BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa Chứng minh bất đẳng thức sau 1.Cho a,b,c,d > a a + c a) a < b < b) a > b b + c a a + c b > b b + c a b c c) < a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ e) 2abc a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 i) 4ab(a – b)2 (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b +1>0 a b k) ≥ a + b l) + a2(1 + b2) ≥ + b a 2a(1 + b) a + b a2 + b2 a2 m) n) ( ) o) 2 + a4 a + b + c2 a2 + b2 + c2 ≥( ) 3 a2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4.Cho a ,b [– 1;1] Chứng minh : |a + b| |1 + ab| x 4.a)Chứng minh rằng: x ≥ y ≥ + x y ≥ + y b)Chứng minh rằng: với hai số a b tùy ý ta có |a| |b| |a – b| ≤ + + |a – b| + |a| + |b| 5.Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : ab ≥ a + b 6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5+ x – x + 1>0 6.Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh : a + b + c – ab – bc – ca 4.Cho < a b c Chứng minh : b( 1 1 + ) + (a + c) ( + )(a + c) a a c b c 5.Cho a > b > c ≥ ab Chứng minh c + b c + a ≥ c2 + a2 c2 + b2 5.Cho a + b + c Chứng minh : + a a3 + b3 + c3 – 3abc a + b ≥0 a + b + c 5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh : 1 + + a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc 1 c3 + a3 + abc abc 4.Cho số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ Chứng minh : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 2 – d ≥ (a – b + c – d) 5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh : 1 ≥ + + a2 + b2 + ab a) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : 1 ≥ + + + b3 + c3 + abc + a3 a) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh 1 : ≥ + + 4y + 2x + y + 4x a,b,c,d chứng minh a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 b) < a b c d + + + a + b + c a + b + d b + c + d a + c + < 7.Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác ,chứng minh : a b c a c b a) + + – – – a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < *e) (a + b + c)2 9bc với a b c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ ,chứng minh : a4 + b4 ≥ a3 + b3 *9.Cho a ,b ,c ≥ , chứng minh : DeThiMau.vn a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < *10 Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác,với a b c Chứng minh : (a + b + c)2 9bc *.Cho tam giác ABC,chứng minh : aA + bB + cC ≥ a + b + c *.Cho a ,b ,c [0;2] Chứng minh : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 1 Chứng minh : + + + …+ 1.2 2.3 3.4 0 b a 2a2 + c) ≥1 4a2 + d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab + ab)2 1 a2 h) i) a a4 + 2 1 + + + ≥ b c a + b b + a Chứng minh : b) a2b + ≥ 2a b > b e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 j) + ≥ b a + b + c c + a a2 + j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab)2 h) ≥2 a2 + a6 + b9 k) ≥ 3a2b3 – 16 a2 a2 + b2 c2 l) ≥4 m) ≥ + + b2 c2 a2 a2 + a c b + + c b a DeThiMau.vn 2.Cho a > , chứng minh : (1 + a)2 + + ≥ 16 a2 a Cho số a ,b ,c > tùy ý Chứng minh rằng: 1 a) a2b + ≥ 2a b) a + b + c ≤ ( a2b + b 1 b2c + c2a + + + ) a b c 3.Cho < a < b , chứng minh rằng: a < < 1 + a b a +b ab < 3.Cho hai số a ≥ 1, b ≥ , chứng minh : a b – + b a – ab 4.Cho số a,b,c ≥ Chứng minh : c a) ab + ≥ ac (b 0) b) a + b + c ≥ b ab + bc + ca c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( a + b) ≥ 2(a + b) ab e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc )3 Chứng minh x (0; /2) ta có: cosx + sinx + tgx + cotgx + + sinx >6 cosx 5.Cho số a ,b ,c thoả a + b + c = Chứng minh : a4 + b4 + c4 ≥ abc 5.Cho số a,b,c không âm,Chứng minh : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) bc ac ab ≥a+b+c + + a b c b a c c b a a c)( + )( + )( + ) ≥ d) (1 + )( a c a b c b b b c + )(1 + ) ≥ c a 1 e) (a + b + c)( + + ) ≥ f) (a + b + c)( a b c 1 )≥ + + b + c c + a a + b ( ) 12.Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh : c a b 1 a b c a) ( )( )( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + 3 + + + ≥ h) 3a + 7b ≥ + + a b c b+ c c + a a + b 9ab2 c)(c + a)abc 729 i) 3a + 2b + 4c ≥ ab + bc + ac a + b + c + 13*.Cho số a ,b ,c ,d > thoả mãn + j) ≥ a+ b + 1+ c + + a 1 6.Cho số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh : + + ≥3 1 + c + d + b 2 a) (ab + cd)( + ) ≥ b) a + b + c + ac bd Chứng minh abcd d ≥ (a + b)(c + d) 81 14.Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác c) + ≥ d) (a2 + 1)(b2 + ,chứng minh : ab cd (a + b)(c + d) a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) e) abc (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) c) (p – a)(p – b)(p – c) d) ≥ abcd 1 1 1 1 1 1 ≥ 2( + + + + ) f) + + ≥ g) + + + ≥ a p–a p–b p–c b c a b c d a b c a + b + c p p – a p – b p – c 3p e) < + + < 16 15.Cho số a ,b ,c ≥ ,thoả mãn a.b.c = a + b + c + d Chứng minh : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ a6 + b9 1 h) ≥ 3a b – 16 i) (abc + 1)( + + 15 Cho số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = a b Chứng minh a c b – ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ + )( + + ) ≥ a + b + c + c c b a 16 Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an Chứng minh 7.Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: bn an a2 an a1 (1 + ) + (1 + ) ≥ 2n+1 n N a) ≥n b) (a1 + a2 + … + + + … + a b a3 a1 a2 8.Cho a + b = 1,Chứng minh : 1 an)( + + … + ) ≥ n2 1 a1 a2 an a) ab b)a2 + b2 ≥ c)a4 + b4 c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với 1 a1.a2….an = ≥ d)a3 + b3 ≥ 17.Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] ,chứng minh : 9*.Cho a > b ab = ,chứng minh : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ a2 + b2 ≥2 an2) a–b (a + b)(1 – ab) 18.Cho a > b > , chứng minh : a + * Chứng minh – b(a – b) (1 + a2)(1 + b2) ≥ Khi xảy dấu = 18 Cho hai số a ≥ ; b ≥ Chứng minh : a) a + 33 b≥ 55 ab b) 10.a) Chứng minh b > , c > : 17 12 a 12 b 17 ab b + c a6 + b9 ≥ b + c bc c) ≥ 3a2b3 – 16 b)Sử dụng kết chứng minh a ,b 19 Chứng minh 1.3.5….(2n – 1) < nn ,c ba số khơng âm có tổng 20*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh a + b + c = b + c ≥ 16abc : 11.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + )( a+b+c≥ a mn k m n k a b c mn k a n b k c m mn k a k b m c n 1+ )≥9 b g) a + b + b + c + c + a ≥ g) DeThiMau.vn 21*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an b1 ,b2 ,….,bn Chứng minh : n a1.a2 an + n b1.b2 bn n (a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn) 21 Chứng minh : (a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3) ≤ a + b + c + d a ≥ – , b ≥ – , c ≥ ,d > 22* n N chứng minh : a) … < 22 33 44 nn n 1 1 n ( n 1) b) n ( n 1) 2n 1.22.33.44…nn < 23*.Cho m,n N ;m > n Chứng minh : 1 ( + )m > ( + )n n m 24*.Cho x1,x2,…xn > x1 + x2 + ….