(LUẬN văn THẠC sĩ) về phân tích phổ của hệ động lực tô pô​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TƠ-PƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TƠ-PƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2019 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính giãn đồng phơi 1.2 Tính bóng đồng phơi 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô 3 10 16 Phân tích phổ hệ động lực tơpơ 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tô-pô 23 29 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i download by : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội hoàn thành hướng dẫn TS Lê Huy Tiễn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học khoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bộ mơn Tốn giải tích, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2016-2018), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Hoàng Việt download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu biết đến Issac-Newton, người mà mô tả quy luật chuyển động phát lực hấp dẫn Trong lý thuyết Newton, chuyển động hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi phân Sau đó, cuối kỷ 19, Poincaré phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân Poincaré nghiên cứu tính chất nghiệm thay tìm cơng thức giải tích nghiệm Nhiều năm sau đó, nhà khoa học phát triển lý thuyết nghiên cứu định tính hệ động lực sở lý thuyết tơpơ Trong đó, việc nghiên cứu đồng phơi giãn bóng chủ đề lớn năm qua Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai, tác giả cho liên quan đến tốn ổn định tồn cục hệ động lực Các tác giả tiếp cận tính bóng phương pháp hình học Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề “Về phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi trình bày chi tiết đồng phơi khơng giãn bóng có phân tích phổ Nội dung luận văn chia làm chương Trong đó, • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức đồng phôi giãn không gian mêtric tôpô tính chất liên quan, tính bóng đồng phơi đồng phôi Anosov tôpô download by : skknchat@gmail.com • Chương 2: Phân tích phổ hệ động lực tôpô Các nội dung quan trọng chứng minh chi tiết phân tích phổ theo Smale Bowen trình bày Tài liệu tham khảo khảo hoàn thành luận văn [2] Ngoài ra, tham khảo tài liệu [1], [7] download by : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức hệ động lực, ánh xạ liên tục tính chất hệ Anosov ánh xạ Anosov tơpơ Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày số vấn đề đồng phôi giãn tính chất giả quỹ đạo Các tài liệu tham khảo cho kiến thức chương [2] 1.1 Tính giãn đồng phơi Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất đồng phơi giãn Từ dẫn đến tính chất ánh xạ giãn dương, ánh xạ c-giãn không gian mêtric compact Trong phần này, ta giả thiết không gian pha hệ động lực đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.1 Toàn ánh liên tục f : M → N không gian mêtric gọi đồng phơi đơn ánh ánh xạ ngược f −1 : N → M liên tục Không gian mêtric M gọi đa tạp tôpô n-chiều tồn tập mở Ui ⊂ M đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 tập Ui thành tập mở không gian Rn , cho {Ui } phủ M Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian mêtric với mêtric d Đồng phôi f : X → X gọi đồng phôi giãn