Phân tích phổ của hệ động lực tôpô Chương này sẽ trình bày các kết quả chính, đó là phân tích phổ của
2.1 Tập quay lui xích
Cho f : X →X là phép đồng phôi của không gian mêtric compact. Với x, y ∈ X và α > 0, ta nói x quan hệ theo α với y nếu có α-quỹ đạo giả của f sao cho x0 = x, x1, . . . , xk = y và y0 = y, y1, . . . , yl = x. Nếu x
quan hệ với y theo α > 0 bất kỳ thì ta nói x có quan hệ với y và ta ký hiệux ∼ y. Ta gọi tập CR(f) = {x ∈ X : x ∼x} là tập quay lui xích của
f. Rõ ràng, CR(f) = f(CR(f)) và Ω(f) ⊂ CR(f). Hơn thế nữa, quan hệ ∼ là quan hệ tương đương trong CR(f) thỏa mãn
(i) Tính phản xạ: u ∼u với mọi u, (ii) Tính đối xứng: u ∼ v →v ∼ u,
(iii) Tính bắc cầu: u ∼v và v ∼w → u ∼w.
Chứng minh. Cho α > 0. Vì X là tập compact nên f : X → X là liên tục đều. Do đó, tồn tại 0 < δ < α
2 sao cho với d(x, y) < δ thì
d(f(x), f(y)) < α
2.
Cho {x(k)} là một dãy trong tập quay lui xích CR(f) sao cho x(k) → x
khi k → ∞. Khi đó,d(x(k), x) < δ với k > 0 nào đó. Vì x(k) ∈ CR(f) nên tồn tại δ
2-giả quỹ đạo {x(k), x1, . . . , xn, x(k)}. Do đó, {x, x1, . . . , xn, x} là
α-giả quỹ đạo. Vì α được chọn bất kỳ nên ta suy ra x ∈ CR(f).
Với X là không gian tôpô và 2X là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của X. Khi đó, tôpô mũ 2X được xác định bằng cách giả thiết họ tất cả các tập
B(G) = {F ∈ 2X : F ⊂G} C(H) = {F ∈ 2X : F ∩H 6= ∅}
là tập các hình cầu con mở của 2X mà trong đó G và H là các tập con mở của của X. Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được họ tất cả các tập
B(G0, G1, . . . , Gn) = {F ∈ 2X : F ⊂G0, F ∩Gi 6= ∅,1 ≤i ≤n},
là cơ sở của 2X, trong đó Gi là các tập mở của X.
Chú ý 2.1.
(i) Nếu X là compact thì 2X cũng compact.
(ii) Nếu X là Hausdorff, compact thì 2X cũng vậy.
Với X là không gian mêtric cùng với mêtric bị chặn d. Mêtric ρ xác định bởi ρ(A, B) = max{sup b∈B d(A, b),sup a∈A d(a, B)}, A, B ∈ 2X,
trong đó d(A, b) = inf{d(a, b) : a ∈ A}, được gọi là mêtric Hausdorff đối với 2X.
Định lý 2.1.2. Nếu f có tính bóng thì Ω(f) = CR(f).
Chứng minh. VìΩ(f) ⊂ CR(f)nên ta chỉ cần chứng minhCR(f) ⊂ Ω(f)
là đủ. Thật vậy, với x ∈ CR(f), với mọi α > 0, tồn tại một giả quỹ đạo
{xi} sao cho x0 = x, x1, . . . , xk = n, và
d(fi(y), xi) < α, 0 ≤ i ≤k
với y nào đó thuộc X. Do đó, fk(Uα(x)) ∩Uα(x) 6= ∅, trong đó Uα(x) =
{y ∈ X : d(x, y) < α)}. Vì α > 0 được chọn bất kỳ nên ta suy ra
x ∈ Ω(f). Vậy CR(f) ⊂Ω(f). Định lý được chứng minh.
Định lý 2.1.3. Cho f : X → X là một đồng phôi của không gian mêtric compact. Khi đó, tập quay lui xích của f|CR(f) và CR(f) là trùng nhau. Chứng minh. Giả sử x ∈ CR(f) và Cn = {x(in)} là 1
n-giả quỹ đạo tuần
hoàn quax. Khi đó,Cnlà tập hữu hạn. Trong không gian mêtric Hausdorff, tồn tại dãy Cnk hội tụ đến một tập compact f-bất biến C ⊂ X. Nếu ta chỉ ra được với mọi y ∈ C và ε > 0, tồn tại ε-giả quỹ đạo tuần hoàn {zi}
đi qua y với zi ∈ C thì ta sẽ suy ra được y ∈ CR(f|C) ⊂ CR(f). Thật vậy, vì y ∈ C nên ta có C ⊂ CR(f) và x ∈ C ⊂ CR(f|C) ⊂ CR(f|CR(f)). Điều này đúng với mọi x ∈ CR(f) nên CR(f) ⊂CR(f|CR(f)).
