TRƯỜNG XUYÊN tâm

TRƯỜNG XUYÊN TÂM TP.HCM Ngày 16/9/2020 GV Phạm Vũ Kim Hoàng Bài Một hạt khối lượng m chuyển động tác dụng trường lực xuyên tâm Tại t=0, hạt M0 có r0 = OM vận tốc v0 vng góc với r0 O tâm trường r a.Đặt u = Biểu thị vận tốc v gia tốc a hạt theo u đạo hàm u  hệ toạ độ cực b.Xác định quy luật lực để quỹ đạo hạt đường xoắn ốc lôga r = ae c.Xác định quỹ đạo hạt chuyển động trường lực hút xuyên tâm: f = − Trong 0< k  m.r02v02 ĐS: a a = −C 2u ( d u2 + u )er b d 2.m.r v f =− r 2 0 c Theo định luật II Niutơn: f = m.a  −m.C 2u ( d 2u d 2u k + u ) = − ku  + (1 − )u = 2 d d mC + Chọn trục cực trùng với OM   (0) = Vì 0< k  m.r02v02 = m.C nên ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: v0 = r0 k m Khi phương trình quỹ đạo: r=r0 Hay quỹ đạo hạt đường trịn có tâm tâm trường lực Trường hợp 2: v0  r0 k m Phương trình quỹ đạo: r = r0 cos(. ) Với  = − k k = 1− 2 mC mr0 v0 Bài 2( HSGQG 2017) Một vành tròn bán kính R, cứng, mảnh, có lờng hạt cườm nhỏ khối lượng m đặt trọng trường với gia tốc g Đặt vành mặt phẳng thẳng đứng (Hình1.24P1) Tại thời điểm t = 0, hạt cườm ở vị trí gần sát đỉnh A vành quay đều quanh trục thẳng đứng qua tâm O với tốc độ góc ω, người ta tác động nhẹ để hạt cườm bắt đầu trượt vành xuống Bỏ qua ma sát giữa hạt cườm vành Vành quay đều với vận tốc góc ω hạt trượt k r r3 r a Xác định tốc độ hạt cườm hệ quy chiếu gắn với vành thời điểm hạt cườm qua điểm A ' bất kỳ vành với AOA ' =  (0     ) b Xác định khoảng thời gian hạt cườm chuyển động từ điểm B (với AOB =  ) tới điểm C (với AOC = 3 ), biết rằng   g R Giữ vành cố định nằm ngang (Hình 1.24P2) Ở thời điểm ban đầu hạt cườm trượt vành với vận tốc v Hệ số ma sát trượt giữa hạt cườm vành μ Xác định quãng đường hạt vành Đáp số 1a 𝑡 = 𝑠 = 𝜔 𝛼 3𝜋/4 𝑙𝑛 |𝑡𝑎𝑛 | 𝑅 2𝜇 𝜋/2 ln [ = √𝑣04 +(𝑔𝑅)2 −𝑣02 𝑔𝑅 ln(√2+1) 𝜔 ] Bài Một viên bi nhỏ có khối lượng m, nối với lị xo nằm mặt phẳng ngang nhẵn Lị xo có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l , khối lượng không đáng kể, đầu lò xo nối với chốt thẳng đứng qua O lò xo dễ dàng quay mặt phẳng quanh chốt O không ma sát Ban đâu hệ bi lò xo đứng yên, lò xo khơng biến dạng Sau viên bi thứ có khối lượng m chuyển động vận tốc v song song với mặt phẳng ngang tạo với trục lị xo góc  , đến va chạm mềm với viên bi thứ nhất (Hình 1.25P), sau va chạm hai bi dính vào chuyển động mv02 = Hãy tìm độ dài lị xo lớn Biết rằng  = 30 kl02 nhất nhỏ nhất sau va chạm Từ suy tốc độ góc lớn nhất nhỏ nhất hai bi quay quanh O sau va chạm l v sin   0,149v0 , vận tốc cực đại vmax  0, 414v0 Đáp số Vận tốc cực tiểu vmin = 0 2lmax Bài Một vệ tinh nhân tạo Mặt Trăng chuyển động theo quỹ đạo trịn có bán kính lớn bán kính R Mặt Trăng  lần Khi chuyển động, vệ tinh chịu sức cản yếu bụi vũ trụ Giả thử rằng lực cản phụ thuộc vào vận tốc vệ tinh theo định luật F = − v ,  >0 hằng số; tìm thời gian chuyển động vệ tinh lúc rơi lên bề mặt Mặt Trăng Coi quỹ đạo chuyển động vệ tinh gần đường trịn q trình chịu tác dụng lực cản khối lượng mặt trăng M Đáp số t = m (  − 1) ; g gia tốc rơi tự Mặt Trăng  gR Bài Thế hạt trường hấp dẫn có dạng U = a b − , với a b r2 r hằng số dương, r khoảng cách tính từ tâm trường Hãy tìm: a) giá trị r0 tương ứng với vị trí cân bằng hạt Hãy giải thích vị trí có phải vị trí cân bằng bền khơng? b) giá trị cực đại lực hấp dẫn c) biểu diễn chừng đồ thị phụ thuộc U(r) F(r) hình chiếu lực lên bán kính vectơ r Đáp sớ 2a b3 a Vị trí cân bằng r0 = cân bằng bền; b Giá trị cực đại lực hấp dẫn ; c b 27a 2a r0 = b Bài Giả sử Mặt trăng có tâm O khối lượng M, bán kính R đứng yên hệ quy chiếu quán tính Một tàu vũ trụ có khối lượng m tới từ Trái đất coi ở rất xa Con tàu chuyển động tới Mặt trăng theo quỹ đạo hypebol với tiệm cận cách tâm O Mặt trăng khoảng b tốc độ lúc v0 Khoảng cách bé nhất từ tàu đến tâm Mặt trăng a Giả thiết rằng tàu chỉ chịu tác dụng lực hấp dẫn Mặt trăng Gia tốc rơi tự ở bề mặt Mặt trăng g0 Tìm mối liên hệ giữa v0, a, b Tàu khí chuyển sang quỹ đạo trịn với tốc độ v=R g0 a Sau nhiều vòng tàu quay quan sát điểm A quỹ đạo, phóng tên lửa có khối lượng mT = 2m để tàu đổ xuống Mặt trăng Tốc độ tên lửa rời tàu Mặt trăng vT = v theo hướng bán kính OA Hãy xác định: a Hướng, độ lớn vận tốc tàu sau đã phóng tên lửa lượng tiêu tốn để thực điều b Tỉ số  = a để sau phóng tên lửa tàu đổ xuống Mặt trăng R Đáp số v02 = 2g2 R a2 b −a 2a Vận tốc tàu sau phóng tên lửa: v' = 3R g0 a v  Góc hợp bởi v , phương bán kính xác định: tg =  =   = vr Năng lượng cần tiêu tốn để thực tách này:  = 13 mg R 2b   1, 45 Nếu  ≤ 1,45 tàu rơi xuống Mặt trăng a Bài (CÔNG THỨC BINET) Quỹ đạo chuyển động hạt chuyển động tác dụng lực xuyên tâm r 2 ' = constant Hãy xác định phương trình thế theo r (mốc thế ở vô cực bằng không) 2r Bài 8.(Trường xuyên tâm) Một tàu vũ trụ bay quỹ đạo trịn bán kính r0 quanh Đáp sớ V = − mh có khối lượng M Động phản lực tàu phát động để thay đổi vận tốc (ngay lập tức) lượng v Góc động phản lực θ góc giữa vecto vận tốc v vecto từ tới mũi tàu vũ trụ (Hình 1.30P) Để tiết kiệm nhiên liệu N lần phụt, động phải tối thiểu hóa V =  i =1 vi Vi gọi N xung lực riêng (mô đun độ biến thiên vận tốc tàu) a Giả sử ta muốn dùng động tên lửa để khỏi ngơi Xung lực riêng tối thiểu