Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Ninh Bình53225

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: Đ01T- 08 - TS10CT Năm học : 2008-2009 Môn thi : Toán Thời gian làm :150 phút ( Đề gồm 05 câu, 01 trang) Bài 1: Rót gän biĨu thøc sau : x 3 P= 2x  x   2x   2x  x  Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: x y  a)   xy  x  b)  x   x  Bµi 3: Chøng minh r»ng :  31   5 2   7 3   2007 4015 2007  2008 2009    Bµi : BC dây cung không đường kính đường tròn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng b) Gọi A' trung điểm BC, chứng minh AH = 2OA' c) Gọi A1 trung điểm EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chøng minh r»ng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí cđa A ®Ĩ tỉng (EF + FD + DE) lín Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < …………………… HÕt……………………… DeThiMau.vn H­íng dÉn chấm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: HD01T- 08 - TS10CT Bài 1: (2,5 ®iĨm) x 3 Cã : A = 2x  x   A=   x  x 3   2 3 2  x 3 2  x 3   cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 điểm Tương tự có: 2x B=  2x    2x  x   x 3 2 Tõ Tập xác định x x  Ta cã P = A+B = 2 =  x 3 22 x 3 cho 0,25 ®iĨm 2x      x 3 2   x  6  x  3 x  32   x 3   cho 0,25 ®iĨm  x 3  x 3   x  x  x   x  x  x  18 = = x  92  x  92  VËy P= x  92   x9 2 x   cho 0,5 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 điểm x9 Với x x x9 Cho 0, 25 điểm Bài ( 4,5 ®iĨm) 2 x  y    xy  x   xy +x  x  y  x  xy  y  (*) a, Tõ hƯ cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm  x  - NÕu y = ta : x hệ vô nghiệm cho 0,25 điểm x x - NÕu y ≠ ta cã : (*)       y  y x y 1  x y  3  cho 0,25 ®iĨm cho 0,5 ®iĨm VËy hệ đà cho tương đương với x y 2 2 x  y   x   y hay  2 x y cho 0,25 điểm Giải hệ đầu ta (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) HƯ sau v« nghiƯm DeThiMau.vn cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm VËy hƯ ®· cho cã nghiƯm lµ x = y = x = y = -1 b) Điều kiện -4x1 Phương trình tương đương với : (vì vế không âm) 3x  x  cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm   3x  x   4- 3x - x2 =  x2 +3x =  x(x + 3) =  x = hc x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -3 Bài : (3điểm) Ta có với n  th× 2n  1 <  n  n 1 n 1  n nn  1     n  n 1  n cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm  cho 0,5 ®iĨm 4n  4n  1 cho 0,5 ®iĨm n 1 Tõ ®ã ta cã : Sn =         2n  1 n  n  31  2 < 1cho 0,75 ®iĨm  1 1  n 1 4n  n  4n  n = 1 cho 0,5 ®iĨm n2 n2 n VËy Sn < cho 0,25 ®iĨm n2 2007 ¸p dông cho n = 2007 ta cã S2007 < điều phải chứng minh ( 0,5 điểm) 2009 Bài : Hình vẽ cho 0,25 điểm x A F A1 H E O B D A' C K a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC Có E, F nhìn BC góc vuông nên E, F thuộc đường tròn đường kính BC Cho 0,25 ®iÓm  gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 điểm DeThiMau.vn AEF đồng dạng  ABC (g.g) cho 0,25 ®iĨm b) VÏ ®­êng kÝnh AK Cã BE  AC (gt) KC  AC (V× gãc ACK = 90 ) cho 0,25 ®iĨm  BE // KC cho 0,25 điểm Tương tự CH // BK cho 0,25 điểm Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 điểm HK đường chéo nên qua trung điểm A' đường chéo BC H, A', K thẳng hàng cho 0,25 điểm Xét tam gi¸c AHK cã A'H = A'K OA = OK cho 0,25 điểm Nên OA' đường trung bình cho 0,25 điểm AH = A'O c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tương ứng, tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có: cho 0,25 điểm AEF đồng dạng ABC AA' R = AA1 R' Trong R bán kính đường tròn tâm O R' bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF  R AA = R' AA' = = AA' d, AH AA' 2OA' = AA' OA' VËy R.AA1 = AA' OA' Tr­íc hÕt ta chøng minh OA EF vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn tâm O Ta có OA Ax Vì