(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải bài toán về tạo số

SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt đợng học của trò Đới với người thầy, ngồi việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh củng cớ những kiến thức học cịn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp em bước vượt qua khó khăn, thử thách cách nhẹ nhàng Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic có óc sáng tạo linh hoạt Vì vậy, quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách quy lạ quen, biết cách biến "khơng thể" thành "có thể" Tổ hợp nội dung quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Nội dung thường xuyên xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, khu vực Olympic 30/04 Các dạng toán tổ hợp phong phú đa dạng phức tạp nên khó phân loại hệ thống thành chuyên đề riêng biệt Với thực trạng cần thiết có người thầy hướng dẫn em tìm phương pháp giải tìm phương pháp giải tối ưu Chính lí nên tơi chọn cho đề tài:“Phương pháp giải toán tạo số” Tên sáng kiến: “Phương pháp giải toán tạo số” download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Phạm Thị Hồng Quyền - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0967.297.005 - Email: hongquyennth1979@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Phạm Thị Hồng Quyền Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo viên THPT áp dụng vào dạy ôn thi học sinh giỏi lớp 11, lớp 12 mơn tốn ôn thi THPT Quốc Gia phần kiến thức lớp 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 12 năm 2017 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Nội dung sáng kiến PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khi giải toán loại ta thường áp dụng mệnh đề sau : Mệnh đề Giả sử ta viết chữ số theo hàng ngang m, n chữ số nguyên dương với a) Số cách viết m chữ số n chữ số khác vào m vị trí định trước b) Số cách viết m chữ số phân biệt cho vào m vị trí n vị trí định trước (trong n-m vị trí cịn lại chưa xét thay đổi chữ số) download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” c) Số cách viết m chữ số giống vào m vị trí n vị trí định trước Mệnh đề Cho tập hợp gồm n chữ số, có chữ số 0, số số có m chữ số khác tạo thành từ chúng B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG Số tạo thành chứa chữ số định trước Ví dụ 1: Có số tự nhiên gồm chữ số khác cho có mặt đồng thời ba chữ số 0, 1, 2? Lời giải Gọi số tạo thành Số tạo thành có chữ số vị trí: ta có cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách chọn vị trí cịn lại cho hai chữ số ; số cách chọn chữ số lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí cịn lại Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác cho có mặt chữ số 1và 2? Lời giải Gọi số tạo thành Xét trường hợp sau: Trường hợp Trong số tạo thành có chữ số download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Số tạo thành có chữ số vị trí: ta có cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách chọn vị trí cịn lại cho hai chữ số ; số cách chọn chữ số cịn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí cịn lại Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành Trường hợp Trong số tạo thành khơng có chữ số Số tạo thành có chữ số vị trí: số cách chọn vị trí cho hai chữ số ; số cách chọn chữ số cịn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí lại Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành trường hợp Theo quy tắc cộng, ta số phải tìm 2016+4200=6216 Bài toán tổng quát Cho tập hợp gồm n chữ số khác , n chữ số cho có chữ số Từ chúng viết số tự nhiên có m chữ số khác cho có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với Cách giải Số tạo thành gồm m chữ số có dạng Gọi tập hợp k chữ số định trước X Trường hợp X chứa chữ số Ta có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k-1 chữ số khác thuộc X vào k-1 vị trí m-1 vị trí cịn lại (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k số n-k chữ số khơng thuộc X vào m-k vị trí lại (theo mệnh đề trên) download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành trường hợp Trường hợp X không chứa chữ số Ta tính theo bước: Bước Tính số số tạo thành chứa chữ số Lần lượt có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí m-1 vị trí cịn lại (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k-1 số n-k-1 chữ số khác mà khơng thuộc X vào m-k -1vị trí lại (theo mệnh đề trên) Theo quy tắc nhân, ta số số tạo thành chứa chữ số bằng: Bước Tính số số tạo thành không chứa chữ số Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí m vị trí (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k số n-k-1 chữ số khác mà không thuộc X vào m-k vị trí cịn lại (theo mệnh đề trên) Theo quy tắc nhân, ta số số bằng: Bước Theo quy tắc cộng, ta số số tạo thành trường hợp k m−k −1 k m−k S=S1 +S =( m−1 ) A m−1 A n−k−1 + A m A n−k −1 DẠNG Số tạo thành chứa hai chữ số định trước không cạnh download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Ví dụ Cho tập hợp gồm chữ số {0,1,2,3,4,5} Từ chúng viết số có chữ số khác cho hai chữ số không đứng cạnh nhau? Lời giải Gọi số tạo thành Trước hết ta tính số số tạo thành Số cách chọn chữ số cho chọn chữ số lại cho vị trí cịn lại số tạo thành là 5; số cách Theo quy tắc nhân ta số số Bây ta tính số số tạo thành cho có hai chữ số 1và đứng cạnh Giả sử xếp theo thứ tự 12 Nếu : Số cách chọn chữ số lại cho hai vị trí cịn lại số tạo thành Nếu cho : Số cách chọn vị trí cho12 ( ) ; số cách chọn chữ số 3; số cách chọn chữ số cho vị trí cịn lại số tạo thành số số 2.3.3=18 Theo quy tắc cộng số số tạo thành cho có chứa 12 12+18=30 Tương tự số số tạo thành cho có chứa 21 30 Vậy số số tạo thành cho khơng có hai chữ số 1và đứng cạnh download by : skknchat@gmail.com ta SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” 300-2.30=240 Bài toán tổng quát Cho tập hợp gồm n chữ số khác viết số tự nhiên có m Từ chúng chữ số khác cho có hai chữ số định trước không đứng cạnh Cách giải Số tạo thành gồm m chữ số có dạng hai chữ số định trước x, y (thuộc n chữ số cho) Ta xét trường hợp giả thiết chữ số x, y chữ số sau: 1) Giả thiết n chữ số cho có chữ số Trường hợp Giả thiết n chữ số cho chứa chữ số hai chữ số định trước x, y khác Bước Tính số số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trước; có n-1 cách chọn chữ số cho ; số cách chọn m-1 n-1 chữ số cịn lại cho m-1 vị trí cịn lại ( theo mệnh đề nêu trên) Do số tạo thành là Bước Tính số số có hai chữ số x, y cạnh theo thứ tự Xét trường hợp x, y cạnh theo thứ tự Với Khi số ứng với chỉnh hợp chập m-2 n-2 chữ số khác x, y Theo mệnh đề trên, số số download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Với Lần lượt ta có n-3 cách chọn chữ số cho khác 0, x, y; m-2 cách chọn vị trí cho ; số cách chọn m-3 n-3 chữ số lại khác cho m-3 vị trí cịn lại ( theo mệnh đề trên) Theo quy tắc nhân, số số bằng S +S3 Từ hai trường hợp trên, ta số số có chứa Tương tự có S +S3 số có chứa Bước Vậy số số tạo thành trường hợp thứ Trường hợp Giả thiết n chữ số cho chứa chữ số hai chữ số định trước x, y Bước Tính số số tạo thành chưa xét đến hai chữ số x, y định trước Bước Tính số số có x, y cạnh dạng thứ tự Số số tạo thành trường hợp thứ hai là: 2) Giả thiết n chữ số cho chữ số Khi ta tìm download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Ví dụ Từ chữ số , , , , , lập số tự nhiên gồm chữ số đơi khác hai chữ số không đứng cạnh Lời giải Số số có chữ số lập từ chữ số , , , , , Số số có chữ số đứng cạnh nhau: Số số có chữ số không cạnh là DẠNG Số tạo thành chứa chữ số lặp lại Ví dụ Có số tự nhiên có sáu chữ số cho có chữ số xuất ba lần, chữ số khác xuất hai lần chữ số khác với hai chữ số trên? Lời giải  Nếu kể trường hợp chữ số đứng đầu, ta xét sau Có 10 cách chọn chữ số xuất lần có cách chọn vị trí cho chữ số Sau có cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất lần có cách chọn vị trí cịn lại cho chữ số Tiếp