Phân tích phổ của hệ động lực tôpô Chương này sẽ trình bày các kết quả chính, đó là phân tích phổ của
2.3 Phân tích phổ của hệ động lực tô-pô
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày định lý phân tích phổ đói với ánh xạ Anosov tôpô. Đây là kết quả chính của chương này. Trong phần này, ta luôn giả thiết X là không gian mêtric compact với mêtric
d và f : X → X là toàn ánh liên tục. Nhắc lại rằng, x ∈ X là điểm bất động nếu với bất kỳ lân cận mở U nào của x, tồn tại n > 0 sao cho
fn(U)∩U =6 ∅. Ký hiệu Ω(f) là tập gồm tất cả các điểm bất động của f. Khi đó, Ω(f) là tập con đóng, khác rỗng và f(Ω(f)) ⊂ Ω(f).
Định lý 2.3.1. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact. Nếu f có tính bóng thì f(Ω(f)) = Ω(f).
Chứng minh. Bây giờ, ta sẽ giả thiết phản chứng rằngΩ(f)−f(Ω(f)) 6= ∅. Khi đó, tồn tại x ∈ Ω(f)−f(Ω(f)) và ε > 0 sao cho
Bε(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ε} ⊂ X −f(Ω(f)).
Giả sử δ là số với các tính chất như trong định nghĩa tính chất giả quỹ đạo. Vì x ∈ Ω(f) nên tồn tại n > 0 và một δ-giả quỹ đạo n-tuần hoàn
(xi) ∈ XZ với x0 = x. Vì f có tính chất giả quỹ đạo nên tồn tại (yi) ∈ Xf sao cho d(yi, xi) < ε với mọi i ∈ Z, trong đó Xf = {(xi) ∈ XZ : f(xi) =
xi+1, i∈ Z}. Vì thế,
{fni(y0) : 0≤ i < ∞} ⊂ Bε(x0).
VìX compact nên dãy con của dãy{fni(y0)}hội tụ đếny0 ∈ X và do đó,y0
nằm trong tập giới hạn-w của y0. Vì fn(y0) ∈ Bε(x) và fn(y0) ∈ f(Ω(f)), mâu thuẫn. Vậy Ω(f) =f(Ω(f)).
Với Ω(f) là tập các điểm bất động của toàn ánh liên tục được định nghĩa
Ωf = {(xi) ∈ Ω(f)Z : f(xi) =xi+1, i ∈ Z}.
Khi đó, với CR(f) tập quay lui xích của f, theo Định lý 2.1.2 thì Ω(f) =
CR(f) nên ta suy ra f(CR(f)) ⊂ CR(f) từ định lý trên.
Định lý 2.3.2. Nếu toàn ánh liên tục f có tính bóng thì f|Ω(f) cũng có tính bóng. Hơn nữa, nếu f|Ω(f) là c-giãn thì tất các điểm tuần hoàn P er(f)
trù mật trong Ω(f).
Chứng minh. Với ε > 0 và δ > 0 là số với các tính chất như trong định nghĩa tính chất giả quỹ đạo. Vì Ω(f) = CR(f), quan hệ-δ được xác định trên Ω(f) như trong Mục 3.1 và được ký hiệu là ∼δ. Từ quan hệ này, Ω(f)
được phân tích như là hợp của các tập tương đương rời rạc Aλ như sau
Ω(f) = [
λ
Trước hết, ta sẽ chứng minh mỗi tập Aλ là một tập mở trong Ω(f). Thật vậy, lấy x cố định trong Aλ. Với y ∈ Aλ, cho x0 = x, x1, . . . , xp = y
là một δ-giả quỹ đạo trong Ω(f). Bằng cách chọn 0 < γ < δ
3 sao cho
f(Uγ(x0)) ⊂ Uδ(x1), ta thấy rằng Uγ(x0)∩Ω(f) ⊂ Aλ. Điều này có nghĩa là Aλ là một tập mở.