tồn số e > cho download by : skknchat@gmail.com với x 6= y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e, với n số nguyên Hằng số e gọi số giãn f Hơn nữa, tính chất phụ thuộc vào cách chọn mêtric X X compact Ta đưa khái niệm độ phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Điều kiện yếu điều kiện giãn, tức với x ∈ X , tồn δ > lân cận U x mà tồn y ∈ U n ∈ Z cho d(f n (x), f n (y)) > δ Từ khái niệm suy X khơng có điểm lập Tiếp theo, ta đưa tính chất truyền ứng tơpơ đồng phơi Đồng phơi f : X → X có tính truyền ứng tôpô tồn x0 ∈ X cho quỹ đạo Of (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ Z} trù mật X Với khái niệm này, ta có số kết sau Định lý 1.1.3 Cho f : X → X đồng phơi khơng gian mêtric compact Khi đó, (a) Đồng phơi f có tính chất truyền ứng tơpơ với tập mở khác rỗng U, V , tồn số nguyên n ∈ Z cho f n (U ) ∩ V 6= ∅ (b) Nếu giả thiết thêm X tập vô hạn, đồng phơi f có tính chất truyền ứng tơpơ P er(f ) = {x ∈ X : f n (x) = x, n > 0} trù mật X f phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Chú ý rằng, với f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact ký hiệu cl(E) bao đóng tập E Khi đó, phủ mở hữu hạn α X phần tử sinh (phần tử sinh yếu) T −n f với dãy kép {An } α: giao vô hạn ∞ (cl(An )) n=−∞ f nhiều điểm Nếu α, β phủ mở X hợp chúng α ∨ β xác định α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β} download by : skknchat@gmail.com Ta nói β mịn α phần tử β tập phần tử thuộc α ta ký hiệu α ≤ β Rõ ràng α ≤ α ∨ β β ≤ α ∨ β Hơn nữa, f : X → X toàn ánh liên tục f −1 (α) = {f −1 (A) : A ∈ α} phủ mở X Ta thấy f −1 (α ∨ β) = f −1 (α) ∨ f −1 (β) f −1 (α) ≤ f −1 (β) α ≤ β Định lý 1.1.4 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f giãn, (2) f có phần tử sinh, (3) f có phần tử sinh yếu Chứng minh Rõ ràng (2) ⇒ (3) hiển nhiên Trước vào chứng minh phần tiếp theo, ta nhắc lại với X không gian mêtric compact α phủ mở hữu hạn X Nếu với tập A ⊂ B ∈ α ln thỏa mãn diam (A) < δ δ gọi số Lebesgue α Ta chứng minh (3) ⇒ (2) Thật vậy, cho β = {B1 , B2 , , B2 } phần tử sinh yếu f δ > số Lebesgue β Ký hiệu α phủ mở hữu hạn chứa tập Ai với đường kính diam (cl(Ai )) ≤ δ Nếu {Ain } dãy đơi α với n, tồn jn cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ [ \ −n f cl(Ajn ) ⊂ f −n (Bjn ) n=−∞ n=−∞ Do đó, α phần tử sinh (1) ⇒ (2): Cho δ > số giãn f α phủ hữu hạn chứa hình cầu mở bán kính δ/2 Giả thiết x, y ∈ T∞ −n (cl(An )), với An ∈ α Khi đó, d(f n (x), f n (y)) ≤ δ với n=−∞ f n nên theo giả thiết suy x = y (3) ⇒ (1): Giả sử α phần tử sinh yếu δ > số Lebesgue α Khi đó, f (f n (x), f n (y)) < δ với số nguyên n An ∈ α, download by : skknchat@gmail.com T −n n ∈ Z cho f n (x), f n (y) ∈ An x, y ∈ ∞ (An ), mà giao vô n=−∞ f hạn nhiều điểm Suy f giãn Vậy định lý chứng minh Định lý 1.1.5 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact k số nguyên khác Khi đó, f đồng phôi giãn f k giãn Chứng minh Ta ý từ khẳng định α phần tử sinh f |k|−1 _ f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α), i=0 phần tử sinh f k Ngược lại α phần tử sinh f k α phần tử sinh f Từ đó, ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1.6 (a) Nếu f : X → X đồng phôi giãn Y tập đóng X với f (Y ) = Y , f|Y : Y → Y đồng phơi