theo có cách chọn chữ số cho vị trí cịn lại cuối Ta số số  Vì vai trị 10 chữ số 0, 1, …, nên số số có chữ số đầu trái , số số có chữ số đầu trái khác thỏa mãn toán download by : skknchat@gmail.com SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Bài toán tổng quát Cho tập hợp gồm n chữ số số có m chữ số Từ chúng viết cho có chữ số xuất k lần, chữ số khác xuất q lần chữ số khác với hai chữ số với Cách giải Ta xét hai toán nhỏ 1) Giả thiết n chữ số cho có chữ số Bước Nếu kể trường hợp chữ số đứng đầu, ta thấy: Có n cách chọn chữ số xuất k lần có cách chọn k m vị trí cho chữ số Sau có n-1 cách chọn chữ số xuất q lần (khác với chữ số trên) có cách chọn q m-k vị trí cịn lại cho chữ số Cuối có n-2 cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại Theo quy tắc nhân, ta tính số số Bước Vì vai trị n chữ số nên số số có chữ số đứng đầu khác thỏa mãn toán 2) Giả thiết n chữ số cho khơng có chữ số Khi ta tìm Ta mở rộng toán tổng quát cho t chữ số chữ số xuất lần download by : skknchat@gmail.com 10 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Ví dụ Từ các chữ số , , chữ số có mặt lần, chữ số lập được số tự nhiên có có mặt lần, chữ số có mặt chữ số, đó lần? Lời giải Cách 1: dùng tổ hợp Chọn vị trí cho chữ số có cách Chọn vị trí cho chữ số có cách Chọn vị trí cho chữ số có cách Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là số Cách 2: dùng hoán vị lặp Số các số tự nhiên thỏa u cầu bài toán là sớ DẠNG Tính số số tự nhiên chẵn Ví dụ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau? Lời giải: Gọi số tạo thành Trường hợp : Số cách chọn chữ số lại cho vị trí cịn lại Trường hợp Lần lượt ta có cách chọn chữ số chẵn cho sau số cách chọn chữ số cho cách chọn chữ số lại cho vị trí cịn lại Ta số số Theo quy tắc cộng, ta số số 10752+3024=13776 download by : skknchat@gmail.com 11 8; số SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Nhận xét Số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác (ứng với ) DẠNG Tính số số tự nhiên với chữ số chẵn, lẻ Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà có hai chữ số lẻ? Lời giải Số tạo thành có chữ số vị trí Trường hợp Trong số tạo thành có chữ số Lần lượt ta có Số cách chọn vị trí cho chữ số 4; số cách chọn thêm chữ số chẵn số cách chọn chữ số lẻ ; ; với chữ số chẵn chữ số lẻ chọn có 4! Hốn vị cách xếp vào bốn vị trí lại số tạo thành Ta số số Trường hợp Trong số tạo thành khơng có chữ số Lần lượt ta có Số cách chọn chữ số chẵn khác ; số cách chọn chữ số lẻ ; với chữ số chọn có 5! hốn vị cách xếp vào vị trí số tạo thành Ta số số Theo quy tắc cộng, ta số số tạo thành 5760 + 4800 =10560 Ví dụ Tập chữ số gồm số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ Tìm tập S gồm số có sáu chữ số khác cho khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh Lời giải Vì số chọn có chữ số nên phải có hai chữ số chẵn, khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh nên số chọn có tối đa chữ số chẵn download by : skknchat@gmail.com 12 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” TH1: Số chọn có chữ số chẵn, gọi số cần tìm Xếp số lẻ trước ta có cách l l l l Xếp số chẵn vào khe trống số lẻ có Trong trường hợp có cách (số) TH2: Số chọn có chữ số chẵn, gọi số cần tìm Xếp chữ số lẻ trước ta có cách l l l Xếp chữ số chẵn vào khe trống số lẻ có Trong trường hợp có Vậy có tất cách (số) số có chữ số cho khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh Ví dụ 10 Từ chữ số ; ; ; ; ; lập số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác phải có mặt chữ số Lời giải Gọi số cần tìm Trường hợp 1: Chọn có cách Chọn , có cách , có cách Trường hợp 2: Chọn có cách Chọn Trường hợp 3: , download by : skknchat@gmail.com 13 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Chọn có cách Chọn có cách Đưa số Vậy tất có: vào cách Chọn vị trí cịn lại cách số BÀI TẬP Bài 1: Cho tập hợp chữ số Từ chúng viết số tự nhiên gồm chữ số khác mà hai chữ số cạnh