Với x00 ∈ Uγ(x0)∩Ω(f), {x00, x1, . . . , xp} là một δ-giả quỹ đạo trong
Ω(f). Vì x, y ∈ Ω(f) nên δ-giả quỹ đạo O = {y0 = y, y1, . . . , yl = x} tồn tại. Nếu f(yl−1) ∈ cl(Uγ(x0))∩Ω(f) thì
(O \ {yl})∪ {y0, y1, . . . , yl−1, x00}
là một δ-giả quỹ đạo vì d(f(yl−1), x00) ≤ 2γ < δ. Do đó, y ∼δ x00. Khi
f(yl−1) ∈/ cl(Uγ(x0))∩Ω(f) thì tồn tại z ∈ cl(Uγ(x0))∩Ω(f) sao cho
d(f(yl−1),cl(Uγ(x0))∩ Ω(f)) =d(f(yl−1), z) < δ,
và d(x00, z) ≤ 2γ. Vì z ∈ Ω(f) = CR(f) nên ta suy ra z ∼ z, tức là tồn tại một γ-giả quỹ đạo tuần hoàn {z0 = z, z1, . . . , zb, z} trong Ω(f). Từ
d(f(zb), x00) ≤d(f(zb), z) +d(z, x00) ≤3γ < δ,
nên suy ra dãy (O \ {yl})∪ {z0, . . . , zb, x00} = {y0, . . . , yl−1, z0, . . . , zb, x00}
là một δ-giả quỹ đạo từ y0 đến x00. Do đó, x00 ∈ Aλ.
Vì Ω(f) là compact nên {Aλ} hữu hạn và Ω(f) được phủ bởi hữu hạn các tập mở Aλ. Vì các tập Ai là mở và đóng trong Ω(f) nên ta có
d(Ai, Aj) = inf{d(a, b) : a ∈ Ai, b ∈ Aj} > 0
nếu i 6= j. Đặt δ1 = min{d(Ai, AJ) : i 6= j}. Với 0 < α < min{δ, δ1}, cho
(xi) là α-giả quỹ đạo trong Ω(f)Z. Khi đó, ta cần phải chứng minh quỹ đạo viết-ε của (xi) được chọn trong Ωf.
Nếu x0 ∈ Ai với i nào đó thì mỗi điểm của (xi) thuộc Ai vì x luôn được liên kết-α đến f với mỗi x ∈ Ω(f). Lấy xa, xb ∈ (xi), a < b. Khi đó,
xa ∼α xb, từ đây ta có thể tìm một δ-giả quỹ đạo (zi) ∈ Ω(f)Z tuần hoàn chu kỳ (k1 +k2) sao cho với i ≥ 0
Để đơn giản hóa, đặt k = k1 + k2. Vì f có tính chất giả quỹ đạo nên tồn tại ya,b ∈ X sao cho
d(fi(ya,b), zi) < ε,
với i ≥ 0 và nên
d(fk−+j(ya,b), zj) < ε, i ≥0,0 ≤j < k.
Nếu D = cl{fki(ya,b) : i ≥ 0} là rời rạc thì tồn tại l > 0sao cho fl(ya,b) =
ya,b và khi đó ya,b ∈ Ω(f). Nếu D không rời rạc thì khi đó tồn tại dãy con của dãy
{fki(ya,b) : i ≥ 0}
hội tụ đến za,b ∈ X nào đó và d(fj(za,b), zj) ≤ε với 0≤ j < k. Do đó, ta có za,b ∼α0 za,b với α0 > 0 bất kỳ. Thật vậy, từ khẳng định với mọi α0 > 0, tồn tại i0 > 0 đủ lớn sao cho
d(fkin(ya,b), za,b) < α0, d(fkin+1(ya,b), f(za,b)) < α0,
với in ≥i0.
Do đó, za,b ∈ CR(f) = Ω(f). Ta đặt zi0 = fi(za,b) với i ≥ a và chọn
za0−1 ∈ f−1(za,b) ∩Ω(f) và za0−i−1 ∈ f−1(za0−i) ∩ Ω(f) với i ≥ 1. Khi đó, za,b = (zi0) ∈ Ω(f)Z và d(zi0, xi) ≤ ε với a ≤ i ≤ b. Vì Ω compact nên tồn tại một dãy con của dãy {za,b} hội tụ đến z = (zi) ∈ Ω(f)Z khi a → −∞
và b → +∞. Do đó, d(zi, xi) ≤ ε với i ∈ Z vì d(zi0, xi) ≤ ε với a ≤ i ≤ b
và a, b là bất kỳ. Rõ ràng, z = (zi) ∈ Ωf.
