phuong-trinh-luong-giac

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Dạng tốn 1: Phương trình lượng giác Phương trình: sin x = m (1) * Nếu: m   Phương trình vơ nghiệm    * Nếu: m      − ;  sin  = m  2  x =  + k2 ( k  (1)  sin x = sin     x =  −  + k2 )    −    Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 ta viết  = arcsin m sin  = m  *Các trường hợp đặc biệt:  sin x =  x = + k2  sin x = −1  x = − + k2 sin x =  x = k Phương trình: cos x = m (2) * Nếu: m   phương trình vơ nghiệm * Nếu: m   [0; ] : cos  = m  x =  + k2  (2)  cos x = cos    ( k  Z )  x = − + k2 0  −   Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  ta viết  = arccos m cos  = m * Các trường hợp đặc biệt: cos x =  x = k2 cos x = −1  x =  + k2  cos x =  x = + k Phương trình : tan x = m (3)    Với m     − ;  : tan  = m  2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  (3)  tan x = tan   x =  + k    −    Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 ta viết  = arctanm tan  = m  * Các trường hợp đặc biệt:  tan x =  x = + k  tan x = −1  x = − + k tan x =  x = k Phương trình: cot x = m (4)   Với m    (− ; ) : cot  = m 2  (4)  cot x = cot   x =  + k    −    Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 ta viết  = arccot m cot  = m  * Các trường hợp đặc biệt:  cot x =  x = + k  co t x = −1  x = − + k  cot x =  x = + k Ghi chú:  u = v + k2 * sin u = sin v   * (k  )  u =  − v + k2 cos u = cos v  u = v + k2 (k  ) u = v + k  (k,n  ) * tan u = tan v    u,v  + n   u = v + k (k,n  ) * cot u = cot v   u,v  n Dạng Phương trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng: a sin x + bcos x = c (1) ; với a,b,c  a + b2  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Cách giải: Chia hai vế cho cos  = a a + b2 ;sin  = a2 + b2 đặt b a + b2  (1)  sin x.cos  + cosx.sin  = c a +b 2  sin(x + ) = c a + b2 (2) Chú ý: • (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a2 + b2  c2 1   cos x  = sin(x − ) • sin x  cos x =  sin x − 2      • sin x  cos x =  sin x  cos x  = sin(x  )      sin x  cos x  = sin(x  ) • sin x  cos x =    Dạng Phương trình bậc hai chứa hàm số lượng giác sin u(x)  sin u(x)      cos u(x)  cos u(x)  Là phương trình có dạng : a  + b +c=0  tan u(x)   tan u(x)      cot u(x)  cot u(x)  sin u(x)    cos u(x)   Cách giải: Đặt t = ta có phương trình : at + bt + c =  tan u(x)   cot u(x)  Giải phương trình ta tìm t , từ tìm x sin u(x)  Khi đặt t =   , ta co điều kiện: t  −  1;1 cos u(x) Dạng Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f(sin x,cos x) = luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tanx Dạng Phương trình đối xứng (phản đối xứng) sinx cosx Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = (3) Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  t2 − = sin x cos x     t = sin x + cos x = sin  x +    4    t  − 2;     Thay (5) ta phương trình bậc hai theo t Ngồi cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x) + bsin xcos x + c = (3’) Để giải phương trình ta đặt t   − 2;        t = sin x − cos x = sin  x −    − t2 4   sin x cos x =  Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề Giải phương trình lượng giác Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: sin x − cos 2x = cos2 x − sin 2x = 2sin(2x − 350 ) = sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = Lời giải  Phương trình  cos 2x = sin x = cos( − x)   2   x = + k  2x = − x + k2   , k  x = −  + k2   2x = −  + x + k2   2 Phương trình cos2 x − 2sin xcos x = cos x = cos x =  cos x(cos x − sin x) =     tan x = sin x = cos x      x = + k  ,k   x = arctan + k  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí = sin 60  950 + k.1800 x =  2x − 350 = 600 + k3600     2x − 350 = 1800 − 600 + k3600 1550 + k.180 x =  Phương trình  sin(2x − 350 ) =   Phương trình  cos(3x − 1) = sin( −2x − 1) = cos  + 2x +  2       x = + + k2   3x − = + 2x + + k2     x = −  + k 2  3x − = −  − 2x − + k2    10 Ví dụ Giải phương trình sau: cos x − sin 2x = sin3 xsin 3x − cos3 xcos 3x = − sin2 2x = cos2 2x + cos 3x sin 2x.cos 3x = sin 5x.cos 6x sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x cos2 3xcos 2x − cos2 x = Lời giải Phương trình  cos x − 4sin xcos x =  cos x(1 − 4sin x) =   cos x =  x = + k   sin x =  x = arcsin + k2 ,x =  − arcsin + k2    4 3sin x − sin 3x cos 3x + 3cos x Ta có sin3 x = ; cos3 x = 4 Nên phương trình cho tương đương với sin 3x ( 3sin x − sin 3x ) − cos 3x ( cos 3x + 3cos x ) = −  ( sin 3xsin x − cos 3xcos x ) − = −    −3cos 4x = −  cos 4x =  x =  + k , k  2 12 Phương trình  sin2 2x − cos2 2x = cos 3x  cos4x = − cos3x = cos (  − 3x ) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí   2  4x =  − 3x + k2 x= +k   7   4x = − + 3x + k2  x = − + k2 1 Phương trình  sin 5x − sin x  = sin11x − sin x  2     sin 5x = sin11x  x = k x = +k 16 Phương trình  (sin x + sin 3x) + sin 2x = (cos x + cos 3x) + cos 2x  sin 2x cos x + sin 2x = cos 2x cos x + cos 2x  2   x =  + k2  cos x = −   (2cos x + 1)(sin 2x − cos 2x) =       x= +k sin 2x = cos 2x  Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có: − cos6x + cos8x − cos10x + cos12x Phương trình  − = − 2 2  cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x    x = + k cos x =   cos7x cos x = cos11x cos x   x = k  ; x = k  cos11x = cos7x  Phương trình  (1 + cos6x)cos 2x − − cos 2x =  cos 6x.cos 2x − =  cos 8x + cos 4x − =  2cos2 4x + cos 4x − =  cos 4x =  x = k  Nhận xét: * Ở cos 6x.cos 2x − = ta sử dụng công thức nhân ba, thay cos6x = 4cos3 2x − 3cos 2x chuyển phương trình trùng phương hàm số lượng giác cos 2x * Ta sử dụng cơng thức nhân từ đầu, chuyển phương trình cho phương trình chứa cosx đặt t = cos2 x Tuy nhiên cách trình bày đẹp sử dụng cơng thức hạ bậc cơng thức biến đổi tích thành tổng Ví dụ Giải phương trình sau: 3sin x + cos x = sin 2x + cos 2x = 2sin 3x + cos 3x = 3cos x + sin x = sin7x − cos 2x = 3(sin 2x − cos7x) sin 3x − cos 3x = 2sin 2x Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí sin x + cos xsin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) Lời giải Phương trình  3sin x = −4cos x  tan x = −  4  x = arctan  −  + k  3    Phương trình  2sin(2x + ) =  sin(2x + ) = = sin 3       2x + = + k2  x = − 12 + k   , k  2x +  = 5 + k2   x =  + k   Ta có 22 + ( 5) =  52  phương trình vơ nghiệm Phương trình  cos x + sin x = x=   arccos + k2  , k    cos(x − ) = 3 Phương trình  sin7x + cos7x = sin 2x + cos 2x       7x − = x − + k2  x = − 36 + k    cos(7x − ) = cos(x − )    , k 7x −  = −x +  + k2 x =  + k    16    3x − = 2x + k2   Phương trình  sin(3x − ) = sin 2x    3x −  =  − 2x + k2      x = + k2  , k  x = 4 + k 2  15 3 Phương trình  sin x + sin 3x + cos 3x = 2cos 4x + sin x − sin 3x 2 2    x = − + k2    sin 3x + cos 3x = 2cos 4x  cos(3x − ) = cos 4x    x =  + k 2  42 Ví dụ Giải phương trình sau: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí   tan  ( sin x + 1)  =   cos( sin x) = cos(3 sin x) Lời giải sin x = k  3 sin x =  sin x + k2 Phương trình    sin x = n  3 sin x = − sin x + n2  • Xét phương trình sin x = k Do k  −1  sin x  nên ta có giá trị k : −1,0,1  Từ ta có nghiệm: x = m,x = + m, m  n • Xét phương