tàu phải bằng nếu động lần nhất khoảng thời gian rất ngắn? Và theo hướng nào? b Giả sử ta muốn thăm hành tinh có quỹ đạo hình trịn bán kính r1  r0 Xung lực riêng tối thiểu tàu để tới quỹ đạo hành tinh trên? Và phải theo phương nếu lần nữa động chỉ lần nhất thời gian rất ngắn? Giả sử ta muốn sử dụng động tàu để làm cho đâm vào S (giả thiết bán kính bỏ qua) Tính xung lực riêng tối thiểu tàu cả hai trường hợp sau: c Phụt lần thời gian rất ngắn với góc  = 1800 d Phụt lần thời gian ngắn với góc  = 00 lần thứ hai với góc  = 1800 sau Thời gian lần thứ hai cường độ mỗi lần chọn để tối thiểu hóa xung lực riêng tổng cộng Đáp sớ a Vận tốc tàu xung lực riêng phải chiều Khi xung lượng riêng v : v = (v0 e − v0 ) = b V = GM ( − 1) r0 GM 2r0 (3 − ) r1 r1 Bài (Trường xuyên tâm) a Một hạt khối lượng m chuyển động thế V (r ) = k / r , k > Xét chuyển động mặt X – Y cho r  tọa độ cực mặt phẳng cho lời giải với r hàm  , momen xung lượng l lượng E (hình 1.31P) b Sử dụng kết quả phần (a) để thảo luận tán xạ (cổ điển) thế Đặt θ góc tán xạ Liên hệ thơng số va chạm với θ lượng E từ tính tiết diện vi sai hàm θ E Đáp số 2mk 2me a = sin  ; với  = + l r L k ( −  ) b Đáp số b = E (2 −  ) Bài 10 (Trường xuyên tâm) Một hành tinh có mật độ đồng nhất quay quanh trục cố định Oz với vận tốc góc ω Do có chuyển động quay này, bán kính xích đạo RE lớn chút so với bán kính cực RP mơ tả bởi tham số ε = ( RE - RP )/ RE Kết quả nhiễu loạn đóng góp vào thế hấp dẫn 2GM e RE2 P2 (cos  ) là: (R, ) = − 5R3 3cos  − Trong đó, θ góc cực P2 (cos  ) = 2 Nêu rõ điều kiện cân bằng khả dĩ bề mặt hành tinh tính giá trị ε theo tham số  =  RE g , g gia tốc hấp dẫn Ước lượng trị số ε trái đất 5RE2b 5RE2 5RE 5  = =  2,9.10−3 6GM e 6g Bài 11 Xét hành tinh có khối lượng m quay quanh Mặt Trời có khối lượng M Giả sử khơng gian xung quanh Mặt Trời có lượng bụi phân bố đều mật độ ρ Đáp số  = 4G a Chỉ rằng lực tác động bụi cộng vào lực hút xuyên tâm F’ = −mkr, k = Bỏ qua lực cản bụi hành tinh b Xét chuyển động trịn hành tinh tương ứng với mơmen động lượng L Tìm phương trình bán kính chuyển động r0 theo L, G, M, m k c Giả sử F’ nhỏ so với lực hút Mặt Trời xét quỹ đạo chỉ lệch chút so với quỹ đạo ở phần b Bằng cách xét tần số chuyển động xuyên tâm chuyển động quay chứng minh rằng quỹ đạo elip tuế sai tính tần số chuyển động tuế sai ωρ theo r0, ρ, G M d Trục elip tiến động chiều hay ngược chiều với tần số góc chuyển động quỹ đạo? Bài 12 Người ta muốn phóng vệ tinh nhân tạo theo phương án sau: Từ mặt đất truyền cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng Tại độ cao h vệ tinh có vận