https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: N - Số nguyên: LỚP Z -2 -1 - Số hữu tỉ: Q -1/2 - Số vô tỉ: I 0 2 3/2 2 - Số thực: I+Q=R II Số hữu tỉ: Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng Error: Reference source not foundtrong b≠0; Error: Reference source not found số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu Số số hữu tỉ dương, số hữu tỉ âm - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vơ hạn tuần hồn (Ví dụ: Error: Reference source not found ) số thập phân hữu hạn (Ví dụ: Error: Reference source not found) Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương số - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực phân số: Cộng trừ số hữu tỉ - Nhân, chia số hữu tỉ Qui tắc Đưa mẫu, cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu Phép chia phép nhân nghịch đảo Nghịch đảo x 1/x Tính chất a) Tính chất giao hốn: x + y = y +x; x y = y z b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) (x.y)z = x(y.z) c) Tính chất cộng với số 0: x + = x; x.y=y.x ( t/c giao hoán) (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) x.1=1.x=x x =0 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối phép nhân phép cộng Bổ sung Ta có tính chất phân phối phép chia phép cộng phép trừ, nghĩa là: Error: Reference source not found; Error: Reference source not found ; x.y=0 suy x=0 y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP - Các kí hiệu: �: thuộc , �: khơng thuộc , �: tập Các dạng toán: Dạng 1: Thực phép tính - Viết hai số hữu tỉ dạng phân số - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính - Rút gọn kết (nếu có thể) Chỉ áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Error: Reference source not found Bài 1: a) 1 26 b) 11 30 17 34 c) d) 1 1 17 24 e) 5 : ; 4 5 f) : Bài số 2: Thực phép tính: a) c) 1 3 4. 4 5 .11 6 b) � 1 � �1 � � � � � 24 � �2 � � � �2 1� �5 � � � d) � � � � � � 10 � �7 � � � Bài số 3: Tính hợp lí: �2 � �16 � � �3 �11 � �11 � a) � � �1 13� � � �: � �: �2 14 � � 21 � b) � c) � 1� � 1� : � : � � � � 7� � 7� Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trục số: -Phương pháp: Nếu Error: Reference source not found số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều dương trục Ox a phần , ta vị trí số Error: Reference source not found Ví dụ: biểu diễn số Error: Reference source not found: ta chia khoảng có độ dài đơn vị thành phần nhau, lấy phần ta phân số biểu diễn số Error: Reference source not found Hình vẽ: Nếu Error: Reference source not found số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều âm trục Ox a phần , ta vị trí số Error: Reference source not found BÀI TẬP Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: a Error: Reference source not found Dạng 3: So sánh số hữu tỉ Nhóm: Tài liệu Toán Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Phương pháp: * Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1… * Dựa vào phần bù * So sánh với phân số trung gian( phân số có tử số phân số mẫu số phân số kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x 25 444 y ; 35 777 b) x 2 110 17 y c) x y = 0,75 50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) 7 ; 2010 19 b) 3737 37 ; 4141 41 c) 497 2345 499 2341 d) 2 2000 2001 2001 2002 19 31 và f) ; g) ; h) ; k) 2001 2002 2000 2001 60 90 Dạng 4: Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (không dương không âm) Phương pháp: Dựa vào t/c Error: Reference source not found số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu, a=0 e) Ví dụ: Cho số hữu tỉ x m 2011 Với giá trị m : 2013 a) x số dương b) x số âm c) x không số dương khơng số âm HD: a Để x>0 Error: Reference source not found, suy m-2011>0 ( 2013>0), suy m>2011 b Để x 23 Error: Reference source not found x+4 x+4 Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở -1 -23 23 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 x -5 -3 LỚP -27 19 Với biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm sau: - Nhóm hạng tử chứa xy với x (hoặc y) - Đặt nhân tử chung phân tích hạng tử cịn lại theo hạng tử ngoặc để đưa dạng tích Ví dụ: Tìm x, y nguyên cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y đặt nhân tử chung y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng: x+3 10 -1 -10 -5 -2 y+3 10 -10 -1 -2 -5 X -2 -4 -13 -1 -8 -5 Y -2 -13 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: Error: Reference source not found ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 Ví dụ: Error: Reference source not found (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) Error: Reference source not found 3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0) x(3-y)-3(3-y)+9=0 (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 -9 -3 3-y x -9 -6 -3 y 12 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = 101 số nguyên a Bài 2: Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x 3x số nguyên x 2m phân số tối giản, với m �N 14m 62 Bài 4: Tìm x để biểu thức sau nguyên A=Error: Reference source not found ; B=Error: Reference source not found; C=Error: Reference source not found; D=Error: Reference source not found ; E=Error: Reference source not found Bài 5: Tìm số x,y ngun thỏa mãn: Nhóm: Tài liệu Toán Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 a, xy+2x+y=11 LỚP b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 Dạng 7: Các tốn tìm x Phương pháp: - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển số hạng chứa x vế, số hạng tự vế ( chuyển vế đổi dấu) tìm x Chú ý: Một tích thừa số khơng - Chú ý tốn nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng bình phương 0, tốn tìm x có quy luật BÀI TẬP Bài Tìm x, biết: � 3� � a) x � ; � � 21 � � 15 c) x: � � ; � � 16 28 b) x ; 9 d) 4 :x Bài Tìm x, biết: a) x ; 10 b) 3 x Bài Tìm x, biết: a) 33 x x ; 25 Bài 4: a) �2 �1 3 � 4� : x � ; b) � x � � 9� �3 �2 � x x x x 65 63 61 59 b) x x x 10 x 12 1999 1997 1995 1993 e) x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x x x 3 2005 2004 2003 x 29 x 27 x 17 x 15 31 33 43 45 c) d) c) 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x 4 91 93 95 91 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980 29 27 25 23 21 19 HD: => Error: Reference source not found => x= -2010 Error: Reference source not found Bài 5:Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a) x x x x 35 33 31 29 (HD: Cộng thêm vào hạng tử) b) x 10 x x x x 1994 1996 1998 2000 2002 (HD: Trừ vào hạng tử) Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994 10 c) x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999 d) x x x x x 1991 1993 1995 1997 1999 x 85 x 74 x 67 x 64 10 15 13 11 LỚP (HD: Trừ vào hạng tử) (Chú ý: 10 1 3 ) x 2x 13 3x 15 4x 27 (HD: Thêm bớt vào hạng tử) 13 15 27 29 Dạng 8: Các tốn tìm x bất phương trình: Phương pháp: - Nếu a.b>0 Error: Reference source not found Error: Reference source not found; - Nếu a.b≥0 Error: Reference source not found Error: Reference source not found; e) - Nếu a.b Error: Reference source not found Error: Reference source not found => Error: Reference source not found Error: Reference source not found =>x>3 xError: Reference source not found Error: Reference source not found (không tồn x) => -5 ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD < 900 BAC > ACD BC > AD AM < Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở BC https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD > 900 BAC < ACD BC < AD AM > Tom l¹i: NÕu A = 900 AM = Nêu A > 900 AM < BC BC BC NÕu A < 900 AM > BC Bài 12: Trong trờng hợp sau trờng hợp ba cạnh tam giác a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Gi¶i: a §óng v×: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 c Sai v×: 2,2 = 1,2 + Bài 13: Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm HÃy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài số nguyên (cm) Giải: A Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC - < BC < + C B < BC < Do ®ã ®é dài cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bµi 14: a TÝnh chu vi cđa mét tam giác cân có hai cạnh 4m 9m b Cho tam giác ABC điểm D nằn B C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m cạnh bên cạnh 4m cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LP Vậy cạnh 4m cạnh đáy thoả mÃn < + A Chu vi cña tam giác là: + + = 22m b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1) XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB AC BC Bài 15: Độ dài hai cạnh tam giác 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh lại biết số đo theo xentimét số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ dài cạnh lại x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta cã: - < x < + tức < x < Do x số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh lại 7cm Bài 16: Cho tam giác ABC trung tuyến Am góc B > C HÃy so sánh hai góc AMB AMC A Giải: Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB AMC có AM c¹nh chung MB = MC nhng AC > AB B M C Nên AMC > AMB Các đờng đồng quy cđa tam gi¸c Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm) Điểm cách đỉnh khoảng Error: Reference source not found độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng Error: Reference source not foundđộ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy: G trọng tâm tam giác ABC Tính chất tia phân giác góc Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc đó.Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc Oz phân giác Error: Reference source not foundError: Reference source not found Error: Reference source not found=> MA = MB Error: Reference source not found=> M Error: Reference source not found Oz Tính chất ba đường phân giác tam giác Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đường phân giác tam giác ABC(đôi ta gọi đường thẳng AM đường phân giác tam giác) LỚP Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy Tính chất ba đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân Tính chất đường trung trực đoạn thẳng Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Error: Reference source not found=> AB = AC Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác O giao điểm đường trung trực Error: Reference source not found OA = OB = OC LỚP Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân Tính chất ba đường cao tam giác Nhóm: Tài liệu Toán Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Đơi ta gọi đường thẳng AI đường cao tam giác Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác Trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng trực tâm tam giác tù nằm bên ngồi tam giác Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh Nhận xét: Trong tam giác,nếu hai bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Bµi tËp: Bµi 1: Gäi AM lµ trung tuyến tam giác ABC, A/M/ đờng trung tun cđa tam gi¸c A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chøng minh r»ng hai tam giác ABC A/B/C/ A Giải: Xét ABC vµ A/B/C/ cã: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C A/ (Cã AM lµ trung tuyÕn cđa BC vµ A/M/ lµ trung tun cđa B/C/) AM = A/M/ (gt) ABM A/B/M/ (c.c.c) Suy B = B/ B/ M/ V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 C/ https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP B = B/ (c/m trên) Suy ra: ABC A/B/C/ Bài 2: Cho tam gi¸c ABC (A = 90 0) trung tuyÕn AM, tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM b Chøng minh ABC BAD c So sánh: AM BC Giải: a Xét hai tam giác AMC DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (®èi ®Ønh) M Suy AMC DMB (c.g.c) MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mµ BA AC (A = 900) A C BA BD ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC BAD có: AB = BD (do AMC DMB c/m trªn) AB chung nªn ABC BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nhau) c ABC BAD BC = AD mµ AM = AD (gt) Suy AM = BC Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM CN hai đờng trung tuyến tam giác ABC Chứng minh CN > BM Giải: Gọi G giao điểm BM CN Xét ABC có BM CN hai đờng trung tuyến cắt G Do đó: G tâm cđa tam gi¸c ABC Suy Gb = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®êng trung tuyÕn AI cđa ABC A Ta cã: A; G; I th¼ng hµng Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LP Xét AIB AIC có: AI cạnh chung, BI = IC G AB < AC (gt) AIB < AIC XÐt GIB vµ GIC cã B I C GI c¹nh chung; BI = IC AIC > AIB GC > GB CN > BM Bµi 4: Cho tam giác ABC có BM CN hai ®êng trung tuyÕn vµ CN > BM Chøng minh r»ng AB < AC Giải: A Gọi G giao điểm cđa BM vµ CN ABC cã: BM vµ CN hai đờng trung tuyến N M Do đó: G tâm tam giác ABC Suy GB = G 2 BM; GC = CN 3 Vẽ đờng trung tuyến AI tam giác ABC B I C I qua G (Tính chất ba ®êng trung tuyÕn) Ta cã: CN > BM mµ GB = 2 BM; GC = CN nªn GB < GC 3 XÐt GIB GIC cã: GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét AIB AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bài 5: Trên hình bên có AC tia phân giác góc BAD CB = CD Chứng minh: ABC = ADC B Gi¶i: VÏ CH AB (H AD) H A C CK AD (K AD) C thuộc tia phân giác BAD K Do đó: CH = CK XÐt CHB (CHB = 900 ) Vµ tam gi¸c CKD (CKD = 900) Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 D https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB CKD (cạnh huyền - góc vuông) HBC = KDC ABC = ADC Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đờng thẳng song song với tia Ax, cắt tiâ đối cđa tia AB t¹i D Chøng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax tia phân giác cđa gãc BAC Nªn xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt đờng thẳng AC A hai góc xAC ACD góc so le nên xAC = ACD (2) x hai gãc xAB vµ ADC góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC Bài 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC N Từ N kỴ tia NY // Bx Chøng minh: B a xAB = BMN b Tia Ny tia phân giác góc MNC N Giải: a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx tia phân gi¸c cđa gãc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA) VËy xBC = BMN x y b BMN = MNy (2 gãc so le v× Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị Ny // Bx) Vậy MNy = yNC mà tia Ny tia nằm hai tia NM NC Do đó: Ny tia phân giác MNC Nhúm: Ti liu Toỏn Trung hc Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Bµi 8: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm hai tia phân giác hai góc A B Qua I vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 gãc so le trong) A C1 = C2 nên C2 = I2 Do đó: NIC cân NC = NI (1) M N Chøng minh t¬ng tù ta cã: MB = MI (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Bµi 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đờng trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D trung điểm cạnh BC Giải: Vì D giao điểm đờng trung trực cạnh AB AC nên tam giác A DAB DAC cân góc đáy tam giác DBA = DAB vµ DAC = DCA Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi cđa tam gi¸c ta cã: B D ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 180 Tõ ®ã suy ba ®iĨm B, D, C thẳng hàng Hơn DB = DC nên D trung điểm BC Bài 10: Cho hai điểm A D nằm đờng trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A