giãn, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, ánh xạ giãn đồng phơi f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 định nghĩa sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 đồng phơi giãn Hơn nữa, tích trực tiếp hữu hạn đồng phôi giãn giãn, (c) Nếu X compact f : X → X đồng phôi giãn h◦f ◦h−1 : Y → Y đồng phơi giãn, đó, h : X → Y đồng phôi Trong phần mục này, chúng tơi trình bày khái niệm đồng phơi giãn dương c-giãn số tính chất Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian mêtric Đồng phôi f : X → X giãn dương tồn số e > cho x 6= y download by : skknchat@gmail.com Mệnh đề 1.2.8 Giả sử σ : X f → X f có tính bóng f : X → X đồng phơi địa phương Khi đó, f có tính bóng Chứng minh Giả sử σ có tính bóng Với ε > 0, giả sử δ số cho δ -giả quỹ đạo σ ε-bóng theo điểm X f Ký hiệu α α = diam (X) chọn N đủ lớn cho < N −2 < δ Khi đó, ta chọn γ > cho d(x, y) ≤ γ tồn {xi : |i| ≤ N } {yi : |i| ≤ N } cho x0 = x, f (xi ) = xi+1 y0 = y, f (yi ) = yi+1 , δ với |i| ≤ N Giả sử {zi : ≤ i < ∞} γ -giả quỹ đạo f Với i ≥ 0, ta thấy tồn (zni ) ∈ X f cho z0i = zi {(zni )} ˜ i (xn ), (z i )) ≤ ε, δ -giả quỹ đạo σ Do đó, tồn (xn ) ∈ X f cho d(σ n ≤ i < ∞ Suy d(xi , yi ) < ˜ i (xn ), (z i )) ≥ d(f i (x0 ), z i ) = d(f i (x0 ), zi ) ε ≥ d(σ n Mệnh đề 1.2.9 Cho X không gian mêtric compact Ánh xạ giãn dương f : X → X có tính bóng f ánh xạ mở Chứng minh Giả sử f ánh xạ mở Khi đó, f đồng phơi địa phương X X có mêtric hyperbolic Từ suy f đồng phơi giãn có tính giãn dương Theo Định lý 1.3.1 đồng phơi f có tính bóng Chiều ngược lại, ta giả sử f có tính bóng Ký hiệu U tập mở X với x ∈ U , chọn ε > cho lân cận-ε Uε nằm U Như vậy, tồn < δ ≤ e cho δ -giả quỹ đạo f εbóng, đó, e số giãn f Nếu z ∈ Uδ (f (x)), dãy {x, z, f (z), f (z), , f i (z), } δ -giả quỹ đạo f ε-bóng theo điểm y thuộc X Khi đó, d(f i (f (y)), f i (z)) < δ ≤ e, ∀i ≥ 0, từ suy f (y) = z Vì y ∈ Uε (x) nên ta có f (Uε (x)) ⊃ Uδ (f (x)) Do đó, f (U ) mở X Ta kết thúc chứng minh 15 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1.2 Ta xét họ ánh xạ {fs : s ∈ [0, 1]} gồm ánh xạ f : [0, 1] → [0, 1] xác định sau  sx ≤ x ≤ fs (x) = s(2 − x) ≤ x ≤ có tính chất sau (1) fs có tính chất giả quỹ đạo với hầu hết tham số, ngoại trừ phần có độ đo Lebesgue đoạn [0, 1] (2) Tập tham số mà fs khơng có tính chất giả quỹ đạo tập không đếm địa phương Đây kết [5] Một tập gọi khơng đếm địa phương giao với tập mở không đếm Ta √ ký hiệu ϕn , n ≥ họ hàm xác định [ 2, 2], ϕn (s) = √ fsn (1) Một điểm s ∈ [ 2, 2] gọi điểm tuần hoàn với chu kỳ n fsn (1) = (ϕn (s) = 1), fsk (1) 6= với ≤ k < n Sử dụng định lý giá trị trung bình, ta tham số tuần √ hồn trù mật [ 2, 2] Do đó, (1) chứng minh Trong đó, (2) chứng minh áp dụng trực tiếp Định lý [3] Trong phần lại mục này, ta đưa kết mà khơng chứng minh tính trù mật điểm tuần hoàn ánh xạ giãn không gian mêtric compact, sở lý thuyết quan trọng để chứng minh kết Chương Định lý 1.2.10 Cho X không gian mêtric compact Nếu X liên thông f : X → X đồng phơi giãn tập điểm tuần hoàn f trù mật X 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô Trong phần này, định nghĩa đồng phôi Anosov, ánh xạ khả vi Anosov ánh xạ Anosov tơpơ trình bày số tính chất 16 download by : skknchat@gmail.com chúng Cho M đa tạp trơn đóng, tức