tốc bằng khơng, người ta trùn cho vận tốc v1 theo phương nằm ngang để chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm v v' sai e thông số p cho trước a Tính vận tốc v0 R0 Cv b Tính vận tốc v1 c Khi vệ tinh quay đến viễn điểm người ta giảm vận tốc để quỹ đạo có khoảng cách cận điểm bằng bán kính R0 Trái Đất (nghĩa đưa vệ tinh trở về Trái Đất) Hãy tính độ giảm vận tốc Bài 13 Một hạt cổ điển có lượng 𝐸 mô men động lượng 𝐿 điểm 𝑀 chuyển động 𝐺 tiến tới vùng có trường thế hấp dẫn xuyên tâm 𝑉 = − (với tâm điểm 𝑀) 𝑟 Hạt bị tán xạ bởi trường thế a) Giả thiết lượng mơ men động lượng bảo tồn, tìm phương trình vi phân 𝑑𝑟 𝑑𝜃 theo 𝐸, 𝐿, 𝑟, 𝑚 b) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hạt tâm tán xạ (𝑟𝑚𝑖𝑛 ) Bài 14 Một vệ tinh, có khối lượng 𝑚, quay quanh Trái Đất, khối lượng 𝑀, theo quỹ đạo trịn, bán kính 𝑅0 Nếu vệ tinh bị nhiễu loạn nhẹ tức thời theo phương bán kính, cho bị lệch khỏi quỹ đạo trịn ban đầu Tính chu kỳ dao động 𝑇 𝑟 quanh khoảng cách trung bình 𝑅0 Bài 15 Coi Trái Đất (T) chuyển động xung quanh Mặt Trời (S) theo quỹ đạo trịn bán kính RT = 150.109 m với chu kỳ T0 vận tốc v T Một chổi (C) chuyển động với quỹ đạo nằm mặt phẳng quỹ đạo Trái Đất, gần Mặt Trời nhất ở khoảng cách bằng kRT với vận tốc ở điểm v1 Bỏ qua tương tác chổi với Trái Đất hành tinh khác hệ Mặt Trời Xác định vận tốc v chổi cắt quỹ đạo Trái Đất theo k, vT v1 Cho biết k = 0,42; vT = 3.104 m/s v1 = 65,08.103 m/s Chứng minh rằng quỹ đạo chổi elip Hãy xác định bán trục lớn a dạng a = RT tâm sai e elip theo k, vT v1 Biểu diễn chu kỳ quay chổi quanh Mặt Trời dạng T = nT0 Xác định trị số , e n Gọi  khoảng thời gian mà chổi ở bên quỹ đạo Trái Đất, tức r = CS  RT Giá trị  cho ta biết cỡ độ lớn khoảng thời gian quan sát chổi từ Trái Đất Hãy biểu diễn  dạng tích phân tính gần tích phân Bài 16 Một trạm vũ trụ chuyển động với tốc độ u quỹ đạo hình trịn bán kính R quanh Trái Đất Khi qua điểm C trục 0y hệ trục tọa độ 0xy gắn cố định với Trái Đất, trạm vũ trụ phóng máy thăm dị Lúc phóng ra, máy thăm dị trùn thêm vận tốc V theo phương 0y, sau trạm vũ trụ chuyển động trịn đều với tốc độ u (Hình 1) Gọi góc hợp bởi tia 0y tia nhìn từ tâm Trái Đất qua vật thể cần quan sát góc nhìn Chứng minh rằng nếu góc nhìn máy thăm dị bằng góc nhìn trạm vũ trụ véctơ vận tốc chúng lại khác lượng V lúc phóng Khi góc nhìn máy thăm dị  máy y thăm dị cách tâm Trái Đất bao nhiêu? Tốc độ V phải thỏa mãn điều kiện quỹ đạo máy thăm dị kín (quỹ đạo elip)? Trong trường hợp quỹ đạo khơng kín, gh y Trái Đất Trái Đất C C x x Quỹ đạo Quỹ đạo Hình Hình tìm góc giới hạn gh hợp bởi véctơ vận