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại mộtε-giả quỹ đạo tuần hoàn đi qua y với zi ∈ C. Vì X compact nên f : X → X liên tục đều. Do đó, tồn tại ε
3 > δ = δ(ε/3) > 0 sao cho với d(a, b) < δ thì d(f(a), f(b)) <
ε
3.
Vì Cnk hội tụ đến C nên ta có thể tìm được n = nk sao cho 1
n < ε
3 và
khoảng cách từ Cn đến C trong không gian mêtric nhỏ hơn δ. Giả sử rằng
{xi(n)} có chu kỳ j và x(i+n)j = xi(n) với mọi i. Với mỗi x(in), lấy zi ∈ C với
d(x(in), zi) < δ, zi+j = zi với mọi i và zi = y với i nào đó. Khi đó,
d(f(zi), zi+1) ≤ d(f(zi), f(x(in))) +d(f(x(in)), x(in+1)) + d(x(in+1), zi+1) < ε.
Trước khi trình bày định lý sau đây, ta đưa ra khái niệm tập giới hạn. Với f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact và x
là một điểm trong X. Khi đó, tập giới hạn α của x ký hiệu là α(x), chứa các điểm y ∈ X sao cho y = lim
j→∞fnj(x) với (nj) là dãy giảm thực sự. Trong khi đó, tập giới hạn w của x được ký hiệu là w(x), chứa các điểm
y ∈ X sao cho y = lim
j→∞fnj(x) với (nj) là dãy tăng thực sự. Rõ ràng, α(x)
và w(x) là các tập đóng khác rỗng, f-bất biến, tức là f(α(x)) = α(x),
f(w(x)) =w(x) với x ∈ X. Nếu với điểm x trong X, các tập α(x), w(x), mỗi tập chứa một điểm thì ta nói x có bán quỹ đạo hội tụ theo f.
Định lý 2.1.4. Cho f : X → X là một đồng phôi Anosov tôpô của không gian mêtric compact. Nếu f|CR(f) có tính truyền ứng tôpô thì X = CR(f). Chứng minh. Giả sử X 6= CR(f). Khi đó, ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn bằng cách chỉ ra (X \CR(f))∩P er(f) 6= ∅, trong đó P er(f) là tập các điểm tuần hoàn của f (đã trình bày ở chương 1). Vì w(x0) và α(x0) nằm trong
CR(f) với x0 ∈ X \CR(f) nên ta có
cl({x0, f(x0), . . .})∩CR(f) 6= ∅ và cl({x0, f−1(x0), . . .})∩CR(f) 6= ∅.
Giả sử 0 < ε < d(x0, CR(f)) và ký hiệu δ > 0 là số với tính chất giả quỹ đạo. Khi đó, d(CR(f), fn(x0)) < δ và d(CR(f), f−n(x0)) < δ với n
đủ lớn. Từ đó suy ra d(xn+1, fn(x0)) < δ và d(x−n−1, f−n(x0)) < δ với
xn+1, x−n−1 ∈ CR(f).
Tiếp theo, ta sẽ xây dựng một δ-giả quỹ đạo
{x−n−1, f−n(x0), f−n+1(x0), . . . , fn−1(x0), xn+1}
từ x−n−1 đến xn+1. Vì f|CR(f) có tính truyền dẫn tôpô nên ta có thể tìm trong CR(f) một δ-giả quỹ đạo
{xn+1,x˜n+2, . . . ,x˜−n, x−n−1}
từ xn+1 đến x−n−1. Bằng cách kết hợp hai δ-giả quỹ đạo trên, ta có được một δ-giả quỹ đạo tuần hoàn. Vì f có tính bóng nên δ-giả quỹ đạo tuần
hoàn là ε-bóng theo một điểm y ∈ X nào đó. Hơn nữa, vì f là ánh xạ giãn nên y tuần hoàn và ta có y /∈ CR(f) vì d(x0, CR(f)) > ε. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, định lý được chứng minh.
Định lý 2.1.5 ([7]). Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact. Nếu f có tính bóng thì f|Ω(f) cũng có tính bóng. Hơn nữa, nếu f
giãn thì tập các điểm tuần hoàn P er(f) trù mật trong Ω(f).