đa tạp trơn, liên thơng, compact khơng có biên Một đồng phôi thuộc lớp C f : M → M gọi đồng phôi Anosov tồn phân tích chùm tiếp tuyến T M = E s ⊕ E u bảo toàn đạo hàm Df f tồn số C > 0, < µ < mêtric k k T M cho với n ≥ (i) kDf n (v)k ≤ Cµn kvk với v ∈ E s , (ii) kDf n (v)k ≥ C −1 µ−n kvk với v ∈ E u Ánh xạ f ∈ C (M, M ) gọi ánh xạ khả vi Anosov f ánh xạ quy thuộc lớp C tồn số C > 0, < µ < mêtric Reimann k k T M cho với dãy (xn ) M thỏa mãn f (xn ) = xn+1 với số nguyên n phân tích ∞ [ n=−∞ Txn M = ∞ [ Exsn ⊕ Exun = E s ⊕ E u , n=−∞ bảo toàn đạo hàm Df , thêm vào điều kiện (i)-(ii) thỏa mãn Ánh xạ f ∈ C (M, M ) gọi ánh xạ Anosov khả vi đặc biệt f ánh xạ Anosov khả vi Exu không phụ thuộc vào dãy (xn ) với x0 = x Ta có tính chất sau Mệnh đề 1.3.1 (1) Mọi đồng phơi Anosov có tính giãn tính bóng, (2) Mọi ánh xạ khả vi mở rộng có số giãn dương tính bóng, (3) Mọi ánh xạ Anosov khả vi có số c-giãn tính bóng Với f : X → X toàn ánh liên tục không gian mêtric compact Cho ε > 0, x ∈ X mêtric d cố định, ta định nghĩa tập Wεs (x) = {y ∈ X : d(f i (x), f i (y)) < ε, i ≥ 0}, 17 download by : skknchat@gmail.com tập ổn định địa phương với x = (xi ) ∈ X f , Wεu (x) = {y0 ∈ M : ∃(yi ) ∈ X f cho d(xi , yi ) ≤ ε, i ≤ 0}, tập không ổn định địa phương Tiếp theo, ta định nghĩa tập ổn định không ổn định sau W s (x) = {y ∈ X : lim d(f n (x), f n (y)) = 0} n→∞ u W ((xi )) = {y0 ∈ X : ∃(yi ) ∈ X f cho lim d(x−i , y−i ) = 0}, i→∞ với x ∈ X (xi ) ∈ X f Bổ đề 1.3.2 Cho f : X → X toàn ánh liên tục c-giãn với số giãn e Với γ > 0, tồn nγ > cho x = (xi ) ∈ X f x ∈ X thỏa mãn (a) f n (Wes (x)) ⊂ Wγs (f n (x))) với n ≥ nγ , (b) Nếu y = (yi ) ∈ X f d(yi , xi ) ≤ e với i ≤ (tức y0 ∈ Weu (x)) d(y−n , x−n ) ≤ γ với n ≥ nγ (tức Weu (x) ⊂ f n (Wγu (σ −n x)) với n ≥ nγ ) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử (a) khơng xảy ra, tồn xn , y n ∈ X mn ≥ n cho y n ∈ Wes (xn ) d(f mn (xn ), f mn (y n )) ≥ γ Cố định i, f mn −i (xn ) → x0−i f mn −i (y n ) → y−i n → ∞ d(x0−i , y−i ) ≤ e, d(f j (xn ), f j (y n )) ≤ e với ≤ j ≤ mn Ta có d(x00 , y00 ) ≥ γ với i = 0 Do đó, y00 ∈ Weu (x0 ), x0 = (x0i ) f ( x0−i ) = x00 f i (y−i ) = y00 với i ≥ Vì y n ∈ Wes (xn ), ta suy d(f mn +j (xn ), f mn +j (y n )) ≤ e, j ≥ −mn y00 ∈ Wes (x00 ) Vì Weu (x0 ) ∩ Wes (x00 ) y00 nên từ tính chất c-giãn ta có x00 = y00 , mâu thuẫn Vậy (a) xảy 18 download by : skknchat@gmail.com Tiếp theo, (b) khơng xảy ta tìm (xni ), (yin ) ∈ n X f mn ≥ n cho d(xn−mn , y−m ) ≥ γ d(xni , yin ) ≤ e với i ≤ 0, n mâu thuẫn Do đó, (b) xảy Bổ đề chứng minh Chú ý 1.1 Với f : X → X g : Y → Y toàn ánh liên tục không gian mêtric compact Giả sử h ◦ f = g ◦ f với đồng phôi h : X → Y Khi (1) Nếu x ∈ X W s (x) tập ổn định f h(W s (x)) tập ổn định g h(x), (2) Nếu (xi ) điểm X f W u ((xi )) tập khơng ổn định f , (h(xi )) thuộc Y g h(W u ((xi ))) tập không ổn định g (h(xi )) Mệnh đề sau chứng minh cách suy trực tiếp từ Bổ đề 1.3.2 Bổ đề 1.3.3 Cho f : X → X toàn ánh liên tục c-giãn với số dãn e cho e > ε > x ∈ X Khi đó, [ s W (x) = f −i (Wes (f i (x))) i≥0 với x = (xi ) ∈ X f , W u (x) = [ f i (Weu (σ −i (x))) i≥0 Tiếp theo, ta trình bày tính chất Anosov tồn ánh liên tục không gian mêtric compact cách tổng qt Ta nói tồn ánh liên tục f : X → X gọi ánh xạ Anosov tơpơ (TA) f c-giãn có tính bóng Đặc biệt, f đồng phơi f gọi đồng phơi Anosov tơpơ giãn có tính bóng Hơn nữa, ánh xạ Anosov tôpô f : X → X gọi đặc biệt thỏa mãn tính chất W u ((xi )) = W u ((yi )) với (xi ), (yi ) ∈ X f , x0 = y0 19 download by : skknchat@gmail.com Với X, Y khơng gian mêtric Ta nói ánh xạ liên tục f : X → X g : X → Y gọi liên hợp tôpô tồn đồng phôi h : Y → X cho f ◦ h = h ◦ g Trong trường hợp này, quỹ đạo g ánh xạ h thành quỹ đạo đồng phôi f Hơn nữa, h tồn ánh liên tục f gọi bán liên hợp tơpơ với g , hay nói cách khác f nhân tử g Chú ý 1.2 Cho f : X → X g : Y → Y đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, f g liên hợp tơpơ f đồng phơi Anosov tơpơ g đồng phôi Anosov tôpô, f đồng phôi Anosov tôpô g đồng phôi Anosov tôpô, f đồng phôi Anosov tôpô đặc biệt g đồng phôi Anosov tôpô đặc biệt Định nghĩa 1.3.4 Cho X không gian mêtric compact với mêtric d Đồng phôi f : X → X gọi ổn định tôpô lớp đồng phôi với ε > 0, tồn δ > cho với đồng phôi g thỏa mãn d(f (x), g(x)) < δ với x, tồn ánh xạ liên tục h cho h ◦ g = f ◦ h d(h(x), x) < ε với x Định lý 1.3.5 Nếu đồng phôi f : X → X không gian mêtric compact Anosov tơpơ f ổn định tơpơ trơng lớp đồng phôi e Chứng minh Cho e > số giãn f cố định < ε < Ký e hiệu < δ < số với tính chất giả quỹ đạo Từ tính giãn ta suy tồn x ∈ X ε-bóng δ -giả quỹ đạo {xi } cho trước Thật vậy, giả sử y ∈ X điểm ε-bóng {xi }, ta có d(f i (x), f i (y)) ≤ d(f i (x), xi ) + d(xi , f i (y)) ≤ 2ε < e, với i ∈ Z nên suy x = y điểm bóng 20 download by : skknchat@gmail.com Gọi g : X → X đồng phôi với d(g(x), f (x)) < δ với x ∈ X Với x ∈ X , d(f ◦ g n (x), g n+1 (x)) < δ với n nguyên nên {g n (x)} δ -giả quỹ đạo f Do đó, tồn điểm h(x) ∈ X mà quỹ đạo f vết-ε {g n (x)} Khi đó, ánh xạ h : X → X thỏa mãn d(f n ◦h(x), g n (x)) < ε với n x ∈ X Cho n = 0, ta suy d(h(x), x) < ε với x ∈ X Vì d(f n ◦ h ◦ g(x), g n (x)) < ε với n số nguyên d(f n ◦ f ◦ h(x), g n+1 (x)) = d(f n+1 ◦ h(x), g n+1 (x)) < ε, với n số nguyên nên ta suy h ◦ g = f ◦ h với x ∈ X Tiếp theo, ta chứng minh h liên tục Thật vậy, cho λ > 0, ta chọn N > tùy ý cho d(f n (x), f n (y)) < e với |n| < N nên ε d(x, y) < λ Chọn η > cho d(x, y) < η , suy d(g n (x), g n (y)) < với |n| ≤ N Nếu d(x, y) < η d(f n ◦ h(x), f n ◦ h(y)) = d(h ◦ g n (x), h ◦ g n (y)) ≤ d(h ◦ g n (x), g n (x)) + d(g n (x), g n (y)) + d(g n (y), h ◦ g n (y)) e ≤ ε + + ε < e, |n| ≤ N Như vậy, từ d(x, y) < η suy d(h(x), h(y)) < λ nên h liên tục Ví dụ 1.3 Cho h : X → X giả sử X đa tạp tơpơ đóng Khi đó, h : X → X toàn ánh −m −m −m + −1 m−1 0 m m Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, h không tồn ánh Ta đưa phản ví dụ sau Xét ánh xạ dịch chuyển σ : Y2Z → Y2Z với Y2 = {0, 1} Khi đó, σ ánh xạ giãn có tính bóng Cho m > 0, ta định nghĩa g : Y2Z → Y2Z 21 download by : skknchat@gmail.com ... Anosov tôpô 3 10 16 Phân tích phổ hệ động lực tôpô 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tô- pô... Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề ? ?Về phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi trình bày chi tiết đồng phơi khơng giãn bóng có phân tích phổ Nội dung luận văn chia làm... TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TƠ-PƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY