp số nhân Định nghĩa Một dãy số a1, a2, a 3, , an , gọi cấp số cộng (arithmetic sequence) tồn số k, gọi cơng sai, cho: an Có nghĩa là: an an d n an d 1 Định nghĩa Một dãy số a1, a2, a 3, , an , gọi cấp số nhân (geometric sequence) tồn số r khác 0, gọi cơng bội, cho: Có nghĩa là: an r an n an an r Ví dụ 1.7 Trong dãy số sau đây, dãy bao gồm số hạng cấp số cộng ? Hoặc cấp số nhân ? a )1, 2, 3, 5, c)3, 3, 3, 3, b) 1, 3, 9, 27, d )10, 8.5, 7, 5.5, Công thức số hạng thứ n (số hạng tổng quát)  Số hạng tổng quát cấp số cộng : an a1  Số hạng tổng quát cấp số nhân : an a1r n n 1d n n 1 Ví dụ 1.8 a) Giả sử số hạng thứ số hạng thứ 100 cấp số cộng 30 Hãy tìm số hạng thứ 40 dãy số b) Giả sử số hạng thứ số hạng thứ 100 cấp số nhân 30 Hãy tìm số hạng thứ 40 dãy số 4|Page Tổng thứ n cấp số cộng Cho cấp số cộng a1, a2, a 3, , an , với cơng sai d Khi đó: Sn a1 a2 a3 an gọi tổng n số hạng cấp số n 2a Ta có: Sn n d hay Sn n a an Tổng thứ n cấp số cộng Cho cấp số nhân a1, a2, a 3, , an , với cơng bội r Khi đó: Sn a1 Ta có: Sn a2 a3 an gọi tổng n số hạng cấp số a1 r n r 1 r hay Sn ran a1 r r Tổng vô hạn cấp số nhân  Khi công bội r thỏa mãn  Trường hợp r hay r r 1 ta có: S a1 r r 1 cấp số nhân khơng có tổng vơ hạn Ví dụ 1.9 Một người mượn 3600$ đồng ý trả nợ khoản vay hàng tháng vòng năm Thỏa thuận phải trả 100$ tháng cộng thêm 1% số dư chưa tốn Tổng chi phí khoản vay vòng năm ? Giải Ta lập sơ đồ sau : Tổng chi phí khoản vay : 1+2+3+…+35+36 Đây tổng cấp số cộng hữu hạn với n=36, a1=1 d=1 Vậy : Sn n a an 36 36 666 ($) 5|Page Ví dụ 1.10 Chính phủ định chương trình giảm thuế nhằm kích thích kinh tế Giả sử bạn nhận 1.200 đô la bạn chi tiêu 80% số tiền này, người nhận số tiền bạn chi tiêu chi tiêu 80% số tiền họ nhận được, giả sử q trình tiếp tục mà khơng có kết thúc Theo nguyên tắc nhân kinh tế, tác động việc giảm cho bạn 1.200 USD tiền thuế kinh tế nhân lên gấp nhiều lần Tổng số tiền chi tiêu trình tiếp tục nêu? Giải Ta cần tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn với số hạng (số tiền chi tiêu ban đầu) a1 0.8 * 1200 960 công bội r Sử dụng cơng thức ta có: S 960 0.8 0.8 4.800 $ Như trình chi tiêu tiếp diễn giảm 1200$ tiền thuế mang 4800$ tổng chi tiêu kinh tế 1.2 Lãi đơn, lãi gộp 1.2.1 Các khái niệm lãi a Lãi tức (tiền lời) (Interest) Trong lĩnh vực tín dụng, lãi số tiền mà người sử dụng vốn (người vay) phải trả cho người chủ sở hữu vốn (người cho vay) để sử dụng vốn thời gian định Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, lãi số tiền chênh lệch dương giá trị thu vốn đầu tư ban đầu Lãi xuất sau thời gian đầu tư định Nói cách khác, lãi kết tài cuối trình đầu tư Số tiền lãi phụ thuộc vào: số vốn gốc; thời gian đầu tư; lãi suất; rủi ro b Lãi suất Khi lãi tức biểu thị theo tỷ lệ phần trăm số vốn ban đầu cho đơn vị thời gian gọi lãi suất 6|Page Lãi suất thể quan hệ tỷ lệ lãi tức đơn vị thời gian với vốn gốc thời gian Lãi suất suất thu lợi vốn đơn vị thời gian Ví dụ 1.11 Đầu tư 100 triệu đồng sau năm thu 112 triệu đồng Như sau năm nhà đầu tư lãi 12 triệu đồng lãi suất 12%/năm 12%  12.000.000 100% 100.000.000 c Sự tương đương Từ lãi suất thiết lập khái niệm tương đương Đó số tiền khác thời điểm khác nhau giá trị kinh tế Ví dụ 1.12 Nếu lãi suất 12%/năm triệu đồng hôm tương đương với 1,12 triệu đồng sau năm d Lãi đơn (Simple Interest) Khi lãi tức tính theo số vốn gốc ban đầu suốt thời hạn vay ta gọi lãi đơn Nói khác đi, số lãi tính theo tỷ lệ phần trăm vốn gốc lãi đơn Trong khái niệm này, có vốn sinh lời cịn lãi khơng sinh lợi Lãi đơn thường áp dụng nghiệp vụ tài ngắn hạn e Lãi ghép (Compound Interest) Việc tính lãi tức cách lấy lãi kỳ trước nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau phương pháp tính theo lãi kép Số tiền lãi thu theo phương pháp gọi lãi kép Đặc điểm lãi kép vốn sinh lãi mà lãi sinh lãi (lãi mẹ đẻ lãi con) Lãi kép thường áp dụng nghiệp vụ tài dài hạn f Lãi suất thực trả lãi