Ví dụ 2.1. Trong ví dụ này, ta sẽ trình bày một đồng phôi Anosov tôpô
f của một không gian mêtric compact mà X 6= CR(f). Thật vậy, xét ánh xạ dịch chuyển σ : Y2Z → Y2Z và
S = {(xi) ∈ Y2Z : (xi, xi+1) ∈ C, i ∈ Z},
trong đó C = {(0,0),(0,1),(1,1)}. Khi đó, σ : S → S là ánh xạ dịch chuyển Markov. Vì σ|S là ánh xạ giãn và có tính bóng nên theo Định lý 2.1.5, tập các điểm tuần hoànP er(σ|S)trù mật trongCR(σ|S). Tuy nhiên,
S chỉ chứa hai điểm tuần hoàn
x = (. . . ,0,0, . . .), y = (. . . ,1,1, . . .).
Điểm z = (. . . ,0,0,1,1, . . .) trong S nhưng không tuần hoàn. Do đó,
z /∈ P er(σ|S) = CR(σ|S) 6= S.
Bây giờ, ta sẽ định nghĩa một tập cô lập. VớiX là không gian mêtric compact, một tập con đóng E ⊂ X được gọi là cô lập với đồng phôi
f : X → X nếu f(E) = E và nếu có một lân cận compact U của E sao cho T∞
−∞fn(U) = E.
Định lý 2.1.6. Cho X là không gian mêtric compact. Nếu f : X → X là giãn và f :CR(f) → CR(f) có tính bóng thì CR(f) là cô lập.
Chứng minh. Gọi e > 0 là hằng số giãn của f. Với 0 < β < e
2, ký hiệu α
là số với tính chất giả quỹ đạo. Vì X compact nên f liên tục đều. Do đó, ta có thể lấy 0 < γ < min{α/2, e/2} sao cho với d(x, y) < γ thì
d(f(x), f(y)) < α
Tiếp theo, ta gọi U = {y ∈ X : d(y, CR(f)) < γ} và lấy y ∈ T∞
−∞fn(U). Vì với mọi i ∈ Z, fi(y) ∈ U nên tồn tại xi ∈ CR(f) với d(fi(y), xi) < γ
với i ∈ Z. Do đó,
d(f(xi), xi+1) ≤ d(f(xi), fi+1(y)) +d(fi+1(y), xi+1) < α
2 + γ < α,
với i ∈ Z. Vì f|CR(f) có tính bóng nên tồn tại một điểm β-bóng x ∈ CR(f)
và với i ∈ Z, ta có
d(fi(y), fi(x)) ≤ d(fi(y), xi) +d(xi, fi(x)) < γ +β < e.
Vìf : X →X là ánh xạ giãn nên ta suy rax = y và do đóy ∈ CR(f). Trước khi đi vào kết quả chính của phần này, ta nhắc lại rằng một đồng phôi f :X →X của không gian mêtric là trộn tôpô nếu với các tập khác rỗng U, V, tồn tại N > 0 sao cho U ∩ fn(V) 6= ∅ với mọi n ≥ N. Nếu f là trộn tôpô thì f thỏa mãn truyền ứng tôpô. Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý phân tích tôpô.
Định lý 2.1.7 (Định lý phân tích tôpô). Cho f : X → X là toàn ánh liên tục của một không gian mêtric compact và CR(f) là tập chuỗi truy hồi. Nếu f|CR(f) :CR(f) → CR(f) là đồng phôi Anosov tôpô thì các tính chất sau đây là đúng:
(1) (Định lý phân tích phổ theo Smale) CR(f) chứa một dãy hữu hạn Bi
(1 ≤i ≤l) của các tập con bất biến f sao cho (i) CR(f) = Sl
i=1Bi (hợp rời nhau),
(ii) f|Bi : Bi →Bi có tính chất truyền ứng tôpô.
(2) (Định lý phân tích theo Bowen) Với mỗi Bk, tồn tại ak > 0 và một dãy hữu hạn Ci (0 ≤i ≤ ak −1) của các tập con đóng sao cho
(i) Ci ∩Cj = ∅ (i 6= j), f(Ci) = Ci+1 và fak(Ci) = Ci, (ii) B = Sak−1
i=0 Ci, (iii) f|ak
Các tập Bi và Cj lần lượt là các các tập cơ sở và các tập sơ cấp. Ta sẽ chứng minh định lý này cho trường hợp tổng quát hơn (đối với trường hợp toàn ánh liên tục) ở phần sau.
Kết quả sau đây là một hệ quả của Định lý 2.1.7. Hệ quả được suy ra trực tiếp từ phần (2) của định lý trên.
Hệ quả 2.1.8. Giả sử f : CR(f) → CR(f) là đồng phôi Anosov tôpô. Hơn nữa, nếu giả giả thiết thêm f :CR(f) → CR(f) có tính chất truyền ứng tôpô và CR(f) chứa điểm bất động của f thì f : CR(f) →CR(f) có tính chất trộn tôpô.