+ xn = Chứng minh 1 (1 + )(1 + )…(1 + ) ≥ (n + x1 x2 xn 1)n 25*.Cho số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2) 26*.Cho số a ,b ,c (0;1) Chứng minh bất đẳng thức sau phải có bất đẳng thức sai: a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 27*.Cho số a,b,c > Chứng minh : a b c + + a3 + b2 b3 + c2 c3 + a2 1 + + b2 c2 a2 28** Cho x ,y ,z [0;1] ,chứng minh : (2x 81 + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 29*.Cho a , b , c > Chứng minh : a + b a) log2a + log2b log2 ( logba (a + b b) + logcb + logac ) ) ≥ b + c c + a a + b + c *Cho a ,b ,c > 0,chứng minh : b c a a) ≥ b) + + c + a a + b b + c b2 c2 a + b + c a2 ≥ + + c + a a + b b + c DeThiMau.vn c) a3 a + b c b3 + b + c a + c + a b ≥6 d) c3 ≥ ab + bc + ca b c a e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) bc ac ab ≥a+b+c + + a b c a + b + c a2 b2 c2 g) ≥ ≥ + + b + c c + a a + b ab bc ca + + a + b b + c c + a Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý Chứng minh : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab ) ≥ 6abc *Cho a ,b ,c > thoả : + = Chứng c b a a + b c + b minh : ≥4 + 2a – b 2c – b *Cho số a, b, c thoả a + b + c ≤ Chứng minh : 1 1 a) + + ≥ b) + + a2 + 2bc b2 + 2ac a b c ≥9 c2 + 2ab *Cho a ,b ,c > thoả a + b + c k Chứng minh : )(1 + \f(1,b))(1 + \f(1,c)) ≥ + + (1 + \f(3,k))3 *Cho ba số a ,b ,c Chứng minh : a2 b2 c2 a b c ≥ + + + + b2 c2 a2 b c a *Cho tam giác ABC,Chứng minh : a) + hb + hc ≥ 9r b) a–b b–c c–a < + + a + b b + c c + a Dùng tam thức bậc hai x , y R Chứng minh : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + > a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + ≥ c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + ≥ d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + ≥ 3(x + y) x2 x y2 y f) + 10 ≥ + –8 + y2 y x2 x g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 2.Cho số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) Chứng minh : (1 + 2x + 3x)2 < + 3.4x + 32x+1 ( ) ( ) Cho ax + by ≥ xy, x,y > Chứng minh : ab ≥ 1/4 *5 Cho – x – < y < ,chứng minh : x2 + 3xy + > 6** Cho a3 > 36 abc = 1.Xét tam thức f(x) = a2 x2 – ax – 3bc + a) Chứng minh : f(x) > x a2 b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca Cho hai số x , y thoả mãn: x y Chứng minh x3 – 3x y3 – 3y + Tìm Giá trị nhỏ hàm số : a) y = x2 + x2 b) y = x + + với x > – x + c) y = x + với x > x–1 x d) y = + với x > – x + x2 + x + e) y = với x > x f) y = + với x (0;1) x 1–x Tìm giá trị lớn hàm số sau: y = x(2 – x) 0 x y = (2x – 3)(5 – 2x) x 2 y = (3x – 2)(1 – x) x y = (2x – 1)(4 – 3x) x 3 y = 4x – x với x [0;4] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên tia Ox Oy lấy điểm A B thay đổi cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R = Xác định tọa độ A B để đoạn AB có độ dài nhỏ *.Cho a ≥ ; b ≥ ; c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức ab c – + bc a – + ca b – A= abc *Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x – 1+ – x DeThiMau.vn ... Chứng minh : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2) 26*.Cho số a ,b ,c (0;1) Chứng minh bất đẳng thức sau phải có bất đẳng thức sai: a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 27*.Cho... số a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a) a2 + b2 + c2 ≥ b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 Bất đẳng thức Cauchy 1.Cho hai số a ≥ , b ≥ a b a) + ≥2 a,b>0 b a 2a2 + c) ≥1 4a2 + d) a3 + b3 ≥ ab(a... b) (1 + a2)(1 + b2) ≥ Khi xảy dấu = 18 Cho hai số a ≥ ; b ≥ Chứng minh : a) a + 33 b≥ 55 ab b) 10. a) Chứng minh b > , c > : 17 12 a 12 b 17 ab b + c a6 + b9 ≥ b + c bc c) ≥ 3a2b3 – 16 b)Sử