Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 11 môn thi: Toán53630

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) Giải phương trình: b) 16 sin x  a) cos x sin x  cos x  sin x  10 sin x  5sin x Câu (1 điểm) Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có sáu chữ số đối khác cho chữ số 1, 2, đứng kề Câu (1 điểm) Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu đỏ, cầu trắng 10 cầu xanh Hộp thứ hai chứa cầu đỏ, cầu trắng cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để hai cầu lấy có màu Câu (1 điểm) Tìm hệ số x khai triển 1  x  x  thành đa thức Câu (1 điểm) Tìm số hạng tổng qt tính tổng 100 số hạng dãy số un  xác định u1  2013, un 1  2un  1, n  Câu (1,25 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A  1;4  , B  3;0  ,   C   ;0  , điểm M 1;0  cạnh BC Hãy xác định tọa độ điểm N AB điểm P   AC cho chu vi tam giác MNP nhỏ Câu (2,25 điểm) Cho tứ diện ABCD M điểm cạnh AB (P) mặt phẳng qua M song song với AD BC a) Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) Thiết diện hình gì? Hãy xác định vị trí M đoạn AB cho thiết diện thu hình thoi b) Cho O điểm nằm tam giác BCD Các đường thẳng qua O song song với AB, AC, AD tương ứng cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) theo thứ tự B’, C’, D’ Tìm giá trị lớn tích OB’.OC’.OD’, biết AB = x, AC  y, AD  z Câu (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có minh a  BC, b  AC, c  AB ,  A, B, C  150 Chứng ab , bc , ca độ dài ba cạnh tam giác Hết -Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………… Giámthị 1:………………………………… Số báo danh………………………… Giám thị 2:……………………………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Câu Nội dung 2 a)Pt   cos x  sin x  sin x   cos x  sin x   Điểm 0,25   cos x  sin x   cos x  sin x  sin x  1   cos x  sin x    cos x  sin x  cos x     cos x    x   k   k  Z   x    k  Phương trình có hai họ nghiệm x   0,5  k , x   0,25  k  k  Z  b) Ta có  2   cos x   16 sin x   sin x cos2 x  cos x      cos x = sin x  8sin x cos x  sin x  sin x  5sin x  10 sin x   x   k 2  Pt  sin x  0 5 x  3  k 2   k 2   x  20   k  Z   x  3  k 2  20  k 2 3 k 2 Vậy phương trình có họ nghiệm x    ,x  k  Z  20 20 Từ 10 chữ số cho ta lập C73 gốm chữ số khác nhau, 16 sin x  16 sin x sin x    ln có mặt chữ số 1,2,3 Từ lập 4!3! số có chữ số khác chữ số 1,2,3 ln đứng kề (với quy ước tính số mà có chữ số đứng đầu) Vậy có 4!3! C73 =5040 (số) Trong 5040 số tạo thành có 3!3! C62 = 540 (số) gồm chữ số khác mà chữ số đứng đầu chữ sô 1,2,3 đứng kề Vậy có 5040 – 540 = 4500 (số cần tìm) DeThiMau.vn 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 20 Gọi B biến cố cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ  P(B) = 20 Gọi A biến cố cầu lấy từ hộp thứ màu đỏ  P(A) = 0,25 AB biến cố lấy hai cầu màu đỏ từ hai hộp; A, B hai biến cố đôc lập, áp dụng công thức nhân xác suất ta có P(AB) = P(A).P(B) = 15 400 0,25 49 80 , xác suất để lấy hai cầu màu xanh 400 400 0,25 15 49 80 + + = 400 400 400 25 0,25 Tương tự ta tính xác suất để lấy hai cầu màu trắng Vậy xác suất để lấy hai cầu