Để chứng minh tính trù mật của P er(f), ta lấy x ∈ Ω(f). Khi đó, tồn tại l > 0và δ-giả quỹ đạo (xi) ∈ Ω(f)Z tuần hoàn chu kỳl với x0 = x. Vìf|Ω(f) có tính chất giả quỹ đạo nên tồn tại(zi) ∈ Ωf sao chod(zi, xi) < ε
với i ∈ Z. Khi đó, d(zl+1, zi) ≤ 2ε với i ∈ Z. Chọn ε > 0 nhỏ hơn hằng số
c-giãn, khi đó ta có (zl+i) = (zi) và do đó fl(z0) =zl = z0 ∈ Uε(x).
Trước khi đưa ra chú ý sau đây, ta đưa ra khẳng định rằng đồng phôi
f : X → X của không gian mêtric có tính chất truyền ứng tôpô nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho quỹ đạo O+(x0) = {x0, f(x0), . . .} là trù mật trong
Chú ý 2.2. Với X là không gian mêtric compact, toàn ánh liên tục f :
X → X có tính chất truyền ứng tôpô khi và chỉ khi với U, V là các tập mở khác rỗng, tồn tại n > 0 sao cho fn(U)∩V 6= ∅.
Để chứng minh chi tiết khẳng định này, ta giả sử O+(x0) trù mật trongX và U, V là các tập mở khác rỗng. Khi đó, tồn tại các số n > m >0
sao cho fn(x0) ∈ U và fm(x0) ∈ V. Do đó, fk(U)∩V =6 ∅với k = n−m. Ký hiệu {Uj : j ≥ 1} là cơ sở đếm được của X. Với mỗi x ∈ X, ta có các tương đương sau đây
cl(O+(x)) 6= X,
⇔O+(x)∩Un = ∅ với n nào đó
⇔fm(x) ∈ X \Un với mọi m ≥ 0 và n nào đó
⇔x ∈ ∞ \ m=0 f−m(X \Un) với n nào đó ⇔x ∈ ∞ [ n=1 ∞ \ m=0 f−m(X \Un).
Theo giả thiết S∞
m=0f−m(Un) là trù mật trong X nên X \ ∞ [ m=0 f−m(Un) = ∞ \ m=0 (X \f−m(Un))
không trù mật nơi nào. Do đó,
∞[ [ n=1 ∞ \ m=0 f−m(X \Un) = ∞ [ n=1 ∞ \ m=0 (X \f−m(Un))
là tập thuộc phạm trù thứ nhất. Vì X là không gian mêtric compact nên
{x ∈ X : cl(O+(x)) 6= X} là tập thuộc phạm trù thứ nhất.
Trong phần tiếp theo, ta trình bày Định lý 2.3.3 cũng là nội dung chính của toàn bộ luận văn này. Đây là trường hợp tổng quát cho Định lý 2.1.7. Chứng minh của Định lý 2.1.7 cũng được suy ra từ chứng minh của định lý này. Kết quả chính trong định lý là sự phân tích phổ tôpô.
Định lý 2.3.3 (Định lý phân tích tôpô). Cho f : X → X là toàn ánh liên tục của một không gian mêtric compact. Nếu f : X → X là ánh xạ Anosov tôpô thì các tính chất sau đây là đúng:
(1) (Định lý phân tích phổ theo Smale) Ω(f) chứa một dãy hữu hạn Bi
(1 ≤i ≤l) của các tập con bất biến f sao cho (i) Ω(f) = Sl
i=1Bi
(ii) f|Bi : Bi →Bi có tính chất truyền ứng tôpô (các tập con Bi được gọi là các tập cơ sở).
(2) (Định lý phân tích theo Bowen) Với tập cơ sở B, tồn tại a > 0 và một dãy hữu hạn Ci (0 ≤i ≤ a−1) của các tập con đóng sao cho
(i) Ci ∩Cj = ∅ (i 6= j), f(Ci) = Ci+1 và fa(Ci) =Ci, (ii) B = Sa−1
i=0 Ci, (iii) f|a
Ci : Ci → Ci là trộn tôpô. (các tập con Ci được gọi là các tập cơ bản).
