Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2012 2013 môn thi: toán vòng I54964

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2.5 điểm): Giải phương trình: x 4n  x 2n  2012  2012 (n  ฀ * ) Câu (2.5 điểm): Cho dãy số (u n ) xác định công thức: u1   1 3  *   u u  n1  n u  ; (n  ฀ ) n    Tính: lim un ? Câu (1.5 điểm): Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 1 36    2 x y z  x y  y z  z x2 Câu (2.0 điểm): Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC, N chân đường phân giác góc ฀ Đường thẳng vng góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P, BAC Q theo thứ tự Đường thẳng vng góc với AB P cắt AN O Chứng minh OQ vuông BC Câu (1.5 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2  y  z HẾT DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn ny cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Nội dung Câu Điểm 2,5 điểm Phương trình: x  x  2012  2012 (n  N*) Đặt t = x2n  0, phương trình (1) trở thành: t  t  2012  2012 1  t  t   t  2012  t  2012  4 4n 2n 1  1    t     t  2012   2  2  (1) 0,25 0,5 0,5  t   t  2012 0,25  t  t  2011  (2) Giải phương trình (2) ta được: t  Phương trình có nghiệm: x1  2n 1  8045 thỏa mãn điều kiện 1  8045 1  8045 x   2n , n  ฀ * 2 0,25 0,25 0,5 2,5 điểm Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un  0; n  ฀ * Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn 0,5 1  1 3 un1   2un     un  un    un2  3 ; n  ฀ * 3 un   un  un Do đó: un  3 ; n  ฀ *    un3  1 Mặt khác: un1  un  un   un    un      un  un   un  Vậy (un ) dãy số giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử, lim un  a Ta có: a  a   a   a  3 a a Vậy: lim un  3 0,5 0,5 0,5 0,5 1.5 điểm 1 36    2 x y z  x y  y z  z x2 1 1  (9  x y  y z  z x )      36 x y z Ta có:  xyz  Do đó: 0,25  xy  yz + zx    xy  yz  zx        1   xy  yz+zx  27  xy  yz+zx   x  y  z    xyz  xy  yz+zx      2 0,25 27  xy  yz+zx 0,25 Mặt khác:  x y  y z  z x    x y  1   y z  1   z x  1    xy  yz  zx    1   (9  x y  y z  z x )       x y z   27  3   xy  yz+zx   xy  yz+zx    108     xy  yz  zx    xy  yz  zx  Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn 0,25    108    xy  yz  zx    1296 xy  yz  zx   1 1 Suy ra: (9  x y  y z  z x )      36 x y z Dấu “=” xảy khi: x = y = z = 0,25 0,25 2.0 điểm A 0,25 y Q B N P M C O x Chọn hệ trục tọa độ Nxy cho A, N nằm trục hồnh Vì AB khơng song song với trục tọa độ nên phương trình có  b  dạng : y = ax + b (a  0) Khi : A    ;0  , P  (0; b)  a  AC qua A đối xứng với AB qua trục hồnh nên có phương trình : y = -ax – b PO qua P, vng góc với AB nên có phương trình : y   x  b a O giao điểm PO trục hoành nên O  (ab,0) BC qua gốc tọa độ nên : +) Nếu BC không nằm trục tung phương trình BC có dạng y = cx với c  0,c   a (vì B, C khơng thuộc trục hồnh, BC khơng song song với AB AC) B giao điểm BC AB nên tọa độ B nghiệm hệ :  y  ax  b bc   b ;  B   ca ca  y  cx C giao điểm BC AC nên tọa độ C nghiệm hệ : Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 0,25  y  ax  b b bc   ;  C     y cx  c a c a       abc  bc  ab Do : M   , suy : ; AM  c; a  2  2  a (c  a ) c a c a  a2 ab x c c Từ ta có phương trình AM : y  Q giao điểm AM với trục tung nên  ab    1 Q   0;   QO  ab 1;   c  c    Do QO vectơ pháp tuyến BC nên QO vng góc BC +) Nếu BC nằm trục tung tam giác ABC cân A nên M  N, O thuộc AN nên QO vng góc BC 0,25 Giả sử  x, y, z  nghiệm ngun dương phương trình Ta có: 0,25 0,25 1,5 điểm x+2  y  z  yz  x  ( y  z )  yz    x  ( y  z )   yz  yz  12 0,25  yz   x  ( y  z )   12   x  ( y  z )    x  ( y  z )   12  yz   x  ( y  z )   yz  12 Nếu x  ( y  z )   ฀ (vô lý) x  ( y  z)  y 1  z  Nếu x  y  z yz     x   y     z  Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) (4; 1; 3) nghiệm phương trình Vậy: nghiệm nguyên dương phương trình cho (4; 3; 1) (4; 1; 3) 0,25 Trang: - Đáp án Tốn - Vịng DeThiMau.vn 0,25 0,5 0,25 ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2 012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn... trình (1) trở thành: t  t  2 012  2 012 1  t  t   t  2 012  t  2 012  4 4n 2n 1  1    t     t  2 012   2  2  (1) 0,25 0,5 0,5  t   t  2 012 0,25  t  t  2011  (2)... điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Nội dung Câu Điểm 2,5 điểm Phương trình: x  x  2 012  2 012 (n