góc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt)  gãc EFA = gãc xAB  EF// Ax  OA  EF Chøng minh t­¬ng tù cã OB  DF vµ OC  ED Ta cã S ABC = S OEAF + S OFBD +S ODCE cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,5 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm 1 OA EF + OB FD + OC.DE cho 0,25 ®iĨm 2 = R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) =  R (EF + FD + DE) = S ABC  EF + FD + DE = cho 0,25 điểm S ABC R Nên EF + FD + DE lín nhÊt  S ABC lín nhÊt DeThiMau.vn cho 0,25 điểm BC.h (h đường vuông góc hạ từ A đến BC) S ABC lớn nhÊt  h lín nhÊt   ABC lµ tam giác cân A điểm giưà cung AB L¹i cã S ABC = lín cho 0,25 điểm Bài 5: (3 điểm) Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nªn ta cã: < a; b, c 1 (cho 0,25 ®iĨm)  a -  ; b -  0; c-1  cho 0,25 ®iĨm  ( a -1) (b -1) (c -1)   ( ab - a - b +1) ( c -1)  cho 0,25 ®iĨm  abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) -  cho 0,25 ®iĨm  2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c)  cho 0,25 ®iĨm  2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2  cho 0,25 ®iĨm  2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)  cho 0,5 ®iĨm  2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc)  (cho 0,25 ®iĨm)  2abc + a + b + c  (®pcm) cho 0,25 điểm Chú ý: có cách giải khác mà làm cho điểm tối đa - Đối với hình học sinh sử dụng nhiều hình vẽ khác cho ý ý sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có đường chéo vuông góc mà không cần chứng minh lại DeThiMau.vn Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: Đ02T- 08 - TS10 CT Năm học : 2008-2009 Môn thi : Toán Thời gian làm :150 phó Bµi 1: a, Chøng minh r»ng nÕu ab  ta luôn có ab ab ab   ab = a  b 2 b, Phân tích đa thức M = a 10 a thành nhân tử Bài 2: ( x y ) y  a, Gi¶i hƯ phương trình ( x y ) x  xy  y  b, cho x, y  vµ x + y = Chøng minh 8(x + y ) + xy Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax bx  cx  d a) Chøng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x th× sè 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên b, Đảo lại nÕu c¶ sè 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x không? sao? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm AB với DE, tõ giao diĨm H cđa AB víi CE h¹ HI vuông góc với BC I tia CH, IG cắt K Chứng minh KC tia phân giác góc IKA Bài 5: Chứng minh phương trình x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + =0 Vô nghiệm tập hợp số thực Hết DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: HD02T- 08 - TS10 Bài 1: (3 điểm) a, Vì vế không âm nên bình phương vế trái ta có: ( ab ab ab +  ab ) = 2 =( ab ab ) + ab + (a + b) ab + ( ) + ab - (a + b) 2 ab +2 ( ab )  ab Cho 0,25 ®iĨm = 2( ab ab ) + 2ab + 2( ) - 2ab 2 ( v× ( = 4( ab ) = ab )  ab) (a + b) = ( a + b ) Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,5 ®iĨm (v× ab   a; b cïng dÊu)  ab ab  ab +  ab = a + b 2 Cho 0,25 ®iĨm (Víi ab  0) b, Ta cã A = a 10 + a + = a 10 - a + a - a + a + a + = a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + a + a + Cho 0,25 ®iĨm = a(a - 1)( a + a + 1)( a + a + 1) + + a (a - 1)(a + a + 1) + a + a + = (a + a + 1) a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + 1) = (a + a + 1)(a - a + a - a + a - a + 1) Cho 0,25 điểm Cho 0,25 điểm Cho 0, điểm Bài 2: (5 ®iĨm)  y  a, NÕu x = thay vào ta có vô lý y y Vậy x Đặt y = tx ( x  tx) tx  Ta cã   Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 ®iÓm  ( x  tx) x  tx  t x  DeThiMau.vn Cho 0,25 ®iĨm  (1  t ) t = (1  t )  t t Cho 0,25 điểm ( t ≠ -1 hƯ míi cã nghiƯm)  (1  t )t =2 1 t  t2 Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm  t + t = - 2t + 2t Cho 0,25 ®iĨm  t - 3t + = Cho 0,25 ®iĨm t   t  Cho 0,25 ®iĨm * NÕu t =  y = x  4x = x=y= Cho 0,25 ®iĨm * nÕu t =  y = 2x  18x = Cho 0,25 ®iĨm   x   y   Tãm l¹i hƯ cã nghiƯm x=y= Hc ( x = ;y= ) Cho 0,25 điểm b, áp dụng bất ®¼ng thøc a2  b2 ab  ( ) Víi mäi a, b 2 Cho 0,25 ®iĨm ta cã x4  y4 x2  y2 x  y 2 )   ( )  ( 2    x y x4  y4  ( ) = 2 16 Cho 0,5 ®iĨm  8( x + y )  l¹i cã xy  ( Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm x y ) = Cho 0,25 ®iĨm DeThiMau.vn   xy Cho 0,25 ®iĨm VËy 8( x + y ) +  1+4=5 xy Cho 0,25 ®iĨm Bài 3: ( điểm) a, Ta có f(0) = d số nguyên Cho 0,25 điểm f(1) = a + b + c + d số nguyên Cho 0,25 ®iĨm  f(1) - f(0) = a + b + c số nguyên Cho 0,25 điểm f( -1) =- a + b - c + d lµ số nguyên Cho 0,25 điểm f(2) = 8a + 4b + 2c + d số nguyên Cho 0,25 ®iÓm VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d số nguyên Cho 0,25 điểm 2b số nguyên ( 2d số nguyên) Cho 0,25 điểm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d số nguyên Cho 0,25 điểm a b c Mà 2b số nguyên d Nên 6a số nguyên Cho 0,25 điểm Ta có điều phải chứng minh b, Đảo lại: f(x) = ax + bx + cx + d = (ax - ax) + (bx - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iĨm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm 6a ( x  1) x( x  1) 2bx( x  1) + + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm ( x  1) x( x  1) x( x  1) + 2b + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm = = 6a Vì (x - 1)x( x + 1) tích sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho  6a ( x  1) x( x  1) số nguyên Cho 0,25 điểm x(x -1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết 2b x( x 1) số nguyên Và (a + b + c)x Cho 0,25 điểm số nguyên d số nguyên DeThiMau.vn Cho 0,25 điểm f(x) nhận giá trị nguyên với mäi x nguyªn 4sè 6a; 2b; a + b + c; d số nguyên Cho 0,25 điểm Bài 4: ( điểm) (Vẽ hình 0,5 điểm) B I G E K D H C A Ta có G I nhìn HD góc vuông nên HGID tứ giác nội tiÕp Cho 0,5 ®iĨm  Gãc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID) Cho 0,5 ®iĨm Hay gãc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm lại có góc GHD = góc GHK ( E I đối xøng qua AB) Cho 0,5 ®iĨm  gãc KIB = gãc KHB ( cïng = gãc GHD) Cho 0,25 ®iĨm Nên KHIB tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm V× gãc HIB = 90  gãc HKB = 90 Cho 0,5 ®iĨm Ta cã gãc B = góc K (Do KHIB tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm Lại có K A nhìn BC góc vuông nên AKBC tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm góc K = gãc B Cho 0,5 ®iĨm Tõ ®ã ta có KC phân giác góc IKA Cho 0,5 ®iĨm Chó ý häc sinh vÏ h×nh cã thĨ khác cho điểm tương tự Bài 5: (2 điểm) * Nếu x vế phải nhận giá trị dương nên khoảng phương trình vô nghiệm Cho 0,5 ®iĨm * NÕu < x < 1 4 Ta cã vÕ tr¸i = x  x   x  x   x  x   x  x 2  1 =  x     x     x    x  x 2  2  2  DeThiMau.vn  Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 điểm dương nên khoảng phương trình v« nghiƯm * NÕu x  ta cã VÕ tr¸i = x (x - 1) + x (x - 1) + x(x - 1) + Cũng số dương nên khoảng phương trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm Cho 0,25 điểm Tóm lại phương trình đà cho vô nghiệm tập hợp sè thùc R (Cho 0,25 ®iĨm) Chó ý chÊm: học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn Người soạn thảo : Phạm Văn Phan Giáo viên trường THCS Lý Tự Trọng - Thành phố Ninh Bình - Ninh Bình DeThiMau.vn ... vuông góc mà không cần chứng minh lại DeThiMau.vn Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: Đ02T- 08 - TS10 CT Năm học : 2008-2009 Môn thi : Toán Thời gian làm bµi :150 phó Bµi 1: a,... x3 + x2 - x + =0 V« nghiệm tập hợp số thực Hết DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: HD02T- 08 - TS10 Bài 1: (3 điểm) a, Vì vế không âm nên bình phương...Hướng dẫn chấm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mà ký hiệu: HD01T- 08 - TS10CT Bài 1: (2,5 điểm) x Có : A = 2x  x   A=   x  x 3 