khác tính chẵn lẻ? Hướng dẫn: Gọi số tạo thành TH1 Các chữ số lẻ chữ số cho chẵn: Số số TH2 Các chữ số chẵn chữ số cho lẻ: Số số Đáp số: 504 số Bài 2: Cho tập hợp chữ số Từ chúng viết số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà có chữ số 2? Hướng dẫn: Gọi số tạo thành Trước hết ta tìm số số tạo thành cách download by : skknchat@gmail.com 14 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” TH1 : Số số TH2 : Số số A =300 Theo quy tắc cộng, ta số số 120+300=420 Bây ta tìm số số tạo thành khơng có chữ số TH1 : Số số A =60 TH2 : Số số Theo quy tắc cộng, ta số số 60 + 96 =156 Đáp số 420 – 156 = 264 Bài 3: Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà có chữ số đứng phía trước chữ số 2? Hướng dẫn: Gọi số tạo thành Xét trường hợp: TH1 Trong số tạo thành có chữ số 0: Số số TH2 Trong số tạo thành khơng có chữ số 0: Số số Đáp số: 1008+2100=3108 số Bài 4: Cho tập hợp chữ số Từ chúng viết số tự nhiên gồm chữ số mà có hai chữ số ba chữ số lại khác khác 1? Hướng dẫn: TH1 Trong số tạo thành có chữ số 0: Số số TH2 Trong số tạo thành khơng có chữ số 0: Số số download by : skknchat@gmail.com 15 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Đáp số: 528 số Bài 5: Từ chữ số số cho khơng có lập số tự nhiên có chữ số chữ đứng cạnh nhau? Hướng dẫn: TH1: Có chữ số TH2: Có chữ số , chữ số TH3: Có chữ số , chữ số TH4: Có chữ số , chữ số TH5: Có chữ số , chữ số Đáp số: 55 số Bài 6: Với năm chữ số , , , , lập số có chữ số đơi khác chia hết cho ? Hướng dẫn Gọi số thỏa ycbt Do Vậy có số có chia hết Số cách chọn vị trí chữ số đôi khác chia hết cho : 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Thông qua việc nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng ôn thi HSG ôn thi THPT-QG, áp dụng đề tài nhận thấy: - Một số học sinh có khả nhìn nhận tương đối xác dạng tập có liên quan đến nội dung download by : skknchat@gmail.com 16 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” - Một số học sinh nắm kiến thức tự tin giải tập sách giáo khoa, sách tập đề thi thử THPT-QG Kết điểm kiểm tra nâng lên rõ rệt - Hình thành tư lơgic, kỹ giải tốn tạo số - Đề tài góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh Các em học sinh lớp 11 đỡ lúng túng giải tốn nội dung Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Khơng cần Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Giáo viên cần có nhận thức đắn hình thức thi cách thức đề Điều địi hỏi giáo viên cần có trình độ chun mơn sâu rộng, nhìn nhận vấn đề cách tồn diện, linh hoạt cơng việc Học sinh phải chịu khó học hỏi, tìm tịi, tự học sáng tạo 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Bản thân nhờ vận dụng sáng kiến: “Phương pháp giải toán tạo số” nên đạt số kết định: - Kiến thức phần tổ hợp nâng cao hiểu sâu sắc - Làm nguồn bồi dưỡng ôn thi HSG THPT Quốc Gia - Làm tài liệu cho học sinh ôn thi HSG THPT Quốc Gia Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: download by : skknchat@gmail.com 17 SKKN: “Phương pháp giải toán tạo số ” Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm Thị Hồng Quyền Khai Quang – Vĩnh Yên VĩnhYên, ngày tháng năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Dạy học mơn Tốn ơn thi HSG THPT-QG Vĩnh n, ngày tháng năm 2020 VĩnhYên, ngày 01 tháng 3năm 2020 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Phạm Thị Hồng Quyền download by : skknchat@gmail.com 18 ... SKKN: ? ?Phương pháp giải toán tạo số ” TH1 : Số số TH2 : Số số A =300 Theo quy tắc cộng, ta số số 120+300=420 Bây ta tìm số số tạo thành khơng có chữ số TH1 : Số số A =60... Trong số tạo thành có chữ số 0: Số số TH2 Trong số tạo thành khơng có chữ số 0: Số số Đáp số: 1008+2100=3108 số Bài 4: Cho tập hợp chữ số Từ chúng viết số tự nhiên gồm chữ số mà có hai chữ số ba... Ta số số  Vì vai trị 10 chữ số 0, 1, …, nên số số có chữ số đầu trái , số số có chữ số đầu trái khác thỏa mãn toán download by : skknchat@gmail.com SKKN: ? ?Phương pháp giải toán