trình sin x = Ta có giá trị n là: n = 2,n = 1,n =   Từ ta tìm nghiệm là: x = + l,x = l,x =  + l, l  Vậy nghiệm phương trình cho là:   x = m,x = + m,x =  + m m    Phương trình  ( sin x + 1) = + k 4  sin x + = + 4k  sin x = 4k  sin x =  x = m , m Ví dụ Giải phương trình sau: ( ) − sin x + ( ) + cos x = 2 sin 2x 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos 2x = 4sin 2x sin x − = (1 − sin x ) tan x x  x sin  −  tan x − cos =   Lời giải Phương trình  sin x + cos x + cos x − sin x = 2 sin 2x   7  sin(x + ) + cos(x + ) = sin 2x  sin(x + ) = sin 2x 6 12  7  7  x = 12 + k2  2x = x + 12 + k2     x = 5 + k   2x =  − x −  + k2    36 12 Phương trình cho tương đương với 3sin2 x + 5cos2 x − 2(cos2 x − sin2 x) = 8sin xcos x Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  5sin2 x − 8sin xcos x + 3cos2 x =  5tan2 x − 8tan x + =  tan x = tan x =  + k x = arctan + k  Điều kiện : cos x   x  + k x= Phương trình  5sin x − = 3(1 − sin x)  5sin x − = 3(1 − sin x) sin x cos2 x sin2 x − sin x sin x  (5sin x − 2)(1 + sin x) = 3sin x + sin x    x = + k2    2sin x + 3sin x − =  sin x = = sin    x = 5 + k2    Điều kiện : cos x   x  + k  5sin x − =    sin x − (1 + cos x) = Phương trình  1 − cos(x − )  cos2 x   (1 − sin x)  sin x − sin x − (1 + cos x) = sin x − (1 + cos x) = + sin x  (1 − cos2 x) − (1 + cos x)(1 + sin x) =  x = k2 cos x =   (1 − cos x)(cos x − sin x) =      tan x =  x = + k  Ví dụ Giải phương trình sau: sin3 x + cos3 x = sin x − cos x sin x + tan x = cos x ( sin x − cos x ) 2cos3 x = sin 3x Lời giải Phương trình  sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  2cos3 x − sin xcos2 x + cos x.sin2 x = ( )  cos x sin x − sin x cos x + cos x =  cos x =  x =  + k (Do sin2 x − sin xcos x + 2cos2 x  x  ) Phương trình  2cos3 x = 3sin x − 4sin3 x  4sin3 x + 2cos3 x − 3sin x(sin2 x + cos2 x) =  sin3 x − 3sin xcos2 x + 2cos3 x =  tan3 x − 3tan x + = (do cos x = không nghiệm hệ)  (tan x − 1)(tan2 x + tan x − 2) =    tan x = x = + k     tan x = −2  x = arctan( −2) + k Điều kiện: cos x  Phương trình  tan2 x + 3tan x(1 + tan2 x) = 4tan x −  3tan3 x + tan2 x − tan x + =  (tan x + 1)(3tan2 x − 2tan x + 1) =   tan x = −1  x = − + k Ví dụ Giải phương trình sau: sin2 x − 5sin xcos x − 6cos2 x = sin2 x − 3sinx.cosx = −1 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos 2x = 4sin 2x sin3 x + cos3 x = sin x − cos x Lời giải Nhận thấy cos x = khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:   t =tan x  tan x = −1 x = − + k tan x − tan x − =      tan x = x = arctan + k   Phương trình  sin2 x − 3sin x.cos x = −(sin2 x + cos2 x)  2sin2 x − 3cos xsin x + cos2 x = Do cos x = không nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 13 sin6 x + cos4 x = cos2x 12 2cos2 3x 4x + = 3cos 5     14 sin x + cos4 x = cot  x +  cot  − x  + sin 2x 3  6  Bài 16 Giải phương trình sau: 1 + tan x = sin 2x 2 cot x − tan x + 4sin 2x = 6 sin 2x sin x + cos x = sin 2x   cos4 x + sin4 x + cos(x − )sin(3x − ) − = 4 Bài 17 Giải phương trình sau: 11x 9x sin2 2x.cos6x + sin 3x = sin sin 2 2 − 2 ( sin 2x + cos 2x )  = tan (x − ) sin 4x 1+sinx + cosx + sin2x + cos2x = cos2 x(cos x − 1) = 2(1 + sin x) 3cot x + 2 sin2 x = (2 + 2)cos x sin x + cos x sin 2x − cos 2x = sin x + cos x − Bài 18 Giải phương trình sau: sin4 x + cos4 x 1 ( A1 – 2002 ) = cot 2x − 5sin 2x sin 2x ( 2cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( D – 2004 ) 2(sin6 x + cos6 x) − sin xcos x − sin x = ( A – 2006 ) x cot x + sin x(1 + tan x tan ) = (B – 2006 ) x  x sin  −  tan x − cos = ( D – 2003 ) 2 4 cotx − tanx = sinx + cosx  sinx.sin4x = 2cos( − x) − cosx.sin4x t an x + = (2 − sin x)sin 3x cos4 x x  (2 − 3)cos x − sin ( − ) =1 cos x − Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí x 3 − cos 2x = + 2cos2 (x − ) 11 3sin x + cos x = + tan x + tan x + tan x + cot x + = 12 sin x 10 4sin2 13 sin2 x + sin2 3x − 3cos2 2x =  3 x    3x  −  = sin  + 14 sin    10   10   (1 + sin x + cos 2x)sin(x + ) = cos x 15 + tan x 16 (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x − sin x = 17 sin 2x − cos 2x + 3sin x − cos x − = (1 − sin x)cos x = 18 (1 + sin x)(1 − sin x) 19 sin x + cos xsin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) 20 cos 5x − 2sin 3xcos 2x − sin x = Bài 19 Giải phương trình sau 2cosx + tanx = + 2sin2x 8 3cotx − tanx = 8sin(x − ) 3 sin 3x = cos x.cos 2x(tan 2x + tan2 x) 2(sinx − cosx)2 (1 + 2sin2x) = − tanx sin3x + sin5x   sin(2x − )cos 2x − 2 sin(x − ) = 4 cos2 2x + cos4x(tan2x.cotx − 1) = − 4 cosx − 2cos3x = + 3.sinx     sin x + sin  x +  + sin 4x = sin  2x −  3       −  cos 2x = sin x − + sin x  sin x  10 (sin x − 2cos x)cos 2x + sin x = (cos 4x − 1)cos x + cos 2x 2sin x Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  cos 4x + sin 2x    11   = 2 sin  x +  + 4  cos 3x + sin 3x   3+ 2−3 sin 2x.cos 2x + cos 2x 2 13 sin3x + cos 3x + cos 2x − sin 2x − sin x − =   14 sin x sin 4x = 2 cos  − x  − cos x sin x cos 2x 6  12 sin x + cos x = 15 ( cos 2x − 1) cos x − sin x = ( sin x + cos x ) sin 3x 16 tan2 x + = (1 + sin x)(tan x + cosx) − cos x.cos 2x − = 4sin2 x − sin x − sin 2x cos x Bài 20 Giải phương trình sau: 17  sinx.sin4x = 2cos( − x) − cosx.sin4x cosx − 2cos3x = + 3.sinx sin3 x.cos 3x + cos3 xsin 3x = −3 4 2sin 2x + (2 − 3)sin x + (2 − 3)cos x = − x  sin x + sin  −  = sin 3x 2 4 sin x + − sin2 x + sin x − sin2 x = sin10 x + cos10 x sin6 x + cos6 x = 4 cos2 2x + sin 2x ( cos 3x + − cos 3x = + sin 2x ) sin2 x + sin2 y + sin2 ( x + y ) = Bài 21 Giải phương trình sau sin3 x − cos3 x = sin xcos2 x − sin xcos x ( ) ( ) + sin x cos x + + cos2 x sin x = + sin 2x 2sin2 2x + sin7x − = sin x  x x  sin + cos  + cos x = x 2  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí + sin2x + cos2x = 2sinxsin2x + cot x sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x sin 2x + cos x − sin x − =0 tan x +   sin  3x +  4    = cot  x +  sin x + cos x 4  Bài 22 Giải phương trình sau 1 − cos x + cos x cos 2x = sin 4x ( ) sin x = + cos x + − cos x cos x sin x + sin x + sin2 x + cos x = 1 − sin x + + sin x = 2cos x cos2 2x + sin2 4x + = sin 4xcos 2x + sin x 4 sin14 x + cos13 x = tan x + tan y + cot ( x + y ) = 1 sin2 x + sin2 3x = sin xsin 3x 4    tan x + cot x  = sin4 x + cos4 x   2     10  cos2 x + +  sin x + = 12 + sin y   cos x   sin x   Vấn đề Tìm nghiệm phương trình lượng giác Các ví dụ Ví dụ Tìm tổng nghiệm khoảng ( −; ) phương trình:   sin(3x + ) = cos(2x − )  sin2 2x = cos2 (3x − ) Lời giải    3  − 2x  Phương trình  sin  3x +  = sin  3    Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí   3   k2   3x + = − 2x + k2   x = 12 +    3x +  =  + 2x + k2   x = −  + k2   12  Do x  ( −;  ) nên ta có: 43 19  29 53  ,x = − ,x = ,x = ,x = ,x = − 60 60 12 60 60 12  Vậy tổng nghiệm ( −; )   Phương trình  cos  6x −  = − cos 4x = cos (  + 4x ) 4  x=−  5    x = + k 6x − = 4x +  + k2     x = −  + k 6x −  = −4x −  + k2   40  Các nghiệm nằm ( −; ) phương trình là: 5 7 27  19 11 3  ,x = − ,x = − ,x = − ,x = − ,x = − ,x = , 8 40 40 40 40 13 21 29 37  x= ,x = ,x = ,x = 40 40 40 40 7 Vậy tổng nghiệm thuộc ( −; ) là: x= Ví dụ Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình sau: sin2 2x + cos2 5x = (sin x + cos x)2 = 2cos2 3x Lời giải − cos 4x + cos10x + =1 2  k x = 10x = 4x + k2   cos10x = cos 4x     x = k 10x = −4x + k2   Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình là:   x = ,x = − 7 Phương trình  + sin 2x = + cos 6x Phương trình  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí   k    x = 16 + 6x = − 2x + k2     cos 6x = sin 2x = cos  − 2x     2   x = −  + k 6x = −  + 2x + k2    Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình   cho là: x = ,x = − 16 Ví dụ Tìm số dương nhỏ phương trình : ( ) ( )    cos    x2 + 2x −   = sin x2    Lời giải 2 sin x = sin   ( x + 1)    ( ) Phương trình sin  (x2 + 2x) = sin x2   2  (x + 2x) = x + k2 x = k     (x2 + 2x) =  − x2 + k2  2x + 2x − 2k − = (1) Từ ta tìm x = −1 +  2k +  x2 = (x + 1)2 + k2 x=−  Phương trình     x2 =  − (x + 1)2 + k2  x + x − k = Nghiệm dương nhỏ phương trình x = − 2k + ,k  x = Nghiệm dương nhỏ phương trình x2 + x − k = là: x = Vậy x = −1 +  2 nghiệm cần tìm Ví dụ   Tìm nghiệm ngun phương trình : cos   3x − 9x + 160x + 800   =  8 Lời giải Phương trình 3x − 9x2 + 160x + 800 = 16k  16k  16k x  x      x = 8k − 25 9x = 24k − 40 − 25   3k +  3k +  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 25   k  0, −2, −10 3k + Thử lại ta có nghiệm nguyên phương trình : x = −7( k = −2), x = −31 (k = −10) Theo tốn suy ra: Ví dụ Tính tổng nghiệm nằm khoảng (0; 2) phương trình sau: ( ) − sin x + ( ) + cos x = 2 sin 2x Lời giải Ta có sin 7 6+ 7 6− = ; cos = 12 12 Nên phương trình cho tương đương với: −1 2 sin x + +1 2 cos x = sin 2x 7 7 + cos x.sin = sin 2x 12 12  7  7  x = 12 + k2  2x = x + 12 + k2 7  sin(x + ) = sin 2x    12  x = 5 + k   2x =  − x −  + k2    36 12 Do x  ( 0; 2) nên phương trình có nghiệm là:  sin x.cos  5 29 53 ; ; ; 12 36 36 36 Vậy tổng nghiệm cần tính là: 3 Chú ý: Ta giải theo cách khác sau Phương trình  sin x + cos x + cos x − sin x = 2 sin 2x   7  sin(x + ) + cos(x + ) = sin 2x  sin(x + ) = sin 2x 6 12 Tiếp tục giải ta kết CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm tổng nghiệm phương trình:    2cos(x − ) = ( −; ) sin(5x + ) = cos(2x − ) 3 [0; ] Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí   sin   3x − 9x − 16x − 80   =     Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: cos (3 − + 2x − x ) = −1 Bài Tìm x  0;14 nghiệm đúng phương trình : cos 3x − cos 2x + 3cos x − = Bài Tìm nghiệm khoảng ( −; ) phương trình : 2(sinx + 1)(sin2 2x − 3sinx + 1) = sin4x.cosx Bài Tìm nghiệm x  ( 0; 2) phương trình : sin 3x − sin x − cos 2x = sin 2x + cos 2x Vấn đề Phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn nghiệm điều kiện lên đưòng tròn lượng giác Ta loại điểm biểu diễn nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn điều kiện Với cách cần ghi nhớ • Điểm biểu diễn cung   + k2 , k  trùng 2k lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n • Để biểu diễn cung  + n giá trị (thường chọn k = 0,1,2, ,n − ) nên ta có n điểm phân biệt cách đường tròn tạo thành đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên k l Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm  +  + , m,n m n biết, cịn k,l  số chạy k l Ta xét phương trình :  + =  +  ak + bl = c (*) n m Với a,b,c số nguyên Trong trường hợp ta quy giải phương trình nghiệm nguyên ax + by = c (1) Để giải phương trình (1) ta cần ý kết sau: • Phương trình (1) có nghiệm  d = (a, b) ước c • Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0 ; y0 ) (1) có vơ số nghiệm Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/