Chứng minh. Vì f : X → X có tính chất bóng nên ta có thể chứng minh
Ω(f) = CR(f) như trong Định lý 2.1.2. Do đó, Ω(f) có thể phân tích thành hợp các lớp tương đương Bλ dưới quan hệ tương đương ∼ được xác định trong CR(f). Khi đó, ta có thể viết
Ω(f) = [
λ
Bλ.
Mỗi tập Bλ là đóng và f(Bλ) = Bλ. Nếu Bλ là tập mở trong Ω(f) thì ta có thể viết Ω(f) = Sk
i=1Bi với số nguyên k > 0 nào đó vì Ω(f) compact. Trong trường hợp này, f|Bi có tính chất truyền ứng tôpô. Giả sử U và V
là các tập mở không rỗng trong Bi. Vì x ∼ y với x ∈ U và y ∈ V nên ta có thể tìm trong Bi một điểm bóng của giả quỹ đạo từ x đến y vì f|Bi có tính bóng. Điều này chứng tỏ rằng U ∩ fl(V) 6= ∅ với l > 0 nào đó.
Để chứng minh (1), ta cần chứng minh tính mở của Bλ. Thật vậy, với ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho bất kỳ δ-giả quỹ đạo của f|Ω(f) là ε-bóng
theo một điểm nào đó trong Ω(f). Khi đó, với p ∈ Uδ(Bλ)∩P er(f), tồn tại y ∈ Bλ sao cho d(y, p) < δ, trong đó Uδ(Bλ) là lân cận mở của Bλ
trong Ω(f). Theo Bổ đề 1.3.3, ta có Ws(y) = [ i≥0 f−i(Wεs(fiu)) và Wu(x) = [ i≥0 fi(Wεu(σ−i(x))),
với x ∈ Xf. Vì f|Ω(f) có tính bóng nên ta có Ws(y)∩ Wu((pi)) 6= ∅ với quỹ đạo tuần hoàn (pi) ∈ Ωf, p0 = p và Ws(p) ∩ Wu((yi)) 6= ∅ với quỹ đạo (yi) ∈ Ωf, y0 = y. Vì ta có thể chọn sao cho mỗi yi thuộc quỹ đạo (yi)
nằm trong Bλ nên trong trong tường hợp này ta có thể giả thiết (yi) cũng nằm trong Bλ. Khi đó, ta có y ∼ p vì p∈ Bλ. Do đó,
Bλ ⊃cl(Uδ(Bλ)∩P er(f)) ⊃ Uδ(Bλ)∩cl(P er(f)) = Uδ(Bλ).
Bλ
Uδ(Bλ)
y p
Để chứng minh (2), ta lấyp∈ P er(f)∩B vớifm(p) =pvà đặtCp =
cl(Ws(p)∩B). Khi đó, Cp là mở trong B. Lấy q ∈ Uδ(Cp)∩P er(f)∩B, trong đó fn(q) = qvới n > 0 nào đó thì ta có thể tìm đượcx ∈ Ws(p)∩B
sao cho d(x, q) < δ.