I, I điểm nằm BC Chứng minh: a AD tia phân giác góc BAC Nhúm: Tài liệu Toán Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 C https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP b ABD = ACD A Gi¶i: a XÐt hai tam giác ABI ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) B I C VËy ABI ACI (c.g.c) BAI = CAI Mặt khác I trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB AC Suy ra: AD tia phân giác góc BAC b Xét hai tam giác ABD ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trªn) VËy ABD ACD (c.g.c) ABD = ACD (cặp góc tơng ứng) Bài 11: Hai điểm M N nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB, N trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM a Chøng minh: AB lµ ssêng trung trùc đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Giải: a Ta có: AB MM/ (vì MN đờng trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N trung điểm MM/ (vì M/ nằm tia đối tia NM vµ NM = NM/) A B VËy AB đờng trung trực đoạn MM/ b Theo gả thiÕt ta cã: Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ S https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 N https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LP MM/ đờng trung trực đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta lại có: AB đờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Từ ®ã suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho : DA + DB = AC Giải: A Vẽ đờng trung trực đoạn thẳng BC D cắt cạnh AC D D điểm cần xác định Thật B C Ta có: DB = DC (vì D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC Mµ AC = DA + DC (vì D nằm A C) Suy ra: DA + DB = AC Bµi 13: a Gäi AH BK đờng cao tam giác ABc Chøng minh r»ng CKB = CAH b Cho tam gi¸c cân ABC (AB = AC), AH BK ®êng cao Chøng minh r»ng CBK = BAH Gi¶i: a Trong tam giác AHC BKC có: K CBK CAH góc nhọn Và có cạnh tơng ứng vuông góc với A CB AH BK CA VËy CBK = CAH b Trong tam giác cân đà cho đờng cao AH B C Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 H https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LP đờng phân giác góc A A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH CBK hai góc nhọn K có cạnh tơng ứng vuông góc nên CAH = CBK Nh vËy BAH = CBK B H C Bµi 14: Hai đờng cao AH BK tam giác nhọn ABC cắt D a Tính HDK C = 500 b Chøng minh r»ng nÕu DA = DB th× tam giác ABC tam giác cân Giải: A Vì hai góc C ADK nhọn có K cạnh tơng ứng vuông góc nên C = ADK Nhng HDK kỊ bï víi ADK nªnhai gãc C vµ HDK lµ bï Nh vËy HDK = 1800 - C = 1300 b NÕu DA = DB th× DAB = DBA B H C Do ®ã hai tam giác vuông HAB KBA Vì có cạnh hun b»ng vµ cã mét gãc nhän b»ng Từ suy KAB = HBA hai góc kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB Bài 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đờng cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo góc: BHM vµ MHN biÕt C = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390 B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410 Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Gi¶i: A a Chän A AM BC tam giác ABC câb A N Suy H trực tâm tam giác ABC H Do CH AB b Chọn D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai gãc cã cạnh tơng ứng vuông góc góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm đợc BHM = 390; MHN = 1410 Bài 16: Cho góc xOy = 600 điểm A n»m gãc xOy vÏ ®iĨm B cho Ox đờng trung trực AC, vẽ điểm C cho Oy đờng trung trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai? b TÝnh sè ®o gãc BOC A 600; B 900; C 1200; D 1500 Gi¶i: B x a Chän A NhËn xét là: OA = OB Ox đờng trung trực AB OA = OC Oy đờng trung trùc cđa AC A Do ®ã: OB = OC b Chọn C O Nhận xét là: y Tam giác OAB cân O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 VËy ta cã: BOC = 1200 Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 C https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 LỚP Bµi 17: Chøng minh r»ng mét tam gi¸c trung tuyÕn ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Giải: Xét tam giác ABC ®êng trung tuyÕn A AM, BN, CP träng t©m G Giả sử AB < AC P N Ta cần chøng minh CP > BN G ThËt vËy Víi hai tam giác ABM ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M trung điểm BC) AM chung: AB < AC ®ã: M1 < M2 Với hai tam giác GBM GCM ta có: MB = MC (M TĐ BC); GM chung Do ®ã: GB < GC 2 GB < GC BN < CP 3 Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/1422194627934793 ... Nhóm: Tài liệu Toán Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/14221946 279 3 479 3 https://www.facebook.com/groups/14221946 279 3 479 3 LỚP c) Tính số học sinh lớp 7A 7B biết lớp 7A nhiều lớp 7B... 3. 37. a (vì aaa =111.a) nên n= 37 n+1= 37 ta tìm n=36 HD: Nhóm: Tài liệu Toán Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/14221946 279 3 479 3 https://www.facebook.com/groups/14221946 279 3 479 3 LỚP... 198.1 97 1 97. 196 3.2 2.1 B = 1 2 2 3.5 5 .7 7.9 61.63 63.65 Nhóm: Tài liệu Tốn Trung học Cơ Sở https://www.facebook.com/groups/14221946 279 3 479 3 https://www.facebook.com/groups/14221946 279 3 479 3