tốc máy thăm dò tia 0y máy thăm dò xa vơ cùng (Hình 2) Trong trường hợp quỹ đạo kín (quỹ đạo elip), tìm bán trục lớn bán trục nhỏ quỹ đạo máy thăm dò Bài 17 Xét hành tinh (khối lượng m) chuyển động quanh Mặt Trời (khối lượng M) Ta định nghĩa vectơ Z sau: Z= v  L − er  •  = (G hằng số hấp dẫn), v L lần lượt GMm vận tốc momen động lượng hành tinh Trong toán này, ta chọn hệ toạ độ cực có gốc Mặt Trời (S), e r A r • rA • S P rp • e  vectơ đơn vị ứng với hai toạ độ r,  a) Chứng minh rằng nếu hành tinh chỉ chịu tác dụng bởi lực hấp dẫn Mặt Trời Z vectơ khơng đổi, hướng từ S về phía điểm cận nhật P (xem hình vẽ) b) Dùng vectơ Z, chứng tỏ phương trình quỹ đạo toạ độ cực hành tinh là: r= p + e cos  Biểu diễn đại lượng p e ở qua rA rP A điểm viễn nhật, P điểm cận nhật hành tinh Như theo 1., nếu chỉ có lực hấp dẫn Mặt Trời tác dụng lên hành tinh quỹ đạo hành tinh cố định, đặc biệt điểm cận nhật P cố định Trong thực tế, những quan sát thiên văn cho thấy P dịch chuyển chậm thể rõ nhất Thuỷ tinh, hành tinh ở gần Mặt Trời nhất Sở dĩ theo thuyết tương đối rộng, chuyển động hành tinh xung quanh Mặt Trời (cả hai đều giả thiết quả cầu đồng chất) cần phải mô tả bởi thế hấp dẫn Niutơn U(r) = − GMm cộng với thế nhiễu loạn r UP = GM L2  =− 3 c mr 3r c tốc độ ánh sáng chân không,  = − 3GM L2 c2 m a) Chứng minh rằng U P thoả mãn điều kiện thế nhiễu loạn, tức U P  U b) Do có nhiễu loạn, quỹ đạo Thủy tinh thay đổi, nhiễu loạn rất nhỏ nên phép gần bậc nhất coi quỹ đạo hành tinh elip Viết biểu thức vectơ Z có tính đến thế nhiễu loạn Tính d dZ biểu diễn hàm số  , G, M, , e dt dt p elip (đã tìm ở 1.) Từ suy độ biến thiên  Z chu kì T Thủy tinh quay quỹ đạo elip đến kết luận rằng thế nhiễu loạn có ng̀n gốc tương đối tính U P đã làm biến đổi quỹ đạo tương ứng với quay chậm trục dài elip quỹ đạo xung quanh gốc S (tức Mặt Trời) c) Tính góc quay  quỹ đạo Thủy tinh theo chu kì hàm số G, M, c khoảng cách cực đại cực tiểu rA rP d) Từ những kết quả suy “độ dịch thế kỉ” Thủy tinh góc  mà trục lớn quỹ đạo quay thế kỉ Tính  giây (góc) Thực nghiệm đo góc  = 42, 6  0,9 Hãy so sánh kết quả kết quả bạn vừa tìm dựa thuyết tương đối Các số liệu cần thiết: Hằng số hấp dẫn vũ trụ: G = 6, 67.10−11 N.m kg −2 , khối lượng Mặt Trời: M = 2.1030 kg Đối với Thủy tinh: Chu kì quay quanh Mặt Trời T = 88 ngày, rA = 7, 0.1010 m rP = 4, 6.1010 m Cho biết hệ toạ độ cực ( r; ) có hệ thức sau: ... động hạt chuyển động tác dụng lực xuyên tâm r 2 ' = constant Hãy xác định phương trình thế theo r (mốc thế ở vô cực bằng không) 2r Bài 8.(Trường xuyên tâm) Một tàu vũ trụ bay quỹ đạo tròn... lượng