Cho (qi) ∈ Bf là quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ n với q0 = q. Vì f|B có tính chất giả quỹ đạo nên tồn tại x0 sao cho x0 ∈ Wu((qi)) ∩Ws(x)∩ B
và do đó d(x0i, qi) →0 khi i → −∞, với (x0i) ∈ Bf, x00 = x0. Vì x00 = x0 ∈ Ws(x) =Ws(p) nên ta có d(fi(x00), fi(p)) → 0 khi i → +∞. Chú ý rằng
x0−mnk → q khi k → +∞. Cố định k > 0 và cho j = mnk +i với i ≥ 0. Khi đó,
d(fj(x0−mnk), fj(p)) =d(fi(x00), fi(p)) →0, i → +∞,
vì fmnk(x0−mnk) = x00 và fmnk(p) = p. Do đó, x0−mnk ∈ Ws(p) với k ≥ 0
và q ∈ Cp. Điều này chứng tỏ rằng Cp là tập mở trong B.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Cp = Cq với q ∈ Cp ∩ P er(f). Thật vậy, cho fm(p) = p và fn(q) = q. Với γ > 0, gọi nγ xác định như trong Bổ đề 1.3.2. Cố định ε > 0 và chọn δ > 0 như trong định nghĩa của tính chất giả quỹ đạo. Giả sử x ∈ Ws(q) ∩ B. Khi đó, tồn tại Jγ > 0 sao cho mnJγ ≥ nγ thì d(fmnJγ(x), q) < δ
2. Vì q ∈ Cp nên ta có thể chọn
y ∈ Uδ/2(q)∩Ws(p)∩B và do đó d(fmnJγ(x), y) < δ. Vậy nên
Wu((fmnJγxi))∩Ws(y) 6= ∅,
với quỹ đạo (xi) nào đó thuộc Bf, x = x0 vì f|B có tính bóng. Từ đó dẫn đến tồn tại một quỹ đạo (ziγ) ∈ Bf sao cho
z0γ ∈ Wu((fmnJγxi)) ∩Ws(y), và d(fi(z0γ), fi(y)) →0 khi i → ∞ d(z−γmnJ γ, fmnJγ(x−mnJγ)) = d(z−γmnJ γ, x) < γ. Vì z0γ ∈ Ws(y) =Ws(p) nên ta có d(fi(z0γ), fi(p)) = d(fmnJγ+i(z−γmnJ γ), fmnJγ+i(p)) →0 khi i → ∞, vàz−γmnJ γ ∈ Ws(p)∩B. Vì γ là bất kỳ nên ta có x ∈ Cp và do đó Cq ∈ Cq. Một mặt khác, giả sử rằng p /∈ Cq. Khi đó, ta có 0 < d= d(K, Cq), trong đó K = Cp − Cq. Vì q ∈ Cp nên tồn tại z ∈ Ws(p) ∩ B sao cho
d(z, q) < d. Rõ ràng z ∈ Cq nhưng
khi j → ∞ nên suy ra fmnj(z) ∈/ Cp, điều này mâu thuẫn.
Dễ dàng kiểm tra được rằng nếu Cq∩Cq0 6= ∅ với q, q0 ∈ P er(f)∩B
thì Cq = Cq0. Bên cạnh đó, ta thấy rằng vì fm(p) = p nên Cfm(p) = Cp, từ đây suy ra tồn tại số nguyêna > 0nhỏ nhất sao choa ≤m vàCfa(p) = Cp. Do đó,
B = Cp∪Cf(p) ∪ · · · ∪Cfa−1(p),
vì f|B có tính truyền ứng cầu tôpô. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh f|aC
p là trộn tôpô. Giả sử U và V là các tập mở không rỗng trong Cp. Lấy q ∈ V ∩ P er(f) với fn(q) = q. Chọn
ε > 0vớiUε(q) ⊂V. Khi đó, với 1≤ j ≤n−1, tồn tạizj ∈ U∩Ws(faj(q))
và Bj > 0 sao cho với t ≥ Nj thì
d(fant+an−aj(zj), fant+an(q)) = d(fa(nt+n−j(zj), q) < ε.
Do đó, fa(bt+n−j)(U) ∩ V 6= ∅ với t ≥ Nj và 0 ≤ j ≤ n −1. Đặt N = max{Nj : 0 ≤ j ≤ n−1}. Khi đó với s ≥ nN thì fas(U) ∩V 6= ∅. Vậy
f|aC
p có tính trộn tôpô.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã đề cập đến phân tích phổ của một hệ động lực. Đây là một phần quan trọng trong lý thuyết định tính trong nghiên cứu hệ động lực với cơ sở lý thuyết tôpô. Cụ thể là chúng tôi đã:
1. Trình bày chi tiết các khái niệm, tính chất của một đồng phôi giãn, giãn dương, c-giãn.
2. Một số tính chất cơ bản của đường giả quỹ đạo gắn với ánh xạ trong không gian mêtric compact, cùng với đó là các tập chuỗi truy hồi, các khái niệm và tính chất của tập ổn định, không ổn định được đưa ra. 3. Trình bày chi tiết và chứng minh các tính chất của ánh xạ Anosov tôpô. Từ đó dẫn đến tập bất động và Định lý phân tích phổ của đồng phôi Anosov tôpô.