màu thỏa mãn tốn Ta có 1  x  x  = 1  x  x    C8k ( x  x ) k 8 k 0 k =  C8k  C ki ( x ) k i (2 x ) i = k 0 i 0 k  C k 0 i 0 k C ki (2) i x k i 0,25 2 k  i  Hệ số x ứng với k,i thỏa mãn k , i  N , i  k  0,25 giải hệ ta (k; i) =(3;2) (k; i) = (4;0) Vậy hệ số chứa x khai triển (2) C83 C32  C84 C 40 (2) = 742 Ta có u n 1  2(u n  1)   u n 1  2(u n  1)   u n 1   2(u n  1) Đặt v n  u n  , n  , ta có dãy v n  cấp số nhân với v1  u1   2014 , cơng bội q = Ta có S n  u1  u   u100  (v1  1)  (v2  1)   (v100  1) = q 100  (v1  v   v100 )  100  v1  100  2014.(2100  1)  100 q 1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Gọi K điểm đối xứng M qua AC A(-1;4) H điểm đối xứng M qua AB H(-5;2) K(3;2) Chu vi tam giác MNP = MN + NP + PM = KN + NP + PH  HK không đổi Dấu xảy H, N, P, K thẳng hàng C(3;0) Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ = HK B(-7/3;0) M(1;0) Khi H, N, P, K thẳng hàng 0,5 Tìm N, P Gọi I hình chiếu vng góc M AC  I(2;1) K(3; 2) Gọi J hình chiếu vng góc M AB  J(-2;1) H(-5; 2) 0,25 Phương trình đường thẳng AB: 3x  y   ; AC: x  y   ; HK: y – = N = HK ∩ AC, P = HK ∩AB 0,5 Do tọa độ điểm N, P cần tìm là: N(1; 2), P(  ;2) DeThiMau.vn a) Do (P) qua M song song với AD nên (P) ∩ (ABD) = MQ, MQ // AD.Do (P) song song với BC nên (P) ∩ (ABC) = MN,MN // BC; A (P) ∩ (BCD) = QP, QP // BC Nối MN, NP, PQ, QM ta thiết diện tứ giác MNPQ Thiết diện hình bình hành +) Tứ giác MNPQ hình thoi  MN = MQ M AM MN BM  ,  AB BC AB AM  MB MN MQ    AB BC AD BC AD  MN   AM BC  AD Ta có: MQ AD 0,25 0,75 0,25 N Q D    MN    B  BC AD  AB.MN AB AD P   BC AB  AD C AB AD Vậy M cạnh AB cho AM  thiết diện thu AB  AD hình thoi b) +) Vẽ D’, C’, B’ Trong mp(BCD) nối OD cắt BC J Trong mp(ADJ) A Kẻ đường thẳng qua O song song với AD cắt AJ D’ Cách xác định tương tự cho điểm B’ C’ OD' OJ S OBC ;   AD JD S BCD OB' S ODC OC ' S OBD  ,  AB S BCD AC S BCD B OD' OB' OC ' S OBC S OBC S OBD J Vậy      1 AD AB AC S BCD S BCD S BCD Ta có: D’ 0,25 C’ Áp dụng BĐT Cauchy ta B’ D O I C OD' OB' OC ' OD'.OB'.OC '  OB'.OC '.OD'  AB AC AD    3.3 27 AD AB AC AD AB AC Dấu “=” xảy  S OBC  S OCD  S OBD  O trọng tâm tam giác BCD Vậy (OB’.OC’.OD’) max = xyz O trọng tâm tam giác BCD 27 Do A, B, C  15  minsin A, sin B, sin C  sin 15  cos 30 2   0,2588 2 Giả sử ngược lại ab , bc , ca không độ dài ba cạnh Ta có: sin15 = tam giác, ta giả sử ab  bc  ca  0,25 0,25 c c  1 a b c c c , có số khơng lớn Giả sử  a b a c sin C 1      sin C  sin A   0,25 (mâu thuẫn) (ĐPCM) a sin A 4  hai số 0,25 0,25 (Đáp án gồm trang Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa) -Hết -DeThiMau.vn DeThiMau.vn ...SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TOÁN Câu Nội dung 2 a)Pt   cos x  sin x ...  hai số 0,25 0,25 (Đáp án gồm trang Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa) -Hết -DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... ;2) DeThiMau.vn a) Do (P) qua M song song với AD nên (P) ∩ (ABD) = MQ, MQ // AD.Do (P) song song với BC nên (P) ∩ (ABC) = MN,MN // BC; A (P) ∩ (BCD) = QP, QP // BC Nối MN, NP, PQ, QM ta thi? ??t