suất danh nghĩa Thông thường giá trị lãi suất tiền lãi thời đoạn năm hay gọi thời đoạn phát biểu lãi năm Trên thực tế, thời đoạn phát biểu lãi năm Ví dụ 1.13 Lãi suất 12%/năm, ghép lãi theo quý, tháng tính lãi lần + Thời đoạn phát biểu lãi: năm 7|Page + Thời đoạn ghép lãi: quý + Thời đoạn trả lãi: tháng Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi lãi suất thực Nếu thời đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn ghép lãi lãi suất danh nghĩa Lãi suất danh nghĩa thời kỳ = Lãi suất danh nghĩa thời đoạn x Số thời đoạn thời kỳ Ví dụ 1.14 a) Lãi suất danh nghĩa 3%/quý lãi suất danh nghĩa theo năm là: 3% x 4=12%/năm b) Lãi suất i=12%/quý lãi suất thực 12% ghép lãi theo quý c) Lãi suất i=20%/năm, ghép lãi theo quý Đây lãi suất danh nghĩa thời đoạn ghép lãi quý Lãi suất thực 5%/quý 1.2.2 Lãi đơn Công thức tính lãi đơn: I  P.r.t Trong đó:  I: lãi tức đơn (Interest)  P: giá trị hay vốn gốc (Principal Value)  r: lãi suất tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng …) (Interest Rate)  t: số thời đoạn vay Ví dụ 1.15 Một người vay triệu đồng với lãi suất đơn 4%/tháng trả vốn lẫn lãi sau tháng Hỏi phải trả tiền? Giải Số tiền lời tháng: I  P.r.t  1000000  0,04   240.000 (đồng) Số tiền phải trả: F  P  I  1.240.000 (đồng) Chú ý:  F số tiền tương lai (Future Value) hay giá trị đạt  Dễ thấy F  P  I  P 1  r.t  Ví dụ 1.16 a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi có kỳ hạn tháng với lãi suất 1%/tháng Xác định giá trị đạt số lãi vào cuối đợt đầu tư tháng? 8|Page b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau thời gian thu vốn lẫn lời 118 triệu vào cuối đợt đầu tư Hỏi thời gian đầu tư bao lâu? Giải a) F  P 1  r.t   100 1  1%.6   106 (triệu) Lãi tức tháng là: I  P.r.t  100.1%.6  (triệu) b) F  P 1  r.t   118  100 1  0,12.t   t  1,5 (năm) 1.2.3 Lãi kép (lãi gộp) Công thức Gọi P vốn gốc r lãi suất tính theo năm, ghép lãi theo năm Ta có tổng vốn tích lũy:  Đến cuối năm thứ 1: P1  P 1  r   Đến cuối năm thứ 2: P2  P1.1  r   P.1  r  P3  P2 1  r   P.1  r   Đến cuối năm thứ 3:  ……………………………………………………… n Pn  Pn1.1  r   P 1  r   Đến cuối năm thứ n: Vậy giá trị tương lai số vốn gốc P sau n năm là: F  P 1  r  n Ví dụ 1.17 Nếu số tiền 1000$ đầu tư với lãi suất 8%/năm, ghép lãi theo năm sau năm tổng vốn tích lũy gồm vốn lẫn lãi bao nhiêu? Giải Nếu tính theo lãi kép: F  P 1  r   1000.1  0,08  1469,33  $  n Nếu tính theo lãi đơn: F  P 1  r.t   1000 1  0,08.5   1400  $  Một số công thức: a Tính vốn gốc: P  F 1  r  n b Tính thời gian đầu tư: n  log  F / P  log 1  r  c Tính lãi suất đầu tư: r  F 1 P n 9|Page Ví dụ 1.18 a) Đầu tư khoản tiền với lãi suất 10%/năm Sau năm thu vốn lẫn lời 146,41 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏi vốn đầu tư ban đầu bao nhiêu? b) Đầu tư khoản 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm Sau thời gian thu vốn lẫn lời 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏi thời gian đầu tư bao lâu? c) Đầu tư khoản tiền 100 triệu với lãi suất 10%/năm Sau năm thu vốn lẫn lời 214,358881 triệu (tính theo lãi kép) Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời đầu tư) bao nhiêu? Giải a) Áp dụng công thức: P  F 1  r  b) Áp dụng công thức: r  c) Ta có: r  n n  146, 411  0,1  100 (triệu) 4 log  F / P  log 161,051/ 100    (năm) log 1  r  log 1  0,1 F 214,358881 1    10% P 100 Ví dụ 1.19 So sánh lãi đơn lãi kép Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực 12%/năm Hãy tính : a) Lãi đơn giá trị đạt sau khoảng thời gian: tháng; năm; năm b) Lãi kép giá trị đạt sau khoảng thời gian: tháng; năm; năm c) Vẽ đồ thị lãi suất Giải a) Theo cách tính lãi đơn: 6  + Sau tháng: F  P 1  r.t   200 1  12%   212 12   I  F  P  12 + Sau năm: F  P 1  r.t   200 1  12%.1  224 I  F  P  24 + Sau năm: F  P 1  r.t   200 1  12%.3  272 I  F  P  72 b) Theo cách tính lãi kép: + Sau tháng: F  P 1  r   200 1  12%  n 1/2  211,66 I  F  P  11,66 10 | P a g e